文档文本内容
集合间的基本关系
考点1
集合的基本运算
考点2
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专题01 集合、常用逻辑用语、平面向量及复数
（8 大考点）(四川专用)
2026 年高考数学二模分类汇编
8 大考点概览
考点01 集合间的基本关系
考点02 集合的基本运算
考点03 常用逻辑用语
考点04 平面向量的线性运算
考点05 平面向量的基本定理及坐标运算
考点06 平面向量的数量积
考点07 数系的扩充及复数的概念
考点08 复数代数形式的四则运算
一、单选题
1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
的唯一元素是零，而
，所以
，故A 错误；
对于B，
是无理数，
是有理数集，故B 错误；
对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C 错误；
对于D，由集合的无序性可得D 正确.
2．（2026·四川成都·二模）设集合
，若
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可.
【详解】集合
，因为
，所以
.
1．（2026·四川达州·二模）已知
1
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集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域和值域求得集合
，
，然后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由于集合
表示函数
的定义域，可知
，
集合
表示函数
的值域，可知
，
因此
，故A 正确.
2．（2026·四川·二模）设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知
，
，
．
3．（2026·四川眉山·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】根据交集的定义可知，
.
4．（2026·四川凉山·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数单调性可解出集合
、
，再利用并集定义即可得解.
2
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【详解】由
，可得
，故
，
由
，可得
，故
，
则
.
5．（2026·四川南充·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可知
，解得
，则集合
，
因为
，则
，则集合
，
所以
.
6．（2026·四川广元·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
.
7．（2026·四川德阳·二模）已知集合
，若
，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知集合
，
因为
，所以
.
3
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8．（2026·四川成都·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式可得集合S，再由交集的定义可得.
【详解】因为
，解得
，
所以
，
所以
.
9．（2026·四川成都·二模）已知集合
，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可得集合
，
所以集合
，
所以
.
10．（2026·四川绵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先解对数不等式，化简集合B，再求交集即可.
【详解】对数函数
的定义域为
，不等式
，
4
常用逻辑用语
考点3
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因为底数大于1，为单调递增的函数，可得
，因此，集合
，
根据交集运算，得
.
故选：A.
11．（2026·四川泸州·二模）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集和补集运算求解即可.
【详解】因为全集
，集合
，则
，
又因为集合
，所以
.
故选：B.
12．（2026·四川绵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知确定集合
中元素，然后由交集定义计算．
【详解】集合
，
因为
，所以
.
故选：C.
1．（2026·四川达州·二模）已知
向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5
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【答案】A
【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】当
时，向量
，
，则
，即
,故充分性成立；
当
时，满足
,即
，解得：
或
,所以必要性
不成立；
所以“
”是“
”的充分不必要条件
2．（2026·四川广安·二模）已知，
是两条不同的直线，且
在平面
内，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若
，
在平面
内,则
，
若
，
在平面
内，则不一定能得出
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件．
3．（2026·四川广元·二模）已知直线
和平面
，
，若
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，由空间中线面的位置关系，即可判断．
【详解】当
时，由
，直线
与平面
可能垂直，也可能平行，故充分性不成立；
当
时，由
，可知
，故必要性成立；
所以“
”是“
”的必要不充分条件．
4．（2026·四川成都·二模）已知
，设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
6
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【分析】取
可得甲不能推出乙，若
，不妨假设
，可得
，求出
的范围，推出矛盾可得乙能推出甲即可判断选项.
【详解】不妨取
，满足
，此时：
，
不满足：
，所以甲不能推出乙；
若
，不妨假设
，
因为
，且
，则
，因为
在
上是单调递减函数，
所以
，则
，
因为
，则
，此时
，则
，
所以
与
矛盾，则假设
不成立，
所以乙能推出甲，
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
5．（2026·四川·二模）“
”是“
是幂函数且在
上单调递减”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解.
【详解】充分性分析：
，
，
是幂函数且在
上单调递减，故充分性成立；
必要性分析：
是幂函数，
，
7
平面向量的线性运算
考点4
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，
，
或
，
当
时，
在
上单调递减，符合题意；
当
时，
在
上单调递减，符合题意；
综上可知，
是幂函数且在
上单调递减，
则
或
，故必要性不成立，
故“
”是“
是幂函数且在
上单调递减”的充分不必要条件.
