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限时训练02（A 组+B 组）
（考试时间：60 分钟 试卷满分：73 分）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的）
1．已知是虚数单位，若复数z 满足
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法，求出复数
，再求共轭复数，然后判定所在象限.
【详解】由题意知，
，则
，
故复数
在复平面内对应的点为
，在第四象限.
2．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解出集合
，
中的元素，再由集合的并运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
所以
.
3．已知直线
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案.
【详解】当
，直线
，此时
，故“
”是“
”的充分
条件，
由
，得
，解得
，故“
”是“
”的必要条件，
故“
”是“
”的充要条件.
1
故选：C.
4．
的展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】二项展开式的通项公式为
，
整理得：
，
令
，解得：
，
展开式中常数项为：
.
5 ．在
中，内角
所对的边分别是
．若
，且
，则
的面积为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出
，然后根据向量的数量积定义求出
，最后根据三角形面积公式求出结果.
【详解】根据正弦定理得
，化简得
.
根据余弦定理知，
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，解得
，
所以
的面积为
.
故选：D.
6．某空间站由
，
，
三个舱构成，某次实验需要5 名宇航员同时在3 个舱中开展，每个人只能去1 个
舱，每个舱至少安排1 名宇航员，其中宇航员甲只能去
舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35
B．36
C．42
D．50
【答案】D
【分析】以
舱的人数为分类依据，将5 人分配到A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，
2
最后求和得到总安排数.
【详解】有四类不同的安排情形：
①甲单独在
舱，其余四人分成两组，一组1 人，一组3 人，安排在
舱，
有
种不同的安排方法；
②甲单独在
舱，其余四人平均分成两组每组
人，安排在
舱，
有
种不同的安排方法；
③
舱安排
人，其余三人分成两组，一组人，一组
人，安排在
舱，
有
种不同的安排方法；
④
舱安排人，其余二人分成两组，安排在
舱，
有
种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有
种.
【点睛】本题是分类加法计数原理+分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀或不均
匀分组与排列计算.
7．已知
是椭圆
的左右焦点，点
在直线
上，
为等腰三
角形，
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合图像，得到
，再在
中，求得
，从而得到
，代入直线
的方
程可得到
，由此可求得椭圆
的离心率.
【详解】由题意知
，
由
为等腰三角形，且
，得
，
过
作
垂直
轴于
，如图所示，
则在
中，
，故
，
，
所以
，即
，代入直线
的方程
，
得
，即
，所以所求的椭圆离心率为
.
3
故选：B.
8．已知正实数
，满足
，则
的大小关系不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，
选项与此矛盾.
二、多选题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0
分）
9．在公比
为整数的等比数列
中，
是数列
的前
项和，
，
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
是公差为2 的等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列性质求得
，然后结合
求得
，再求出公比
后可得通项公式
及
前
项和
，然后判断各选项．
【详解】选项A，由等比数列性质得
，由
，解得
或
，
若
，则
，不合题意，
若
，则
，满足题意，A 正确；
选项B，由选项A 得
，
，
等比数列的通项公式应为
形式，因此
不是等比数列，B 错；
选项C，由选项B 得，
，C 正确；
选项D，由上知
，
，
，所以数列
是公差为
的等差数列，D 错．
10．已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线
交
于A，B 两点，点A 在第一
象限，过点A，B 作C 的准线的垂线，垂足分别为
，
，则（ ）
4
A．的方程为
B．
为正三角形
C．
D．
的面积为
【答案】ABD
【详解】抛物线
的焦点
在直线
上，则
，解得
，
对于A，抛物线
的准线l 的方程为
，A 正确；
对于B，由
，解得
或
，
，
，
为正三角形，B 正确；
对于C，由选项B 得
，
，
，C 错误；
对于D，点
到直线
的距离
，
，
，D 正确.
