微专题10 爪形结构与分角定理、张角
定理
一、基础知识
1.三点共线的向量表示
(1)若A,P,B 三点共线,则存在唯一实数t 使⃗AP=tAB.
(2)⃗OA,⃗OB为平面的一组基向量,点P 在直线AB 上的充要条
件是存在唯一一组实数对(λ,μ),使⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB且λ+μ=1.
2.(1)定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设⃗O P1=a,⃗
O P2=b,若⃗P1 P=λ⃗P P2(λ≠-1),则⃗OP= 1
1+ λ
a+ λ
1+ λ
b(特
别地,当λ=1 时,即P 为线段P1P2的中点,则有⃗OP=1
2
a+1
2
b).
(2)三角形的等分线:在△ABC 中,D 是边BC 上的点,且BD
DC
=
m
n
(m,n>0),
则⃗AD=
n
m+n⃗AB+ m
m+n⃗AC(也叫“爪形结构”).
3.张角定理与分角定理
(1)张角定理sin(α + β)
AD
=sin α
AC
+sin β
AB
[证明如下:
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴1
2
AB×AC×sin(α+β)=1
2
AB×AD×sin α+1
2
AC×AD×sin β,
两边同除以1
2
AB·AC·AD 得sin(α + β)
AD
=sin α
AC
+sin β
AB
.]
(2)分角定理
在△ABC 中,D 是边BC 上(异于B,C)或其延长线上的一点,则
有sin α∶sin β=BD
AB
∶CD
AC
.
[证明如下:
S△ABD
S△ACD
=BD
CD
,①
S△ABD
S△ACD
=
1
2 AB·AD sin α
1
2 AC·AD sin β
=sin α
sin β
· AB
AC
,②
得BD
CD
=sin α
sin β
· AB
AC
,
故sin α∶sin β=BD
AB
∶CD
AC
.]
4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理
(1)梅涅劳斯定理
已知直线DF 交△ABC 三边所在直线于D,E,F 三点,则有:
|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
[证明如下:
设|⃗AF |
|⃗FB|
=q,|⃗BD|
|⃗DC |
=m,|⃗CE|
|⃗EA |
=n,|⃗DE|
|⃗EF |
=t,
则有⃗AE= 1
n+1⃗AC,⃗BF= 1
q+1⃗BA,⃗
BD= m
m−1⃗BC,①
因为D,E,F 三点共线,
所以(t+1)⃗BE=t⃗BF+⃗BD.
又因为⃗BE=⃗BA+⃗AE,
从而(t+1)⃗BA+(t+1)⃗AE=t⃗BF+⃗BD,②
1
当①代入②,可得(t+1)⃗BA+ t +1
n+1⃗AC=
t
q+1⃗BA+
m
m−1⃗BC,
即(t +1−
t
q+1)⃗BA+ t +1
n+1⃗AC+ m
m−1⃗CB=0.
注意到⃗BA+⃗AC+⃗CB=0,且⃗BA,⃗AC,⃗CB两两方向不同,故
有t+1-
t
q+1
= t +1
n+1
= m
m−1
.
由t +1
n+1
= m
m−1
可知t=m(n+1)
m−1
-1,
将其代入t+1-
t
q+1
= m
m−1
,整理可得qmn=1,即|⃗AF |
|⃗FB|
·
|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
(2)塞瓦定理
已知点O 为△ABC 内任意一点,AO,BO,CO 的延长线分别交边
BC,CA,AB 于D,E,F,则有:
|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
[证明如下:
设|⃗AF |
|⃗FB|
=p,|⃗BD|
|⃗DC |
=q,|⃗CE|
|⃗EA |
=r,|⃗FO|
|⃗OC |
=n,
则有⃗CA=r +1
r⃗
CE,⃗CB=(q+1)⃗CD,⃗
CF=(n+1)⃗CO,①
因为F,B,A 三点共线,
所以⃗CF=
p
p+1⃗CB+ 1
p+1⃗CA,②
将①代入②,
即有(n+1)⃗CO=
p
p+1⃗CB+
r +1
r( p+1)⃗CE,
(n+1)⃗CO=(q+1) p
p+1⃗
CD+ 1
p+1⃗CA.
注意到B,O,E 三点共线,A,O,D 三点共线,
所以有n+1=
p
p+1
+
r +1
r( p+1)
,(n+1)=(q+1) p
p+1
+ 1
p+1
,
整理可得pqr=1,即|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
注:本定理用面积证法更简单.]
