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专题 02 集合与其他知识交汇的新定义解答题
（新定义，高观点，压轴题）
1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 表示，在
三维空间中点的坐标可用三个有序数组 表示，一般地在 维空间中点A
的坐标可用n个有序数组 表示，并定义n维空间中两点 ，
间的“距离” ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)设集合 ．元素个数为2的集合M为 的子集，
且满足对于任意 ，都存在唯一的 使得 ，则称M为“ 的优集”．
证明：“ 的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题，得到 ，结合裂项法求和，即可求解；
（2）根据新定义得到 ， ，构造 有2个元素，由
为整数，得到存在 为“ 的优集”，设 ，
，推得 ， ，显然矛盾，即可得证.【详解】（1）解：因为 ， ， ，则 ，
所以 .
（2）证明：定义：对任意 ，规定 ，
对任意 ， ，
由于 ， ， ，容易得 ，
所以 ，得结论： ， ，
构造 有2个元素，由 为整数，
当 时，则满足M为“ 的优集”的定义，
当 时，则 ，满足M为“ 的优集”的定义，
所以存在 为“ 的优集”，
若M中的两个点 ， 有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设 ， ，
则取 ，则有 ， ，显然矛盾，
所以M中的两个点每一个位置均不同，即 ，显然 ，
即“ 的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是 .
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具
体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数 ，令
，对任意的 ，
，定义 与 的距离 ．设 是
的含有至少两个元素的子集，集合 中的最小值称为 的特征，
记作 ．
(1)当 时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当 时，设 且 ，求 中元素个数的最大值；
(3)当 时，设 且 ，求证： 中的元素个数小于 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)证明详见解析
【分析】（1）根据 与 的距离 的定义，直接求出 的最小值即可；
（2）一方面先证明A中元素个数至多有 个元素，另一方面证明存在集合 中元素个数
为 个满足题意，进而得出A中元素个数的最大值；
（3）设 ，定义 的邻域 ，先证明对任意的
， 中恰有2021个元素，再利用反证法证明 ，于是得
到 中共有 个元素，但 中共有 个元素，所以，进而证明结论．
【详解】（1）依题意可得 ， ， ．
（2）（a）一方面：对任意的 ，
令 ，
则 ，故 ，
令集合 ，则 ，
则 且 和 的元素个数相同，
但 中共有 个元素，其中至多一半属于 ，
故 中至多有 个元素．
(b)另一方面：设 是偶数 ，
则对任意的 ， ， ，
都有 中的元素个数为 ，
易得 与 奇偶性相同，
故 为偶数，
又 ，则 ，所以 ，
注意到 ， 且它们的距离为2，
故此时 满足题意，
综上， 中元素个数的最大值为 ．
（3）当 时，设 且 ，
设 ，
则对任意的 ，定义 的邻域 ，（a）一方面：对任意的 ， 中恰有2021个元素，
事实上，
①若 ，则 ，恰有一种可能；，
②若 ，则 与 ，恰有一个分量不同，共2020种可能；
综上， 中恰有2021个元素，
（b）对任意的 ， ，
事实上，若 ，
不妨设 ， ，
则 ，这与 矛
盾，
由（a）和（b）可得 中共有 个元素，
但 中共有 个元素，所以 ，即 ，
注意到 是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，
所以，集合 中的元素个数 小于 ．
【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之
间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综
合性较强，属于难题．
3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，
B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元
数集合 且 ， ．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则
；若 （ ），则 ．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；
(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1， ，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有 的和，同理求出在映射f下得到的所有 （
）的和，即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；不含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
不含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
所以所有y中 的总个数和 的总个数均为20．
综上，所有 的总和为 ．
（3）对于给定的 ，考虑 在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有 的子集B共 个，
所以在映射f下 变为 ；
不含 的子集B共 个，在映射f下 变为 ；
所以在映射f下得到的所有 的和为 ．
同理，在映射f下得到的所有 （ ）的和 ．
所以所有 的总和为 ．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过
推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，
创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集 ，其中
， ，定义向量集 ，若对任意 ，存
在 ，使得 ，则称X具有性质P．(1)设 ，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若 ，且集合 具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且 ，q为常数且 ，求证： ．
【答案】(1) ， 具有性质
；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合 的元素，直接写出 ，再判断是否满足性质
即可；
（2）根据性质 的定义，任取 ， ，讨论 的取值，结
合 的范围，即可求得 的取值；
（3）根据性质 的定义推出 为定值，结合 ，即可推证.