6．（2026·四川绵阳·二模）已知
，则下列条件中使
成立的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
（
且
）
D．
【答案】D
【分析】对ABC 选项直接用特殊值验证可得，对D 由不等式性质及对数函数性质可得结果.
【详解】对于A：取
，显然有
，所以A 不正确；
对于B：取
，显然有
，所以B 不正确；
对于C：取
，显然有
，所以C 不正确；
对于D：充分性：因为
，所以
，再由函数
是单调递增函数，所以
.
必要性：由
且函数
是单调递增函数，所以
，
，即
.
故D 正确.
故选：D.
1．（2026·四川绵阳·二模）在
8
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中，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解.
【详解】由
可得点
是
的中点，根据平行四边形法则：
，即
.
故选：D.
2．（2026·四川凉山·二模）向量
与
共线，则
的值为（ ）
A．-4
B．4
C．9
D．-9
【答案】A
【详解】由向量
与
共线，得
，
所以
.
3．（多选）（2026·四川德阳·二模）下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则向量
与
的夹角为钝角
B．若
，则向量
在向量
方向上的投影向量为
C．两个非零向量
，若
，则
与
共线且反向
D．若
为
的外心，
，则
为
的垂心
9
平面向量的基本定理及坐标表示
考点5
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【答案】BCD
【详解】对于A：因为
，即
，所以向量
与
的夹角为钝角或平角，A 错误；
对于B：若
，则
，所以向量
在向量
方向上的投影向量为
，B 正确；
对于C：将
两边平方，化简得
，所以
，结合向量夹角
的范围得夹角为
，C 正确；
对于D：因为
为
的外心，
，则
，
所以
，
所以
，同理可得
，故
为
的垂心，D 正确.
1．（2026·四川·二模）在菱形
中，
，点
是
的中点，点
在线段
上（包含端点），则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，以
为基底，根据向量的线性运算及数量积可得
，结合
得到范围即可．
10
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【详解】设
，因为四边形
是菱形，
所以
，
由点
是
的中点，得
，
由题意得，
，
所以
，
因为
，所以
的取值范围是
．
2．（2026·四川广安·二模）已知不共线向量
、
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据共线向量的判定定理可得存在实数
，使得
，进而运算求
解.
【详解】因为向量
、
不共线，则
均不为零向量，
若
，则存在实数
，使得
，
则
，解得
.
3．（2026·四川·二模）定义平面斜坐标系
，记
，
，
分别为x 轴、y 轴正方向上
的单位向量．若
，则称
为P 的斜坐标已知A，B 的斜坐标分别为
，
，
11
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则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知
，则
，
，
已知
，
，
．
4．（2026·四川眉山·二模）已知
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】根据平行向量坐标关系计算求解.
【详解】因为
，
且
，则
，即
.
5．（2026·四川广元·二模）已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以
.
12
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6．（2026·四川南充·二模）在
中，
，
，若
，
，
，
相交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以
与
为基底表示
，再结合向量的数量积运算求解
【详解】因为
又
与
共线，可设
，则
，
同理
与
共线，设
，又
所以
又
所以
，解得
故
所以
又
故
13
平面向量的数量积
考点6
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7．（2026·四川内江·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出向量
，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可.
【详解】因为向量
，
，所以
，
因为
，所以
，即
，解得
，
所以
.
8．（2026·四川德阳·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．0 或
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可.
【详解】由平面向量平行的坐标充要条件可得：
，
整理为：
，解得
或
.
1．（2025·福建漳州·模拟预测）
已知平面内三点
，则向量
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
，求出
即可求出向量
在
上的投影向量.
【详解】因为
，
所以
，
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所以
，
，
所以向量
在
上的投影向量为
.
故选：D.
2．（2026·四川成都·二模）已知平面向量
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
展开整理得
，
又因为
，
故
，
，
，
代入等式得：
，解得
.
3．（2026·四川眉山·二模）已知过点
的直线与抛物线
交于
，
两点．若
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【答案】B
【分析】设直线
联立抛物线,由韦达定理得坐标关系,表示向量并展开数量积,整理为关
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于 的二次函数,求其最小值再对
取最小,最终得结果.
【详解】由题可知直线的斜率不为
.
设直线的方程为
,设
,
,
，
.
联立
,消去
得
.
由韦达定理得
,
.
,
.
,
.
.
所以
.
因平方项
,当且仅当
时，
取最小值.
综上,
的最小值为.
