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2021 年贵州省贵阳市中考数学试卷
一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D 四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B 铅笔
在答题卡相应位置作答,每小题3 分,共36 分.
1．在﹣1，0，1，
四个实数中，大于1 的实数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．
2．下列几何体中，圆柱体是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交
水稻种植面积达2.4 亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000 人．将80000000 这个数
用科学记数法可表示为8×10n，则n 的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x 这三个号码，这些球除号码外都相
同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x 的值可能是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．计算
的结果是（ ）
A．
B．
C．1
D．﹣1
6．今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁
毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80 分，小星所在班级学生的平均成绩是
85 分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低
B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同
D．小红的分数可能比小星的分数高
7．如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B 为圆心，以b 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D．
②作直线CD．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．
则b 的长可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，已知数轴上A，B 两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a
B．a﹣b
C．a+b
D．﹣a﹣b
9．如图，⊙O 与正五边形ABCDE 的两边AE，CD 相切于A，C 两点，则∠AOC 的度数是
（ ）
A．144°
B．130°
C．129°
D．108°
10．已知反比例函数y＝
（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B
两点，若点A 的坐标是（1，2），则点B 的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（﹣1，﹣2）
D．（2，1）
11．如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E，∠BCD 的平分线交AD 于点F，
若AB＝3，AD＝4，则EF 的长是（ ）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
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2
12．小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7 条不同的直线y＝
knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7 条直线的
交点个数最多是（ ）
A．17 个
B．18 个
C．19 个
D．21 个
二、填空题:每小题4 分,共16 分
13．（4 分）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
14．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 对角线的交点坐标是O（0，0），
点B 的坐标是（0，1），且BC＝
，则点A 的坐标是 ．
15．（4 分）贵阳市2021 年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，
并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同
一组的概率是 ．
16．（4 分）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶
点都在正方形边上．小红利用两张边长为2 的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大
的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是
．
三、解答题:本大题9 小题,共98 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12 分）（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两
个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步
＝a+a2﹣a2﹣1……第二步
＝a﹣1……第三步
小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
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18．（10 分）2020 年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变
化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供
的信息回答下列问题：
贵州省历次人口普查城镇人口统计表
年份
1953
1961
1982
1990
2000
2010
2020
城镇人口（万
人）
110
204
540
635
845
1175
2050
城镇化率
7%
12%
19%
20%
24%
a
53%
（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是 万人；
（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的
一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010 年的城镇化率a 是 （结果
精确到1%）；假设未来几年我省城乡总人口数与2020 年相同，城镇化率要达到60%，
则需从乡村迁入城镇的人口数量是 万人（结果保留整数）；
（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．
19．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为
N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN 的面积．
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20．（10 分）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝
（m﹣
1≠0）的图象交于点C，与x 轴交于点A，过点C 作CB⊥y 轴，垂足为B，若S△ABC＝
3．
（1）求点A 的坐标及m 的值；
（2）若AB＝2
，求一次函数的表达式．
21．（10 分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人
机来测量广场B，C 两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B 处遥控无人机，无
人机在A 处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C 处的俯角为63°，
他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C
在同一平面内）．
（1）求仰角α 的正弦值；
（2）求B，C 两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89 ，cos63°≈0.45 ，tan63°≈1.96 ，sin27°≈0.45 ，cos27°≈0.89 ，
tan27°≈0.51）
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22．（10 分）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”
文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5 倍，广告公司
制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间
（小时）
1
制作一件产品所获利润
（元）
20
3
10
（1）若制作三种产品共计需要25 小时，所获利润为450 元，求制作展板、宣传册和横
幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700 元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最
小值．
23．（12 分）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是
的中点，过
点E 作AB 的垂线，交AB 于点M，交⊙O 于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM 与BE 的数量关系是 ；
（2）求证：
＝
；
（3）若AM＝
，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
24．（12 分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为
抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B 到水面的距离是
4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
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（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥
下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头
顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x 轴下
方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移
m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9 时，y 的值随x 值的增大而减小，
结合函数图象，求m 的取值范围．
25．（12 分）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心
O，作FG⊥HP，将它分成4 份，所分成的四部分和以BC 为边的正方形恰好能拼成以
AB 为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF 的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别
向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N 的边长
为定值n，小正方形A，B，C，D 的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b 与c 的关系式，并写出
该关系式及解答过程（b 与c 的关系式用含n 的式子表示）．
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2021 年贵州省贵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D 四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B 铅笔
在答题卡相应位置作答,每小题3 分,共36 分.
