文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行
推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），
由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛
盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二
次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，
然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2024·高三·山西·阶段练习）已知
为平面上一个动点，
到定直线
的距离与到定点
距离的比等于
，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)若
轴上是否存在定点
，使过
点且斜率为
的直线与曲线
相交于
（均不同
于
两点，且
分别为直线
的斜率）？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）设点
的坐标为
，则
，
即
即
，即
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即曲线
的方程为
.
（2）设存在定点
，使
为定值，则直线的方程为
，
联立
可得
，
设
，
则
，即
，
且
则
，
解得
.
故存在点
使得
为定值
.
例2．（2024·河南·一模）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，其长轴长为6，离
心率为e 且
，点D 为E 上一动点，
的面积的最大值为
，过
的直线，
分别与椭
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
圆E 交于A，B 两点（异于点P），与直线
交于M，N 两点，且M，N 两点的纵坐标之和为11.过坐标
原点O 作直线
的垂线，垂足为H.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)问：平面内是否存在定点Q，使得
为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）根据条件则
，
，
当点D 位于短轴顶点时，
面积的最大，且
，
由
，
解得
，
或
，
又
，因此
，
，
，
故椭圆E 的方程为：
.
（2）
（2）存在定点
使得
为定值，理由如下：
由题意过点P 的直线与椭圆E 交于A 点，与直线
交于M 点，
与椭圆E 交于B 点，与直线
交于
N 点，
如图，设
，
，
，
.
根据条件有，
，且
①
由条件知，直线
的斜率不为0，故可设直线
的方程为
由①，
②
联立
，整理得
，该方程有两个不同的实数根
，
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，由韦达定理可得
，
，
代入②中，整理得
，又
，化简得
，
因此
，即直线
过定点
.
过原点O 作直线
的垂线，垂直为H，则点H 在以
为直径的圆上，则
的中点到H 的距离等于
为定值，
因此存在定点即为
的中点
使得
为定值.
例3．（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数
（
）的图象是双曲线，两条坐标轴是
其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数
的图象
的实轴长；
（ⅱ）将曲线
绕原点顺时针转
，得到曲线
，直接写出曲线
的方程．
(2)已知点
是曲线
的左顶点．圆
：
（
）与直线：
交于
、
两点，直
线
、
分别与双曲线
交于
、
两点．试问：点A 到直线
的距离是否存在最大值？若存在，
求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由题意可知双曲线
的实轴在
上，联立
，
解得
或
，即双曲线
的两顶点为
，
故实轴长为
；
（ⅱ）将曲线
绕原点顺时针转
，得到曲线
，
曲线
的方程为
；
（2）方法一：设
，
，
，显然直线
的斜率存在，设
：
，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立
：
得
，
所以
，
，
①，
因为
：
，令
，则
，同理，
，②
依题意得
，③
由①②③得，
，
所以
，即
或
，
若
，则
：
过点A，不合题意；
若
，则
：
．所以，
恒过
，
所以，
．当且仅当
，即
时取得，
此时
方程为
，结合
，
解得
，
，
，
综上所述，点A 到直线
距离的最大值为2，此时圆
的半径为
；
方法二：设
，
，
，
，
，
则
：
，
：
，
联立
，得
，
为此方程的一根，另外一根为
，则
，
代入
方程得，
，
同理可得
，
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，
，
则
，
所以直线
的方程为
，
所以直线
过定点
,
所以
．当且仅当
，即
时取得，
解得
,
综上所述，点A 到直线
距离的最大值为2，此时圆
的半径为
；
方法三：设
，
，
，
，
，
则
，
依题意，直线
不过点A，可设
：
，
曲线
的方程
改写为
，即
，
联立直线
的方程得
，
所以
，
若
，则
，代入直线
方程，无解；
故
，两边同时除以
得
，
则
，
得
，
在直线
：
中，令
，则
，
所以，
恒过
，
所以，
，
当且仅当
，即
时取得，此时
，符合题意，
且
方程为
，解得
，
，
，
综上所述，点A 到直线
距离的最大值为2，此时圆
的半径为
．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例4．（2024·广东广州·一模）已知
为坐标原点，双曲线
的焦距为
，且经过点
.
