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2021 年黑龙江省鹤岗市中考数学试卷
一、选择题（每题3 分，满分30 分）
1. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．
【详解】解：A、
与
不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；
B、
，错误，故不符合题意；
C、
，错误，故不符合题意；
D、
，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及
二次根式的除法是解题的关键．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图
形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这
条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键．
3. 如图是由5 个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
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2
【详解】解：由题意得：
该几何体的主视图是
；
故选C．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
4. 一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A. 众数
B. 中位数
C. 平均数
D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
原中位数为4，原众数为4，原平均数为
，原方差为
；
去掉一个数据4 后的中位数为
，众数为4，平均数为
，方差为
；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的
关键．
5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144 人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染
的人数是（ ）
A 14
B. 11
C. 10
D. 9
【答案】B
【解析】
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3
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得
，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得：
，
解得：
（舍去），
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
6. 已知关于
的分式方程
的解为非负数，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
且
C.
D.
且
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于
的分式方程
可得：
，且
，
∵方程的解为非负数，
∴
，且
，
解得：
且
，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不
等式的解法是解题的关键．
7. 为迎接2022 年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、
乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15 元，乙种奖品每件10 元，
则购买方案有（ ）
A. 5 种
B. 6 种
C. 7 种
D. 8 种
【答案】A
【解析】
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4
【分析】设购买甲种奖品为x 件，乙种奖品为y 件，由题意可得
，进而求解即可．
【详解】解：设购买甲种奖品为x 件，乙种奖品为y 件，由题意可得：
，
∴
，
∵
，且x、y 都为正整数，
∴当
时，则
；
当
时，则
；
当
时，则
；
当
时，则
；
当
时，则
；
∴购买方案有5 种；
故选A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形
的边
轴，垂足为
，顶点
在第二象限，顶点
在
轴正半轴上，反比例函数
的图象同时经过顶点
．若点
的横坐标为5，
，则
的值为（ ）
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5
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得
，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得
，求解x，进而可得点
，则
，最后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】解：∵四边形
是菱形，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
∵点
的横坐标为5，
∴点
，
，
∵
，
∴设DE=x，BE=2x，则
，
∴在Rt△AEB 中，由勾股定理得：
，
解得：
（舍去），
∴
，
∴点
，
∴
，
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6
解得：
；
故选A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何
的综合是解题的关键．
9. 如图，平行四边形
的对角线
、
相交于点E，点O 为
的中点，连接
并延长，交
的延长线于点D，交
于点G，连接
、
，若平行四边形
的面积为48，则
的面
积为（ ）
A. 5.5
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得
，进而可得
，则有
，然后根据相似比与面积比的关系可求解．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，
∴
，AE=EF，
，
∵平行四边形
的面积为48，
∴
，
∵点
为
的中点，
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7
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
和
同高不同底，
∴
，
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角
形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．
10. 如图，在正方形
中，对角线
与
相交于点
，点
在
的延长线上，连接
，点
是
的中点，连接
交
于点
，连接
，若
，
．则下列结论：①
；②
；③
；④
；⑤点D 到CF 的距离为
．其中正确
的结论是（ ）
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8
A. ①②③④
B. ①③④⑤
C. ①②③⑤
D. ①②④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得
，①由三角
形中位线可进行判断；②由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题
意可直接进行求解；⑤过点D 作DH⊥CF，交CF 的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∵
，
，
∴
，则
，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴
，
∴
，故①正确；
∴点G 是CD 的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC 是等腰直角三角形，
∴
，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴
，故③正确；
∵
，
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9
∴
，
∴
，故④错误；
过点D 作DH⊥CF，交CF 的延长线于点H，如图所示：
∵点F 是CD 的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴
，
设
，则
，
在Rt△DHC 中，
，
解得：
，
∴
，故⑤正确；
∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相
似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
二、填空题（每题3 分，满分30 分）
11. 截止到2020 年7 月底，中国铁路营业里程达到
万公里，位居世界第二．将数据
万用科学记
数法表示为_______．
【答案】
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10
【解析】
【分析】由题意易得
万=141400，然后根据科学记数法可进行求解．
【详解】解：由题意得：
万=141400，
∴将数据
