文档文本内容
导数的几何意义
考点1
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专题03 导数及其应用
7 大考点概览
题型01 导数的几何意义
题型02 利用导数研究函数的极值、最值
题型04 利用导数研究函数的零点
题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立
题型06 三次函数的图象与性质
题型07 导数中的双变量问题
1．（2026·广东茂名·二模）曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·西藏拉萨·二模）已知函数
的图象在点
处的切线与直线
平行，则
（ ）
A．－1
B．
C．1
D．
3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线
过坐标原点的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·云南昆明·二模）若函数
在
处的切线也是圆
的切线，则
半径
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知直线
与函数
的图象相切，若
，则
实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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6．（2026·辽宁辽阳·二模）函数
在
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河北沧州·二模）已知函数
则曲线
在点
处的切线在
轴上的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·四川德阳·二模）过点
作曲线
的两条切线，记两切点分别为
，若两条切线斜率之积为1，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·重庆·二模）若经过点
的直线既与曲线
相切，也与曲线
相
切，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
10．（多选）（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线
与
存在两条公切线，则
实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．1
11．（多选）（2025·山东滨州·二模）已知直线
与曲线
相交于
两点，曲线
在点
处的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·四川达州·二模）若曲线
在
处的切线与直线
垂直，则实
数
_____.
2
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13．（2026·安徽阜阳·二模）若函数
的图象在
处的切线过点
，则
___________.
14．（2026·云南昭通·二模）已知函数
，则曲线
在
处的切线方程为
___________．
15．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程为__________.
16．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线
：
的焦点为
，若过
上一点
的切线交
的准
线于点
，则
______.
17．（2026·广东深圳·二模）若直线
是曲线
的一条切线，则
___________．
18．（2026·陕西咸阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与直线
平
行，则
________.
19．（2026·青海西宁·二模）若曲线
与曲线
恰好有3 条公切线，则
的取值范围为
_____．
20．（2026·吉林·二模）若曲线
与曲线
在它们的公共点处有相同的切线，则
_______．
21．（2026·山东淄博·二模）将曲线
绕坐标原点顺时针旋转
后第一次与
轴相切，则
________.
22．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
且
时，
有极值，则
_____．
3
利用导数研究函数的极值、最值
考点2
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23．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，对
，满足
，
，点
，
分别为曲线
和直线
上的动点，则
的最小值等于________.
24．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若直线
是曲线
和曲线
的公切线，则
实数
______．
1．（多选）（2026·青海海东·二模）已知函数
存在两个极值点
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
2．（多选）（2026·四川眉山·二模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
在
上单调递增
C．
的导函数有且只有一个零点
D．
的极值与极值点数值相等
3．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
有大于0 的极大值，其中
，
都是实数，
则（ ）
A．
B．
C．
在
内有2 个零点 D．
在
内有1 个零点
4．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
且
时，
有极值，则
_____．
4
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5．（2026·重庆渝中·二模）已知
是函数
（
）的极值点，则
______．
6．（2026·河北沧州·二模）设
，函数.
的极小值为
，则
的取值范围是
_______.
7．（2026·吉林·二模）已知函数
，
．
(1)求
，
的单调区间；
(2)已知
，函数
，讨论
的极值点的个数；
(3)若
，
，求t 的取值范围．
8．（2026·河北邯郸·二模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)已知对于任意
，
恒成立．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
9．（2026·江西赣州·二模）已知函数
，
，
(1)求函数
的极值；
(2)若
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，函数
，若存在
，
，使得
，求证：
．
10．（2026·广西河池·二模）已知函数
．
5
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(1)讨论
的极值；
(2)当
时，证明：
．
11．（2026·云南昆明·二模）设函数
.
(1)当
，
（i）若
，讨论
的单调性；
（ii）若
，求
极值点的个数；
(2)对任意
，总存在
，使得
，求
的最小值.
12．（2026·山西吕梁·二模）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
，求函数
的极值点的个数；
(3)若存在
，且
，
，证明：
.
13．（2026·四川凉山·二模）设函数
，且
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)求
的极值.
14．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数
.
