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实战演练 03 导数中最常考的切线问题
①求在曲线上一点的切线方程
②求过某一点的切线方程
③有一个切点的公切线
④有两个切点的公切线
⑤公切线的条数问题
一、在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
二、过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
三、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)＝ .
1 2
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．①求在曲线上一点的切线方程
一、填空题
1．（2024·山西·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线方程为 .
【答案】
【分析】借助导数的几何意义及直线的点斜式计算即可得.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以函数 的图象在点 处的切线方程为：
，整理得 .
故答案为： .
2．（2024·河北承德·二模）函数 在 处的切线的斜率为 .
【答案】 /
【分析】利用导数的几何意义，求切点处切线的斜率.
【详解】函数 ，有 ，则 .
所以函数 在 处的切线的斜率为 .
故答案为： .
3．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知函数 ，若曲线 在点 处的切线
与直线 平行，则实数 ．
【答案】2
【分析】首先求出曲线 在点 处的切线斜率，结合该切线与 平行即可求
解．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为：2．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则 的值为
.
【答案】 /【分析】对原函数进行求导, 代入得出切线斜率.曲线 在 处的切线倾斜角为 可得出斜率.构
造关于 的方程，解方程即可.
【详解】曲线 的导数 ,
∵曲线 在 处的切线的倾斜角为 ,
∴ ,
∴ ,
∴
故答案为: .
5．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线 的斜率为2，且与曲线 相切，则 的方程为
.
【答案】
【分析】由题意令 ，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.
【详解】设 ，令 ，得 ，则切点为 ，
故所求 的方程为 .
故答案为： .
6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若函数 的图象在 处的切线斜率为1，则
．
【答案】
【分析】利用复合函数的导数计算法则，由导数的几何意义计算即可求得 .
【详解】由 可得 ，
根据导数的几何意义可得 ，
解得 .
故答案为：
7．（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 处的切线方程为 ，则
.
【答案】1
【分析】根据切点在曲线与切线上，代入 求解即可.【详解】 ，故函数 在 处的切点为 ，又切点在切线上，故 ，
故 .
故答案为：1
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若曲线 的所有切线中斜率最小的切
线方程为 ，则 ．
【答案】8
【分析】求导结合基本不等式得到 的最小值，再根据题意得关于 的方程，解方程得到 的值，得到
切点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到 的值，即可得解.
【详解】由 ，得 ，
因为 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
由直线 的斜率为 ，
所以曲线 的所有切线中斜率最小的切线的斜率 ，
所以 ，此时 ，
由 ，则 ，所以切点为 .
将 代入 ，
得 ，所以 ．
故答案为： .
②求过某一点的切线方程
一、填空题
1．（2024高三·全国·专题练习）过点 作曲线 的切线，则切线方程为 .
【答案】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线求得参数，即可求解.
【详解】设切点为 ，由 得 ，
则切点处的切线 ，因为切线过点 ，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 即 .
故答案为：
2．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线 过原点的切线方程为 .
【答案】
【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可
求解.
【详解】由 得
设切点为 ，则切线方程为
由于切线经过原点，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
故答案为：
3．（2024·四川自贡·一模）若曲线 的一条切线为 ，则 .
【答案】
【分析】由 是曲线的切线，求导函数利用斜率出参数即可.
【详解】设切点为 ，
因为 ，所以 ，
所以在 处的切线斜率为 ，
则过该点的切线方程为： ，
即 ，又知切线为： ，
故得： ， .
故答案为: .
4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的
切线经过点 （ 为自然对数的底数），则点 的坐标是 ，切线方程为
【答案】【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入 可得 ，构造函数 ，求导，根
据函数的单调性结合 ，可得 ，即可求解.
【详解】设点 ，则 .又 ，
当 时， ，
曲线 在点A处的切线方程为 ，即 ，
代入点 ，得 ，即 ，
记 ，当 时， ，当 时， ，
且 ，当 时， 单调递增，
注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 ，切线方程为 ，
故答案为： ，
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点 仅可作曲线 的两条切线，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设切点为： ，根据切线过点 ，得到 ，令 ，
再根据过点 仅可作曲线 的两条切线，由 与 的图象有两个交点求解.
【详解】设切点为： ，
，
所以切线方程为 ，
又因为切线过点 ，
所以 ，
即 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 或 ，当 或 时， ，当 时， ，
，
当 时，则 ，且 ；
当 时，则 ，
所以 的图象如图所示：
因为过点 仅可作曲线 的两条切线，
所以 与 的图象有两个交点，
则 或 .
故答案为： .
③有一个切点的公切线
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数 与 在 处有相同的切线，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】对 ， 求导，根据题意得到 ，再解方程组即可得到答案.
