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专题12 三角函数的图像与性质（七大题型+模拟精练）
目录：
01 求三角函数的有关概念
02 三角函数图像的变换
03 识别函数图像、根据已知图像求解
04 三角函数图像与性质的综合辨析
05 三角函数性质的综合应用—求参数范围或最值
06 三角函数的应用
07 三角函数的综合解答题
01 求三角函数的有关概念
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】由正切函数周期公式直接计算即可.
【解析】
的最小正周期为
.
故答案为：
2．（2023 高三·全国·专题练习）y＝cos
的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得答案.
1
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【解析】因为
，
所以由
得，
，
，
即所求单调递减区间为
.
故答案为：
.
3．（23-24 高一下·山东威海·阶段练习）已知函数
，
的图象的对称中心是
．
【答案】
【分析】将
看成整体角，利用正切函数的对称中心即可求得.
【解析】由函数
可得，
，解得：
，
即
的图象的对称中心是
.
故答案为：
.
4．（2024·贵州黔南·二模）若函数
为偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知：
为函数
的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【解析】由题意可知：
为函数
的对称轴，
则
，则
，
2
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对于选项A：令
，解得
，不合题意；
对于选项B：令
，解得
，符合题意；
对于选项C：令
，解得
，不合题意；
对于选项D：令
，解得
，不合题意；
故选：B.
5．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数中，以π 为周期，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间
上的单调性，即可选择判断．
【解析】对于A，
的最小正周期为π，在区间
上单调递减，A 不是；
对于B，
的最小正周期为π，在区间
上单调递增，B 是；
对于C，
的最小正周期为π，在区间
上单调递减，C 不是；
对于D，
不是周期函数，在区间
上单调递减，D 不是．
故选：B
6．（23-24 高一下·重庆·阶段练习）下列函数中，周期为
且在
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正余弦函数的单调性可判断AB；结合周期性定义举反例判断C；结合余切函数的周期性以及
单调性判断D.
3
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【解析】对于A，
，
，由于
在
上不单调，
故
在
上不单调，A 错误；
对于B，
，
，由于
在
上单调递减，
故
在
上单调递减，B 错误；
对于C，由于
，
故
不是
的周期，C 错误；
对于D，
的最小正周期为
，
时，
，
而
在
上单调递增，故
在
上单调递增，D 正确，
故选：D
7．（2024 高三·全国·专题练习）若函数y＝cos (3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝ ．
【答案】kπ＋（k∈Z）
【解析】由题意，得y＝cos （3x＋φ）是奇函数，cos φ＝0，所以φ＝kπ＋（k∈Z）.
8．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）函数
的部分图像如图所示，则
其解析式为（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知中的函数
的部分图象，求出满足条件的
值，可得答案．
【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为
，故
，
，故
，解得
，
故
.
将
代入可得：
，
则
，解得
.
∵
，∴
，
∴
.
故选:B.
9．（2024 高三上·全国·专题练习）函数
，
的值域为 ．
【答案】
【分析】先求出整体角的范围，再利用余弦函数的值域求解即可.
【解析】因为
，所以
，
所以
，
所以
．
5
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所以函数的值域为
．
故答案为：
02 三角函数图像的变换
10．（23-24 高一下·广东佛山·期中）为了得到
的图像，需要把函数
的图象
向右平移的单位数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简，然后由平移变换可得.
【解析】因为
，
，
所以，要得到
的图象，需要把函数
的图象向右平移
个单位长度.
故选：A
11．（23-24 高一下·四川·期中）
的图象如图所示，为了得到
的图象，则
只要将
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】C
6
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【分析】先根据图象确定
的值，进而根据三角函数结果的点求出求
与
的值，确定函数
的解析式，
然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果．
【解析】函数
的部分图象，可得
，
，
，则
，
又
，
,则
，
故
．
对A,
向右平移
个单位长度,得到
，故A 错误；
对B,
向右平移
个单位长度,得到
，故B 错误；
对C,
向左平移
个单位长度,得到
，故C 正确；
对D,
向左平移
个单位长度,得到
，故D 错误.
故选：C．
12．（23-24 高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数
的图象，只需要把函数
图象（ ）
A．先将橫坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位
B．先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位
C．先向左平移
个单位，再将横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）
7
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D．先向右平移
个单位，再将横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）
【答案】B
【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断.
