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专题03 函数与导数
题型概览
题型01 函数及其表示
题型02 函数的图象与性质
题型03 抽象函数
题型04 指对幂函数
题型05 函数的应用
题型06 导数的应用
题型07 函数新定义
函数及其表示
1．（2025·四川·一模）函数
，若
．则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
2．（2025 届四川省泸州市高三第一次质量诊断性考试（一模）数学试题）已知函数
，对任意实数
，方程
有解，则
的取值范围是 .
函数的图像与性质
3．（2025·四川眉山·一模）已知
是奇函数，当
时，
，则
.
4．（2025·四川泸州·一模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（四川省德阳市高中2025-2025 学年高三上学期第一次诊断考试数学试题）函数
题
型
题
型
1
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单调递增，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 四川仁寿一模）函数
的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川宜宾·一模）下列函数中，既是奇函数，又
在是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·四川内江·一模）若函数
为奇函数，则实数m 的值为 ．
9．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）（多选）下列函数中，是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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10．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）已知函数
，若存在唯一的整数
，使
得
成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·四川雅安·一模）已知
，函数
，则“
”
是“
存在最小值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2025·四川德阳·一模）已知函数
，若对任意
，
都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·四川绵阳·一模）下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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15．（2025·四川雅安·一模）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·四川内江·一模）（多选）给定函数
，
．分别用
、
表示
、
中的最小者、最大者，记为
,
．
下列说法正确的是（ ）
A．
B．当直线
与曲线
有三个不同交点时，
C．当
时，曲线
在点
处的切线与曲线
有且仅有一个交点
D．函数
的值域为
抽象函数
17．（2025 四川内江一模）已知函数
的定义域为
，且对任意
，满足
题型03
4
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，且
则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）（多选）已知函数
（
）是奇函数，
是
的
导函数（
），
且有
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
D．函数
的周期为4
19．（2025·四川雅安·一模）（多选）已知函数
的定义域为R，若
为偶函数，
为奇函数，且
，则（ ）
A．
为周期函数
B．
的图象关于点
对称
C．
，
，
成等差数列
D．
20．（2025·四川泸州·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，若
，则（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
21．（2025·四川德阳·一模）（多选）定义在R 上的函数
满足
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．6 是
的一个周期
D．
22．（2025·四川·一模）已知函数
满足：
，且
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
23．（2025·四川绵阳·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，
不恒为0，且
，则（ ）
A．
可以等于零
B．
的解析式可以为：
C．曲线
为轴对称图形
D．若
，则
6
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24．（24-25 四川仁寿一模）已知函数
的定义域为
，且
，
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2025·四川南充·一模）定义在R 上的函数
的图象关于点
对称，且满足
，
，当
时，都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
指对幂函数
26．（24-25 四川眉山一诊）放射性物质的衰变规律为：
，其中
指初始质量，
为衰变时间，
为半衰期，
为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为
，
（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024 天后发现甲的质量是乙的质量的8 倍，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·四川绵阳·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P
题型04
7
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（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为
（e 是自然对数的底数，
，k 为正的常
数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：
）
A．33h
B．35h
C．37h
D．39h
28．（24-25 四川眉山一诊）关于x 的不等式
对一切
恒成立，则k 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2025·四川德阳·一模）已知函数
的定义域为
，
(1)若
，求函数
的值域；
(2)若
，且
，求实数
的取值范围．
30．（2025·四川内江·一模）已知函数
（
，且
）的图象无限接近直
线
但又不与该直线相交，且
在
上单调递增，请写出一个满足条件的
的解
析式 ．
函数的应用
31．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）函数
且
的所有零点的
和等于 .
题型05
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32．（2025·四川绵阳·一模）已知函数
，m 为正的常数，则
的零点之和为
．
33．（24-25 高三上·四川雅安·一模）（多选）若函数
有三个不同零点，则（ ）
A．
B．
C．
可以等于
D．
可以等于1
34．（2025·四川宜宾·一模）
是函数
在
上有零点的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
35．（2025·四川德阳·一模）若关于
的方程
有且仅有两个实根，则实数
的取值范
围为
36．（2025·四川眉山·一模）已知函数
，若关于
的方程
有
个不同的
实数根，则
的取值范围是
导数的应用
37．（2025·四川宜宾·一模）设曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
38．（2025 四川一质检）函数
的单调递减区间为 ．
题型06
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39．（2025·四川·一模）
，则
在
处切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
40．（2025·四川眉山·一模）若函数
在
时取得极小值，则
的极大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
41．（2025·四川眉山·一模）曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
42．（2025·四川南充·一模）已知函数
.
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)讨论方程
的解的个数；
(3)求证：
.
43．（2025·四川雅安·一模）已知函数
，其中
，
(1)当
时，求
的单调区间；
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(2)当
时，过点
可以作3 条直线与曲线
相切，求m 的取值范围．
44．（2025·四川内江·一模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
45．（2025 四川眉山一诊）已知函数
，若关于
的不等式
的
解集中有且仅有2 个整数，则实数
的最大值为 .
46．（2025·四川宜宾·一模）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是
的极大值点
B．
在
单增
C．
D．
47．（2025·四川宜宾·一模）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
.若
与
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
48．（2025 四川仁寿一模）（多选）已知函数
，
，
是
的两
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个零点，且
，则（ ）
A．
B．
为
的极小值点
C．
的极大值为4
D．满足
的解集是
49．（2025 四川内江一模）（多选）已知函数
，
的图象是一条连续不断的曲线，
设其导数为
，函数
的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取最大值
B．
是
的极大值点
C．
没有极小值点
D．
可能不是导函数
的极大值点
50．（24-25 高三上·四川雅安·一模）已知
是定义在
上的奇函数，且
可导，若
是
的极小值点，则下列说法错误的是（ ）
A．
是函数
的极大值点
B．
是函数
的极小值点
C．
是函数
的极小值点
D．
是函数
的极小值点
51．（2025·四川泸州·一模）已知函数
在
处取得极大值，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
52．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）已知
.
