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第四章 三角函数与解三角形
必刷小题7 三角函数
[分值：73分]
【高考考向预测】
近三年高考三角函数属于高频必考模块，选填与解答题均有考查，重点考查图
象性质、周期奇偶性、对称中心对称轴、图象平移伸缩变换、三角恒等变换、诱导
公式及最值单调性求解，常结合向量、解三角形综合出题；预测2027 年考查难度
保持平稳，命题更侧重复合型三角函数性质探究、多变换叠加题型、限定区间值域
与零点问题，强化公式灵活化简与整体换元思想，融入实际情境设问，减少机械计
算，侧重考查图象识图能力与式子变形推演能力。
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
π
1.(2025·葫芦岛模拟)将函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度后，所得图象的解析
6
式为( )
( π) ( π)
A.y=sin 2x+ B.y=sin 2x−
3 3
( π) ( π)
C.y=sin 2x+ D.y=sin 2x−
6 6
【答案】A
π
【解析】函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象的解析式为
6
( π) ( π)
y=sin 2 x+ =sin 2x+ .
6 3
2π
2.(2025·盐城模拟)已知圆心角为72°的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为( )
5
π 2π 3π 4π
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】A
72π 2π
【解析】设该扇形的圆心角弧度为α，弧长为l，半径为r，则α= = ，
180 5
(2π) 2
1 1 ( l ) 2 l2 5 π
则S= αr2= α· = = = .
2 2 α 2α 2π 5
2×
53.(2026·衡水模拟)若函数f(x)=cos2ωx+2sin ωxcos ωx-sin2ωx的最小正周期为2，则正实
数ω等于( )
π π
A. B. C.π D.2π
4 2
【答案】B
( π)
【解析】f(x)=cos2ωx+2sin ωxcos ωx-sin2ωx=cos 2ωx+sin 2ωx=❑√2sin 2ωx+ ，
4
2π π
又ω>0，则其最小正周期T= =2，解得ω= .
2ω 2
(π )
cos +α
2
4.(2025·烟台模拟)已知tan α=-2，则 等于( )
(3π )
sin(π−α)−sin −α
2
2 2
A.- B. C.-2 D.2
3 3
【答案】C
(π )
cos +α
2 −sinα −tanα 2
【解析】 = = = =-2.
(3π ) sinα+cosα tanα+1 −2+1
sin(π−α)−sin −α
2
( π) 1
5.(2025·烟台模拟)已知cos α− = ，则sin 2α等于( )
4 3
7 7 8 8
A.- B. C.- D.
9 9 9 9
【答案】A
( π) ❑√2 1 ❑√2
【解析】因为cos α− = (cos α+sin α)= ，所以cos α+sin α= ，
4 2 3 3
2 7
两边平方，可得1+sin 2α= ，则sin 2α=- .
9 9
( π)
6.(2024·天津)已知函数f(x)=sin 3 ωx+ (ω>0)的最小正周期为π.则函数f(x)在
3
[ π π]
− ， 上的最小值是( )
12 6
❑√3 3 3
A.- B.- C.0 D.
2 2 2
【答案】A
( π)
【解析】f(x)=sin 3 ωx+
3=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx，
2π 2
由T= =π得ω= ，
3ω 3
即f(x)=-sin 2x，
[ π π] [ π π]
当x∈ − ， 时，2x∈ − ， ，
12 6 6 3
[ 1 ❑√3] ❑√3
sin 2x∈ − ， ，所以f(x) =- .
2 2 min 2
❑√5 ❑√2
7.(2026·常州模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α= ，sin(α+β)= ，则cos β等于(
5 10
)
❑√10 ❑√10 9❑√10 9❑√10
A. B.- C. D.-
10 10 50 50
【答案】B
❑√5 ❑√2
【解析】由α∈(0，π)，0<cos α= < ，
5 2
(π π)
可得α∈ ， ，
4 2
√ 1 2❑√5
则sin α=❑√1−cos2α=❑1− = ，
5 5
❑√2 ❑√2 (π π)
因为0<sin(α+β)= < ，α∈ ， ，β∈(0，π)，
10 2 4 2
3π 7❑√2
所以 <α+β<π，则cos(α+β)=- ，
4 10
7❑√2 ❑√5 ❑√2 2❑√5 ❑√10
所以cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- × + × =- .
10 5 10 5 10
( π π)
8.(2025·武汉模拟)若函数f(x)=3cos(ωx+φ) ω<0，− <φ< 的最小正周期为π，在区
2 2
( π π) ( π)
间 − ， 上单调递减，且在区间 0， 上存在零点，则φ的取值范围是( )
6 6 6
(π π) ( π π]
A. ， B. − ，−
6 2 2 3
[π π) ( π]
C. ， D. 0，
3 2 3
【答案】B
2π
【解析】由函数f(x)的最小正周期为π，得 =π，而ω<0，解得ω=-2，
|ω|则f(x)=3cos(-2x+φ)=3cos(2x-φ)，由2kπ≤2x-φ≤2kπ+π，k∈Z，
( π π)
得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π+φ，k∈Z，又f(x)在 − ， 上单调递减，
6 6
π π 2π π
因此2kπ+φ≤- ，且 ≤2kπ+π+φ，k∈Z，解得- -2kπ≤φ≤- -2kπ，k∈Z， ①
3 3 3 3
π π
由余弦函数的零点，得2x-φ=nπ+ ，n∈Z，即2x=nπ+ +φ，n∈Z，
2 2
( π) π π
而f(x)在 0， 上存在零点，则0<nπ+ +φ< ，n∈Z，
6 2 3
π π
解得-nπ- <φ<-nπ- ，n∈Z， ②
2 6
π π
又- <φ< ， ③
2 2
π π
联立①②③解得- <φ≤- ，
2 3
( π π]
所以φ的取值范围是 − ，− .