【解析】为了得到函数
的图象，只需要把函数
图象
先向右平移
个单位，再将横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），CD 错；
也可以先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位，A 错误，B 正确.
故选：B.
13．（23-24 高三上·辽宁抚顺·期末）先将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标
不变），再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，写出
图象的一条对称轴的方
程：
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】
利用伸缩和平移变换写出
的函数表达式，再求对称轴方程.
【解析】
先将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
，
向左平移
个单位长度得到
，
令
，
，解得
，
，
可取
，则
.
故答案为：
（答案不唯一）.
14．（2024·陕西榆林·三模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的函数
8
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图象关于
对称，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据平移变换的原则求出变化后的函数解析式，再根据余弦函数的对称性即可得解.
【解析】由函数
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
得到函数
，
又由
图象关于
对称，
所以
，解得
，
因为
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
.
故选：C.
03 识别函数图像、根据已知图像求
15．（2024·全国·模拟预测）函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
9
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【分析】先由根据图象，由
的奇偶性排除部分选项，再由
时，函数值的正反判断.
【解析】解：因为
的定义域为
，且
，
是奇函数，排除选项B．
当
时，
，排除选项A，C．
故选：D．
16．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
，如图
是直线
与曲线
的两
个交点，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，依题可得，
，结合
的解可得
，从而得
到
的值，再根据
即可得
，进而求得
．
【解析】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
当
时，
，即
，
；
当
时，
，即
，
；
10
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综上：
；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设
，则
，
因为
，
则
，解得
，
所以
，
．
故选：C.
17．（2024·江西南昌·一模）函数
的部分图象如图所示，
是等腰
直角三角形，其中
两点为图象与
轴的交点，
为图象的最高点，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，过
作
轴于
，根据题意得到
，进而可求出
，再利用
，
得到
，则有
，可求出
，从而
，即可求出结果.
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【解析】如图，过
作
轴于
，则
，
又
是等腰直角三角形，所以
，故
，得到
，
又
，所以
，则
，所以
，
所以
，得到
，又
，得到
，
所以
，则
，
故选：D.
18．（2024·广东广州·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若将函数
的图象向右平移
个单位后所得曲线关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出
和
，再根据图象的平移变换，以及图象的对
称性即可得解.
【解析】由
，得
，又点
及附近点从左到右是上升的，则
，
由
，点
及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得
12
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，
联立解得
，
，而
，于是
，
，
若将函数
的图像向右平移
个单位后，得到
，
则
，而
，因此
，
所以当
时，
取得最小值为
.
故选：A
04 三角函数图像与性质的综合辨析
19．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
的图象关于y 轴对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于直线
对称
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【解析】
可以为负，所以A 错；
关于原点对称，故B 错；
；
关于直线
对称，不关于直线
对称，故C 错，D 对.
故选：D.
20．（2024·四川·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，下列结论
中正确的是（ ）
A．函数
的图象关于
对称
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B．函数
的对称中心是
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
的图象可以由
的图象向右平移
个单位长度得到
【答案】D
【分析】A 选项，利用三角恒等变换得到
，根据最小正周期得到
，得到函数
解析式，求出A 错误；B 选项，整体法求解出函数的对称中心；C 选项，求出
，C 错误；
D 选项，平移得到
，D 正确.
【解析】A 选项，
，
因为函数
的最小正周期为
，解得
，所以
，
当
时，
，故A 错误；
B 选项，令
，即
，
函数
的对称中心是
，故B 错误；
C 选项，
时，
，
14
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显然
在其上不单调，故C 错误；
D 选项，
的图象向右平移
个单位长度，
得到
，故D 正确．
故选：D．
21．（2024·陕西渭南·二模）关于函数
，给出如下结论：
①
的图象关于点
对称
②
的图象关于直线
对称
③
的最大值是3
④
是函数
的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据
是否成立即可判断①；根据
是否成立即可判断②；
令
，再结合二次函数的性质即可判断③；根据
是否成立即可判断④.
【解析】对于①，
，
，
则
，
所以
的图象不关于点
对称，故①错误；
15
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对于②，
，
所以
的图象关于直线
对称，故②正确；
对于③，
，
令
，
则
，
则
，
当
时，
，
所以
的最大值是3，故③正确；
对于④，
，
所以
不是函数
的周期，故④错误.
