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专题06 三角函数的概念与公式
【考点1 终边相同的角的表示】
【考点2 根据已知角确定某角的范围】
【考点3 等分角与倍角的象限问题】
【考点4 扇形弧长与面积公式】
【考点5 三角函数的定义及应用】
【考点6 判断三角函数的符号】
【考点7 sina、cosa、tana 知一求】
【考点8 sina 与cosa 齐次式化弦为切】
【考点9 sinatcosa、sinacosa 知一求】
【考点10 利用诱导公式进行化简求值】
【考点11 两角和与差的三角函数应用】
【考点12 二倍角公式的简单应用】
【考点13 辅助角公式的基本应用】
【考点14 给值求值问题】
【考点15 给值求角问题】
【考点16 三角恒等变换化简求值】
知识点1 任意角与弧度制
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．这
样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴
上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，
k∈Z}．
1
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2、弧度制
定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
知识点2 任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α 的正弦，记作sin
α
叫做α 的余弦，记作cos
α
叫做α 的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT 为正切线
知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2、商数关系：＝tan α.
3、基本关系式的几种变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
（2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
（3）sin α＝tan αcos α.
4、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
2
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余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名改变，符号看象限
函数名不变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名
称的变化
知识点4：三角恒等变换公式
（1）两角和差公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
tan(α＋β)＝
tan(α－β)＝
（2）二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
（3）半角公式
sin＝± ；cos＝±
；
tan＝±
【考点1 终边相同的角的表示】
【典例1】（2024·湖北·模拟预测）若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，
终边在直线y =√3 x上，则角α的取值集合是（ ）
A．{α|α =2k π+π
3 ,k ∈Z}
B．{α|α =2k π+ 2π
3 ,k ∈Z}
3
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C．{α|α =k π+ 2π
3 ,k ∈Z}
D．{α|α =k π+π
3 ,k ∈Z}
【答案】D
【分析】根据题意，分α为第一象限角和第三象限角时，求出α的取值集合再求并集.
【详解】
根据题意，角
的终边在直线y =√3 x上，α为第一象限角时，α =π
3 +2k π(k ∈Z)；
α为第三象限角时，α = 4π
3
+2k π(k ∈Z)；
综上，角α的取值集合是¿.
故选：D.
【典例2】（22-23 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合
A ={α|2k π+π
4 ≤α ≤2k π+π
2 ,k ∈Z}，B ={α|k π+π
4 ≤α ≤k π+π
2 ,k ∈Z}，
则（ ）
A．A ⊆B
B．B⊆A
C．A = B
D．A ∩B =∅
【答案】A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【详解】当k =2n,n∈Z时，B ={α|2nπ+π
4 ≤α ≤2nπ+π
2 ,k ∈Z}= A，
当k =2n+1,n∈Z时，B ={α|2nπ+π+π
4 ≤α ≤2nπ+π+π
2 ,k ∈Z}，
所以A ⊆B.
故选：A
【考点2 根据已知角确定某角的范围】
【典例1】（23-24 高一上·山东枣庄·期末）已知集合A ={钝角}，B ={第二象限角}，C ={
小于180°的角}，则（ ）
A．A = B
B．B =C
C．A ⊆B
D．B⊆C
【答案】C
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C 正确，再由第二象限角的范围
4
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{β |90°+k ⋅360°< β <180°+ k ⋅360° ,k ∈Z}，即可判断出选项ABD 的正误，从而得出
结果.
【详解】因为钝角大于90°，且小于180°的角，一定是第二象限角，所以A ⊆B，故选项
C 正确，
又第二象限角的范围为{β |90°+k ⋅360°< β <180°+k ⋅360° ,k ∈Z}，
不妨取β = 480°，此时β是第二象限角，但480°>180°，所以选项ABD 均错误，
故选：C.
【典例2】（23-24 高一上·山东菏泽·期末）集合A =¿，B =¿，C = A ∩B，则集合C中的元
素个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】解不等式−3π
2 ≤k π+π
2 < 3π
2
(k ∈Z)，得出整数k的取值，即可得解.
【详解】解不等式−3π
2 ≤k π+π
2 < 3π
2
(k ∈Z)，可得−2≤k <1，
所以，整数k的取值有−2、−1、0，
又因为集合A =¿，B =¿，
则C = A ∩B ={−3π
2 ,−π
2 ,π
2 }，即集合C中的元素个数为3.
故选：B.
【考点3 等分角与倍角的象限问题】
【典例1】（23-24 高一上·四川内江·期末）已知sin α >0，cosα <0，则α
3 的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先通过条件确定α的范围，再求出α
3 的范围，进而可得角所在象限.
【详解】因为sin α >0，cosα <0，
所以α为第二象限角，即π
2 +2k π<α <π+2k π,k ∈Z，
5
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所以π
6 + 2k π
3
< α
3 <π
3 + 2k π
3
,k ∈Z，
则α
3 的终边所在象限为(
π
6 ,π
3 ),(
5π
6 ,π),(
3π
2 ,5π
3 )所在象限，
即α
3 的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
【考点4 扇形弧长与面积公式】
【典例1】（2024·福建厦门·三模）圆x
2+ y
2=1被直线y =√3 x−1所截得劣弧的弧长为
（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】设直线与圆的交点为A、B，AB的中点为C，求出圆心到直线的距离，利用锐角
三角函数求出∠AOC，即可得到∠AOB，再由弧长公式计算可得.
【详解】圆x
2+ y
2=1的圆心为(0,0)，半径r =1，
圆心到直线y =√3 x−1的距离d =
|−1|
√(√3)
2+(−1)
2 = 1
2，
设直线与圆的交点为A、B，AB的中点为C，则OC = 1
2，所以cos∠AOC = OC
OA = 1
2，
所以∠AOC =π
3 ，则∠AOB =2∠AOC =2π
3 ，所以劣弧´AB的弧长为2π
3 ×1=2π
3 .
故选：C
【典例2】（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆
心角为π
2 的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
6
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A．5
2
B．3
C．7
2
D．4
【答案】D
【分析】设母线长为l，根据题意得到π
2 l =2π×1，即可求解．
【详解】设母线长为l，由题意，可得π
2 l =2π×1，解得l = 4，即圆锥的母线长为4．
故选：D.
【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角
为4π
3
的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．4π
B．6π
C．10π
D．16π
【答案】C
【分析】由圆面积公式求出圆锥的底面面积，再由扇形侧面积公式求出圆锥侧面积，即可
得到圆锥的表面积.
【详解】因为底面半径r =2，所以底面积S底=πr
2= 4π，底面周长L=2πr = 4π，圆
锥母线长l =
L
4π
3
=3
，圆锥侧面积S侧=πrl =6π，故圆锥的表面积为
S底+ S侧= 4π+6π=10π．
故选：C.
【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19 届杭州亚运会的会徽“潮涌”，
可将其视为一扇环ABCD．已知´AB =2π，AD =3．且该扇环ABCD的面积为9π，若将
该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 .
【答案】14√2π
3
7
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【分析】设∠AOB =θ，OA =r，´
CD =l，由题意r =3，θ =2π
3
，´
CD = 4π，可知圆台上、
下底面的半径和高，利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】如图，设∠AOB =θ，OA =r，´
CD =l，
由题意可知，¿，解得r =3，θ =2π
3
，
则´
CD =2π
3
×6= 4π，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1 和2，
所以其高为√3
2−(2−1)
2=2√2，
故该圆台的体积为V = 1
3 (π+4π+√π×4π)×2√2=14√2π
3
.
故答案为：14√2π
3
.