11．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
的图象关于点
中心对称
B．若曲线
的图象向左移动
个单位后关于
轴对称，则
的最小值为2
C．若
，则
在
单调递增
D．若
在
上恰有三个零点，则
【答案】ABD
【分析】根据整体法，结合正弦函数的性质即可判断ACD，根据函数图像平移的性质即可判断B.
【详解】对于A,
，令
，
5
当
，对称中心为
,A 选项正确．
对于B，将
的图象向左移动
个单位得到
，
若
的图像关于
轴对称，则
．
又因为
，则
的最小值为
B 选项正确．
对于C．
，
令
，
，
即
的单调递增区间为
，
当
时，
，又因为
C 选项错误．
对于D．
，因为
在
上恰有三个零点，
所以
D 选项正确．
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，满分15 分）
12．已知向量
，
满足
，且
，
，则
________．
【答案】1
【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到
，再根据模长关系运算求解.
【详解】∵
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
，
∴
．
故答案为：.
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，
，
为圆锥的母线，
，且二面角
为
.若
的面积等于
，则圆锥的体积为______.
【答案】
【分析】作
，垂足为
，则
为
的中点，根据二面角的定义得到
为二面角
的
平面角，设
，由
的面积建立
的等式得到
的值，从而得到圆锥的高
的值，底面圆
的半
径
的值，求出圆
的面积，利用圆锥的体积公式求出体积.
【详解】如图，作
，垂足为
，则
为
的中点，
6
，
，
为二面角
的平面角，
二面角
为
，
，
在等腰三角形
中，
，
设
，则
，
，
则
，
，
的面积等于
，解得
，
则
，
，
圆
的面积为
，
圆锥的体积为
.
故答案为：
.
14．若函数
有两个极值，则实数
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可.
【详解】
函数
的定义域为
，
，
函数
在
有两个极值，
在
有两个不相等的实数根，
即
在
有两个不相等的实数根，
令
，对称轴为
，
要使
在
有两个不相等的实数根，
7
则需满足
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
（考试时间：60 分钟 试卷满分：73 分）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的）
1．已知命题
，
；命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】当
时，
不成立，所以命题
是假命题，
是真命题；
根据指数函数和对数函数的图象可知，函数
与
在
上有一个交点，
则
，
，即命题
是真命题，
是假命题.
2．若
（
）为纯虚数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】D
【详解】
，
因为
为纯虚数，
所以
，且
，
所以
.
3．已知等比数列
与等差数列
，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
8
【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得
、
，再计算余弦即可得解.
【详解】设等比数列
的公比为
，
由
，得
，则
，
设等差数列
的公差为
，
由
，得
，则
，
所以
．
4 ．在平面直角坐标系中，
是坐标原点，两定点
满足
，则点集
所表示的区域的面积是（ ）
A．8
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得
是等边三角形，不妨设
，
，且
，求得
，结合
，确定区域形状，进而求得其面积.
【详解】由题意知
，可得
，
因为
，所以
，所以
是等边三角形，
不妨设
，
，且
因为
，可得
，
即
，所以
，解得
，
又
，则
，画出如下图形，
则平行四边形
及其内部即为点集
所表示的区域，
9
由
可得
，
由
可得
，
由
可得
，
所以
，
点
到直线
的距离
所以平行四边形
的面积为
，
即点集
所表示的区域的面积是
.
5．已知随机变量
，且
，则当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】根据题意，随机变量
，且
，则有
，解得
. 由
，即
，
所以
，当且
仅当
，即
时取等号.
6．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事
这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120
B．60
10
C．24
D．36
【答案】D
【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2 种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意可分为2 种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有
种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有
种不同的选派方案，
综上可得，共有
种不同的选派方案.
故选：D
7．我们曾学习过碳14 的半衰期约为5730 年（即碳14 大约每过5730 年衰减为原来的一半），即经过年
后，碳14 的含量
（
为碳14 的初始含量，
为常数），则碳14 含量由原来的
衰减为
大约需要经过（ ）（参考数据：
）
A．2292 年
B．2456 年
C．2674 年
D．2838 年
【答案】B
【分析】利用半衰期的意义求出
，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【详解】依题意，当
时，
，即
，解得
，
设经过
年碳14 含量衰减为原来的
，经过
年碳14 含量衰减为原来的
，
则
，即
，所以
.
