文档文本内容
导数的概念及其几何意义
考点1
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专题03 导数及其应用
（4 大考点）(四川专用)
2026 年高考数学二模分类汇编
4 大考点概览
考点01 导数的概念及其几何意义
考点02 导数与函数的单调性
考点03 导数与函数的极值、最值
考点04 导数的综合应用
1．（2026·四川德阳·二模）过点
作曲线
的两条切线，记两切点分别为
，若两条切线斜率之积为1，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出
、
，再由两条切线的斜
率之积为得到
，即可用
的式子表示
、
，代入化简可得
，利用
基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
，则
，
，
依题意得两条切线的方程分别为
，
，
联立两条切线的方程
，
1
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解得
，
则
，
因为两条切线的斜率之积为，所以
，解得
，
可得
，
，
则
，
令
，则
可化为
，
而
，当且仅当
，即
时取得最小值，
因为
，且
，所以
，即
不成立，
则
的取值范围是
，故D 正确.
2．（2026·四川达州·二模）若曲线
在
处的切线与直线
垂直，则实
2
导数与函数的单调性
考点2
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数
_____.
【答案】
【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为
，建立等量关系，从而求出实数
.
【详解】解：由题可得
，所以函数
在
处的切线斜率为
.
已知直线
的斜率为
，切线与该直线垂直，所以
，解得
.
1．（2026·四川雅安·二模）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过将函数单调递增转化为
恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即
可.
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在
恒成立，即
，
令
，所以只需
即可.
因为
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取到最小值为
，即
，
3
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所以实数
的取值范围是
.
2．（2026·四川内江·二模）定义在
的函数
满足
，其中常数
、
、
均为正数，
是
的导函数，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析导数的符号变化，利用函数单调性与导数的关系逐项判断即可.
【详解】因为定义在
的函数
满足
，其中常数
、
、
均为正数，
所以
，令
可得
，
结合四个选项可知，对任意的
，
，
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
对于A 选项，如下图所示：
4
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由图可知，当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
即
是函数
的极大值点，事实上，
不是函数
的极大值点，A 选项不符合要求；
对于B 选项，如下图所示：
设直线
与函数
图象交点的横坐标为
，
由图可知，当
时，
，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，即函数
在
上单调递减，
事实上，函数
在
上单调递增，矛盾，B 选项不符合要求；
对于C 选项，由图可知，对任意的
，
，则
，
即函数
在
上单调递增，
由
可知，当
在
上单调递增，
在
上单调递减，
由图可知，函数
在
上单调递增，且函数
的增长速度先越来越快，后越来越慢，
5
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则其导函数
先递增再递减，矛盾，C 选项不符合要求；
对于D 选项，由图可知，对任意的
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，且
的增长速度越来越慢，
由
可知，当
在
上单调递增时，
在
上单调递减，D 选
项符合要求.
3．（2026·四川德阳·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
，变形为
，令
，
再用导数法证明其单调性即可.
【详解】根据题意，可知，
，
，
∵
，
∴
，
令
，
，则
，
∵
，
令
，
∵
，
∴
，
即对于任意的
，恒有
，
∴
在
上单调递增，
6
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∴
.
4．（2026·四川内江·二模）已知函数
，
．若不等式
恒成立，
则a 的取值范围为________．
【答案】
【分析】由题意可转化为
恒成立，构造函数
，利用导数求最小
值即可得解.
【详解】由
可得
，
因为
，所以
恒成立.
令
，则
，
令
，可得
，
当
时，
，则
，故
，而
，
所以
，即
在
上单调递减；
当
时，
，则
，
当
时，
，而
，所以
，
当
时，
，所以
，
，
即
在
上单调递增，所以当
时，
，
所以
，即a 的取值范围为
.
5．（2026·四川凉山·二模）已知
，则
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】利用
，
，将
转化为
的函数，利用导数分析其单调性，
7
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得到其取值范围.
【详解】由
，
，得
，所以
.
.
令
，则
.