2 3
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·兰州模拟)已知角θ的终边经过点(-2，❑√3)，则下列选项正确的是( )
A.θ为钝角
❑√21
B.sin θ=
7
❑√21
C.cos θ=
7
D.点(tan θ，sin θ)在第二象限
【答案】BD
【解析】点(-2，❑√3)位于第二象限，即角θ是第二象限角，但不一定是钝角，故A错
误；
❑√3 ❑√21
点(-2，❑√3)到原点的距离r=❑√(−2) 2+(❑√3) 2=❑√7，则sin θ= = ，
❑√7 7
−2 2❑√7 ❑√3
cos θ= =- ，tan θ=- ，
❑√7 7 2
所以点(tan θ，sin θ)在第二象限，故C错误，B，D正确.
( π)
10.(2026·临汾模拟)如图是函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0，|φ|< 的部分图象，下列说
2
法正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期是π
(5π )
B.点 ，0 是函数f(x)图象的一个对称中心
12
2 025π
C.直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴
4
π
D.将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
6
【答案】AB
T 2π π π
【解析】由图可得 = - = ，所以T=π，即函数f(x)的最小正周期是π，故A正确；
2 3 6 2
2π
由T= =π，解得ω=2，
ω
(π) (π ) π π π
因为f =2sin +φ =2，所以 +φ= +2kπ，k∈Z，所以φ= +2kπ，k∈Z，
6 3 3 2 6
π π
因为|φ|< ，所以φ= ，
2 6
( π)
所以f(x)=2sin 2x+ ，
6
(5π) ( 5π π) (5π )
又f =2sin 2× + =2sin π=0，所以点 ，0 是函数f(x)图象的一个对称中
12 12 6 12
心，故B正确；
(2 025π) (2 025π π) π
因为f =2sin + =2cos =❑√3，
4 2 6 6
2 025π
所以直线x= 不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误；
4
π [ ( π) π] ( π)
将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到y=2sin 2 x− + =2sin 2x− 的
6 6 6 6
图象，
( π)
显然y=2sin 2x− 不是偶函数，故D错误.
6
π
11.(2025·长沙模拟)已知0<α<β< ，且3cos α+❑√10cos β=3，3sin α-❑√10sin β=-2，则(
2
)❑√3 3❑√10
A.cos(α+β)= B.sin(α+β)=
5 10
2 (π π)
C.tan(2α+2β)= D.β∈ ，
3 4 2
【答案】BD
【解析】A选项，因为3cos α+❑√10cos β=3，3sin α-❑√10sin β=-2，两式平方后相加可得
❑√10
9+10+6❑√10(cos αcos β-sin αsin β)=13，所以cos(α+β)=- ，故A错误；
10
π
D选项，因为0<α<β< ，所以0<α+β<π，
2
(π )
又cos(α+β)<0，故α+β∈ ，π ，
2
π π
由于2β>α+β> ，故β> ，
2 4
π (π π)
又0<α<β< ，所以β∈ ， ，故D正确；
2 4 2
√ 10 3❑√10
B选项，sin(α+β)=❑√1−cos2 (α+β)=❑1− = ，故B正确；
100 10
sin(α+β)
C选项，tan(α+β)= =-3，
cos(α+β)
2tan(α+β) −6 3
故tan(2α+2β)= = = ，故C错误.
1−tan 2 (α+β) 1−(−3) 2 4
三、填空题(每小题5分，共15分)
(4π )
12.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点 ，0 对称，那么|φ|的最小值为
3
.
π
【答案】
6
( 4π )
【解析】由题意得3cos 2× +φ
3
(2π ) (2π )
=3cos +φ+2π =3cos +φ =0，
3 3
2π π π
∴ +φ=kπ+ (k∈Z)，∴φ=kπ- (k∈Z)，
3 2 6
π
取k=0，得|φ|的最小值为 .
6
sin80°
13.(2025·重庆期末) -4sin 40°= .
1+cos80°【答案】-❑√3
2sin40°cos40° sin40° sin40°−2sin80°
【解析】原式= -4sin 40°= -4sin 40°=
2cos240° cos40° cos40°
sin40°−2sin(60°+40°)
=
cos40°
(❑√3 1 )
sin40°−2 cos40°+ sin40°
= 2 2
cos40°
−❑√3cos40°
= =-❑√3.
cos40°
( π) [ π]
14.设函数f(x)=sin 2x− 在 α，α+ 上的值域为[M，N]，则N-M的取值范围是
3 3
.
[1 ]
【答案】 ，❑√3
2
( π) ( π) π T
【解析】函数f(x)=sin 2x− 的最小正周期T=π，而 α+ -α= < ，
3 3 3 2
[ π]
当函数f(x)在 α，α+ 上单调时，
3
| ( π)|
N-M= f(α)−f α+
3
| ( π) ( π)|
= sin 2α− −sin 2α+
3 3
=❑√3|cos 2α|≤❑√3；
[ π]
当函数f(x)在 α，α+ 上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f(x)在
3
[ π] π
α，α+ 上的图象关于直线x=α+ 对称时，N-M最小，
3 6
( π) π π
此时2 α+ - =kπ+ ，k∈Z，
6 3 2
kπ π
即α= + ，k∈Z，
2 4
| ( π)|
因此(N-M) = f(α)−f α+
min 6
| ( π) |
= sin 2α− −sin2α
3| ( π) ( π)|
= sin kπ+ −sin kπ+
6 2
|1 | 1
= coskπ−coskπ = ，
2 2
[1 ]
所以N-M的取值范围是 ，❑√3 .
2
