专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类
目 录
01 函数零点问题之分段分析法模型....................................................................................................3
02 函数嵌套问题..................................................................................................................................7
03 函数整数解问题.............................................................................................................................11
04 唯一零点求值问题.........................................................................................................................14
05 等高线问题....................................................................................................................................16
06 分段函数零点问题.........................................................................................................................19
07 函数对称问题.................................................................................................................................22
08 零点嵌套问题.................................................................................................................................26
09 函数零点问题之三变量问题..........................................................................................................30
10 倍值函数........................................................................................................................................33
11 函数不动点问题.............................................................................................................................37
12 函数的旋转问题.............................................................................................................................40
13 构造函数解不等式.........................................................................................................................44
14 导数中的距离问题.........................................................................................................................48
15 导数的同构思想.............................................................................................................................50
16 不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法............................................................................53
17 三次函数问题.................................................................................................................................58
18 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题...................................................................................62
19 任意存在性问题.............................................................................................................................67
20 双参数最值问题.............................................................................................................................70
21 切线斜率与割线斜率.....................................................................................................................72
22 最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）....................................................................75
23 两边夹问题和零点相同问题..........................................................................................................79
24 函数的伸缩变换问题.....................................................................................................................81
25 V 型函数和平底函数......................................................................................................................83
26 曼哈顿距离与折线距离.................................................................................................................87
01 函数零点问题之分段分析法模型
1．（2023·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数
（其中为自然对数的底
数），若函数
至少存在一个零点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
,则
，设
，令
，
，则
，发现函数
在
上都是单调递增，在
上都是单调递减，故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故当
时，得
，所以函数
至少存在一个零点需满足
，即
．应选答
案D．
2．（2023·湖北·高三校联考期中）设函数
，记
，若函数
至少存
在一个零点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得函数
的定义域为
．
又
，
∵函数
至少存在一个零点，
∴方程
有解，
即
有解．
令
，
则
，
∴当
时，
单调递增；当
时，
单调递减．
∴
．
又当
时，
；当
时，
．
要使方程
有解，则需满足
，
∴实数
的取值范围是
．
故选D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，
则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由
，得
，且
由
，则
若
，则
，此时
，
在
上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.
若
，设
，则
，所以
在
上单调递增
由
，所以
有唯一实数根，设为
，即
则当
时，
，
，则
在
单调递减，
当
时，
，
，则
在
单调递增，
所以当
时，
由
可得
，即
，即
所以
，
又当
时，
，
当
，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得
所以函数
有两个不同零点，则
设
，则
当
时，有
，则
在
上单调递增.
当
时，有
，则
在
上单调递减.
又当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
的解集为
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
存在4 个零点，则实数
的取值范围
是__________．
【答案】
【解析】转化为
有四个解，
即
在
范围内有四个解，
即
在
范围内有四个解，
即
在
范围内有四个解，
即
在
范围内有四个解，
令
，
则
，
令
得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
做出
大致图像如下：
令
，
则原方程转化为
，
令
，
，
令
得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
递减，在
递增，
做出
大致图像如下：
所以
时，对应解出两个值，
从而对应解出四个
值，
故答案为：
.
02 函数嵌套问题
5．（2023·云南保山·高三统考期末）定义域为
的函数
，若关于
的方程
恰有5 个不同的实数解
，
，
，
，
，则所有实数
，
，
，
，
之和
为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】C
【解析】设
，则关于
的方程
等价为
，
作出
的图象如图：由图象可知当
时，方程
有三个根，
当
时方程
有两个不同的实根，
∴若关于
的方程
恰有5 个不同的实数解
，
，
，
，
，
则等价为
有两个根，一个根
，另外一个根
，
不妨设
，对应的两个根
与
，
与
分别关于
对称，
则
，则
，且
，
则
，
故选：C．
6．（2023·全国·高三福建省福州第八中学校考期末）定义在
上函数
，若关于
的方
程
(其中
)有
个不同的实根
，
，…，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
.
或
及
，函数
图像如图所示，由图可知，共有五个根
，
，
，
，
，且
，
和
关于
对称，
和
关于
对称，所以为
，
.
故选：A.
7．（2023·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）设定义域为R 的函数
，
若关于x 的方程
有3 个不同的实数解x1、x2、x3且x1< x2<x3，则下列说法中错误的是
（ ）
A．
B．1 + a + b = 0
C．x1 + x3 =
D．x1 + x3 > 2x2
【答案】D
【解析】分段函数
的图象如图所示：
由图可知，只有当
时，它有三个根，其余
的根为0 或2 个，
由
，即
，
解得
，
或
．
若关于
的方程
有且只有3 个不同实数解，只能为
，
其解分别是
，
，0，因为
，即
，
，
，
，
，
，故正确的有ABC
故选：D．
8．（2023·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）设定义域为R 的函数
，
若关于x 的方程
有且仅有三个不同的实数解
，且
.下列说法错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分段函数
的图象如图所示：
由图可知，只有当
时，它有三个根，其余
的根为0 或2 个，
由
，即
，
解得
，
或
．
若关于
的方程
有且只有3 个不同实数解，只能为
，
其解分别是
，
，0，因为
，即
，
，
，
，
，
，故正确的有ABC，
故选：D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若关于
的方程
恰有6 个不同
的实数解，则
的取值情况不可能的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】
如图，若要
有6 个不同实数解，
令
，则
，
则有
两解，
必有
，或者
，
若①，
，则
，此时
，得
，满足
，即
，此时为A；若
②，
，此时
，则
，此时为D；若③，
，此时
，
，此时为C，所以选项ACD 都有可能.
故选：B
03 函数整数解问题
10．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数
，若
有且只有两个整
数解，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，
定义域为
，则
可得
，
令
，则
，
所以
时
，即
递增，值域为
；
时
，即
递减，值域为
；
而
恒过
，函数图象如下：
要使
有且只有两个整数解，则
与
必有两个交点，
若交点的横坐标为
，则
，
所以
，即
.