因为
，所以
，所以
，即
，
即
恒成立，所以
是减函数.
所以
.
所以
的取值范围为
.
6．（2026·四川广元·二模）关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为__________．
【答案】
【分析】先分类讨论
的范围，再根据题意去绝对值，利用导数即可求解范围．
【详解】
，其中
，
当
时，
，所以
恒成立，
当
时，
，即
，所以
，
当
时，
，
则
或
，
设
，
，则
，
8
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所以当
时，函数
单调递增，且
，
同理可得，当
时，函数
单调递减，且
，
所以不等式
不满足题意；
则
，
设
，
则
，
令
，
则
，
当
时，
，则
在
单调递减，则
，
所以
，则
在
单调递减，则
，
所以
．
7．（2026·四川成都·二模）函数
．若
在区间
上恒成
立，则整数
的最小值是__________．
【答案】
【分析】利用特值法判断
成立的必要条件，再根据导数判断函数单调性，即可证明其充分
性.
【详解】由
，要使
在区间
上恒成立，则
，
当
时，
，
9
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此时
在
上恒成立，
故
在区间
上单调递增，
此时
，也即
在
上恒成立，
故整数
的最小值为．
8．（2026·四川凉山·二模）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求证：
；
(2)若
.
①求
；
②证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得；
（2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得
、
、
，再利用三角形内
角和与两角和的正弦公式计算即可得；②令
，利用三角恒等变换公式可得
，构造函数
，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计
算即可得.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
即有
，
则
或
，
若
，则
；
若
，则
，舍去；
故
；
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（2）①由
，则
，
由
，则
，
由
，则
，解得
，
，
故
；
②令
，由
，则
，
，
则
，
令
，则
，令
，
则
，故
在
上单调递减，
又
，
，
由零点存在性定理可得
，即
.
9．（2026·四川成都·二模）已知函数
11
导数与函数的极值、最值
考点3
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(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】(1)利用导数的几何意义求解；
(2)利用导函数研究函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，则
，
又
，∴曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
，
，
，由
，得
，由
，得
．
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
1．（2026·四川广安·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，当
时，
在
上的极小值点为
，求证：
．
注：
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递减，
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在
上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，根据
的取值分类讨论函数的单调性即可；
（2）依题意求出
，由
可得
，利用零点存在定理推理得到
，
求出
并化简得
，再利用其单调性即可证明.
【详解】（1）由
求导得
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增；
当
时，由
可得
，
当
时，
，当
时，
.
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，
，
则
，因
在
上的极小值点为
，
则
，即得
①，
因
，
，由零点存在定理，可得
，
将① 代入
，得
，
因为该函数在
上单调递减，则
，故得证.
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2．（2026·四川泸州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，且
．证明：
（i）
在区间
存在唯一的极值点
；
（ii）对于（i）中的
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先对函数
求导，然后根据导数的正负性来讨论函数的单调性，需要对
的取值
范围进行分类讨论；
（2）（i）先求出
的表达式，再对
求导，根据导数的性质判断
在区间
上的单
调性，进而证明存在唯一的极值点；
（ii）根据（i）中得到的极值点
的性质，对
进行化简，然后通过构造函数并利用导数研
究函数单调性来证明
.
【详解】（1）已知函数
，其定义域为
，
求导得
，
当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递增.
当
时令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
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当
时，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（2）（i）已知
，定义域
，
当
时，
单调递减，又因为
，所以
单调递增，
而
也单调递增，故
在
上单调递增，无极值点；
求导得
，设
，
，
因为
，所以
在
上为增函数，
而
，
，
故
在
上存在一个零点，且
时，
，
时，
，故
在
上为减函数，在
为增函数，
而
，
，故
在
上存在唯一一个零点，
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且
时，
即
，
时，
即
，
所以
在区间
上存在唯一的极值点
.
所以
在区间
存在唯一的极值点
；
（ii）由（i）得
，即
，
则
，
令
，
，
求导得
，
令
，
求导得
，
整理得
因为
，所以
，即
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
在
上单调递增，
所以
，
即
.
