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贵州省遵义三十一中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1．（3 分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=
7
﹣
B．（x+4）2=
9
﹣
C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
3．（3 分）抛物线y=
2
﹣（x+3）2
4
﹣的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3）B．
（﹣4，﹣3）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
4．（3 分）平面直角坐标系内的点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（2，﹣3）C．
（2，3）D．（﹣2，﹣3）
5．（3 分）把抛物线y=3x2向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位，所得的抛物线的解析式
是（ ）
A．y=3（x
2
﹣）2+1 B．y=3（x
2
﹣）2
1
﹣C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2
1
﹣
6．（3 分）函数y=2x2
3x
﹣
+4 经过的象限是（ ）
A．一，二，三象限B．一，二象限C．三，四象限D．一，二，四象限
7．（3 分）一元二次方程x2
2x
﹣
+2=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正根
B．有两个不相等的负根
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
8．（3 分）近年来某市加大了对教育经费的投入，2013 年投入2500 万元，2015 年将投入3600
万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是
（ ）
A．2500x2=3600
B．2500（1+x）2=3600
C．2500（1+x%）2=3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
9．（3 分）如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD
等于（ ）
A．55°
B．45°
C．40°
D．35°
10．（3 分）已知抛物线y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0（ ）
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
11．（3 分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1 上的三点，则y1，y2，y3
的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
12．（3 分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5 个结论：
abc
①
＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac
其中正确的结论的有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二．填空题：（每小题4 分，共24 分）
13．（4 分）抛物线y=
x
﹣2
x
1
﹣﹣的对称轴是 ．
14．（4 分）点A（a
1
﹣，﹣4）与点B（﹣3，1
b
﹣）关于原点对称，则a+b 的值为 ．
15．（4 分）抛物线y=x2
2x
3
﹣
﹣与x 轴的交点坐标为 ．
16．（4 分）已知二次函数y=kx2
7x
7
﹣
﹣的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围 ．
17．（4 分）已知x1，x2是一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根，则
+
= ．
18．（4 分）某商品进货单价为30 元，按40 元一个销售能卖40 个；若销售单价每涨1 元，则销
量减少1 个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 元．
三．（共9 小题，共90 分）
19．（6 分）解方程：x2
4x
1=0
﹣
﹣
．
20．（8 分）已知关于的一元二次方程x2
6x
﹣
+2m
1=0
﹣
有两个相等的实数根，求m 的值及方
程的根．
21．（8 分）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的
解析式．
22．（10 分）用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y 与x 的函数关系式．
（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
23．（10 分）抛物线y=
2x
﹣
2+8x
6
﹣．
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
（3）x 取何值时，y=0；x 取何值时，y＞0；x 取何值时，y＜0．
24．（10 分）宜春三中学校团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心活动，学生踊跃捐款．
初三年级第一天收到捐款1000 元，第三天收到1210 元．
（1）求这两天收到捐款的平均增长率．
（2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？
25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC 绕原点O 旋转180°后的△A2B2C2．
26．（12 分）如图，在△OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB 绕点O 逆时针方向旋转
90°
得到△OA1B1．
（1）线段A1B1的长是 ，∠AOA1的度数是 ；
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）求四边形OAA1B1的面积．
27．
（14 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C
（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 为该抛物线上的一个动点，且在直线AC 上方，当以A，C，D 为顶点的三角形面积
最大时，求点D 的坐标及此时三角形的面积．
贵州省遵义三十一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1．（3 分）（2014•抚州）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与
原图重合．
2．（3 分）（2015 秋•连城县期中）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=
7
﹣
B．（x+4）2=
9
﹣
C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=
9
﹣，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3 分）（2011•苍南县校级一模）抛物线y=
2
﹣（x+3）2
4
﹣的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3）B．
