专题 02 复数、不等式与平面向量
3大考点概览
考点01复数的运算
考点02不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式；
考点03平面向量
考点1 复数的运算
1．（2026·四川巴中·一模）已知z=−3−4i（其中i为虚数单位），则|z)=（ ）．
A．5 B．7 C．9 D．25
2．（2025·四川泸州·一模）若复数z满足z(1−i)=2i，则|z)=（ ）
A．1 B．❑√2 C．2 D．4
3．（2025·四川自贡·一模）已知复数z满足i⋅z−1=i，则|z|=（ ）
A．4 B．2❑√2 C．2 D．❑√2
i
4．（2025·四川资阳·一模）复数 =（ ）
1−i
1 1 1 1 1 1 1 1
A． − i B． + i C．− − i D．− + i
2 2 2 2 2 2 2 2
1
5．（2025·四川成都·一模）在复平面内，复数z= 对应的点位于（ ）
1+i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2i
6．（2026·四川雅安·一模）若复数z满足z= ，则z=（ ）
1+i
A．1+i B．1−i C．i D．2−i
7．（2026·四川巴中·一模）已知复数 z 满足 (1+i)z=2 ，则 z=（ ）
A．1−i B．−1+i C．−1−i D．1+i
z
8．（2026·四川遂宁·一模）已知复数z满足 =i，则z=（ ）
1−i
A．−1+i B．1−i C．1+i D．−1−i
z
9．（2026·四川广安·一模）已知复数z在复平面内对应的点为(4,3)，则 =（ ）
|z)
5 5 5 5 4 3 4 3
A． − i B． + i C． − i D． + i
4 3 4 3 5 5 5 5
10．（2026·四川宜宾·一模）已知i为虚数单位，则(2−i)(3+i)=（ ）
A．5+i B．5−i C．7+i D．7−i1−i
11．（2025·四川德阳·一模）复数 的虚部为（ ）
2+i
3 3
A．-3 B．−3i C．− D．− i
5 5
12．（2025·四川成都·一模）已知复数z=(3+i)(2−ai)，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，
则|z)=（ ）
A．10 B．20
C．9 D．18
13．（2025·四川凉山·一模）已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则|z)=（ ）
❑√5
A．❑√2 B． C．❑√5 D．❑√10
2
14．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）设复数z满足i⋅z=1+i（i为虚数单位），记z为z的共
轭复数，则（ ）
A．|z|=❑√2 B．复数z的虚部为−i
C．z+z=z⋅z D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
15．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，
人们把欧拉恒等式“eiπ+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒
1
等式是欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ的一种特殊情况.若复数z=eiπ+ ，则|z)= ．
1−i
考点2 不等式的性质；解常见的不等式；基本不等式
1．（2025·四川绵阳·一模）若a>b,c<0，则下列选项正确的是（ ）
1 1 c c
A． < B． >
a b a b
C．a−c<b−c D．ac<bc
2．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a+c>b+d B．若ab=3，则a2+b2≥6
b+c b+d
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若a>b>0，c>d>0，则 >
a+c a+d
3．（2025·四川德阳·一模）（多选）下列选项正确的是（ ）
A．√a2+b2 a+b； B．若 ，则1 1；
❑ ≥ a>b <
2 2 a ba b
C．若 > ，则a>b； D．若a>b，则ac2>bc2.
