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实战演练 05 导数中构造函数的妙用
①构造函数比较大小
②构造函数解不等式
③构造函数求最值（范围）
④构造函数证明不等式
一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=lnex (x∈R),x=elnx (x>0)将要比较的三个数化为结构相
同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变
量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利
用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调
性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
（1）与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
模型3.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型4.对于不等式 ，构造函数
模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型6.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
①构造函数比较大小
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若 则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】结合 的特征，构造函数 ，利用其单调性即可比较大小.
【详解】构造函数 ， ，则 ，
令 解得 ；令 ，解得 ；
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，且 ，
，即 ，就是 .
故选：C．
2．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用当 时， 判断 ，通过函数 在是减函数判断 .
【详解】当 时，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，
也就是说当 时， ，
用 代替 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ．
又知 ，所以 ，所以 ．
故选：A
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设 ， ， ，设a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，由导数判断单调性后比较．【详解】解：构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上为减函数，
而 ， ， ，又 ，
所以 ，即 ，
故选：A
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数说明它在 内单调递增即可得解.
【详解】构造函数 ， ，
当 时， ， 单调递增，
所以 ， .
故选：A.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ， 和 ，利用导数求解函数的单
调性，即可求解.
【详解】令 ， ，则 ，
令 ，则 即 单调递增，所以 ，故
为增函数，所以 ，可得 ，故 .令 ，则 ，故 为增函数，所以 0，即
.所以 ，故 ，所以 b
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过指数函数、幂函数的单调性得 ， ，再构造函数 ，通过导数判断单调性即
可得 .
【详解】由题意，令 ，则 在 上单调递增，
所以 ，
令 ，则 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 单调递增；
令 ，则 ， 单调递减；
所以 ，则 ，
故 ，
综上所述，即 .
故选：C.7．（2024·安徽芜湖·三模）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数 ，利用导数证明 ，则
，再构造函数 ，利用
导数求出其单调区间，即可比较 ，构造函数 ，利用导数求出其单调区间，即
可比较 ，即可得解.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
而 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
即 ，所以 ，,
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
即当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，所以 ，
综上所述， .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造 和 两个函
数，是解决本题的关键.
8．（2024·福建南平·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据数据结构特征可通过 和 比较c和b的大小，再通过构造函数
，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解.
【详解】设函数 ，又 ，
所以当 时， 0，所以 在区间 内单调递增，又 ，
所以当 时， 0恒成立，即 ，
所以当 时， ，即 ，
所以 ，
所以 ．即 ；
设 ，
而 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增，所以 ，
所以当 时， ，即当 时 单调递增，
所以 ，故当 时， 单调递增，所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，即 ．
综上， ，
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单
调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系.
②构造函数解不等式
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数 的导数为 ，对任意实数 ，都有 ，
且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造 并判断单调性，利用单调性解不等式求解集.
【详解】由 ，可得 ，
令 ，结合 ，则 ，
所以 在R上递减，故 ，
则原不等式解集为 .故选：A
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且
在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用导数求得 在 上单调递减，把不等式转化为 ，即可求
解.
【详解】设函数 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，即 ，
可得 ，所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：D.
3．（2024·吉林·二模）已知函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 ，求导可得 在 上单调递减，由已知可得 ，可得
，可得不等式的解集.
【详解】由题意知，当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
不等式 等价于 ，即为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，
则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数 ，对 求导并判断函数 的单调性与奇偶性，分 与 两种情况求出不等
式的解集，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，设函数 ，
则其导数 ，
又由当 时， ，则有 ，
即当 时，函数 为增函数，
又由 ，则函数 为偶函数，
由当 时，函数 为增函数，则 时，函数 是减函数，
因为 ，所以 ，
故 时，由 ，得： ，解得： ，
时，由 ，得： ，解得： ，则
成立的 的取值范围是： ．
故选：C．
5．（2024·山东聊城·三模）设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时， ，且
对于任意的实数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据题意，可证 为 上的偶函数，且 在 上单调递增，在上单调递减，又由 转化为 ，
即 ，即可得解.
【详解】因为 ，
设 ，
则 ，
即 为 上的偶函数，
又当 时， ，
则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，即 ，
解得 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题意，设 ，研究函数 的奇偶性和单调性，从而求解不式.
二、填空题
6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在 上的函数 满足 ，且 ，
则不等式 的解集为
【答案】
【分析】构造 ，利用导数得 在 上单调递增，把 转化为 ，利
用单调性解不等式即可.