二．典型例题
1.三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示
例1 (1)(2025·郑州质检)如图,在△ABC 中,⃗BD=1
2⃗DC,⃗AE
=3⃗ED,若⃗AB=a,⃗AC=b,则⃗BE=( )
A.1
3
a+1
3
b
B.-1
2
a+1
4
b
C.1
2
a+1
4
b
D.-1
3
a+1
3
b
(2)在△ABC 中,点M,N 满足⃗AM=2⃗MC,⃗BN=⃗NC.若⃗MN
=x⃗AB+y⃗AC,则x= ,y= .
答案 (1)B (2)1
2
-1
6
解析 (1)⃗BD=1
3⃗BC=1
3
(⃗AC-⃗AB)=1
3
(b-a).⃗
BE= 1
3+1⃗BA+ 3
3+1⃗BD=-1
4
a+3
4
×1
3
(b-a)=-1
2
a+1
4
b.
(2)⃗AN= 1
1+1⃗AB+ 1
1+1⃗AC=1
2⃗AB+1
2⃗AC,⃗AM=2
3⃗AC
.
∴⃗MN =⃗AN-⃗AM=1
2⃗AB-1
6⃗AC,
又⃗MN =x⃗AB+y⃗AC,
∴x=1
2
,y=-1
6
.
训练1 (1)(2025·烟台调研)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,
过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若⃗AB
=m⃗AM,⃗AC=n⃗AN,则m+n 的值为 .
2
(2)(2025·福州质检)已知点A(-1,-1),B(2,5),点C 为直线AB 上
一点,且⃗AC=-5⃗BC,则点C 的坐标为 .
答案 (1)2 (2)(
3
2 ,4)
解析 (1)因为2⃗AO=⃗AB+⃗AC=m⃗AM+n⃗AN,
由于M,O,N 三点共线,所以m+n=2.
(2)∵⃗AC=-5⃗BC,∴λ=⃗AC⃗
CB
=5,
利用定比分点的坐标公式有⃗
OC=1
6⃗OA+5
6⃗OB=1
6
(-1,-1)+5
6
(2,5)=(
3
2 ,4).
∴C 点的坐标为(
3
2 ,4).
2.张角定理、分角定理的应用
例2 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足sin
2A+sin 2B=(sin C −2√3
3
sin A sin B)sin C.
(1)求C;
(2)若c=2√13,a=3b,点D 在边AB 上,且∠ACD=∠BCD,求CD
的长.
解 (1)由正弦定理,条件等式可化为
a2+b2=c2-2√3
3
absin C,
又a2+b2=c2+2abcos C,
∴-2√3
3
absin C=2abcos C,
∴tan C=-√3,∴C=2π
3
.
(2)∵c=2√13,a=3b,
由余弦定理,得(2√13)2=a2+b2-2abcos 2π
3
=9b2+b2-6b2
cos 2π
3
=13b2,∴b=2.
由张角定理,得sin 2π
3
CD
=sin π
3
CB
+sin π
3
AC
,
∴1
CD
=1
a
+1
b
= 4
3b
,∴CD=3b
4
=3
2
.
训练2 在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,如果
∠BAD=α,AD 是∠BAC 的角平分线,证明:
(1)cos α=1
2(
AD
b + AD
c );
(2)S△ABC=1
2
AD×(b+c)×sin α≥AD2tan α.
证明 (1)∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴1
2
AB×AC×sin 2α=1
2
AB×AD×sin α+1
2
AC×AD×sin α,
即cb×2sin α×cos α=c×AD×sin α+b×AD×sin α.
两边同除以bc·sin α 得2cos α= AD
b
+ AD
c
,
∴cos α=1
2(
AD
b + AD
c ).
(2)∵由角平分线张角定理得
cos α=1
2(
AD
b + AD
c ),
∴2cos α
AD
=1
b
+1
c
.
∵(b+c)(
1
b + 1
c)=c
b
+b
c
+2≥2√
c
b × b
c
+2=4(当且仅当b=c 时
取“=”),
∴(b+c)×2cos α
AD
≥4,
即b+c≥4×
AD
2cos α
= 2 AD
cos α
,
∴S△ABC=1
2
AD×(b+c)×sin α≥1
2
AD× 2 AD
cos α
×sin α=AD2tan
α.
3.梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
3
例3 在△OAB 的边OA,OB 上分别取点M,N,使|⃗OM|∶|⃗OA|
=1∶3,|⃗ON |∶|⃗OB|=1∶4,设线段AN 与BM 交于点P,记⃗OA
=a,⃗OB=b.
(1)用a,b 表示向量⃗OP;
(2)延长OP 与AB 交于点D,用a,b 表示向量⃗PD.
