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专题11 三角函数概念、诱导公式及恒等变换
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
三角函数概念、诱导公式及恒等变换近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2021 年全国乙（文科），第6 题,12 分
诱导、二倍角公式
2021 年全国甲（理科），第9 题,5 分
2023 年全国甲（文科），第11 题,5 分
同角公式、恒等变换
已知最值求参
2022 年全国甲（理科），第8 题,5 分
求弧长
2023 年全国甲（理科），第7 题,5 分
同角公式
逻辑关系
2023 年全国甲（理科），第13 题,5 分
2023 年全国甲（文科），第14 题,5 分
诱导公式
二次函数
2023 年全国乙（文科），第14 题,5 分
同角公式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，主要以选择、填空题为主；
2.常考题型：
（1）求弧长扇形面积；（2）任意角的三角函数值；（3）同角公式的应用；（4）诱导公式
的应用；（5）恒等变换的应用；
常考：两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式等；
技巧：诱导公式中的拆、配角、恒等变换的巧变角、给值求值、角等.
【备考策略】1.了解任意角的概念、弧长扇形面积公式，熟练掌握终边在特殊位置的角的表示；
2.掌握任意角的三角函数值的计算，熟练16 个特殊角的三角函数值；
3.理解同角公式的本质，会用其解决“知一求二”问题，解决充分必要性问题；
4.理解诱导公式的本质，会用其化简求值，熟练掌握诱导公式中的拆、配角；
5.会熟练应用两角和差、二倍角等公式化简求值，熟练求值、角中的巧变角问题；
6.熟练掌握给值求值、角，给角求值问题；
7.会使用和差化积、积化和差公式。
【命题预测】1.通过同角公式、恒等变换化简求值，根据最值问题求参；
1
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2.两角和差公式与二倍角公式的应用；
3.给值求值、角，给角求值问题；
知识讲解
一、角的概念的推广
1.任意角
(1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类:角按旋转方向分为
正角、负角和零角
.
2.所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,构成的角的集合是
S=
{ β|β=α+k
· 360°,
k ∈
Z}
.
3.轴线角{α|α=kπ
2 ,k ∈Z}:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边
2
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(除顶点外)在什么轴上,我们就说这个角是什么轴线角.
x 轴正半轴上的角：{α|α=2kπ ,k ∈Z}
x 轴负半轴上的角：{α|α=2kπ±π ,k ∈Z}
x 轴上的角：{α|α=kπ ,k ∈Z}
y 轴正半轴上的角：{α|α=2kπ+ π
2 ,k ∈Z}
y 轴负半轴上的角：{α|α=2kπ−π
2 ,k ∈Z}或{α|α=2kπ+3π
2 ,k ∈Z}
y 轴上的角：{α|α=kπ± π
2 ,k ∈Z}
4.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(除顶点外)在第几象限,
我们就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
第一象限角：{α|2kπ<α<2kπ+ π
2 ,k ∈Z}
第二象限角：{α|2kπ+ π
2 <α<2kπ+π ,k ∈Z}
第三象限角：{α|2kπ+π<α<2kπ+ 3 π
2 ,k ∈Z}
第四象限角：{α|2kπ−π
2 <α<2kπ ,k ∈Z}或{α|2kπ+ 3 π
2 <α<2kπ+2π ,k ∈Z}
二、弧度制的定义和公式
1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作
1 弧度的角
.
2.角度制和弧度制的互化:180°=
π
rad，1°=
π
180 rad，1 rad=(
180
π )
∘
≈(
57
. 3
)°.
3.扇形的弧长公式:l=|α|⋅r ,扇形的面积公式:
S=1
2 lr =1
2|α|⋅r2
.
三、任意角的三角函数值
1.定义:设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=
y
,cos α=
x
,tan α=
y
x ( x ≠ 0)
;
若α 的终边上有一点P(x,y)(与原点O 不重合),则sin α=
y
r ，cos α=
x
r ，tan α=
y
x (x≠0)，其中r=√x
2+ y
2
.
2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3
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两个重要结论
(1)单位圆上任意一点可设为
(cos
θ ,sin
θ )
(θ∈R).
(2)若α∈(0，π
2),则sin α<α<tan α.
4
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1.给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角α 是第几象限角的常用方法:将α 写成β+k·360°(其中k∈Z,β 在0°~360°范围内)的形式,观察角β
的终边所在的象限即可.
2.分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略.
(2)由α 的象限确定2α 的象限时,应注意2α 可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α=135°,而
2α=270°就不再是象限角.