(1)求
的方程：
(2)若直线与
交于
，
两点，且
，求
的取值范围：
(3)已知点
是
上的动点，是否存在定圆
，使得当过点
能作圆
的两条切线
，
时（其中
，
分别是两切线与
的另一交点），总满足
？若存在，求出圆
的半径：
若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
故双曲线方程为
（2）当直线斜率不存在时，设
,
将其代入双曲线方程
，
又
，解得
，
此时
，
当直线斜率存在时，设其方程为
，设
,
联立
，
故
，
则
，
化简得
，此时
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
当
时，此时
，
当
时，此时
，
，故
，
因此
，
综上可得
.
（3）解法一：当直线
与
相切时，
圆心到直线的距离
，
设设
,
类似（2）中的计算可得
，
所以
，
由双曲线的对称性，延长
交双曲线于另一点
,
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，且
，
根据轴对称性可得
,且直线
与
也相切，即
即为
,
符合题意，
当
或
斜率不存在时，此时
，
，显然满足题意，
故存在这样的圆
，半径为
解法二：
设
，
，
由于
为圆的切线，
平分
，且
,所以
,
设过点
与圆
相切的直线方程为
（直线斜率存在时）
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，将两根记为
，
，
同理可得
故
，
故存在这样的圆
，半径为
当
或
斜率不存在时，此时
，
，显然满足题意，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故存在这样的圆
，半径为
例5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x 轴上的圆锥曲线E 的离心率为2，过E 的右
焦点F 作垂直于x 轴的直线，该直线被E 截得的弦长为6．
(1)求E 的方程；
(2)若面积为3 的
的三个顶点均在E 上，边
过F，边
过原点，求直线
的方程：
(3)已知
，过点
的直线l 与E 在y 轴的右侧交于不同的两点P，Q，l 上是否存在点S 满足
，且
？若存在，求点S 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
圆锥曲线E 的离心率为2，故E 为双曲线，
因为E 中心在原点、焦点在x 轴上，所以设E 的方程为
，
令
，解得
，所以有
①
又由离心率为2，得
②，由①②解得
，
所以双曲线E 的标准方程是
．
（2）设
，
，由已知，得
，根据直线
过原点及对称性，
知
，
联立方程，得
，化简整理，得
，
所以
，且
，
所以
，解得
，
所以直线
的方程是
或
．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，
故直线l 斜率存在，设直线l 方程
，联立方程，得
，
化简整理，得
，
依题意有
，因为
恒成立，
所以
，故
，解得：
，
设
，
，则由韦达定理，得
，
设点S 的坐标为
，由
，得
，
则
，变形得到
，
将
，
代入，解得
，
将
代入
中，解得
，
消去k，得到点S 的轨迹为定直线：
上的一段线段（不含线段端点
，
，设直线与双曲
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
线切于
，直线与渐近线
平行时于交点为
）．
因为
，
，且
，取
中点
，
因为
，
所以
，
所以
，故
，
即S 的轨迹方程为
，表示以点H 为圆心，半径为
的圆H，
设直线与y 轴，x 轴分别交于
，
，依次作出直线
，
，
，
，
且四条直线的斜率分别为：
，
，
，
，
因为
，所以线段
是线段
的一部分
经检验点
，
均在圆H 内部，所以线段
也必在圆H 内部，
因此线段
也必在圆H 内部，所以满足条件
的点S 始终在圆H 内部，
故不存在这样的点S，使得
，且
成立．
例6．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
，其焦点为F，过
点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，
，角
（如图）．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线S 的方程；
(2)在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）抛物线
的焦点
，直线方程为
，
设
，
由
消去
得：
，则
，
，
，于是
，解得
，
所以抛物线S 的方程为
.
（2）由（1）知直线：
，
假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为
，
于是直线
的斜率
，解得
，
线段
的中点
在直线上，则
，而
应在线段
上，必有
与
矛
盾，
所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.