所以正确结论的个数为
个.
故选：B.
05 三角函数性质的综合应用—求参数范围或最值
22．（2024·河北唐山·二模）函数
在
上为单调递增函数，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
的取值范围，求出
，结合正弦函数的单调性得到
，解得即可.
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【解析】由
可得
，
又
，则
，且
在
上为单调递增函数，
所以
，解得
，
即
的取值范围为
.
故选：C
23．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数
的一个零点是
，且
在
上单调，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】整理可得
，以
为整体，根据单调性分析可得
，再结合零
点分析求解.
【解析】因为
，
，且
时，
可得
，且
，
若
在
上单调，则
，解得
，
又因为
的一个零点是
，则
，解得
，
17
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所以
.
故选：B.
24．（2024·四川内江·三模）设函数
，若存在
，且
，使
得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，求出
，结合
以及题设可列出不等式
，即可求得答案.
【解析】由于
，当
时，
，
又
，
，
而在原点左侧第一个使得
的x 的值为
，即
，
由于存在
，且
，使得
，
故需满足
，
即
的取值范围是
，
故选：B
25．（2024·江苏南通·二模）已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】根据条件，利用辅助角公式得到
，再利用
的图象与性质，得到
的单调增区间，再根据条件，可得到
，即可求出结果.
【解析】因为
，又
，
由
，得到
，
所以函数
的单调增区间为
，
依题有
，则
，得到
，
故选：B.
26．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，对于任意的
，
，
都恒成立，且函数
在
上单调递增，则
的值为
（ ）
A．3
B．9
C．3 或9
D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小
的取值范围，结合正弦型三角函数
的对称性可得符合的
的取值为
或9，分类讨论验证单调性即可得结论.
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【解析】设函数
的最小正周期为
，因为函数
在
上单调递增，所以
，得
，因此
．
由
知
的图象关于直线
对称，则
①．
由
知
的图象关于点
对称，则
②．
②
①得
，令
，则
，
结合
可得
或9．
当
时，代入①得
，又
，所以
，
此时
，因为
，故
在
上单调递增，符合题意；
当
时，代入①得
，
，又
，所以
，
此时
，因为
，
故
在
上不是单调递增的，所以
不符合题意，应舍去．
综上，
的值为3．
故选：A.
27．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得函数图象上
所有点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在
上有5 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
20
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【分析】先利用三角函数图象的变换得出
，再根据二次函数的性质得出
在
上有3 个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为
，根据定义域取
值计算即
可；法二、利用整体思想得
，解不等式即可.
【解析】将函数
的图像向左平移
个单位长度，
得到函数
，再将函数
的横坐标变为原来的
倍，
纵坐标不变，得到函数
，
所以
，因为当
时，
有2 个零点，
所以要使
在
上有5 个零点，则需
在
上有3 个零点.
法一：令
，则
，
解得
，当
时，分别对应3 个零点，
则
，解得
.故选A.
法二：因为
，所以
，
所以
，则
.
故选:A.
06 三角函数的应用
21
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28．（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地
往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48
个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min 后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m
B．87.5m
C．82.5m
D．
【答案】A
【分析】以轴心
为坐标原点，与地面平行的直线为
轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数
，令
时，即可求解.
【解析】设座舱距离地面的最近的位置为点
，以轴心
为原点，与地面平行的直线为
轴建立平面直角
坐标系，如图所示，
设函数
表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为
，直径为
，且转一周大约需要
，
周期
，
，所以
，
即
，
当
时，游客在点
，其中以
为终边的角为
，
所以
，
当
时，可得
所以，摩天轮的座舱
后距离地面高度约为
.
22
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故选：A.
