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重难点专题04 二次函数的定义与三种解析式
重难点一识别二次函数及各项系数
1.先观察式子是否为整式，再看自变量最高次数是否等于2，最后确认二次项系数不为0；
2.分式、根式、自变量含负次幂的式子直接排除，不满足任意一条都不是二次函数；
3.将二次函数写成一般式的形式，分别是二次项（系数）、一次项（系数）、常数项，对照识别即可。
1．下列各式中，ݕ是ݔ的二次函数的是（
）
A．ݕ㔠㈸ݔെ͵
B．ݕ㔠ݔ㈸െͷݔ͵
C．ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔܿ
D．ݕ㔠ݔ㈸െ
ݔ㈸
2．下列函数中，ݕ一定是关于ݔ的二次函数的是（
）
A．ݕ㔠〱ݔ㈸െ
B．ݕ㔠㈸ݔ㈸㈸
C．ݕ㔠
㈸ݔ
D．ݕ㔠
ݔ
3．下列函数是关于x 的二次函数的是（
）
A．ݕ㔠ݔ㈸
ݔ㈸
B．ݕ㔠ݔെݔ
C．ݕ㔠ݔ㈸െݔ㈸
D．ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔܿ
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4．二次函数ݕ㔠㈸ݔ㈸ݔെ 的常数项为_______．
5．二次函数ݕ㔠⸱ݔെ㈸㌳⸱ͷ െ㈸ݔ㌳的二次项系数是___________．
6．二次函数ݕ㔠ݔ㈸െͷݔ㈸中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．
7．已知二次函数ݕ㔠㈸ݔ㈸香ݔെ，它的二次项系数为〱，一次项系数为ܾ
，常数项为ܿ，则ݕ㔠ܿݔ㈸െ〱ݔܾ
为______．
重难点二利用二次函数的定义求参数的值
1.根据二次函数的定义列两组限制条件：一是自变量指数等于2，二是二次项系数不等于0；
2.联立方程或不等式算出参数后，代入二次项系数检验，舍去使系数为0 的解。
1．已知ݕ㔠⸱ሺ㌳ݔ㈸㈸ݔെ͵ 是二次函数，则ሺ的取值范围是（
）
A．ሺെ
B．ሺ൏െ
C．ሺ്
D．ሺ്
െ
2．若函数ݕ㔠ሺെ㈸ݔሺ㈸െ㈸ݔ是关于ݔ的二次函数，则ሺ为（
）
A．㈸
B．േ㈸
C．െ㈸
D．Ͳ
3．已知ݕ㔠ሺ㈸ݔሺ是关于x 的二次函数，那么m 的值为（
）
A．െ㈸
B．2
C．േ㈸
D．0
4．若是关于ݔ的二次函数ݕ㔠〱͵ ݔ〱െെݔ，则〱的值是（
）
A．െ͵
B．㈸
C．͵
D．െ͵ 或͵
5．已知函数ݕ㔠⸱ሺെ͵㌳ݔሺ㈸െ是二次函数，则m 的值为________．
6．函数ݕ㔠ሺ㈸ݔሺ㈸㈸ሺ是关于ݔ的二次函数，则ሺ㔠______．
7．若函数ݕ㔠ሺݔሺ㈸െ㈸ሺെ͵ݔെ㈸是二次函数，则ሺ㔠______．
重难点三顶点式求解析式
1.已知顶点⸱ℎ,k㌳+一点坐标：设y 㔠a⸱x −ℎ㌳㈸k，把已知点坐标代入求出a，无需解多元方程组，计
算速度更快；
2.已知对称轴+最值+一点坐标：对称轴为x 㔠ℎ、最值为k，等同给出顶点⸱ℎ,k㌳，按顶点式标准步骤求
解；
3.顶点加y 轴交点：求出a 后，可直接写出完整顶点式，按需展开为一般式。
1．已知二次函数图象的顶点坐标为െ㈸, െ͵ ，且图象经过点, ，求这个二次函数的解析式．
2．已知抛物线的顶点为,ͷ ，且当自变量ݔ㔠െ时，对应的函数值为െ͵，求这条抛物线的表达式．
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3．已知二次函数的图象过点ܣ⸱㈸, െ͵㌳，且顶点坐标为ܥ⸱, െ香㌳．求此二次函数的表达式；
4．已知抛物线ݕ㔠〱⸱ݔെ݄㌳㈸的对称轴是直线ݔ㔠െ㈸，且过点⸱, െ͵㌳．求这个二次函数的表达式．
5．已知二次函数图象的顶点坐标为െ㈸,㈸，且经过点Ͳ, ，求该二次函数的解析式．
重难点四一般式求解析式
1.直接设y 㔠ax㈸bx c，将三个点横纵坐标依次代入得到三元一次方程组；
