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重难点专训04 导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二
次同构问题
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题
同构
型一：直接变形
........................................................................................................................................3
题
二
同构
型
：加法
................................................................................................................................................3
题
同构
型三：乘法
................................................................................................................................................4
题
双元同构
型四：
................................................................................................................................................4
题
朗博同构
型五：
................................................................................................................................................5
题
同构
型六：利用
比较大小................................................................................................................................5
题
同构
型七：利用
证明不等式............................................................................................................................6
题
同构
问题
型八：利用
解决恒成立
....................................................................................................................7
题
同构
点
的
型九：利用
解决零
之间
关系............................................................................................................7
重难专题分层过关练............................................................................................................................8
巩固过关.................................................................................................................................................................8
创新提升...............................................................................................................................................................10
1、同构法：
把一个等式或不等式通
形，使左右两
构、形式完全相同，构造函数，利用函数的
性
行
过变
边结
单调
进
处
理，找到
个函数模型的方法就是同构法
这
.同构法主要解决含有指数、
数混合的等式或不等式问题
对
.
2、指对同构的常用形式
(1)积型：
，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：
，构造函数
；
②同右构造形式：
，构造函数
；
③取对构造形式：
，构造函数
(2)商型：
，
一般有三种同构方式：
①同左构造形式：
，
构造函数
；
②同右构造形式：
，
构造函数
；
③取对构造形式：
，构造函数
.
(3)和、差型：
，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：
，构造函数
；
②同右构造形式：
，构造函数
.
3、六大超越函数及其图象
4、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘
同构，如
；
（2）加法同构，即加
同构，如
，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数
与
易实现，但构造的函数
与
均不是单调函
数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范
围；
题型一：
同构
直接变形
典例1-1．（多选）已知实数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．已知实数
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．
，不等式
恒成立，则正实数
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
变式1-2．已知函数
，
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二
同构
：加法
典例2-1．已知函数
，若对于任意的
使得不等式
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．已知
，不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
变式2-2．已知函数
，若
对任意的
恒成立，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：
同构
乘法
典例3-1．若
，都有
，则a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
典例3-2．对于
，
恒成立，则正数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．若对任意
，满足
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．若
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
双元同构
四：
典例4-1．若对
都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．e
D．2e
典例4-2．已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．对于任意
，
，当
时，恒有
成立；则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（多选）是自然对数的底数，
，
，已知
，则下列结论一定正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
，则
题型五：朗博同构
典例5-1．已知函数
，
，当
时，函数
的图象始终在函数
图象的上方，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例5-2．函数
在定义域内是增函数，则实数a 的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．已知对于
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．若不等式
对任意的
恒成立，则实数m 的最大值为 .
题型六：
同构
利用
比较大小
典例6-1．设
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6-2．已知
，
，
，则
，
，的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．已知
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．已知
，
，
，则把
、
、从小到大排列的顺序是
.
题型七：
同构
利用
证明不等式
典例7-1．设
，
，证明：
；
典例7-2．已知函数
.
(1)若
，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)讨论
在区间
上的单调性；
(3)设
是两个不相等的正数，且
，证明：
.
变式7-1．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两根，求a 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
变式7-2．设函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
题型八：
同构
问题
利用
解决恒成立
典例8-1．若
，不等式
恒成立（其中是自然对数的底数），则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例8-2．已知实数
，
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-1．（多选）若不等式
恒成立，则实数a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．2
D．e
变式8-2．已知函数
.关于
的不等式
在
上
恒成立，求实数
的取值范围.
题型九：
同构
点
的
利用
解决零
之间
关系
典例9-1．已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求
；
(2)是否存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
变式9-1．已知函数
和
有相同的最小值.
(1)求
；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等比数列.
变式9-2．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，求证：
.
巩固过关
1．已知
．且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．已知函数
和
，若存在实数
，使得
，则
的最小值为
（ ）
A．-e
B．-1
C．
D．
4．若关于x 的不等式
在
上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
（
），若函数
在区间
内存在零点，求实数a 的取
值范围
6．若实数λ∈R，不等式
>ln x 在（1，+∞）上恒成立，则λ 的取值范围是 .
7．三个数
，
，
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知实数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
9．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．已知关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
12．已知函数
，
(1)试讨论
在
上的单调性
(2)若
，
求证：
创新提升
1．
，
，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
，
，
恒成立，则
最小值为 ．
3．已知
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
为自然对数的底数，
的零点分别为
，
，则
的取值范围为 .
5．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