(1)若
，求函数
的图象在点
处的切线方程；
6
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(2)若
存在极值，求a 的取值范围.
15．（2026·福建莆田·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
16．（2026·广东深圳·二模）已知函数
．
(1)若
在
时取极值，求
的值和
的极小值；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围．
17．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
的最小值为0，求
的值.
18．（2026·安徽滁州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
有两个零点
，
①求实数
的取值范围；
②当
取得最小值时，求实数
的值．
19．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间和极值；
7
利用导数研究函数的零点
考点3
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(2)当
时，证明：
存在两个零点；
(3)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围，并比较
与
的大小.
1．（2026·江苏镇江·二模）已知函数
有两个零点，则实数m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间
上的函数，且
，
，则（ ）
A．
只有1 个零点
B．
有2 个零点
C．
，
D．
，
3．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
有大于0 的极大值，其中
，
都是实数，
则（ ）
A．
B．
C．
在
内有2 个零点
D．
在
内有1 个零点
4．（多选）（2026·云南昭通·二模）函数
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
8
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B．若
，则
的极大值点为
C．当
时，
有3 个零点
D．若
，则
5．（多选）（2026·四川德阳·二模）已知关于x 的方程：
有两个根
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2026·四川绵阳·二模）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．若
，
，则
C．存在实数
，使得
为减函数
D．当
时，
有两个零点
7．（多选）（2026·四川·二模）已知函数
两相邻对称中心的距离为4，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的对称中心为
C．若
有两个零点
，
，则
9
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D．当
其中一个零点
时，
最小值为
8．（多选）（2026·重庆九龙坡·二模）已知函数
，则（ ）
A．存在
，使得
在
上是单调函数
B．若
有三个不同的零点，则
C．当
时，过原点且与曲线
相切的直线恰有一条
D．若
恰有个不同的实数根，则
的取值范围关于原点对称
9．（多选）（2026·陕西·二模）已知函数
，使得
有三个零点
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
C．若
，则
D．函数
在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1
10．（多选）（2026·广东清远·二模）已知函数
，
设
，则下列说法正确的是（ ）
A．用
表示不大于
的最大整数，若
，则
恒成立
B．若关于
的方程
与
的实数根相同，则
C．若
存在两个零点
，则
10
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D．若方程
在
上无解，则
的取值范围是
11．（多选）（2026·广东广州·二模）对于函数
，下面说法正确的有（ ）
A．当
时，函数
有两个零点
B．当
时，函数
不存在极值点
C．当
最小值为
时，
D．当
时，函数
在区间
单调递减
12．（多选）（2026·福建泉州·二模）已知函数
有两个零点
，则
（ ）
A．当
时，
B．
C．当
时，
D．函数
取最小值时，
13．（多选）（2026·广西南宁·二模）已知函数
，
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
恒成立，则
B．
是
的极值点
C．若函数
恰有2 个正零点，则
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D．若关于x 的不等式
有解，则
14．（2026·四川泸州·二模）已知函数
，若函数
恰有
4 个零点，则
的取值范围为___________．
15．（2026·湖北·二模）已知函数
．若函数
（e
为自然对数的底数）恰有4 个零点，则k 的取值范围是______．
16．（2026·四川眉山·二模）已知函数
，（其中
），其导函数为
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，求实数
的取值范围，并探究
函数
的零点个数．
17．（2026·安徽合肥·二模）设函数
.
(1)证明：曲线
在点
处的切线过定点，并求出该定点坐标；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围.
18．（2026·广东惠州·二模）已知函数
，其中
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
，
（i）证明：
在区间
内有且仅有1 个零点；
（ii）设
为
的极值点，
为
的零点，且
，证明：
.
12
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19．（2026·河北衡水·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，
恒成立，求
的取值范围；
(3)当
，且
时，证明：函数
有且仅有两个零点.
20．（2026·四川南充·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
是
的一个极值点，
，
是
两个不同的零点，记
，
，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）判断
是否可能为等腰三角形，并说明理由.
