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专题02 函数与导数
题型概览
题型01 函数及其性质
题型02 指对幂函数
题型03 函数的应用
题型04 导数的几何意义
题型05 导数的计算
题型06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
函数及其性质
1．（2025·四川达州·二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
上有4 个极大值点D．函数
的最大值为3
2．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川雅安·二模）已知
，且
，对于任意
均有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川广安·二模）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川·二模）函数
的图象大致为（ ）
题型01
1
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A．
B．
C．
D．
6．（2025·四川·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川成都·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式
.①
；②
至少有两个零点；③
有最小值.
8．（2025·四川南充·二模）已知
，函数
，
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)设
，
是
的导数，
是
的导数，
，
图像的最低点
坐标为
，对于任意正实数
，
，且
，
恒成立.求实数m 的最大值.
9．（2025·四川·二模）函数
，向右平移3 个单位得到
，下列说法正确的是（ ）
2
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A．
的极小值点为
B．当
有两解时，
C．若
，
，则
D．若
，那么
，且有且仅有一解
10．（2025·四川·二模）存在狄利克雷函数
，若
，
，则
的
所有值之和为（ ）
A．3
B．6
C．12
D．13
11．（2025·四川·二模）已知
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，若函数
的值域为
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
12．（2025·四川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图像关于直线
对称
C．定义在
上的函数
满足
，若曲线
与
恰有2025 个交点
，则
D．当实数
时，关于
的方程
恰有四个不同的实数根
3
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13．（2025·四川·二模）已知函数
，
，
是
的两个零点，且
，
则（ ）
A．
B．
为
的极小值点
C．
的极大值为4
D．满足
的解集是
14．（2025·四川·二模）设
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
且
，则
15．（2025·四川·二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
16．（2025·四川·二模）已知
，若
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·四川·二模）对任意
，恒有
，对任意
，现已知函数
的图像与
有4 个不同的公共点，则正实数
的值为
.
18．（2025·四川·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
在
上单调递减，且
，
4
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则不等式
的解集为 .
19．（2025·四川·二模）定义在R 上的偶函数
满足对任意的
，都有
，当
时，
，若函数
在
上恰有3 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·四川·二模）若函数
，当
时函数值
，则
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
21．（2025·四川·二模）已知函数
是定义域为R 的偶函数.当
时，
，若
函数
有且仅有4 个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .
22．（2025·四川·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
在区间
上是增函数
C．
的最大值为0
D．
在
内有2 个零点
指对幂函数
23．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上
题型02
5
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单调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·四川自贡·二模）已知
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2025·四川自贡·二模）若
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
26．（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度
为
标准，天体的星等
与亮度
满足
，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星
与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·四川·二模）已知
设P：函数
在R 上单调递减.Q：不等式
的解集为R，
如果P 和Q 有且仅有一个正确，则的取值范围为 .
28．（2025·四川·二模）已知函数
是
上的偶函数，对任意
，且
都有
成立．若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2025·四川·二模）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，
于1898 年提出蓄电池的容量
（单位：
），放电时间（单位：
）与放电电流
（单位：
）之间关系的经验公式：
，其中
为
常数.为测算某蓄电池的
常数
，在电池容量
6
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不变的条件下，当放电电流
时，放电时间
；当放电电流
时，放电时间
.若计算
时取
，
，则该蓄电池的
常数
大约为（ ）
A．1.25
B．1.75
C．2.25
D．2.55
30．（2025·四川·二模）已知甲植物生长了一天，长度为
，乙植物生长了一天，长度为
.从第二
天起，甲每天的生长速度是前一天的
倍，乙每天的生长速度是前一天的
，则甲的长度第一次超过乙的
长度的时期是（ ）（参考数据：取
）
A．第6 天
B．第7 天
C．第8 天
D．第9 天
31．（2025·四川·二模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通安全法规
､
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的
发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量C、放电
时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常
数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时
间为
，则该蓄电池的Peukert 常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．0.82
B．1.15
C．3.87
D．5.5
32．（2025·四川·二模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通安全法规
､
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的
发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量
、放电
时间和放电电流
之间关系的经验公式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常
数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时
间为
，则该萻电池的Peukert 常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.15
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函数的应用
33．（2025·四川成都·二模）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递减
D．
在
上有2 个零点
34．（2025·四川南充·二模）如图所示为函数
（
，
）的部分图象，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．将
的图象向右平移
个单位可以得到
的图象
D．方程
在
上有三个根
35．（2025·四川·二模）已知函数
在
时满足
恒成立，且在区间
题型03
8
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内，仅存在三个数
，
，
，使得
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2025·四川成都·二模）已知函数
若方程
在
上恰有4 个
不同实根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．（2025·四川南充·二模）已知函数
，
有5 个不相等的实数根，从小
到大依次为
，
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2025·四川·二模）设动点
到点
的距离与到直线
的距离之积等于4，动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
与
轴的交点的坐标.
(2)过点
作不与坐标轴垂直的直线.