【详解】（1）根据向量集 的定义可得：
，
若 ，则存在 ，使得 ，
同理亦可证明对任意 ，也满足性质 ，
故 具有性质P．
（2）对任意a， ，都存在c， ，使得 ，
即对于 ，都存在 ，使得 ，其中a，b，c， ，因为集合 具有性质P，
选取 ， ，则有 ，
假设 ，则有 ，解得 ，这与 矛盾，
假设 ，则有 ，解得 ，这与 矛盾，
假设 ，则有 ，解得 ，这与 矛盾，
假设 ，则有 ，解得 ，满足 ，故 ；
经检验，集合 具有性质P．
（3）证明：取 ，设 且满足 ，
由 得 ，从而s，t异号，
∵－1是x中唯一的负数，
∴s，t中一个为－1，另一个为1，故 ．
因为 ，所以 ，
X具有性质P，取 ， ，
设 ，因为 ，且c，d中的正数大于等于1，
所以只能 ，
所以 ， ．
又X中只有 个大于1的正数，
即 ，且 ，这 个大于1的正整数都属于集合X，
所以只能 ， ，… ，
即 ，
即 ．
【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质 的定义，推出 ，以及
为定值，进而根据X中只有 个大于1的正数解决问题.
5．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于 ，
，定义 与 之间的距离为 ．
(1)已知 ，写出所有的 ，使得 ；
(2)已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
(3)设集合 ， 中有 个元素，若 中任意两个元素间的距离的最小值为 ，
求证： ．
【答案】(1) 、 、 、 ；
(2) ；
(3)见解析
【分析】（1）根据题中定义可得 的所有情形；
（2）分 、 两种情况，利用绝对值三角不等式可求得 的最大值；
（3）表示出 ，结合定义，可得
，即 中任意两元素不相等，可得 中至多有 个元
素，即可得证．
【详解】（1）已知 ， ，且 ，
所以， 的所有情形有： 、 、 、 ；
（2）设 ， ，
因为 ，则 ，
同理可得 ，
当 时， ；
当 时， .
当 ， 时，上式等号成立.
综上所述， ；
（3）记 ，
我们证明 ．一方面显然有 ．另一方面， 且 ，
假设他们满足 ．则由定义有 ，
与 中不同元素间距离至少为 相矛盾．从而 ．
这表明 中任意两元素不相等．从而 ．
又 中元素有 个分量，至多有 个元素．
从而 ．
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应
用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键
之外用好集合的运算与性质.
6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合 、 为正整数集 的两个子集， 、
至少各有两个元素.对于给定的集合 ，若存在满足如下条件的集合 ：
①对于任意 ，若 ，都有 ；②对于任意 ，若 ，则 .则称
集合 为集合 的“ 集”.
(1)若集合 ，求 的“ 集” ；
(2)若三元集 存在“ 集” ，且 中恰含有4个元素，求证： ；
(3)若 存在“ 集”，且 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)4.
【分析】
（1）根据定义直接求解；
（2）利用反证法推矛盾即可证明；
（3）设 ，结合（2）的结论推出 不成立，结合定义和 得
即可求解.
【详解】（1）若 ，由题意可得， ， ， ，即 ，此时 ，
满足题意，
假设集合 中还有第四个元素为 ，则由题意可知：若 ，即 ，则 ，∴不成
立；
若 ，则 ，∴ 或9或27，矛盾.故集合 中无四个元素，所以集合 .
（2）
设集合 ，不妨设 ，
假设 ，即 ，则 且 ，
由②知 ，注意到 ，故有 ，即 ，所以 ，
故 ，即 ，因为集合 中有4个元素，故设 ，
由②可得：若 ，则 ，∴ ，矛盾；
若 ， ，则 或 或 ，所以 或 或 ，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故 .
（3）
， ，不妨设 ，
所以 ， ，又 ，故 ，同理可得 ，
若 ，与（2）类似得 ，从而必有 ，
对任意的 ，有 ，即 ，所以 ，即
.若 ，即 ， ，故 ， ， ， ，
所以 ，即 ，从而必有 ，
对任意的 ，必有 ，即 ，所以 ，即
.
综上，得 ，又 时，有 ， 符合题意，
所以 的最大值为4
【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是充分利用定义并分类讨论 和
求解第三问,并充分利用反证法推理.
7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集
.若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理
数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说
明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大
数与最小数.
【答案】(1)集合 是理想数集，集合 不是理想数集
(2)证明见解析
(3)1024144
【分析】（1）由理想数集的定义即可判断；（2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为 ，从而分三种情况，
， ， 讨论即可得证；
（3）首先通过分类讨论证明，对 元理想数集 ，有 .从而有
，即 ，
通过放缩与等差数列求和即可得解.