4．（2026·四川内江·二模）已知过点
的直线与圆
交于
两点，若
，且点
在圆
上，则直线的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
16
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【分析】通过联立直线与圆的方程得到一元二次方程，结合韦达定理及
，利用点
在圆上的条件建立等式，即得直线斜率.
【详解】由已知斜率存在，设直线的斜率为
，因为过点
，故方程可设：
，
联立方程组
，消去
得：
，
设
，由韦达定理得：
，
由
，得
.
因为
在圆上，故
，又因为
，
代入上式得：
，化简：
，解得：
.
5．（2026·四川广元·二模）在
中，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的定义，结合余弦定理、三角形面积公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】设
所对的边分别为
，
，当且仅当
时取等号，
即
，
即
，当且仅当
时取等号，
设
17
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，
所以
，所以
面积的最大值为
.
6．（2026·四川成都·二模）已知向量
满足
，
，且
与
的夹角为
，则
为（ ）
A．
B．
C．7
D．21
【答案】A
【详解】由向量
，可得
，
因为
，且
与
夹角为
，所以
，
则
，所以
.
7．（2026·四川成都·二模）已知向量
与
满足
，且
，则
（ ）
A．4
B．10
C．20
D．36
【答案】C
【分析】将
左右同时平方，化简整理即可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
所以
8．（2026·四川绵阳·二模）已知圆C：
，直线与圆C 交于A，B 两点，点P 在
18
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圆C 上，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】利用极化恒等式可得
，再利用垂径定理可得
，最后可求解
.
【详解】
圆C：
，半径
，取
中点M，则
，
记
，
，
所以
，
在
中，由勾股定理，
，
由极化恒等式，
，
代入
消元得：
.
故选：B
9．（2026·四川南充·二模）在
中，
，
，
分别是边
，
，
边的中点，若
，
，
，则
的长度为_____________.
【答案】
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【详解】
如图所示，由三角形重心性质可知
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
，得
，解得
，
可知
，所以
.
10．（2026·四川成都·二模）已知平面向量
与非零向量
满足
，
，
，则
________.
【答案】2
【分析】将
两边平方，结合向量的数量积公式，解得关于
的方程，即可求解.
【详解】
，
即
，解得
或
，
因为
是非零向量，则
.
11．（2026·四川泸州·二模）已知平面向量
，若
，则实数
___________．
【答案】
【分析】根据题意，结合平面向量的数量积和垂直关系的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由向量
，可得
，
20
数系的扩充与复数的概念
考点7
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因为
，所以
，
解得
.
故答案为：
.
12．（2026·四川绵阳·二模）已知平面向量
,
，若
，则
________.
【答案】1
【分析】互相垂直的两个向量数量积为0.由此列出关于
的方程
.进而求解
的值.
【详解】平面向量
,
，
即
解得
.
故答案为：1.
1．（2026·四川眉山·二模）若复
数
满足
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数的运算可得
，即可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
所以
在复平面内对应的点位于第一象限.
2．（2026·四川·二模）已知
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算法则，将
化成
的形式，即可得到其虚部.
【详解】因为
，所以
.
21
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所以
的虚部为
.
3．（2026·四川凉山·二模）复数
是实数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．
D．0 或1
【答案】B
【分析】利用实数定义计算即可得.
【详解】由题意可得
，解得
.
4．（2026·四川成都·二模）若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
其中
，当
时，
最大值为
.
5．（2026·四川南充·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
【详解】∵
，
∴
.
∴
.
6．（2026·四川成都·二模）若复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
22
复数代数形式的四则运算
考点8
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【详解】因为
，
所以复数z 在复平面内对应的点为
，位于第二象限.
7．（2026·四川德阳·二模）当
时，复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】由
整理可得
，
可知复数
在复平面内对应的点为
，
因为
，则
，
，
所以复数
在复平面内对应的点位于第二象限.
1．（2026·四川泸州·二模）在复
平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算可得
，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为复数
，
所以复数
对应的点为
，位于第二象限.
故选：B.
2．（2026·四川绵阳·二模）i 为复数单位，复数
；则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
23
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【分析】根据复数的运算法则，求得
，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数
，所以
.
故选：B.
3．（2026·四川成都·二模）复数
的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简复数成标准式，利用共轭复数定义求解.
【详解】因为
，
所以
的共轭复数为
.
4．（2026·四川广元·二模）已知复数
满足
，则
__________.
【答案】
【详解】
.
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