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式
的解集中仅有2 个整数，则实数k 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得：
，设
，
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
则当
时函数
取得最大值，如示意图：
由图可知，当
时，整数解超过了2 个，不满足题意；当
时，需满足
得：
．
故选择：D．
12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数
，若对任意的
，都有
成立，则整数a 的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】对任意的
，
，故
变形可得
恒成立，设
，则
，令
，则
，故
为增函数，且
，
，故存在唯一
使得
，故当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；故
，又
，故
，故
，又
恒成立，故整数a 的最大值为4
故选：B
13．（2023·江苏苏州·高三校考）已知函数
在区间
内存在极值点，且
在R
上恰好有唯一整数解，则实数
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，∴
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，不存在极值点，不合题意；
当
时，令
，解得
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增；
的极小值点为
，无极大值点；
在
上存在极值点，∴
，
当
，即
时，
，则
在R 上无解，不合题意；
当
时，∵f(0)=0，故要使
恰有唯一整数解，则该整数解为
，
，
，
，解得
；
当
时，∵f(0)=0，故要使
恰有唯一整数解，则该整数解为
，
，
，
，解得
；
综上所述，实数a 的取值范围为
．
故选：D．
04 唯一零点求值问题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
有唯一零点，则负实数
（ ）
A．
B．
C．-3
D．-2
【答案】C
【解析】注意到直线
是
和
的对称轴，故
是函数
的对称轴，
若函数有唯一零点，零点必在
处取得，所以
，又
,解得
.
选C.
15．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数
有唯一零点，则
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为
，设
，则
，因为
，所以函数
为偶函数，若函数
有唯一零点，则
函数
有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当
时，
才满足题意，即
是函数
的唯一零点，所以
，解得
.故选：C.
16．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数
有唯一零点，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
有零点，则
，
令
，则上式可化为
，
因为
恒成立，所以
，
令
，则
，
故
为偶函数，
因为
有唯一零点，所以函数
的图象与
有唯一交点，
结合
为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故
.
故选：D
17．（2023·山西·高三统考）已知数列
的首项
，函数
有唯一零点，
则通项
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
为偶函数，图象关于
轴对称，
的零点关于
轴对称，又
有唯一零点，
的零点为
，
即
，
，即
，
又
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，则
.
故选：C.
05 等高线问题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，其中
，若存在实数
，
使得关于
的方程
恰有三个互异的实数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
的大致图象，如图所示：
当
时，
，
因为存在实数
，使得关于
的方程
恰有三个互异的实数解，
所以
，又
，
解得
，
故选：D
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若关于
的方程
有四
个不等根
，则
的值是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【解析】由方程
可得
，
因为函数
，
设
，则
，则
，
所以
为奇函数且
，
，
，
是
的根，
所以
，
不妨有
，
，
所以
．
故
的值是0．
故选：
．
20．（2023·宁夏·高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数
，若关于x 的方程
有四个不同实数解
，且
，则
的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出函数
的图象，如图，作直线
，当
时，直线
与函数
图象有四个交
点，由图象知
，
，即
，
，
，
，所以
，
所以
，由对勾函数性质知函数
在
上是减函数，所以
时，
．
故选：A．
21．（2023·湖北武汉·高一期末）已知函数
，若关于
的方程
有四个不
同的实数解
，
，
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】D
【解析】函数图像如图所示，
，
，
，
，
由
，
∴
，
当且仅当
时，等号成立，此时
；
，当且仅当
时等号成立，此时
.
所以
的最小值为
.
故选：D
06 分段函数零点问题
22．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知
，函数
，若
恰有2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①若
是一个零点，则需要
只有一个零点，
即有
，且此时当
时，需要
只 有一个实根，
而
，
解方程根得
，
易得
.
即当
时，
恰有 2 个零点，
.
②若
不是函数的零点，则
为函数的 2 个零点，
于是
，
解得：
综上:
.
故选：A.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
若函数
有三个零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使函数
有三个解，则
与
有三个交点，
当
时，
，则
，可得
在
上递减，在
递增，
∴
时，
有最小值
，且
时，
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
单调递增；
∴
图象如下，要使函数
有三个零点，则
，
故选：D．
24．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考期末）定义在
上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设，画出
上
的大致图象，又
为奇函数，可得
的图象如下：
的零点，即为方程
的根，即
图像与直线
的交点.
由图象知：
与
有5 个交点：若从左到右交点横坐标分别为
，
1、
关于
对称，
；
2、
且满足方程
即
，解得：
；
3、
关于
轴对称，则
；
故选：B
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则函数
的
零点个数是 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】令
，则
，
作出
的图象和直线
，由图象可得有两个交点，设横坐标为
，
∴
.
当
时，有
，即有一解；当
时，有三个解，
∴综上，
共有4 个解，即有4 个零点.