【考点5 三角函数的定义及应用】
【典例1】（2024·山东济南·二模）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1 的圆O上逆
时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交
点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为圆O与射线y =−√3 x (x ≥0)的交点.则当Q与P第
2024 次重合时，P的坐标为（ ）
A．(cos 2π
9 ,sin 2π
9 )
B．(−cos 5π
9 ,−sin 5π
9 )
C．
(cosπ
9 ,−sinπ
9 )
D．(−cosπ
9 ,sinπ
9 )
【答案】B
【分析】设两质点重合时，所用时间为t，则重合点坐标为(cos2t ,sin 2t )，通过题意得到
8
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t = 2k π
3
+π
9
(k ∈N)，结合周期性即可得解.
【详解】设两质点重合时，所用时间为t，则重合点坐标为(cos2t ,sin 2t )，
由题意可知，两质点起始点相差角度为π
3 ，
则5t −2t =2k π+π
3
(k ∈N)，解得t = 2k π
3
+π
9
(k ∈Z)，
若k =0，则t =π
9 ，则重合点坐标为(cos 2π
9 ,sin 2π
9 )，
若k =1，则t =7π
9 ，则重合点坐标为(cos 14π
9
,sin14π
9 )，即(−cos5π
9 ,−sin5π
9 )，
若k =2，则t =13π
9
，则重合点坐标为(cos 26π
9
,sin26π
9 )，即(−cosπ
9 ,sinπ
9 )，
当Q与P第2024 次重合时，k =2023，则t =12139π
9
，
则重合点坐标为(cos 24278π
9
,sin24278π
9
)，即(−cos5π
9 ,−sin5π
9 ).
故选：B.
【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时，所用时间为t，得到重合点坐标为
(cos2t ,sin 2t )，结合角度差得到t = 2k π
3
+π
9
(k ∈N)，根据三角函数周期性以及诱导公
式判断选项即可.
【典例2】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函
数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
cot θ =
1
tanθ ，正割函数secθ =
1
cosθ ，余割函数cscθ =
1
sinθ ，正矢函数
ver sinθ =1−cosθ，余矢函数ver cosθ =1−sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边
与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，
作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ的
终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是（ ）
9
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A．ver sinθ = AM
B．cscθ = PS
C．cot θ = BS
D．sec θ = NB
【答案】C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sinθ = MP，cosθ =OM，tanθ = AT，然后
结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得△OMP∼△OAT ∼△SBO∼△PNO，
对于A，因为1−cosθ =1−OM = MA，即ver sinθ = MA，故A 错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，
cscθ =
1
sinθ = 1
MP = BO
MP = OS
OP =OS，故B 错误；
对于C，cot θ =
1
tanθ =
1
tan ∠OSB = BS，故C 正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得
secθ =
1
cosθ = 1
OM = OA
OM = OT
OP =OT，故D 错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函
数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
【考点6 判断三角函数的符号】
【典例1】（2024·吉林·模拟预测）复数z =sin1+icos1在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可.
【详解】由复数的几何意义知，复数z =sin1+icos1在复平面中对应点Z(sin1,cos1)，
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又因为1≈57.3
∘，所以sin1>0，cos1>0，
所以点Z位于第一象限.
故选：A.
【典例2】（2024·北京延庆·一模）“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解.
【详解】因为sin2θ =2sinθcosθ>0⇔¿或¿，
所以“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选：C.
【典例3】（2022·浙江·模拟预测）已知θ∈R，则“cosθ>0”是“角θ为第一或第四象限
角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既
不充分又不必要
【答案】B
【分析】利用定义法进行判断.
【详解】充分性：当cosθ>0时，不妨取cosθ =1,θ =0时轴线角不成立.故充分性不满足；
必要性：角θ为第一或第四象限角，则cosθ>0，显然成立.
故选：B.
【考点7 sina、cosa、tana 知一求】
【典例1】（2023·浙江·模拟预测）已知α ∈(π,3π
2 )，且tan α = 3
4 ，则cosα =（ ）
A．−3
5
B．3
5
C．−4
5
D．4
5
【答案】C
【分析】根据同角关系，结合角的范围即可求解.
【详解】由α ∈(π,3π
2 )可知α为第三象限的角，故cosα <0,
由tan α = 3
4 = sin α
cosα ，又sin
2α+cos
2α =1，解得cosα = −4
5 ，
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故选：C
【典例2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知tan α = 3
4 ，α为第一象限角，则sin α的值为
（ ）
A．3
5
B．4
5
C．−3
5
D．−4
5
【答案】A
【分析】利用商关系和平方关系可求答案.
【详解】因为tan α = 3
4 ，所以sin α
cosα = 3
4 ，
又因为sin
2α +cos
2α =1，所以sin
2α + 16
9 sin
2α =1，sin
2α = 9
25 ；
因为α为第一象限角，所以sin α = 3
5.
故选：A
【典例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知tanα = 4，则
sin α
sinα +cosα =
【答案】4
5 /0.8
【分析】弦化切代值求解即可.
【详解】由tanα = 4，所以
sin α
sinα +cosα =
tan α
tanα +1 =
4
4+1 = 4
5 .
故答案为：4
5 .
【考点8 sina 与cosa 齐次式化弦为切】
【典例1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知tan α =3，则sin
2α +sin 2α =（ ）
A．−3
2
B．3
2
C．1
4
D．−1
4
【答案】B
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】因为tan α =3，
所以sin
2α +sin2α =sin
2α +2sin α cosα = sin
2α +2sin α cosα
cos
2α +sin
2α
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= tan
2α +2tan α
1+ tan
2α
= 3
2+2×3
1+3
2
= 3
2.
故选：B.
【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知tanθ =2√2，则cos2θ =（ ）
A．−8
9
B．8
9
C．−7
9
D．7
9
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.
【详解】由tanθ =2√2，得cos2θ =cos
2θ−sin
2θ = cos
2θ−sin
2θ
cos
2θ+sin
2θ
= 1−tan
2θ
1+ tan
2θ
=−7
9.
故选：C
【典例3】（2024·江西·模拟预测）若tan(α +π
4 )=3，则sin2α +cos
2α =（ ）
A．8
5
B．1
C．6
5
D．4
3
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出tanα，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系
将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为tan(α +π
4 )=
tanα +tanπ
4
1−tanα ⋅tanπ
4
=tanα +1
1−tanα =3，即tanα = 1
2，
则sin2α +cos
2α = 2sinα cosα +cos
2α
sin
2α +cos
2α
= 2tanα +1
tan
2α +1
=
2× 1
2 +1
(
1
2)
2
+1
= 8
5．
故选：A
【典例4】（2024·江苏·模拟预测）若3sin α + 4 cosα =5，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．−7
B．7
C．1
7
D．−1
7
【答案】B
【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.
【详解】因为¿，
13
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整理得16 tan
2α −24 tan α +9=(4 tan α −3)
2=0，
所以tan α = 3
4 ，
又tan(α +π
4 )= tan α +1
1−tan α =
3
4 +1
1−3
4
=7.
故选：B
【考点9 sina±cosa、sinacosa 知一求】
【典例1】（2024·辽宁丹东·一模）已知α ∈(0,π
2 )，√
(1+sin α )(1+cosα )
(1−sin α )(1−cosα ) = 4√2+1，
则sin2α =（ ）
A．4√2+1
8
B．4√2+1
16
C．4√2−1
8
D．4√2−1
16
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为
1
2 sin α + cosα +1
2
cosα −1
2
+ 1
2 sin α
= 4√2+1，解得sin α +cosα =1+ √2
4 ，两边平方即可求解.