3．（2026·四川绵阳·二模）已知函数
（
，a 为常数）
(1)若
，求
的单调区间；
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(2)若
是
的极大值点，求a 的取值范围
【答案】(1)单减区间为
，单增区间为
.
(2)
【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合
的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区
间.
（2）对导数的根进行分类讨论，分析不同
取值下导数的符号变化，确定
为极大值点时
的
取值范围.
【详解】（1）
，
因为
，
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的单减区间为
，单增区间为
.
（2）
，
当
时，由（1）知
是
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，
在
上单调递减，没有极值点，不合题意；
当
时，
，当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，不合题意；
当
时，
，当
时，当
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减.
17
导数的综合应用
考点4
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所以
是
的极大值点，符合题意，
综上知
的取值范围为
.
1．（2026·四川绵阳·二模）已知
对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】记
，由
，可知只要
时
恒成立即可，从
而将问题转化为
在
恒成立，
令
，结合导数求出
的最值即可求解.
【详解】原不等式等价于
，记
，
注意到
，这说明只要
时
，则当
时也有
.
故下只考虑
时的情况，要使
，
只需
在
恒成立，
令
，
.
因为
，故
，经验证，满足题意.
故选：D
2．（多选）（2026·四川眉山·二模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
是偶函数
B．
在
上单调递增
C．
的导函数有且只有一个零点
D．
的极值与极值点数值相等
【答案】BCD
【分析】A 选项，先求定义域，再根据函数奇偶性判断A 错误；B 选项，求导，解不等式，求出单
调性；C 选项，分
和
两种情况，得到C 正确；D 选项，在BC 选项基础上得到D 正确
【详解】A 选项，令
，解得
或
，故定义域为
，
又
，
故
不是偶函数，A 错误；
B 选项，当
时，
，
，故
在
上单调递增，B 正确；
C 选项，由B 知，当
时，
恒成立，
故
的导函数在
上无零点，
又
时，
，
，
令
，则
，
则
在
上单调递减，又
，
故
的导函数在
只有一个零点
，
综上，
的导函数有且只有一个零点，C 正确；
D 选项，由B 知，
在
上单调递增，无极值点和极值，
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当
时，
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
为
的极大值点，极大值为
，
故
的极值与极值点数值相等，D 正确.
3．（多选）（2026·四川·二模）已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A．若
为
的极小值点，则
的取值范围为
B．存在
，使得
在
上有且仅有一个零点
C．当
时，过点
存在两条直线与曲线
相切
D．存在
，使得
【答案】ABD
【分析】对A，对
求导，再利用极值的定义，即可求解；对B，当
，求出
的单调区
间，进而可得方程
的解满足题意，即可求解；对C，设出切点
，
根据条件，将问题转化成判断方程
解的个数，即可求解；对D，令
，
，
将问题转化成方程
有解，即可求解.
【详解】对于A，因为
，令
，得到
或
，
20
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若
为
的极小值点，则
，解得
，所以A 正确，
对于B，因为
，当
时，则
的增区间为
，减区间为
，
又
，若
，即
，
解得
，此时
在
上有且仅有一个零点，故B 正确，
对于C，设切点为
，则
，又
，
则切线方程为
，又切线过点
，
则
，整理得到
，
令
，则
，令
，得到
或
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调
递增，
又
时，
，
时，
，且
时，
，
时，
，
所以
与
轴有个交点，即
有个解，故C 错误，
对于D，令
，
，
则
，
21
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令
，得到
，所以D 正确，
4．（多选）（2026·四川·二模）已知函数
两相邻对称中心的距离为4，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的对称中心为
C．若
有两个零点
，
，则
D．当
其中一个零点
时，
最小值为
【答案】CD
【详解】对A：因为函数
两相邻对称中心的距离为4，
所以函数的最小正周期为8，所以
，
所以
或
，故A 错误；
对B：对函数
，由
或
，
所以函数
的定义域为
，所以函数的定义域不关于点
对称，
所以函数
的图象也不关于点
中心对称，故B 错误；
对C：因为
，
.