解 (1)法一 ∵B,P,M 共线,
∴记⃗BP=s⃗PM,
∴⃗OP= 1
1+ s⃗OB+ s
1+ s⃗OM
= 1
1+ s⃗OB+
s
3(1+ s)⃗OA= 1
1+ s
b+
s
3(1+ s)
a,①
同理,记⃗AP=t⃗PN,
得⃗OP= 1
1+t
a+
t
4(1+t )
b,②
∵a,b 不共线,
∴由①、②得{
1
1+t =
s
3(1+ s) ,
1
1+ s =
t
4(1+t ) ,
解得{
s= 9
2 ,
t = 8
3 ,
∴⃗OP= 3
11
a+ 2
11
b.
法二 △OAN 被直线MB 所截,由梅涅劳斯定理,得AM
MO
· PN
AP
·BO
NB
=1,
即2· PN
AP
·4
3
=1,
∴AP
PN
=8
3
,
∴⃗OP= 3
11⃗OA+ 8
11⃗ON = 3
11⃗OA+ 8
11
·1
4⃗OB= 3
11⃗OA+
2
11⃗OB,即⃗OP= 3
11
a+ 2
11
b.
或者,同理△OBM 被直线NA 所截,得
BN
NO
· MP
PB
· AO
MA
=1,
即3· MP
PB
·3
2
=1,∴BP
PM
=9
2
,
∴⃗OP= 2
11⃗OB+ 9
11⃗OM = 2
11⃗OB+ 9
11
·1
3⃗OA= 3
11⃗OA+
2
11⃗OB,即⃗OP= 3
11
a+ 2
11
b.
(2)由塞瓦定理得OM
MA
· AD
DB
· BN
NO
=1,
即1
2
· AD
DB
·3
1
=1,
∴AD
DB
=2
3
,下面只要求出P 分OD 的比即可.
△OAD 被直线MB 所截,由梅涅劳斯定理,得OM
MA
· AB
BD
· DP
PO
=1,
即1
2
×5
3
· DP
PO
=1,
∴DP
PO
=6
5
.
∴⃗PD= 6
11⃗OD= 6
11(
3
5⃗OA + 2
5⃗OB)=18
55⃗OA+12
55⃗OB,
即⃗PD=18
55
a+12
55
b.
训练3 如图,四边形ABCD 的两组对边延长线分别交于E,F,对
角线BD∥EF,AC 的延长线交EF 于G,求EG
GF
的值.
4
解 对△AEF 及点C,由塞瓦定理有EG
GF
· FD
DA
· AB
BE
=1,
由BD∥EF,有AB
BE
= AD
DF
,
代入上式,得EG
GF
=1.
5
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·西安质检)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若⃗OB=a1⃗
OA+a200⃗OC,且A,B,C 三点共线,设直线不过点O,则S200=(
)
A.100
B.101
C.200
D.201
答案 A
解析 易知a1+a200=1,
∴S200=200(a1+a200)
2
=100.
2.在△ABC 中,⃗AN=1
3⃗NC,点P 是BN 上一点,若⃗AP=m⃗AB
+1
6⃗AC,则实数m 的值为( )
A.1
4
B.1
3
C.1
2
D.1
答案 B
解析 ⃗AP=λ⃗AB+(1-λ)⃗AN ,⃗
AN=1
4⃗AC,⃗AP=λ⃗AB+1−λ
4⃗
AC,
又⃗AP=m⃗AB+1
6⃗AC,
∴{
λ =m,
1−λ
4
= 1
6 ,∴m=1
3
.
3.在△ABC 中,⃗AR=2⃗RB,⃗CP=2⃗PR,若⃗AP=m⃗AB+n⃗AC,
则m+n=( )
A.2
3
B.7
9
C.8
9
D.1
答案 B
解析 ⃗AP= 2
1+2⃗AR+ 1
1+2⃗AC=2
3⃗AR+1
3⃗AC=2
3
·2
3
·⃗AB
+1
3⃗AC=4
9⃗AB+1
3⃗AC,
∴m=4
9
,n=1
3
,∴m+n=7
9
.
4.(2025·石家庄调研)已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线
AB 与l 相交于P 点,若⃗AP=λ⃗PB,则λ=( )
A.-1
2
B.-1
4
C.1
3
D.1
2
答案 B
解析 O 为原点,设P(x,y),由⃗AP=λ⃗PB,
得λ=⃗AP⃗
PB
,由定比分点公式得⃗
OP= 1
1+ λ⃗OA+ λ
1+ λ⃗OB,
即(x,y)= 1
1+ λ
(2,1)+ λ
1+ λ
(3,-1)
=(
2+3 λ
1+ λ , 1−λ
1+ λ),
又∵P 点在直线l 上,
∴1−λ
1+ λ
=4(2+3 λ)
1+ λ
-5,∴λ=-1
4
.
