【培优点20：同构函数】
【知识拓展】
同构函数是导数综合题的核心解题工具，其本质是通过等价变形，将不等式、方程中的复杂结构转化为
“同一函数模型”，再利用函数的单调性、最值等性质求解·二轮复习重点突破三类高频同构型
【热点题型1：地位同等同构型】
【核心归纳】
1.定义：当题干中出现两个地位平等的变量（如
；
；
等），且等式或不等式经整理后，两
边具有完全一致的结构时，可判定为地位同等同构型·
2.核心本质：利用“结构同源性”构造单调函数，将双变量问题转化为单变量函数的单调性应用问题·
3.常见场景：双变量不等式恒成立、双变量等式求关系、比较大小等·
（2025·四川凉山·一模）已知正实数x，y 满足(2 x +√4 x
2+1)(√y
2+ 4−2)= y，则
x
2e
y的最小值为 ．
（2025 高二上·黑龙江大庆·专题练习）∀x1, x2∈[1,2]，且x1≠x2，不等式
x1e
x2−x2e
x1
x2−x1
<m恒成立，则m的取值范围为 .
（24-25 高二下·广东深圳·期末）若∀x1、x2∈(0,+∞)(x1≠x2)都有
ln x2−ln x1
x2−x1
> a
2 −1
6 (x1
2+ x1 x2+ x2
2)，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1]
B．(−∞,3]
C．(−∞,4]
D．(−∞,8]
【规律方法总结】
1.解题四步骤：
①识别变量地位：判断两个变量是否无主次之分（如题干未限定
或
）·
②结构变形归一：对等式/不等式两边进行移项、通分、因式分解等变形，目标是使两边呈现“
”或“
”的结构（
为构造的母函数）·
③构造单调母函数：优先构造常见单调函数，如
、
、
等，通过求导
验证单调性·
④利用单调性转化：若
单调递增，则
，
；若
单调递减，则对应关系反向·
2.典型变形技巧：
①若出现
，两边同除以
（
），变形为
，构造
·
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
经典例题
经典例题
1
②若出现
，移项变形为
，构造
·
3.易错点提醒：变形时需注意变量取值范围（如分母不为0、对数真数大于0），避免因变形扩大或缩小定
义域·
4.名师点睛：地位同等同构型的关键是“去差异、找共性”，变形的核心目标是让两个变量分别处于相同
的函数“框架”内·
（2020·全国II 卷·高考真题）若2
x−2
y<3
−x−3
−y，则（ ）
A．ln( y −x +1)>0
B．ln( y −x +1)<0
C．ln| x−y |>0 D．ln| x−y |<0
（2020·全国I 卷·高考真题）若2
a+ log2a= 4
b+2log4b，则（ ）
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b
2
D．a<b
2
（2025·四川泸州·模拟预测）若实数a,b满足ln(2a−b)+ b
e +2ln(−a)=0，则
a−b=（ ）
A．e
2
B．e
C．3e
2
D．2e
【热点题型2：指对跨阶同构型】
【核心归纳】
1.定义：题干中同时出现指数函数（
）与对数函数（
），形成“指数-直线-对数”三阶结构，无法
直接求解，需通过同构转化为二阶结构的题型·
2.核心本质：利用对数恒等式（如
、
）实现指对互化，将跨阶结构统一为同一母函数
的结构·
3.常见场景：含参恒成立求参数范围、指对混合不等式证明、函数最值求解等·
（2025·河北沧州·模拟预测）若方程e
x =aln(x−2)+alna−2a在(2,+∞)上有解，则
实数a的取值范围是（ ）
A．[3,+ ∞)
B．(0,3]
C．[e
3,+ ∞)
D．(0,e
3]
（2025·四川南充·一模）已知函数f (x)=e
x−x , g(x)= x−ln x，若直线y =a与两条曲
线y = f (x)和y = g(x)共有四个不同的交点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)、(x4, y4)，且x1< x2< x3< x4，则
x1+ x4
x2+ x3
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2025·浙江丽水·一模）若关于x的方程(e