【详解】因为 ， ，则 ， ，
可得 ， ， ， ，
因为 ， 在 处有相同的切线，即切点为 ，切线斜率 ，
所以 ，解得 ，所以 .故选：D.
2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数 与偶函数 在交点 处的切线相同，则
函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，得到 且 ，根据题意，得到 与 相切于 ，
且 ，再由 为偶函数，求得 ，且 ，进而求得切线方程.
【详解】由函数 ，可得 ，所以 且 ，
因为函数 与偶函数 在交点 处的切线相同，
所以函数 与 相切于 ，且 ，
又因为 为偶函数，所以 ，且 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ．
故选：D.
二、填空题
3．（2024·上海·三模）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切
线，则 的值为 .
【答案】2
【分析】根据两曲线在 有公切线，则 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出 的值，
则答案可求.
【详解】由已知得 ，解得 ，
又 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：2
4．（2024·辽宁·二模）已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
【答案】
【分析】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到 ，从而
求出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
【详解】设公共点为 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，所以 ， ，
又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，所以 ，则 ，
，
则 ，
则 ，所以切线方程为 ，即 .
故答案为： ；
5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线与曲线
相切，则 = .
【答案】4
【分析】
根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】 ，
因此曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线的方程为 ，
因为曲线 在点 处的切线与曲线 相切，所以 有一个实数解，
即 ，
当 时，显然该方程不成立，
当 时， ， 舍去，
故答案为：
6．（23-24高三上·江西·阶段练习）若函数 与 ， 有公共点，且在
公共点处的切线方程相同，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】
根据两函数在公共点处的切线方程相同得 及 ，令函数 求其最小
值即可.
【详解】
， .
设曲线 与 的公共点为 ，两者在公共点处的切线方程相同，
因此 ，即 ，解得 或 .
因为 ， ，所以舍去 .
又 ，即 .
令函数 ，则 .
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，解得 .
则 的最小值为 .故答案为：
④有两个切点的公切线
一、填空题
1．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
【答案】
【分析】设出两曲线的切点 和 ，由导数的意义可得 ，再
由点斜式得出公切线方程 ，把点 代入直线方程可得 ，构造函数
，求导分析单调性得到 ，进而得出 ，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点为
.
因为 ，
则公切线的斜率 ，所以 .
因为公切线的方程为 ，即 ，
将 代入公切线方程得 ，
由 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， 0，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，
故公切线方程为 ，即 .
故答案为： .
2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数a=
．【答案】3
【分析】先设在 上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在 上的切点，即可求出a的
值.
【详解】设直线l与曲线 相切于点 ，
由 ，得 ，因为l与曲线 相切，
所以 消去 ，得 ，解得 ．
设l与曲线 相切于点 ，由 ，得 ，即 ，
因为 是l与曲线 的公共点，
所以 消去 ，得 ，即 ，解得 ．
故答案为：3.
3．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知函数 ， ，若直线
与函数 ， 的图象均相切，则 的值为 ；若总存在直线与函数 ，
图象均相切，则a的取值范围是 ．
【答案】 6
【分析】设出直线 与函数 的切点，利用 ，可求得切点坐标，再利用切点在
直线上即可求得 的值，继而列出方程组可求得 的值；设出直线与两个函数的切点，利用条件列出方程
组，整理后得 ，构造函数 ，利用导数考查单调性，即可求得 的范围.
【详解】设直线 与函数 的切点为 ，
由 ，所以 ，
解得 ，所以切点为 ，
所以 ，解得 ，即切线方程为 ．
设直线 与函数 的切点为 ，
则 ，解得 ，即 ，所以 ；
设切线方程l为 ，且l与 的切点为 ，
l与 的切点为 ，
则 ， ，
整理可得 ， ，
所以 ，
整理可得 ，
设 ，
则
.
设 ，则 ，
所以 在 上为增函数，又因为 ，
所以在 上 ，即 ，所以 单调递减；
在 上 ，即 ，所以 单调递增，
所以 ，
即 ，解得 ．
故答案为： ; .
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率 ，即求该点处的导数 ；(2) 已知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 已
知切线过某点 (不是切点) 求切点，设出切点 利用 求
解．
二、单选题
4．（2024·河北邢台·二模）已知函数 的图像在 ， 两个不同点处
的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到 的关系，在结合不等式求
的取值范围即可.
【详解】因为 ， .
所以 ， .
由因为 在 ， 两个不同点处的切线相互平行，
所以 ，又 ，所以 ，故CD错误；
因为 且 ，所以 ，故A不成立；
当 时， .故B成立.
