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微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题
【秒杀总结】
1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够
明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，
一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左
边配对.假设右边
，这样一来，相当于已知一个数列的前
项之和，求
，利用数列
的知识可知
.所以，接下来只需要证明
即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
1
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；
（11）
；
（12）
；
（13）
.
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法
而得解.
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数
，
，
.
(1)判断
是否对
恒成立，并给出理由；
(2)证明：
①当
时，
；
②当
，
时，
.
【解析】（1）
恒成立，理由如下:
令
，
则
，令
，
则
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
其中
，故
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
故
，即
恒成立;
（2）①
时，
单调递增，故
，
又
，故要证
，
只需证
，
令
，
2
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则只需证明
，
令
，则函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，故
，
所以当
时，
;
②由（1）知，
，
由于
，
所以
，
所以
例2．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那
么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦
函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数
和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
.
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围：
(3)（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：
.
【解析】（1）
，则
3
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所以
，可得
在
处的切线斜率为
（2）令
，
则
，
下面证明：对任意
恒成立,
先证明：对任意
.证明如下：设
，则
，
当
时，
，函数单调递减，当
时，
，
函数单调递增，故
，故
，
继续证明：对任意
.
证明如下：令
，则
，
因此
在
上单调递增；所以
，故
当
时，对
，都有
，函数
在
上单调递增，
则
，解得
；
当
时，对
，
都有
，对
，都有
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则对
，都有
成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）（i）
，令
，则
所以
在
上单调递增，所以
所以当
时，
成立；
（ii）下面证明：当
时，
成立，
令
，则
由前问解答过程，对任意
成立，所以
所以
在
上单调递增，所以
4
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所以当
时，
成立
令
且
，可得
，
即
，
由题意
，令
且
，可得
，因为
所以
，
由①当
时，
，所以令
且
，可得
所以
，
由前面解答过程得，对任意
成立，
令
且
，可得
，
所以
，
又
且
，所以
，
所以
所以可得
，
即可得
.
例3．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
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阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：
．当
时，试比较
与
的大小，并给出证明；
(3)设
，证明：
．
【解析】（1）令
，则
，
，
，
，
故
，
，
，
，
，
由麦克劳林公式可得
，
故
.
（2）结论：
，
证明如下：
令
，
令
，
故
在
上单调递增，
，
故
在
上单调递增，
，
即证得
，即
．
（3）由（2）可得当
时，
，且由
得
，
当且仅当
时取等号，故当
时，
，
，
而
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，
即有
故
而
，
即证得
.
例4．（2024·天津·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若在
的图象上有一点列
，若直线
的斜率为
，
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求证：
．
【解析】（1）
当
时，
，
，所以
，
曲线
在点
处切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
；
（2）（ⅰ）要证
，即证
时，
，
令
，即证
在
时恒成立，
因为
，令
，则
，
令
，则
在
内单调递增，
所以
，即
在
内单调递增，
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所以
, 即
在
内单调递增，
所以
，即得证；
（ⅱ）
时，
，
由（ⅰ）知，
，即
，则
，
所以
，
，即得证.
例5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性
(2)证明：①当
时，
；
②
.
【解析】（1）由于
，定义域为
，
则
，
①当
时，
，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
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③当
时，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时，
，所以
在
上单调递增；
⑤当
时，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）证明：①由（1）知，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，故
；
②由（1）可得，当
时，
，即
，则
，
仅当
时等号成立，
所以
，所以
，即得
，
令
，则
，所以
，即
，
令
，则
，且
不恒为零，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以
，
所以
.
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例6．（2024·广东佛山·二模）已知数列
满足
，
，且
．
(1)证明
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，证明：当
时，
．
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
，
.
易知
，所以
，
因为
．
所以
是等比数列，首项
，公比
，所以
．
（2）由（1）可得
，
先证明左边：即证明
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
再证明右边：
，
因为
，
所以
，
即
，下面证明
，
即证
，即证
，
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设
，
，则
，设
，
，
因为
，所以函数
在
上单调递增，
则
，即
，
，
所以
，所以
．
综上，
．
例7．（2024·陕西西安·一模）已知函数
.
(1)若函数
的图像在
处的切线与直线
垂直，求
的值并求函数
的极值；
(2)若
恒成立，求证：对任意正整数
，都有
.
【解析】（1）因为
，
所以
，
依题意可得
，即
，
所以
，定义域为
，
所以
，
令
可得
，
所以当
时，
，当
时，
.