故选：A
07 函数对称问题
26．（2023·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若直角坐标平面内
，
两点满足：①点
，
都在函数
的图象上；②点
，
关于原点对称，则称点
是函数
的一个“姊妹点对”点对
与
可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数
恰有两个“姊妹点对”，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知函数
恰有两个“姊妹点对”，
等价于函数
，
与函数
，
的图象恰好有两个交点，
所以方程
，即
在
上有两个不同的解，
构造函数
，则
，
当
时，
，函数
区间
上单调递增，不符合题意；
当
时，令
，解得
，所以函数
在区间
上单调递增，
令
，解得
，所以函数
在区间
上单调递减，
所以
，解得
，
又由
，所以函数
在
上有且仅有一个零点，
令
，则
，
令
，解得
，所以函数
在区间
上单调递增，
令
，解得
，所以函数
在区间
上单调递减，
所以
，
所以
，即
，
又由
，
所以函数
在
上有且仅有一个零点．
综上可得：
，即实数
的取值范围是
．
故选：A．
27．（2023·湖南长沙·高三长沙市雅礼实验中学校考开学考试）若直角坐标平面内
两点满足条件：
①点
都在
的图像上；
②点
关于原点对称，则对称点对
是函数的一个“兄弟点对”（点对
与
可看作一个
“兄弟点对” ．
已知函数
，则
的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】设
，则点
关于原点的对称点为
，
于是，
，只需判断方程根的个数，
即
与
图像的交点个数，
因为
，
；
，
；
，
；
作出两函数的图象，由图知，
与
的图象有5 个交点，所以
的
“兄弟点对”的个数为5 个．
故选：D．
28．（2023·全国·高三专题练习）若不同两点
、
均在函数
的图象上，且点
、
关于原点对
称，则称
是函数
的一个“匹配点对”（点对
与
视为同一个“匹配点对”）．已
知
恰有两个“匹配点对”，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的图象关于原点对称的图象所对应的函数为
，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数
与函数
有两个交点，
即方程
有两个不等式的正实数根，
即
有两个不等式的正实数根，
即转化为函数
图象与函数
图象有2 个交点．
，
当
时，
，
单调递增．
当
时，
，
单调递减．且
时，
，
时，
所以
所以
图象与函数
图象有2 个交点．
则
，解得
．
故选：B
29．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）若函数
图象上存在不同的两点
，
关于
轴对称，则称点对
是函数
的一对“黄金点对”（注：点对
与
可看作同一对“黄
金点对”）．已知函数
则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0 对
B．1 对
C．2 对
D．3 对
【答案】D
【解析】由题意，不妨设
，
且
，
①当
时，
，即
为
与
在
的交点的横坐标，如下图：
故此函数在
的“黄金点对”有2 对；
②当
时，
，
为
与
在
的交点的横坐标，如下图：
故此函数在
的“黄金点对”有1 对，
综上所述，此函数的“黄金点对”有3 对．
故选：D．
08 零点嵌套问题
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
有三个不同的零点
，
，
，且
，则
的值为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．9
【答案】D
【解析】由
得
，
即
，
记
，且设
，
一方面由
得
（*），
当
时方程（*）有两个不相等的实数根
，
，且
，
；
另一方面，由
知
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
当
时，
，当
时，
，
如图：
，
且
，
，
因此
.
故选：D
31．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R 上的函数
满足
有三个不同的零点
且
则
的值是（ ）
A．81
B．-81
C．9
D．-9
【答案】A
【解析】由
有三个不同的零点知：
有三个
不同的实根，即
有三个不同实根，
若
，则
，整理得
，若方程的两根为
，
∴
，而
，
∴当
时，
即在
上单调递减；当
时，
即在
上单调递增；即当
时有
极小值为
，又
，
有
，即
.
∵方程最多只有两个不同根，
∴
，即
，
，
∴
.
故选：A
32．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）已知函数
有三个不
同的零点
，且
，则
的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．36
【答案】D
【解析】因为
，所以
，因为
，
所以
有三个不同的零点
，令
，则
，所以当
时
，当
时
，即
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，当
时
，令
，则
必有两个根
、
，
不妨令
、
，且
，
，即
必有一解
，
有两解
、
，
且
，故
故选：D
33．（2023·陕西·统考模拟预测）已知函数
有三个不同的零点
，且
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．9
D．16
【答案】C
【解析】
，
，
有三个不同的零点
.
令
，
在
递增，在
上递减，
.
时，
.
令
，
必有两个根
，
，且
，
有一解
，
有两解
，且
，
故
.
故选：C
09 函数零点问题之三变量问题
34．（2023·全国·高二假期作业）若存在两个正实数
，
，使得等式
成立，
其中为自然对数的底数，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
，
即
，
即设
，则
，
则条件等价为
，
即
有解，
设
，
为增函数，
，
故当
时,
，
当
时,
，
即当
时,函数
取得极小值也是最小值为：
，
即
，
若
有解，
则
，
求解不等式可得实数
的取值范围是
.
本题选择D 选项.
35．（2023·全国·高三专题练习）若存在正实数x，y，使得等式
成立，其中
e 为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意存在正实数x，y，使得等式
成立，
，
当
时，
，不符合题意，所以
令
，
，
，
构造函数
，
，
，所以
在
上递增，
，
所以在区间
递减；在区间
递增.
所以
的最小值为
.
要使
有解，
则
①，
当
时，①成立，
当
时，
.
所以
的取值范围是
.
故选：D
36．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数
，使得等式
成立，其中为自然对数
的底数，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
存在两个正实数
，使得等式
，设
，则
，设
，则
，当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函
数
单调递减，
，故选C.
37．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数
，
使等式
成立，其中
是自然对数的底数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
设
且
，
设
，
那么
，
恒成立，
所以
是单调递减函数，
当
时，
，当
时，
，函数单调递增，
当
，
，函数单调递减，
所以
在
时，取得最大值，
，即
，
解得：
，
故选：D.
38．（2023·江西新余·统考二模）若存在两个正数
，使得不等式
成立，其
中
， 为自然对数的底数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为存在两个正数
，使得
，
所以，不等式两边同
得：存在两个正数
，
，
故设
，则
，
则原问题等价于，存在
，使得
，
因为
，所以，存在
，使得
成立，
设
，
，
恒成立，
所以
为增函数，
因为
，
故当
时,
，当
时,
，
即当
时,函数
取得极小值也是最小值为：
，
即
，
存在
，使得
成立，则
，解得
所以，实数
的取值范围是
.
故选：C
10 倍值函数
39．（2023·宁夏银川·高一校考期中）函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
同
时满足：（1）
在
内是单调函数；（2）
在
上的值域为
，则称区间
为
的“
倍值区间”.下列函数：①
；②
；③
；④
.其中存在“ 倍值区间”的有（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②③④
【答案】B
【解析】对于①，函数
为增函数，若函数
存在“ 倍值区间”
，则
，由图象可得方程
无解，故函数
不存在“ 倍值区间”；
对于②，函数
为减函数，若存在“ 倍值区间”
，则有
得：
，
，
例如：
，
.所以函数
存在“ 倍值区间”；
对于③，若函数
存在“ 倍值区间”
，则有
，解得
.所以函数函
数
存在“ 倍值区间”
；
对于④，当
时，
.当
时，
，从而可得函数
在区间
上单调递增.