（﹣4，﹣3）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【解答】解：因为y=
2
﹣（x+3）2
4
﹣是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（﹣3，﹣4）．
故选D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
4．（3 分）（2010•綦江县）平面直角坐标系内的点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（
）
A．（3，2）B．（2，﹣3）C．
（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答
即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．
故选B．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐
标系的图形记忆．
5．
（3 分）
（2016 秋•遵义期中）把抛物线y=3x2向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位，所得
的抛物线的解析式是（ ）
A．y=3（x
2
﹣）2+1 B．y=3（x
2
﹣）2
1
﹣C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2
1
﹣
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位y=3（x+2）2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．（3 分）（2009 秋•滁州校级期末）函数y=2x2
3x
﹣
+4 经过的象限是（ ）
A．一，二，三象限B．一，二象限C．三，四象限D．一，二，四象限
【分析】利用公式法先求顶点坐标，再判断经过的象限．
【解答】解：∵y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式为（
，
），
∴y=2x2
3x
﹣
+4 的顶点坐标为（
，
），
而a=2＞0，所以抛物线过第一，二象限．
故选B．
【点评】本题考查抛物线的顶点坐标和开口方向，能确定这两样，抛物线经过的象限就容易确
定了．
7．（3 分）（2010•富顺县校级模拟）一元二次方程x2
2x
﹣
+2=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正根
B．有两个不相等的负根
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】根据根的判别式△=b2
4ac
﹣
的符号来判定一元二次方程x2
2x
﹣
+2=0 的根的情况．
【解答】解：∵一元二次方程x2
2x
﹣
+2=0 的二次项系数a=1，一次项系数b=
2
﹣，常数项c=2，
∴△=b2
4ac=4
8=
4
﹣
﹣
﹣＜0，
∴一元二次方程x2
2x
﹣
+2=0 没有实数根；
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣
4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方
程没有实数根．
8．（3 分）（2016 春•高邮市校级期末）近年来某市加大了对教育经费的投入，2013 年投入
2500 万元，2015 年将投入3600 万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方
程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3600
B．2500（1+x）2=3600
C．2500（1+x%）2=3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
【分析】设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据：2013 年投入资金给×（1+x）2=2015
年投入资金，列出方程即可．
【解答】解：设该市投入教育经费的年平均增长率为x，
根据题意，可列方程：2500（1+x）2=3600，
故选：B．
【点评】本题主要考查根据实际问题列方程的能力，在解决实际问题时，要全面、系统地申清
问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知
数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．（3 分）（2008•无锡）如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置，已知
∠AOB=45°，则∠AOD 等于（ ）
A．55°
B．45°
C．40°
D．35°
【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角
∠BOD 即为旋转角，利用角的和差关系求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知，D 和B 为对应点，∠DOB 为旋转角，即∠DOB=80°，
所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°
45°=35°
﹣
．
故选：D．
【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与
旋转中心连线所构成的旋转角相等．
10．（3 分）（2016 秋•遵义期中）已知抛物线y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一元二次方程
ax2+bx+c=0（ ）
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
【分析】首先根据图象求出抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点横坐标取值范围，进而写
出一元二次方程ax2+bx+c=0 的解的情况．
【解答】解：由图可知：抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点横坐标的取值范围是0＜x1＜
1，2＜x2＜3，
则一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个实根，且一根小于1，一根大于2．
故选D．
【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题的知识，根据抛物线与x 轴的交点求出一元二
次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
11．（3 分）（2016 秋•秀峰区校级期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣
（x+1）2+1 上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A 的对称点A′，再利用二次函数的增
减性可判断y 值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+1，
∴对称轴是x=
1
﹣，
∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致
图象，
12．（3 分）（2016 秋•秀峰区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列
5 个结论：
abc
①
＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac
其中正确的结论的有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点
抛物线与x 轴交点的个数确定解答．