x−tx)(x−t ln x)=0(t ∈R)恰有四个不同的
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
经典例题
经典例题
2
实根a,b,c ,d (a<b<c<d)，则（ ）
A．a+d <b+c
B．a+d =b+c
C．ad <bc
D．ad =bc
【规律方法总结】
1.核心原则：构造“指对跨阶母函数”，需满足两个条件：①同时包含指数或对数结构；②单调性、最值
易求·
2.三大常见母函数及适用场景：
①
：适用于“积型”跨阶式（如
）·
②
：适用于“商型”跨阶式（如
）·
③
：适用于“和差型”跨阶式（如
）·
3.典型同构模式（含变形技巧）：
①积型：
（
）
同左构造：
，令
（单调递增），则转化为
·
同右构造：
，令
（
时单调递增），则转化为
·
取对构造：
，令
（单调递增），则转化为
·
②商型：
（
）
同左构造：
，令
（
时单调递增），则转化为
·
同右构造：
，令
（
时单调递增），则转化为
·
③和差型：
（
）
变形构造：左边
，右边变形为
，令
（单调递增），
则不等式转化为
·
4.必备变形公式（名师高频推荐）：
①
（
）；②
；③
（
）；④
·
5.解题关键：观察式子中指数与对数的“位置特征”，优先选择“少变形、易构造”的母函数，避免过度
变形增加计算量·
（2025·全国·模拟预测）若x∈(0, 1
e)时，x
a
e
x−1 >a ln x−x +e>e−1，则a的取值
范围是（ ）
A．(−∞,−e]
B．(−∞,−1
e]
C．(−e,−1
e]
D．[−1
e ,0)
（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
小试牛刀1
小试牛刀2
3
f ( x)= xe
2ax+2a(1−e)x−(e−1)ln x−1恰有4 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[0,+∞)
B．(−1
2e ,0)
C．(−1
2e
2 ,0)
D．(−1
2e ,−1
2e
2)
（2025·湖南郴州·一模）已知实数x>1，不等式e
x
2a −ln[
2a(x−1)
e
]≥0恒成立，
则实数a的最大值为 .
【热点题型3：零点同构型】
【核心归纳】
1.定义
若函数
的零点满足方程中同时含指数项（
）与对数项（
），且可通过等价变形将方程转化为
或
（
为常数/参数）的形式，其中
为“同构母函数”，
、
为含
的表达式，此类零点问题称为指对同构零点型·核心特征是“指对共存、结构可同源转化”·
2.核心本质
通过指对互化（利用对数恒等式
、
等）、代数配凑等变形，剥离零点方程中的“非同源
结构”，提炼出相同的函数框架（母函数），将复杂的指对跨阶零点问题，转化为母函数的单调性、值域、
零点唯一性等基础问题，实现“化繁为简、化未知为已知”·
3.适用场景
①含参指对混合方程零点存在性问题（如“方程有零点，求参数范围”）；
②指对零点方程中参数值求解（如“已知方程有特定零点，求参数”）；
③零点相关表达式值的求解（如“已知零点满足某条件，求含零点式子的值”）；
④指对混合方程零点唯一性问题（如“方程有唯一零点，求参数”）·
4.核心前提
①变形等价性：同构变形过程中需保证定义域不变（如对数真数>0、分母≠0），避免因变形扩大/缩小定
义域导致零点漏判；
②母函数可解性：构造的母函数需具备单调性明确、极值/值域易求、零点特征清晰等特点，优先选择常
见基础函数·
（23-24 高二下山东菏泽期中）已知函数f ( x)= x e
x−x −ln x −3m有两个不同的零点，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
3)
B．(−∞, 2
3)
C．(
1
3 ,+∞)
D．(−1
3 ,+∞)
【规律方法总结】
1.核心变形技巧（指对互化与同源配凑）
指对同构的关键是“找到同源结构”，常用变形方向围绕“指数化对数、对数化指数”展开，核心技巧如
下：
①对数恒等式转化（核心工具）：
对数化指数：
，可将对数项转化为指数项的自变量，如
；
小试牛刀3
经典例题
4