若函数
存在“ 倍值区间”
，且
，则有
，无解.所以函数
不存在“ 倍值区间”.
故选：B.
40．（2023·安徽·高三统考期末）函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
满足：
①
在
内是单调函数；②
在
上的值域为
，则称区间
为
的“倍值区
间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①
； ②
；
③
； ④
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线
有交点，
与直线
有交点是（0，0），（2,4）；对于
，构造函数
；所以
没有零点，即
与直线
没有交点；
与直线
的交点是（0，0），（1,2）.解方程
即
，当
无解；
有两解.故
不满足题意.选C.
41．（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域为
，对给定的正数
，若存在闭区间
，使
得函数
满足：①
在
内是单调函数；②
在
上的值域为
，则称区间
为
的
级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数
（
）存在1 级“理想区间”
B．函数
（
）不存在2 级“理想区间”
C．函数
（
）存在3 级“理想区间”
D．函数
，
不存在4 级“理想区间”
【答案】D
【解析】A 中，当
时，
在
上是单调增函数，且
在
上的值域是
，
所以存在1 级“理想区间”，所以A 正确；
B 中，当
时，
在
上是单调增函数，且
在
上的值域是
，所以不存在2
级“理想区间”，所以B 正确；
C 中，由
，得
，当
时，
，所以
在
上为增函数，假设
存在
，使得
，则有
，即
，由
，得
或
，所以当
时，满足条件，即区间为
，所以C 正确；
D 中，若存在“4 级理想区间”
，则
是方程
的两个根，由
和
在
内有3 个交点，如图所示，所以该方程
存在两个不等的根，故存在
“4 级理想区间”
，所以D 错误，
故选：D
42．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在
，使
在
上
的值域为
，则称
为“倍缩函数”.若函数
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在
，使
在
上的值域为
则
，由此可知等价于
有两个不等实数根
令
则
，令
解得
代入方程得
解得
，因为有两个不等的实数根
所以t 的取值范围为
所以选B
11 函数不动点问题
43．（2023·全国·高三专题练习）设函数
，若曲线
上存在点
，
使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】
，
当
时，
取得最大值
，
当
时，
取得最小值
，
即函数
的取值范围为
，
，
若
上存在点
，
使得
成立，
则
，
.
又
在定义域上单调递增.
所以假设
，则
（c）
，不满足
.
同理假设
，也不满足
.
综上可得：
.
，
.
函数
，的定义域为
，
等价为
，在
，
上有解
即平方得
，
则
，
设
，则
，
由
得
，此时函数单调递增，
由
得
，此时函数单调递减，
即当
时，函数取得极小值，即（1）
，
当
时，（e）
，
则
.
则
.
故选：
.
44．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓
扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动
点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间
断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，即存在
使得
有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令
，可得
，该方程无解，
所以
不是“不动点”函数，A 错误.
对B，令
，
即
，
由
可得该方程无解，所以
不是“不动点”函数，B 错误.
对C，令
，
即
，显然
无解，所以
不是“不动点”函数，C 错误.
对D，令
，可得
，所以
为“不动点”函数，D 正确.
故选：D.
45．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集
上的函数
，如果
，使得
，则称
为函数
的不动点.给定函数
，
，已知函数
，
，
在
上均存在唯一不动点，分别记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知可得，
，则
，
且
，所以
.
又
，
.
令
，
，则
恒成立，
所以，
在
上单调递增，所以
，所以
.
所以，
，即
.
令
，
，
因为函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，且
，
根据复合函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减.
又
，
，所以
.
因为
在
上单调递减，
，所以
.
又
，所以
，即
.
令
，
，则
恒成立，
所以，
在
上单调递减.
又
，
，
所以
.
综上可得，
.
故选：C.
12 函数的旋转问题
46．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点
的坐标为
，将点
绕原点按逆时针方向旋转角
得到点
，再将点
绕原点按逆时针方向旋转角
得到
，
…，如此继续下去，得到前10 个点
，
，
，…，
．若
是公差为
的等差数列，且点
，
，
，…，
在同一函数图像上，则角
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知，
是公差为
的等差数列,则
，
设旋转到点
时该点相对于点
逆时针旋转的角为
，
因为点
，
，
，…，
都在以单位圆
上，
且
，
，
，…，
在函数图象上，则10 个点任意两点均不关于
轴对称，
若
，
，
，…，
对应的旋转的角为：
，
无任意两点关于
轴对称，所以A 正确;
若
，
，
，…，
对应的旋转的角为：
，
因为
,所以点
与
关于
轴对称,所以B 错误;
若
，
，
，…，
对应的旋转的角为：
，
因为
，所以
与
关于
轴对称,所以C 错误;
若
，
，
，…，
对应的旋转的角为：
，
因为
，所以
与
关于
轴对称,所以D 错误;
故选:A.
47．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考开学考试）2021 年第十届中国花卉博览会举办在即，其
中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，
也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：
如图②，平面上有两定点
，两动点
，且
绕点
逆时针旋转到
所形成的角记为
，设函数
，其中
令
，作
，随着
的变化，就得到了点
的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4 幅图中，点
的轨迹（考
虑蝴蝶的朝向）最有可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先考虑与
共线的蝴蝶身方向，
令
，则
，所以
，
令
，则
，所以
，
所以排除AC，
先考虑与
垂直的蝴蝶身方向，
令
，则
，所以
，所以排除D，
故选：B
48．（2023·全国·高三专题练习）将函数
的图象绕点
逆时针旋转
，得到曲线
，对于每一个旋转角
，曲线
都是一个函数的图象，则
最大时的正切值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
，则函数的图像是以
为圆心的圆的一部分，
先画出函数
的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为
,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点
逆时针方向旋转角大于
时，
曲线
都不是一个函数的图象，
即当圆心
在x 轴上时，
所以
最大值即为
，
，所以
最大时的正切值为
.
故选：B.