【详解】构造 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
不等式 可化为 ，即 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时，
，且 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】根据题设条件，构造函数 ，判断其单调性，将所求不等式整理成 ，利
用 的单调性即可解得.
【详解】令 ，则
因为当 时， ，即
所以当 时， 单调递减，
由不等式 可得 ，
即 ,故有 ，解得： ，
即不等式 的解集为 .
故答案为： .
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当
时， ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数 ，由已知得出 为偶函数，且在 上是增函数，在 上为减
函数，将 转化为 求解即可．
【详解】令 ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
即 在 上是增函数，由题意 是定义在 上的偶函数，
所以 ，又 ，
所以 是偶函数，所以 在 上递减，
所以 ，
即不等式等价为 ，
所以 ，所以 ．故答案为： ．
③构造函数求最值（范围）
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数 满足： ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】构造同构函数利用 的单调性求解参数 的最大值.
【详解】正实数 满足 ，则 ，
所以 令 ，则 ，
设 ， ， ，
易知 在上 单调递减，在 上单调递增，故 ，
所以 ，即 ，又因为 ，
故 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 ，令 ， ， ，
易知 在上 单调递增，在 上单调递减，所以 故 的最小值为 .
故选：A
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数 ， ，若存在正数 ， ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】分析可知 ，结合 的单调性可得 ， ，构建 ，利用导数求其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得： ，
整理可得 ，即 ，
又因为 在 内单调递减，则 在 内单调递减，
可得 ，则 ，
构建 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（23-24高二下·四川自贡·期中） ，均有 成立，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先不等式转化为 ，再构造函数 ，转化为函数在区间 上恒
成立，利用参变分离，转化为最值问题，求 的取值范围.
【详解】不妨设 ，
由 ，得 ，
即 ，两边同时除以 ，得 ，
令 ，即 ，所以函数 在区间 上单调递减，
，即 恒成立，
所以 ， 上恒成立，函数 在区间 上单调递减，所以 的最大值为1，
所以 .
故选：B
4．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数 ， ，若 成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，得到 ， 关于 的函数式，进而可得 关于 的函数式，构造函数利用导
数研究单调性并确定最值，即可求 的最小值.
【详解】令 ，则 ， ，
， ，所以 ，
若 ，则 ，
，有 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
即 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：令 确定 关于 的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
5．（2024·陕西商洛·三模）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意 ，不等式即 ，进而转化为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增.
则不等式等价于 恒成立.因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，即 恒成立.
设 ，可得 ，
当 单调递增,当 单调递减．
所以 有最大值 ，于是 ，解得 ．
故选：B
【点睛】方法点睛：将已知条件转化为 ，通过构造函数 ，进而利用导数得到
，进而计算求得结果.
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不等式整理为 ，构造函数 ，利用单调性得到
，再构造 ，进而得到 ，从而 .
【详解】 ， ，且 ，
两边加上 得， ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
，即 ，
令 ，则 ，
的定义域是 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得极大值即为最大值， ，
， .
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将
整理为 ，从而构造函数 求解.④构造函数证明不等式
一、解答题
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；
(2) ．
【分析】（1）利用导数即可判断函数的单调区间；
（2）转化为恒成立问题，构造函数 ，求导
，对 分类讨论，研究 正负判断 的单调性，即可
求解.
【详解】（1）当 时，
当 时， ，当 时， ．
所以 的单调递减区间为 ；单调递增区间为
（2）因为对任意 恒成立．设 ．
所以 ．
分类：①当 时， ，知 在 单调递增，
所以 ，不成立．
②当 时， ，知 在 单调递减，所以 成立．
③当 时，令 ．
所以 ．
（ⅰ）若 即 时， ，知 在 单调递减，所以 ，
所以 ，所以 在 单调递减，所以对任意 时， 成立．（ⅱ）若 即 时，由 可得 ，所以当 时， ，
于是， 在 单调递增，所以对任意 时， ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以对任意 时， 恒成立．
综上所述： 的取值范围是 ．
2．（2024·广西·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，求 的取值范围.
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值.
(2)
【分析】（1）求导函数 的零点，即为 的极值点，然后解不等式 ， ，确定极
大值和极小值；
（2）构造函数，将恒成立问题转化为最值问题，在求最值过程中，注意对参数a的分类讨论.
【详解】（1） ，得 ，
当 时， ，函数 在 单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）对任意 ，即 ，
设 ，
①当 时， 在 单调递增， 单调递增，
，成立；
②当 时，令 在 单调递增，
在 单调递增，
，成立；③当 时，当 时， 单调递减，
单调递减，
，不成立.
