文档文本内容
【培优点23：必要性探路与主元法】
【知识拓展】
1.必要性探路的本质与适用场景
必要性探路是解决含参恒成立、存在性问题的核心策略，其本质是利用“恒成立问题的任意性蕴含特殊点
的成立性”，通过代入区间端点、特殊点（如
、
等）或利用极限思想，先求出参数的必要范围，
再验证该范围的充分性，实现“缩小战场、精准打击”的解题目标.
适用场景：①参数分离困难或分类讨论界点模糊的含参恒成立问题；②函数在区间端点处函数值为0 或可
通过极限求解的问题；③不等式中含指数、对数等超越函数，常规求导分析复杂的问题.
2.主元法的核心思想与应用前提
主元法（变换主元法）的核心是打破“以
为唯一自变量”的固有思维，根据式子结构特征，将参数或另
一个变量视为“主元”，转化为一次函数、二次函数等熟悉函数的单调性、最值问题求解.
应用前提：①式子可整理为关于某一变量（参数或
）的线性函数、二次函数等可直接分析单调性的形式；
②已知其中一个变量的取值范围，需利用该范围消去变量，简化不等式证明或参数求解.
【热点题型1：单端点的必要性探路】
【核心归纳】
1.关键特征：区间单端点处函数值为0，恒成立问题等价于函数在该端点处取最值，故端点处导数值为0
（必要条件）；2.核心逻辑：先通过“
且
”求参数必要值，再分情况验证该值对应
的范围是否满足充分性.
设函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2．
（Ⅰ）若a= 1
2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0 时，f（x）≥0，求a 的取值范围．
【规律方法总结】
1.解题模板：①确定恒成立区间及端点
，验证
；②求导计算
，令
，解
得参数必要值；③以必要值为分界点，分类讨论函数单调性，验证充分性；④综合得出参数取值范围.
2.易错提醒：不可直接将必要值当作最终范围，必须验证充分性；若端点处导数值不存在，可利用极限思
想分析函数在端点附近的趋势.
设函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2，a∈R，其中e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）若a= 1
2，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x≥0 时，f（x）≥0 恒成立，求实数a 的取值范围．
已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求
a 的取值范围．
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
1
已知函数f（x）＝ex﹣2x+sinx，函数g（x）＝ax2+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x≥0，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．
【热点题型2：含有两个端点的找点探路】
【核心归纳】
1.关键特征：闭区间两个端点均能建立关于参数的不等式，通过端点不等式初步锁定参数范围；2.核心逻
辑：端点探路缩小范围，再利用导数找到区间内极值点，验证极值（最小值或最大值）满足恒成立条件，
必要时进一步缩小参数范围.
已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
【规律方法总结】
1.解题模板：①代入区间两个端点
、
，建立
（或
）、
（或
），求解
参数必要范围；②求导分析函数在区间内的单调性，找到极值点；③验证极值点处函数值满足恒成立条件，
进一步缩小参数范围；④综合得出参数范围.
2.技巧提炼：若其中一个端点函数值与参数无关且满足恒成立条件，可仅对另一个端点探路；若端点处函
数值为负数，可直接排除对应参数范围，减少讨论量.
若函数f ( x)= 1
3 sin2 x +acosx +2 x在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a 的取值范围
为（ ）
A．[−4
3 ，4
3 ]
B．[−1，4
3 ]
C．[−4
3 ，−1]
D．[﹣1，1]
【热点题型3：含对数的特殊点的必要性探路】
【核心归纳】
1.关键特征：对数函数在特殊点的函数值为常数，可快速建立关于参数的不等式；2.核心逻辑：通过对数
特殊点探路缩小参数范围，再利用导数分析函数单调性，找到极值点验证充分性，必要时结合构造新函数
进一步判断.
已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a 的取值范围．
【规律方法总结】
小试牛刀3
经典例题
小试牛刀1
经典例题
2
1.解题模板：①根据对数定义域选择特殊点（如
、
、
等），代入函数建立关于参数的不
等式，缩小参数范围；②求导分析函数单调性，找到极值点；③验证极值点和区间边界处函数值满足恒成
立条件，必要时构造新函数判断不等式是否成立；④综合得出参数范围.
2.特殊点选择技巧：优先选择使对数项为0 或1 的点（如
、
），其次选择使函数其他项简化的
点；若定义域为
，必选
探路.