例7．（2024·高三·重庆·阶段练习）设
、
是椭圆
上的两点，点
是线段
的中点，
线段
的中垂线与椭圆交于
，
两点；
(1)求
的方程，并确定
的取值范围：
(2)判断是否存在
，使
、
、
、
四点共圆，若存在，则写出圆的标准方程；若不存在，请说明原因．
【解析】（1）依题意
，可设直线
的方程为
，
代入
，整理得
①，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，
，则
，
是方程①的两个不同的根，
②，且
．
由
是线段
的中点，得
，
解得
，代入②得
，
即
的取值范围是
．
于是直线
的方程为
，即
．
（2）
垂直平分
，
直线
的方程为
，即
代入椭圆方程，整理得
③．
又设
，
，
的中点为
，
则
，
是方程③的两根，
，
，且
，
，即
，
于是由弦长公式可得
．④
将直线
的方程
代入椭圆方程得
⑤．
所以
，
，
同理可得
⑥．
当
时，
，
．
假设存在
，使得
、
、
、
四点共圆，则
必为圆的直径，点
为圆心．
点
到直线
的距离为
⑦．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得
．
故当
时，
、
、
、
四点均在以
为圆心，
为半径的圆上．
此时圆的方程为
.
例8．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）设
是平面直角坐标系
上的两点，现定义由点
到点
的一种折线距离
为
.对于平面
上给定的不同的两点
.
(1)若点
是平面
上的点，试证明：
；
(2)若
两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面
上是否存在点
，同时满足：①
；②
？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明
理由．
【解析】（1）由绝对值不等式知，
，
而
，
当且仅当
，
时等号成立，
即
三点共线时等号成立．
故
成立.
（2）
点
与点
是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨
论：
若
，则
，
由条件①，得
，
，
，
.
由条件②，得
，
，
.
因此，所求的点
.
若
，则
，
由条件①，得
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
代入条件得
，解得
，
结合条件②得
，代入条件得
，
解得
，故
.可得符合条件的点
.
综上，当
，
时，存在符合条件的点
，
当
，
时，存在符合条件的点
，
例9．（2024·重庆·模拟预测）已知点
和直线
，点
到
的距离
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)不经过圆点
的直线与点
的轨迹交于
，
两点. 设直线
，
的斜率分别为
，
，记
，
是否存在值使得
的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设点
，由
，
当
时，
，
不成立，
所以
，则
，即
；
（2）设
，
，则
，
，
又点
在椭圆上，则
，则
，同理
，
设直线
与
的倾斜角分别为
，
，则
，
则
，
则
，
所以当
时，
为定值
，即
面积为定值.
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【过关测试】
1．（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
交于
两点.
(1)若点
为
上一动点，求
的最大值与最小值；
(2)若
，求的斜率；
(3)在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设
的左焦点为
，则
，
由椭圆的定义知，
，
所以
，
当且仅当点
与
的左顶点重合时取等号，
即
的最大值为
；
，
当且仅当点
与
的右顶点重合时取等号.
即
的最小值为
.
（2）设
，则由
，得
，
所以
，即
，又
在
上，
所以
，即
解得
即
.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故直线的斜率为
.
（3）假设满足条件的点存在，设
，
则
，
当直线的斜率存在时，设的方程为
，
把
代入
，得
，
所以
，
，
，
所以
为定值，
所以
，解得
，
存在定点
，使得
为定值
；
当直线的斜率不存在时，易得
满足
为定值
.
综上，存在定点
，使得
为定值.
2．（2024·北京丰台·一模）已知椭圆
(
)的焦距为
，以椭圆
的四个顶点为顶点
的四边形的周长为16．
(1)求椭圆
的标准方程；
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)过点
的直线交椭圆
于
，
两点，线段
的中点为
．是否存在定点
，使得
？
若存在，求出
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得
解得
∴椭圆
的方程为
．
（2）若存在定点
，使得
，等价于以
为直径的圆恒过定点
．
当直线的斜率不存在时，
为直径的圆的方程为
①，
当直线的斜率为0 时，令
，得
，
因此
为直径的圆的方程为
②．
联立①②，得
猜测点
的坐标为
．
设直线的方程为
，
由
得
．
设
，则
∴
综上，存在定点
，使得
．
3．（2024·江苏·一模）已知椭圆C：
的右焦点为
，右顶点为A，直线l：
与x 轴交于点M，且
，
(1)求C 的方程；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ 的斜率成等差数列；
②⊙N 经过B，P，Q 三点，是否存在点B，使得，
？若存在，求
；若不存在，请说明理
由.
