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2021 年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）本题每小题均有A、B、C、
D 四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．2021 年2 月25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严
宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的
伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899 万农村贫困人口全部脱贫，创造
了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000 用科学记数法表示为（ ）
A．9.899×106
B．98.99×107
C．9.899×108
D．9.899×107
2．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．有6 位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的
中位数是（ ）
A．130
B．132
C．131
D．140
4．下列等式正确的是（ ）
A．|﹣3|+tan45°＝﹣2
B．（xy）5÷（
）5＝x10
C．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2
D．x3y﹣xy3＝xy（x+y）（x﹣y）
5．直线AB、BC、CD、EG 如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（
）
A．AB∥CD
B．∠EBF＝40°
C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地
铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一
种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
7．不等式组
的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线y＝kx+2 过一、二、三象限，则直线y＝kx+2 与抛物线y＝x2﹣2x+3 的交点个
数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或2 个
9．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交AC、AB 于点D、E．
步骤2：分别以点D、E 为圆心，大于
DE 的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM 交BC 于点F．
则AF 的长为（ ）
A．6
B．3
C．4
D．6
10．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k 与x 轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝
a（x﹣h﹣m）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（ ）
A．5
B．﹣1
C．5 或1
D．﹣5 或﹣1
二、填空题：（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
11．要使分式
有意义，则x 的取值范围是 ．
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2
12．计算（
+
）（
﹣
）＝ ．
13．若甲、乙两人参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
甲：6，7，8，9，10；
乙：7，8，8，8，9．
则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是 （填甲或乙）．
14．如图，矩形ABOC 的顶点A 在反比例函数y＝
的图象上，矩形ABOC 的面积为3，则
k＝ ．
15．如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是
16．观察下列各项：1
，2
，3
，4
，…，则第n 项是 ．
17．如图，将边长为1 的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部
分的面积是 ．
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3
18．如图，E、F 分别是正方形ABCD 的边AB、BC 上的动点，满足AE＝BF，连接CE、
DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG 的最小值为
．
三、解答题：（本大题共4 个小题，每小题10 分，共40 分，要有解题的主要过程）
19．（10 分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每
辆售价为22（万元）时，每月可销售4 辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．
通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种
函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1 ）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1 与x 的关系式y1 ＝
；
（2）每辆原售价为22 万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价
﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？
最大利润是多少？
20．（10 分）如图，AB 交CD 于点O，在△AOC 与△BOD 中，有下列三个条件：①OC
＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能
作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．
（1）你选的条件为 、 ，结论为 ；
（2）证明你的结论．
21．（10 分）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，
调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，
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4
要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制
成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级
频数
频率
A
20
0.4
B
15
b
C
10
0.2
D
a
0.1
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了
解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5 个学生，其中3 男2 女，计划在这5
个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学
生中至少有一个女生的概率．
22．（10 分）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，
某天上午9 时太阳光线从山顶点A 处照射到住宅的点E 外．在点A 处测得点E 的俯角
∠EAM＝45°，上午10 时太阳光线从山顶点A 处照射到住宅点F 处，在点A 处测得点F
的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，