c2 c2
4．（2026·四川巴中·一模）已知集合 ，则
A={x∈N∣0≤x≤3)，B={x∣x2−x−6<0)
A∩B=（ ）
A．{1，2) B．{0，1，2) C．{1，2，3) D．{−1，0，1，2)
5．（2025·四川德阳·一模）已知集合 { | 4 ))，集合 ，则
A= x ≤1 B={x||x−1)<5) A∩B=
x+3
（ ）
A．[1,6) B．(−4,−3)∪[1,6) C．(−∞,−3)∪[1,6)D．(−∞,6)
6．（2025·四川自贡·一模）已知随机变量 ，且 ，则当 时，
ξ~N(1,σ2 ) P(ξ≤−2)=P(ξ≥a) 0<x<a
1 4
+ 的最小值为（ ）
x a−x
9 7 9
A． B．3 C． D．
2 3 4
1
7．（2025·四川泸州·一模）若log (x−2y)=2，则2x+ 的最小值为（ ）
2 4y
A．2❑√3 B．4 C．8 D．3
8．（2026·四川攀枝花·一模）（多选）已知a>0，b>0，且2a+b=1，则（ ）
1 1 2
A．ab有最大值 B． + 有最小值8
8 a b
1
C．2a(b+1)有最大值1 D．4a2+b2有最小值
2
{x2+ y2=4+xy,
)
9．（2025·四川成都·一模）（多选）已知 ， 为正数，且 则（ ）
x y x2+4≥ y2,
y2+4≥x2,
A．xy的最大值为4 B．x+ y的最大值为4
8
C．xy的最小值为 D．x+ y的最小值为2+❑√3
3
10．（2026·四川雅安·一模）（多选）已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为
C: + =1(a>b>0)
a2 b2
F ,F ，点P为C上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
1 2A．当 |PF 1 )+|PF 2 ) =2 时，椭圆 C 的离心率为1；
|F F ) 2
1 2
B．当△PF F 的面积的最大值为2时，椭圆C的长轴长的最小值为4；
1 2
C．已知 A(a,0),B(0,b),O(0,0)，当点P位于第一象限时，四边形OAPB的面积的最大值
❑√2
为 ab；
2
D．已知 ，则直线 与直线 的斜率之积为b2 .
B(0,b),E(0,−b) PB PE
a2
1 1
11．（2025·四川达州·一模）正实数x,y满足x2+4 y2=1，则 + 的最小值是 ．
x 2y
x y
12．（2026·四川巴中·一模）若直线 + =1(a>0，b>0)是圆x2+ y2−2x−2y−7=0的一条对
a b
称轴，则4a+b的最小值是 .
13．（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点
连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线 方程为 ，其两焦点直角坐标系坐标
R y2=❑√4x3+1−x3−1
为F (1,0)和F (−1,0)，动点P是R上一点，则|PF |+|PF |最小值为 .
1 2 1 2
14．（2025·四川成都·一模）在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，侧面PAB⊥侧面PBC，且
PA=2，△ABC的面积为4.若三棱锥P−ABC的各个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最
小值为 .
1 1
15．（2025·四川成都·一模）在锐角△ABC中，若 + =2，则tanA+tanB+tanC
tanB tanC
的最小值是 .
考点3 平面向量
1．（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量 与 平行，则 的值为（ ）
⃗a=(−1,2) ⃗b=(x,−2) x
A．1 B．−1 C．4 D．−4
π
2．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量⃗a与⃗b的夹角为 ， ⃗a=(0,1),|⃗b|=2，则|2⃗a−⃗b|=
6
（ ）
A．2 B．2❑√3C．❑√8−4❑√3 D．❑√8+4❑√3
3．（2026·四川巴中·一模）若 →
e ,
→
e
是夹角 120∘ 的单位向量， ⃗a=2⃗e
1
+⃗e
2
，则 |→
a
)
=
（ ）
1 2
A．❑√5 B．2 C．❑√3 D．❑√2
π
4．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量 ⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,|⃗b|=3，⃗a与⃗b的夹角为 ，则
3
（ ）．
⃗a⋅(⃗a−⃗b)=
A．7 B．1 C．4−3❑√3 D．4+3❑√3
5．（2026·四川宜宾·一模）已知向量
⃗a=(−1,0),⃗b=
(1
,m
)，若
|⃗a+⃗b)=|⃗a)
，则
|⃗b)=
（ ）
2
1 ❑√3
A． B． C．1 D．❑√3
2 2
6．（2025·四川达州·一模）向量 满足 ，则 （
⃗a,⃗b |⃗b)=1,⃗a⋅⃗b=1,(⃗a+2⃗b)⋅(⃗a−2⃗b)=0 |⃗a−⃗b)=
）
1 ❑√3
A． B．1 C． D．❑√3
2 2
7．（2025·四川成都·一模）已知⃗a，⃗b为非零向量，则“存在实数λ，使⃗a=λ⃗b”是“