所以
.
22
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因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
即
时，方程
有两解，
和
各有1 个.故C 正确；
对D：由
，
代入
得：
.
令
，因为
，所以
，
则
.
令
，
.
则
.
因为
，所以
，所以
在
上单调递减.
所以当
，对应
时，
最小，且
，所以
的最小值为
，故
D 正确.
5．（多选）（2026·四川绵阳·二模）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．若
，
，则
C．存在实数
，使得
为减函数
D．当
时，
有两个零点
【答案】BCD
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【分析】利用导数正负与函数增减性的关系即可求解.
【详解】由题得
的定义域为
，且
，
对于选项A：由于
的定义域不对称，所以
不可能是偶函数，故A 选项错误；
对于选项B：若
，则
，则
，
若
且
，则
分别属于
和
，不妨设
，
，如下图：
则
，
，若
，则有
，即
，
，最终有
，故B 选项正确；
对于选项C：若存在实数
使得
为减函数，即
，证明如下：
，则
，
①当
时，若
，则有
恒成立，则
，此时有
；
②当
时，若
，则有
恒成立，则
，此时有
；
综上，当
时，
，
为减函数，故C 选项正确.
24
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对于选项D：当
时，
，
，
①当
时，
恒成立，
单调递减，
②当
时，令
，解得
，则有
，故
在
上单调递增，
在
上单调递减.
综上，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减.
在
上，
单调递减，且
，
，故
在
上有且仅有1
个零点，
在
上，
在
处取极大值
，故
是
内唯一零点.
综上，
有2 个零点，故选项D 正确.
故选：BCD.
6．（多选）（2026·四川德阳·二模）已知关于x 的方程：
有两个根
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
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【分析】选项A 通过分析函数
与
的图象交点情况确定；选项B 利用函数
的图象来判断；选项C 根据
满足的方程变形求解；选项D 分析
满足的方程，结合构造函数，
利用函数单调性判断.
【详解】因为方程
有两个根
，
所以
，
又
，
，
所以函数
与函数
图象在
上有两个交点，
而
，由此可作出
的大致图象；
如图所示，所以
，选项A 正确；
根据图象可知当m 逐渐增大时，
，而
将会大于1，此时
，
可得
不成立，选项B 不正确；
因为
，则
，
所以
，
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则
，
因为
，
，所以
，选项C 正确；
因为
，则
，
所以
，
则
，
两边取对数得
.
因为
，
令
，
令
，
，
，
因为
，
，
单调递增，
即得
，即
，
所以
，即
，选项D 正确.
7．（2026·四川泸州·二模）已知函数
，若函数
恰有4
个零点，则
的取值范围为___________．
【答案】
【分析】分析可知
为奇函数，根据对称性可得函数
在
内恰有2 个零点，构造
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，
，整理可得
与
在
内恰有2 个交点，利用导数分析
的单调性和极值，结合函数图象分析求解.
【详解】由题意可知：函数
的定义域为
，
且
，可知
为奇函数，
若函数
恰有4 个零点，则函数
在
内恰有2 个零点，
当
，则
，可得
，
令
，可得
，
构造
，
，则
与
在
内恰有2 个交点，
因为
，
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，则
，
当
趋近0 时，
趋近于1；当
趋近
时，
趋近于
；
作出函数
的图象，如图所示：
由图象可得：
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
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8．（2026·四川眉山·二模）已知函数
，（其中
），其导函数为
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，求实数
的取值范围，并探究
函数
的零点个数．
【答案】(1)
(2)
的取值范围为
；
当
时，
在定义域
内无零点；
当
时，
在定义域
内存在唯一零点；
当
时，
在定义域
内存在两个零点.
【分析】（1）分别求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程即得；
（2）对函数求导，根据参数
进行分类讨论导函数的正负，得出函数的单调区间，分
，
和
三种情况讨论函数
的零点个数即可.