在
上单调递减，在
上单调递增，
的极大值为
，无极小值.
（2）函数
的定义域为
，
因为
恒成立，即
对任意的
恒成立，
即
，其中
，
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令
，则
，即
，
构造函数
，
，则
，令
，得
，列表如下：
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以
，
，
即
时，
恒成立，
取
，则
对任意的
恒成立，
令
，则
，
所以
，
所以
.
例8．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括
向量和矩阵.对于平面向量
，其模定义为
.类似地，对于
行
列的矩阵
，其模可由向量模拓展为
（其中
为矩阵中第行第
列的数，
为求和符号），记作
，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学
习等前沿领域有重要的应用.
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(1)
，
，矩阵
，求使
的
的最小值.
(2)
，
，，矩阵
求
.
(3)矩阵
，证明：
，
，
.
【解析】（1）由题意得
.
若
，则
，即
.
因式分解得
.因为
，所以
.
所以使
的
的最小值是10.
（2）由题得第1 对角线上的平方和为
，
第2 对角线上的平方和为
，
第
对角线上的平方和为
，
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第
对角线上的平方和为
，
所以
所以
.
（3）由题意知，证明
等价于证明
，
注意到左侧求和式
，
将右侧含有
的表达式表示为求和式有
故只需证
成立，
即证
成立，令
，
则需证
成立，
记
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递
增，
所以
，
所以
在
上恒成立，即
成立，
所以原不等式成立.
例9．（2024·山东潍坊·一模）已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
（
，
）；
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(3)若函数
有三个不同的零点，求
的取值范围．
【解析】（1）
函数
定义域为
，求导得
，
设
，则
，
①当
时，
恒成立，且至多一点处为0，函数
在
上递减；
②当
时，
有两个零点
，
则当
或
时，
，即
；当
时，
，即
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
的递减区间为
；
当
时，
的递减区间为
，递增区间为
.
（2）由（1）知，当
时，
时，
，
则
，令
，
于是
，
，
所以
.
（3）函数
，
由于
与
同号，则
只有一个零点
，
令
，由
，则
有三个不同的零点等价于函数
有三个不同的零点，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减，不合题意；
当
时，由（1）知，
的两极值点
满足
，所以
，得
，
由
， 则
，由（2）知，当
时，
，
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则
，即
，
因此
，
由零点存在性定理知，
在区间
上有唯一的一个零点
，
显然
，
而
，则
，于是当
时，
存在三个不同的零点
，
所以
的取值范围是
.
【过关测试】
1．（2024·山东济宁·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，证明：对任意
，存在唯一的实数
，使得
成立；
(3)设
，
，数列
的前
项和为
．证明：
．
【解析】（1）
函数
的定义域为
，
，
①若
，
恒成立，
在
上单调递增．
②若
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）证明：令
，
则
因为
，
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所以，
在区间
上单调递减．
令
，
，则
，
所以，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以，
，
又
，所以，
，所以
恒成立，
又因为
，
，所以，
．
同理可得，
，
由
（
时等号成立）得，
，即
（
时等号成立），
又
，所以
，所以
恒成立，
又因为
，
，
，所以，
，
所以，区间
上存在唯一实数
，使得
，
所以对任意
，存在唯一的实数
，使得
成立；
（3）证明：当
时，由（1）可得，
在
上单调递减．
所以，
时，
，即
．
令
，
，则
，
即
，即
令
，
，则
，
所以，
，
所以，
.
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2．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数
(1)讨论
的单调性.
(2)证明:当
时,
(3)证明:
【解析】（1）
，
，
当
时，易知
，所以函数
在R 上单调递减，
当
时，令
，解得
，
令
，解得
，即
在
上单调递增，
令
，得
，即
在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在R 上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）令
，
，
，令
，
，
则
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，又
，
有
，
，即
单调递减，
，
，即
单调递增，
所以
，而此时
，
所以当
时，
成立；
当
时，可得
，
，
所以
又
，
所以存在
，使得
，即
，
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，
，
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，由
可得，
，
下面证明
，
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，
，
即
得证，即
成立，
综上，当
时，
成立.
（3）由（2），当
时，有
，即
，
令
，
，得
，
，
，
即
.