【解析】（1）由右焦点为
，得
，
因为
，所以
，
若
，则
，得
，无解，
若
，则
，得
，所以
，因此C 的方程
.
（2）设
，易知过B 且与C 相切的直线斜率存在，
设为
，
联立
，消去y 得
，
由
，得
，
设两条切线BP，BQ 的斜率分别为
，
，则
，
.
①设BF 的斜率为
，则
，
因为
，所以BP，BF，BQ 的斜率成等差数列，
②法1：在
中，令
，得
，所以
，
同理，得
，所以PQ 的中垂线为
，
易得BP 中点为
，所以BP 的中垂线为
，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立
，解得
，
所以
，
，
要使
，即
，整理得
，
而
，
所以
，解得
，
，因此
，
故存在符合题意的点B，使得
，此时
.
法2：在
中，令
，得
，因此
，
同理可得
，所以PQ 的中垂线为
，
因为BP 中点为
，所以BP 的中垂线为
，
联立
，解得
，
要使
，则
，所以
，即
，
而
，
所以
，解得
，
，因此
，
故存在符合题意的点B，使得
，此时
.
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
法3：要使
，即
或
，
从而
，又
，所以
，
因为
，
所以
，解得
，
，所以
，
故存在符合题意的点B，使得
，此时
.
法4：要使
，即
或
，
从而
，
在
中，令
，得
，故
，
同理可得
，
因此
，
，
所以
，
故
，即
，
整理得
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，整理得
，解得
或
（舍去），
因此
，
，
故存在符合题意的点B，使得
，此时
.
法5：要使
，即
或
，
在
中，令
，得
，故
，
同理可得
，
由等面积法得
，
即
，整理得
，
所以
，整理得
，解得
或
（舍去），
因此
，
，
故存在符合题意的点B，使得
，此时
.
4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知双曲线
的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为
，离心率为
，
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)记双曲线
的左、右顶点分别为
，点
为双曲线
的右支上异于点
的动点，直线
与直线
相交于点
，直线
与双曲线
的另一个交点为
，直线
垂直
于点
，问是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由，
【解析】（1）
设双曲线
的右焦点为
，
双曲线
的标准方程为
，则其渐近线为
，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由已知可得
，结合
，可得
，
所以双曲线
的标准方程为
，
（2）由已知，直线
不垂直于
轴，设直线
的方程为
，
由
消去
并整理得
，①
则
，且由这个方程的判别式
可得
，
设
，则
，
由已知可得
，设
，
由
三点共线可得
，
由
三点共线可得
，
消去并整理得
，
又
，所以上式可化为
，
即
，
整理可得
，
若
，则
，代入①式可得
，
因为点
不与点
重合，所以
，即
，
所以
，
所以
，即
，所以直线
过定点
，
因为直线
垂直于直线
，垂足为点
，所以点
在以
为直径的圆上，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以存在点
使
为定值3，此时点
的坐标为
，
5．（2024·内蒙古包头·一模）已知椭圆
：
，
是
的一个焦点，
是
上一点，
为
的左顶点，直线
与
交于不同的两点
，
．
(1)求
的方程；
(2)直线
，
分别交
轴于
，
两点，
为坐标原点；在
轴上是否存在点
，使得
，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可知，椭圆C 的半焦距
，
由
得
，
把D 的坐标代入C 的方程得
，
由
解得
所以C 的方程为
．
（2）假设在
轴上存在点H，使得
．
设
，由
，可知
，
所以
，即
，所以
．
因为直线
交椭圆C 于P，Q 两点，则P，Q 两点关于y 轴对称．
设
，
，（
，且
），
由题意得
，则直线RP 的方程为
，令
，得
，
直线RQ 的方程为
，令
，得
，
因为
，所以
，
又因为
在C 上，所以
，即
，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，得
．
当
时，由
，得
，
，
，
所以
，
，
所以
，又
，
为锐角，所以
，
所以
，满足题意，同理当
时，也满足题意．
所以，在
轴上存在点H，使得
，且H 的坐标为
和
．
6．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）已知
分别是椭圆
的左､右焦点，
分
别为椭圆
的左右顶点，且
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
为直线
上的一动点（点
不在
轴上），连接
交椭圆于
点，连接
并延长交椭圆于
点，试问是否存在
，便得
成立，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意，
，
，
则
，故
，
于是，椭圆
的方程为
.