四、同角三角函数的基本关系
1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:
sinα
cosα =tanα(α≠kπ+ π
2 ,k ∈Z).
3.同角三角函数基本关系式的常用变形
(1)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;
(2)sin α=tan α cos α(α ≠k π + π
2 ,k ∈Z).
五、三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π
2 -α
π
2 +α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos
α
cos
α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos α
sin
α
- sin
α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan α
口诀
函数名不变,
符号看象限
函数名改变,
符号看象限
【思考】 诱导公式可简记为奇变偶不变,符号看象限,“奇”与“偶”是什么意思?“变”与“不变”是什么意
思?“符号看象限”指的是什么?
提示 “奇”与“偶”指的是诱导公式k·π
2 +α 中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数
的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变;若k 是偶数,则函数的名称不变.“符号看象限”指的是在k·π
2 +α
中,将α 看成锐角时k·π
2 +α 所在的象限及k·π
2 +α 的三角函数值的正负.
(1)诱导公式的求值
负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再进
行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
若两个角之和等于π,则这两个角互补,可以利用π-α 的形式进行转化,将所求与条件中的已知角联系起来,
5
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如π
3 +θ 与2π
3 -θ,π
4 +θ 与3 π
4 -θ 等,解决这类题要有整体思维,考查诱导公式的灵活应用.
若两个角之和等于π
2 ,则这两个角互余,可以利用π
2 -α 的形式进行转化,将所求与条件中的已知角联系起
来,如π
3 -α 与π
6 +α,π
3 +α 与π
6 -α,π
4 -α 与π
4 +α 等互余,解决这类题要有整体思维,考查诱导公式的灵活应用.
六、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
Cα-β: cos(α - β)=cos α cos β + sin α sin β;
Cα+β: cos(α + β)=cos α cos β - sin α sin β;
Sα-β: sin(α - β)=sin α cos β - cos α sin β;
Sα+β: sin(α + β)=sin α cos β + cos α sin β;
Tα-β: tan(α - β)=tan α - tan β
1+ tan α tan β ;
Tα+β: tan(α + β)= tanα +tanβ
1− tanαtanβ .
常用公式的变化形式:
(1)1−tanα
1+tanα =tan(
π
4 -α);
(2) 1+tanα
1−tanα =tan(
π
4 +α).
(3)tan α ± tan β=tan(α ± β)(1 ∓tan α tan β);
(4)tan α tan β=1-tanα +tanβ
tan(α + β) =tanα - tanβ
tan(α - β) -1.
七、二倍角公式
sin 2α=
2sin
α cos
α
;
cos 2α=
cos
2 α-
sin
2 α
=
2cos
2 α-
1
=
1 - 2sin
2 α
;
tan 2α=
2tan α
1−tan2α .
八、半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sinα
2 =±√
1−cosα
2
.
(2)cosα
2 =±√
1+cosα
2
.
(3)tanα
2 =±√
1−cosα
1+cosα
=
sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
.
九、升(降)幂公式
(1)降幂公式:cos2α=1+cos2α
2
，sin2α=1−cos2α
2
，.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α，1-cos 2α=2sin2α.
.
十、辅助角公式
a sin α + b cos α=√a
2+b
2sin(α+φ)(a>0)
6
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其中a，b 为常数，sin φ=
b
√a
2+b
2，cos φ=
a
√a
2+b
2，
tan ϕ=b
a .
tan ϕ=±√3
3 ⇒ϕ=± π
6 ，
tan ϕ=±1⇒ϕ=± π
4 ，
tan ϕ=±√3⇒ϕ=± π
3 .
十一、积化和差公式
sin α cos β = 1
2[sin(α + β) + sin(α - β)],
cos α sin β = 1
2[sin(α + β) - sin(α - β)],
cos α cos β = 1
2[cos(α + β) + cos(α - β)],
sin α sin β = - 1
2[cos(α + β) - cos(α - β)].
十二、和差化积公式
sin x + sin y = 2sin x + y
2
cos x−y
2
,
sin x - sin y = 2cos x + y
2
sin x−y
2
,
cos x + cos y = 2cos x + y
2
cos x−y
2
,
cos x - cos y = - 2sin x + y
2
sin x−y
2
.
