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专题05 三角函数公式、性质及其综合应用
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热点聚焦
方法精讲
能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：三角函数是近3 年的高考命题热点，常以选择题填空题为主，但也会以解答题形式出现，如2025
新高考2 卷，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是三角函数的图像与性质，以及三角恒等变
换．
预测2026 年：三角函数内容可能还会以考察三角函数的图象与性质问题为主，同时还需重三角恒等变换
问题，以及三角函数的综合应用，尤其是与解三角形、平面向量、导数等知识的交汇考查。同时，可能加
强实际情境中的建模能力考查，注重三角函数图象变换与性质分析的逻辑严谨性，要求考生具备较强的数
形结合与运算求解能力。
热点题型：
题型01 同角三角函数基本关系式及其应用 题型02 和差角二倍角公式及应用
题型03 非特殊角三角函数求值 题型04 给出三角函数值求角问题
题型05 三角函数的图象与性质 题型06 由三角函数图象求解析式
题型07 三角函数中的范围问题 题型08 三角函数综合运用
题型01 同角三角函数基本关系式及其应用
解｜题｜策｜略
①同角三角函数基本关系式：平方关系sin2α+cos2α=1，商数关系tanα=sinα
cosα
②常用方法：知一求二{
sinα−cosα
sinα+cosα
sinα cosα
，平方解决；齐次式问题sinα−cosα
sinα+cosα
，分子分母同除
cosα
【精选例题】
1
【例1】已知角
的顶点为原点
，始边为
轴的非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边所在的直线经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（多选题）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7】设
，若
，则
的值为 ．
【变式训练】
1．(25-26 高三上·四川绵阳·)已知
为第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(24-25 高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．6
2
3．若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．(25-26 高三上·黑龙江九师联盟·)（多选题）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，已知向量
，
且
，则
的值为 .
题型02 和差角二倍角公式及其应用
解｜题｜策｜略
和差角公式：sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sin β ，cos(α±β)=cosα cos β∓sinα sin β ，
tan(α±β)=tanα±tan β
1∓tanα tan β ，sin2α=2sinα cosα
，cos2α=cos2α−sin2α
，
cos2α=2cos2α−1，cos2α=1−2sin2α
【精选例题】
【例1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知
且
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知
，
，
，则
（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【例5】已知
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】已知函数
在
上恒有
，其中
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
成等差数列
B．
成等比数列
C．
D．
【例7】设
，若
，则
．
【例8】若
，
，则
．
【变式训练】
1．已知
，且
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(25-26 高三上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·)已知
，
，则
（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
4．(25-26 高三上·江苏无锡经开区太湖高级中学·)已知
，那么
等于（ ）
4
A．
B．
C．
D．
5．(25-26 高三上·湖南名校联盟联考·月考)已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，
则
＝ ．
7．已知
则
．
8．(25-26 高三上·甘肃武威天祝藏族自治县第一中学·)已知
，且
，则
.
9．(25-26 高三上·河北定州中学·期中)已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．(25-26 高三上·河北秦皇岛、承德部分学校·期中)若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 非特殊角求三角函数值
解｜题｜策｜略
解决非特殊角三角函数值问题，要综合运用二倍角，和差角，辅助角公式进行降幂化简，最终一定可以
消去非特殊角，求出最终数值
【精选例题】
【例1】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义
正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角
的斜边与邻边的比，叫做
的正割，用
表示；其斜
边与对边的比，叫做
的余割，用
表示；其邻边与对边的比，叫做
的余切，用
表示，则
5
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【例3】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（多选题）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（多选题）关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．
的图象关于
对称
C．
有三个零点
D．
是
的一个零点
极大值
极小值
【例6】求值：
．
【变式训练】
1．(24-25 高一下·湖北部分级示范高中·期中)
年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中
首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做
该锐角的正割，用
（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用
（角）表示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(21-22 高一上·山西名校·期末)
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．(24-25 高三上·四川眉山彭山区第一中学·月考)计算下列各式的值，其结果为2 的有（ ）
A．
B．
6
C．
D．
4．(25-26 高三上·广东深圳红山中学等·期中)计算
的值为 .
5．(21-22 高一下·4.3 二倍角的三角函数公式同步练习-·)求
.
6．(21-22 高三上·内蒙古·月考)公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作
图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为
，若
，
.