综上可知 .
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对 进行 和 的分类讨论导数正负即
可得单调性.
（2）证 ，故问题转化成证
，接着构造函数 研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为 ， ，
故当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，令 ，
则 时， ； 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 上恒成立，
故证 证 ，
即 ，令 ，则 ，
故当 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，故 ，
所以当 时， .
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当 时，
可将问题转化成证 ，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利
用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可得出原函数的增减性；
（2）等价变形，构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，即可求出最值.
【详解】（1）因为 定义域为 ，则 ，
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，即令 ，则有 ，
设 ，则 ，由 得
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，又因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立
所以 ，从而 ，所以原式
设 ，则 ，由 得
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以所求最小值为 .
5．（2024·四川绵阳·三模）设 .
(1)当 ，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导后代入点的横坐标求出切线斜率，再把点的横坐标代入 求出纵坐标，最后由点
斜式写出直线方程即可；
（2）用导数求出 ，把问题转化为设 ，即证： 在
上恒成立，求导后构造函数 ，再求导后得到 在 恒成立，从而得到 在 上单
调递增，即可证明.
【详解】（1）当 时， ，
，
，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）因为 ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
设 ，即证： 在 上恒成立，
则 ，
令 ，
所以 ，
令 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 在 恒成立，则 在 上单调递增，
所以 ，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：
（1）第一问用导数求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可；
（2）第二问证明函数不等式恒成立，求导判断函数的最小值，最小值大于不等式右边即可，当一次求导
无法判断时，通常二次求导.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，讨论 的极值；
(2)若 是 的两个不同的零点，求证： ．【答案】(1) 有极大值 ，无极小值．
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数可知某点处的切线斜率，由两直线垂直可知斜率乘积为 ，便可以求出参数 ，再
利用导数的正负来分析原函数的单调性即可得到答案；
（2）关键在于利用已知条件 ， 对称性，转化为参数 的表达式 ，再对
原不等式中的参数 进行等量代换，通过系列的等价变形，可以构造双变量 为单变量 的不等式，
从而构造函数 进行求导分析最值来进行证明.
【详解】（1）由 求导得： ，
当 时， ，
根据导数的几何意义求知曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为该切线与直线 垂直，由斜率之积为 得： ，
解得 ，所以 ，
因为 的定义域为 ，所以由 可解得 （舍去）或 ，
即当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
即 有极大值 ，无极小值．
（2）因为 是 的两个不同的零点，
所以 ， ，
两式相减可得 ，故 ，
，不妨设 ，则 ， 根据上式可知，
要证 ，只需证明 ，即证 ．
设 ，
则 ，
在 上单调递减， ，
故 ．
【点睛】方法点睛：
（1）研究函数的极值时，一般需要对原函数进行求导，利用导函数的正负来分析原函数的单调性，从而
可得到极值；
（2）证明多变量不等式时，需要利用相等条件消去参变量 ，再对不等式进行等价变形转化为单变量
的不等式，从而构造函数 通过求导分析其最值进行证明.
7．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意转化为 有三个不等的实数根，再参数分离为 ，转化为 与
有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解；
（2）首先由 ， 转化为 ， ，再通过构造函数，利用导数求 的
取值范围，再根据 的单调性求参数的取值范围.
【详解】（1）函数 有三个极值点
则 有三个不等实根即方程 有三个不等实根 ，
令 ，则 ，
由 得 ，由 得 或
在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，所以
（2）由（1）知 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
令 ，则
令 ，则 ，
即 ， ，故
在 上单调递增，所以 .
【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据 的单调性，转化为求 的取
值范围.
8．（2024·青海·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ， ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性及最值，即可求解；
（2） 的零点满足 ，要证 ，即证 ，通过设函数 ，然后求导判断函数 在 上的单调性，可得 ，结合函数 在 的单调性即可证明.
【详解】（1）由题意可知 的定义域为 ，且 ，
对于 ，有 在 上恒成立，即 递减，
所以 ，即 在 上恒成立，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 时单调递减，
所以当 时，函数 有最大值， ，所以 ，
即 ，所以 的取值范围为 ；
（2）不妨设 ，由（1）知 ，即 ，令 ，
构造 ，且 ，
所以
，
令 ，则 ，
当 时， ， 递减，故 ，
所以 时 ， 单调递减，故 ，
即在 上 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
由（1）知 在 上单调递减，所以 ，故 得证.