十三、万能公式
sin α=
2tan α
2
1+tan
2 α
2
，cos α=
1−tan
2 α
2
1+tan
2 α
2
，tan α=
2tan α
2
1−tan
2 α
2
；
sin2α= 2tan α
1+tan2α ，
cos2α=1−tan2α
1+tan2α
sin2α=tan2α
1+tan2α ，
cos2α=
1
1+tan2α ，
sinα cosα=tanα
1+tan2α
sinα+cosα
sinα−cosα =
sin(α+ π
4)
sin(α−π
4)
=tanα+1
tanα−1
(1)明确二倍角是相对的,如:α
2 是α
4 的2 倍,3α 是3α
2 的2 倍.
(2)解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
(3)运用公式时要注意公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,
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要注意“1”的各种变形.
(4)在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一.
(5)常用的拆角、配角技巧:
2α=(α + β)+(α - β);
α=(α + β) - β=(α - β) + β;
β=α + β
2
-α - β
2
=(α + 2β) - (α + β);
α - β=(α - θ)+(θ - β);
π
4 + α=π
2 - (
π
4 - α).
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2.三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
3.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需
要升次.
给角求值问题的解题规律
解决给角求值问题的关键是掌握两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关
系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函
数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.
给值求值问题的一般步骤:①化简条件中的式子或待求式子;②观察条件与所求之间的联系,从函数名称
及角入手;③将已知条件代入所求式子,化简求值.
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).在选
取函数时,应遵循以下原则:①已知正切函数值,选正切函数.②已知正弦或余弦函数值,选正弦或余弦函数.若
角的范围是(0, π
2),则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数;若角的范围为(- π
2 , π
2),则选
正弦函数.
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征,注意利用整体思想解决
相关问题.
考点一、任意角、弧度制及任意角的三角函数值
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终边上的角的表示
1．（2021 年山东省春季高考数学真题）终边在
轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【详解】终边在
轴正半轴上的角的集合是
弧长、扇形面积公式
2．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，分别求出
，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接
，因为
是
的中点，所以
，
又
，所以
三点共线，即
，
又
，所以
，则
，故
，
所以
.
任意角的三角函数值的符号问题
3．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α 为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
【答案】D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α 为第四象限角，可得
，
所以
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此时
的终边落在第三、四象限及
轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当
时，
，选项B 错误；
当
时，
，选项A 错误；
由
在第四象限可得：
，则
，选项C 错误，选项D 正确；
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
已知终边上的坐标求三角函数值
4．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知角
的终边经过点
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以
.
考点：三角函数的概念.
1．三角方程
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】用诱导公式变形后，由余弦函数性质得结论．
【详解】
，
，
，
2．（2019 年北京市高考数学试卷（文科））如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ
B．4β+4sinβ
C．2β+2cosβ
D．
2β+2sinβ
【答案】B
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【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面
积值.
【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S 的最大值为
+S△POB+ S△POA=4β+
.
【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有
一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
3．已知直线
的图像如图所示，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出
、
，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，
，
，则角
是第四象限角，
4．已知角
的终边经过点
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，所以
= y
x =
.
考点：三角函数的概念.
考点二、同角公式
“知一求二”问题
1．若
，则
（ ）
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A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由
，得
或
，所以
．
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，
进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
2．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）若
，且
为第四象限角，则
的值
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵sina=
,且a 为第四象限角,∴
，则
，
用同角公式解决逻辑关系
3．（2023 年全国甲卷理数数学试题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
用同角公式解决“asin x+bcos x=c ”型问题
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））已知
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】
.
【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
1．已知α 是第四象限角，cos α＝
，则sin α 等于（ ）
A．
B．－
C．
D．－
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α 是第四象限角，所以
，即sin α＝
＝
＝
.
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
2．已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的正半轴重合，终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出
的值，再由
，在所得分式的
分子和分母中同时除以
，再代入
的值计算即可得解.
【详解】由已知条件可知，点
在直线
上，则
，
，
所以，
.
3．（2022 年浙江省高考数学试题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为
可得：当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；
所以当
，
是
的充分不必要条件.
4．已知
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式判断
，即可得到
，再由
计算可得.
【详解】解：由
，又
，所以
，所以
，
又
，所以
或
（舍去），
所以
.
考点三、诱导公式的应用
1．（2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：
，
且
.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
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3．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得
，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
1．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.
【详解】
.
【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.
2．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将
化简得到
，再进一步变形即可求
解.
【详解】
，则
解得
，
.
3．记
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
15
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【详解】
,
,从而
，
，那么
，
考点五、诱导公式中的拆、配角
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：
，
则：
，
，从而有：
，
即
.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
2．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
,
所以 原式
，
点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适
的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件
可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.
