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微专题08 导数压轴小题
【秒杀总结】
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数
恒成立(
即可)或
恒成立（
即可）；
② 数形结合(
图象在
上方即可)；
③ 讨论最值
或
恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合
适的抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现
形式，可考虑构造
；（2）若出现
，可考虑构造
；（3）若出现
，可考虑构造
；（4）若
出现
，可考虑构造
.
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新
函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结
合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参
数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参
数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，
便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很
难研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）设
，
，
，则（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
例2．（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）设
且
，若函数
有三个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）当
时，
恒成立，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考开学考试）若函数
存在零点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）定义在
上的可导函数
满足
，当
时，
，若实数a 满足
，则a 的取值范围为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
例7．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知定义在
上的函数
，若存
在
，使得对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．（2024·浙江湖州·高三统考期末）已知函数
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例9．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）已知函数
有
两个不同的零点
，符号
表示不超过
的最大整数，如
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的取值范围为
B．
C．
D．若
，则
的取值范围为
例10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知函数
和
有相同的最小值.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率为
，若
均不相等，且
，则
的最小值为 ．
3
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例12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为
.
例13．（2024·四川德阳·统考模拟预测）已知函数
在
处取得极大值，则
的取值
范围是 .
例14．（2024·山东临沂·高三统考期末）已知函数
，若关于x 的不等式
（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）若对任意实数
，恒有
成立，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）下列不等关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·统考模拟预测）若函数
对任意的
都有
成立，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法比较大
4．（2024·全国·高三专题练习）若函数
恰好有两个零点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国·校联考模拟预测）设
为
的图象在
轴两侧的点，则
在
处的
切线与
轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）
4
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A．5
B．6
C．7
D．8
6．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知实数
分别满足
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）已知
为函数
图象上一动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
8．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2024·广东·高三统考阶段练习）若过点
可作曲线
的n 条切线
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，且
，则
C．若
，则
D．过
，仅可作
的一条切线
10．（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）假设直线
与曲线
相切，若切点唯一，则称直线
与曲线
单切；若切点有两个，则称直线
与曲线
双切；若
还与曲线
相交，则称直线
与曲线
交切.已知函数
，则（ ）
A．直线
与曲线
双切
B．直线
与曲线
单切
C．直线
与曲线
交切
D．存在唯一的直线，与曲线
单切且交切
11．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
12．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）记函数
的最小正周期为
，若
，且
在
上的最大值与
最小值的差为3，则（ ）
A．
B．
C．
在区间
上单调递减
D．直线
是曲线
的切线
13．（2024·山东德州·高三统考开学考试）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不
动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数
，
存在一个实数
，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，
为函数的不动点.现新定义：
若
满足
，则称
为
的次不动点.设函数
，若
在区间
上存在次不动点，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知函数
，曲线
.过不在
上的点
恰能作两条
的切线，切点分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
有且只有一个极值点
B．
在
上单调递增
C．不存在实数
，使得
D．
有最小值
16．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知函数
，则下列说法正
确的是（ ）
A．函数
的图象关于
轴对称，且在
上不单调
6
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B．导函数
的图象关于原点对称，且在
上单调递增
C．函数
在
上单调递增
D．对于任意
都有
，且
17．（2024·江苏常州·高三统考期末）关于函数
，下列说法正确的有（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
在
上单调递增，在
上单调递减
C．若方程
恰有一个实数根，则
D．若
，都有
，则
三、填空题
18．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数
在
上有两个极值点，则实
数
的取值范围是 ．
19．（2024·全国·高三专题练习）若实数a，b，c 满足条件：
，则
的最
大值是 ．
20．（2024·广东·高三统考阶段练习）若圆C 与抛物线
在公共点B 处有相同的切线，且C 与y 轴
切于
的焦点A，则
．
21．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为 ．
22．（2024·湖北·校联考模拟预测）若函数
在不同两点
，
处的切
线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
23．（2024·河南焦作·高三统考期末）若函数
在
上没有零点，则实数
的取
值范围为 ．
24．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）已知a，b，c 为某三角形的三边长，其中
，
且a，b 为函数
的两个零点，若
恒成立，则M 的最小值为 ．
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25．（2024·浙江·高三镇海中学校联考开学考试）已知函数
若函数
有唯一零点，则实数
的取值范围是 .
26．（2024·山西晋城·统考一模）若函数
在
上至少有两个极大值点和两个
零点，则
的取值范围为 ．
27．（2024·山西吕梁·统考一模）已知
分别是函数
和
图象上的动
点，若对任意的
，都有
恒成立，则实数
的最大值为 ．
8
