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专题 02 集合与其他知识交汇的新定义解答题
（新定义，高观点，压轴题）
1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 表示，在
三维空间中点的坐标可用三个有序数组 表示，一般地在 维空间中点A
的坐标可用n个有序数组 表示，并定义n维空间中两点 ，
间的“距离” ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)设集合 ．元素个数为2的集合M为 的子集，
且满足对于任意 ，都存在唯一的 使得 ，则称M为“ 的优集”．
证明：“ 的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数 ，令
，对任意的 ，
，定义 与 的距离 ．设 是
的含有至少两个元素的子集，集合 中的最小值称为 的特征，记作 ．
(1)当 时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当 时，设 且 ，求 中元素个数的最大值；
(3)当 时，设 且 ，求证： 中的元素个数小于 ．
3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，
B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元
数集合 且 ， ．对于给定
的集合B，定义映射f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则
；若 （ ），则 ．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；
(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集 ，其中
， ，定义向量集 ，若对任意 ，存
在 ，使得 ，则称X具有性质P．
(1)设 ，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若 ，且集合 具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且 ，q为常数且 ，求证： ．
5．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于 ，
，定义 与 之间的距离为 ．
(1)已知 ，写出所有的 ，使得 ；
(2)已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
(3)设集合 ， 中有 个元素，若 中任意两个元素间的距离的最小值为 ，
求证： ．6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合 、 为正整数集 的两个子集， 、
至少各有两个元素.对于给定的集合 ，若存在满足如下条件的集合 ：
①对于任意 ，若 ，都有 ；②对于任意 ，若 ，则 .则称
集合 为集合 的“ 集”.
(1)若集合 ，求 的“ 集” ；
(2)若三元集 存在“ 集” ，且 中恰含有4个元素，求证： ；
(3)若 存在“ 集”，且 ，求 的最大值.
7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集
.若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理
数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说
明理由）(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大
数与最小数.
8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射 ．定义：对任意 ，
若 ，则 ，此时的 为单射．
(1)试在 上给出一个非单射的映射；
(2)证明： 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合 与映射 ，若对任意
，有 ，则 ；
(3)证明： 是单射的充分必要条件是：存在映射 ，使对任意 ，有
．
9．（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数 ， ， ， ， 之和，得到方程 ①，称五元有序数组 为方程①的解，对于上述
的五元有序数组 ，当 时，若 ，则称
是 密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解 ，使得 等于同一常数?若存在，
请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是 密集的?
(3)记 ，问 是否存在最小值?若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何
学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对 ， ，其度量（距离）
并称 为一度量平面．设 ， ，
称平面区域 为以 为心， 为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明： 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且
仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