本题主要考查两角和与差的公式.
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3．已知θ 是第四象限角，且sin（θ+
）=
，则tan（θ–
）= .
【答案】
【分析】由题求得θ
的范围，结合已知求得cos（θ
），再由诱导公式求得sin（
）及cos（
），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ
）的值．
【详解】解：∵θ 是第四象限角，
∴
，则
，又sin（θ
）
，
∴cos（θ
）
．
∴cos（
）＝sin（θ
）
，sin（
）＝cos（θ
）
．
则tan（θ
）＝﹣tan（
）
．
【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
1．已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可得
，化简则
，从而可得结果.
【详解】
17
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，
，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三
角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值
求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
2．若
，则
等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据
，利用诱导公式得到
，再由
，利用
二倍角公式求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
3．函数f(x)=
sin(x+
)+cos(x−
)的最大值为
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得
，
则
,函数
的最大值为
.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
考点六、两角和差公式的应用
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1．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））
=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】原式=
=
=
，故选D.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
2．若
，则
．
【答案】
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出
的值，再利用余弦两角和公式化简
，把得到的
，
代入即可．
【详解】解：
若
，
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知
，则
．
【答案】
【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得
.
【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开
因为
，所以
，解之得
．
［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式
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．
［方法三］：换元法＋两角和的正切公式
令
，则
，且
．
．
【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；
方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；
方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式．
1．如果
，
，那么
= ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式结合和角的余弦公式计算作答.
【详解】因
，
，则
，
所以
.
2．（2021 年山东省春季高考数学真题）已知向量
，
，那么
等于
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】
，
，
.
3．设
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
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【答案】A
【详解】试题分析：由tanα，tanβ 是方程x2-3x+2=0 的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ 及
tanαtanβ 的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ 及tanαtanβ 的值代
入即可求出值．解：∵tanα，tanβ 是方程x2-3x+2=0 的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）=
-3，故选A.
考点：两角和与差的正切函数公式
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握
公式是解本题的关键．
考点七、恒等变换
二倍角公式
1．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从
答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了
，使问题更趋于简单化
半角公式
2．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为
，而
为锐角，
解得：
．
降幂公式
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3．（2019 年北京市高考数学试卷（理科））函数f(x)=sin22x 的最小正周期是 ．
【答案】
.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数
,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
万能公式
4．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(
)，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入
即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
【点睛】易错点睛：本题如果利用
，求出
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
辅助角公式
5．函数y＝
sin2x＋cos 2x 的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.
【详解】∵y＝
sin2x＋cos 2x＝2sin
，
，
【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.
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1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】
.
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
2．已知
，则
的值为 ，
的值为 ．
【答案】
【分析】（1）用正切的二倍角公式求；
（2）由（1）的结果有
的值，再用两角和的正切公式计算
【详解】（1）
故答案为：
（2）
3．若tan
+
=4,则sin2
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为
，所以.
.
【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式
转化；另外，
在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转
化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.
来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等
23
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4．设当
时，函数
取得最大值，则
.
【答案】
；
【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝
sin(x－φ)，其中sin φ＝
，cos φ＝
，当x－φ＝2kπ＋
(k∈Z)时，
函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋
＋φ 时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－
.
考点八、恒等变换中的巧变角
1．（2023·陕西省咸阳中学理科数学试题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可化为
，利用两角差的正切公式以及二倍
角的正切公式可得出关于
的方程，解之即可.
【详解】由
可化为
，
即
，即
，
化简得
，即
，解得
，
经检验，合乎题意，故
.
2．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））函数
的最大值为 .
【答案】1
【详解】由题意知：
=
=
=
=
=
，即
，因为
，所以
的最大值为1.
考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关
键.
3．（2023·湖北省恩施州四校模拟）已知
， 且
，
24
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则
【答案】
/
【分析】根据
，应用同角三角函数关系，已知正弦，可以求出余弦的值，最后
代入余弦的差角公式，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，所以
；
所以
，
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））若
,则
.
【答案】
【详解】
2．已知
为锐角，
，求
的值．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的平方关系以及余弦的和差公式，通过“凑角”即可求解.
【详解】解：
，
又
，所以
，
又
，
25
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所以
，又
，所以
，
所以
=
，
3．已知
，
为锐角，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系求出
，
，再由二倍角公式求出
，最后由
计算可得.
【详解】因为
，
为锐角且
，所以
，
所以
，所以
，
又
，
所以
.