29．（2023·全国·模拟预测）随着电力的发展与石油的消耗，风力发电越来越受到重视.预计到2025 年全球
风电新增装机量达到111.2GW，中国的装机量占比达到世界第一.已知风速稳定时风力发电机叶片围绕转轴
中心做匀速圆周运动，现有两个风力发电机，
和
分别为两个风力发电机叶片边缘一点，
和
到各自
转轴中心距离均为20 米，初始时刻
处于所在的发电机转轴中心正上方，
处于所在的发电机转轴中心正
下方，且
和
围绕各自发电机转轴中心做匀速圆周运动.由于两个发电机所处位置风速不同，
点转速为
，
点转速为
，以时间（单位：秒）为自变量，
和
与各自发电机转轴中心高度差为应变
量，分别得三角函数
与
，下列哪种方式可以使
变为
（ ）
A．将
图象上所有点向右平移
个单位长度，再将横坐标扩大到原来的
倍
B．将
图象上所有点向左平移
个单位长度，再将横坐标缩小到原来的
倍
C．将
图象上所有点的横坐标扩大到原来的
倍，再向左平移
个单位长度
D．将
图象上所有点的横坐标缩小到原来的
倍，再向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据题意，分别列出函数
与
的解析式，再利用三角函数图象的变换即可求解.
【解析】由题意可知：三角函数
与
的角速度分别为
，
，
又因为初始时刻
处于所在的发电机转轴中心正上方，
处于所在的发电机转轴中心正下方，所以
23
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，
，
由三角函数的变换可知：
纵坐标不变，横坐标缩短缩小到原来的
倍得到
，再向右平移
个单位长度可得到
，
故选项
正确；
故选：
.
30．（22-23 高三上·安徽亳州·阶段练习）某杂技表演是在一种转轮状的机械上完成，表演者站在转轮的固
定板上慢慢往上转的同时完成各种表演.转轮模型如图.已知转轮最高点距离地面高度为11 米，转轮半径为
5 米，转轮上设置了8 个固定板.开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约要5 分钟.若甲乙两位表演者
､
在相邻的两个固定板上表演，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出甲、乙二人距离地面的高度
关于时间t 的函数关系，求出他们差的绝
对值，再借助正弦函数的性质求解作答.
【解析】以过转轮中心C 垂直于地面的垂足O 为原点，过中心垂直于地面的直线为y 轴建立坐标系，如图，
24
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当乙在
时，甲在
处，记为时刻
，设甲，乙两人距离地面的高度分别是
，
在
时刻，设
，显然
，
因此
，而转一周需5 分钟，则
，即
，
又
时，
，即有
，则取
，因此
，
显然转轮上相邻两个固定板所在转轮半径夹角为
，则
则两人距离地面的高度差：
，
而
，则当
或
，即
或
时，
，
又
，即有
，
，
所以两人距离地面的高度差的最大值为
.
故选：A
07 三角函数的综合解答题
31．（2024·山西临汾·三模）已知函数
的图象可由函数
的图象平移得到，且关于直线
对称．
25
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(1)求
的值；
(2)求函数
的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
和
．
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出
，进而得到
，
再代入
解出即可；
（2）先由图象平移得到
，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中
范围求出即可.
【解析】（1）依题知函数
与函数
有相同的振幅和周期，所以
，
因为函数
的图象关于直线
轴对称，
所以
，
即
，
又因为
，所以
，
所以
，
．
26
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（2）
法一：因为
，所以
，
因为
在
单调递增，
故
的单调递增区间为
和
．
法二：
由
，
得
，
又因为
所以
的单调递增区间为
和
．
32．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数
满足
．
(1)求函数
的解析式及最小正周期；
(2)函数
的图象是由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，若
，求
的最小值．
【答案】(1)
，最小正周期为
(2)
27
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【分析】（1）由
，结合
，求得解析式，然后利用周期公式求解；
（2）根据平移变换得到
，然后由
得到
求解.
【解析】（1）∵
，
∴
，而
，
∴
，即
，
∴
的最小正周期为：
；
（2）由题意，
，
∵
，
∴
，
∴
Z，
∴
，
∴
的最小值为
．
33．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数
的部分图象，且
，
．
28
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(1)求
，
的值；
(2)将
的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3 倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度，得到
函数
的图象，讨论函数
在区间
的零点个数．
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期求出
，根据
求出
；
（2）首先求出
的解析式，函数
在区间
的零点个数即为函数
的图象与直线
在
上的交点个数，由
的取值范围，求出
的取值范围，再结合余弦函数的图象即可
得解.