21．（2026·四川雅安·二模）已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)若函数
存在两个极值点，设
为
的极小值点，
为
的零点，证明：
．
22．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求实数a 的值；
(2)若函数
有三个零点
，且
．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
．
0,
0
f
13
利用导数研究不等式证明及恒成立
考点5
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23．（2026·河北邢台·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有三个零点
，
，
，其中
，函数
的两个极值点分别为
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最
大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（多选）（2026·贵州毕节·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．方程
有三个不等实根
B．
是
的一个极值点
C．不等式
的解集为
D．当
时，
恒成立
3．（多选）（2026·江西南昌·二模）已知
时，关于
的不等式
恒成立，
则下列判断正确的是（ ）
14
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A．
，
B．
C．
D．
的最大值为
4．（多选）（2026·广西南宁·二模）已知函数
，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．若
恒成立，则
B．
是
的极值点
C．若函数
恰有2 个正零点，则
D．若关于x 的不等式
有解，则
5．（多选）（2026·云南玉溪·二模）设函数
，其中
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
可能为奇函数
B．
既有极大值也有极小值
C．不等式
的解集是
D．若
恒成立，则
6．（2026·四川广元·二模）关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为__________．
7．（2026·陕西咸阳·二模）已知
，若对于任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为________.
8．（2026·广东肇庆·二模）已知关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围是
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________．
9．（2026·湖北·二模）已知函数
，且
对
恒成立，则
的最大
值为__________.
10．（2026·上海闵行·二模）已知
，若不等式
的解集中有且仅有两个整
数，则
的最小值为______.
11．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
（
）．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，设
的两个极值点为
，
，求
的最小值；
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
12．（2026·河南开封·二模）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)求证：对任意
，不等式
恒成立．
13．（2026·安徽池州·二模）已知
．
(1)当
时，求函数
的单调性；
(2)当
时，判断曲线
与直线
交点的个数，并证明；
(3)设
，若存在实数
，使关于
的不等式
的解集为
，求
的最小值．
参考数据：
，
，
，
，
．
14．（2026·新疆·二模）设函数
.
(1)求
的极值；
16
三次函数的图象及性质
考点6
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(2)已知实数
，若存在实数
使不等式
成立，求
的取值范围；
(3)已知不等式
对满足
的一切实数
，
成立，求实数
的取值范
围.
15．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数
有两个不同的零点，分别记为
，且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)有两组正实数
，且
.证明：
.
1．（2026·湖北·二模）函数
的极大值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·福建漳州·二模）已知
是函数
的一个极值点，
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2026·上海奉贤·二模）已知函数
的表达式为
，
，则
下列命题正确的是（ ）
A．函数
的零点的个数一定是3 个
B．若集合
的解集是
，则实数对
有2 对
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C．函数
必存在极值
D．函数
在
处的切线方程为
，则
4．（多选）（2026·山东济南·二模）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
当且仅当
C．当
时，
D．若
，则
5．（多选）（25-26 高二下·山东威海·月考）已知函数
，其中
.则下列
说法正确的是（ ）
A．函数
必有零点
B．若
，则
的对称中心为
C．若
有两个极值点，则
的取值范围是
D．存在实数
，使得
在
上单调递减
6．（多选）（2026·辽宁鞍山·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是函数
的一个极值点
B．
是函数
的一个极值点
C．直线
是曲线
在
处的切线
D．直线
是曲线
在
处的切线
7．（2026·湖北十堰·二模）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．3 是
的极大值点
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C．曲线
在点
处的切线方程为
D．若
，则
在
上存在最大值
8．（多选）（2026·重庆九龙坡·二模）已知函数
，则（ ）
A．存在
，使得
在
上是单调函数
B．若
有三个不同的零点，则
C．当
时，过原点且与曲线
相切的直线恰有一条
D．若
恰有个不同的实数根，则
的取值范围关于原点对称
9．（多选）（2026·云南玉溪·二模）设函数
，其中