【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y 轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣
＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣
=1，
则b=
2a
﹣
，
∵a
b
﹣+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵b=
2a
﹣
，
∴2a+b=0，④正确；
∴b2
4ac
﹣
＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线
开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．
二．填空题：（每小题4 分，共24 分）
13．（4 分）（2012•沈河区模拟）抛物线y=
x
﹣2
x
1
﹣﹣的对称轴是 直线
x=﹣
．
【分析】根据抛物线对称轴公式进行计算即可得解．
【解答】解：对称轴为直线x=﹣
=﹣
=﹣
，
即直线x=﹣
故答案为：直线x=﹣
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，比较简单．
14．（4 分）（2016 秋•遵义期中）点A（a
1
﹣，﹣4）与点B（﹣3，1
b
﹣）关于原点对称，则a+b 的
值为
1
．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”列方程求出a、b 的值，然
后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（a
1
﹣，﹣4）与点B（﹣3，1
b
﹣）关于原点对称，
∴a
1=3
﹣
，1
b=4
﹣
，
解得a=4，b=
3
﹣，
所以，a+b=4+（﹣3）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相
反数．
15．（4 分）（2015 秋•淅川县期末）抛物线y=x2
2x
3
﹣
﹣与x 轴的交点坐标为 （
3 ，
0 ），（﹣
1 ，
0 ）
．
【分析】要求抛物线与x 轴的交点，即令y=0，解方程．
【解答】解：令y=0，则x2
2x
3=0
﹣
﹣
，
解得x=3 或x=
1
﹣．
则抛物线y=x2
2x
3
﹣
﹣与x 轴的交点坐标是（3，0），（﹣1，0）．
故答案为（3，0），（﹣1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x
轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．
16．（4 分）（2015•铁力市二模）已知二次函数y=kx2
7x
7
﹣
﹣的图象和x 轴有交点，则k 的取
值范围
k ≥
﹣
且
k ≠
0
．
【分析】由于二次函数与x 轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2
7x
7=0
﹣
﹣
中，
△≥0，解不等式即可求出k 的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．
【解答】解：∵二次函数y=kx2
7x
7
﹣
﹣的图象和x 轴有交点，
∴
，
∴k≥﹣
且k≠0．
故答案为k≥﹣
且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，不仅要熟悉二次函数与x 轴的交点个数与判别式的
关系，还要会解不等式．
17．（4 分）（2016•遵义）已知x1，x2是一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根，则
+
= ﹣
2
．
【分析】利用韦达定理求得x1+x2=2，x1•x2=
1
﹣，然后将其代入通分后的所求代数式并求值．
【解答】解：∵一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根为x1、x2，
x1+x2=2，
x1•x2=
1
﹣，
∴
+
=
=
2
﹣．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一
种经常使用的解题方法．
18．（4 分）（2016 秋•遵义期中）某商品进货单价为30 元，按40 元一个销售能卖40 个；若销
售单价每涨1 元，则销量减少1 个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为
55
元．
【分析】根据题意，总利润=销售量×每个利润，设售价为x 元，总利润为W 元，则销售量为40
1
﹣×（x
40
﹣
），每个利润为（x
30
﹣
），据此表示总利润，利用配方法可求最值．
【解答】解：设售价为x 元，总利润为W 元，
则W=（x
30
﹣
）[40
1
﹣×（x
40
﹣
）]=
x
﹣2+110x
2400=
﹣
﹣（x
55
﹣
）2+100，
则x=55 时，获得最大利润为100 元，
故答案为：55．
【点评】本题考查二次函数的应用、构建二次函数是解决问题的关键，搞清楚利润、销售量、成
本、售价之间的关系，属于中考常考题型．
三．（共9 小题，共90 分）
19．（6 分）（2011•清远）解方程：x2
4x
1=0
﹣
﹣
．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2
4x
1=0
﹣
﹣
，
∴x2
4x=1
﹣
，
∴x2
4x
﹣
+4=1+4，
∴（x
2
﹣）2=5，
∴x=2±
，
∴x1=2+
，x2=2﹣
．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方
法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．
20．（8 分）（2016 秋•遵义期中）已知关于的一元二次方程x2
6x
﹣
+2m
1=0
﹣
有两个相等的实
数根，求m 的值及方程的根．
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m 的值，即可确定原一元二次方程，
进而可求出方程的根．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2
6x
﹣
+2m
1=0
﹣
有两个相等的实数根，
∴△=b2
4ac=
﹣
（﹣6）2
4
﹣×1×（2m
1
﹣）=36
8m
﹣
+4=40
8m=0
﹣
，
∴m=5，
∴关于x 的一元二次方程是x2
6x
﹣
+9=0，
∴（x
3
﹣）2=0，
解得x1=x2=3．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
也考查了一元二次方程的解法．
21．（8 分）（2014 秋•静宁县期末）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，
﹣5），求此二次函数的解析式．
【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，4），设抛物线的顶点式为y=a（x
1
﹣）2+4（a≠0），将点
（﹣2，﹣5）代入求a 即可．
【解答】解：设此二次函数的解析式为y=a（x
1
﹣）2+4（a≠0）．
∵其图象经过点（﹣2，﹣5），
∴a（﹣2
1
﹣）2+4=
5
﹣，
∴a=
1
﹣，
∴y=﹣（x
1
﹣）2+4=
x
﹣2+2x+3．
【点评】本题考查了用顶点式求抛物线解析式的一般方法，必须熟练掌握抛物线解析式的几
种形式．
22．（10 分）（2014 秋•景洪市校级期末）用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长
为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y 与x 的函数关系式．
（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20
2x
﹣
）．根据面积公式即可解答．