考点九、三角函数求值
给值求值
1．（2022 年浙江省高考数学试题）若
，则
，
．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到
的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出
，接下来再求
．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
26
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∵
，∴
，即
，
即
，令
，
，
则
，∴
，即
，
∴
，则
.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵
，∴
，即
，
又
，将
代入得
，解得
，
则
.
给角求值
2．
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.
【详解】
．
【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
给值求角
3．（2023·江苏省常州市联盟学校模拟）已知锐角
，且满足
.
(1)求
；
(2)求
.
【答案】(1)
；(2)
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【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，利用两角和的余弦公式及三角函数的特殊值对应的特
殊角即可求解.
【详解】（1）因为
为锐角，
，所以
.
因为
，
是锐角，即
，
，所以
，
，
又因为
，所以
.
.
（2）由（1）知，
，因为
是锐角，
，
所以
，由
，
，所以
，
，
因为
，所以
.
1．已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（
）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β 满足sin（α+β）=
，求cosβ 的值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
或
.
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得
，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义
得
，再根据同角三角函数关系得
，最后根据
，利用两角差的余弦公式求结
果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角
的终边过点
得
，所以
.
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（Ⅱ）由角
的终边过点
得
，由
得
.
由
得
，所以
或
.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2．式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
3．已知
，
，且
.
（1）求
的值；
（2）求
.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）先根据
，且
，求出
，则可求
，再求
；
（2）先根据
，
，求出
，再根据
求解即可.
【详解】（1）∵
且
，∴
，
∴
，∴
；
（2）∵
，∴
，又∵
，
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∴
，
，
所以
.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三
角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值
求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.
考点十、和差化积、积化和差公式的应用
1．
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案.
【详解】原式
.
2．若
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．－2
D．
【答案】A
【分析】利用和差化积公式即可得到答案.
【详解】由
，
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，
两式相除得
.
3．已知
，则
等于（ ）
A．－m
B．m
C．－4m
D．4m
【答案】B
【分析】由积化和差公式变形可得.
【详解】
.
1．
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式求得结果.
【详解】
.
2．已知角
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据积化和差公式可得
，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即
可求解.
【详解】由
得
，
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进而
，
则
所以
，
则
.
3．若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案.
【详解】因为
，所以
.
【基础过关】
1．（易错题）设
角属于第二象限，且
，则
角属于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据
为第二象限角可求得
为第一或第三象限角，由
可得结果.
【详解】
为第二象限角，
，
；
当
时，
为第一象限角；当
时，
为第三象限角；
为第一或第三象限角；
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，
，
为第三象限角.
2．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若
，则
．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
3．已知
，
(0, π)，则
=（ ）
A．
1
B．
C．
D．1
【答案】A
【详解】
，
，
，即
，故
4．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知
，则
；
．
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得
，根据两角差正切公式得
【详解】
，
，
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．点
从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动
弧长到达
点，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用弧长公式出
角的大小，然后利用三角函数的定义求出
点的坐标.
【详解】点
从
出发，沿单位圆逆时针方向运动
弧长到达
点，
，
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，故选A.
【点睛】本题主要考查弧长公式的应用以及三角函数的定义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，
属于中档题.
6．
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据积化和差及诱导公式即得.
【详解】
.
7．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知圆锥的侧面积（单位：
） 为2π，且它的侧面积展开图是一个
半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：
）是 ．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得
.
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
8．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得
，再结合已知可求得
，利用同角三角函
数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，
，
，解得
，
，
.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出
.
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9．若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：
，
.
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
10．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用
算出
，然后利用平方差公式对
进行化简即可得到答案
【详解】解：因为
，且
，所以
，
所以
，
11．已知
∈（0，
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答案．
【详解】
，
．
，又
，
，又
，
，
故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，
运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很
关键，切记不能凭感觉．
12．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知
，且
，则
（ ）
35
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于
的一元二次方程，求解得出
，再用同角
间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得
，
即
，解得
或
（舍去），
又
.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能
力，属于基础题.
13．（2020 年江苏省高考数学试卷）已知
=
，则
的值是
.
【答案】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
，
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．（2020 年北京市高考数学试卷）若函数
的最大值为2，则常数
的一个取值为
．
【答案】
（
均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得
，可得
，即可解出.
【详解】因为
，
所以
，解得
，故可取
.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运
算能力，属于基础题.
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15．已知
，
，且
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得
，然后求得
由两角和的正
切公式可得答案；
（2）结合（1），利用
，由两角和的正切公式，结合
可得答
案.