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(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
有两个极值点
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
53．（2025 四川泸州泸县一模）已知函数
的图象与
的图象关于直
线
对称.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
在定义域内恒成立，求
的取值范围；
(3)求证：
.
54．（2025·四川绵阳·一模）已知函数
．
(1)当
时，则过点
的曲线
的切线有几条?并写出其中一条切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有唯一零点，求实数a 的取值范围．
55．（2025·四川雅安·一模）已知函数
．
(1)若
有2 个相异极值点，求a 的取值范围；
(2)若
，求a 的值；
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(3)设m 为正整数，若
，
，求m 的最小值．
56．（2025·四川宜宾·一模）已知函数
.
(1)当
时，判断
的单调性；
(2)若函数
恰有两个极值点.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
的所有零点之和大于3.
57．（四川省宜宾市普通高中2025-2025 学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷）已知函数
．
(1)当
时，判断
的单调性；
(2)若函数
恰有两个极值点．
①求实数
的取值范围；
②证明：
的所有零点之和大于.
58．（2025·四川·一模）设
(1)若
，求
的单调区间．
(2)讨论
的零点数量．
59．（2025·四川泸州·一模）已知函数
．
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(1)证明：
为奇函数；
(2)求
的导函数的最小值；
(3)若
恰有三个零点，求
的取值范围．
60．（2025 四川眉山一诊）已知函数
.
(1)当
时，求
的零点个数；
(2)设
，函数
.
（i）判断
的单调性；
（ii）若
，求
的最小值.
61．（2025 四川内江一模）设函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的极值点个数；
(3)若
时，
，求
的取值范围．
62．（24-25 高三上·四川雅安·一模）已知
，函数
.
(1)当
时，求证：
；
(2)若
，求
的取值范围.
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63．（2025·四川绵阳·一模）若
是函数
的极大值点，则实数a
的取值范围为 ．
64．（2025 四川眉山一诊）已知函数
，若
，
且
，有
恒成立，则实数
的取值范围是 .
65．（2025·四川南充·一模）（多选）设
，函数
，则下列说法正确的
是（ ）
A．存在
，使得
B．函数
图象与函数
的图象有且仅有一条公共的切线
C．函数
图象上的点与原点距离的最小值为
D．函数
的极小值点为
66．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
有两个极值
B．过点
且与曲线
相切的直线有且仅有一条
C．当
时，若
是
与的等差中项，直线
与曲线
有三个交点
，则
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D．当
时，若
，则
67．（四川省内江市威远中学2025 届高三下学期一模考试数学试卷）（多选）函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上是增函数
B．当
时，
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．
在
上为减函数，则
D．当
时，
有且只有一个零点，则
68．（2025·四川·一模）已知
，且满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
69．（2025·四川内江·一模）已知
为常数，函数
有两个极值点
、
，且
，
则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
70．（2025·四川绵阳·一模）已知函数
，若关于x 的不等式
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的整数解有且仅有2 个，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
71．（四川省什邡中学2025-2025 学年高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明
时，
；
(3)若对于任意的
，关于
的不等式
恒成立，求出
的取值范围.
72．（2025·四川绵阳·一模）已知函数
，
在
上的最大值为
．
(1)求实数a 的值；
(2)若数列
满足
，且
．
（ⅰ）当
时，比较
与1 的大小，并说明理由；
（ⅱ）求证：
．
73．（2025 四川仁寿一模）已知函数
.
(1)若
，
是定义在
上的函数，
，
.证明：当
时，
为周期函数.
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(2)若曲线
在
处的切线方程为
，设
（
），
为
的导函数，且
有两个极值点
，
（
）.证明：.
74．（2025 四川眉山一诊）已知函数
.
(1)求过点
的
图象的切线方程；
(2)若函数
存在两个极值点
，
，求
的取值范围；
(3)当
时，均有
恒成立，求整数
的最小值.
75．（2025·四川·一模）已知函数
，
与
在函数
的
图象上，回答下列问题：
(1)当
时，证明
；
(2)
上有
三点（
均不为
且互不相等），满足
成等
差数列且
．
①若不存在
三点，使
成等差数列，求
的取值范围；
②若
，证明：
．
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函数新定义
76．（2025·四川雅安·一模）定义：已知函数
的导函数为
，若
是可导函数且其导
函数记为
，则曲线
在点
处的曲率
．据此，曲线
（其中
）的曲率K 的最大值为 ．
77．（2025 四川一模）若存在有限个
，使得
，且
不是偶函数，则称
为“缺陷偶函数”，
称为
的偶点.
(1)证明：
为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
(2)对任意x，
，函数
，
都满足
.
①若
是“缺陷偶函数”，证明：函数
有2 个极值点.
②若
，证明：当
时，
.
参考数据：
，
.
78．（2025·四川·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，有
．若存在
，使得函数
是常函数，则称
是“
阶梯
函数”．
(1)若
是“
阶梯函数”，且当
时，
，写出
的取值范围；
题型07
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(2)已知
满足：①
；②
，有
．
（i）证明：
是“
阶梯函数”的必要条件是“
”；
（ii）若所有满足条件①②的函数
均为“
阶梯函数”，猜想
的取值范围并证明．
79．（2025·四川德阳·一模）若函数
与
在各自定义域内均能取得最大值，且最大
值相等，则称
与
为“等峰函数”．
(1)证明函数
与
是“等峰函数”；
(2)已知
与
为“等峰函数”．
①求实数a 的值；
②判断命题：“
，且
”的真假，并说明理由．
21