（2）
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
如图，设点
，又
，
则直线
的方程为：
，代入方程
整理得：
，
设
，由韦达定理，
，解得：
，则
.
又因
，则直线
的方程为：
，代入方程
整理得：
，
设
，由韦达定理，
，
得：
，且
,
故直线
的斜率为
，
则直线
的方程为：
，
将上述
的表达式代入，即得直线
的方程为：
，
化简可得：
，
因
，故直线
恒过定点
.
于是
因
，
，
故
.
7．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆
，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点
，且与
椭圆G 相交于
两点，弦
的中点为M，直线
与椭圆G 相交于
两点．
(1)若直线l 的斜率为1，求直线
的斜率；
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)是否存在直线l，使得
成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
设
，则
，
由A、B 在椭圆上有
，
作差得：
，
易知
，
，
即
，
所以直线
的斜率为
；
（2）假设存在直线
满足题意，不妨设其方程为
，设
，
由
，则
，
所以
，
且
，
则
，易得
，
由椭圆对称性可设
，则
，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
，
所以
，
易知
，
则
，
即存在直线
或
满足题意.
8．（2024·福建·模拟预测）在
中，
，
，
的平分线交AB 于点D，
.平面α 过直线AB，且与
所在的平面垂直.
(1)求直线CD 与平面
所成角的大小；
(2)设点
，且
，记E 的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ 是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB 重合的直线l 过点D 且交Γ 于P，Q 两点，试问：在平面α 内是否存在定点T，使得无论
l 绕点D 如何转动，总有
？若存在，指出点T 的位置；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为平面
，
平面
平面
，
所以
.
所以直线
在
内的射影为直线
，
所以直线
与
所成角为
.
过
作
，垂足为
.
因为
平分
，
所以
.
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，所以
，所以
又
，所以
.
因为
，所以
，
所以直线
与平面
所成角为
.
（2）（i）曲线
是椭圆,理由如下：
由（1）可知，
，
所以
是
的中点,
设
的中点为
，所以
.
又
，所以
.
在
内过
作
，所以
以
为原点，
所在的方向分别为
轴，
轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系
，如图所示.
因为
，所以
，
设
，又
，
则
.
因为
，又
，
所以
，
化简得
，即
，
所以曲线
是椭圆.
（ii）方法一：设
.
在平面
内，因为与
不重合，可设
，
由
得
，所以
.
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由对称性知，若存在定点
满足条件，
则
必在平面
与
的交线
上，故可设
.
若
，则
，
即
，
因为
，
所以
，
当
时，上式恒成立，所以
符合题意；
当
时，有
，
所以
，
所以
.
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，即
.
因为上式对于任意的
恒成立，所以
.
综上，存在点
满足
，或
时，符合题意.
方法二：设
在平面
内，因为与
不重合，可设
，由
得
，
所以
.
由对称性知，若存在定点
满足条件，则
必在平面
与
的交线
上，故可设
.
当
与
重合时，因为
，又
，
所以
.
所以当
时，符合题意.
当
与
不重合时，过
作
，
垂足分别为
.连接
，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则因为
，所以
.