（i）判断直线与曲线
的交点的个数，并证明你的结论；
（ii）定义平面上
个点
的重心
为满足
的点，若直线与曲线
的所有
交点的重心
到点
的距离等于
，求点
的横坐标.
（注：关于
的一元
次方程
有
个复数根
，且
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，
.）
39．（2025·四川·二模）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范
围是 ．
导数的几何意义
40．（2025·四川·二模）已知函数
．
(1)若直线
与曲线
相切，求
的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
在定义域内恒成立，求
的取值范围．
41．（2025·四川·二模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有极小值，且极小值不大于0，求实数
的取值范围．
42．（2025·四川雅安·二模）已知抛物线
：
.
(1)若点
为抛物线
上一点，证明：抛物线
在点
处的切线方程为
；
(2)设
，
是抛物线
：
上两点，过点
，
分别作
的切线交于点
，点
，
分别在线段
，
的延长线上，直线
与抛物线
相切于点
.
（i）证明：
；
（ii）记
，
的面积分别为
，
，求
的值.
43．（2025·四川广安·二模）已知函数
（
为常数）.
题型04
10
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(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
有3 个零点？若存在，求实数
的范围；若不存在，请说明理由.
44．（2025·四川自贡·二模）已知抛物线
：
，过点
作
的切线，切点分别为
，
，且
.
(1)求
的方程；
(2)设
，
为
上两点，
为线段
的中点（
不在
轴上），
为坐标原点，直线
交
于点
，
直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
.
（ⅰ）设
，求
的最小值；
（ⅱ）求证：
.
45．（2025·四川·二模）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为
．
46．（2025·四川成都·二模）设函数
，若
的图象过点
，且曲线
在
处的切线也过点
，则
.
47．（2025·四川·二模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
48．（2025·四川南充·二模）已知抛物线
的焦点为F，过x 轴下方一点
作抛物线C 的两
条切线，切点为A，B，直线PA，PB 分别交x 轴于M，N 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．当点P 的坐标为
时，则直线AB 方程为
B．若直线AB 过点F，则四边形PMFN 为矩形
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C．当
时，
D．
时，
面积的最大值为4
49．（2025·四川·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
在
上的极值.
50．（2025·四川·二模）由坐标原点O 向双曲线
的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C 如
下图所示，若
，点
在曲线C 上，则（ ）
A．C 的方程为
B．曲线C 关于直线
对称
C．点P 到两坐标轴距离之积的最大值为2D．若
的斜率为2，则
51．（2025·四川·二模）已知函数
，
，对
，
，使得
成立.下列结论正确的是（ ）
A．
，使得
B．函数
的最大值为0
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C．a 的取值范围为
D．过
作
的切线，有且只有一条
52．（2025·四川·二模）已知函数
.
(1)若
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
时，
在区间
上的最小值为
，求实数
的值.
53．（2025·四川·二模）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
处切线斜率不小于2
B．
时，
有3 个零点且三个零点的积为1
C．
时，
有两个极值点且两极值点的和不小于4
D．曲线
上总存在两点
，
，对任意
使得曲线在
、
两点处的
切线互相平行，则
的取值范围为
导数的计算
54．（2025·四川达州·二模）关于
的不等式
的整数解个数为
时，
，设
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
55．（2025·四川德阳·二模）已知数列
前
项和为
，满足
，且
题型05
13
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(1)求数列
的通项公式
；
(2)令
，讨论
与
的大小关系；
(3)对任意正整数
恒成立，求正整数
的最小值．
56．（2025·四川·二模）已知
，则下列结论成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
57．（2025·四川·二模）函数
，若
在
是减函数，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
58．（2025·四川·二模）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线垂直，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
利用导数研究函数的单调性、极值和最值
59．（2025·四川巴中·二模）已知函数
，函数
是定义在
的可导函数，其导数为
，满足
.
题型06
14
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(1)令函数
，求证：
在
上是减函数；
(2)若
在
上单调递减，求实数
取值范围；
(3)对任意正数
，试比较
与
的大小.
60．（2025·四川巴中·二模）已知
，
若存在
，使得
，求实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
61．（2025·四川达州·二模）函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
62．（2025·四川雅安·二模）已知函数
.
(1)若
，
，求
的单调区间和极值；
(2)若
，证明：当
时，
.
63．（2025·四川广安·二模）已知常数
为非零整数，若函数
，
满足：对任意
，
，
，则称函数
为
函数.
(1)若函数
，
为
函数，求
的取值范围；
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(2)若
为
函数，图像在
是一条连续的曲线，
，
，且
在区间
上存在唯一的极大值点，求函数
最值差的绝对值的取值范围；
(3)若
，
，且
为
函数，
为
的一阶导函数，对任意
，
，恒有
，记
的最小值为
，求
的取值范围及
关于
的表达式.
64．（2025·四川自贡·二模）已知函数
，
.
(1)若
存在极小值，且极小值为
，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
65．（2025·四川·二模）已知
，函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
66．（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c 满足
，
，则
的取值范围
是 .
67．（2025·四川·二模）若
满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
68．（2025·四川·二模）已知函数
，
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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