专题 03 函数与导数
4大考点概览
考点01函数及其性质
考点02一次函数与二次函数；指对幂函数
考点03函数的应用
考点04导数及其应用
考点1 函数及其性质
1．（2025·四川凉山·一模）已知f (x)是定义在R上的函数，f (x+1)=−f (x)．当2≤x<3时，
，则 （ ）
f (x)=5−2x f (2025)=
A．−5 B．−1 C．1 D．4
2．（2026·四川宜宾·一模）若函数 为 上的奇函数，且当 时， ，则
f(x) R x≥0 f(x)=ex−m
1
f(ln )=（ ）
4
A．-4 B．-3 C．3 D．4
3．（2026·四川广安·一模）已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x−1)+f(3−x)=0，若f(x)在
[0,1]上单调递减，且f(0)=3，则f(2x)在R上的最小值是（ ）
A．−4 B．−3 C．−2 D．−1
4．（2025·四川德阳·一模）若函数 有且只有1个零点，则 的值为
f (x)=ln(1−x2)+cosx−a a
（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
5．（2025·四川自贡·一模）（多选）定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的是（ ）
ex−e−x
A．使得f(x)−f(−x)= 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
2
B．使得f(x)−f(−x)=cos2x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个
C．存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(3x)=−x恒成立
D．存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(3x)=−x恒成立
考点2 一次函数与二次函数；指对幂函数5
1．（2025·四川自贡·一模）已知a>b>1，若log b+log a= ，ab=ba，则ab=（ ）
a b 2
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2025·四川资阳·一模）已知函数 ， ，
f(x)=2x ⋅log (2x−2)−1 g(x)=3x ⋅log (3x−3)−1
2 3
的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
h(x)=log (5x−5)−5−x a b c a b c
5
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a
3．（2025·四川绵阳·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以m%的增长率呈指数增长.若增长
为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（ ）（参考数据：
lg2≈0.3）
A．12 B．15 C．18 D．20
4．（2025·四川绵阳·一模）已知 3 1，则（ ）
a= ,b=log 4,c=e2
2 3
A．b<a<c B．a<b<c
C．c<b<a D．a<c<b
5．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数
f(x)=
{ex+e−x,x>0)，若
a=30.01
，
b=log 0.5
，
x2+1,x≤0 3
3
c= log 2，则（ ）
2 3
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(a)>f(c)>f(b)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)
6．（2026·四川雅安·一模）计算：
❑√(−4) 2−log 9=
3
7．（2026·四川遂宁·一模） ❑√(−2) 2+2log❑❑√2+(❑√5−1) 0= .
2
8．（2025·四川资阳·一模）已知3a=36，b=log 2，则a−2b= .
3
9．（2025·四川绵阳·一模）设函数f (x)=x|x+m).
(1)若m=2，写出函数f (x)的单调区间；
(2)当x∈[1,2)时，f (x)≤2，求实数m的取值范围.
考点3 函数的应用{|2x−1|, x<2)
1．（2026·四川雅安·一模）已知函数
f (x)= 3
则方程
f (x)=2
的实数根的个数为
, x≥2
x−1
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
(x−❑√3)f(x)>0的解集为（ ）
A．(−3,0)∪(❑√3,3) B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(0,3) D．(−∞,−3)∪(❑√3,3)
3．（2026·四川巴中·一模）若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (3x−1) 为奇函数， f (2x+1)
23
为偶函数，且 ，则 （ ）
f (1)=1 ∑❑f (2n−1)=
n=1
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．（2025·四川德阳·一模）点
P
是函数
f (x)=
{ −x+ 4
x
,x>0) 的图象上在
y
轴右侧任意一点，过
P
f (−x),x<0
作直线y=−x的垂线，垂足为M，过P作y轴的垂线与f (x)的图象交于另一点N，则⃗PM⋅⃗PN=
.
5．（2025·四川绵阳·一模）已知函数
f (x)=
{2−x2,x<0,)则使不等式
f (x)>f (x2)
成立的
x
的取值
❑√x,x≥0,
范围是 .