故选：B
8．已知函数
的定义域为
，
，若
，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．函数
是奇函数
D．函数
是偶函数
【答案】C
【分析】令
求出
可判断A，令
可得
，利用等差数列的求和公式
求和后可判断B，求出
后令
，结合B 中分析可得
，据此可判断CD 的正
误.
11
【详解】对于A，令
，则
，故
，故A 错误；
对于B，令
，则
，
所以
，故
为等差数列，首项为零，公差为，
故
，故B 错误；
对于C，因为
，
，故
，
故
，同理
，
在
中令
，
则
，由B 的分析可得
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以函数
是奇函数，故C 正确；
对于D，由C 的分析可得
即
，
故函数
是奇函数，故D 错误.
二、多选题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0
分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知
，若
，则
B．若样本数据
的方差为1，则数据
的方差为2
C．已知样本点
的经验回归方程为
，若样本点
与
的残差相等，
则
D．若
，
是两个随机事件，
，
，
，则
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正态分布的对称性即可求解；对于B，根据方差性质即可求解；对于C，根据残差的
定义列等式变形即可；对于D，根据条件概率公式即可求解．
【详解】对于A，
，
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
12
对于C，样本点
的残差为
，
样本点
的残差为
，
由残差相等可得
，可得
，故C 正确；
对于D，
，
，
，
，故D 正确．
10．在
中，三个内角
所对的边分别为
，若
，
，
的面积为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由
及
结合降幂公式、和差化积公式得到
，
即可判断C；进而得到
即可判断B；再结合
及三角形的面积公式可求解判断
A；结合
求出
，再结合正弦定理求解判断即可.
【详解】由
知，
，
化简可得
，
根据和差化积公式可得：
，
则
，即
，
由
知，
，
所以
，即
，故C 正确；
由
，得：
，所以
，故B 不正确；
在
中，由
，知
，故A 正确；
由
知，
，
又
，则
，又
，
由正弦定理得，
，故D 不正确.
13
11．如图，在棱长为2 的正方体
中，点
是正方体的上底面A1B1C1D1内（不含边界）的动
点，点
是棱
的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积是定值
B．存在点
，使得
平面
C．直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
D．若
平面
，则点
的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】由等体积法可判断A，建系，由向量法逐项判断BCD.
【详解】对于A，三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积，
是定值，A 正确；
以
为坐标原点，
分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则
，
对于B，设
，则
，
若存在点
，使得
平面
，则
，
解得：
不符合
，故不存在点
，使得
平面
，故B 错误，
对于C，
，易知平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
即直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
，故C 正确；
对于D，
，
则
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，若
平面
，则
，
14
即
，
即
，
则
，
即
，如下图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系，
设直线
与
交于
，线段
（不包括端点）即为点
的轨迹，
由直线
方程为
，直线
方程为
，可得
，则
故D 正确，
故选：ACD
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，满分15 分）
12．设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
，则
________．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将
转化为
，求解即可.
【详解】因为等差数列
，
的前
项和分别为
，
且
，
所以
．
故答案为：
.
13．求值：
___________．
【答案】
【详解】
15
.
14．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为
，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球
的球面上，则此球的表面积为_________________．
【答案】
【分析】设圆台的上下底面圆心分别为
，球心为
，设
，由球的性质可列方程，求出半径后
再由球的表面积公式即可得解.
【详解】设圆台的上下底面圆心分别为
，球心为
，
在上下底面圆周上分别取点为
，连接
，如图，
因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为
，
所以
，
，
设
，则
，所以
，
所以
，解得
，所以该球的半径
，
所以该球的表面积
.
故答案为：
.
16