不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10 时太阳光线照射到
该层楼的外墙？（
≈1.73）
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四、（本大题满分12 分）
23．（12 分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B 两种型号的机器人来搬运货
物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天多搬运20 吨，并且3 台A 型机器人和2
台B 型机器人每天共搬运货物460 吨．
（1）求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A 型机器人售价3 万元，每台B 型机器人售价2 万元，该公司计划采购A、B
两种型号的机器人共20 台，必须满足每天搬运的货物不低于1800 吨，请根据以上要求，
求出A、B 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
五、（本大题满分12 分）
24．（12 分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠CAB 的平分线交BC 于
点D，交⊙O 于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB 的延长线于点F．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O 的半径和AD 的长．
六、（本大题满分14 分）
25．（14 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6
cm，AC＝12cm．点P 是CA 边
上的一动点，点P 从点C 出发以每秒2cm 的速度沿CA 方向匀速运动，以CP 为边作等
边△CPQ（点B、点Q 在AC 同侧），设点P 运动的时间为x 秒，△ABC 与△CPQ 重叠
部分的面积为S．
（1）当点Q 落在△ABC 内部时，求此时△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积S（用含x 的
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6
代数式表示，不要求写x 的取值范围）；
（2）当点Q 落在AB 上时，求此时△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积S 的值；
（3）当点Q 落在△ABC 外部时，求此时△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积S（用含x 的
代数式表示）．
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2021 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）本题每小题均有A、B、C、
D 四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．2021 年2 月25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严
宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的
伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899 万农村贫困人口全部脱贫，创造
了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000 用科学记数法表示为（ ）
A．9.899×106
B．98.99×107
C．9.899×108
D．9.899×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故选：D．
2．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：如图所示的正三棱柱，其主视图是矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
故选：A．
3．有6 位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的
中位数是（ ）
A．130
B．132
C．131
D．140
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：这组数据从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为
＝
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8
131，
故选：C．
4．下列等式正确的是（ ）
A．|﹣3|+tan45°＝﹣2
B．（xy）5÷（
）5＝x10
C．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2
D．x3y﹣xy3＝xy（x+y）（x﹣y）
【分析】利用分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式、特殊角的三角函数求解即
可．
【解答】解：A．|﹣3|+tan45°＝3+1＝4，故A 不符合题意；
B．（xy）5÷（
）5＝x5y5÷
＝x5y5•
＝y10，故B 不符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C 不符合题意；
D．x3y﹣xy3＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y），故D 符合题意；
故选：D．
5．直线AB、BC、CD、EG 如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（
）
A．AB∥CD
B．∠EBF＝40°
C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE
【分析】根据平行线的判定、对顶角相等及三角形的外角定理求解判断即可得解．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝80°，
∴AB∥CD，
故A 正确，不符合题意；
∵∠3＝40°，
∴∠EFB＝∠3＝40°，
∵∠1＝∠EBF+∠EFB，
∴∠EBF＝40°＝∠EFB，
∴EF＝BE，
故B 正确，不符合题意；故D 错误，符合题意；
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9
∵∠2 是△FCG 的外角，
∴∠FCG+∠3＝∠2，
故C 正确，不符合题意；
故选：D．
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地
铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一
种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处
各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同
一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不
能．
【解答】解：A 选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6 个等边三
角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B 选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4 个正方形可以在一个顶点处
实现内角之和等于360°，不符合题意；
C 选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3
，所以正五边形不能在一个顶点处实