3．（2024·云南昆明·一模）已知函数
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
【解析】（1）由题意知，
，
，
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①当
时，
，
在
上单调递减，
所以，当
时，
，不合题意；
②当
时，由
得
，则
在
上单调递增，
由
得
，则
在
上单调递减，
所以，
，不合题意；
③当
时，由
得，
，则
在
上单调递增，
由
得，
，则
在
上单调递减，
所以，对于任意的
，
，符合题意；
④当
时，由
得，
，则
在
上单调递增，
由
得，
，则
在
上单调递减，
所以，
，不合题意．
综上所述，
．
（2）证明：由（1）知，
时，
即
，当且仅当
时等号成立．
所以
，
当
时，令
得
，
所以
，
所以当
时，
成立.
（3）证明：由（1）知，
时，
即，当且仅当
时等号成立．
当
时，令
得
，所以
，
所以
，
所以
成立.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的值；
(2)证明：
．
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【解析】（1）因为
，所以
，
当
时，因为
，所以
恒成立，则
在
上单调递增，
且
，所以
恒大于等于零不成立；
当
时，由
得，
，
易知当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
则
，若
恒成立，则
令
，则
，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，所以
所以当
时，
.
综上，若
恒成立，则
；
（2）由（1）得，当
时，
恒成立，即
，当且仅当
时等号成立，
令
，则
，
，
，
所以
，
，
，
令
，则
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
故当
时，
，即
．
所以
，
，
，
所以
.
5．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的
面积．
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(1)若
，且
，求
；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
(3)证明：
，
．
【解析】（1）当
时，因为
，所以设
，
又
，代入上式可得
，
所以，当
时，
；
当
时，设
，同理可得
，
综上，
.
（2）因为
，所以
，
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，故
，即
；
设
，
，
则
恒成立，所以
在
上单调递增，
，
所以
，
综上，
.
几何意义：当
时，曲线
与直线
（
轴），
以及
轴围成的“曲边面积”大于直
线
（
轴），
以及
轴，直线
围成的矩形面积，小于
（
轴），
以及
轴，
直线
围成的矩形面积.
（3）因为
，
所以
，
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设
，则
，
所以
，
故
.
6．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
．
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
；
（2）当
时，我们需证
，
设
，注意到
，
，令
得
，
即
，
是
的一个极值点．
令
，则
，
所以
单调递增．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以在
处
取得极小值
，
即
恒成立，
．
伯努利不等式对
得证．
23
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（3）当
时，原不等式即
，显然成立．
当
时，构造数列
：
，
则
，
若
，由上式易得
，即
；
若
，则
，所以
，
故
，
即此时
也成立．
所以
是一个单调递增的数列（
），
由于
，所以
，
故原不等式成立．
7．（2024·四川德阳·模拟预测）
（
）.
(1)当
时，证明：
；
(2)证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
令
，
，
故
为偶函数，
，
令
，
，
故
为奇函数，
其中
恒成立，
故
在
上单调递增，
其中
，故
在
恒成立，
故
在
上单调递增，
其中
，故
在
上恒成立，
24
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结合
为偶函数，故
在
上恒成立，
故
在
上恒成立；
（2）由（1）知，
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
令
，
且
，所以
，
故
，
即
，
由（1）可知，当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
当
且
时，
，
故
，故
，即
，
所以
，
故
.
8．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数
，且曲线
在点
处的切
线斜率为1.
(1)求
的表达式；
(2)若
恒成立，求
的值.
(3)求证：
.
【解析】（1）
，则
，
；
25
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（2）设
.
由条件知
恒成立，
因为
，又
的图像在定义域上是连续不间断的，
所以
是
的一个极大值点，则
.
又
，所以
，得
；
下证当
时，
对任意
恒成立，
令
，则
，
由
，
知函数
在
单调递增，在
上单调递减，
，即
，而
，
所以当
时，
.
综上，若
恒成立，则
.
（3）由（2）可知
.
，
先证
，
令
，
则
在
上单调递减，
，即
所以
再证
，先证
，
令
，则
，
当
时，
，函数
单调递增，且
，则
，
即
，令
即得
.
26
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又
，得
所以
，
综上，
.
9．（2024·高三·安徽·阶段练习）（1）已知
，证明：
；
（2）证明：
．
【解析】（1）证明：令
则
在
单调递增，所以
即
；
令
则
在
单调递增，所以
即
所以
，所以
综上，
；
（2）结合第（1）问，
对任意的
恒成立，
令
，则
，
即
．
即
，
，
所以
．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：对于任意正整数n，都有
．
27
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【解析】（1）
的定义域为
，
，
若
，当
，则
，所以
在
上单调递增；
若
，当
，则
，所以
在
上单调递减；
当
，则
，所以
在
上单调递减；
综上所述，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递减.