6．（2025·四川泸州·一模）已知函数
f (x)
的定义域为
R
，当
x≤1
时，
f (x)=
{lnx,0<x≤1)，且对
ex,x≤0
任意的x∈R都满足f (1+x)=f (1−x)．若函数g(x)=m|x)−2与f (x)的图象恰有两个交点，则实数m的取值范围是 ．
考点4 导数及其应用
1．（2025·四川绵阳·一模）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
f (x)=lnx−x (1,f (1))
A．x+ y=0 B．x+ y−1=0
C．y−1=0 D．y+1=0
2．（2026·四川巴中·一模）设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时，
f′(x) f (x) x∈R f (−1)=0 x>0
．已知 ( 1)， ， ，则下列结论正确的是（ ）．
xf′(x)−f (x)>0 a=f log b=f (31.5) c=f (21.5)
24
A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b
1 x
3．（2025·四川成都·一模）若存在x>0使得不等式aex+1−x≤ ln 成立，则正实数a的取值范
x a
围为（ ）
( 1)
A．(0,1) B．[e,+∞) C． 0, D．(0,e]
e
4．（2025·四川泸州·一模）若函数 在 单调递减，则 的取值范围
f (x)=x3−3ax2−9a2x+1 (−1,2) a
是（ ）
A．[1,+∞) B．(−∞,−1¿∪)2,+∞¿¿
C． D．( 1)
(−∞,−2¿∪)1,+∞¿¿ −∞,− ∪[1,+∞)
3
5．（2025·四川达州·一模）已知定义在R上的函数f (x)满足f (2−x)=−f (x)，当x>1时，
ex
f (x)= ，则当x<1时，f (x)的极大值是（ ）
x−1
1 1
A．−e B．− C．−e2 D．−
e e2
6．（2025·四川绵阳·一模）（多选）已知定义在R上的偶函数f (x)可导，f (x)的导数为
是奇函数，则（ ）
f′(x),f (x+2)
A．f (2)=2 B．f (x)的一个周期为8C． D． 的图象关于 对称
f′(0)=0 f′(x) x=2
7．（2025·四川凉山·一模）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
f (x)=x3−3x+1
A．f (x)是奇函数
B．
f (3)−f (1)>2f′(2)
C．f (3−x)+f (x−3)=2
D．若函数y=f (x)+m有三个零点，则m∈(−1,3)
8．（2026·四川遂宁·一模）（多选）已知函数 ，则（ ）
f(x)=x3−3x2−ax+a
A．f(x)的图象关于点(1,−2)成中心对称
B．当a>−4时，f(x)有两个极值点
C．对于任意a>0,f(x)有三个零点
D．当a>0时，f(x)在(0,2)上存在最大值
9．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）已知曲线 在 处的切线
f(x)=x3−3x2+ax+1(a∈R) x=3
斜率为9，则（ ）
A．a=0
B．函数y=f(x)有2个零点
C．若函数y=f(x)在区间(b−2,b)上有最小值，则实数b的范围为(2,4)
D．若f(m)=−19，f(n)=17，则m+n=2
10．（2025·四川成都·一模）（多选）已知f (x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)的偶函数，且当x>0
时，f (x)=(x−1)lnx，则（ ）
A．f (1)=0
B．当x<0时，f (x)=(x+1)ln(−x)
C．x=−1是f (x)的极小值点
D．存在实数k，使得直线y=kx与y=f (x)的图象恰有1个公共点
cosx
11．（2025·四川泸州·一模）（多选）已知函数f (x)= ，则（ ）
ex−x
A．f (−1)>f (1)
B．f (x)在(0,1)上单调递增
C．f (x)的最大值为1D．f (x)在(0,π)上存在唯一极值点
12．（2025·四川资阳·一模）（多选）已知 是函数 的极小值点，则（ ）
x=1 f(x)=(x2+a)ex−1
A．a=−3
π
B．若0<α< ，则f(sinα)<f(cosα)
4
6
C．若0<m< ，则y=f(x)−m有3个相异的零点
e4
D．方程 有3个不同的实数根
f [f (x))=−1
13．（2025·四川成都·一模）（多选）设函数 ，则（ ）
f(x)=x3−3ax+1
A．当a=1时，x=1是f(x)的极小值点
B．当a>0时，函数f(x)有三个零点
C．若函数f(x)有三个零点x ,x ,x ，则x x x =1
1 2 3 1 2 3
D．已知x=x 是函数f(x)的极大值点，若f(x )=f(t)，x ≠t，则t=2❑√a
0 0 0
14．（2026·四川宜宾·一模）（多选）已知函数. ，则下列说法正确的有
f (x)=(x+1)(ex−x−1)
（ ）
A．f (x)有唯一零点
B．不等式f (x)≥0的解集为[−1,+∞)
C．f (x)在区间(0,+∞)上单调递增
D．f (x)有两个极值点
15．（2025·四川泸州·一模）曲线 在点 处的切线方程为 .
f (x)=(x2+1)2x (0,f (0))
16．（2026·四川宜宾·一模）若直线y=2x+1是曲线f (x)=lnx+x+a的一条切线，则a=
.
17．（2025·四川自贡·一模）若函数 有3个零点，则实数k的取值范围为
f(x)=k(lnx) 2−x
．
18．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数 的图象不在x轴上方，则 的最大
f(x)=(ax+1)(ex−b) ab
值为 ．19．（2026·四川遂宁·一模）已知定义在 上的函数 ，其导函数 满足
(0,+∞) f(x) f′ (x)
1
xf′ (x)= +1−f(x)，且f(1)=2，若函数g(x)=xf(x)−axex−b存在极大值，且极大值为2，
x
则a2+2b的最小值是 .
