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专题11 三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）
目录：
01 两角和与差的三角函数
02 二倍角公式
03 半角公式
04 辅助角公式及应用
05 降幂公式
06 万能公式
07 积化和差与和差化积公式
08 三角恒等变换的应用
01 两角和与差的三角函数
1．（23-24 高三上·广东肇庆·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解.
【解析】
.
故选：C.
1
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2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于
的方程，解之即可求得
的值.
【解析】
，
，
又
，
则
，则
故选：A
3．（23-24 高三上·广东江门·阶段练习）如图，
，
是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
的正切值，即可得出
的正切值，进而求出
的度数.
【解析】由题意及图得，
，
，
2
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∴
．
∵
，
，
∴
．
故选：B.
4．（2023·四川宜宾·二模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解.
【解析】
，
故选：C
5．（2024·广西·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦两角和公式和正弦函数的性质求出
，代入即可求解.
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
3
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所以
，
或
，
，
又
，所以
，
所以
，
故选：A
02 二倍角公式
6．（21-22 高三上·陕西汉中·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．0
B．2
C．0.5
D．0 或2
【答案】C
【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.
【解析】因为
，所以
，
所以由
得
，
故选：C
7．（20-21 高三上·吉林松原·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解.
【解析】解：由题得
，
两边平方得
.
故选：C
8．（23-24 高三上·福建宁德·期中）已知
是第一象限角，
，则
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.
【解析】因为
是第一象限角，
，
所以
，
所以
，
故选：B.
9．（2024·江西·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出
，再由二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再
代入计算可得.
【解析】因为
，即
，
则
．
故选：A
10．（2024·辽宁·一模）若
，则
（ ）
A．
或2
B．
或
C．2
D．
【答案】C
5
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【分析】
根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化
简要求值的式子，带值计算即可得到答案.
【解析】
或
，
代入tanα 求得值均为：2.
故选：C.
11．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
即
，解得
或
，
因为
，所以
，
所以
．
6
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故选：D
03 半角公式
12．（2024·全国·模拟预测）已知角
是第二象限角，且终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据已知条件求出
和
的值，再利用
求解即可.
【解析】∵角
是第二象限角，且终边经过点
，
∴
，
，
∴
.
故选：C．
13．（23-24 高三下·云南·阶段练习）已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.
【解析】由三角函数定义得
所以
.
故选：A.
14．（2023·全国·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
7
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【解析】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
15．（22-23 高三上·河北石家庄·期末）已知
，则
.
【答案】
【分析】利用半角公式即可求解.
【解析】因为
，且
，
所以
，
故答案为：
.
04 辅助角公式及应用
16．（23-24 高三下·四川绵阳·阶段练习）已知
，则
．
【答案】
【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得.
【解析】
，故
，
8
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由
，则
，故
，
.
故答案为：.
17．（2024·新疆喀什·二模）已知函数
，其中
，满足
，则
．
【答案】
【分析】根据
代入计算，化简可得关于
的方程，解方程即可.
【解析】因为
，
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
又因为
，所以
，即
.
故答案为：
.
18．（2024·全国·模拟预测）设
，则函数
的最大值为 ．
【答案】
【分析】平方后，设
，得到
，
，根据函数单调性得到最值，得到答
案.
9
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【解析】设
，
，两边平方得
．
设
，两边平方得
，
则
，
由于
，
，则
，
，
又由于
在区间
上单调递增，
所以当
时,
的最大值为
，
则
在区间
上的最大值为
．
故答案为：
19．（2024·河南新乡·三模）已知函数
，若存在
，使得
，
则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】利用辅助角公式化简函数
，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.
【解析】函数
，由
，得
，
由存在
，使得
，得
，解得
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
05 降幂公式
20．（2022·云南·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．2
10
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【答案】C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【解析】解：由题得
.
故选：C
21．（22-23 高三下·安徽·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【解析】由已知
，化简得
．
平方得
，
所以
．
故选：A．
22．（2021·四川巴中·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：B
【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
11
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23．（22-23 高三上·广西柳州·阶段练习）已知的数
（
），若对任意的实数t，
在区间
上的值域均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
运用倍角公式作恒等变换求出周期，则其周期
，据此可以求解.
【解析】
，其周期为
，
由题意有：
.
故选：D.
06 万能公式
24．（20-21 高一下·陕西西安·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得
的值.
【解析】
.
故选：A.
25．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
结合正切和角公式化简，求得
，利用万能公式即可求解.
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【解析】∵
，∴
，
解得
或
（舍去），
所以
.
故选：D
26．（2021·河北邯郸·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【解析】由
，得
，所以
，
从而
故选：B
07 积化和差与和差化积公式
27．（2021 高三·全国·专题练习）求cos
+cos
-2sin
cos
的值；
【答案】0
【分析】利用和差化积进行化简求值即可得解.
