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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 12 第二十九章 圆 知识点一 圆的相关概念 1. 圆的两种定义 ① 动态定义：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点_______一周，另一个端点所形成的封闭 曲线叫做_______；固定端点为_______，线段长度为_______。 ② 静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合。 _______决定圆的位置，_______决定圆的大小。 2. 圆中基础线段 弦：连接圆上任意_______的_______； 直径：经过_______的弦，是圆内最_______的弦，直径 𝑑= ______________； 弦心距：圆心到一条弦的______________长度。 3. 弧的分类 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧： 劣弧：______________半圆的弧，用两个字母表示； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 12 半圆：直径分圆所得弧，度数 180∘； 优弧：______________半圆的弧，必须用三个字母表示； 等弧：在同圆或等圆中，能够______________的弧；半径不等的圆不存在等弧。 4. 等圆：半径相等的两个圆叫做等圆，圆心不同、半径相同可互相重合。 5. 点与圆的位置关系 设圆半径为 𝑟，点到圆心距离为 𝑑： 𝑑> 𝑟 ⇒ 点在_______ 𝑑= 𝑟 ⇒ 点在_______ 𝑑< 𝑟 ⇒ 点在_______ 知识点二 圆的有关性质 1. 垂径定理及其推论 • 定理：_______于弦的直径_______这条弦，并且平分弦所对的两条_______。 • 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 • 做题常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长、半径。 2. 圆心角、弧、弦、弦心距四组量关系 前提：同圆或等圆中 圆心角相等 ⇔ 所对弧相等 ⇔ 所对弦相等 ⇔ 弦心距相等；一组量全部相等，其余三组量全部对应相等。 3. 圆周角定理及推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的_______。 （2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角_______； （3）推论2：直径所对的圆周角是_______（90∘）；90∘ 的圆周角所对的弦是_______。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 12 4. 圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形叫作圆内接四边形： ① 对角_______； ② 任意一个外角等于它的_______。 知识点三 弧长和扇形面积 设：圆半径 𝑟，圆心角度数 𝑛∘ 1. 弧长公式 𝑙= ______________ 含义：圆心角 𝑛∘ 对应的圆弧长度。 2. 扇形面积两个公式 ① 𝑆扇形= ______________（依靠圆心角、半径计算） ② 𝑆扇形= ______________（依靠弧长、半径计算，计算更便捷） 3. 圆锥相关计算（拓展必考） 圆锥构成：底面圆形、侧面曲面（侧面展开图是扇形） 参数定义： 𝑟：圆锥底面半径 𝑙：圆锥母线长（侧面展开扇形的半径） ℎ：圆锥的高 三者满足勾股关系：_____________________ 圆锥侧面积：𝑆侧= ______________ 圆锥全面积：𝑆全= ______________ + ______________（侧面积 + 底面圆面积） 关键关系：侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆周长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 12 易错点1 垂径定理及其应用 易错提醒 易错点总结 1. 乱用推论：忽略推论前提，直接说“平分弦的直径垂直弦”，忘记必须排除「弦是直径」的情况，造 成定理误用。 2. 漏分情况：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），做题只算一种，导致角度、长度漏解。 3. 不会构造直角三角形：遇弦长计算，不做“圆心向弦作垂线”，无法利用勾股定理，列式失败。 4. 概念混淆：分不清弦、弦心距、半径，代入数值混乱，计算出错。 注意事项总结 1. 定理严格背诵：垂直于弦的直径平分弦和弧；推论必须加条件：平分非直径的弦才垂直。 2. 弦的题型万能辅助线：过圆心作弦的垂线，形成「半径、半弦长、弦心距」直角三角形，用勾股定 理计算。 3. 一条弦对应两个弧、两种圆心角、圆周角，无图题必须分类讨论，防止漏解。 4. 已知弦长优先除以2，用“半弦长”参与计算，不要直接用整弦长。 【对点训练】1．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融， 核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 ABC ，线段CD，DE ， EA四部分构成，AE ，CD分别垂直于地面l ．经测量，该月洞门的最高点B 到地面的距离为21分米， 3 AE CD = = 分米， 12 DE = 分米，则 ABC 所在圆的半径为_________分米． 易错点2 圆周角定理及其推论 易错提醒 易错点总结 1. 角度倍数搞反：误把“圆周角是圆心角的一半”记成圆心角是圆周角的一半，角度全部算反。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 12 2. 看错对应弧：不同弧对应的角乱套用，非同弧的圆心角、圆周角乱换算。 3. 忽略直径推论：看到直径不会自动联想直角，无法构造直角三角形解题。 4. 圆内接四边形性质乱用：忘记对角互补、外角等于内对角，角度推导错误。 注意事项总结 1. 铁律：同弧所对，圆周角 = ½ 圆心角，必须认准「同一段弧」才可换算。 2. 看到直径立刻构造直角三角形，是圆几何题第一万能思路。 3. 同弧圆周角相等、等弧圆周角相等，做题优先找公共弧、等弧。 4. 圆内接四边形：对角和 180^∘，外角=内对角，角度计算优先使用。 【对点训练】2．点A、B 、C 是 O 上不同的三点，已知 210 AOB ACB + = ，则 AOB =____度． 易错点3 扇形与圆锥的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 公式记混：弧长公式、扇形面积公式混淆，π 位置、分母 180/360 乱用。 2. 