【详解】（1）当
时，
，
，故
，
.
从而所求切线经过点
且斜率为
，故曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）由于
，
故
，
函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
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所以
是
的极大值点，即
，且在
左侧
，右侧
，
①当
时，有
，
，
从而当
或
时
；当
时
.
故函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，不符合条件
②当
时，
，从而对
和
均有
，
故
在
和
上单调递增，从而在
上单调递增，不符合条件
③当
时，有
，
，
从而当
或
时
；当
时
.
故函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，不符合条件
④当
时，对任意
都有
，
从而当
时
；当
时
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，符合条件。
综上，
的取值范围为
所以
，
当
，即
时，
在定义域
内无零点；
当
，即
时，
在
处取得零点，且是唯一零点；
当
，即
时，
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由于
，
，
根据零点存在性定理可得
在
存在唯一零点；
由于
，根据零点存在性定理可得
在
存在唯一零点；
所以
时，
存在两个零点；
综上，当
时，
在定义域
内无零点；
当
时，
在定义域
内存在唯一零点；
当
时，
在定义域
内存在两个零点.
9．（2026·四川达州·二模）已知
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不相等的实数根
.
（i）求
的取值范围；
（ii）若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）直接求导分析
的符号即可求解；
（2）（i）设
，把问题转化为
与
有两个交点，利用导数求出
的最值即可求解；
（ii）设
，则方程变为
，设两根为
，
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则
，利用比值换元法证明对数均值不等式可得
，然后再根据基本不
等式即可求解.
【详解】（1）
定义域为
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）（i）方程
等价于
，
设
，问题转化为
与
有两个交点，
，
时，
，
令
，
，所以
在
上单调递增，
且
，故存在唯一
满足
，即
，
并且当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
，
又因为
和
时，
，所以当
时方程有两个不等实根.
故
的取值范围为
.
（ii）原方程变形得：
，设
，则方程变为
，
设两根为
，则
，
且满足
，
不妨设
，下面证明
，
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令
， 则不等式变形为
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，所以
，
即不等式
成立，变形可得
，
由基本不等式可得
，
要使不等式恒成立，只需
，
故
的取值范围为
.
10．（2026·四川·二模）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
在
最大值为10，最小值为0，求此时a，b 的值．
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减
(2)
【分析】（1）根据导数的正负性与函数单调性的关系，利用分类讨论法进行求解即可；
（2）根据函数最值定义，结合（1）中的结论进行求解即可.
【详解】（1）
，
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当
时，令
，所以函数
在
上单调递增，
令
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，令
，或
，所以函数
在
和
上单调递增，
令
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，令
，所以函数
在
上单调递增；
令
，或
，所以函数
在
和
上单调递减，
综上所述：当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减；
（2）由（1）可知：当
时，函数
在
上单调递增，
所以当
时，函数
单调递增，
所以有
，解得
.
11．（2026·四川雅安·二模）已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)若函数
存在两个极值点，设
为
的极小值点，
为
的零点，证明：
．
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【答案】(1)最小值为
．
(2)当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调性利用极值求最小值；
（2）分类讨论，利用函数的导数求单调区间即可；
（3）分类讨论，当
时，利用分析法，需证
，
构造函数
，利用导数求出
，即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
所以
，故
的最小值为
．
（2）
，
当
时，令
，得
或
，
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递增；
此时
在
上单调递增．
当
时，
，
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所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
综上：当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
（3）由（2）知当
时，显然仅有一个极值点
，
当
时，
存在两个极值点，
且
，
，
又由于
且当
时，
，
所以
在
存在唯一零点
．
若
，由（2）知
，则
成立．
若
，则
要证
，只需证
，即证
，
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即证
，只需证
．
设
，则
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
设
，则
，
（
），故
在
上单调递减，
所以
，即 当
时，
，
所以
所以
在
上恒成立，
故当
时，
成立．
综上，
成立．
37