【解析】cos
+cos
-2sin
cos
=
cos
cos
=2cos
cos
cos
=
cos
cos
=0.
28．（22-23 高三上·广东汕头·期末）设锐角三角形ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知
．
(1)求证：B＝2A；
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(2)求
的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析.
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到
，结合角的范围，得到
；
（2）利用正弦定理得到
，根据三角形为锐角三角形，得到
，
，从而求出取值范围.
【解析】（1）
，
由正弦定理得：
，
由积化和差公式可得：
，
因为
，
所以
，
因为三角形ABC 为锐角三角形，故
，
所以
，
故
，即
；
（2）由（1）知：
，
由正弦定理得：
，
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其中
，
因为
，
所以
，
由
得：
，
由
，解得：
，
结合
可得：
，
，
故
在
上单调递增，
所以
，
即
.
08 三角恒等变换的应用
29．（2024·山东·二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数
的最大值是
B．函数
在
上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移
个单位后图象关于原点对称
【答案】B
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【分析】根据题意，化简函数
，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解析】由函数
，
可得最大值是2，最小正周期是
，所以选项A，C 错误；
当
，可得
，根据正弦函数的性质，
可得函数
在
上单调递增，所以B 正确；
将函数
图象向左平移
得到函数
，
此时函数
的图象不关于原点对称，所以D 错误.
故选：B．
30．（2024·四川·模拟预测）已知函数
在
上有且仅有4 个零点．则
图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简
，由零点个数整体思想求出
，并求出对称轴判断其范围，结合赋值法判断各
选项.
【解析】
，
令
，得
，
因为
，所以
，
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若
在
上有且仅有4 个零点，则
，解得
，
令
，得
，因为
，
所以
．当
，
当
，
当
，只有D 符合.
故选：D．
31．（22-23 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和单调递减区间；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)最小正周期为
，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到
，根据正弦型函数最小正周期和
单调区间的求法可直接求得结果；
（2）由
可求得
，进而得到
，利用两角和差余弦公式可求得结果.
【解析】（1）
，
的最小正周期
；
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令
，解得：
，
的单调递减区间为
.
（2）由（1）得：
，
，
，
，
.
32．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数
，若
，
则直线
与
的图象的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先将函数
化简得
，再结合
以及
的任意性求出
的值，从而求出
的解析式，再数形结合探究即可得出结果.
【解析】由题
，
由
知
，
所以
，解得
，
所以
.
对于
，令
，得
；令
，得
，
18
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故直线
经过点
与点
.
易知
的图象也过点
与点
，
在同一平面直角坐标系中作出函数
的图象与直线
，如图所示：
结合图象可知
的图象与直线
恰有5 个交点，
故选：C.
33．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)判断
的形状；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的最大值.
【答案】(1)
为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
(2)
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0 时的情况即可；
（2）先根据（1）中的结论判断此时
为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角B 的
三角函数求值域，注意角B 在锐角三角形中的范围即可.
【解析】（1）由题意：
，
整理得
，
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故
或
，
当
时，
，
为直角三角形，
当
时，
，
为等腰三角形，
当
且
时，
，
，
为等腰直角三角形.
所以
为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
（2）由（1）知，若
为锐角三角形，则一定为等腰三角形，
，
由正弦定理
得
，
，
，
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
当
时，即
时取最大值，最大值为
.
综上，最大值为
一、单选题
1．（2024·福建厦门·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可得
，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.
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【解析】由
，则
，则
，
，
则
，由
，故
.
故选：C.
2．（2024·河北保定·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出
，再结合二倍角公式即可求解.
【解析】因为
，
所以
，
解得
或
（舍去），
所以
．
故选：B.
3．（2024·贵州·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及
求出
和
，再根据二倍角
的正弦公式及降幂公式化简
，代入计算即可．
【解析】由题设有
，即
，
21
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解得
或
，因为
，所以
，则
，
则
，
故选：A．
4．（2024·河南·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
【解析】
.
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知
是单位圆上不同的两点，其中
在第一象
限，
在第二象限，直线
的倾斜角分别为
，若点
的横坐标分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义，可得
，
， 即可利用和差角公式求
解.
【解析】单位圆的方程为
，将点
的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得
22
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，
根据三角函数的定义知
，
，
因此
．
故选:D．
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用切化弦可得
，再由两角和差公式先求
，最后由同角基本关系式求解.
【解析】因为
，则
，则
，
所以
，
而
，则
，
所以
.
故选：C
7．（2024·全国·三模）当
时，
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
【解析】原式
，
23
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其中锐角
由
确定，由
，得
，
所以
.
故选：D
8．（2024·陕西榆林·三模）已知
，若当
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，易得
的对称轴为
，则
，进而可得出答案.