指数化对数：
，可将指数项转化为对数项的自变量，如
；
复合转化：
、
，实现“指对项合并为单一指数/对数结构”·
②同源配凑变形（常用模式）：
模式1：
，配凑出
的同源结构；
模式2：
，配凑出
与
的关联结构；
模式3：
，配凑出
的
同源结构·
2.常用母函数选择与适用场景
母函数的选择直接决定解题效率，需根据变形后的同源结构匹配，以下是指对同构零点型的高频母函数及
适用场景：
①
：
适用场景：含
、
的同源结构，如方程
；
核心性质：在
单调递减，
单调递增，最小值为
，零点唯一（无零点，可用于判断
方程解的存在性）·
②
：
适用场景：含
、
的同源结构，如方程
；
核心性质：在
单调递减，
单调递增，最小值为
，当
时单调递增且无零
点，
时存在唯一负零点·
③
：
适用场景：含
、
的同源结构，如方程
；
核心性质：在
上单调递增（导数
恒成立），零点唯一，可直接通过“
”转化方程·
④
（
）：
适用场景：含
、
（可转化为
）的同源结构，如方程
；
核心性质：在
单调递增，
单调递减，最大值为
，可用于判断含参方程零点个数·
3.通用解题步骤
针对指对同构零点型问题，可遵循“识别结构→等价变形→构造母函数→利用性质求解”四步流程，具体
拆解如下：
①识别结构：判断方程是否含“
与
共存”的特征，明确问题目标（求参数范围/表达式值/零点唯一
性）；
②等价变形：利用对数恒等式、配凑法，将方程转化为“
”或“
”的形式，确保
变形过程等价（定义域不变）；
③构造母函数：根据变形后的同源结构，选择高频母函数（如
、
），分析母函数的
单调性、极值、值域、零点特征；
5
④利用性质求解：
若为
：因母函数单调，直接得
，转化为简单方程求解；
若为
：通过母函数的值域确定
的取值范围（方程有零点的条件），或根据母函数单调性确定
零点唯一性；
若含参数：将参数分离到方程一侧，转化为“母函数值域=参数范围”的问题，规避参数对单调性分析的
干扰·
4.易错点提醒与避坑技巧
①变形不等价风险：如将
变形为
时，需注意
（对数定义域），且
不是原方程零点，避免定义域扩大；
②母函数选择不当：优先选择单调母函数（如
），可直接转化“
”，
减少复杂分析；若选择非单调母函数，需额外判断定义域分段；
③忽略隐零点代换：当方程变形后出现“
”“
”等隐零点条件时，需及时代换化简表
达式（如
），避免复杂运算；
④参数分离边界：当参数分离后分母可能为0 时，需单独讨论分母为0 的情况（如
时的特殊值），避
免漏解·
5.名师点睛
指对同构零点型的核心是“找共性、凑同源”，解题时无需纠结复杂的指对运算，重点关注“哪些结构可
以转化为同一函数框架”·建议熟记高频母函数的性质（单调性、极值）和典型变形模式（如
），通过多练同类题型形成“见式知构”的敏感度·对于含参问题，优先采用“参数分离+母函数值域”
的思路，可大幅降低解题难度·
（2025 高三全国专题练习）已知x0是函数f ( x)= x
2e
x−2+ ln x −2的零点，则
e
2−x0+ ln x0= ．
（2025 高三全国专题练习）已知f ( x)= x ln x + a
2 x
2+1，若关于x 的方程
xe
x−a= f ( x)−a
2 x
2+ax−1有两个不同的实数解，求a 的取值范围．
【多选题】（2023 湖北二模）已知函数f (x)=ae
x−ln (x +2)+ ln a−2．以下说
法正确的是（ ）
A．若f (x)在x =0处取得极值，则函数在(0,+ ∞)上单调递增
B．若f (x)≥0恒成立，则a∈[e,+ ∞)
C．若f (x)仅有两个零点，则a∈[e,+∞)
D．若f (x)仅有1 个零点，则a=1
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
6
一、单选题
1．（24-25 高三上·福建·期中）已知点(m,n)为函数f (x)= x
2e
x和g(x)=e
2(2−ln x)图象的交点，则
m+lnm=（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
2．（25-26 高三上·贵州贵阳·期中）正实数a，b满足ae
a−1=e
10和b(lnb−1)=e
12（其中e是自然对数的底
