文档文本内容
第 04 讲 简单的三角恒等变换
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：三角函数式的化简.....................................3
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）.......................5
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）.......................8
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）......................12
高频考点五：半角公式............................................18
高频考点六：万能公式............................................21
第四部分：新定义题.................................................24
第一部分：基础知识
1、半角公式
（1） .
（2） .
（3） .
2、万能公式（拓展视野）（1）
（2）
（3） 其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】
因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
1．（2024·河北·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正切的倍角公式求得 ，再利用同角三角函数关系，将目标式进行转化，计算即可.
【详解】 ，故 ；
则 .
故选：C.
2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：
(1) ；(2) ；
(3)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)4
(2)1
(3)
【分析】（1）由二倍角公式，利用两角和与差的正弦公式化简即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式和诱导公式化简即可得出答案；
（3）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案.
【详解】（1） .
（2）
.
（3）已知 ， ， ， ，
所以 ，
.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）求值；
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用诱导公式，逆用和角的正弦公式求解即得.（2）利用二倍角公式，凑特殊角的方法化简即得.
【详解】（1） .
（2）
.
2．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求 的值；
（2）已知 ，求函数 的值域.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式即可得解；
（2）利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于 的二次函数，从而得解.
【详解】（1）
.
（2）令 ，
当 时， ，故 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 ，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以 的值域为 .高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）
典型例题
1．（2024·陕西西安·一模） 等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
2．（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
利用诱导公式结合两角差的正弦公式可判断A选项；利用辅助角公式可判断B选项；利用两角差的正切公
式可判断C选项；利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，
，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项， ，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
3．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值.
(1) ;
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦的倍角公式和两角差的正弦公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由正切的倍角公式，可得 .
（2）解：由
.
练透核心考点
1．（多选）（22-23高一下·江苏连云港·期中）计算下列各式，结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D.
【详解】对于A， ，A正确；对于B， ，B正确．
对于C， ，C错误；
对于D， ，D错误；
故选：AB．
2．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对于C
项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.
【详解】对于A项， ，故A项符合；
对于B项， ,故B项符合；
对于C项， ，故C项不符合；
对于D项， ，故D项
符合.
故选：ABD.
3．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ．
【答案】
【分析】
利用二倍角公式及和差角公式计算可得.
【详解】.
故答案为：
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）
典型例题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两角差的正切公式求出 ，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.
【详解】由 ，得 ，
.
故选：B.
2．（2024·湖南衡阳·二模）已知 ， 则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数基本关系，结合角的取值范围，可求角的正切值.【详解】由 ，
所以 或 .
又 ，所以 .
所以 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知 为第二象限角，则 ．
【答案】
【分析】由 及同角三角函数的基本关系可求得 ，再根据
并结合两角和的正弦公式即可得解．
【详解】 ，
，
，
为第二象限角， ， ，
．
故答案为：
4．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知 .
(1)求 ；
(2)求 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角基本关系式与角的范围求得 ，再利用两角差的余弦公式即可得解；
（2）利用同角基本关系式与角的范围求得 ，再利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，则 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式进行计算可得结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 .
故选：C
2．（2024·贵州毕节·二模）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】首先判断 ，再由同角三角函数的基本关系求出 ，最后由二倍角余弦公式计算可
得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，又 ，解得 或 （舍去），
又 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B
3．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若 ，则 .
【答案】
【分析】利用两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
4．（23-24高一下·吉林·阶段练习）设当 时，函数 取得最大值，则
．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性求出 ，进而利用差角的余弦求解即得.
【详解】依题意，函数 ，
其中锐角 满足 ，当 时， ，
因此 ，所以 .
故答案为：
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）
典型例题
1．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知 ， ，且 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切的倍角公式求得 ，再结合正切的和角公式求得 ，结合 的
范围，即可求得结果.
【详解】 ；
，
又 ， ，故 ， ，
又 ， ，故 ，则 .
故选：B.
2．（2024·江西九江·二模）已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出 、
，再求出 即可.【详解】因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：A
3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知 ， ， ，
(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）化切为弦，得到 ，证明出结论；
（2）由正弦差角公式得到 ，结合（1）中的 求出答
案；
（3）先得到 ，利用正弦和角公式得到 ，求出答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ；
（2）因为 所以 ，
由（1）知 ，故 ，解得 ，故 ；
（3）因为 ， ，
故 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
故 .
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在条件：① ；②
；③ 中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知 ，且满足条件___________.
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，先求出 ，再求齐次式的值.
（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.
【详解】（1）若选①，则原式可化为： .
若选②，则 ，且 ，所以 ，
所以 .
若选③，则 且 ，所以 ，所以 .
所以总有 .
所以 .