1．在﹣1，0，1，
四个实数中，大于1 的实数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
【解答】解：∵﹣1 是负数，
∴﹣1＜1，
∵0＜1，
≈1.414，
∴大于1 的实数是
．
故选：D．
2．下列几何体中，圆柱体是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等
的特征解答即可．
【解答】解：A、这个几何体是圆锥，故本选项不符合题意；
B、这个几何体是圆台，故本选项不符合题意；
C、这个几何体是圆柱，故本选项符合题意；
D、这个几何体是棱台，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交
水稻种植面积达2.4 亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000 人．将80000000 这个数
用科学记数法可表示为8×10n，则n 的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
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同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：∵80000000＝8×107，
∴n＝7，
故选：B．
4．“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x 这三个号码，这些球除号码外都相
同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x 的值可能是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【解答】解：根据题意可得，x 的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码
小于5”是必然事件相违背．
故选：A．
5．计算
的结果是（ ）
A．
B．
C．1
D．﹣1
【分析】根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式＝
＝1，
故选：C．
6．今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁
毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80 分，小星所在班级学生的平均成绩是
85 分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低
B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同
D．小红的分数可能比小星的分数高
【分析】根据平均数的定义进行分析即可求解．
【解答】解：根据平均数的定义可知，已知小红所在班级学生的平均成绩是80 分，小
星所在班级学生的平均成绩是85 分，在不知道小红和小星成绩的情况下，
小红的分数可能高于80 分，或等于80 分，也可能低于80 分，小星的分数可能高于85
分，或等于85 分，也可能低于85 分，
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所以上列说法比较合理的是小红的分数可能比小星的分数高．
故选：D．
7．如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B 为圆心，以b 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D．
②作直线CD．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．
则b 的长可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】利用基本作图得到b＞
AB，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得b＞
AB，
即b＞3，
故选：D．
8．如图，已知数轴上A，B 两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a
B．a﹣b
C．a+b
D．﹣a﹣b
【分析】根据各点在数轴上的位置，利用绝对值的性质，把|b|，|a|化简即可．
【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴|b|﹣|a|＝b+a，
故选：C．
9．如图，⊙O 与正五边形ABCDE 的两边AE，CD 相切于A，C 两点，则∠AOC 的度数是
（ ）
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A．144°
B．130°
C．129°
D．108°
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝
∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD 分别与⊙O 相切于A、C 两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
10．已知反比例函数y＝
（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B
两点，若点A 的坐标是（1，2），则点B 的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（﹣1，﹣2）
D．（2，1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原
点对称．
【解答】解：根据题意，知
点A 与B 关于原点对称，
∵点A 的坐标是（1，2），
∴B 点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
11．如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E，∠BCD 的平分线交AD 于点F，
若AB＝3，AD＝4，则EF 的长是（ ）
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A．1
B．2
C．2.5
D．3
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF 和ED 的长，然
后可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF 平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
12．小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7 条不同的直线y＝
knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7 条直线的
交点个数最多是（ ）
A．17 个
B．18 个
C．19 个
D．21 个
【分析】由k1＝k2得前两条直线无交点，b3＝b4＝b5得第三到五条有1 个交点，然后第6
条线与前5 条线最多有5 个交点，第7 条线与前6 条线最多有6 个交点求解．
【解答】解：∵k1＝k2，b3＝b4＝b5，
∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5）中，
直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2无交点，y＝k3x+b3与y＝k4x+b4与y＝k5x+b5有1 个交点，
∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5）最多有交点2×3+1＝7 个，
第6 条线与前5 条线最多有5 个交点，
第7 条线与前6 条线最多有6 个交点，
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∴交点个数最多为7+5+6＝18．
故选：B．
二、填空题:每小题4 分,共16 分
13．（4 分）二次函数y＝x2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．
【分析】由二次函数图象开口方向和系数a 之间的关系得出结论．