【详解】因为α ∈(0,π
2 )，所以α
2 ∈(0,π
4 )，所以cos α
2 >sin α
2 ，
所以√
(1+sin α )(1+cosα )
(1−sin α )(1−cosα ) =
√
(sin α
2 +cos α
2)
2
⋅2cos
2 α
2
(sin α
2 −cos α
2)
2
⋅2sin
2 α
2
= (sin α
2 +cos α
2)cos α
2
(−sin α
2 +cos α
2)sin α
2
=
1
2 sin α + cosα +1
2
cosα −1
2
+ 1
2 sin α
= 4√2+1，
14
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所以1
2
(sin α +cosα )+ 1
2 = 1
2
(sin α +cosα )⋅(4√2+1)−1
2 ⋅(4√2+1)，
即2√2(sin α +cosα )=2√2+1，
所以sin α +cosα =1+ √2
4 ，
即(sin α +cosα )
2=1+2sin α cosα =1+sin2α =(1+ √2
4 )
2
，
所以sin 2α = 4√2+1
8
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出sin α +cosα =1+ √2
4 ，由此即可顺利得解.
【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）函数f (x)=(1+2sin x)(1−2cos x)的最小值为
（ ）
A．−2
B．−3
2
C．−5
4
D．−1
【答案】B
【分析】先换元，即令sin x−cos x =t，即可把原函数转化成二次函数，即可求出函数最
小值.
【详解】f (x)=(1+2sin x)(1−2cos x)=1+2(sin x−cos x)−4 sin x cos x，
令sin x−cos x =t，即t =√2sin(x−π
4 )，
所以−√2≤t ≤√2，
由(sin x −cos x)
2=t
2，得2sin x cos x =1−t
2，
从而原函数化为y =2(t + 1
2)
2
−3
2，
当t =−1
2时，ymin= f ( x)min=−3
2．
故选:B．
【考点10 利用诱导公式进行化简求值】
15
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【典例1】（2024·天津河北·模拟预测）tan 2π
3 的值为（ ）
A．√3
3
B．−√3
3
C．√3
D．−√3
【答案】D
【分析】代入诱导公式，即可求解.
【详解】tan 2π
3 = tan(π−π
3 )=−tanπ
3 =−√3.
故选：D
【典例2】（2024·山东青岛·三模）为了得到 y =sin2 x +cos2 x的图象，只要把
y =√2cos2 x的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 π
8 个单位长度
B．向左平行移动 π
8 个单位长度
C．向右平行移动 π
4 个单位长度
D．向左平行移动 π
4 个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数y = A sin(ωx +φ)的图象变换规律，得出
结论．
【详解】y =sin2 x +cos2 x =√2sin(2 x +π
4 )，
由诱导公式可知：y =√2cos2 x =√2sin(2 x +π
2 )=√2sin[2(x +π
4 )]
又y =√2sin(2 x +π
4 )=√2sin[2(x +π
8 )]
则π
4 −π
8 =π
8 ，即只需把图象向右平移π
8 个单位.
故选：A
【典例3】（2024·江西九江·三模）若2sin(α +π
3 )=cos(α −π
3 )，则tan(α −π
6 )=
（ ）
A．−4−√3
B．−4 +√3
C．4−√3
D．4+√3
【答案】C
16
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【分析】设β =α −π
6 ，则原等式可化为2sin(β +π
2 )=cos(β −π
6 )，化简后求出tan β
即可.
【详解】令β =α −π
6 ，则α = β +π
6 ，
所以由2sin(α +π
3 )=cos(α −π
3 )，
得2sin(β +π
2 )=cos(β −π
6 )，
即2cos β = √3
2 cos β + 1
2 sin β，
即sin β =(4−√3)cos β，得tan β = 4−√3，
所以tan(α −π
6 )=tan β = 4−√3，
故选：C.
【考点11 两角和与差的三角函数应用】
【典例1】（2024·湖北荆州·三模）已知sinθ+cosθ = 7
13，则sinθ−cosθ的值为（ ）
A．17
13
B．7
13
C．± 17
13
D．± 7
13
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由sinθ+cosθ = 7
13，可得(sinθ+cosθ)
2=1+2sinθcosθ = 49
169，
可得2sinθcosθ =−120
169
则(sinθ−cosθ)
2=sin
2θ+cos
2θ−2sinθcosθ =1+ 120
169 = 289
169，
因为2sinθcosθ =−120
169 <0，所以sinθ与cosθ异号，可得θ为第二或第四象限，
当θ为第二象限角时，可得sinθ−cosθ = 17
13；
17
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当θ为第四象限角时，可得sinθ−cosθ =−17
13.
故选：C.
【典例2】（2024·河南·三模）若sin(α −β)= 1
6，且tan α =2tan β，则sin(α + β)=（ ）
A．√3
2
B．√2
2
C．2
3
D．1
2
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sin α cos β ,cosα sin β，再根据和角
公式计算即可.
【详解】因为sin(α −β)=sin α cos β −cosα sin β = 1
6，
又tan α =2tan β，即sin α
cosα = 2sin β
cos β ，则sin α cos β =2cosα sin β，
所以sin α cos β = 1
3 ,cosα sin β = 1
6，
故sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 1
3 + 1
6 = 1
2.
故选：D
【典例3】（23-24 高三下·河南·开学考试）已知tanα =2,tan(α + β)=−1，则
sin(α −β)
cos(α + β) =（ ）
A．1
2
B．2
3
C．2
D．1
5
【答案】D
【分析】根据tan β =tan[(α + β)−α ]，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关
系化简sin(α −β)
cos(α + β) 求解即可.
【详解】因为tanα =2，所以
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tan β =tan[(α + β)−α]=tan(α + β)−tanα
1+tan(α + β)tanα =
−1−2
1+2×(−1) =3，
所以sin(α −β)
cos(α + β) =sinα cos β −cosα sin β
cosα cos β −sinα sin β =tanα −tan β
1−tanα tan β =
2−3
1−2×3 = 1
5．
故选：D．
【考点12 二倍角公式的简单应用】
【典例1】（2024·安徽合肥·三模）已知2sinα =1+2√3cosα，则sin(2α −π
6 )=
（ ）
A．−1
8
B．−7
8
C．3
4
D．7
8
【答案】D
【分析】先由辅助角公式得sin(α −π
3 )= 1
4 ，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由2sinα =1+2√3cosα得4(
1
2 sin α −√3
2 cosα)=1，即sin(α −π
3 )= 1
4 ，
所以sin(2α −π
6 )=sin[
π
2 +2(α −π
3 )]=cos2(α −π
2 )=1−2sin
2(α −π
3 )= 7
8，
故选：D
【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知sin α sin(α +π
6 )=cosα sin(
π
3 −α)，
则tan(2α +π
4 )=（ ）
A．2−√3
B．−2−√3
C．2+√3
D．−2+√3
【答案】B
【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan 2α =√3，进一步结合两角和的正切公
式即可得解.
【详解】由题意√3
2 sin
2α + 1
2 sin α cosα = √3
2 cos
2α −1
2 sin α cosα，即
19
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√3
2 cos2α = 1
2 sin 2α，
即tan 2α =√3，所以tan(2α +π
4 )= √3+1
1−√3 = (√3+1)
2
−2
=−2−√3.
故选：B.
【典例3】（2024·吉林长春·模拟预测）若cos(α −π
4 )= 1
4 ，则sin2α =（ ）
A．−5
8
B．5
8
C．−7
8
D．7
8
【答案】C
【分析】先运用二倍角公式求得cos(2α −π
2 )，再利用诱导公式求得sin 2α.
【详解】cos(2α −π
2 )=2cos
2(α −π
4 )−1=2×(
1
4)
2
−1=−7
8，
又cos(2α −π
2 )=sin 2α，所以sin2α =−7
8.