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
可能为奇函数
B．
既有极大值也有极小值
C．不等式
的解集是
D．若
恒成立，则
10．（多选）（2026·浙江杭州·二模）已知函数
，则（ ）
A．
，
是增函数
B．
，
是奇函数
C．若
有三个不同的零点
，
，
，则
D．过点
且与曲线
相切的直线恰有3 条，则
11．（多选）（2026·浙江温州·二模）已知函数
的极大值点和极小值点分别
记为
和
，过点
，
分别作x 轴的平行线交
的图象于点C，A，过
点M，N 构造矩形
，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
19
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A．
B．点M 为线段CD 的三等分点
C．当
时，四边形ABCD 为正方形
D．当
时，四边形
为菱形
12．（多选）（2026·陕西·二模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在定义域内单调递增
B．
的对称中心为
C．已知
，
为方程
的两个根，
且
，则
的取值范围为
D．若
，则
的最小值为
13．（多选）（2026·安徽池州·二模）已知
，则（ ）
A．
的导函数
关于直线
对称
B．曲线
在
处的切线方程为
C．函数
的极小值点为
D．函数
的极大值点为0
14．（多选）（2026·四川·二模）已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A．若
为
的极小值点，则
的取值范围为
20
导数中的双变量问题
考点7
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B．存在
，使得
在
上有且仅有一个零点
C．当
时，过点
存在两条直线与曲线
相切
D．存在
，使得
15．（多选）（2026·山东枣庄·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．
有三个不同零点
C．当
时，
D．当
时，
16．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
且
时，
有极值，则
_____．
1．（2026·重庆渝中·二模）已知函数
，
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
在
上的单调区间；
(3)若
，
，且
，满足
，求证：
．
（参考数据：
）
2．（2026·四川达州·二模）已知
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不相等的实数根
.
（i）求
的取值范围；
0,
0
f
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（ii）若
恒成立，求实数
的取值范围.
3．（2026·四川成都·二模）已知函数
在
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)设
是方程
的两根，求证：
．
（注：
…是自然对数的底数）
4．（2026·安徽滁州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
有两个零点
，
①求实数
的取值范围；
②当
取得最小值时，求实数
的值．
5．（2026·广东佛山·二模）已知函数
，
为
的导函数，曲线
关于点
对称.
(1)求
的值；
(2)
，
恒成立.
（i）求b 的值并探究
的零点个数；
（ii）若
，且
，证明：
.
6．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
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(2)若
在
上有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若函数
有两个极值点
，
，证明：
．
7．（2026·湖北·二模）函数
.
(1)当
时，求函数
在
的单调区间；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围；
(3)若函数
有两个零点
、
，且
，求
的取值范围.
8．（2026·浙江台州·二模）已知
，函数
.
(1)当
时，求函数
的极小值；
(2)证明：当
时，对任意
，
，都有
；
(3)若存在
，
，
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
9．（2026·吉林·二模）已知函数
，
．
(1)求
，
的单调区间；
(2)已知
，函数
，讨论
的极值点的个数；
(3)若
，
，求t 的取值范围．
10．（2026·江西赣州·二模）已知函数
，
，
(1)求函数
的极值；
(2)若
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
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(3)若
，函数
，若存在
，
，使得
，求证：
．
11．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)若存在两个不相等的正实数
，
，使得
（i）求证：
；
（ii）设，为正实数，证明：
和
中至少有一个小于
.
12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知
为定义在
上的奇函数且连续可导，令
.当
时，有
.
(1)讨论
在区间
上的单调性，并证明：当
时，
；
(2)当
时，解不等式：
；
(3)我们可以找到满足题意的一个函数
.现在利用这个函数，重新构造函
数
，记
，若实
满足
，证明：
.
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13．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数
.
(1)讨论
在
上的单调性；
(2)已知
为
的导数，若两个不相等的实数
满足
，求证：
.
14．（2026·浙江宁波·二模）已知函数
．
(1)若
，求曲线在点
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，
，且
，
（ⅰ）求
的取值范围；（ⅱ）求证：
．
15．（2026·河北沧州·二模）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性.
(2)若存在
，使得
.
（i）求
的值；
（ii）证明：
16．（2026·山西太原·二模）已知函数
，若
有三个实数解
，且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：①
；②
.
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