【解析】（1）根据题意得，
，故
，
，故
．
将
代入，得
，解得
，
又
，故
．
（2）依题意，
．
29
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函数
在区间
的零点个数即为函数
的图象与直线
在
上的交点个数．
当
时，
，结合余弦函数图象可知，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
且
，
，
，
作出函数
在
上的大致图象如图所示．
观察可知，当
或
时，
有个零点；
当
时，
有
个零点；
当
或
时，
有个零点．
34．（21-22 高一下·山东临沂·阶段练习）已知函数
，其图象中相邻的两
个对称中心的距离为
，且函数
的图象关于直线
对称；
(1)求出
的解析式；
(2)将
的图象向左平移
个单位长度，得到曲线
，若方程
在
上有两根
，
，求
的值及
的取值范围.
30
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【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据条件相邻的两个对称中心的距离为
得到周期从而求出
，再根据对称轴是
及
求出
，从而得到
的解析式；
（2）根据平移变换得到
，再通过整体代换，利用正弦函数的图像和性质得到
有
最小值及对应的自变量的值，即可求
的值及
的取值范围.
【解析】（1）解：因为函数
的图象相邻的对称中心之间的距离为
，
所以
，即周期
，所以
，
所以
，
又因为函数
的图象关于直线
轴对称，
所以
，
，即
，
，
因为
，所以
，
所以函数
的解析式为
；
（2）解：将
的图象向左平移
个单位长度，得到曲线
，
所以
，
当
时，
，
,
31
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当
时，
有最小值
且关于
对称，
因为方程
在
上有两根
，
，
所以
，
，即
的取值范围
.
35．（2022·河南濮阳·模拟预测）已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
，求
在区间
上的所有最大值点．
【答案】(1)
;
(2)
与
.
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式
；
（2）结合函数特点，分
与
两种情况下进行求解.
【解析】（1）
的图象向右平移
个单位长度，得到
,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
（2）
，
当
时，
，所以
，
32
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因为
，所以
，
故当
，即
时，
取得最大值，最大值为2；
当
时，
，所以
，
因为
，所以
，
故当
，即
时，
取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求
在区间
上的所有最大值点有
与
.
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）“
”是“函数
的图象关于
对称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若函数
的图象关于
对称，根据正切函数的对称性可得
，再
根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【解析】若函数
的图象关于
对称，
则
，解得
，
因为
是
的真子集，
所以“
”是“函数
的图象关于
对称”的充分不必要条件.
故选：A.
33
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2．（2024·广东湛江·二模）函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得
的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【解析】因为
，所以
，所以
，
故
在
上的值域为
.
故选：B.
3．（2024·四川绵阳·三模）若函数
的图象关于直线
对称，在下列选项中，（ ）
不是
的零点
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的周期，以及函数的对称性可得
的零点满足
，即可求解.
【解析】由于
的周期
，
又
的图象关于直线
对称，
所以
的零点满足
，所以
，
，
均为
的零点，
不是
的零点，
故选：A
4．（2024·全国·二模）若函数
的图象关于
轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.
【解析】依题意，函数
是偶函数，则
，
即
，而
，所以
.
故选：B
5．（2024·四川德阳·二模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简
，再利用函数奇偶性的定义判断
的奇偶性，从而得解.
【解析】因为
，定义域为
，
又
，
所以
是奇函数，从而ACD 错误，B 正确.
故选：B.
6．（2024·山西·模拟预测）方程
的实数根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】作出函数
和
的图象，由图象交点个数得出结论．
35
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【解析】设
，
．在同一直角坐标系内画出
与
的大致图象，
当
时，
；当
时，
．
根据图象可得两个函数共有11 个交点．
故选：C．
7．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
将
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
在区间
上的值域为
，
则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由图象求出函数
，再由平移变换得函数
，结合整体法求值域，从而求的取值范围.
【解析】设
的最小正周期为
，由图象可知
，
所以
，则
，故
，
又
的图象过点
，所以
，
36
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所以
，又
，所以
，
则
，
则
.
当
时，
，
当
或
.即
或
时，
，
当
，即
时，
，
所以的取值范围为
.
故选：C.
8．（2024·天津红桥·一模）将函数
的图象横坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
单位，得到函数
的部分图象（如图所示）．对于
，
，且
，若
，
都有
成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
37
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C．
在
上单调递增
D．函数
在
的零点为
，则
【答案】C
【分析】由题意可得函数
的图象在区间
上的对称轴为
，再结合
可求出
，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断
CD 即可.