万用科学记数法表示为
；
故答案为
．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
12. 函数
中，自变量x 的取值范围是____．
【答案】
．
【解析】
【详解】试题分析：由已知：x-2≠0，解得x≠2；
考点：自变量的取值范围．
13. 如图，在平行四边形
中，对角线
、
相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你
添加一个条件______________，使平行四边形
是矩形．．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴当
时，四边形ABCD 为矩形．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
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11
14. 一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3 的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1 个小球，
然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1 个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有9 种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5 种，再由概率
公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有9 种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5 种，
∴两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为
，
故答案为：
．
【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
15. 关于x 的一元一次不等式组
无解，则a 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】分别解出这两个不等式的解集，然后根据不等式组无解，得到关于a 的不等式，解不等式即可．
【详解】解：
，
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12
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∵不等式组无解，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查的是根据一元一次不等式组的解集情况确定参数的取值范围，掌握不等式组的解集的确
定方法是解题的关键．
16. 如图，在
中，
是直径，弦
的长为5cm，点
在圆上，且
，则
的半径为
_____．
【答案】5cm
【解析】
【分析】连接BC，由题意易得
，进而问题可求解．
【详解】解：连接BC，如图所示：
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13
∵
，
∴
，
∵
是直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的半径为5cm；
故答案为5cm．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形
的性质是解题的关键．
17. 若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为
，则这个圆锥的母线长为____ cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．
【详解】解：设母线长为R，由题意得：
，
∴
，
解得：
，
∴这个圆锥的母线长为4cm，
故答案为4．
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14
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关键．
18. 如图，在
中，
，
，
，以点
为圆心，3 为半径的
，与
交于点
，过点
作
交
于点
，点
是边
上的顶点，则
的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】延长CO，交
于一点E，连接PE，由题意易得
，
，
则有
，CP=PE，然后可得
，
，要使
的值为最小，
即
的值为最小，进而可得当D、P、E 三点共线时最小，最后求解即可．
【详解】解：延长CO，交
于一点E，连接PE，如图所示：
∵
，以点
为圆心，3 为半径
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，CP=PE，
∴
，
∴
，
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15
∵
，
∴
，
∵CP=PE，
∴
，
则要使
的值为最小，即
的值为最小，
∴当D、P、E 三点共线时最小，即
，如图所示：
∴在Rt△DCE 中，
，
∴
的最小值为
；
故答案为
．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟
练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 在矩形
中，
2cm，将矩形
沿某直线折叠，使点
与点
重合，折痕与直线
交
于点
，且
3cm，则矩形
的面积为______cm2．
【答案】
或
【解析】
【分析】根据题意可分当折痕与直线AD 的交点落在线段AD 上和AD 外，然后根据折叠的性质及勾股定理
可求解．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
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16
①当点E 在线段AD 上时，如图所示：
由折叠的性质可得
，
∵
3cm，
∴在
中，
，
∴
，
∴
；
②当点E 在线段AD 外时，如图所示：
由轴对称的性质可得
，
∴在Rt△EAB 中，
，
∴
，
∴
；
综上所述：矩形ABCD 的面积为
或
；
故答案为
或
．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及矩形的性
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17
质是解题的关键．
20. 如图，菱形
中，
，
，延长
至
，使
，以
为一边，在
的延长线上作菱形
，连接
，得到
；再延长
至
，使
，以
为一边，在
的延长线上作菱形
，连接
，得到
……按此规律，得到
，记
的面积为
，
的面积为
……
的面积为
，则
_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得
，则有
为等边三角形，同理可得
…….
都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得
，
，……
由此规律可得
，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形
是菱形，
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18
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
为等边三角形，
同理可得
…….
都为等边三角形，
过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：
∴
，
∴
，
同理可得：
，
，……；
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19
∴由此规律可得：
，
∴
；
故答案为
．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三
角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
三、解答题（满分60 分）
21. 先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
；
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出a 的值，再代入求解即可．
【详解】解：原式
；
当
时，
原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，
的三个
顶点坐标分别为
．
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20
（1）画出
关于x 轴对称的
，并写出点
的坐标；
（2）画出
绕点O 顺时针旋转
后得到的
，并写出点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点
所经过的路径长（结果保留
）．
【答案】（1）见解析，
；（2）见解析，
；（3）
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B 关于x 轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点