又
，所以
平面
，
所以
，同理
又
，所以
，所以
，
所以Rt
Rt
，所以直线
平分
又
在
轴上，所以在平面
内直线
的倾斜角互补
在平面
内，设直线
的斜率分别为
，
则
，
对于任意的
恒成立，所以
.
综上，存在点
满足
，或
时，符合题意.
9．（2024·安徽阜阳·一模）已知双曲线
的左、右顶点分别为
，动直
线过点
，当直线与双曲线
有且仅有一个公共点时，点
到直线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程．
(2)当直线与双曲线
交于异于
的两点
时，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
．是否存
在实数
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
，
故当直线过
且与双曲线
有且仅有一个公共点时，与
的渐近线平行．
设直线
，
则点
到直线的距离为
，
所以双曲线
的标准方程为
．
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由题可知，直线的斜率不为0，
设直线
，
由
得
．
成立，
则
，
．
，
．
故存在实数
，使得
成立．
10．（2024·高三·上海·阶段练习）如图，设椭圆
为
的左､右焦点，过点
的
直线与
交于
两点.
(1)若椭圆
的离心率为
的周长为6，求椭圆
的方程；
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求证：
为定值；
(3)是否存在直线，使得
为等腰直角三角形？若存在，求出
的离心率的值，若不存在，请说明
理由.
【解析】（1）
设椭圆
的焦距为
.
由题意，
，解得
，
故椭圆
的方程为
.
（2）椭圆
左焦点
的坐标为
.
当直线的斜率为0 时，
为定值.
当直线的斜率不为0 时，设的方程为
.
点
的坐标为方程组
的实数解，消
，得
.
于是有
，
异号，故
.
为定值.
综上，
为定值
.
（3）根据对称性，若
为等腰直角三角形，只需考虑
为直角或
为直角.
设
.
若
为直角，由于
,故
轴，将
代入椭圆方程中可得
，解得
，
则
，
,进而可得
,故离心率
；
若
为直角，则
，
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可解得
，
，
由（2），
，代入可得
，
又
故离心率
.
综上，
可以为等腰直角三角形，此时离心率为
或
11．（2024·广东·一模）在平面直角坐标系中，
，
，M 为平面内的一个动点，满足：
．
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线
与曲线C 有且只有一个公共点P，且与直线
相交于点Q，该平面上是否存在
定点H，使得以PQ 为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为
,
所以
，
即
，所以
，
即
点轨迹是以
为焦点的椭圆，且
，
所以
，
故椭圆方程为：
.
（2）如图，
由
，消去y 并整理，得
，
因为直线l：
与椭圆C 有且只有一个公共点P，
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
，
所以
，
，
此时
，
，
所以
，
由
，得
，
假设存在定点
，使得以PQ 为直径的圆恒过点H，则
，
又
，
，
所以
，
整理，得
对任意实数
，k 恒成立，
所以
，
解得
，
故存在定点
，使得以PQ 为直径的圆恒过点H.
12．（2024·广东江门·一模）已知椭圆
的离心率是
，过点
的动直线与
椭圆相交于
，
两点，当直线与
轴垂直时，直线被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)是否存在与点
不同的定点
，使得
恒成立?若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说
明理由.
【解析】（1）依题意可得点
在椭圆上，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，解得
，所以椭圆的方程为
.
（2）当垂直于
轴时，设直线与椭圆相交于
，
两点，如果存在点
满足条件，
则有
，即
，所以点
在
轴上，设
，
当与
轴重合时，设直线与椭圆相交于
，
两点，不妨设
，
，
则由
，即
，解得
或
，
所以若存在不同于点
的定点
满足条件，则点
的坐标为
；
下面证明：对任意的直线，均有
，
当不平行于
轴且不垂直于
轴时，设直线方程为
，
，
，
联立
，消去
，得
，
因为直线恒过椭圆内定点
，故
恒成立，
所以
，
，
所以
，
易知点
关于
轴的对称点
的坐标为
，
又
，
，
所以
，则
三点共线，所以
；
综上：存在与点
不同的定点
，使
恒成立.
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知椭圆
与双曲线
的离心率的平方和
为
.