【解析】对于A，由题意可知函数
的图象在区间
上的对称轴为
，
则
与
关于
对称，
又
，结合图象可得
，
所以
，又
，所以
，
所以
，故A 正确；
对于B，
右移
个单位得到函数
的图象，
再将其横坐标缩短为原来的
得到
的图象，故B 正确；
对于C，由
，得
，
所以
在
上不单调，故C 错误；
对于D，令
，则
，
38
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函数
在
上有个零点
，
则
，
，
，
，
，
故
，
所以
，故D 正确；
故选：C．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为
或
的形式；
（2）将
看成一个整体；
（3）借助正弦函数
或余弦函数
的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、
单调性等）解决相关问题.
二、多选题
9．（2024·湖南·模拟预测）已知函数
的图象经过点
，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
C．函数
的图象关于点
中心对称
D．函数
在区间
单调递减
【答案】ABD
【分析】由条件可求
的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.
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【解析】对选项A，依题意函数
的周期为
，所以选项A 正确；
对选项B，因为
，即
，又
，所以
，所以选项B 正确；
对选项C，因为
，又
，
所以点
不是
的中心对称，所以选项C 错误；
对选项D，因为
，所以
，因为
在
单调递减，
所以函数
在区间
单调递减，所以选项D 正确.
故选:ABD.
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数
的图象过点
，且两条相邻对称轴
之间的距离为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．直线
为函数
图象的一条对称轴
D．
在
上的值域为
【答案】ACD
【分析】先求出参数
的值.选项A，由相邻对称轴间的距离得出函数的最小正周期，进而求出
的值；选
项B，一种解法是先求出函数的单调递增区间，对照选项做出判断即可；另一种解法是由
，求出
的范围，对照正弦函数的单调区间做出判断即可；选项C，一种解法是先求出函数的对称轴方程，对
40
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照选项做出判断即可；另一种解法是将
代入函数解析式检验，做出判断即可；选项D，求出
，结合正弦函数的单调性求出函数的最值即可.
【解析】由
的图象过点
，知
，即
．
选项A，因为
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，
所以
，则
，故A 正确．
选项B，
．
法一：由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故B 不正确．
法二：当
时，
，
正弦函数
在区间
上先增后减，
所以函数
在
上不单调，故B 不正确．
选项C，法一：由
，得
．
当
时，
，所以直线
为函数
图象的一条对称轴，故C 正确．
解法二 因为
，
所以直线
为函数
图象的一条对称轴，故C 正确．
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选项D，由
，得
，
当
时，即
，函数
取得最大值，
当
时，，即
，函数
取得最小值
；
所以
，
所以
，故D 正确．
故选：ACD.
11．（2023·山东·模拟预测）已知函数
图象的一条对称轴为直线
，函数
，则（ ）
A．将
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象
B．方程
的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数
在区间
上单调递增
D．
在区间
上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据
对称轴得到
解析式.根据图像平移判断A 选项，利用两角和的正余弦公式及特殊角
的三角函数值，得到B 选项，利用整体代入的方法，结合正弦函数图像对CD 两个选项进行判断.
【解析】因为函数
图象的一条对称轴为直线
，所以
，得
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，因为
，所以
，从而
.
选项A：将
的图象向左平移
个单位长度得到
而
，所以平移后得不到函数
的图象，故A 错误.
选项B：令
，即
，所以
，故B 正确.
选项C：由
，令
，根据正弦函数单调性知
在
上单调递增，
在定义域上单调递减，根据复合函数单调性，
在
上单调递减，故C 错误.
选项D：由
得
，区间长度为
.
根据正弦函数图象和性质，当区间
关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，
为
;
当区间
关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为
，
所以最大值与最小值之差的取值范围为
，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：整体代入解决三角函数问题：将
看成一个整体，根据
的范围得到
的范
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围，结合正余弦函数值域、单调性、对称性等性质可以得到正余弦型函数的性质.
三、填空题
12．（2024·湖北武汉·二模）函数
的部分图象如图所示，则
.
【答案】
【分析】令
，解出
，根据图中零点得到方程解出即可.