故选：B
5．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设公切线与函数 切于点 ，设公切线与函数 切于
点 ，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得 ，消去 ，
得 ，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，所以公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，则公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
所以 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，
所以 ，
所以由题意得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：A
⑤公切线的条数问题
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设曲线 切点为 ， 的切点为 ，求出切线方程，根据有两条公切线转
化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.
【详解】设曲线 切点为 ， 的切点为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理， 在点 处的切线方程为 ，
根据 与 有两条公切线，则 ，所以 ，化简可得 具有两个交点，
转化为 有两个解，构造函数 ，则 ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，
故 在 时有极大值即为最大值，故 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的取值范围为 ，
故选：A
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数
问题，即可求出 的取值范围.
【详解】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，
设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，整理得 ，
同理 ，
因为 ，整理得 ，
依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，
由题意此方程有三个不等实根，设 ，即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:
所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点.
故选：A.
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 恒成立的充要条件是
B．当 时，两个函数图象有两条公切线
C．当 时，直线 是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 ，则
【答案】ACD
【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解
BCD.
【详解】对于A，若 恒成立，即 恒成立，
而 恒成立，所以 ，解得 ，故A正
确；
对于B，设切点 , ， , ， ， ，有 ，
①代入②，可得 ，
当 时，代入方程解得： ，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当 时，代入方程 得： ，
，故 ， ，
所以函数 与 的一条公切线为： ，故C正确；
对于D，如图，不妨设切线与 切于 ，与 切于 ，
设 , ， , ， , ， , ， ， ，
故
所以 ， ，
，同理 ，
则 中点即可 中点，
所以四边形 是平行四边形，
由 处的切线方程为 ，
处的切线方程为 ，
得 ，即 ，结合 可知 ， 是方程 的根，
由C选项可知： 是 的两个切点，所以 ， 也是方程 的根，
所以 ,且 ,故 ，
则 ， ，，
，
令 ，则 ，
故 ，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到
，再整理化简代入 值即可判断.
4．（2024高三下·山东烟台·期末）关于曲线 和 的公切线，下列说法正确的有
（ ）
A．无论a取何值，两曲线都有公切线
B．若两曲线恰有两条公切线，则
C．若 ，则两曲线只有一条公切线
D．若 ，则两曲线有三条公切线
【答案】BCD
【分析】设曲线 和 的公切线分别与两曲线相切于 ， ，根据导数
的几何意义得到 ，化简可得 ，结合对数的定义可判断A选项；
构造函数 和 ，利用导数分析其单调
性，进而分析方程 解的情况，进而求解.
【详解】设曲线 和 的公切线分别与两曲线相切于 ，
，
因为 ， ，所以 ， ，
所以公切线的方程为 ，即 ，
也可以为 ，即 ，
所以 ，即化简得 ，
即 ，
若 ， ，则上述式子无意义，此时两曲线没有公切线，故A错误；
①令 ，
则 ，
所以 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
当 ，即 时， 有两解，
即方程 在 时有两解.
当 ，即 时， 只有一解，
即方程 在 时只有一解.
当 ，即 时， 无解，
即方程 在 时无解.
②令 ，
则 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
而当 时， ， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
所以函数 在 上一定存在 使得 ，
即方程 在 时只有一解.
综上所述， 当 时，有两条公切线，故B正确；
当 时，有一条公切线，
而 ，所以 时，只有一条公切线，故C正确；
当 时，有三条公切线，
而 ，所以 时，有三条公切线，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求两曲线的公切线及其相关问题时，常常结合导数的几何意义表示出公切线方程，列
出方程组分析求解.
三、填空题
5．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）在平面直角坐标系 中，若过点 且同时与曲线 ，曲线
都相切的直线有两条，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】设点 的坐标为 ，
显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为 ，
因此切线方程为 ，
设曲线 的切点为 ，即 ，
由 ，所以过该切点的切线的斜率为 ，
则有 ，设 的切点为 ，即 ，
由 ，所以过该切点的切线的斜率为 ，
则有 ，
由题意可知： ，于是有：
，得 ，或 ，
当 时，则有 ，
当 时，则有 ，
由 可解， .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程.
6．（2024·河北邯郸·三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】易得曲线 在点 处的切线方程为 ，再根据切线与圆 相
切，得到 ，化简为 ，根据曲线 与圆 有三条
公切线，则方程 有三个不相等的实数根，令 ，由曲线
与直线 有三个不同的交点求解.
【详解】解：曲线 在点 处的切线方程为 ，
由于直线 与圆 相切，得 （*）
因为曲线 与圆 有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程 有三个不相等的实数根.
令 ，则曲线 与直线 有三个不同的交点.
显然， .当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
且当 时， ，当 时， ，
因此，只需 ，即 ，
解得 .
故答案为：