故选：C.
【典例4】（2024·吉林长春·三模）已知α ∈(0,π)，且sin α +cosα = 1
5，则sin 2α =
．
【答案】−24
25
【分析】由同角的三角函数关系和二倍角公式计算可得.
【详解】因为sin α +cosα = 1
5，
所以
(sin α +cosα )
2= 1
25 ⇒sin
2α +cos
2α +2sin α cosα = 1
25 ⇒2sin α cosα =−24
25 ⇒sin 2α =−24
25
.
故答案为：−24
25
【考点13 辅助角公式的基本应用】
20
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【典例1】（2024·山东济宁·三模）已知函数f ( x)=(√3sin x +cos x)cos x−1
2，若f ( x)在
区间[−π
4 ,m]上的值域为[−√3
2 ,1]，则实数m的取值范围是（ ）
A．[π
6 ,π
2 )
B．[π
6 ,π
2 ]
C．[π
6 , 7π
12 )
D．[π
6 , 7π
12 ]
【答案】D
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f ( x)，再借助正弦函数的图象与性质求解
即得.
【详解】依题意，函数
f ( x)=√3sin x cos x +cos
2 x−1
2 = √3
2 sin 2 x + 1
2 cos2 x =sin(2 x +π
6 )，
当x∈[−π
4 ,m]时，2 x +π
6 ∈[−π
3 ,2m+π
6 ]，显然
sin(−π
3 )=sin 4π
3 =−√3
2 ,sinπ
2 =1，
且正弦函数y =sin x在[π
2 ,4π
3 ]上单调递减，由f ( x)在区间[−π
4 ,m]上的值域为
[−√3
2 ,1]，
得π
2 ≤2m+π
6 ≤4π
3 ，解得π
6 ≤m≤7π
12 ，
所以实数m的取值范围是[π
6 , 7π
12 ].
故选：D
【典例2】（2024·山西太原·三模）已知函数 f (x)=asin x +cos x的图象关于直线 x = π
6
对称，则函数 g(x)=sin x +acos x的图象关于（ ）
A．点(
π
6 ,0) 对称
B．点(
π
3 ,0) 对称
C．点(
2π
3 ,0) 对称
D．点(
5 π
6 ,0) 对称
21
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【答案】D
【分析】利用函数f (x)=asin x +cos x的图象关于直线 x = π
6 对称，找到一个必要条件
f (0)= f(
π
3)，就可以求出a= √3
3 ，从而去化简g(x)= 2√3
3
sin(x + π
6)，然后对四个选项
逐一检验可得答案.
【详解】由函数f (x)=asin x +cos x的图象关于直线 x = π
6 对称，
则f (0)= f(
π
3)，所以asin0+cos0=asin π
3 +cos π
3 ，
即：1=a √3
2 + 1
2，解得a= √3
3 ，
所以g(x)=sin x + √3
3 cos x = 2√3
3 (
√3
2 sin x + 1
2 cos x)= 2√3
3
sin(x + π
6)，
因为g(
π
6)= 2√3
3
sin(
π
6 + π
6)= 2√3
3
sin π
3 ≠0，所以选项A 是错误的；
因为g(
π
3)= 2√3
3
sin(
π
3 + π
6)= 2√3
3
sin π
2 ≠0，所以选项B 是错误的；
因为g(
2π
3 )= 2√3
3
sin(
2π
3 + π
6)= 2√3
3
sin 5 π
6 ≠0，所以选项C 是错误的；
因为g(
5 π
6 )= 2√3
3
sin(
5 π
6 + π
6)= 2√3
3
sin π =0，所以选项D 是正确的；
故选：D.
【典例3】（2024·福建厦门·三模）将函数f ( x)=sin 2 x +√3cos2 x的图象向右平移π
6 个
单位后得到y = g( x)的图象，则（ ）
A．g( x)=2sin 2 x
B．g( x)=2sin(2 x +π
6 )
22
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C．g( x)=2sin(2 x +π
3 )
D．g( x)=2sin(2 x + 2π
3 )
【答案】A
【分析】先将f (x)化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为f ( x)=sin 2 x +√3cos2 x =2sin(2 x +π
3 )，
所以g( x)=2sin[2(x−π
6 )+π
3 ]=2sin 2 x.
故选：A
【考点14 给值求值问题】
【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知sin(α +π
8 )= 2
3，则cos(2α −3π
4 )=
（ ）
A．2
3
B．−2
3
C．1
9
D．−1
9
【答案】D
【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为cos(α −3π
8 )=cos(
3π
8 −α)=cos[
π
2 −(α +π
8 )]=sin(α +π
8 )= 2
3，
所以cos(2α −3π
4 )=cos[2(α −3π
8 )]=2cos
2(α −3π
8 )−1=2× 4
9 −1=−1
9.
故选：D.
【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知cos(
π
5 −α)= 1
3，则sin(
11π
10 +2α)=（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．4√2
9
D．−4√2
9
【答案】A
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【分析】令π
5 −α =t，故cost = 1
3，可得sin(
11π
10 +2α)=−cos2t，进而可求值.
【详解】令π
5 −α =t，则α = π
5 −t，故cost = 1
3，
sin(
11π
10 +2α)=sin[
11π
10 +2(
π
5 −t)]=sin(
3 π
2 −2t)=−cos2t =1−2cos
2t = 7
9．
故选：A.
【典例3】（2024·江苏南通·模拟预测）已知0< β <α <π
2 ，sin(α −β)= 4
5 ，
tanα −tan β =2，则sinα sin β =（ ）
A．1
2
B．1
5
C．2
5
D．√2
2
【答案】B
【分析】首先求出cos(α −β)，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出
cosα cos β，最后由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为0< β <α <π
2 ，所以0<α −β <π
2 ，
因为sin(α −β)= 4
5 ，所以cos(α −β)=√1−sin
2(α −β)= 3
5，
因为2= tan α −tan β = sin α
cosα −sin β
cos β = sin α cos β −sin β cosα
cosα cos β
= sin(α −β)
cosα cos β ，
所以cosα cos β = 2
5，
因为cos(α −β)=cosα cos β +sin α sin β = 2
5 +sin α sin β = 3
5，
则sin α sin β = 1
5．
故选：B．
【典例4】（2024·辽宁丹东·二模）已知sin α +sin(α +π
3 )= √3
3 ，则cos(2α +π
3 )=
（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．2
9
D．−2
9
【答案】A
24
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【分析】解法1：令α =(α +π
6 )−π
6 ，α +π
3 =(α +π
6 )+π
6 ，利用两角和与差的正弦公
式化简即可求得sin(α +π
6 )= 1
3，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正
弦公式将sin α +sin(α +π
3 )= √3
3 展开，可得√3
2 sin α + 1
2 cosα = 1
3，再利用辅助角公式求
得sin(α +π
6 )= 1
3，最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】解法1：由sin α +sin(α +π
3 )= √3
3 ，得
sin[(α +π
6 )−π
6 ]+sin[(α +π
6 )+π
6 ]= √3
3 ，
得
sin(α +π
6 )cosπ
6 −cos(α +π
6 )sinπ
6 +sin(α +π
6 )cosπ
6 +cos(α +π
6 )sinπ
6 = √3
3 ，
得√3sin(α +π
6 )= √3
3 ，所以sin(α +π
6 )= 1
3，
所以cos(2α +π
3 )=1−2sin
2(α +π
6 )= 7
9．
解法2：将sin α +sin(α +π
3 )= √3
3
展开得sin α +sin α cosπ
3 +cosα sinπ
3 = √3
3 ，
整理得√3
2 sin α + 1
2 cosα = 1
3，
即sin(α +π
6 )= 1
3，
所以cos(2α +π
3 )=1−2sin
2(α +π
6 )= 7
9．
故选：A
【典例5】（2022·江苏南京·模拟预测）已知0<α < π
2 ，cos(α + π
4)= 1
3．
(1)求sin α的值；
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(2)若−π
2 < β <0，cos(
β
2 −π
4)= √3
3 ，求α −β的值．
【答案】(1)4−√2
6
(2)α −β = π
4
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得sin α的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得sin β的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差
的余弦公式求出cos(α −β)的值，结合角α −β的取值范围可求得结果.