13 构造函数解不等式
49．（2023·江苏·高二专题练习）已知定义在R 上的偶函数
满足
，
，若
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．（4，+∞）
B．（-∞，4）
C．（-∞，3）
D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为定义在R 上的偶函数
满足
，故
，故
，即
，所以
，即
的周期为
3.又
，故
，即
.因为
，即
，故构造函数
，则
，且
.综上
有
在R 上单调递增，且
.又
即
，
，所
以
，解得
故选：A
50．（2023·江苏·高二专题练习）函数
定义域为R，导函数为
，
满足下列条件：①任意
，
恒成立，②
时，
恒成立，则关于t 的不等式：
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设函数
，
则
，又
时，
恒成立，
所以当
时，
，
所以函数
在
单调递增，
又
因为任意
，
恒成立，
所以
，
所以
，所以函数
的图象关于
对称，
因为
可化为
，
所以
，
所以
所以
，
所以
，
所以不等式：
的解集为
，
故选：A.
51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
因为当
时，
，
所以
在
上单调递减．
又
是定义在
上的奇函数，所以
，
所以
为偶函数，
所以
在
上单调递增．
又不等式
可化为
，即
，所以
且
，
得
或
．
故选：A.
52．（2023·全国·高二专题练习）已知定义域为
的函数
满足
（
为函数
的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，令
，则
，即函数
在R 上单调递增，
由
知，
，当
时，不等式
为
成立，
则
，
当
时，
，即
，
于是得
，因此有
，解得
，即得
，
当
时，
，同理有
，即有
，
解得
或
，因此得
，
综上得
，所以不等式
的解集为
.
故选：A
53．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R 上的可导函数
的导函数为
，满足
且
为偶函数，
为奇函数，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，
为奇函数，
所以
，
.
所以
，
，所以
.
令
，则
.
令上式中t 取t-4，则
，所以
.
令t 取t+4，则
，所以
.
所以
为周期为8 的周期函数.
因为
为奇函数，所以
，
令
，得：
，所以
，所以
，即为
，所以
.
记
，所以
.
因为
，所以
，所以
在R 上单调递减.
不等式
可化为
，即为
.
所以
.
故选：C
54．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳铁路实验中学校考期中）设
为函数
的导函数，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
既有极大值又有极小值
B．
在
既无极大值又无极小值
C．
在
上有极大值
D．
在
上有极小值
【答案】B
【解析】由
可得
，从而
，
令
，则
，∴
，
令
，则
，
令
，即
，因此当
时，
是增函数，
令
，即
，因此当
时，
是减函数，
由
，得
，
∴
在
上有极大值
，也是最大值，
∴
，即
，当且仅当
时，
，
∴
在
上为减函数，既无极大值也无极小值.
故选：B.
14 导数中的距离问题
55．（2023·重庆·重庆南开中学校考一模）若对任意的实数，函数
在
上是
增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
在R 上是增函数，
∴
在R 上恒成立，
∴
，
，
令y=t−lnt，
，则
，
(0,1)
∴
上，y′<0，(1,+∞)上，y′>0，
∴t=1 时，ymin=1，
∴
的最小值为
，
∴
.
故选：A.
56．（2023·四川绵阳·统考一模）若存在实数
，使得关于
的不等式
（其中
为自然对数的底数）成立，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式
，即为
，
表示点
距离的平方不超过
，即最大值为
．
由
在直线
上，
设与直线平行且与
相切的直线的切点为
，
可得切线的斜率为
，解得
，切点为
，
由切点到直线的距离为直线上的点与曲线
的距离的最小值，
可得
，解得
，则
的取值集合为
；
故选：C．
57．（2023·高二单元测试）设点
为圆
上的任意一点，点
，则线段
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
，则
，化简可得：
即点
在直线
上，
圆
的圆心
到直线
的距离为
，
则线段
长度的最小值为
故选：C
58．（2023·重庆·高二校联考阶段练习）若实数
,
,
,
满足
且
(其中
,
, 是自然对数底数),则
最小值为
A．
B．5
C．
D．10
【答案】B
【解析】由
得
,故
即
,
设
,
则
､
分别是
与
上的点
所以
则
的最小值即为
的最小值
设1 是与
平行的直线,与
相切于点
则由
得
,
,
所以
,由
到
的距离
所以
的最小值为
,
的最小值为5.
故选:B.
15 导数的同构思想
59．（2023·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数
有两个不同的零
点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
,
令
，
，该函数在R 上为单调增函数，且
，
故函数
有两个不同的零点，即
有两个不同的零点，
令
即直线
与
的图象有两个不同交点，
又
，当
时，
递增，当
时，
递减，
则
，当
时，
，
作出其图象如图：
由图象可知直线
与
的图象有两个不同交点，需有
，
故选：A.
60．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x 的不等式
在
上恒成
立，则正数m 的最大值为（ ）
A．
B．0
C．e
D．1
【答案】C
【解析】
变形为
，
即
，
其中
，
，故
，
令
，则有
，
因为
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
故
，两边取对数得：
，则
，
令
，则
，故当
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
处取得极大值，也是最大值，
，
所以
，解得：
，故正数m 的最大值为.
故选：C
61．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知函数
，
若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，由
，可得
，
所以，
，
令
，其中
，则
，所以，函数
在
上单调递增，
由
可得
，
所以，
，所以，
，其中
，
令
，其中
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，所以，
，解得
.
故选：A.
62．（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知函数
，在区间
内任取
两个实数
，
且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设
，
则
，
即
，
令
，
则
，
∴
在
单调递增，
对
恒成立，
而
恒成立，
令
，
，
则
在
单调递减，
∴
，
∴
，
的取值范围是
.
故选：A
16 不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
63．（2023·陕西安康·统考二模）已知
恒成立，则λ 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知
，
∴
，
∴
，即
．
构造函数
，
∴
．
∵
，
∴
单调递增．
∴
．
∴
，
．
记
，
∴
，
∵
，
所以
在区间
递减；
在区间
递增.