题型04 给出三角函数值求角
解｜题｜策｜略
已知三级奥函数求角类型题目，关键是判断角的范围，选出变号的三角函数进行计算，例如：
α ∈(0,π )，我们要计算
cosα
，这样算出正值，则α ∈(0, π
2)，算出是负值，则α ∈(
π
2 ,π)
【精选例题】
【例1】若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知等差数列
中，
，
，又
，
，其中
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【例4】若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7
【例6】（多选题）已知
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7】若
，
，
，
，则
.
【变式训练】
1．(24-25 高一下·江苏南通如皋·调研)已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(24-25 高一下·广东梅县东山中学·月考)已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
3．(24-25 高三上·河北部分学校·)已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
5．已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
、
是方程
的两个根，且
，则
等于（ ）
8
A．
B．
C．
或
D．
或
8．(24-25 高一下·山东桓台第一中学·)（多选题）若
，
，且
，
，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在平面直角坐标系中，
、
、
，当
时.写出
的一个值为 .
题型05 三角函数图象与性质
解｜题｜策｜略
①求形如f (x)=A sin(ωx+ϕ)+m 的对称轴只需令ωx+ϕ= π
2 +kπ ，解出x 即可
②求形如f (x)=A sin(ωx+ϕ)+m 的对称中心只需令ωx+ϕ=kπ ，解出x=x0即为对称中心横坐标，
所以对称中心为(x0,m)
③若f (x)=Asin(ωx+ϕ)，当ϕ=2k−1
2
π （即ϕ 为π
2 奇数倍）时，f (x)可化为f (x)=±Acosωx ，
即为偶函数；当ϕ=2k
2 π （即ϕ 为π
2 偶数倍）时，f (x)可化为f (x)=±Asinωx ，即为奇函数；当ϕ
不为π
2 整数倍时，f (x)为非奇非偶函数
④求形如f (x)=A sin(ωx+ϕ)+m （A>0,ω>0 ）的单调增区间，只需令
−π
2 +2kπ≤ωx+ϕ≤π
2 +2kπ ，解出x 即可，单调减区间，只需令π
2 +2kπ≤ωx+ϕ≤3 π
2 +2kπ ，
解出x 即可
【精选例题】
【例1】将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则
可能的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】将函数
的图象向左平移
个单位后，得到的函数图象关于
对称，
9
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】数学中一般用
表示
，
中的较小值.关于函数
有如下四个命题：
①
的最小正周期为
；
②
的图象关于直线
对称：
③
的值域为
；
④
在区间
上单调递增.
其中是真命题的个数是（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【例4】（多选题）已知函数
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
是
图象的一条对称轴
C．
是
图象的一个对称中心
D．
在区间
内单调递减
【例5】（多选题）函数
，则（ ）
A．
是
的一条对称轴
B．
是
的最小正周期
C．
D．
的最小值为
【例6】（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为π
B．点
是
图象的对称中心
C．点
是
图象的对称中心
D．直线
是
图象的对称轴
【例7】（多选题）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
的图象有相同的对称中心
10
B．
与
有相同的最小正周期
C．
与
的图象关于
轴对称
D．
的解集为
【例8】（多选题）若质点
在以坐标原点
为圆心，1 为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，
的角速度
大小为2rad/s，起点为圆
与
轴非负半轴的交点，经过秒后到达点
，设关于
，
的表达式分别
为
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
最小正周期为
B．
是函数
的一个极值点
C．函数
的最大值为
D．若函数
在
只有一个零点，则
【例9】函数
在
上的值域为 ．
【例10】已知函数
图象的一条对称轴方程为
.
(1)求
的值和
的最小正周期；
(2)当
时，求函数
的最小值及此时
的值.