(1)求
的值；
(2)过点
的直线与椭圆
和双曲线
分别交于点
，
，
，
，在
轴上是否存在一点
，直
线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，使得
为定值？若存在，请
求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知得
，即
，∴
，∴
；
（2）由（1）得椭圆
与双曲线
，
由已知得直线的斜率不为零，设直线的方程为
，
，
，
，
，
，
将直线与椭圆联立
得
，
，
，
，
.
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
将直线与双曲线联立
得
，
由
得
，又
,
而
，
，
.
当
时，
为定值.
故在
轴上是存在一点
，使得
为定值0.
14．（2024·福建厦门·二模）已知
，
，
为平面上的一个动点.设直线
的斜率分别为
，
，且满足
.记
的轨迹为曲线
.
(1)求
的轨迹方程；
(2)直线
，
分别交动直线
于点
，过点
作
的垂线交
轴于点
.
是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）
由题意设点
，由于
，
故
，整理得
，
即
的轨迹方程为
；
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由题意知直线
的斜率分别为
，
，且满足
，
设直线
的方程为
，令
，则可得
，即
，
直线
，同理求得
，
又直线
的方程为
，
令
，得
，即
，
故
，
当
时，
取到最大值12，
即
存在最大值，最大值为12.
15．（2024·北京怀柔·模拟预测）椭圆
的离心率为
，
，
是椭圆的左、右焦点，
以
为圆心、
为半径的圆与以
为圆心、
为半径的圆的交点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程和长轴长；
(2)已知直线
与椭圆C 有两个不同的交点A，B，P 为x 轴上一点.是否存在实数k，使得
是以
点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）如图所示，设两圆与椭圆的交点为
，
根据椭圆的定义可知：
，所以
，
又由椭圆的离心率为
，可得
，则
，
所以椭圆的方程为
，椭圆的长轴长为
.
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）联立方程组
，整理得
，
由
，解得
，
设
，则
，
再设
的中点为
，则
，
可得
，所以
，
假设存在实数
和点
，使得
是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，
则
，可得
，所以
，
解得
，所以点
，
又因为
，可得
，即
，
整理得
，
所以
，
将
代入可得
，
即
，
整理得
，所以
，解得
，
当
时，点
的坐标为
；当
时，点
的坐标为
，
此时，
是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
16．（2024·福建漳州·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
是
上的点，直
线
的斜率为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
作两条相互垂直的直线分别交
于
两点和
两点，
的中点分别记为
，且
为垂足．试判断是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）依题意得
解得
所以
的方程为
．
（2）存在点
，使得
为定值．
当
均不与
轴垂直时，
设直线
的方程为
，
，
则直线
的方程为
，
联立
消去
整理可得
，
．
则
，
设
，则
，
，
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
．
同理得点
的坐标为
，
则直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，
令
，解得
，
所以直线
经过定点
；
当
时，直线
的方程为
，也经过定点
．
当
与
轴垂直或重合时，直线
的方程为
0，经过定点
．
综上，直线
经过定点
．
记定点
的中点记为
，则
，
，
因为
，所以
为定值，
所以存在点
，使得
为定值．
17．（2024·高三·甘肃定西·开学考试）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在
我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2 和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6 的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上
述方法折纸．
(1)以点F、E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C 的标准方程；
(2)若过点
且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点
，使得直线TM，TN 的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图，以
所在的直线为
轴，
的中点
为原点建立平面直角坐标系，
设
为椭圆上一点，由题意可知，
，
所以
点轨迹是以
，
为焦点，长轴长
的椭圆，
因为
，
，所以
，
，
则
，所以椭圆的标准方程为
；
（2）由已知：直线过
，设的方程为
，由题意
必定是存在的，
联立两个方程得
，消去
得
，
得
，
设
,
，
,
，
则
，
，
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
将
代入上式，可得上式可得
，
要使
为定值，则有
，
，
又
，
，此时
，
存在点
，使得直线
与
斜率之积为定值
；
综上，椭圆的标准方程为
，存在点
，使得直线
与
斜率之积为定值
．
18．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xQy 中，圆O：
．
(1)P 为直线l：
上一点．
①若点P 在第一象限，且
，求过点P 的圆O 的切线方程；
②若存在过点P 的直线交圆O 于点A，B，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围；
(2)已知
，M 为圆O 上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使
为定值，若存在，求出
D 坐标；若不存在，说明你的理由．
【解析】（1）①设点P 的坐标为
，因为
，故
，
解得
．又点P 在第一象限，则
，即P 的坐标为
，
易知过点P 的圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为
，即
，于是有
，
解得
或
，因此过点P 的圆O 的切线方程为：
或
.