∴
．
∴
，
∴
．
故选：B
64．（2023·江西·高三校联考开学考试）已知函数
在区间
上恒小于0，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，因为函数
在区间
上恒小于0，
所以
，即
，
①当
或
时，
或
成立，此时
；
②当
时，因为
，所以
，
令
，则
，
令
，解得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
在
处取得最小值，
所以
，
所以
；
③当
时，因为
，所以
，
令
，则
，
令
，解得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
在
处取得最小值，
所以
，
所以
；
又因为
综上所述：
.
故选：A.
65．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数
，若对于任意的实数
恒有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于任意的实数
恒有
，即
，
即
，显然
，
当
时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑
的情况即可，
当
时，
，即
由
，则
，则题目转化为
，
令
，求导
，
故函数
在
上单调递减，
，即
，
，即
，所以
，解得
所以实数
的取值范围是
故选：A
66．（2023·全国·高三专题练习）若存在
使对于任意
不等式
恒
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
令
，则
，故
在
为增函数，
为减函数，且
，在
时的
图象如图所示.
令
，则
且
，
，所以存在
使得
当
时，
，当
时，
当
为增函数，当
为减函数，当
时的图象如图所示.
由题意得
，如图，
当
时，直线
恒位于
的图象上方，
的图象下方，
代表直线
在
轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过
且与曲线
相切时，
最小.
设切点为
，则
，
整理得
令
，则
而当
时，
，
所以
所以当
时，
所以当
时，
为增函数，所以
有唯一的零点1，
所以
，此时直线方程为
，故
.
故选：D
17 三次函数问题
67．（2023·河南·统考三模）已知
为三次函数，其图象如图所示.若
有9 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出
的图像如图所示，由
的图像可知，
的极大值为
，极小值为
，
有9 个零点，令
，结合
和
的图像可知，
有3 个解，
分别设为
，且
，
且每个对应都有3 个满足
，
欲使
有9 个零点，
由图可知：
，
且
，
，
，
由函数
的解析式知：
，
，
，
由
图像可知，
，
则
，
解得
，
得
，
故选：A.
68．（2023·全国·高三专题练习）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的
关系，如：设一元三次方程
的3 个实数根为
，
，
，则
，
，
.已知函数
，直线与
的图象相切于点
，
且交
的图象于另一点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
又直线过点
，
，
化简得
，
即
，
，
，
故选：D
69．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考模拟预测）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸
边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：
，
分别与该曲线相切于
，
，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得三次函数过两点
，
，所以可设
又
，所以
故选：C
70．（2023·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知
，
，
，若三次函数
有三个零点
，
，，且满足
，
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，
，即
，
得
，代入得
，
∵
，
，解得
，
设三次函数的零点式为
，
比较系数得
，
，
故
故选：D.
18 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题
71．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线
与
的两条公切线所成角的正切值为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
与
互为反函数，故图像关于
对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于
两点，且两条切线交点为
，
如图，
设
，则
，即
，解得
或-3（舍去），
故
，易求得曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
故曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
的斜率为2 的切线方程为
，故曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
所以
，则
，则
.故A，B，D 错误.
故选：C.
72．（2023·全国·高二专题练习）若过点
可以作曲线
的三条切线，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可得
，
设切点
，则
，整理得
，
由题意知关于
的方程
有三个不同的解，
设
，
，
由
，得
或
，又
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，当
时
，
单调递增，
当
时
，
当
时，
，且
，
，
函数
的大致图像如图所示，
因为
的图像与直线
有三个交点，
所以
，即
.
故选：D.
73．（2023·全国·高二专题练习）过直线
上一点
可以作曲线
的两条切线，则点
横
坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，设切点为
，
，
，
，
则过点
的切线方程为
，整理得
，
由点
在切线上，则
，即
，
因为过直线
上一点
可以作曲线
两条切线，
所以关于
的方程
有两个不等的实数根，
即函数
与函数
的图象有两个交点，
，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
时，
；
时，
，
则函数
与函数
的图象如下图所示：
由图可知，
，
故选：C.
74．（2023·全国·高三专题练习）若函数
与
的图象存在公共切线，则实数a 的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，设公切线与
的图象切于点
，与曲线
切于点
，
∴
，故
，所以
，∴
，∵
，故
，
设
，则
，
∴
在
上递增，在
上递减，∴
，
∴实数a 的最大值为e
故选：B.
75．（2023·全国·高三专题练习）若函数
的图象上存在两个不同的点
，
，使得曲线
在这两点处的切线重合，则称函数
为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，C，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线
在这两点处的切线重合，则首先要保证
两点处导数相同；对于B，
，若斜率相同，则切点
，
，代入解得切线方程分
别为
，
；若切线重合，则
，此时两切点
，
为同一点，不符合题意，
故B 错误；对于D，
，令
得
，则取
，切线均为
，即存在不同的两点
，
使得切线重合，故D 正确.
故选：D．
76．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
图象上存在两条互相垂直的切线，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，令
，
由
，
得
，所以
由题意可知，存在
，使得
，
只需要
，即
，所以
，
，
所以
的最大值为
.
故选: D.
19 任意存在性问题
77．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数
在
上的导函数为
，若
在
上
也存在导函数，则称函数
在
上存在二阶导函数，简记为
.若在区间
上
，则称函数
在区间
上为“凹函数”.已知
在区间
上为“凹函数”，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
则
，
，
因为
在区间
上为“凹函数”，所以
，
即
在
上恒成立，则
在
上恒成立，
当
，即
时，因为
，
，所以
，
故
显然成立，
当
，即
时，令
，则
在
上恒成立，
又因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，则
在
上恒成立，
令
，则
，
又
，当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
所以
，
综上：
，即
.
故选：D.
78．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数
，若存在
使得
关于
的不等式
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，由
可得
，即函数
的定义域为
，
可得
，
即
，
构造函数
，其中
，则
，故函数
在
上单调递增，
所以，
，可得
，则
，
即
，其中
，令
，其中
，
则
，当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，解得
.
故选：C.