【解析】令
，
由题意可得
，则
，
又因为
，所以
，
函数
的对称轴为
，
24
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则
，
即
，
即
，结合
，解得
.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】选项A：由
，
，可知
为锐角，
且
，解得
，
且
，
所以
，故A 错误；
选项B：因为
，
，因此
，故B 正确；
25
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选项C：因为
且
．
所以
，所以C 正确；
选项D：因为
，
，
所以
，
，
所以
，所以D 正确．
故选：BCD
10．（2023·浙江·二模）已知函数
为奇函数，则参数
的可能值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数
，运用排除法，再验算即可.
【解析】
是奇函数，并在
时有意义，
，
对于A，
，
又
；
，是奇函数，正确；
对于B，
，错误；
26
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对于C，
，
又
；
，是奇函数，正确；
对于D，
，错误；
故选：AC.
11．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知
，下列判断正确的是
（ ）
A．若
，且
，则
B．
时，直线
为
图象的一条对称轴
C．
时，将
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若
在
上恰有9 个零点，则
的取值范围为
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式化简
，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
【解析】
，
对于
，根据条件，可得
，故A 错误；
对于
，当
时，
，
所以直线
为
的一条对称轴，故B 正确；
27
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对于
，当
时，
，将
向左平移
个单位长度后可得
，
为非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，由题意
，则
，因为
在
上恰有9 个零，
所以
，解得
，故D 正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·全国·二模）已知
，则
.
【答案】
/0.28
【分析】切化弦，然后整理可得
，再利用倍角公式计算即可.
【解析】
，
得
，
解得
或
（舍）
所以
.
故答案为：
.
13．（2024·湖北·三模）设函数
对任意的
均满足
，则
【答案】1
【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得
为偶函数，可求得
的值，代入求解即可.
28
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【解析】因为
，
又因为
，所以函数
为偶函数，
即
，
，
，
所以
.
故答案为：
14．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形
的内角
的对边分别为
，若
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由二倍角公式可得
，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得
，
可得
，根据三角形
为锐角三角形求出角B 的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得
，可得范围.
【解析】因为
，所以
，所以
，
由正弦定理得
，即
，
所以
，
所以
，即
，
所以
或
（舍去），
因为三角形
为锐角三角形，所以
，
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又
，解得
，所以
.
因为
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题
15．（2024·黑龙江·二模）已知向量
，
，且函数
在
上的最大值为
．
(1)求常数
的值；
(2)求函数
的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简
，根据正弦型函数最大值可构造方
程求得
的值；
（2）采用整体代换的方式，构造不等式
，解不等式即可求得单调递减区
间.
【解析】（1）
，
，
，解得：
.
30
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（2）由（1）知：
，
令
，解得：
，
的单调递减区间为
.
16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在
中，三边
所对的角分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
外接圆的直径为4，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角
，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边
，利用面积公式即得.
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
因为
．
所以
，
又
，则
，因为
，所以
．
（2）由正弦定理，
，则
，
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由余弦定理，
，
解得
或
（舍去），
故
的面积
．
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
的面积为
，判断
是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）已知等式利用正弦定理与两角和的正弦公式化简，再由同角三角函数的商数关系得到结论.
（2）由已知条件结合三角形面积公式，求出
的三个内角，判断三角形形状.
【解析】（1）已知
，由正弦定理得
，
由
，有
，可得
，
所以
，即
，
由
，有
，即
，
所以
．
（2）
为等腰三角形，理由如下：
由题知
，
，
的面积为
，
则有
，
所以
，又
，所以
，
由（1）知
，又
，所以
，则
，
所以
是等腰三角形．
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18．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调递减区间；
(2)当
时函数
的最小值为2，求实数
的值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【解析】（1）
，
，
，
减区间为
．
（2）
，
，
当
时，
有最小值为
，
由已知
，
．
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系
中，利用公式
①（其中
，
，，
为常数），
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将点
变换为点
的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
可由
，
，，
组成的正方形数表
唯一确定，我们将
称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母
，
，…表示．
(1)在平面直角坐标系
中，将点
绕原点
按逆时针旋转
得到点
（到原点距离不变），求点
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系
中，将点
绕原点
按逆时针旋转
角得到点
（到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量
（称为行向量形式），也可以写成
，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公
式①可以表示为：
，则称
是二阶矩阵
与向量
的乘积，设
是一个二阶矩
阵，
，
是平面上的任意两个向量，求证：
．
【答案】(1)
(2)
，
(3)证明见解析
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【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的
和
，再由两角和的正弦、余弦公式得到点
的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的
和
，再由两角和的正弦、余弦公式得到点
的坐标，
再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
（3）根据定义分别计算
、
、
，证明
即可.
【解析】（1）可求得
，设
，则
，
，
设点
，
，
故
所以
.
（2）设
，
，则
，
，
，
故
所以坐标变换公式为
，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵
，向量
，
，则
．
，
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对应变换公式为：
，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以
得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角
的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与
轴
正半轴重合；在角
的终边上任取一点
，该点到原点的距离
，则：
；
；
.
36