（2）由(1)知当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
，即当
时，
，
对于任意正整数
，令
，
有
，
所以
，
即
，
即
.
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
恒成立，求a 的取值集合；
(2)证明：
．
【解析】（1）由题可知函数
的定义域为
，
，令
，得
，
由x，
，
列表如下
x
a
0
28
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递减
极小值
递增
，
因为
恒成立，
所以
，
．
令
，则
，
由x，
，
列表如下
x
1
0
递增
极大值
递减
．
又
，
，
，
，
，故a 的取值集合为
．
（2）由（1）可知，当
时，
，
即
，
，
（当
时，“
”成立），
令
，
，则
，
，
由累加法可知
29
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累加可得
，
即
，
令
，
，
恒成立，
在区间
上单调递减，
，
，
，
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，则函数
在
上递减，在
上递增，
所以函数
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）证明：由（1）知，
，即
，
，
因此
，当且仅当
时取等号，
令
，
，则
，
，而
，
所以
.
13．（2024·湖南长沙·一模）已知函数
.
(1)若
有且仅有一个零点，求实数
的取值范围：
30
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(2)证明：
.
【解析】（1）
易知函数
的定义域为
.
由
，可得
.
设
，则
，
，且
与
有相同的零点个数.
思路1：令
，
，则
.
当
时，
，则
，即
，可得
在
单调递减，则
有且仅有一个
零点.
当
时，显然
，则
，可得
在
单调递减，则
有且仅有一个零点.
当
时，由
，解得
，
，且
.
当
时，
，即
，则
单调递增；
当
时，
，即
，则
单调递减.
不难得知
，
，
（令
，故
在
单调递减，
故
，即
，
），
则
在
有一个零点，可知
不只一个零点，不合题意.
综上，可知
.
思路2：令
，
.
当
时，
在
单调递减，有
，即
，
可得
在
单调递减，则
有且仅有一个零点.
当
时，
.
若
，则
，可得
在
单调递减，
31
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则
有且仅有一个零点.
若
，存在
，且
，使得
.后续过程同思路1.
综上，可知
（2）取
，当
时，
，有
，
即
，则
.
令
，
，则
，即
，
从而
.
14．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)证明：
，
且
.
【解析】（1）由函数
可知其定义域为
，
易知
，令
可得
，
当
时，
，此时
在
单调递减，
当
时，
，此时
在
单调递增，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
;
（2）由
可得
，
即
在
时恒成立，
令
，则
，
令
，则
在
上恒成立，
所以可得
，因此
恒成立，
32
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即可得
在
是单调递减，所以
，即
；
因此
满足题意，所以
的取值范围是
（3）由（2）可得取
，当
时，满足
，
即
，
所以可得
，
即可得
.
15．（2024·高三·山西·期末）已知函数
.
(1)若当
时，
，求实数
的取值范围；
(2)求证：
.
【解析】（1）由题可知
.
令
，其图象的对称轴为直线
.
当
即
时，
在
单调递增，
又
，
所以当
时，
恒成立，从而
恒成立，
所以
在
单调递增，
又
，所以
恒成立.
当
即
时，
在
单调递减，在
单调递增，
又
，
所以当
时，
恒成立，从而
恒成立，
在
单调递减，
又
，所以当
时，
，与已知矛盾，舍去.
综上所述，
的取值范围为
.
（2）由（1）可知，当
时，
，
从而
，
33
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于是
.
16．（2024·高三·全国·专题练习）已知实数
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
对
恒成立，求a 的最小值；
(3)当正整数
时，求证：
．
【解析】（1）由函数
，可得
，所以
．
（2）设
，
因为
对
恒成立，
即
，对
恒成立，且
．
所以
，可得
．
①当
时，因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
；
②当
时，令
，得
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，（舍去）．
综上所述，实数
的最小值为
．
（3）由（2）知当
时，
对
恒成立，且
，
所以
对
恒成立，
34
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取
，则
，
①当
时，可得
，
又
，所以
；
②当
时，
.
综上所述，原不等式成立．
17．（2024·天津红桥·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程：
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
（
，
）.
【解析】（1）当
时，函数
的定义域为
，
，
，
曲线
在点
处的切线方程的斜率
，
则切线方程为
；
（2）若
恒成立，则
恒成立，
设
，
，
，
由
，得
，由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
.