【解答】解：由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
故答案为：向上．
14．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 对角线的交点坐标是O（0，0），
点B 的坐标是（0，1），且BC＝
，则点A 的坐标是 （
2 ，
0 ）
．
【分析】根据菱形性质得OC 的长，因而得点C 的坐标，根据对称性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B 的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC 中，BC＝
，
∴OC＝
＝2，
∴点C 的坐标（﹣2，0），
∵OA 与OC 关于原点对称，
∴点A 的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
15．（4 分）贵阳市2021 年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，
并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同
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一组的概率是
．
【分析】画树状图，共有12 种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4 种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为
＝
，
故答案为：
．
16．（4 分）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶
点都在正方形边上．小红利用两张边长为2 的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大
的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是
2
﹣
2
，
2
．
【分析】设△DEF 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点必落
在正方形的三条边上，所以令F、G 两点在正方形的一组对边上，作FG 边上的高为
EK，垂足为K，连接KA，KD，可证E、K、D、G 四点共圆，则∠KDE＝∠KGE＝
60°，同理∠KAE＝60°，可证△KAD 也是一个正三角形，则K 必为一个定点，再分别求
边长的最大值与最小值．
【解答】解：如图，设△DEF 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，
作正△DEF 的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG＝∠EDG＝90°，
∴E、K、D、G 四点共圆，
∴∠KDE＝∠KGE＝60°，
同理∠KAE＝60°，
∴△KAD 是一个正三角形，
则K 必为一个定点，
∵正三角形面积取决于它的边长，
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∴当FG⊥AB，边长FG 最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，
当FG 过B 点时，即F'与点B 重合时，边长最大，面积也最大，
此时作KH⊥BC 于H，
由等边三角形的性质可知，
K 为FG 的中点，
∵KH∥CD，
∴KH 为三角形F'CG'的中位线，
∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2
，
∴F'G'＝
＝
＝
＝2
﹣2
，
故答案为：2
﹣2
，2．
三、解答题:本大题9 小题,共98 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12 分）（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两
个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步
＝a+a2﹣a2﹣1……第二步
＝a﹣1……第三步
小红的解答从第 一 步开始出错，请写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据题意，挑选两个不等式，组成不等式组．然后解之即可．
（2）应用完全平方公式错误．
【解答】（1）解：第一种组合：
，
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解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＜﹣3
∴原不等式组的解集是x＜﹣3；
第二种组合：
，
解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
第三种组合：
，
解不等式①，得x＜﹣3，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
（任选其中一种组合即可）；
（2）一，
解：a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）
＝a+a2﹣a2+2a﹣1
＝3a﹣1．
故答案为一．
18．（10 分）2020 年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变
化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供
的信息回答下列问题：
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17
贵州省历次人口普查城镇人口统计表
年份
1953
1961
1982
1990
2000
2010
2020
城镇人口（万
人）
110
204
540
635
845
1175
2050
城镇化率
7%
12%
19%
20%
24%
a
53%
（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是
2300
万人；
（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的
一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010 年的城镇化率a 是
34%
（结果精
确到1%）；假设未来几年我省城乡总人口数与2020 年相同，城镇化率要达到60%，则
需从乡村迁入城镇的人口数量是
271
万人（结果保留整数）；
（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．
【分析】（1）根据中位数的定义即可解答．
（2）用2010 年的城镇人口数除以2010 年的人口总数可得2010 年的城镇化率a，用
2020 我省城乡总人口数乘以60%减去现有城镇人口数即可解答．
（3）根据表格中的城镇化率即可解答．
【解答】解：（1）这七次人口普查乡村人口数从小到大排列为：1391，1511，1818，
2300，2315，2616，2680，
∴中位数是第四个数2300，
故答案为：2300；
（2）1175÷（2300+1175）×100%≈34%，
（2050+1818）×60%﹣2050≈271（万人），
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18
故答案为：34%，271；
（3）随着年份的增加，城镇化率越来越高．
19．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为
N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN 的面积．
【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用
AAS 证得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD＝BN＝2，AN＝4，从而利用勾股定理求得AB 的长，