【详解】（1）解：因为0<α < π
2 ，∴π
4 <α + π
4 < 3 π
4 ，
又cos(α + π
4)= 1
3，所以sin(α + π
4)=√
1−(
1
3)
2
= 2√2
3
，
所以
sin α =sin[(α + π
4)−π
4]=sin(α + π
4)cos π
4 −cos(α + π
4)cos π
4 = √2
2 (
2√2
3
−1
3)= 4−√2
6
.
（2）解：因为cos(
β
2 −π
4)= √3
3 ，
sin β =cos(β −π
2)=cos[2(
β
2 −π
4)]=2cos
2(
β
2 −π
4)−1=2× 1
3 −1=−1
3，
又因为−π
2 < β <0，所以cos β =√1−sin
2 β = 2√2
3
，
由（1）知，cosα =cos[(α + π
4)−π
4]=cos(α + π
4)cos π
4 +sin(α + π
4)sin π
4 = 4 +√2
6
，
所以cos(α −β)=cosα cos β +sin α sin β = 4+√2
6
× 2√2
3
+ 4−√2
6
×(−1
3)= √2
2 ．
因为0<α < π
2 ，−π
2 < β <0，则0<α −β <π，所以α −β = π
4 ．
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【考点15 给值求角问题】
【典例1】（2024·江西九江·二模）已知α , β ∈(0,π
2 )，cos(α −β)= 5
6 ，
tan α ⋅tan β = 1
4 ，则α + β =（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．2π
3
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出
sin α sin β、cosα cos β，再求出cos(α + β)即可.
【详解】因为cos(α −β)= 5
6，tan α ⋅tan β = 1
4 ，
所以¿，
解得¿，
所以cos(α + β)=cosα cos β −sin α sin β = 1
2，
又α , β ∈(0,π
2 )，所以α + β ∈(0,π)，所以α + β =π
3 .
故选：A
【典例2】（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知
2c−a=2bcos A，则B =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【详解】因为2c−a=2bcos A，
由正弦定理，2sinC −sin A =2sin Bcos A ,
因为A + B+C = π ，∴2sin( A + B)−2sin Bcos A =sin A，
展开化简2sin A cosB =sin A .∵sin A >0,∴cosB = 1
2，
又B∈(0,π),∴B =π
3 .
27
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故选:B.
【典例3】（2023·贵州六盘水·模拟预测）设α ∈[
π
4 ,π
2 ]，β ∈[
π
4 ,π
2 ]，且
sin α +cosα =√2cos β，则α −β = .
【答案】π
4
【分析】根据三角恒等变化化简可得cos(α −π
4 )=cos β，再结合α ∈[
π
4 ,π
2 ]，
β ∈[
π
4 ,π
2 ]，解方程即可得α −β的值.
【详解】因为
sin α +cosα =√2(
√2
2 sin α + √2
2 cosα)=√2(sinπ
4 sin α +cosπ
4 cosα)=√2cos(α −π
4 )，
所以√2cos(α −π
4 )=√2cos β，即cos(α −π
4 )=cos β
又α ∈[
π
4 ,π
2 ]，β ∈[
π
4 ,π
2 ]，所以α −π
4 ∈[0,π
4 ]，
则可得α −π
4 = β =π
4 ，则α =π
2 , β =π
4 故α −β =π
4 .
故答案为：π
4 .
【考点16 三角恒等变换化简求值】
【典例1】（2024·四川内江·三模）在斜△ABC中，角A、B、C 所对的边分别为
a,b,c ,√2cos(B+π
2 )+cos( A +C )+√2=0．
(1)求cos2B的值；
(2)若A =C +π
2 ,b=√3，求△ABC的面积．
【答案】(1)7
9
(2)3√2
2
28
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【分析】（1）化简√2cos(B+π
2 )+cos( A +C )+√2=0可得cos B =√2−√2sin B，结合
sin
2B+cos
2B =1，解方程即可求得答案；
（2）利用二倍角公式可求出sinC = √3
3 ,cosC = √6
3 ，继而求得sin A，再由正弦定理求出
a，由三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由于√2cos(B+π
2 )+cos( A +C )+√2=0，
故√2sin B+cos B =√2，则cos B =√2−√2sin B，
代入sin
2B+cos
2B =1，得3sin
2B−4 sin B+1=0，
解得sin B = 1
3或sin B =1，由于△ABC为斜三角形，故sin B =1舍去；
则cos2B =1−2sin
2B =1−2
9 = 7
9；
（2）由A =C +π
2 , A + B+C =π，得2C =π
2 −B，
则cos2C =cos(
π
2 −B)=sin B = 1
3，
即1−2sin
2C = 1
3 ,sin
2C = 1
3，由于A =C +π
2 ，故C 为锐角，
则sinC = √3
3 ,cosC = √6
3 ，故sin A =sin(C +π
2 )=cosC = √6
3 ，
又b=√3，由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B = √3
1
3
=3√3，
则a=3√3sin A =3√3× √6
3 =3√2，
所以S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×3√2×√3× √3
3 = 3√2
2
.
【典例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知a,b,c分别为△ABC内角A ,B ,C的对边，
a(sin B−√3cosB)=√3(b−c)．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为√3，周长为6，求a．
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【答案】(1)A =π
3
(2)a=2
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换可得sin(A +π
3 )= √3
2 ，结合角A 的范围分
析求解；
（2）利用面积公式可得bc = 4，再根据余弦定理运算求解.
【详解】（1）因为asin B−√3acosB =√3b−√3c，
由正弦定理可得sin A sin B−√3sin A cosB =√3sin B−√3sinC，
又因为sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B，
可得sin A sin B+√3cos A sin B =√3sin B，
且B∈(0,π)，则sin B≠0，可得sin A +√3cos A =√3，
整理得sin(A +π
3 )= √3
2 ，
又因为A ∈(0,π)，则A +π
3 ∈(
π
3 , 4π
3 )，
所以A +π
3 = 2π
3 ，即A =π
3 .
（2）因为S△ABC = 1
2 bcsin A = √3
4 bc =√3，则bc = 4，
由余弦定理可得a
2=b
2+c
2−2bccos A =(b+c)
2−3bc =(6−a)
2−12，
解得a=2．
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知函数f ( x)的周期为π，且在区间(
π
6 ,π
3 )内单调递增，
则f ( x)可能是（ ）
30
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A．f ( x)=sin(x−π
3 )
B．f ( x)=cos(x−π
3 )
C．f ( x)=sin(2 x−π
3 )
D．f ( x)=cos(2 x−π
3 )
【答案】C
【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD 即可.
【详解】因为函数f ( x)的周期为π，
所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω= 2π
T
= 2π
π
=2，故排除AB，
当x∈(
π
6 ,π
3 )时，2 x−π
3 ∈(0,π
3 )，
因为y =sin x在(0,π
3 )上单调递增，故C 正确，D 错误.