圆锥两个半径混淆：把底面小圆半径 r 和侧面母线 l 弄混，代入公式错误。 3. 求全面积忘记加底面积：只算侧面积，漏掉底面圆面积扣分。 4. 核心等量关系遗忘：不会用「圆锥底面周长 = 侧面扇形弧长」求圆心角。 5. 忘记母线、半径、高的勾股关系：2 2 2 l r h = + ，无法换算边长。 注意事项总结 1. 熟记必考公式：弧长 180 n r l = ；扇形面积 2 1 360 2 n r S lr = = 2. 圆锥区分：r 是底面半径，l 是母线（扇形半径），绝不混用。 3. 看清题目：求侧面积不加底，求全面积必须加一个底面圆面积。 4. 圆锥求圆心角题型，唯一突破口：底面周长 = 扇形弧长，列方程求解。 【对点训练】3．如图，圆锥的高AO 为12，母线AB 长为13，则该圆锥的侧面积为________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 12 易错点4 不规则图形的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 不会割补法：不规则阴影图形不会拆分、拼接，直接硬算导致出错。 2. 重复、漏算面积：重叠区域多算、空白区域没扣除。 3. 平移、旋转等全等变换不会使用，不会等面积替换。 4. 扇形、三角形、四边形组合图形，公式套用混乱。 注意事项总结 1. 不规则图形面积万能思路：割补法、和差法。 阴影面积 = 整体规则图形面积 − 空白部分面积或阴影面积=几部分规则图形面积相加 2. 利用旋转、平移、轴对称进行等面积转化，把零散阴影拼成规则图形。 3. 组合图形分步计算：先算扇形、再算三角形，最后做加减，不混算。 4. 杜绝目测估算，所有面积必须用公式严谨计算。 【对点训练】4．如图，ABC 中， 3 AB = ，将ABC 绕点A逆时针旋转60得到 1 1 AB C △ ， 1 AB 恰好经过点C ．则 阴影部分的面积为_______． 易错点5 圆锥侧面上最大路径问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会将圆锥曲面沿母线剪开摊成平面扇形，依旧在曲面上画图找线段，无法求解最短距离。 2. 展开扇形后，两点之间线段最短不会应用，错误沿着圆锥母线、底面圆周绕行计算路程。 3. 展开后圆心角度数算错，等腰三角形顶角数值出错，无法用勾股定理、余弦定理求弦长。 4. 分不清起点、终点位置，展开图标注点位混乱。 注意事项总结 1. 圆锥表面最短路径解题唯一套路：沿母线剪开，把曲面展开为平面扇形。 2. 平面内两点之间线段最短，连接起点与终点的线段长度即为最短路径。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 12 3. 先利用底面周长=扇形弧长算出展开图圆心角，确定顶角大小。 4. 根据扇形顶角、母线长，构造三角形，利用勾股定理或三角函数计算线段长度。 5. 看清动点起点终点，准确在展开图上标注对应点位。 【对点训练】5．已知圆锥的底面半径为2，母线长 8 SA= ，现有一只小虫从圆锥底面圆上A 点出发，沿着 圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，则它所走的最短路程是__． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 12 一、单选题 1．如图，AB 是 O 的直径，弦CD AB ⊥ 垂足为点M ，连接OC ，DB．如果OC DB ∥ ， 4 OC = ，那么图 中阴影部分的面积是（ ） A．8 3 B．2 C．5 3 D．4 2．如图， 50 A = ， 60 ABC = ，BD是 O 的直径，则 AEB 等于（ ） A．70 B．110 C．90 D．120 3．如图，点A、B、C、D 为 O 上的点，四边形AOBC 是菱形，则 ADB 的度数是（） A．30 B．45 C．50 D．60 4．如图，点A B C 、、 均在 O 上， 50 OBC = ，则 A 的大小为（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 12 5．如图，BC 为直径， 25 ABC = ，则 D 的度数为（ ） A．35 B．45 C．55 D．65 二、填空题 6．如图，ABC 内接于 O ，AB BC = ，AD是 O 的直径．设 DAB = ， DBC = ，则与的关系 是 _______． 7．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为3km ，母线长为4 3km ，欲从A 处修一条最近的盘山公路到景 点B（B 位于母线PA的中点处），那么这条盘山公路的长度是______km． 8．如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为40cm ，底面直径为60cm，则该斗笠的侧面展开图 的圆心角大小为_______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 9．如图，在边长为2 的正方形ABCD中，对角线AC 与BD的交点为O，分别以A、C 为圆心，以AO 的长 为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π ）． 10．如图，四边形ABCD是 O 的内接四边形，BE是 O 的直径，连接CE ，若 104 BAD = ， DCE = ________． 三、解答题 11．如图，四边形ABCD是 O 的内接四边形，AB 是 O 的直径，点E 在AB 的延长线上，连接 , , 2 OC CE DCB ABC = ． (1)如图①，求证：AD OC ∥ ； (2)如图②，若 4, 3 BC BE AE BE = = = ，求BC 的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 12．如图，在ABC 中，AB AC = ，以AB 为直径的 O 交BC 于点D，交AC 于点E，连接BE． (1)求证：BD CD = ； (2)若 4 AB = ， 30 BAC = ，连接BE，求图中阴影部分的面积．（用含π 的式子表示运算结果） 13．如图，AB 为 O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC BD ∥ ，OC 交AD于点E ． (1)求证： AOC COD = ； (2)若 16 AD = ， 4 CE = ，求 O 的半径． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 14．如图，在 O 中，直径AB 与弦CD相交于点P， 40 CAB = ， 66 APD = ． (1)求 B 的大小； (2)已知圆心O 到BD的距离为4，求AD的长． 15．已知，如图： O 的半径 5 2 R = ，弦 14 AB = ．点C 在AB 上CD AB ⊥ 交 O 于点D ． (1)若 4 BC = ，求线段CD的长． (2)若点C 在弦AB 上运动，则AC CD + 的最大值________．