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②设
，则
，由点A、B 均在圆O 上，
有圆
与圆
有公共点．
于是
，解得
，
即点P 纵坐标的取值范围是
；
（2）设
，假设存在点
，使得
为定值
，
由阿氏圆的定义易知点D 在x 轴上，设为
，如图所示，
由阿氏圆性质有：
，则
，所以点D 的坐标为
，
由阿氏圆内外分比定理有：
，
所以存在定点
，使
为定值2．
19．（2024·四川成都·模拟预测）已知点
是椭圆
的右焦点，过原点的直线交椭圆
于
两点，△
面积的最大值为
，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知过点
的直线与椭圆
交于
两点，是否存在定点
，使得直线
的斜率之和为
定值？若存在，求出定点
的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设
,
，
∵
(当且仅当
是
轴与椭圆的交点时取等号)，
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴
.
又∵
，∴
，
∴椭圆E 的标准方程为
；
（2）设直线的方程为
由
在直线上，得
，
将直线和椭圆方程
联立
，
化简得
，
由
，得
，
由根与系数的关系，得
，
故直线
的斜率之和为
要使上式为定值，则
故
，且
20．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：
，若椭圆的焦距为4 且经过点
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，过点
的直线交椭圆于P，Q 两点．
(1)求椭圆方程；
(2)求
面积的最大值，并求此时直线
的方程；
(3)若直线
与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点
使得
恒成立？若存在，求出s 的值；
若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意，
，将点
代入椭圆方程得
，
解得
，
，所以椭圆
的方程为
.
（2）根据题意知直线
的斜率不为0，设直线
，
，
，
联立
，消去
整理得
，
，
，且
，
，令
，
，
，
当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
所以
面积的最大值为
，此时直线
的方程为
或
.
（3）在
轴上存在点
使得
，理由如下：
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
，即
，
整理得
，即
，
即
，
则
，又
，解得
，
所以在
轴上存在点
使得
.
21．（2024·广东深圳·一模）已知动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比为常数
．
其中
，且
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点
，若曲线
上两动点
均在
轴上方，
，且
与
相交于点
．
①当
时，求证：
的值及
的周长均为定值；
②当
时，记
的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数
，使得
恒成立？若
存在，求
（用
表示）；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设点
，由题意可知
，
即
，
经化简，得
的方程为
，
当
时，曲线
是焦点在
轴上的椭圆；
当
时，曲线
是焦点在
轴上的双曲线．
（2）设点
，其中
且
，
（ⅰ）由（1）可知
的方程为
，
因为
，所以
，
因此，
三点共线，且
，
（法一）设直线
的方程为
，联立
的方程，得
，
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
由（1）可知
，
所以
，
所以
为定值1；
（法二）设
，则有
，解得
，
同理由
，解得
，
所以
，
所以
为定值1；
由椭圆定义
，得
，
，
解得
，同理可得
，
所以
．
因为
，所以
的周长为定值
．
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（ⅱ）当
时，曲线
的方程为
，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得
三点共线，且
，
（法一）设直线
的方程为
，联立
的方程，
得
，
，（*）
因为
，
所以
，
将（*）代入上式，化简得
，
（法二）设
，依条件有
，解得
，
同理由
，解得
，
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
．
由双曲线的定义
，得
，
根据
，解得
，
同理根据
，解得
，
所以
，
由内切圆性质可知，
，
当
时，
（常数）．
因此，存在常数
使得
恒成立，且
．
53