故选：C
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数f (x)=sin(2 x +φ)（0<φ<π）向左正移φ个单位
后在区间[0,π
2 ]上单调递增，则φ =（ ）
A．π
3
B．π
2
C．π
6
D．2π
3
【答案】B
【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【详解】函数f (x)=sin(2 x +φ)向左平移φ个单位后为f (x +φ)=sin(2 x +3φ)，
当x∈[0,π
2 ]时，2 x +3φ∈[3φ ,π+3φ]，
∵f (x +φ)=sin(2 x +3φ)单调递增，
所以¿，即¿，
可得φ =−π
6 + 2k π
3
(k ∈Z)，
又0<φ<π，∴φ=π
2 .
故选：B.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos2α =−√5
5
，sin (α + β)=−√10
10
，α ∈[0,π
2 ]，
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β ∈[−π
2 ,0]，则α −β =（ ）
A．π
4
B．3π
4
C．5π
4
D．π
4 或3π
4
【答案】B
【分析】求出2α、α + β的范围，利用平方关系求出sin 2α、cos(α + β)，再由
α −β =2α −(α + β)求出cos(α −β)，结合α −β的范围可得答案.
【详解】因为α ∈[0,π
2 ]，所以2α ∈[0,π]，
所以sin 2α =√1−cos
22α =√
1−(−√5
5 )
2
= 2√5
5
，
因为α ∈[0,π
2 ]，β ∈[−π
2 ,0]，所以α + β =[−π
2 ,π
2 ]，
所以cos(α + β)=√1−sin
2(α + β)=√
1−(−√10
10 )
2
= 3√10
10
，
又由α −β =2α −(α + β)知
cos(α −β)=cos[2α −(α + β)]=cos2α cos(α + β)+sin 2α sin (α + β)
=(−√5
5 )× 3√10
10
+ 2√5
5
×(−√10
10 )=−√2
2
又因为α −β ∈[0,π]，所以α −β = 3π
4 .
故选：B.
4．（2024·浙江绍兴·三模）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若
2bcos(B+C )−acosC =c cos A，则A 等于（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】D
【分析】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出
答案.
【详解】因为2bcos(B+C)−acosC =c cos A，所以2bcos(π−A)=acosC +c cos A，
即−2bcos A =acosC +c cos A，
32
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如图，过B 点作BD⊥AC于D，可知acosC +c cos A =b，
，
所以−2bcos A =b，
所以cos A =−1
2，又A ∈(0,π)，所以A = 2π
3 .
故选：D.
5．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以π为周期，且其图象关于点(
π
4 ,0)对称
的是（ ）
A．y = tan x
B．y =|sin x|
C．y =2cos
2 x−1
D．y =sin x−cos x
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质判断A，根据正弦函数的性质判断B，利用二倍角公式化简函
数解析式，再由余弦函数的性质判断C，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦函数的性
质判断D.
【详解】对于A：y = tan x的最小正周期为π，对称中心为(
k π
2 ,0)(k ∈Z)，故A 错误；
对于B：y =|sin x|的图象是由y =sin x将x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴上方及x轴部
分不变，
所以y =|sin x|的最小正周期为π，没有对称中心，故B 错误；
对于C：y =2cos
2 x−1=cos2 x，则最小正周期T = 2π
2 =π，
且当x =π
4 时y =cos(2×π
4 )=0，所以函数图象关于点(
π
4 ,0)对称，故C 正确；
对于D：y =sin x−cos x =√2sin(x−π
4 )，最小正周期T =2π，故D 错误.
故选：C
6．（2024·广东·模拟预测）函数f (x)=2|cos x|−√3在[0, 13π
6 ]上的零点个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
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【答案】A
【分析】由于函数的零点就是对应方程的根，解方程即可求得零点的个数.
【详解】令f (x)=0，解得cos x =± √3
2 ，由于x∈[0, 13π
6 ]，
则x =π
6 , 5π
6 , 7π
6 , 11π
6
, 13π
6
，共5 个零点.
故选：A.
7．（2024·上海奉贤·三模）在△ABC中，“A =π
6 ”是“sin A = 1
2”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分永件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论.
【详解】在△ABC中，若A =π
6 ，则sin A = 1
2；
反之，若sin A = 1
2，且A ∈(0,π)，
所以A =π
6 或A =5π
6 ，
故“A =π
6 ”是“sin A = 1
2”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）将函数g(x)=2sin(2 x +π
12)的图象向左平移π
12个单位长
度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数h(x)的图象，若f (x)与
h(x)的图象关于x轴对称，则f (x)的一个单调递增区间为（ ）
A．(−π
4 , 3π
4 )
B．(−3π
4 ,π
4 )
C．(
π
4 , 5π
4 )
D．(
3π
4 , 7π
4 )
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得h(x)=2sin(x +π
4 )，进而可得f (x)，利用
整体法求解单调性即可求解.
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【详解】由题意可得h(x)=2sin(x +π
6 +π
12)=2sin(x +π
4 )，
由于f (x)与h(x)的图象关于x轴对称，所以f (x)=−h(x)=−2sin(x +π
4 )，
令π
2 +2k π≤x +π
4 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z，解得π
4 +2k π≤x ≤5π
4 +2k π,k ∈Z，
取k =0，则π
4 ≤x ≤5π
4 ，
故选：C
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=cos2ωx −√3sin 2ωx +1(ω>0)的最小正
周期为π，则f (x)的图象的一个对称中心为（ ）
A．(−π
12 ,0)
B．(
π
12 ,0)
C．(−π
12 ,1)
D．(
π
12 ,1)
【答案】D
【分析】利用辅助角公式得到f (x)=2cos(2ωx +π
3 )+1，根据余弦函数的周期得到ω=1，
再求出其对称中心的通式，最后对每个选项验证即可.
【详解】由题意得f (x)=2cos(2ωx +π
3 )+1，由题可知2π
2ω =π，所以ω=1.
令2 x +π
3 =kπ +π
2
(k ∈Z)，得x = k π
2 +π
12
(k ∈Z)，
所以f (x)的图象的对称中心为(
k π
2 +π
12 ,1)(k ∈Z)，所以点(
π
12 ,1)符合.
故选：D.
二、多选题
10．（2024·浙江绍兴·三模）若sin x +cos x
2sin x−cos x =1，则（ ）
A．tan x =2
B．sin x = 2√5
5
C．tan 2 x = 4
5
D．sin 2 x = 4
5
【答案】AD
【分析】先根据同角三角函数关系弦化切求出正切，再根据二倍角计算求解即可.
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【详解】因为sin x +cos x
2sin x−cos x =1分子分母都乘以
1
cos x ,所以
sin x +cos x
2sin x−cos x =tan x +1
2tan x−1 =1,
可得tan x =2,故A 选项正确，sin x
cos x =2,sin
2 x +cos
2 x =1,sin x =± 2√5
5
,B 选项错误；
tan2 x = 2tan x
1−tan
2 x
=
4
1−4 =−4
3 ,C 选项错误；
sin x
cos x =2,sin
2 x +cos
2 x =1,sin
2 x = 4
5 ，sin2 x =2sin xcos x =sin
2 x = 4
5 ,D 选项正确.
故选：AD.
11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数f (x)=sin x⋅cos x，则（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的最小正周期为2π
C．f (x)的最小值为−1
2
D．f (x)在[0,π
2 ]上单调递增
【答案】AC
【分析】首先化简函数f (x)= 1
2 sin2 x，再根据函数的性质判断各选项.
【详解】f (x)=sin x⋅cos x = 1
2 sin 2 x，函数的定义域为R，
对A，f (−x)=−1
2 sin 2 x =−f (x)，所以函数f (x)是奇函数，故A 正确；
对B，函数f (x)的最小正周期为2π
2 =π，故B 错误；
对C，函数f (x)的最小值为−1
2，故C 正确；
对D，x∈[0,π
2 ]，2 x∈[0,π]，函数f (x)不单调，f (x)在[0,π
4 ]上单调递增，在
[
π
4 ,π
2 ]上单调递减，故D 错误.
