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教考衔接二十三 教材命题点探源
高三数学 突破卷01
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.已知集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
3.已知向量，
满足
，
，若在
上的投影向量为
，则
( )
A.
B.
C.
D.
4.直线l 过圆
的圆心，且与圆相交于A，B 两点，P 为双曲线
右支上的一
个动点，则
的最小值为( )
A.
B.1
C.2
D.0
5.已知数据
，
，
的平均数为a，标准差为b，中位数为c，极差为d 由这组数据得到新数据
，
，
其中
，则下列命题中错误的是( )
A.新数据的平均数是
B.新数据的标准差是
C.新数据的中位数是
D.新数据的极差是
6.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2021 年至
2025 年云计算市场规模数据,且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型
（其中e 为自然对数
1
的底数）拟合,设
,得到数据统计表如下：
年份
2021 年
2022 年
2023 年
2024 年
2025 年
年份代码x
1
2
3
4
5
2
2.4
3
3.6
4
由上表可得经验回归方程
,则2029 年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为( )
（参考公式：
）
A.
B.
C.
D.
7.已知
，
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示，将绘有函数
部分图象的纸片沿
轴折成钝二面
角，此二面角的平面角为
，此时
，
之间的距离
为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．在
中，内角
、
、
的对边分别是
、
、
，若
，
，且
，点
、
分别是边
、
上的动点（不含端点），则下列说法正
确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的取值范围是
2
10. 已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴交于点
，直线
与抛物线
交于
两点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若
，则
C. 当
时，则
D. 当
时，则
的最小值为
11.正八面体是由8 个等边三角形构成，在计算机科学中用于三维模
型和场景的构建，以及人工智能领域中用于图象识别和处理，在晶体
和材料科学中也被广泛应用。现有一个棱长为2 的正八面体
PABCDQ，如图所示，下列说法中正确的是( )
A.若点P，A，B，C，D，Q 在同一个球的球面上，则该球的体积为
B.若该正八面体的12 条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为
C.该正八面体内任意一点到8 个侧面的距离之和为定值
D.已知正方体
的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若
该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.记等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
_________.
13.我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房
租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位6 名员工（分别记为A，B，C，D，E，F）的专项附加扣
除的享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6 人中随机抽取2 人接受采访，则
抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同的概率为______________.
项目
员工
A
B
C
D
E
F
3
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
○
×
住房贷款
利息
○
○
×
×
×
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
14.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.
例如，点P 为双曲线上一点，
，
为双曲线的焦点，点P 处的切线平分
.已知双曲
线
，
，O 为坐标原点，双曲线C 上的点
处的切线为直线
l，过左焦点
作直线l 的垂线，垂足为M，若
，则双曲线C 的离心率为_________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）如图，在梯形ABCD 中，
，
，
.
（1）求CD；
（2）平面内点P 在直线CD 的上方，且满足
，求
的最大值.
16.（15 分）2026 年2 月6 日至2 月22 日，米兰--科尔蒂纳冬季奥运会在意大利米兰、科尔蒂纳丹佩佐等
赛区火热进行，单板滑雪、自由式滑雪等雪上项目备受关注。某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的
活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10
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所学校进行研究，得到如下数据：
（1）在这10 所学校中随机选取3 所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40
人的条件下，“单板滑雪”不超过30 人的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45 的学校可以作为“基地学校”，现在从这10 所学校中随机选出3 所，
记X 为可选出作为“基地学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3 个动作技巧进行集训，且在集训中
进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3 个动作中至少有2 个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优
秀”，在集训测试中，小明同学3 个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为
，每个动作互不影响且
每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3 次，那么理论上
至少要进行多少轮测试？
17.（15 分）已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，且
，
在双曲线C 上.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）已知不与x 轴垂直且过点
的直线l 与双曲线C 交于P，Q 两点，若
，
，且
，求证：
.
5
18.（17 分）如图，平面四边形PBCD 中，点A 是线段PD 上一点，
，
，沿着AB 将
折叠得到四棱锥
.
（1）求证：平面
平面ABCD.
（2）若
，且
，
，折叠后
.
①求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值的最大值.
②若三棱锥
的四个顶点均在以G 为球心的球上，试问三棱锥
的外接球的体积是否存
在最小值？若存在，求出线段AB 的长；若不存在，请说明理由.
19.（17 分）已知
为定义域M 内的连续函数，
为其导函数，常数
，若各项不相等的数
列
满足
，
，
，则称
为
的“拉格朗日数列”，简
记为“
—数列”.
（1）假设函数
，数列
是
的“
—数列”，且
.
6
（i）求
，
；
（ii）证明：
是递减数列.
（2）正项数列
是函数
的“
—数列”，已知
，记
的前n 项
和为
.证明：当
时，
.
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