【变式训练】
1．(25-26 高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中)已知函数
的图象向左平移
个单位后与原来图象重合，当
，且
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．已知函数
，其图象距离
轴最近的一条对称轴方程为
，最近的
一个对称中心为
，则下列结论错误的是（ ）
A．
11
B．
的图象在区间
内有
个对称中心
C．
在区间
上单调递增
D．
的图象上所有点向右平移
个单位长度得到函数
的图象
3．(23-24 高一上·江苏常州田家炳高级中学·月考)（多选题）下面关于
叙述中正确的是
（ ）
A．关于点
对称
B．关于直线
对称
C．在区间
上单调递增
D．函数
是奇函数
4．(25-26 高三上·上海金山中学·)已知函数
的最小正周期为
，
时函数图像位于最
低点，则
．
5．(25-26 高三上·山东菏泽·期中)已知函数
在
上单调递减，且
为
的一条对称轴，
是
的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
6．(25-26 高三上·河北衡水河北枣强中学·月考)（多选题）已知函数
相邻
对称轴间的距离为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当
时，
的取值范围是
D．若函数
在
上有3 个零点，则a 的取值范围是
7．(25-26 高三上·四川成都树德中学·)（多选题）已知函数
，则（ ）
12
A．
为
的一个周期
B．
C．
在
上单调递增
D．直线
为
的一条对称轴
8．(25-26 高三上·江苏无锡·期中)（多选题）在直角坐标系
中，已知
是以
为圆心的单位圆，点
的坐标为
，角
的始边为射线
，终边
交圆
于点
，过点
作直线
的垂线，垂足为
．若
将点
到直线
的距离表示为
的函数
，则（ ）．
A．
B．
的最小正周期为
C．
是
的一个单调减区间
D．
的最大值为
9．(25-26 高三上·江苏无锡澄宜六校·调研)（多选题）已知函数
，
，其图
象距离
轴最近的一条对称轴方程为
，最近的一个对称中心为
，则（ ）
A．
B．
的图象上的所有点向左平移
个单位长度得到函数
的图象
C．
的图象在区间
内有
个对称中心
D．若
在区间
上的最大值与最小值分别为
，则
的取值范围是
10．已知函数
图象的相邻两个对称中心之间的距离是
，若将
图
象上的每个点向左平移
个单位长度得到函数
的图象，若
为偶函数，且函数
的
图象在区间
上至少含有
个零点，则在所有满足条件的区间
中，
的最小值为 .
11．(25-26 高三上·安徽华师联盟·期中)已知函数
（
）的最小正
周期为
.
(1)求
的解析式；
13
(2)将曲线
向右平移
个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2 倍，得到曲线
.若关于x 的方程
在区间
上有解，求m 的取值范围.
12．已知函数
的最小正周期为
，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求函数
在区间
上的值域.
13．已知函数
，点
和
是曲线
相邻的两个对称
中心.
(1)求
的解析式；
(2)探究在区间
上有几条平行于
轴且被曲线
无限逼近的直线.
14．已知函数
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)设函数
，求函数
在区间
上的值域.
题型06 由三角函数图像确定解析式
解｜题｜策｜略
的解析式的确定：
（1）
由最值确定；
（2）
由周期确定；
（3）
由图象上的特殊点确定.
提醒：根据“五点法”中的零点求
时，一般先根据图象的升降分清零点的类型.
【精选例题】
【例1】已知函数
的部分图象如图所示，给出下列结论：
14
①
的最小正周期为
；
②
在区间
上单调递增；
③当
时，
的取值范围为
；
④
的图象可以由函数
的图象向左平移
个单位长度得到．
其中错误结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例2】已知点
和
是
图象的两个相邻的对称中心，
如图，过原点的直线与
的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为A，B（其中A 在B 的左侧），
过点A，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，若
，且
的面积是
的面积的9 倍，
则（ ）
A．
B．点A 的坐标为
C．
D．点B 的坐标为
【例3】（多选题）如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数
的部分图象，
分
别是
图象的一个最高点和最低点，
是
图象与
轴的交点，
，垂足为
，现将该卡
片沿
轴折成如图2 所示的直二面角
，对于图2，则下列结论正确的是（ ）
15
A．
B．点
到直线
的距离为
C．点
到平面
的距离为
D．平面
与平面
夹角的余弦值为
【例4】（多选题）函数
的部分图象如图所示，
，
是
的2 个零点，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小值为
C．当
取最小值时，
的最大值为
D．若
在区间
上至少有10 个零点，则
的最小值为
【例5】（多选题）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
16
A．
的图象关于直线
对称
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的函数图象关于
轴对称
C．函数
的单调递增区间为
D．若函数
在
上不单调，则
的取值范围为
【例6】已知函数
的部分图象如图所示，O 为坐标原点，B，C 为图象与坐标轴的交点，
D 为图象上的点且满足
，
，
，则
.
【例7】已知函数
），若
的图象过
三点，其中点
为函数
图象的最高点（如图所示），将
图象上的每个点的纵坐标保持不变，横
坐标变为原来的
倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数
的解析式；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数t 的取值范围.