79．（2023·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）已知函数
，若
存在实数（
且
），使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不妨设
，
当
时，
，
，
故不存在实数（
且
），使得
成立；
当
时，若存在实数（
且
），使得
成立，
则方程
，即
有大于1 的实数根.
令
，
则
.
①若
时，
，则
在
上单调递增，
则
，此时方程
无解.
②若
，则当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
因为
，则
.
令
,设
，则
，
故
在
上单调递减.又
，所以
，
即
时，不等式
恒成立.
设
，
，
而
，所以
，即
，
所以
，即
.
由于
，所以
，
故存在实数
,使得
有大于1 的实数根，
综上可知，实数
的取值范围是
.
故选:C.
20 双参数最值问题
80．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考模拟预测）已知不等式
（
，且
）
对任意实数
恒成立，则
的最大值为____________.
【答案】
.
【解析】令f（x）＝x
3
﹣lnx+1﹣mlnx﹣n，
则f′（x）＝1﹣
（x＞0），
若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0 时，f（x）→﹣∞，不合题意；
∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，
当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x＝m+3 时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3
3
﹣ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，
即n
3≤
﹣
m+1﹣（m+3）ln（m+3），
≤
，
令g（x）＝
，
则g′（x）＝
．
当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，
∴当x＝﹣1 时，g（x）有最大值为﹣ln2．
即
的最大值为﹣ln2 ．
故答案为：
.
81．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
恒成立，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】因为
，由于
，则
，即
，
令
，则
，即
，
令
，
，则当
时，
，
当
时，
，则函数
在
单调递减，
当
时，
，则函数
在
单调递增，
所以当
时，
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，所以
，
则
，所以
．
设
，则
，
易知当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
所以
，即
的最大值为
．
故答案为:
82．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于
，
，若
时，关于
的不等式
恒成立，则
的最小值为______.
【答案】
【解析】
时，关于
的不等式
恒成立，
，由
，则
；由
，则
，即
为
的零点，
∴
，
.
∴
，当且仅当
时，等号成立.
故答案为：
.
83．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知
，若
时，关于
的不
等式
恒成立，则
的最小值为________
【答案】
【解析】∵
则有：当
时，则
，当
时，则
∴当
时，则
，当
时，则
即
为
的零点
∴
，则
∴
，当且仅当
即
时等号成立
故答案为：
.
84．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知
，且
，若对
，不等式
恒成立，则
的最大值为___．
【答案】1
【解析】设
，对
，不等式
恒成立的等价条件为
，又
表示数轴上一点到
两点的距离之和的
倍，显然当
时，
，
则有
，所以
，得
，
从而
，
所以
的最大值为1.
故答案为：1.
21 切线斜率与割线斜率
85．（2023·山东临沂·高三校考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的函数，且
是奇函数，
是偶函数，
，记
，若对于任意的
，都有
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设有：
，即
，解得
，
∴
，
对于任意的
，都有
，即函数
在(1,2)上单调递减，
∴
或
，解得
．
故选：C
86．（2023·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）已知函数
､
是定义在
上的函
数，其中
是奇函数，
是偶函数，且
，若对于任意
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是奇函数，
是偶函数，
所以
，
又
，则
，
两式相加可得
，
若对于任意
，都有
，
可变形为
，
令
，则函数
在
上递增，
当
时，
在
上递增，符合题意，
当
时，则函数
为二次函数，对称轴为
，
因为函数
在
上递增，
所以
或
，解得
或
，
综上所述，
.
故选：C.
87．（2023·湖北黄冈·高一校考期中）已知函数
是定义在R 上的函数，其中
是奇函数，
是偶函数，且
，若对于任意
，都有
，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得：f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）；g（x）是偶函数，所以g（-x）=g（x）
将-x 代入
得：
联立
解得：
等价于
，
即：
，令
，则
在（1，2）单增
①当a>0 时，函数的对称轴为
，所以
在（1，2）单增
②当a<0 时，函数的对称轴为
，若
在（1，2）单增，则
，得
③当a=0 时，
单增，满足题意综上可得：
,
故选：D
88．（2023·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的函数，其中
是奇函
数，
是偶函数，且
，若对于任意
，都有
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得：
是奇函数，所以
；
是偶函数，所以
将
代入
得：
联立
解得：
，
等价于
，
即：
，令
，则
在
单增
①当
时，函数的对称轴为
，所以
在
单增
②当
时，函数的对称轴为
，若
在
单增，则
，得：
③当
时，
单增，满足题意
综上可得：
故选：C
22 最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
89．（2023·高一课时练习）已知函数
，当
时，设
的最大值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】函数
，当
,
时，
的最大值为
，
可得
，
，
，
可得
,
,
,
，
即
，即有
，则
的最小值为
，
故选：B
90．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，当
时，
的最大
值为
，若
的最小值为4，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当绝对值内两式同号时，
，
当绝对值内两式异号时，
，
令
，
，
所以
，
.
根据绝对值的性质，当
时，
（
时取得），当
时，
时取得最大值），所以
的最小值是4，即
，
（也可从几何意义考虑：当
的最小值为4 时，
最大值的最小值为4，几何意义是
图象上的点到直线
距离最大值的最小值为4，此时恰好有
）；
的最大值不超过4，即
图象上的点到直线
的距离不超过
4，故
，则
.
故选：D．
91．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数
，且
，满足
，当
时，设函数
的最大值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
当
时，
，
为减函数，
当
时，
，
为增函数，所以
，
作出
的图象如下，
令
，即
，得
，
且
，显然
，
在
上，当
时，
，
当
时，
，当
时取等号；
当
时，
，所以
，
此时点
到直线
的距离都是
，
当
时，三点中
中至少有一个点满足
，所以
，综上所述，
，
故选：D.