5.在△ABC 中,点D 为AB 的中点,E,F 为BC 的两个三等分点,
AE 交CD 于点M.设⃗AB=a,⃗AC=b,则⃗FM=( )
A. 1
15
a- 7
15
b
B. 1
15
a+ 7
15
b
C. 2
15
a- 4
15
b
D. 2
15
a+ 4
15
b
答案 A
解析 ∵D,M,C 共线,
∴⃗AM=x⃗AD+(1-x)⃗AC
6
= x
2⃗AB+(1-x)⃗AC;
∵A,M,E 共线,
∴⃗AM=y⃗AE=y(
2
3⃗AB+ 1
3⃗AC)=2 y
3⃗AB+ y
3⃗AC,
∴{
x
2 = 2
3 y ,
1−x = 1
3 y ,
∴x
2
=2-2x,∴x=4
5
,
∴⃗AM=2
5⃗AB+1
5⃗AC,⃗FM=⃗AM-⃗AF
=2
5⃗AB+1
5⃗AC-(
1
3⃗AB+ 2
3⃗AC)
=(
2
5 −1
3)⃗AB+(
1
5 −2
3)⃗AC
= 1
15⃗AB- 7
15⃗AC= 1
15
a- 7
15
b.
6.(2025·合肥模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,角A 的角平分线交BC 于点D.若asin A=bsin B+(c-b)sin
C,且AD=√3,b=3c,则a 的值为( )
A.7
2
B.4√7
3
C.3
D.2√3
答案 B
解析 由asin A=bsin B+(c-b)sin C 及正弦定理得a2=b2+(c-b)c,
由余弦定理得cos A=b
2+c
2−a
2
2bc
=1
2
,
则A=π
3
,
由三角形内角平分线定理得BD
DC
= AB
AC
=1
3
,
所以⃗AD=3
4⃗AB+1
4⃗AC,
两边平方得|⃗AD|2=|
3
4⃗AB+ 1
4⃗AC|
2
= 9
16⃗AB
2+3
8⃗AB·⃗AC
+ 1
16⃗AC
2,
即(√3)2= 9
16
c2+3
8
c·3c·1
2
+ 1
16
(3c)2,
解得c=4
3
,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=42+(
4
3)
2
-2×4×4
3
×1
2
=
112
9
,a=4√7
3
.
二、多选题
7.设P 是△OAB 内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(
)
A.⃗OP=2
5⃗OA+1
5⃗OB
B.⃗OP=2
5⃗OA+4
5⃗OB
C.⃗OP=2
5⃗OA+1
5⃗AB
D.⃗OP=2
5⃗OA+4
5⃗AB
答案 AC
解析 对于A,如下图所示,可知P 在△OAB 内部,故成立;
对于B,如图所示,可知P 在△OAB 外部,故不成立;
对于C,因为⃗OP=2
5⃗OA+1
5⃗AB=2
5⃗OA+1
5⃗AO+1
5⃗OB=
1
5⃗OA+1
5⃗OB,如下图所示,可知P 在△OAB 内部,故成立;
对于D,因为⃗OP=2
5⃗OA+4
5⃗AB=2
5⃗OA+4
5⃗AO+4
5⃗OB=-
2
5⃗OA+4
5⃗OB,如图所示,可知P 在△OAB 外部,故不成立,故
选AC.
8.(2025·南昌调研)如图所示,在凸四边形ABCD 中,对边BC,AD
的延长线交于点E,对边AB,DC 的延长线交于点F,若⃗BC=λ⃗
CE,⃗ED=μ⃗DA(λ,μ>0),⃗AB=3⃗BF,则( )
7
A.⃗EB=3
4⃗EF+1
4⃗EA
B.λμ=1
4
C.1
λ
+1
μ
的最大值为1
D.⃗EC ·⃗AD⃗
EB·⃗EA
≥-4
9
答案 ABD
解析 由⃗AB=3⃗BF,得⃗
EB-⃗EA=3⃗EF-3⃗EB,
∴⃗EB=3
4⃗EF+1
4⃗EA,A 正确;
直线FD 交△ABE 三边所在直线于D,C,F,
由梅涅劳斯定理,得|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BC |
|⃗CE|
·|⃗ED|
|⃗DA |
=1,
4
1
· λ
1
·μ
1
=1,λμ=1
4
,
1
λ
+1
μ
≥2√
1
λ · 1
μ
=4,当且仅当λ=μ 时,等号成立,所以B 正确,
C 错误;⃗
EC ·⃗AD⃗
EB·⃗EA
=−⃗EC ·⃗DA⃗
EB·⃗EA
=- 1
1+ λ
· 1
1+ μ
,
(1+λ)(1+μ)=λμ+λ+μ+1≥1
4
+2√λμ+1=9
4
,⃗EC ·⃗AD
EB·EA
≥-4
9
,当
且仅当λ=μ 时,等号成立,故D 正确.