利用S 四边形BCMN＝S 矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD求得答案即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD 中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD 和△ABN 中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN 中，AB＝
＝
＝2
，
∴S 矩形ABCD＝2×2
＝4
，S△ABN＝S△MAD＝
×2×4＝4，
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19
∴S 四边形BCMN＝S 矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4
﹣8．
20．（10 分）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝
（m﹣
1≠0）的图象交于点C，与x 轴交于点A，过点C 作CB⊥y 轴，垂足为B，若S△ABC＝
3．
（1）求点A 的坐标及m 的值；
（2）若AB＝2
，求一次函数的表达式．
【分析】（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，所以x＝2，得到A（2，0），设C（a，b），因
为BC⊥y 轴，所以B（0，b），BC＝﹣a，因为△ABC 的面积为3，列出方程得到ab＝
﹣6，所以m﹣1＝﹣6，所以m＝﹣5；
（2）因为AB＝2
，在直角三角形AOB 中，利用勾股定理列出方程，得到b2+4＝8，
得到b＝2，从而C（﹣3，2），将C 坐标代入到一次函数中即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
设C（a，b），
∵CB⊥y 轴，
∴B（0，b），
∴BC＝﹣a，
∵S△ABC＝3，
∴
，
∴ab＝﹣6，
∴m﹣1＝ab＝﹣6，
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20
∴m＝﹣5，
即A（2，0），m＝﹣5；
（2）在Rt△AOB 中，AB2＝OA2+OB2，
∵
，
∴b2+4＝8，
∴b2＝4，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴a＝﹣3，
∴C（﹣3，2），
将C 代入到直线解析式中得k＝
，
∴一次函数的表达式为
．
21．（10 分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人
机来测量广场B，C 两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B 处遥控无人机，无
人机在A 处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C 处的俯角为63°，
他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C
在同一平面内）．
（1）求仰角α 的正弦值；
（2）求B，C 两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89 ，cos63°≈0.45 ，tan63°≈1.96 ，sin27°≈0.45 ，cos27°≈0.89 ，
tan27°≈0.51）
【分析】（1）如图，过A 点作AD⊥BC 于D，过E 点作EF⊥AD 于F，利用四边形
BDFE 为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正切的定义求解；
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21
（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD 中利用正切的定义计算出CD，
然后计算BD+CD 即可．
【解答】解：（1）如图，过A 点作AD⊥BC 于D，过E 点作EF⊥AD 于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE 为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），
在Rt△AEF 中，sin∠AEF＝
＝
＝
，
即sinα＝
．
答：仰角α 的正弦值为
；
（2）在Rt△AEF 中，EF＝
＝
＝30（m），
在Rt△ACD 中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，
∵tan∠ACD＝
，
∴CD＝
＝
≈21.22（m），
∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．
答：B，C 两点之间的距离约为51m．
22．（10 分）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”
文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5 倍，广告公司
制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
展板
宣传册
横幅
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22
制作一件产品所需时间
（小时）
1
制作一件产品所获利润
（元）
20
3
10
（1）若制作三种产品共计需要25 小时，所获利润为450 元，求制作展板、宣传册和横
幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700 元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最
小值．
【分析】（1）设制作展板数量为x 件，横幅数量为y 件，则宣传册数量为5x 件，根据
题意列出二元一次方程组即可；
（2）根据三种产品的利润之和等于700 列出函数关系式，然后根据一次函数的性质求
出最小值．
【解答】解：（1）设制作展板数量为x 件，横幅数量为y 件，则宣传册数量为5x 件，
由题意得：
，
解得：
，
答：制作展板数量10 件，宣传册数量50 件，横幅数量10 件；
（2）设制作种产品总量为w 件，展板数量m 件，则宣传册数量5m 件，横幅数量（w﹣
6m）件，
由题意得：20m+3×5m+10（w﹣6m）＝700，
解得：w＝
m+70，
∴w 是m 的一次函数，
∵k＝
，
∴w 随m 的增加而增加，
∵三种产品均有制作，且w，m 均为正整数，
∴当m＝2 时，w 有最小值，则wmin＝75，
答：制作三种产品总量的最小值为75 件．
23．（12 分）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是
的中点，过
点E 作AB 的垂线，交AB 于点M，交⊙O 于点N，分别连接EB，CN．
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23
（1）EM 与BE 的数量关系是
BE
＝
EM
；
（2）求证：
＝
；
（3）若AM＝
，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME 是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到
＝
，
根据题意得到
＝
，进一步得到
＝
；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB 是等边三角
形，则OE＝BE＝
，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面
积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC 为⊙O 的直径，点E 是
的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME 是等腰直角三角形，
∴BE＝
EM，
故答案为BE＝
EM；
（2）连接EO，AC 是⊙O 的直径，E 是
的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝
∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴
＝
，
∵点E 是
的中点，
∴
＝
，