17
【变式训练】
1．(25-26 高三上·天津河西区·期中)已知函数
的部分图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．将
的图象向右平移
个单位，再将所有点的横坐标变为原来2 倍，得到
的图象，则
C．
的对称中心为
D．若
，且
，则
2．(25-26 高三上·福建泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟·期中)（多选题）已知函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足
的
的取值范围为
C．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来
，得到的图象关于
对称
18
D．函数
与
的图象关于直线
对称
3．(25-26 高二上·内蒙古乌兰察布部分中学·期中)（多选题）函数
的部分
图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是函数的对称轴
D．
是函数的对称中心
4．(25-26 高三上·河南名校联考·期中)（多选题）已知函数
的部分图
像如图1 所示，A，B 分别为图像的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于
，点C 为该部分图像
与x 轴的交点.将绘有该图像的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2 所示，此时
.下列结论正确的有（
）
A．
B．
的单调递增区间为
C．图2 中，
D．图2 中，过线段
的中点且与
垂直的平面与x 轴交于点C
5．(25-26 高三上·安徽五校联考·期中)（多选题）函数
的部分图
19
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若函数
在
上单调递增，则
C．若函数
在
内有2 个极值点，则
D．如图所示，若
，则点
的纵坐标为
6．(25-26 高三上·山东临沂·期中)（多选题）已知函数
的部分图象
如图，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．若
，则
的最小值为
D．若
，函数
在
上有2 个零点，则
7．(25-26 高三上·湖北鄂东南教育联盟·期中)（多选题）如图，函数
的部分图
象与坐标轴分别交于点
，且
的面积为
，则（ ）
20
A．
在
上单调递增
B．
的对称中心是
C．点
的纵坐标为
D．
的解集为
8．(25-26 高三上·北京师范大学第二附属中学·月考)若函数
的部分
图象如图所示，可得
；将
的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上所有
点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
，得到函数
的图象，若
在
上恰有3 个零点，
则
的取值范围为 ．
9．(24-25 高一上·江苏南通第一中学·月考)已知函数
的图象的相邻对称轴
之间的距离是
，将函数
向右平移
个单位得到的函数为偶函数，且当
时，
取得最大值.
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
的零点为
，求
；
(3)方程
在
上有4 个不相等的实数根，求实数
的取值范围.
21
题型07 三角函数中的范围问题
解｜题｜策｜略
三角函数中的范围问题，通常可以用换元法解决
【精选例题】
【例1】已知函数
在区间
上单调递增，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知函数
，若
，且
在
上有最大值，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知函数
，若
的图象在长度为
的任意闭区间上与直线
最少有
3 个交点，最多有4 个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（多选题）已知函数
的图象是由曲线
上各点横坐标变为原来的
后，向右平移
个单位长度所得.记
，则（ ）
A．
B．曲线
关于点
中心对称
C．若
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
D．若
在区间
上有零点，则
的取值范围是
【例5】（多选题）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．若函数
为偶函数，则
B．若
时，且
在
上单调，则
C．若
时，
的图象在长度为
的任意闭区间上与直线
最少有3 个交点，最多有4 个
交点，则
22
D．若函数
在
上至少有两个最大值点，则
【例6】（多选题）已知函数
，若
，
，则
下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的取值范围为
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的取值范围为
【例7】已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 .
【例8】已知函数
，
，
，
在区
间
上单调，则正整数
的最大值为 .
【例9】已知函数
的图象关于直线
对称，且
在区间
上单调.
(1)求ω 的值;
(2)若函数
有两个零点，求
的取值范围.
【例10】已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象；再将函数
图象上各点的横坐
标变为原来的
倍
（纵坐标不变），得到函数
的图象．
（i）若
在区间
上没有对称轴，求
的取值范围；
（ii）若关于
的不等式
在区间
上有解，求实数
的取值范
围．
【变式训练】
23
1．已知函数
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
2．已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
，总存在唯一实数
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．(25-26 高三上·河北定州中学·期中)若函数
（
），在
上单调递减，则
a 的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
4．(25-26 高三上·河北雄安新区·期中)（多选题）若函数
在区间
上单调递增，且
，则
的可能的取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．(25-26 高三上·广东东莞高级中学·)（多选题）已知函数
在区间
上有且仅有4 条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．
在区间
上有且仅有3 个不同的零点
B．
的最小正周期可能是
C．
的取值范围是
D．
在区间
上单调递增
6．(25-26 高三上·四川射洪中学校·期中)（多选题）设函数
，若
在
上单调递增，则
的取值范围可能是（ ）
24
A．
B．
C．
D．
7．已知
（
，
，
），其图象经过点
，若存在
，
使得
为函数的最大值，
为函数的最小值，且同时满足
，则
的取值范围是 ．
8．(25-26 高三上·江苏徐州·期中)若函数
在区间
上恰有5 个极值点，且在区
间
上单调，则
的取值范围为 .
