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专题 03 三角函数
（新课标全国Ⅰ卷）1．已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
（新课标全国Ⅰ卷）2．已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范
围是________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
（新课标全国Ⅱ卷）3．已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，而 为锐角，解得： ．
故选：D．
（新课标全国Ⅱ卷）4．已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两个交点，
若 ，则 ______．
【答案】
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
（全国乙卷数学（文）（理））5．已知函数 在区间 单调递增，直线 和
为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
（全国乙卷数学（文））6．若 ，则 ________．
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
（全国甲卷数学（文）（理））7．已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则
与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
（全国甲卷数学（理））8．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知， 是 成立的必要不充分条件.
故选：B
（新高考天津卷）9．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 图象的对称轴可以是
（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】A
【详解】 ，
令 ，解得 ，
所以 的对称轴为直线 ，当 时， .
故选：A.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 是偶函数，
且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
则 ①.，因为 是偶函数，
所以直线 是 图象的对称轴，所以 ②.
由①②可得， ，又 ，所以 ，
则 ，
因为 在 上单调， 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，故 的最大值为5，经检验， 在 上单调.
故选：C.
3．（2023·四川·模拟预测）设 ， ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
，
，
当 ， 单调递增，
所以 ，所以 .
故选：C
4．（2023·河南开封·统考三模）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，所以 .故选：B.
5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知 （ 为常数），若 在
上单调，且 ，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于函数 ， ，
因为 在 上单调，
所以 ，即 .
又 ，
所以 为 的一条对称轴，
且 即 为 的一个对称中心，
因为 ，
所以 和 是 同一周期内相邻的对称轴和对称中心，
则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
又 为 的一个对称中心，
则 ， ，则 ， ，
当 时， .
故选：A.
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，定义域关于原点对称，
得 ，
则函数 是偶函数，图象关于 轴对称，排除BD；
当 时， ， ， ，所以 ，
排除A.
故选：C.
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）函数 的部分图象如图所
示，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．【答案】C
【详解】由图可知 ，且过点 ，代入解析式可知 ，
即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：C
8．（2023·河南驻马店·统考三模）已知函数 将 的图像向右平移 个单位长度，得
到 的图像，则（ ）
A． 为 的一个周期
B． 的值域为[-1，1]
C． 的图像关于直线 对称
D．曲线 在点 处的切线斜率为
【答案】B
【详解】对于A， ，故 不为 的一个周期，故A不正确；
对于B，令 ，且 ，
所以原函数变为 ，当 时， ，当 时， ，
又 ，所以 ，或 ，所以 或 ，
所以 的值域为[－1，1]，故B正确；
对于C，将 的图像向右平移 个单位长度，得到 的图像，
则 ，又 ，故 为奇函数，不是偶函数，所以 的图像关于直线 不对称，
故C不正确；
对于D， 所以 故D不正确；
故选：B.
9．（2023·河南驻马店·统考三模）已知 则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若 则 或 ，故由p得不到q；
若 则 所以由q可以推出p，故p是q的必要不充分条件．
故选:B．
10．（2023·河南驻马店·统考三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D
11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ， ，则下面四个选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D． 周长的最大值为3
【答案】C
【详解】由于 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，由于 ，所以 ，由于 是三角形内角，则 ，故A正确；
由余弦定理知 ，即 ，由于 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故B正确；
又由正弦定理知 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立，故 周长的最大值为3，故D正确；
由 得 ， ，
所以
，故C错误.
故选：C.
12．（2023·河南驻马店·统考三模）已知A，B分别为双曲线 的左、右顶点，P为该曲线上不同于
A，B的任意一点，设 ， ， 的面积为S，则（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值
【答案】C
【详解】由于双曲线的对称性，可设 ,
由双曲线 可得 ，
则,
因此 ,其中 ，
对于 不是定值，故不正确；
对于 ,由于 ,即
，
若 为定值,则 为定值,从而 和 是确定的值,
于是 均为定值,这是不可能的,故B错误.
对于选项 ,
因此 是定值, 不是定值，
故选：C.
13．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知 ，则
（ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，
得 ，
即 ，
则 ，得 ，则 ，所以
．
故选：A．
14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗
数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使
用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割 ，余割 ．则函数
的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，其中 ，
所以 ，且 ，
即 的值域为 .
故选：D.
15．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设 ，则 等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，
故选：C．
16．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 ，若 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
17．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 为锐角， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
又 为锐角， ，
所以 ，
解得 ，
因为 为锐角，所以 ，
又
所以 .
故选：A.
18．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）数学中一般用 表示a、b中的较小值，关于函数 有如下四个命题：
① 的最小正周期为 ；② 的图像关于直线 对称；
③ 的值域为 ；④ 在区间 上单调递增.
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】设 ， ，
则 ，
函数 的图象如下所示：
对①，由图可知，函数 的最小正周期为 ，故①正确；
对②，由图可知， 为函数 的对称轴，故②正确；
对③， ，由图可知，函数 的值域为 ，故③错误；
对④， ， ，由图可知，函数 在区间 上单调递增，故④正确.
综上，真命题的个数为3个.
故选：C
19．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音
的数学模型是函数 ，我们听到声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是
函数 ，则 （ ）
A． 在区间 内有一个零点 B． 在 上单调递减C． 在区间 内有最大值 D． 的图象在 处的切线方程为
【答案】C
【详解】对于选项A：因为 ，则 ，可得 ，
则 ，
所以 在区间 内无零点，故A错误；
对于选项B：因为 ， ，不满足 ，
所以 在 上不是单调递减，故B错误；
对于选项C：因为 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此当 时， 取得最大值 ，故C正确；
对于选项D：由选项C可得： ，且 ，
因此 图象在原点处的切线方程为 ，故D错误.
故选：C.
20．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数 ，则下面结论错误的是
（ ）
A．当 时， 的取值范围是
B． 在 上单调递减
C． 的图像关于直线 对称
D． 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位得到
【答案】D
【详解】 ,当 , , , 的取值范围是 ,A正确;
当 , , 单调递减,B选项正确;
当 时, , 的图像关于直线 对称,C选项正
确;
由函数 的图像向右平移 个单位得到 ,D选项错误.
故选:D