【解析】令
，则
，
根据图象得
为函数零点，零点左右函数为上升趋势，
则
，
则
，因为
，则
，
，
故答案为：
.
13．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
图象过点
，则
；若函数
的图象关于点
中心对称，则
.
【答案】
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【分析】由
可得
，对称中心
，即可求得
，从而知函数的解析式.
【解析】因为点
在
的图象上，所以
，
又
，所以
.
因为
图象的一个对称中心是
，
所以
，则
.
又
，所以
，故
.
故答案为：
；
14．（2024·北京朝阳·二模）设
为正整数，已知函数
，
，
. 当
时，记
，其中
.
给出下列四个结论：
①
，
；
②
，
；
③若
，则
；
④若
，则
.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【分析】依据
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
45
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在
和
上单调递增，在
上单调递减，
利用单调性逐项计算可判断每个选项的正确.
【解析】对于①，因为
，所以
.
又
在
上单调递增，所以
，
所以
，故①正确；
对于②，当
时，
，
，所以此时
，故②错误；
对于③，当
时，因为
在
上单调递减，在
上单调递增，且关于直线
对称.
又有
，且
和
在数轴上关于
对称，所以
，
，
.
所以
.
而
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
又有
.
所以
，
.
所以
46
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.
这就得到
，
，
，所以此时
，故③正确；
对于④，当
时，因为
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，所以
，
.
所以
.
所以此时
，故④错误.
故答案为：①③.
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，弄清题意与每个函数的单调性是关键，利用单调性比较数的大
小去绝对符号，运算量大，细心是关键.
四、解答题
15．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图
所示．
47
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(1)求
的解析式；
(2)设
，若函数
在区间
上单调递增，求实数
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象先求A，利用周期和图象所过点求出其它参数;
（2）先求
的解析式，根据单调性求得范围.
【解析】（1）由图象得
,
，所以
,
由
，所以
，所以
，
由图象经过点
，代入
得
，
由
得
,
所以
.
（2）由题意
，
因为函数
在区间
上单调递增，且
，
所以
，解得
，所以
的最大值为
.
16．（2024·山西临汾·三模）已知函数
的图象可由函数
48
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的图象平移得到，且关于直线
对称．
(1)求
的值；
(2)求函数
的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
和
．
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出
，进而得到
，
再代入
解出即可；
（2）先由图象平移得到
，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中
范围求出即可.
【解析】（1）依题知函数
与函数
有相同的振幅和周期，所以
，
因为函数
的图象关于直线
轴对称，
所以
，
即
，
又因为
，所以
，
所以
，
49
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．
（2）
法一：因为
，所以
，
因为
在
单调递增，
故
的单调递增区间为
和
．
法二：
由
，
得
，
又因为
所以
的单调递增区间为
和
．
17．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）已知函数
（其中
，
，
均为常数，
，
，
）．在用五点法作出函数
在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
0
0
(1)求函数
的解析式，并直接写出函数
的单调递增区间；
50
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(2)已知函数
满足
，若当函数
的定义域为
（
）时，其值域为
，
求
的最大值与最小值．
【答案】(1)
，单调递增区间为
，
.
(2)
，
【分析】（1）依题意可得
，即可求出
，
，再读出
，即可得到函数解析式，再根据正弦
函数的性质求出单调递增区间；
（2）首先得到
的解析式并利用诱导公式化简，再令
、
分别求出相应的取值，依题
意不妨令
，求出
的最值，即可得解.
【解析】（1）依题意
，解得
，又
，
所以
，
令
，
，解得
，
，
所以函数的单调递增区间为
，
.
（2）因为
，所以
，
令
，则
，
，解得
，
，
令
，则
或
，
，
51
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解得
或
，
，
因为当函数
的定义域为
（
）时，其值域为
，
不妨令
，则
，此时
，
，此时
.
18．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若方程
在
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象求得A 和
，再将
代入求解；
（2）由（1）得到
，再令
，转化为二次方程求解.
【解析】（1）解：由函数的图象知：
，则
，
所以
，
，
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因为
，
所以
，则
，
又因为
，则
，
所以
；
（2）由题意得：
，
令
，
则
化为：
，
即
在
上有解，
由对勾函数的性质得：
，
所以
.
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