三、填空题
9.边长为4 的等边三角形ABC 中,⃗AD=⃗DB,⃗AE=3⃗EC,CD
与BE 交于点O,则|⃗OA+⃗OB+⃗OC|= .
答案 8√3
5
解析 ⃗OA+⃗OB+⃗OC=2⃗OD+⃗OC,
∵直线BE 交△ADC 三边所在直线于E,O,B,
由梅涅劳斯定理得|⃗AB|
|⃗BD|
·|⃗DO|
|⃗OC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1,
即2
1
·|⃗DO|
|⃗OC |
·1
3
=1,∴⃗DO=3
2⃗OC,
∴|⃗OA+⃗OB+⃗OC|=|2⃗OD+⃗OC|=|-3⃗OC+⃗OC|=|-2⃗OC|=4
5
|
CD|=8√3
5
.
10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,AD 是∠BAC
的角平分线,若∠BAC=π
3
,|AD|=2√3,则2b+c 的最小值为
.
答案 6+4√2
解析 如图.
∵AD 是∠BAC 的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=1
2
∠BAC=π
6
,
由张角定理得sin ∠BAC
AD
=sin ∠BAD
AC
+
sin ∠DAC
AB
,
即sin π
3
2√3
=sin π
6
b
+sin π
6
c
,∴1
b
+1
c
=1
2
,
∴2b+c=(2b+c)(
1
b + 1
c)×2
=2c
b
+4 b
c
+6≥6+2√
2c
b × 4 b
c
=6+4
√2(当且仅当2c
b = 4 b
c ,即c =√2b时取“=”).
四、解答题
11.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的面
积为4√3
3
,AD 为∠BAC 的角平分线,且交BC 于点D,AD=1.
(1)若b+c=16
3
,求△ABC 周长.
(2)若⃗DC=3⃗BD,求tan B 的值.
解 (1)如图,令∠BAC=2θ,
8
由张角定理得S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴bc·sin 2θ
2
=b·AD·sin θ
2
+c·AD sin θ
2
,又AD=1,
∴bc·sin 2θ=(b+c)·sin θ,
∴2bc·cos θ=b+c,又b+c=16
3
,
∴bc·cos θ=8
3
.①
又S△ABC=4√3
3
=S△ABD+S△ACD=(b+c)·sin θ
2
,
∴(b+c)·sin θ=8√3
3
,又b+c=16
3
,
∴sin θ=√3
2
,∴θ=π
3
,∴∠BAC=2θ=2π
3
,
代入①,得bc·cos π
3
=8
3
,∴bc=16
3
.
在△ABC 中,由余弦定理得
a2=b2+c2-2bc·cos ∠BAC,
即a2=(b+c)2-2bc-2bc·cos 2θ,
∴a2=(
16
3 )
2
-2×16
3
-2×16
3
×(−1
2)=208
9
,
∴a=4√13
3
,∴周长=a+b+c=4√13+16
3
.
(2)∵⃗DC=3⃗BD,∴DC=3BD,
由角平分线性质可知S△ABD
S△ACD
= BD
DC
= AB
AC
=1
3
,
设AB=y,则AC=3y,BD=x,则DC=3x,
由(1)知,(b+c)·sin θ=8√3
3
,
∴(3y+y)·sin θ=8√3
3
,∴ysin θ=2√3
3
,②
又S△ABC=bc·sin 2θ
2
=4√3
3
,
∴y·3y·sin 2θ=8√3
3
,
∴y2·sin 2θ=8√3
9
,③
由②③得,tan θ=√3,∴θ=π
3
,y=4
3
,
∴c=4
3
,b=3y=4.
在△ABC 中,由余弦定理得,
a2=b2+c2-2bc·cos 2θ,
∴a=4√13
3
=x+3x,∴x=√13
3
.
在△ABD 中,由余弦定理得,
AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos B,
∴1=x2+y2-2x·y·cos B,
∴cos B=5√13
26
,
∴sin B=√1−co s
2B=3√39
26
,
∴tan B= sin B
cos B
=3√3
5
.
9