故选：AC
12．（2024·重庆·模拟预测）在△ABC中，若sin
2 A +sin
2B =1，则下列说法正确的是
（ ）
A．|sin A|=|cosB|
B．A + B =π
2
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C．sin A ⋅sin B的最大值为1
2
D．tan A ⋅tan B =1
【答案】AC
【分析】根据三角函数的基本关系式，得到sin
2 A =cos
2B，可判定A 正确；由
cos
2 A +cos
2B =1，化简得到
1
1+ tan
2 A
+
1
1+ tan
2B
=1，求得tan
2 A tan
2B =1，可判定D
不正确；结合两角和与差的余弦公式，得到cos( A + B)=0和cos( A −B)=0，可判定B 错
误；结合诱导公式和正弦的倍角公式，可判定C 正确.
【详解】由sin
2 A +sin
2B =1，因为cos
2B+sin
2B =1，可得sin
2 A =cos
2B，所以
|sin A|=|cos B|，所以A 正确；
又由sin
2 A +sin
2B =1，可得cos
2 A +cos
2B =1，
则cos
2 A
cos
2 A +sin
2 A
+
cos
2B
cos
2B+sin
2B
=1，可得
1
1+ tan
2 A
+
1
1+ tan
2B
=1，
整理得tan
2 A +1+ tan
2B+1= tan
2 A tan
2B+ tan
2 A + tan
2B+1，
可得tan
2 A tan
2B =1，所以tan A tan B =±1，所以D 不正确；
由tan A tan B =±1，可得sin A sin B
cos A cos B =±1，可得sin A sin B =±cos A cos B，
当sin A sin B =cos A cos B，可得cos A cos B−sin A sin B =cos( A + B)=0；
当sin A sin B =−cos A cos B，可得cos A cos B+sin A sin B =cos( A −B)=0，
所以A + B =π
2 或A −B =π
2 ，所以B 错误；
若A −B =π
2 ，即A =π
2 + B，可得
sin A ⋅sin B =sin(π
2 + B)sin B =sin Bcos B = 1
2 sin 2B≤1
2，
当且仅当2B =π
2 时，即B =π
4 时，此时A = 3π
4 ，显然等号取不到；
若A + B =π
2 ，即A =π
2 −B，可得
sin A ⋅sin B =sin(π
2 −B)sin B =sin Bcos B = 1
2 sin 2B≤1
2，
当且仅当2B =π
2 时，即B =π
4 时，此时A =π
4 ，等号成立，
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综上可得，sin A ⋅sin B的最大值为1
2，所以C 正确.
故选：AC.
三、填空题
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=sin❑
2ωx +√3sinωxcosωx (ω>0)的
最小正周期为π，则下列结论中正确的有 .
①函数f (x)的图象关于直线x =π
3 对称；
②函数f (x)的对称中心是(
π
12 + k π
2 ,0)(k ∈Z)；
③函数f (x)在区间[
π
12 , 5π
12 ]上单调递增；
④函数f (x)的图象可以由g(x)=cos2 x + 1
2的图象向右平移π
3 个单位长度得到.
【答案】14
【分析】根据二倍角公式、辅助角公式和T = 2π
|ω| 求得ω=1，进而
f ( x)=sin(2 x−π
6 )+ 1
2，利用正弦函数的图象与性质，结合命题依次判断即可.
【详解】
f ( x)=sin
2ωx +√3sin ωx cosωx = 1
2 −1
2 cos2ωx + √3
2 sin 2ωx =sin(2ωx −π
6 )+ 1
2,
又f ( x)的最小正周期为π，所以T = 2π
|2ω|=π，由ω>0解得ω=1.
所以f ( x)=sin(2 x−π
6 )+ 1
2.
1：f (π
3 )=sin(2×π
3 −π
6 )+ 1
2 = 3
2，
所以x =π
3 是f ( x)图象的一条对称轴，故1正确；
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2：f (π
12 + k π
2 )=sin[2(π
12 + k π
2 )−π
6 ]+ 1
2 = 1
2 ,k ∈Z，
所以(π
12 + k π
2 , 1
2 )(k ∈Z )是f ( x)图象的一个对称中心，故2错误；
3：由π
12 ≤x ≤5π
12 ，得0≤2 x−π
6 ≤2π
3 ，
所以f ( x)图象在[π
12 ,5π
12 ]上先增后减，故3错误；
4：g( x)=cos2 x + 1
2图象向右平移π
3 个单位长度，
得
y =cos[2( x−π
3 )]+ 1
2 =cos(2 x−2π
3 )+ 1
2 =cos(2 x−π
6 −π
2 )+ 1
2 =sin(2 x−π
6 )+ 1
2，
故4正确.
故答案为：14
14．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角α的终边经过点P(−1,2)，则cos(π+α )的值为
.
【答案】√5
5
【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果．
【详解】因为角α的终边过点P(1,−2)，
所以r =|OP|=√(−1)
2+2
2=√5，
所以cosα = x
r =−1
√5 =−√5
5 ，则cos(π+α )=−cosα = √5
5 ，
故答案为：√5
5 .
15．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知a, β ∈(0,π
2 )，sin(2α + β)=2sin β，tanα = 2
3，
则tan(α + β)= ．
【答案】2
【分析】对角进行配凑，利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算即得.
【详解】由sin(2α + β)=2sin β，得sin[(α + β)+α ]=2sin[(α + β)−α ]，
即sin(α + β)cosα +cos(α + β)sinα =2sin(α + β)cosα −2cos(α + β)sinα，
39
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整理得sin(α + β)cosα =3cos(α + β)sinα，由a, β ∈(0,π
2 )，得α + β ∈(0,π
2 )，
则cosα >0,sin(α + β)>0，cos(α + β)≠0，于是sin(α + β)
cos(α + β) = 3sinα
cosα ，又tanα = 2
3，
所以tan(α + β)=3tanα =2.
故答案为：2
四、解答题
16．（2024·天津河北·模拟预测）已知sin α = 3
5，α是第二象限角．
(1)求cosα和tan α的值；
(2)求sin(α −π
3 )的值．
【答案】(1)−4
5 ，−3
4
(2)3+ 4√3
10
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，即可求解；
（2）利用两角差的正弦公式，即可求解.
【详解】（1）∵sin α = 3
5，α是第二象限角，
∴cosα =−√1−sin
2α =−4
5 ，
tan α = sin α
cosα =−3
4 ．
（2）由（1）可得，
sin(α −π
3 )=sin α cosπ
3 −cosα sinπ
3 = 3+ 4√3
10
．
17．（2024·天津河西·三模）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
A =π
4 ，b
2−a
2= 1
2 c
2．
(1)求tanC的值；
40
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(2)设函数f (x)= tan(2 x−π
4 )．
（ⅰ）求f (x)的定义域和最小正周期；
（ⅱ）求f (C)的值．
【答案】(1)2
(2)（i）{x| x≠3π
8 + 1
2 k π,k ∈Z}，T =π
2 ；（ii）7
【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出3c =2√2b，再利用正弦定理边化角，结合同角
三角函数关系，即可求得答案；
（2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的
正切公式求解，即得答案.