（2）把函数解析式用配方法化简，得出y 的最大值．
【解答】解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10
x
﹣）．
则y=x（10
x
﹣）化简可得y=
x
﹣2+10x
（2）y=10x
x
﹣2=﹣（x2
10x
﹣
）=﹣（x
5
﹣）2+25，
所以当x=5 时，矩形的面积最大，最大为25cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．
23．（10 分）（2016 秋•遵义期中）抛物线y=
2x
﹣
2+8x
6
﹣．
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
（3）x 取何值时，y=0；x 取何值时，y＞0；x 取何值时，y＜0．
【分析】（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐
标和对称轴；
（2）由对称轴x=
2
﹣，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函
数值的符号与x 的取值范围的对应关系．
【解答】解：（1）∵y=
2x
﹣
2+8x
6=
2
﹣
﹣（x
2
﹣）2+2，
∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2；
（2）∵a=
2
﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴当x＞2 时，y 随x 的增大而减小；
（3）令y=0，即﹣2x2+8x
6=0
﹣
，解得x=1 或3，抛物线开口向下，
∴当x=1 或x=3 时，y=0；
当1＜x＜3 时，y＞0；
当x＜1 或x＞3 时，y＜0．
【点评】本题考查了抛物线和x 轴交点的问题，对于抛物线顶点坐标，与x 轴的交点坐标的求
法及其运用，必须熟练掌握．
24．（10 分）（2016 秋•遵义期中）宜春三中学校团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心
活动，学生踊跃捐款．初三年级第一天收到捐款1000 元，第三天收到1210 元．
（1）求这两天收到捐款的平均增长率．
（2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？
【分析】（1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为10000（1+x）2元，根据第三天的捐
款数量为12100 元建立方程求出其解即可．
（2）根据（1）求出的增长率列式计算即可．
【解答】解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=
2.1
﹣
（舍去）．
则x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元）．
答：第四天该校能收到的捐款是13310 元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方
程，注意把不合题意的解舍去．
25．（12 分）（2016 秋•遵义期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC 绕原点O 旋转180°后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出点A、B、C 的对称点A1、B1、C1的坐标，
然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C 的对称点A2、B2、C2的坐标，然后描点
即可得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应点的连线段的夹角都等于旋
转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到
对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
26．（12 分）（2016 秋•秀峰区校级期中）如图，在△OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将
△OAB 绕点O 逆时针方向旋转90°
得到△OA1B1．
（1）线段A1B1的长是
6
，∠AOA1的度数是
90°
；
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）求四边形OAA1B1的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质即可直接求解；
（2）根据旋转的性质以及平行线的判定定理证明B1A1∥OA 且A1B1=OA 即可证明四边形
OAA1B1是平行四边形；
（3）利用平行四边形的面积公式求解．
【解答】解：（1）A1B1=AB=6，∠AOA1=90°．
故答案是：6，90°；
（2）∵A1B1=AB=6，OA1
OA=6
﹣
，∠OA1B1=∠OAB=90°，∠AOA1=90°，
∴∠OA1B1=∠AOA1，A1B1=OA，
∴B1A1∥OA，
∴四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）S=OA•A1O=6×6=36．
即四边形OAA1B1的面积是36．
【点评】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定和面积公式，证明B1A1∥OA 是关键．
27．（14 分）（2016 秋•遵义期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣4，0），B
（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 为该抛物线上的一个动点，且在直线AC 上方，当以A，C，D 为顶点的三角形面积
最大时，求点D 的坐标及此时三角形的面积．
【分析】（1）根据A 与B 坐标设出抛物线解析式，将C 坐标代入即可求出；
（2）过点D 作DH⊥AB 于点H，交直线AC 于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数
法求出直线AC 解析式，设D 横坐标为m，则有G 横坐标也为m，表示出DH 与GH，由DH﹣
GH 表示出DG，三角形ADC 面积=三角形ADG 面积+三角形DGC 面积，表示出面积与m 的
关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m 的值，即此时D 的坐标即可．
【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x
2
﹣），
把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣
，
则抛物线解析式为y=﹣
（x+4）（x
2
﹣）=﹣
x2﹣
x+2；
（2）过点D 作DH⊥AB 于点H，交直线AC 于点G，连接DC，AD，如图所示，
设直线AC 解析式为y=kx+t，则有
，
解得：
，
∴直线AC 解析式为y=
x+2，
设点D 的横坐标为m，则G 横坐标也为m，
∴DH=﹣
m2﹣
m+2，GH=
m+2，
∴DG=﹣
m2﹣
m+2﹣
m
2=
﹣
﹣
m2
m
﹣，
∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=
DG•AH+
DG•OH=
DG•AO=2DG=﹣
m2
2m=
﹣
﹣（m2+4m）=
﹣
[（m+2）2
4
﹣]=﹣
（m+2）2+2，
当m=
2
﹣时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣
×（﹣2）2﹣
×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数解析
式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