（2）由（1）可知， ， ，且 ，
又 ，且 ，所以 ，
所以： ，
且 .
所以 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 、 ，再由 利用两角和的余弦公式计算可
得.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，
于是，
又 ，则 .
故选：B.
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知 为锐角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出 及 ，然后再由 从
而可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以
，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以
，所以 ，故C正确.
故选：C.
3．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知 ，其中 .(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)设 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条及两角和的正切公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解；
（3）根据已知条件及（1）的结论，利用同角三角函数的平方关系及凑角法，结合两角差的正弦公式即可
求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
解得 .
（2）由（1）知， ，
.
（3）因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 ， ，所以 .
所以 ,
因为 ，
所以 .
4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知 .
(1)求 的值；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得 的值．
（2）根据（1）求出 ，利用角的范围确定 的值.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，
所以
则 ；
（2）因为 所以 ，
由（1）可得 ，
故 .高频考点五：半角公式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.
【详解】已知 为锐角，若 ，则 ，
所以 .
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】根据已知条件求出 和 的值，再利用 求解即可.
【详解】∵角 是第二象限角，且终边经过点 ，
∴ ， ，
∴ .
故选：C．
3．（23-24高一·全国·课时练习）已知 ， ，则 .
【答案】
【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出 ，再由半角公式计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 .
故答案为：
4．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用半角公式即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
故答案为： .
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课后作业）设 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
借助 ，得出 与 所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.
【详解】 ， ， ，
故 ，又 ，
.
故选：D.2．（23-24高一·全国·课后作业）已知 ， ， ， 均为锐角，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用同角三角函数平方关系、二倍角公式及角的配凑求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
故选：B.
3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】根据 求得 ，利用半角公式求出 即得.
【详解】由 可知 ，故 ．
故答案为： .
4．（22-23高一·全国·随堂练习）已知 ，角 的终边在第一象限，求 的值．【答案】
【分析】先求出 ，根据半角公式得出 的值．
【详解】解：因为 ，角 的终边在第一象限，
所以 ，
所以 .
高频考点六：万能公式
典型例题
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知 ， 是第四象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式可得 ，即可根据同角关系得 ，进而即可由半角公式求解.
【详解】由 可得 ，故 ，
由于 是第四象限角，故 ，
∴ ．
故选：D．
2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据诱导公式、倍角正弦公式得 ，结合万能公式求出 即可求
最终值.
【详解】 ，
∵ ，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角恒等变换，根据诱导公式、倍角公式化简目标式，结合已知以及万能公式求值，
属于简单题.
3．（2024高三·上海·专题练习）已知 ，求 .
【答案】
【解析】先由 ，利用万能公式得 再利用平方关系求 ，最后根据两角差余弦
公式求结果.
【详解】
【点睛】本题考查万能公式、同角三角函数平方关系、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础
题.
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课时练习）已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．2
C． D．
【答案】D【分析】首先利用诱导公式求出 ，再由正切的半角公式以及 的范围即可求解．
【详解】 ， .
又 ， ，
.
故选D
【点睛】本题主要考查了诱导公式、半角公式，求解时注意角的取值范围．
2．（23-24高一下·上海·课时练习）已知 ， .
【答案】
【分析】利用半角公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
所以 .
故答案为：
3．（23-24高三下·北京海淀·期中）若 ，则 .
【答案】
【解析】根据二倍角公式和平方关系，即可求出．
【详解】 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二倍角公式和平方关系的应用，属于基础题．第四部分：新定义题
1．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识
来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系 内作单位圆O，以 为始边作角 .它们的终边与单位圆O的交点分别为
A，B．
则
由向量数量积的坐标表示，有：
设 的夹角为θ，则
另一方面，由图3.1—3（1）可知， ；由图可知，
.于是 .
所以 ，也有 ，
所以，对于任意角 有： （ ）此公式给出了任意角 的正弦、余弦值与其差角 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简
记作 .
有了公式 以后，我们只要知道 的值，就可以求得 的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正
确同等给分）解决下列问题：
（1）判断 是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数 的单调区间.
【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为 ，
的单调递减区间为
【分析】(1) 因为对 是 方向上的单位向量,又 且 与 共线,即可判断出正确;
(2)在 中, ,又 ,表示出 , 的坐标,由纵坐标对应
相等化简即可证得结论;
即
(3)由(2)结论化简可得 借助
正弦型函数的性质即可求得结果.
【详解】(1) 因为对于非零向量 是 方向上的单位向量,又 且 与 共线,所以
正确;
(2) 因为M为AB的中点,则 ,从而在 中, ,又,又 , ,所以 ,
即
(3) 因为 令
,解得:
所以 的单调递增区间为
令 ,解得:
所以 的单调递减区间为
【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.