”的（ ）
|⃗a+⃗b)=|⃗a)+|⃗b)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·四川资阳·一模）如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且⃗BE=2⃗ED，则
（ ）
2 1 2 1
A．⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC B．⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC
3 6 3 31 2 1 1
C．⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC D．⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC
3 3 3 3
9．（2025·四川成都·一模）在平行四边形 中， ⃗ ⃗ →， 是线段DE的中点，连接
ABCD F
BC+3CE=0
BD交AF于O，若⃗AO=m⃗AF，则m=（ ）
3 4 2
A．1 B． C． D．
4 3 3
10．（2025·四川凉山·一模）已知向量 ， 满足 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
⃗a ⃗b |⃗b)=2 ⃗a⋅⃗b=1 ⃗a ⃗b
1 1 3
A． ⃗b B． ⃗b C． ⃗b D．⃗b
4 2 4
11．（2026·四川广安·一模）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集
体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已
知AB=3，BC=1，CD=2，⃗BC⋅⃗CD=−1，且AB//CD，则冰球位移的大小是（ ）
A．❑√31 B．❑√29
C．❑√23 D．❑√21
12．（2025·四川达州·一模）（多选）在△ABC中，三个内角A,B,C对边分别为
a cosA
a,b,c,a=3,⃗BD=2⃗DC， = ，则（ ）
2c−b cosB−2cosC
A．2b=c B．2B=C
1 2
C．⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC D．AD的范围为(0,4)
3 3
13．（2025·四川凉山·一模）（多选）在空间四边形ABCD中，AB=CD=❑√2，
AD=AC=BD=BC=2，则（ ）
1 1
A．若M为CD的中点，则⃗BM=−⃗AB+ ⃗AC+ ⃗AD
2 21
B．直线AD与BC所成角的余弦值为
4
C．AB⊥CD
D．空间四边形ABCD外接球的表面积为5π
14．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量⃗a，⃗b，⃗c均为单位向量，且⃗a−⃗c=⃗b，则⃗a与⃗c的夹角为
．
15．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量 与 均为单位向量， ，则 与 的夹角为
⃗a ⃗b |⃗a−⃗b)=❑√3 ⃗a ⃗b
.
2π
16．（2025·四川自贡·一模）若非零向量 ⃗a、⃗b 的夹角为 ，且 |⃗a)=2|⃗b)，则(⃗a+⃗b)⋅⃗b= ．
3
3
17．（2025·四川资阳·一模）已知向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|=❑√3，|⃗b|=3，⃗a⋅(⃗b−⃗a)= ，向量
2
π
⃗a−⃗c与⃗b−⃗c的夹角为 ，则|⃗c|的最小值是 .
3
18．（2025·四川德阳·一模）点
P
是函数
f (x)=
{ −x+ 4
x
,x>0) 的图象上在
y
轴右侧任意一点，过
P
f (−x),x<0
作直线y=−x的垂线，垂足为M，过P作y轴的垂线与f (x)的图象交于另一点N，则⃗PM⋅⃗PN=
.
19．（2025·四川成都·一模）已知椭圆 x2 y2 的离心率为❑√3，左、右顶点分别为
E: + =1(a>b>0)
a2 b2 2
， ，且 .
A A |A A )=4
1 2 1 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线 与 相交于 ， 两点，求 的值.
l:x−2y−1=0 E P Q ⃗A P⋅⃗A Q
1 1
20．（2026·四川宜宾·一模）记△ABC的内角A､B､C的对边分别为a,b,c，已知
❑√3c=❑√3acosB+asinB.
(1)求角A；
(2)已知BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，且AB=2,AC=4，求∠MPN的余弦值.
21．（2025·四川眉山·一模）在△ABC中，∠ABC=30°，BC上存在一点E，使得AC=BE=1，G为CA的中点.
(1)若BA=2，求△ACE的面积；
(2)若⃗AE在⃗AC上的投影向量为⃗AG，求∠BCA的大小.
22．（2025·四川成都·一模）已知椭圆 ：x2 y2 （ ）的右顶点为 ，离心率为4，
C + =1 a>b>0 (5,0)
a2 b2 5
左、右焦点分别为F 、F ，P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)求 的取值范围.
⃗PF ⋅⃗PF
1 2