已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）只有一个零点，求a 的取值范围；
（3）设g（x）＝ex﹣1+xf（x），若g（x）≥0 恒成立，求a 的取值范围．
【热点题型4：主元法】
【核心归纳】
1.关键特征：式子可转化为关于某一变量的线性函数，且已知该变量的取值范围；2.核心逻辑：通过变换
主元，利用线性函数单调性消去变量，将含参问题转化为不含参问题验证，降低解题难度.
（2024 浙江宁波模拟预测）若实数a，b 满足2ln a+ ln(2b)≥a
2
2 + 4 b−2，则（ ）
A．a+b=√2+ 1
4 B．a−2b=√2−1
4
C．a
2+b>3
D．a
2−4 b<1
【规律方法总结】
1.解题模板：①观察式子结构，确定可作为主元的变量（参数或
）；②将式子整理为关于主元的线性函
数形式：
（为主元）；③分析
的符号，确定
的单调性；④利用主元的取值范围，
求出
的最值（最小值或最大值）；⑤验证最值满足题设条件（恒成立或存在性）.
2.主元选择技巧：优先选择使一次项系数简单或已知取值范围的变量作为主元；若参数取值范围已知，优
先将参数作为主元，消去参数简化验证.
（23-24 高三上广东佛山期末）已知函数f ( x)= 1
a e
x−√1+ x，其中a∈R且a≠0.
(1)设a>0，过点A(−1,−1
2)作曲线C : y = f ( x)的切线（斜率存在），求切线的斜率；
(2)证明：当a=1或0<a≤2
e 时，f ( x)≥1
2 ax( x ≥−1).
（2025 高二全国专题练习）已知函数f ( x)=e
x−1−a ln x +a ln a.
(1)当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
(2)当a>0时，证明：f ( x)≥a.
小试牛刀1
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
3
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数f ( x)= x e
ax−e
x．
(1)当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
(2)当x>0时，f ( x)<−1，求a 的取值范围；
(3)设n∈N
∗，证明：
1
√1
2+1
+
1
√2
2+2
+⋯+
1
√n
2+n
>ln(n+1)．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数f ( x)=ax−sin x
cos
3 x
, x∈(0,π
2 )
(1)当a=8时，讨论f ( x)的单调性；
(2)若f ( x)<sin 2 x恒成立，求a 的取值范围．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f ( x)= ln
x
2−x +ax +b( x−1)
3
(1)若b=0，且f
′( x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
(3)若f ( x)>−2当且仅当1< x<2，求b的取值范围．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=(1−ax)ln(1+ x)−x．
(1)当a=−2时，求f (x)的极值；
(2)当x ≥0时，f (x)≥0，求a的取值范围．
5．（2025 高三·天津·专题练习）已知函数f (x)=e
xsin x（e为自然对数的底数），g(x)=2ln(x +1)−ax，
其中a为实数．
(1)求函数f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若对∀x∈[0,π
2 ]，有f (x)≥e
x g(x)，求a的取值范围．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数f (x)= tan x (1−2cos x)+ x ,(0≤x<π
2 ).
(1)求f (x)的最小值；
(2)证明：f (x)≤2tan x；
(3)若f (x)≥2ln (x +1)+ax + tan x，求实数a的取值范围.
7．（2025 高三上·贵州贵阳·专题练习）已知函数f ( x)=e
x−ax−3(a∈R).
(1)当x ≥1时，讨论f ( x)的单调性；
(2)当x ≥0时，若不等式f ( x)≥x
2
2 −2恒成立，求a的取值范围；
(3)若f ( x)有两个零点x1, x2，且x1< x2，证明：3e
x1+e
x2>3a.
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)=e
x+sin x −1．∀x ≥0,f ( x)+mx ≥0恒成立，求实数m
课后针对训练
4
的取值范围．
9．（2025·江苏·模拟预测）已知函数f ( x)= a( x−1)
x +1
−ln x．
(1)若a=1，求曲线y = f ( x)在x =1处的切线方程；
(2)若f ( x)≤0对任意x∈[1,+ ∞)恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：1
2 + 1
3 +⋯+ 1
n <ln(2n+1)−ln3．
10．（25-26 高三上·福建福州·月考）已知函数f (x)=2sin x−ax，x∈[0,π]．
(1)若f (x)为增函数，求a的取值范围；
(2)若1≤a≤√3，求f (x)最大值的取值范围；
(3)若f (x)≥x cos x，求实数a的取值范围．
11．（25-26 高三上·全国·月考）已知函数f (x)=ln x−ax +1，g(x)= f (x)(e
x−bx−1).
(1)若存在x使得f (x)>0成立，求a的取值范围；
(2)当a≥1时，g(x)≤0在定义域内恒成立，求b的取值范围.
5