【详解】（1）由题意
所以
， 所以
（2）由
为锐角，可得
，所以
【能力提升】、
1．在平面直角坐标系xOy 中，角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若
，则
= .
【答案】
【详解】试题分析：因为
和
关于
轴对称，所以
，那么
，
37
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（或
），
所以
.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若
与
的终边关于
轴对称，则
，若
与
的终边关于
轴对称，则
，若
与
的终
边关于原点对称，则
.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数
的最小值为
．
【答案】
.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于
的二次函数，从而得解.
【详解】
，
，
当
时，
，
故函数
的最小值为
．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视
的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运
算错误．
开发性试题
3．（2021 年北京市高考数学试题）若点
关于
轴对称点为
，写出
的一
个取值为
．
【答案】
（满足
即可）
【分析】根据
在单位圆上，可得
关于
轴对称，得出
求解.
【详解】
与
关于
轴对称，
即
关于
轴对称，
，则
，
当
时，可取
的一个值为
.
故答案为：
（满足
即可）.
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4．设
且
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】[方法一]：
，
，
.
[方法二]：
又
.
[方法三]：
由已知得，
，去分母得，
，
所以
，
又因为
，
，所以
，即
，
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．
5．（2022 年全国新高考II 卷数学试题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：
,
即：
，即：
所以
[方法二]：特殊值排除法
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解法一:设β=0 则sinα +cosα =0，取
，排除A, B；
再取α=0 则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β
，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
6．已知
，
，则
= ．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得
，
．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得
，则
．
又
或
，所以
．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由
，可得
，则
或
．
若
，代入得
，即
．
40
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若
，代入得
，与题设矛盾．
综上所述，
．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由
，得
．
又
，
，即
，则
．从而
．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则
或
．
若
，则
，即
．
当k 为偶数时，
，由
，得
，又
，所以
．
当k 为奇数时，
，得
，这与已知矛盾．
若
，则
．则
，得
，
这与已知矛盾．
综上所述，
．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
7．（2019 年江苏省高考数学试卷）已知
，则
的值是 .
【答案】
.
【分析】由题意首先求得
的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求
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值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由
，得
，
解得
，或
.
，
当
时，上式
当
时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转
化与化归思想解题.
8．计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
9．已知
，则
．
【答案】
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【分析】利用诱导公式及和角正弦公式化简求值即可.
【详解】原式
．
10．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式及两角差的余弦公式求出
，再将两边平方即可得解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
即
，所以
，解得
.
11．若
，且
，则
；
.
【答案】
/
【分析】根据三角函数和差化积公式化简，结合商数关系式及角的范围求出结果.
【详解】由已知
，
得
，
因为
，则
，则
，
，
所以
，所以
，
.所以
.
12．已知
，
，则
.
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【答案】
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．
【详解】由
得，
，
，
又
，则
则
，
，
所以
.
13．若
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
的正切值及
的取值范围，即可得出
的值.
【详解】因为
，
，则
，
又因为
，则
，
由二倍角正切公式可得
，
所以，
，
因为
，
，则
，即
，
因此，
.
14．已知
（1）求
的值；
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（2）求
的值.
【答案】(1)20，（2）
【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cos
和tan
的值，进而利用二倍角公式把sin2
展
开，把sin
和cos
的值代入即可．
（2）先利用诱导公式使
=tan（
﹣
），再利用正切的两角和公式展开后，把tanα 的值代入
即可求得答案．
【详解】(1)由
，得
，所以
＝
（2）∵
，∴
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值的问题．要求学生能灵活运用三角函数的基本公式．
15．已知
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据已知条件求出
和
，可得
；
（2）根据
求出
，再根据角的范围可得结果.
【详解】（1）因为
，所以
，化简得
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
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（2）由（1）知，
，所以
所以
，解得
，
因为
，
，所以
，
所以
.
【真题感知】
1．（2023 年高考全国甲卷理数真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
2．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）若
，则
．
【答案】
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【分析】根据同角三角关系求
，进而可得结果.
【详解】因为
，则
，
又因为
，则
，
且
，解得
或
（舍去），
所以
.
3．（2023 年北京高考数学真题）已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明p
为假命题的一组
的值为
，
．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为
在
上单调递增，若
，则
，
取
，
则
，即
，
令
，则
，
因为
，则
，
即
，则
.
不妨取
，即
满足题意.
4．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
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因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
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且
，则
，解得
.
故选：B.
5．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出
，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
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