数），则lna+lnb的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．（25-26 高三上·甘肃·月考）已知x , y满足e
x+ln( y +2026)=e
2026
y +2026 −x +2026，则e
x+ y的最小值
为（ ）
A．2e
1013−2025
B．2e
1013−2026
C．2e
1013
D．4e
1013−2026
4．（25-26 高三上·广东惠州·期中）已知函数f (x)=e
xlna−ax (a>1)，若f (x)≥0恒成立，则实数a的值
为（ ）
A．e
B．√e
C．e
2
D．e
2
2
二、多选题
5．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数f (x)=e
mx+(m−1) x , g(x)=ln x，则下列命题正确的是（ ）
A．若m≤0，则函数f (x)有且只有1 个零点
B．若不等式f (x)≥g(x)恒成立，则m的取值范围是[
1
e ,+∞)
C．若不等式f (x)≥1对任意的x∈R恒成立，则m的取值范围是[
1
2 , 2
3)
D．若m=1，则不等式f (x)>2g(x)+2恒成立
6．（2025·安徽合肥·一模）已知x1, x2分别为y = x +e
x与y = x +ln x的零点，则（ ）
A．x1 x2+ x1−x2<1
B．x1<ln x2
C．x1+ x2=0
D．x2−x1∈(1, 1
2 +ln2)
7．（2025 高二·全国·专题练习）若f ( x)=e
x−1
x
,g( x)=
x
1+ ln x ,∃x1, x2，使得f (x1)= g(x2)，则下列说
法正确的是（ ）
课后针对训练
7
A．若x1> x2，则x2<1
B．若x1< x2，则x1<1
C．存在x1= x2
D．∃x0，使得当x1> x0, x2> x0时，|x2−x1|的值随着x1, x2的增大而增大
三、填空题
8．（25-26 高一上·湖北·月考）已知正实数a,b满足 b(√a
2+1+ln ab
2 )≥√4+b
2，则 1
2 a+b的最小值为
.
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知实数x1, x2满足x1⋅e
x1−1=e
2, x2(ln x2−2)=e
5，求x1⋅x2的值
．
10．（25-26 高一上·江西南昌·月考）设a为正实数，若实数x0是关于x的方程e
x+(1−a) x =lna+ln x的解，
则e
x0−a x0=
11．（2025 高三·全国·专题练习）函数g(x)=e
x
x −x +ln x的最小值为 .
12．（2024 高三·全国·专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x =lne
x，
x =e
ln x(x>0)的变形技巧.已知函数f (x)= x⋅e
x，g(x)=−ln x
x
，若f (x1)= g(x2)=t >0，则
x1
x2e
t 的最大值
为 .
13．（2025 高二·全国·专题练习）若对0< x1< x2<a都有ln(
x2
x1)
x1 x2
<2 x2−2 x1成立，则a的最大值为 .
14．（2025 高三·全国·专题练习）若关于x 不等式(a
2−a) x +aln x ≤e
x−2alna在(0,+ ∞)上恒成立，则
实数a 的最大值是 ．
四、解答题
15．（2025 高二·全国·专题练习）设a，b 为两个不相等的正数，且b ln a−a ln b=a−b，证明：ab>1．
16．（25-26 高三上·北京海淀·月考）已知a>0，函数f (x)= a+ln x
x
.
(1)求y = f (x)的单调区间；
(2)已知y = f (x)与g(x)=
x
ae
x−1有相同的最大值，
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）直线y =b与两条曲线y = f (x)和y = g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为
x1, x2, x3, x4(x1< x2< x3< x4)，证明：x1 x4= x2 x3.
8
9