现内角之和等于360°，符合题意；
D 选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3 个正六边形可以在一个
顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
7．不等式组
的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
【解答】解：
，
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10
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥1，
如图，在数轴上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式组的解集是：1≤x＜3．
故选：B．
8．已知直线y＝kx+2 过一、二、三象限，则直线y＝kx+2 与抛物线y＝x2﹣2x+3 的交点个
数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或2 个
【分析】先判断k 的正负性，再建立方程组，利用判别式即可判断交点个数．
【解答】解：∵直线y＝kx+2 过一、二、三象限．
∴k＞0．
联立直线y＝kx+2 与抛物线y＝x2﹣2x+3 组成方程组得：
．
∴x2﹣2x+3＝kx+2．
∴x2﹣（2+k）x+1＝0．
∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k
∵k＞0．
∴Δ＞0．
∴直线y＝kx+2 与抛物线y＝x2﹣2x+3 的交点个数为2 个．
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交AC、AB 于点D、E．
步骤2：分别以点D、E 为圆心，大于
DE 的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM 交BC 于点F．
则AF 的长为（ ）
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11
A．6
B．3
C．4
D．6
【分析】利用基本作图得到AF 平分∠BAC，过F 点作FH⊥AB 于H，如图，根据角平
分线的性质得到FH＝FC，再根据勾股定理计算出AC＝6，设CF＝x，则FH＝x，然后
利用面积法得到
×10•x+
×6•x＝
×6×8，解得x＝3，最后利用勾股定理计算AF 的长．
【解答】解：由作法得AF 平分∠BAC，
过F 点作FH⊥AB 于H，如图，
∵AF 平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在△ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝
＝6，
设CF＝x，则FH＝x，
∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，
∴
×10•x+
×6•x＝
×6×8，解得x＝3，
在Rt△ACF 中，AF＝
＝
＝3
．
故选：B．
10．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k 与x 轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝
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12
a（x﹣h﹣m）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（ ）
A．5
B．﹣1
C．5 或1
D．﹣5 或﹣1
【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A 点或B 点向右平移
得到点（4，0）得到m 的值．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k 的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣
m）2+k 的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m 的值为5 或1．
故选：C．
二、填空题：（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
11．要使分式
有意义，则x 的取值范围是
x ≠﹣
1
．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使分式
有意义，则x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
12．计算（
+
）（
﹣
）＝
3
．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（3
+3
）（
﹣
）
＝3（
+
）（
﹣
）
＝3×（3﹣2）
＝3．
故答案为3．
13．若甲、乙两人参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
甲：6，7，8，9，10；
乙：7，8，8，8，9．
则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填甲或乙）．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：甲的平均数为：
＝8，
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13
乙的平均数为：
＝8，
S 甲2＝
[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]
＝
（4+1+0+1+4）
＝2，
S 乙2＝
[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]
＝
（1+0+0+0+1）
＝0.4，
∵S 甲2＞S 乙2，
∴乙的成绩比较稳定．
故答案为：乙．
14．如图，矩形ABOC 的顶点A 在反比例函数y＝
的图象上，矩形ABOC 的面积为3，则
k＝
3
．
【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义可得出答案．
【解答】解：∵矩形ABOC 的面积为3，
∴|k|＝3，
又∵k＞0，
∴k＝3，
故答案为：3．
15．如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是
66
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14
【分析】第一次输入x 的值为1，计算出y＝6，选择否的程序；第二次输入x 的值为7，
计算出y＝66，选择是的程序，输出即可．
【解答】解：当x＝1 时，y＝1+2+3＝6，
∵6＜9，
∴选择否的程序，
∴6+1＝7，
当x＝7 时，y＝49+14+3＝66，
∵66＞9，
∴选择是的程序，
故答案为：66．
16．观察下列各项：1
，2
，3
，4
，…，则第n 项是
n
．
【分析】根据题目中数字的特点，可以发现数字的整数部分是连续的整数，从1 开始，
而分数部分的分母是2 的n 次方，n 从1 开始，分子都是1，然后即可写出第n 项对应的
数字．
【解答】解：∵一列数为1
，2
，3
，4
，…，、
∴这列数可以写成：1
，2
，3
，4
，…，
∴第n 项是n
，
故答案为：n
．
17．如图，将边长为1 的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部
分的面积是
2 ﹣
．
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15
【分析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30 度角的直角三
角形性质得出DE＝
，最后由图可以得出S 阴影部分＝2（S 正方形ABCD﹣S 四边形ADEB1），
将相关数值代入求解即可．
【解答】解：如图，