92．（2023·高二课时练习）设
（
），当
时，
的最大值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．１
C．
D．２
【答案】A
【解析】由题意
（
），当
时，
的最大值为
，
则
，
所以
，
所以
，
故选：A．
93．（2023·浙江杭州·校联考二模）设函数
在区间
上的最大值
的最小值
为4，则符合条件的
有（ ）
①x2+
②
③
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
【答案】D
【解析】对于①，
，
，
所以当
时，
，函数
递减，当
时，
，函数
递增，
所以当
时，
取得最小值
，当
时，
取得最大值
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
，此时
的最小值为4，符合题意，故①正确；
对于②，
为增函数，
所以
，
所以当
时，
，不符合题意，故②不正确；
对于③，
，
，
因为
，所以
，所以
在
上递增，
所以
，
所以
在
上递增，所以
，
所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
，所以
的最小值为
，符合题意，故③正确.
故选：D
23 两边夹问题和零点相同问题
94．（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知
满足
，其中是自然
对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
又
单调递增，所以
，故
.
故选：B
95．（2023·全国·高三专题练习）若不等式
对
恒成立，则
的值等于
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】当
或
时，
，
当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
设
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
的图象关于直线
对称，
，
，即
，又
，故
．
．
故选：B．
96．（2023·浙江·高一期末）若不等式
对
上恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题,令
,则
,
当
时,
；当
时,
,
由正弦型函数可知,当
时,
,
因为不等式
对
上恒成立,
所以当
时,
,
设
,则
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
的两个根应为
和
,
即
,解得
,
所以
,
故选:A
97．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）若不等式
对
恒成立,则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题：不等式
对
恒成立,
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
所以
和
时，
，
即
，解得：
，
检验当
时，
在
大于等于0，在
时，小于等于0，在
大于等于0，
所以
.
故选：A
24 函数的伸缩变换问题
98．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数
满足
，当
时，
，设
在
上的最大值为
则数列
的前n 项和
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
时，
，最大值为
，
时，
，易知
时，
递增，
时，
递减，因此最大值为
，
综上，
，
，即
，
又
，即
，
当
时，
，∴
，
∴
是等比数列，公比为
，
∴
．
故选：D．
99．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R 的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
的取值范围是
；
当
时，
的取值范围是
，
所以当
时，
的取值范围是
,
因为函数
满足
，所以
，
又当
时,
,
故
的取值范围是
，
所以
时，
，
故
，解得
，
所以实数的取值范围是
，
故选：D.
100．（2023·浙江·高一期末）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
.
因为
，所以
，即
.
在直角坐标系内，画出
时，
的图象（如图所示）.
由于
时，
的最小值为
，所以
时，当
时，
的最小值为
，
因此，为使
时，
恒成立，
需
，即
，解得
或
，故选C
25 V 型函数和平底函数
101．（上海市青浦区2023 届高三二模数学试题）等差数列
，满足
，则（ ）
A．
的最大值是50
B．
的最小值是50
C．
的最大值是51
D．
的最小值是51
【答案】A
【解析】
时，满足条件，所以
满足条件，即
最小值为2，舍去B,D.
要使得
取最大值，则项数n 为偶数，
设
，等差数列的公差为
，首项为
，不妨设
，
则
，且
，由
可得
，
所以
,
因为
，所以
，所以
，而
，
所以
，故
.
故选A
102．（北京市西城区北京师范大学附属中学2022-2023 学年高三上学期12 月月考数学试题）已知函数
设
，若关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不等式
，即
，
当
时，
，
，
，
时取等号，
，在
上单调递减，
，
所以
；
当
时，
，即
，
函数
在
上单调递减，故
；
函数
在
上单调递增，
， 所以
.
综上所述：
.
故选：A
103．（广州市第二中学2022-2023 学年高二上学期开学考试试数学试题）已知函数
．
设
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】满足题意时
的图象恒不在函数
下方，
当
时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；
当
时，函数图象如图所示，排除B 选项，
本题选择A 选项.
104．（浙江省金丽衢十二校2022-2023 学年高三第一次联考数学试题）设等差数列
，
，…，
（
，
)的公差为
，满足
，则下列说法正确的是
A．
B．
的值可能为奇数
C．存在
，满足
D．
的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则
（）
①当
时，
，不满足（），舍去．
②当
时，由（）得
为平底型，故
为偶数
．
的大致图像为：
则
所以
，故A 正确．
由
当
时
当
时
故不存在
，满足
，C 错
由于
所以
，故D 错
③当
时，令
由于
的图像与
的图像关于
轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知
为平底型，故
为偶数
，故B 错
令
所以
，故A 正确
由②知，不存在
，满足
，故C 错
由②知，
，故D 错
综上所述，A 正确,BCD 错误
故选A.
26 曼哈顿距离与折线距离
105．（2023·全国·模拟预测）曼哈顿距离是由19 世纪著名的德国数学家赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，
用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系中，点
，
的曼哈顿
距离为
．若点
，点
为圆
上一动点，则
，
两点的曼哈顿距离的最
大值为（ ）
A．12
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】设点
，则M，N 两点的曼哈顿距离
，
当且仅当
时取等号，
所以M，N 两点的曼哈顿距离的最大值为
．
故选：B．
106．（2023·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点
的横坐
标
的绝对值表示为
，纵坐标
的绝对值表示为
，我们把点
的横坐标与纵坐标的绝对值之和
叫做点
的折线距离，记为
（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线
与直线
只有一个交点
，已知点
在第一象限，且
，令
，则的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为拋物线
与直线
只有一个交点
，
所以
只有一个解，消去
得
，
所以
，
，因为
，所以
，
可化为
，即
，
所以
，
，因为点
在第一象限，所以
，
，
因为
，所以
，可得
，
所以
，
因为
，抛物线开口向下，对称轴为
，所以随
的增大而增大，
故
.
故选：C.
107．（2023·江苏南通·高二统考期中）在平面直角坐标系中，定义
两点之间的折线距离
为
，设点P 是圆
上一点，点Q 是直线
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中
较小的一个，
直线
的倾斜角为
，斜率为
，则
，
因此，定点到直线
上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的竖直距离，圆心
到直
线
的距离为
，因此圆
上的点到直线
的最小距离为
，
故圆
上的点到直线
的最小折线距离为
1.
故选：B.