【详解】（1）由题意知A =π
4 ，则cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= √2
2
，
则b
2+c
2−a
2=√2bc，又b
2−a
2= 1
2 c
2，
故3
2 c
2=√2bc ,∴3c =2√2b，则可得3sinC =2√2sin B，
即3sinC =2√2sin(
3π
4 −C)，即3sinC =2cosC +2sinC，
即sinC =2cosC，故tanC =2；
（2）（i）由于f (x)= tan(2 x−π
4 ),
令2 x−π
4 ≠π
2 +k π,k ∈Z，则x≠3π
8 + 1
2 k π,k ∈Z，
故f (x)的定义域为{x| x≠3π
8 + 1
2 k π,k ∈Z}，最小正周期为T =π
2 ；
（ii）tan2C = 2tanC
1−tan
2C
= 2×2
1−4 =−4
3 ，
故f (C)= tan(2C −π
4 )=
tan 2C −tanπ
4
1+ tan 2C tanπ
4
=
−4
3 −1
1−4
3
=7.
18．（2024·湖南长沙·三模）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
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a=2,b= 4.
(1)若cosB+2cos A =ccosC，求C的值；
(2)若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB ,cos∠ACB =−1
9，求CD的长.
【答案】(1)C =π
3
(2)16
9
【分析】（1）由已知可得acosB+bcos A =2ccosC，边化角，可得
sin A cosB+sin Bcos A =2sinC cosC，利用三角恒等变换可求C；
（2）由已知可得cos ∠ACB
2
= 2
3，利用S△ABC = S△ADC + S△BDC，可得
CD =
2abcos ∠ACB
2
a+b
，可求解.
【详解】（1）由题意得2cosB+ 4cos A = 2ccosC，所以acosB+bcos A =2ccosC.
由正弦定理，得sin A cosB+sin Bcos A =2sinC cosC，即
sin( A + B)=2sinC cosC.
又sin( A + B)=sinC，所以sinC =2sinC cosC，又sinC ≠0，所以cosC = 1
2.
因为C ∈(0,π)，所以C =π
3 .
（2）由cos∠ACB =−1
9，得2cos
2 ∠ACB
2
−1=−1
9，解得cos ∠ACB
2
= 2
3.
由S△ABC = S△ADC+ S△BDC，
得1
2 absin∠ACB = 1
2 b⋅CDsin ∠ACB
2
+ 1
2 a⋅CD⋅sin ∠ACB
2
，
即2abcos ∠ACB
2
=(a+b)CD，
所以CD =
2abcos ∠ACB
2
a+b
=
2×2×4× 2
3
2+ 4
= 16
9
.
19．（2024·广东深圳·模拟预测）已知△ABC中内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
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满足√3c +bsin A =√3acos B．
(1)求角A 的大小；
(2)若D 是边BC 上一点，且AD 是角A 的角平分线，求BC
AD 的最小值．
【答案】(1)A = 2π
3
(2)2√3
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到tan A =−√3，求出A = 2π
3 ；
（2）利用余弦定理得到BC =√b
2+c
2+bc，由三角形面积公式和S△ABD+ S△ACD= S△ABC求
出AD = bc
b+c ，表达出
BC
AD = √b
2+c
2+bc
bc
b+c
，利用两次基本不等式求出最值.
【详解】（1）由题意知△ABC中，√3c +bsin A =√3acos B，
故√3sinC +sin Bsin A =√3sin A cos B
即√3sin( A + B)+sin Bsin A =√3sin A cos B，
即√3(sin A cos B+cos A sin B)+sin Bsin A =√3sin A cos B，
所以√3cos A sin B+sin Bsin A =0，
而B∈(0,π)，故sin B≠0，
故√3cos A +sin A =0，即tan A =−√3，
又A ∈(0,π)，故A = 2π
3 ；
（2）由余弦定理：BC =√b
2+c
2−2bc cos A =√b
2+c
2+bc，
又S△ABD+ S△ACD= S△ABC，
所以1
2 c⋅AD sin60°+ 1
2 b⋅AD sin60° = 1
2 bcsin120°，所以AD = bc
b+c ，
所以
BC
AD = √b
2+c
2+bc
bc
b+c
≥√2bc +bc
bc
b+c
=√3⋅b+c
√bc ≥√3⋅2√bc
√bc =2√3，
当且仅当b=c时，取等号，则BC
AD 的最小值为2√3.
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20．（2023·天津和平·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
b>c，2acos A =bcosC +ccosB，△ABC的面积为6√3，a=7．
(1)求tan A的值；
(2)求b的值；
(3)求cos(2B+ A)的值．
【答案】(1)tan A =√3
(2)b=8
(3)cos(2B+ A)=−23
98．
【分析】（1）由正弦定理可得2sin A ⋅cos A =sin (B+C)，进而可得cos A = 1
2，可求
A =π
3 ；
（2）由已知可得bc =24，进而结合余弦定理可求得a=7，进而可求b,c；
（3）由正弦定理可得sin B = 4√3
7
，由余弦定理可得cos B =−1
7 ，可求得sin2B ,cos2B，
进而利用两角和的余弦公式可求cos(2B+ A).
【详解】（1）因为2acos A =bcosC +c cos B．由正弦定理有
2sin A ⋅cos A =sin (B+C)①．
又因为A + B+C =π，所以sin A =sin(B+C)，代入①式有2sin A ⋅cos A =sin A．
又因为三角形内角A ≠0，因此cos A = 1
2，所以A =π
3 ，tan A =√3．
（2）因为△ABC的面积为6√3，即S = 1
2 bcsin A =6√3，所以bc =24②．
又由余弦定理cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 1
2，a=7，可得b
2+c
2=73③．
因为b>c．由②③式可知b=8，c =3．
（3）由正弦定理有
a
sin A =
b
sin B ，有sin B = 4√3
7
，cos B = a
2+c
2−a
2
2ac
=−1
7
，
sin 2B =2sin BcosB =−8√3
49 ，cos2B =cos
2B−sin
2B =−47
49 ，
cos(2B+ A)=cos2Bcos A −sin2Bsin A =−23
98．
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21．（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且
tan A = cos B−sinC
cosC +sin B ．
(1)若B =π
6 ，求C的大小．
(2)若a=2，求b+c的取值范围．
【答案】(1)C = 2π
3
(2)(2,+∞)
【分析】（1）由tan A = cos B−sinC
cosC +sin B ，得
sin A cosC +sin A sin B =cos A cos B−cos A sinC，再利用两角和差的正余弦公式化简，
进而可求得A ,B的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出b,c，再根据A ,B的关系结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为tan A = cos B−sinC
cosC +sin B ，所以sin A
cos A = cos B−sinC
cosC +sin B ，
即sin A cosC +sin A sin B =cos A cos B−cos A sinC，
即sin A cosC +cos A sinC =cos A cos B−sin A sin B，
所以sin ( A +C)=cos( A + B)，即sin B =cos( A + B)，
而A ,B∈(0,π)，所以B+ A + B =π
2 或B−( A + B)=π
2 ，
所以A +2B =π
2 或A =−π
2 （舍去），
又因为B =π
6 ，所以A =π
6 ，
所以C = 2π
3 ；
（2）由（1）得A +2B =π
2 ，
因为
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
所以b= asin B
sin A = 2sin B
sin A =
2sin B
sin(
π
2 −2B)
= 2sin B
cos2B ，
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c = asinC
sin A = 2sinC
sin A =
2sin(
π
2 + B)
sin(
π
2 −2B)
= 2cos B
cos2B ，
则b+c = 2(sin B+cos B)
cos2B
= 2(sin B+cos B)
cos
2B−sin
2B
=
2
cos B−sin B =
√2
cos(B+π
4 )
，
又由¿，得0<B<π
4 ，
所以π
4 <B+π
4 <π
2 ，所以0<cos(B+π
4 )< √2
2 ，
所以b+c∈(2,+ ∞).
46