连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E 和Rt△ADE 中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝
∠B1AD＝30°，
∴
＝
，解得DE＝
，
∴S 四边形ADEB1＝2S△ADE＝2×
×AD×DE＝
，
∴S 阴影部分＝2（S 正方形ABCD﹣S 四边形ADEB1）＝2×（1﹣
）＝2﹣
，
故答案为：2﹣
．
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16
18．如图，E、F 分别是正方形ABCD 的边AB、BC 上的动点，满足AE＝BF，连接CE、
DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG 的最小值为
．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”
证明△DCF 和△CBE 全等，根据全等三角形对应角相等和同角的余角相等可得∠DGC
＝90°，从而确定AG 最小时G 的位置，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：如图1，取CD 的中点H，连接GH，
在正方形ABCD 中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF 和△CBE 中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴点G 在以DC 为直径和圆上，
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17
如图2，连接AC，BD 交于点O，取DC 的中点H，
由勾股定理得：AC＝
＝2
，
∵E、F 分别是正方形ABCD 的边AB、BC 上的动点，
∴点G 在以H 为圆心，CH 为半径的
圆上运动，当点G 与O 重合时，AG 最小，
此时AG＝AO＝
AC＝
，
即AG 的最小值＝
．
故答案为：
；
三、解答题：（本大题共4 个小题，每小题10 分，共40 分，要有解题的主要过程）
19．（10 分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每
辆售价为22（万元）时，每月可销售4 辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．
通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种
函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1 与x 的关系式y1＝
x ﹣
2
（
x ≥
4 ）．
；
（2）每辆原售价为22 万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价
﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？
最大利润是多少？
【分析】（1）由表格数据判断y1与x 成一次函数关系；
（2）根据公式：每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，求出利润y 与x 间的关
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系，利用二次函数的性质求出利润最大值和月销售量．
【解答】解：（1）由题意可知：y1与x 成一次函数关系，
设y1＝kx+b（k≠0），
∵x＝4 时，y1＝0，x＝6 时，y1＝1，
∴
，
解得：
，
∴y1＝
x﹣2（x≥4）．
故答案为：y1＝
x﹣2（x≥4）．
（2）由（1）得：y1＝
x﹣2（x≥4），
∴y＝[22﹣（
x﹣2）﹣16]x＝
x2+8x＝
（x﹣8）2+32，
∴x＝8 时，ymax＝32，
答：月销售量为8 时，最大销售利润为32 万元．
20．（10 分）如图，AB 交CD 于点O，在△AOC 与△BOD 中，有下列三个条件：①OC
＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能
作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．
（1）你选的条件为
①
、
③
，结论为
②
；
（2）证明你的结论．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可选出条件、结论；
（2）由选择的条件证明△AOC≌△BOD，即可得证．
【解答】（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，
故答案为：①，③，②（答案不唯一）；
（2）证明：在△AOC 和△BOD 中，
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，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
21．（10 分）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，
调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，
要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制
成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级
频数
频率
A
20
0.4
B
15
b
C
10
0.2
D
a
0.1
（1）频数分布表中a＝
5
，b＝
0.3
，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了
解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5 个学生，其中3 男2 女，计划在这5
个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学
生中至少有一个女生的概率．
【分析】（1）根据频率＝
可计算出得出总数，进而求出a、b 的值，并补全频数
分布直方图；
（2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体1000 人中“非常了
解”“比较了解”的人数；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生中至少有一个女生的
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概率．
【解答】解：（1）20÷0.4＝50（人），
a＝50×0.1＝5（人），
b＝15÷50＝0.3，
故答案为：5，0.3；
（2）1000×（0.4+0.3）＝700（人），
答：该校1000 学生中“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生大约有700 人；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有20 种等可能出现的结果情况，其中两人中至少有一名女生的有12 种，
所以两个学生中至少有一个女生的概率为
＝
．
答：两个学生中至少有一个女生的概率为
．
22．（10 分）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，
某天上午9 时太阳光线从山顶点A 处照射到住宅的点E 外．在点A 处测得点E 的俯角
∠EAM＝45°，上午10 时太阳光线从山顶点A 处照射到住宅点F 处，在点A 处测得点F
的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，
不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10 时太阳光线照射到
该层楼的外墙？（
≈1.73）
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【分析】利用锐角三角函数关系表示出ME、MF，根据EF＝MF﹣ME＝40m 可得AM＝