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∴
＝
，
∴
﹣
＝
﹣
，
∴
＝
；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝
EM，
∴BE＝
，
∵在Rt△AEM 中，EM＝1，AM＝
，
∴tan∠EAB＝
＝
，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝
∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB 是等边三角形，
∴OE＝BE＝
，
又∵
＝
，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S 扇形OCN＝
＝
，S△OCN＝
CN•
CN＝
×
＝
，
∴S 阴影＝S 扇形OCN﹣S△OCN＝
﹣
．
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24．（12 分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为
抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B 到水面的距离是
4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥
下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头
顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x 轴下
方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移
m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9 时，y 的值随x 值的增大而减小，
结合函数图象，求m 的取值范围．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点
式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68 比
较即可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m 各单位，根据二次函数的性
质求出m 的取值范围．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m，桥拱顶点B 到水面的距离是
4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
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设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣
，
∴二次函数的表达式为y＝﹣
（x﹣4）2+4，
即y＝﹣
x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O 点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O 点距离为0.4+
×1.2＝1，
∴将＝1 代入y＝﹣
x2+2x，
解得：y＝
＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣
x2+2x 在x 轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x 轴成轴对
称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4 或x≥8 时，y 的值随x 值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m 个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，
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∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m 或x≥8+m 时，y 的值随x 值的增大而减小，
∴当8≤x≤9 时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，
得m 的取值范围是：
①m≤8 且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0 不符合题意，舍去，
综上所述，m 的取值范围是5≤m≤8．
25．（12 分）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心
O，作FG⊥HP，将它分成4 份，所分成的四部分和以BC 为边的正方形恰好能拼成以
AB 为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF 的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别
向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N 的边长
为定值n，小正方形A，B，C，D 的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b 与c 的关系式，并写出
该关系式及解答过程（b 与c 的关系式用含n 的式子表示）．
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【分析】（1）由题意得4△ADE 的面积+正方形EFGH 的面积＝正方形ABCD 是面积，
即4×
ab+（b﹣a）2＝c2，整理即可；
（2）设EF＝a，FD＝b，则a+b＝12 ①，再由题意得E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝
5，则a﹣b＝5 ②，由①②求出a＝
即可；
（3）设正方形E 的边长为e，正方形F 的边长为f，证△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，得
＝
，
＝
，则e2＝cn，f2＝bn，再由勾股定理得：e2+f2＝n2，则cn+bn＝n2，即可
得出结论．
【解答】解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证
明如下：
∵如图①是由直角边长分别为a，b 的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣
a）的小正方形拼成的一个边长为c 的大正方形，
∴4△ADE 的面积+正方形EFGH 的面积＝正方形ABCD 是面积，
即4×
ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE 被分成4 个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
∴a+b＝12 ①，
∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4 个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
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∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5 ②，
由①②得：
，
解得：a＝
，
∴EF＝
；
（3）c+b＝n，理由如下：
如图③所示：
设正方形E 的边长为e，正方形F 的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，
∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，
∴
＝
，
＝
，
即
＝
，
＝
，
∴e2＝cn，f2＝bn，
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，
∴cn+bn＝n2，
∴c+b＝n．
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