；
（3）证明：结合（2），令
，则
，即
，则
，（当且仅当
时取等号），
，
，…，
，
，（
，
）.
18．（2024·高三·山东烟台·期末）已知函数
.
35
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(1)讨论函数
的单调性；
(2)求证：
.
【解析】（1）易知函数
的定义域为
，
，
当
时，
，
易知
时，
，此时
单调递减，
时，
，此时
单调递增；
即
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
，
易知当
时，
，
当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
单调递
减；
当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
单调
递减；
当
时，
，所以
在
单调递减；
当
时，
，所以
在
单调递减，在
单调递增；
综上可知，当
时，
在
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
单调递减；
（2）由（1）可知当
时，
在
单调递增，所以
，
即
（当且仅当
时等号成立），
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令
可得
，即
；
，
，
累加可得
.
19．（2024·高二·浙江温州·期末）设函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求a，b 的值；
(2)若当
时，恒有
，求实数a 的取值范围；
(3)设
时，求证：
．
【解析】（1）因为
，则
，
则
，
，即切点坐标为
，斜率
，
由题意可得：
，解得
.
（2）令
，
则
，
由题意可知：当
时，恒有
，且
，
则
，解得
，
若
，则有：
①当
时，
，
因为
，可知
，
令
，
因为
在
内单调递增，可得
在
内单调递增，
则
，即
，符合题意；
②当
时，则
在
内恒成立，符合题意；
③当
时， 令
，
37
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则
，
因为
，则
，
，
可知
在
内恒成立，
则
在
内单调递增，可得
，
则
在
内单调递增，可得
，符合题意；
综上所述：实数a 的取值范围为
.
（3）由（2）可知：当
时，
，
令
，可得
，
令
，则
，则
，整理得
，
令
，则
，整理得
，
则
，
所以
.
20．（2024·高三·广东汕头·期末）已知函数
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)当
时，证明：
.
【解析】（1）因为
，注意到
，
所以当
恒成立时，
是
的最小值点，也是极小值点，则
，
而
，所以
，解得
，
当
时，
，
，
令
，得
，则
在区间
上单调递减，
令
，得
，则
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
．
（2）由（1）得，
，即
，当且仅当
时等号成立，
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令
，则
，
，
，
所以
，
，
，
令
，则
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
故当
时，
，即
．
所以
，
，
，
所以
.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)设
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，
．
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）由题意，得
．
①当
时，
，
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
故
，所以
，当
时取等号.
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，满足题意；
39
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②当
时，令
，
，
所以当
时，
，所以
在
上单调递减，
又
，所以当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
不符合题意．
综上所述，实数
的取值范围是
．
（3）证明：由（2）可知当
时，
，所以
．
令
，得
，即
．
所以
，
即
．
22．（2024·全国·模拟预测）已知实数
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
对
恒成立，求a 的最小值；
(3)当正整数
时，求证：
．
【解析】（1）由函数
，可得
，所以
．
（2）设
，
因为
对
恒成立，
即
对
恒成立，且
．
所以
，可得
．
①当
时，因为
，所以
，
40
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所以
在
上单调递增，所以
；
②当
时，令
，得
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，（舍去）．
综上所述，实数
的最小值为
．
（3）由（2）知当
时，
对
恒成立，且
，
所以
对
恒成立，
取
，则
，
①当
时，可得
，又
，所以
；
②当
时，
．
综上所述，原不等式成立．
23．（2024·高三·上海宝山·期末）已知数列
满足
.
(1)若
，求最小正数
的值，使数列
为等差数列；
(2)若
，求证：
；
(3)对于（2）中的数列
，求证：
【解析】（1）依题意，
，而
，则
，
，要使数列
为等差数列，则
，即公差
，
而
，则
，于是
，解得
，
显然
，此时
，
即对
，恒有
，因此数列
是以
为公差的等差数列，
41
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所以当
时，
.
（2）函数
的定义域为
，令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，即函数
在
上递增，在
上递减，
，即
，
，
，即
，
当
时，
，显然
时上式成立，
又
，因此
，所以
.
（3）由（2）知
，而
，则
，
，显然
，又函数
是
上的增函数，则可递推得
，
当
时，
，于是
，
当
时，
，
而
，即
，恒有
，
因为当
时，
，则当
时，
，而
因此当
时，
，
，
，
于是
，
所以
.
42
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