54.6m，求出DF，根据每层楼的高度为3m 即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知：
四边形ABDM 是矩形，
∴AB＝MD＝120m，
在Rt△AME 中，ME＝AMtan45°＝AM，
在Rt△AMF 中，MF＝AMtan60°＝
AM，
∵EF＝MF﹣ME＝40m，
∴
AM﹣AM＝40，
∴AM≈54.6（m），
∴MF≈54.6×1.73≈94.46（m），
∴DF＝120﹣94.46＝25.54（m），
25.54÷3≈8.5，
∴至少要买该住宅的第9 层楼，才能使上午10 时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9 层楼，才能使上午10 时太阳光线照射到该层楼的外墙．
四、（本大题满分12 分）
23．（12 分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B 两种型号的机器人来搬运货
物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天多搬运20 吨，并且3 台A 型机器人和2
台B 型机器人每天共搬运货物460 吨．
（1）求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A 型机器人售价3 万元，每台B 型机器人售价2 万元，该公司计划采购A、B
两种型号的机器人共20 台，必须满足每天搬运的货物不低于1800 吨，请根据以上要求，
求出A、B 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【分析】（1）题目中的等量关系是：①每台A 型机器人比每台B 型机器人每天多搬运
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20 吨，②3 台A 型机器人和2 台B 型机器人每天共搬运货物460 吨．
（2）题目中的不等关系是：每天搬运的 不低于1800 吨，等量关系是：总费用＝A 型机
器费用+B 型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．
【解答】（1）解：设每台A 型机器人每天分别搬运货物x 吨，每台B 型机器人每天分
别搬运货物y 吨．
解得
（2）设：A 种机器人采购m 台，B 种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w．
100m+80（20﹣m）≥1800．
解得：m≥10．
w＝3m+2（20﹣m）
＝m+40．
∵1＞0，
∴w 随着m 的减少而减少．
∴当m＝10 w 有最小值，w 小＝10+40＝50．
∴A、B 两种机器人分别采购10 台，20 台时，所需费用最低，最低费用是50 万．
五、（本大题满分12 分）
24．（12 分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠CAB 的平分线交BC 于
点D，交⊙O 于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB 的延长线于点F．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O 的半径和AD 的长．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理得∠AEB＝90°，根据角平分线的定义和同圆的
半径相等，等边对等角及等量代换可得∠OEF＝90°，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设⊙O 的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x 的值，证明
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△EBF∽△AEF，列比例式
＝
＝
，设BE＝a，则AE＝2a，根据勾股定理列
方程可得a 的值，证明BC∥EF，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE 平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE 是⊙O 的半径，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）解：如图，设⊙O 的半径为x，则OE＝OB＝x，
∴OF＝x+10，
在Rt△OEF 中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O 的半径为15；
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∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴
＝
＝
，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6
，
∴AD＝2a＝12
，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴
，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴
，即
，
∴AD＝9
．
六、（本大题满分14 分）
25．（14 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6
cm，AC＝12cm．点P 是CA 边
上的一动点，点P 从点C 出发以每秒2cm 的速度沿CA 方向匀速运动，以CP 为边作等
边△CPQ（点B、点Q 在AC 同侧），设点P 运动的时间为x 秒，△ABC 与△CPQ 重叠
部分的面积为S．
（1）当点Q 落在△ABC 内部时，求此时△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积S（用含x 的
代数式表示，不要求写x 的取值范围）；
（2）当点Q 落在AB 上时，求此时△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积S 的值；
（3）当点Q 落在△ABC 外部时，求此时△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积S（用含x 的
代数式表示）．
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【分析】（1）如图1 中，当点Q 落在△ABC 内部时，求出等边△PQC 的面积即可．
（2）如图2 中，当点Q 落在AB 上时，过点Q 作QH⊥AC 于H．利用平行线分线段成
比例定理求出QH 即可．
（3）如图3 中，点Q 落在△ABC 外部时，设CQ 交AB 于N，PQ 交AB 于M，过点N 作
NH⊥AC 于H，过点M 作MJ⊥AC 于J，作NT∥PQ 交AC 于T．利用相似三角形的性质
求出MJ，求出△BCQ，△APQ 的面积即可．
【解答】解：（1）如图1 中，当点Q 落在△ABC 内部时，S＝
×（2x）2＝
x2．
（2）如图2 中，当点Q 落在AB 上时，过点Q 作QH⊥AC 于H．
∵∠QHA＝∠ACB＝90°，
∴QH∥BC，
∴
＝
，
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∴
＝
，
∴x＝4，
∴CP＝8，CH＝PH＝4，
∴S＝
×82＝16
．
（3）如图3 中，点Q 落在△ABC 外部时，设CQ 交AB 于N，PQ 交AB 于M，过点N 作
NH⊥AC 于H，过点M 作MJ⊥AC 于J，作NT∥PQ 交AC 于T．
由（2）可知，CH＝HT＝4，CT＝NT＝8，NH＝4
，AT＝4，
∴S△BCN＝
×6
×4＝12
，
∵NT∥PM，
∴△AMP∽△ANT，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴MJ＝12
﹣2
x，
∴S＝S△ABC﹣S△BCN﹣S△AMP＝
×6
×12﹣12
﹣
×（12﹣2x）×（12
﹣2
x）＝
﹣2
x2+24
x﹣48
（4＜x≤6）．
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