20．（2025·四川凉山·一模）已知正实数x，y满足 ，则 的最
(2x+❑√4x2+1)(❑√y2+4−2)= y x2ey
小值为 ．
4
21．（2026·四川巴中·一模）已知f (x)=ax3−bx+4在x=2处取得极小值− ．
3
(1)求f (x)在x=3处的切线方程；
(2)若k∈R，讨论g(x)=f (x)+k零点的个数．
22．（2025·四川德阳·一模）已知函数 （ ，且 ），函数 的图象与 的图
f (x)=ax+1 a>0 a≠1 g(x) f (x)
象关于直线y=x对称.
(1)求g(x)；
(2)若h(x)=x−g(x)的最小值是2，求a.
a
23．（2025·四川资阳·一模）已知函数f(x)=xlnx+ −x（其中a∈R）.
x
(1)当 变化时，曲线 在点 处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，
a y=f(x) (1,f (1))
说明理由；
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围.
24．（2025·四川泸州·一模）已知函数 ．
f(x)=xex
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若g(x)=f(x)−x−lnx，对任意x∈(0,e)，都有g(x)≥m恒成立，求m的取值范围．
25．（2025·四川成都·一模）已知 ，其中
f (x)=xex−alnx−ax
a∈(0,+∞),g(x)=2cosx+sin2x.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1 y=f(x) (1,f (1))
(2)求g(x)的最值；2❑√3
(3)若对任意x ,x ∈(0,+∞)，不等式f (x )≥ a2 ⋅g(x )恒成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 9 2
1
26．（2025·四川凉山·一模）已知函数f (x)=x− −alnx．
x
(1)若函数f (x)在x=1处的切线垂直于直线x+ y−1=0，求a的值；
(2)若函数f (x)在(0,+∞)单调，求a的取值范围；
(3)当
a=1
时，若
f′ (x )=f′ (x )(x ≠x )
（其中
f′(x)
是函数
f (x)
的导函数），求证：
1 2 1 2
．
f (x )+f (x )>3−2ln2
1 2
27．（2025·四川自贡·一模）设定义在
R
上的函数
f(x)=a x3+a x2+a x(a∈R,i=1,2,3)
，导函
3 2 1 i
❑√2 ❑√2
数y=f′ (x)的图象关于y轴对称，当x=− 时，f(x)的极大值为 ．
2 3
(1)求f(x)的解析式；
(2)点M在直线 上，过点M作曲线 的两条相互垂直的切线，求M的坐标；
x=−2 y=f′ (x)
f′ (x)+3
(3)当x∈[0,+∞)时都有直线l:y=ax+b（a，b为实数），使得曲线y = 与曲线
1 2
2
3[3 3 ) 分别在直线l的上下方恒成立，求b的取值范围及a，b满足的不等关系．
y = f(x)+ x 9
2 2 2 2
28．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数f(x)=ax−lnx(a∈R)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)函数 有两个零点 ， ．
g(x)=aex−x x x
1 2
（i）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若函数 有两个零点为 ， ，证明： ．
f(x) x x 1<x x x <e3
2 3 1 2 3
k
29．（2026·四川雅安·一模）已知函数f (x)= −lnx.
ex
(1)若 ，证明： ；
k=−e f′(x)≤0
(2)令F(x)=f (x)+lnx−2cosx，若函数F(x)在区间(0,π)上恰有一个零点，求k的取值范围；(3)若 ，证明： 1 1 x .
0<x <x − < 2−1
1 2 ex
1
−1 ex
2
−1 x
1
30．（2026·四川巴中·一模）函数f(x)=5sinx−sin5x.
(1)求曲线 在点(π (π))处的切线方程；
y=f (x) ,f
4 4
(2)求函数 在[ π)上的最大值；
y=f (x) 0,
2
π x
(3)设0≤x≤1，求证:sin ≥ .
x+1 x+2
a
31．（2026·四川宜宾·一模）已知函数f (x)=2lnx−x+ (a∈R).
x
(1)是否存在实数a，使得x=1为函数f (x)的极小值点.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)若f (x)图象上总存在关于点(1,0)对称的两点，求a的取值范围.
32．（2025·四川绵阳·一模）已知函数 的图象关于点(2 43+18b)对称.
f (x)=−x3+2x2+bx+c ,
3 27
(1)求c的值；
(2)记函数f (x)在区间[−1,0)上的最大值为h(b)，求h(b)及h(b)的最小值；
(3)若存在实数 ，使得 是函数 的三个互异零点，求实数 的取值范围.
a a,x ,x g(x)=f (x)−ax2−m b
1 2
ax lnx
33．（2025·四川泸州·一模）已知函数f (x)= 与函数g(x)= 有相同的最大值.
ex ax
(1)求a的值；
(2)若 2g(x) k−1，且 恒成立，求实数 的取值范围；
H(x)= − H(x)>0 k
1−x2 x2
(3)若函数y=f (x)−b,y=g(x)−b(b∈R)共有4个不同的零点x ,x ,x ,x ，且x <x <x <x ，
1 2 3 4 1 2 3 4
证明：x x
.