9．(25-26 高三上·山东临沂·期中)已知函数
的最小正周期为
，且
.
(1)求
在
的值域；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象.若对任意
，
，当
时，
恒成立，求的最小值.
题型08 三角函数综合运用
【精选例题】
【例1】已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，且
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【例2】已知函数
在
上只有一个极值点，且
，
则
的值不可能为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【例3】已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
25
B．
是偶函数
C．
的图象关于
对称
D．
的图象关于
对称
【例4】已知
，函数
在点
处的切线均经过坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：
就是其中之一，其形状
酷似数学符号“
”，设
为曲线C 上任意一动点，则（ ）
A．曲线C 与直线
有3 个公共点
B．曲线C 上任意两点距离最大值为4
C．
的最大值为
D．曲线C 所围成图形面积为
【例6】（多选题）已知函数
，则（ ）
A．方程
的解集是
B．当
时，恒有
C．函数
的值域是
D．函数
的零点个数不可能为3
【例7】（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数图象向左平移
个单位，则函数图象关于
轴对称
B．若
，则
26
C．若方程
在
内恰有两个根
和
，则
D．若函数
在
上单调递减，在
上有且只有一个零点，则
的取值范围
是
【例8】（多选题）已知函数
，
，
且
，则（ ）
A．函数
的一个周期为
B．函数
在
上单调递减
C．曲线
关于
对称
D．函数
与函数
的最大值相等
【例9】（多选题）已知函数
在
处取得极值，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．关于
的方程
有且只有一个解
【例10】（1）给定
，当
在区间
上变化时，求
的最小值
；
（2）求
，
的最大值，
（3）设
，若存在
，使得
对
恒成立，求
的最小值．
【变式训练】
1．(25-26 高二上·四川南充高级中学·期中)设圆
：
，圆
：
，圆
：
的半径分别为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(25-26 高三上·北京通州区·期中)设函数
，关于
有下列四个结论：
①
的导函数为周期函数，且最小正周期为
；
27
②
在
上单调递增
③
的图象关于
对称；
④方程
在
上有唯一解，则实数
的值为
．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．(25-26 高二上·浙江温州浙南名校联盟·期中)（多选题）切比雪夫多项式
（
）满足
，其中
，
．例如
，
．关于
，下列说法正确的有
（ ）
A．
的值域是
B．
为偶函数
C．
有2025 个零点
D．
4．(25-26 高三上·安徽合肥普通高中六校联盟·期中)（多选题）已知函数
，则
（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调
D．
的最大值是
5．(25-26 高二上·浙江91 高中联盟·期中)（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的一个周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
的最大值为2
D．
在
上的所有零点之和为
6．(25-26 高三上·安徽合肥第一中学·)（多选题）设
，其中
．则下列说法正确的是
（ ）
A．
的最小值为4
B．当
为奇数时，
为奇函数
28
C．当
时，
的值域为
D．当
时，
关于
对称
7．(24-25 高三上·河北部分校·)（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．若关于
的方程
在区间
有实数根，则所有根之和组成的集合为
8．(25-26 高三上·河北秦皇岛、承德部分学校·期中)函数
．
(1)当
时，求
在
上的最大值；
(2)若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
(3)证明：
，
．
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．已知函数
恒成立，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(25-26 高三上·山东名校考试联盟·期中)若函数
的最大值为1，则常
数φ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29
4．(25-26 高三上·江苏扬州·期中)若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，且
，则下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．(25-26 高三上·辽宁大连滨城联盟·期中)已知函数
的部分图象如图所示
（P 为图象与x 轴的一个交点，Q 为图象的一个最高点），且
，则
的一个对称中心可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．(25-26 高三上·天津咸水沽第一中学·期中)已知将函数
的图象向左平移
个单位，
再向上平移1 个单位长度，得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
图象关于
对称
B．函数
图象在
内有3 个极值点
C．函数
在
上单调递增
D．函数
图象关于
中心对称
8．(25-26 高三上·辽宁多校调研·调研)已知函数
，
，
，则下列说法正确
的有几项？（ ）
①当
时，若
在定义域上单调，则
；
30
②对于函数
，无论
取除0 外何值，
都是
的极大值点；
③若
恰有3 个极值点，则正数
的取值范围为
；
④作直线
，设其与
的交点为
，
，
，
，
，则
.