2.消元依次求出a、b、c，最后带回一般式整理即可。
1．已知二次函数ݕ㔠ݔ㈸ܾݔെ㈸的图像经过点ܣ⸱㈸,Ͳ㌳，求这个二次函数的解析式．
2．已知二次函数ݕ㔠ݔ㈸ܾݔܿ
的图象经过点െ,Ͳ ，, െ㈸，求该二次函数的表达式．
3．已知二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔെ͵ 的图象经过ܣ,Ͳ ，ܤ㈸,ͷ ，求该二次函数的解析式．
4．我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数
的解析式，对于二次函数，探究下面的问题：
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过െ,Ͳ , ,香, ㈸, 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求
出这个二次函数的解析式．
5．抛物线ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔܿ
经过⸱െ, െ㈸㈸㌳,⸱Ͳ, െͺ㌳,⸱㈸,ͺ㌳三点，求它的开口方向、对称轴和顶点．
6．二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔܿ
图象与ݔ轴交于点ܣെ,Ͳ ，与ݕ轴交于点ܥͲ, െͷ ，且经过点D（3，-8）．求
此二次函数的解析式及顶点坐标．
7．已知二次函数的图象过点Ͳ,、,͵ 、㈸, ，求该函数的解析式．
8．已知二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔܿ
的图像经过点Ͳ,㈸、,͵ 、െ, െ，求该二次函数的解析式，并判断
该函数图像的开口方向．
9．已知二次函数图像经过点ܣͲ,、ܤ,͵ 、ܥെ,，求该函数解析式
重难点五交点式求解析式
1.已知抛物线与x 轴两个交点横坐标x、x㈸，设y 㔠a⸱x −x㌳⸱x −x㈸㌳，代入第三个点求a；
2.仅当Δ ≥Ͳ、抛物线和x 轴有交点时才能使用，无交点只能选用一般式。
1．二次函数图象经过ܣെ,Ͳ ,ܤͲ, െ㈸,ܥ香,Ͳ ，求二次函数解析式．
2．若二次函数的图象与ݔ轴的交点为െ͵,Ͳ ，,Ͳ ，且过点Ͳ,，求此二次函数的解析式并直接写出图
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象的对称轴．
3．二次函数的图象经过ܣ香,Ͳ ，ܤെ㈸,Ͳ ，ܥ㈸,香三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求函数顶点的坐标；
(3)当Ͳ ݔͷ 时，直接写出y 的取值范围．
重难点六解析式之间的综合
1.一般式转顶点式用配方法，先提取二次项系数，括号内配方后整理常数项；
2.顶点式、交点式转一般式直接去括号合并同类项；
3.一般式转交点式先因式分解，无法分解则不能转化。
1．已知二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸ܾݔܿ
〱്
Ͳ 中的x，y 取值如表所示：
x
…
െ
0
1
2
3
…
y
…
െ㈸
1
2
1
n
…
(1)根据表格，则n 的值为______；
(2)求此二次函数的表达式．
2．已知抛物线与x 轴相交于点ܣെ͵,Ͳ ，ܤ,Ͳ ，且过点ܯͲ,．
(1)求此函数的表达式；
(2)求顶点坐标．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标及对称轴；
4．已知二次函数ݕ㔠
㈸ݔ㈸ܾݔܿ
经过点ܣͲ, െ㈸，ܤ㈸, െ香两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