【详解】（1）设 的随影数集分别为 ，
则 ，
所以集合 是理想数集，集合 不是理想数集.
（2）不妨设集合 且 ，即 .
为理想数集， ，则 ，且 ，使得 .
当 时，
.
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.当且仅当 时，等号成立.
综上所述： .
（3）设 .
为理想数集.
，且 ，使得 .
对于 ，同样有 .
下先证对 元理想数集 ，有 .
不妨设集合 中的元素满足 .即 .
为理想数集，
，且 ，使得 .
当 时，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时， .
当且仅当 时，等号成立..
.当且仅当 时，等号成立.
.
理数 .
当且仅当 或 时，等号成立.
理数 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对 元理想数集 ，有
，由此即可顺利得解.
8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射 ．定义：对任意 ，
若 ，则 ，此时的 为单射．
(1)试在 上给出一个非单射的映射；
(2)证明： 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合 与映射 ，若对任意
，有 ，则 ；
(3)证明： 是单射的充分必要条件是：存在映射 ，使对任意 ，有
．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【详解】（1）由题意不妨设 ，当 （ 非0）互为相反数时，
满足题意；
（2）一方面若 是单射，且 ，则 ，即 （否则若
，有 ，矛盾），
另一方面，若对任意 ，由 可以得到 ，
我们用反证法证明 是单射，
假设 不是单射，即存在 ，有 ，
又由 可以得到 ，即 ，这就产生了矛盾，
所以 是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若 是单射，则由 可得 ，
同理存在单射 ，使得 ， ，有 ，
另一方面，若存在映射 ，使对任意 ，有 ，
我们用反证法来证明 是单射，
若 不是单射，即存在 ，有 ，
又若 ，则由题意 ，这与 产生矛盾，
所以此时 是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利
得证.
9．（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数 ， ， ， ， 之和，得到方程 ①，称五元有序数组 为方程①的解，对于上述
的五元有序数组 ，当 时，若 ，则称
是 密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解 ，使得 等于同一常数?若存在，
请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是 密集的?
(3)记 ，问 是否存在最小值?若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)存在，最小值为 .
【分析】（1）若 等于同一常数，则 构成等差数列，根据等差数列下
标和性质得到 ，推出矛盾即可得解；
（2）依题意 时，即当 时， ，则 ，
，即可求出 ， ， ， ， 中有 个 ， 个 ，从而得解；
（3）由方差公式得到 （ 为方差），从而得到当方差 取最小值时 取最
小值，从而推出 是 密集，即可求出 的最小值.
【详解】（1）若 等于同一常数，
根据等差数列的定义可得 构成等差数列，所以 ，
解得 ，与 矛盾，所以不存在一组解 ，使得 等于同一常数；
（2）因为 ，
依题意 时，即当 时， ，
所以 ， ，
设有 个 ，则有 个 ，由 ，解得 ，
所以 ， ， ， ， 中有 个 ， 个 ，
所以方程①的解共有 组.
（3）因为平均数 ，
又方差 ，即 ，
所以 ，因为 为常数，所以当方差 取最小值时 取最小值，
又当 时 ，即 ，方程无正整数解，故舍去；
当 时，即 是 密集时， 取得最小值，
且 .
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.
10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何
学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对 ， ，其度量（距离）
并称 为一度量平面．设 ， ，
称平面区域 为以 为心， 为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；(2)证明： 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明： 的一个子集是
开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由交集的定义可解；
（2）结合题意，利用并集的定义证明；
（3）利用题目定义分别证明充分性和必要性.
【详解】（1）设这两个球形邻域分别为 ， ，
为 和 的交集．
①若 与 不相交，则 ；
②若 与 相交，则
且
故 或 且 ．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族 的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为 ， ， 为 和 的交集．
①若 与 不相交，则 ，即 可以看作零个球形邻域的并集；
②若 与 相交，则取 ，
令 ，构造球形邻域 ．因为对于 ，有
故 ，这说明 ．
由于 是 中任取的一点，这说明 ，
继而
即 可被表示为若干个球形邻域 的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当 的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设 ，由（2）可知 可看作若干个球形邻域的并集，
即
则 ， 使得 ，故 是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若 的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设 是一个开集，由情况①得 ， 使得 ，所以
即
故 可被表示为若干个球形邻域 的并集．必要性证毕．
【点睛】思路点睛：利用集合的运算和题干中的定义完成问题.