A．0 项
B．1 项
C．2 项
D．3 项
9．(25-26 高三上·北京清华大学附属中学·月考)先将函数
（
且
）的图象向
左平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度后得到函数
的图象，若方程
有无数个解，
则
的值不能为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
10．已知函数
的图象是由
的图象向右平移
个单位
得到的．若
在
上仅有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．(25-26 高三上·广东广州花都区·调研)已知
是公差为
的等差数列，记集合
．
若
，令
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．(23-24 高三上·四川广安加德学校·月考)设函数
，已知
在
上有
且仅有3 个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
上有3 个极值点
B．
在
上有2 个最大值点
C．
在
上单调递增
D．
的取值范围为
二、多选题
13．(25-26 高三上·河南多校·)已知函数
（
），则下列结论正确的是（ ）
31
A．
的图象恒过点
B．若
为奇函数，则
的最小值为3
C．若
，则
的图象与动直线
在区间
上的交点个数恒为1
D．若
，且
，则
14．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上的最大值为
C．
和
图象关于
对称
D．
在
的零点有且只有一个
15．已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的值域为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
在区间
上有且仅有5 个零点
16．(25-26 高三上·重庆字水中学·)如图，函数
（
，
）两个相邻最高点间
的距离是
，且
，则（ ）
A．
B．
C．函数
在
上单调递减
32
D．若将函数
的图象沿x 轴平移
个单位，得到一个偶函数的图象，则
的最小值为
17．(25-26 高三上·湖南邵阳邵东第一中学·月考)设函数
（
），则下列结
论正确的是（ ）
A．
在
单调递增
B．
为奇数时，
在
有一个极值点
C．
为偶数时，
在
单调递增
D．
为偶数时，
的最小值为0
18．(25-26 高三上·江苏盐城七校联盟·)如图，函数
（
，
，
）在一
个周期内的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的值域为
B．函数
的对称轴方程为
C．
是函数
图象的一个对称中心
D．函数
的减区间是
19．(25-26 高三上·河北邢台卓越联盟NT20 名校联合体·)已知函数
，
则下列命题正确的有（ ）
A．若
是曲线
的一条对称轴，则
的最小值为
B．若
在
上有且只有一个最小值点，则
的取值范围是
C．将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，若
为偶函数，则
的最小值为
D．若
在
上恰有4 个零点，则
的范围为
三、填空题
33
20．(24-25 高三下·广西来宾高级中学·)若函数
在
上有奇数个不同的
零点，则实数m 的值为 .
21．(25-26 高三上·海南部分学校·月考)已知
且
，若
，则
．
22．设A，B，C 是函数
与函数
的图象连续相邻的三个交点，若
则
.
23．(25-26 高三上·广东汕头澄海中学·)若对任何实数
，
恒
成立，则
的最大值为 .
24．(25-26 高三上·福建厦门外国语学校·月考)已知函数
的最小正周期
为
，且
在
上单调递增，则
的最大值为
25．(25-26 高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·月考)如图绘制有函数
的部分图象，图象与y 轴的交点为
，其中A，B 分别为最高点和最低点，现将此图沿着x 轴折叠形
成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB 之间的距离为5，则
．
四、解答题
26．函数
的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为A，B，
在x 轴上的射影分别为
，
，已知图象过点
，沿x 轴将坐标平面折叠，使平面
⊥平面
，此时
．
34
(1)求
的解析式；
(2)求四面体
外接球的表面积；
(3)若
为已知图象上一点，且
，设四面体
外接球的半径为R，求证:
．
27．(25-26 高三上·河南三门峡·)设函数
．
(1)由
的图象如何变换得到
的图象?
(2)求方程
的解；
(3)若函数
在区间
上单调，求的最大值．
28．(25-26 高三上·江苏无锡第一中学·月考)已知函数
，将函数
先向右平移
个单位，再将横坐标变为原来的
（
），纵坐标不变，得到函数
，将函数
的
正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列
，且
．
(1)求
的值域；
(2)求
的单调增区间；
(3)求数列
的前
项和
．
35