2+ 3>2
x x
1 4
34．（2026·四川遂宁·一模）已知函数 ，记 为函数 在定义域内的导函数.
f(x)=sinx f′ (x) f(x)(1)求函数g(x)=f(x)−x+ 1 x2在x∈ [ − π ,+∞ ) 上的最小值.
2 2
(2)设 F (x)=[f(x)) 2n+[f′ (x)) 2n ,n∈N∗ ，记 F (x) 的最小值为 a .
n n n
n
（ⅰ）当 时，求使 恒成立的实数 的最小正整数 ；
n∈N∗，n≥2 ∑ln(1+a )<M M M
i 0
i=1
（ⅱ）当 时，设 ，求函数 在区间 上的零点个数.
mln2=M G(x)=mf(x)−f′ (x) G(x) [0,100π)
0 ❑
a
35．（2025·四川资阳·一模）已知函数f(x)=ex− x3−ax2.
3
(1)若f(x)有3个极值点x ，x ，x ，且x <x <x ，
1 2 3 1 2 3
（i）求a的取值范围；
4−2❑√2
（ii）求证：1<f (x )< e❑√2；
2 3
(2)若x≥0，f(x)≥1+sinx，求a的取值范围.
1
36．（2025·四川绵阳·一模）已知函数f (x)=ex− x3−kx2−x−1.
6
(1)请判断f (x)是否可以为偶函数，并说明理由；
(2)若f (x)在区间(0,+∞)上有唯一的极值点和零点分别为x ,x .
1 2
（i）求实数k的取值范围；
（ii）证明：f (2x −x )+
ex 1−1
(x −x ) 3<0.
1 2 3 2 1
37．（2025·四川德阳·一模）关于在(a,b)可导的函数f (x)，某同学通过自学高等数学得到如下正
确结论： 的导数 在 单调递增 在 是凹函数； 的导数 在 单调
f (x) f′(x) (a,b) ⇔f (x) (a,b) f (x) f′(x) (a,b)
1
递减⇔f (x)在(a,b)是凸函数.已知f (x)= x3+mx2−3x在(−∞,−1)是凸函数，在(−1,+∞)是凹
3
函数； .
g(x)=f (x)+nex(m,n∈R)
(1)求 在点 处的切线方程；
f (x) (0,f (0))
(2)若g(x)在R是凸函数，求实数n的取值范围；(3)若 在 及 是凸函数，在 是凹函数；且 在 单调递增，在
g(x) (−∞,x ) (x ,+∞) (x ,x ) g(x) (−∞,t)
1 2 1 2
上单调递减，求证： .
(t,+∞) x −x <1+❑√5
2 1
38．（2026·四川广安·一模）已知函数 ．
f (x)=ex+ax−a,g(x)=x(2−lnx)
a
(1)求函数g(x)的单调区间；
(2)设直线 ，存在两个不同的实数 ，使得直线 与曲线 和曲线 都相
l：y=k a ,a l y=f (x) y=f (x)
1 2 a a
1 2
切．
求k的取值范围；
①请在以下两个不等式中任选一个，完成证明；
②（i）
a +a >−e2
；（ii）
a a >k2
．
1 2 1 2
1 1
39．（2025·四川达州·一模）已知函数f (x)=ax− +a+1,g(x)=(a+1)lnx,a> ．
x e
(1)x∈[−(e+1),0)时，记函数φ(x)=xf (x)，φ(x)单调递增区间的长度为L ，递减区间的长度为
1
L ．比较L ,L 的大小（区间长度是指在实数轴上，区间两个端点之间的距离，与区间的开闭无
2 1 2
关）；
[1 )
(2)当x∈ ,e 时，证明：f (x)>g(x)；
e
(3)判断关于x的方程f (x)=g(x)的根的个数，并说明理由．
40．（2025·四川成都·一模）设函数
f (x)=−1+C1x+C2
x2
+C3
x3
+⋯+Cn
xn
(x∈R,n≥2,n∈N*) .
n n n 22 n 32 n n2
(1)证明：对每个
n∈N*
且
n≥2
，存在唯一的
x ∈
[
0,
1)，满足
f (x )=0
；
n 2 n n
(2)若 ，求 ；
f (x)+1≥aln(x+1) a
2
1 1 1
(3)证明：f '(−1)=1+ + +⋯+ ，其中f '(x)表示f (x)的导数.
n 2 3 n n n