的坐标；
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B 绕点O 旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点
的
坐标；
（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA 的长，然后根据弧长计算公式进行求解．
【详解】解：（1）如图所示：
即为所求，
∴由图象可得
；
（2）如图所示：
即为所求，
∴由图象可得
；
（3）由（2）的图象可得：点A 旋转到点
所经过的路径为圆弧，
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21
∵
，
∴点A 旋转到点
所经过的路径长为
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称
及弧长计算公式是解题的关键．
23. 如图，抛物线
与x 轴交于点
和点
，与y 轴交于点C，连接
，
与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线
上，若以点P、Q、E 为顶点的三角形与
相似，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于
a、b 的方程，从而可以求得a、b 的值，然后即可写出抛物线的解析式；
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22
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P 的坐标，然后再根据
是等腰直角三角形，得出
是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得
∴此抛物线的解析式为：
（2）当
时，
，所以，OB=OC=3，
∴
是等腰直角三角形，
以点P、Q、E 为顶点的三角形与
相似，
∴
是等腰直角三角形，
设点P 的坐标为
，抛物线的对称轴为直线
，
设BC 的解析式为
，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，
，故BC 的解析式为
，
把
代入得，
，则E 点坐标为
，
如图，当E 为直角顶点时，
，解得，
，
（舍去），把
代入得，
，则P 点坐标为
，
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23
当Q 为直角顶点时，PQ=QE，即
，解得
，
（舍去），把
代入得，
，则P 点坐标为
；
当P 为直角顶点时，作PM⊥EQ 于M，PM=ME，即
，解得
，
（舍去），则P 点坐标为
；
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24
综上，P 点坐标为
或
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟
练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．
24. 为庆祝中国共产党建党100 周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，
现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E 五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中共抽取________学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B 等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200 名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A 和B 等级的学生共有多少名？
【答案】（1）100；（2）图见详解；（3）144°；（4）这次竞赛成绩为A 和B 等级的学生共有792 名．
【解析】
【分析】（1）根据统计图及题意可直接进行求解；
（2）由（1）及统计图可得C 等级的人数为20 名，然后可求出B 等级的人数，进而问题可求解；
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25
（3）根据题意可直接进行求解；
（4）由（2）可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
26÷26％=100（名），
故答案为100；
（2）由题意得：
C 等级的人数为100×20％=20（名），B 等级的人数为100-26-20-10-4=40（名），
则补全条形统计图如图所示：
（3）由（2）可得：
；
答：B 等级所对应的扇形圆心角的度数为144°．
（4）由（2）及题意得：
（名）；
答：这次竞赛成绩为A 和B 等级的学生共有792 名．
【点睛】本题主要考查扇形统计及条形统计图，熟练掌握扇形统计及条形统计图是解题的关键．
25. 已知A、B 两地相距
，一辆货车从A 地前往B 地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿
同一条公路从B 地前往A 地，到达A 地后（在A 地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B 地
的距离
与货车行驶时间
之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
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26
（1）图中m 的值是__________；轿车的速度是________
；
（2）求货车从A 地前往B 地的过程中，货车距B 地的距离
与行驶时间
之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B 地到A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距
？
【答案】（1）5；120；（2）
；（3）
或
．
【解析】
【分析】（1）由图象可知轿车从B 到A 所用时间为2h，即可得出从A 到B 的时间，进而可得m 的值，根
据速度=距离÷时间即可得轿车速度；
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h，分1≤x<2.5；2.5≤x<3.5；3.5≤x<5 三个时间段，分别
利用待定系数法求出y 与x
关系式即可得答案；
（3）分两车相遇前和相遇后相距12km 两种情况，分别列方程求出x 的值即可得答案．
【详解】（1）由图象可知轿车从B 到A 所用时间为3-1=2h，
∴轿车从A 到B 的时间为2h，
∴m=3+2=5，
∵A、B 两地相距
，
∴轿车速度=240÷2=120km/h，
故答案为：5；120
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h，
①设
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∵图象过点
和点
∴
解得：
，
∴
②∵货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h，
∴
，
③设
，
∵图象过点
和点
∴
解得：
，
∴
，
∴
．
（3）设轿车出发xh 与货车相距
，则货车出发（x+1）h，
①当两车相遇前相距12km 时：
，
解得：
,
②当两车相遇后相距12km 时：
=12，
解得：x=1，
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答：轿车出发
或
与货车相距
．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数
图象表示的意义是解题关键．
26. 在等腰
中，
，
是直角三角形，
，
，连接
，点
是
的中点，连接
．
（1）当
，点
在边
上时，如图①所示，求证：
．
（2）当
，把
绕点
逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当
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，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段
和
又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）见详解；（2）图②中
，图③中
，理由见详解．
【解析】
【分析】（1 ）由题意易得
，则有
，然后可得
，
，进而可得AD 垂直平分BC，则CD=BD，最后问题可求证；
（2）取CD 的中点H，连接AH、EH、FH，如图②，由题意易得
，则有EH 垂直平
分AD，∠HFA=∠CBA=45°，进而可得∠EHF=∠EAF=45°，然后可得点A、E、F、H 四点共圆，则根据
圆的基本性质可求解；如图③，取BC 的中点G，连接GF 并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，
AG，则有四边形CGMD 是平行四边形，DM=CG=AC，进而可得△ACD≌△DME，则有CD=EM，
∠EMD=∠DCA，然后可得△EMG 是等边三角形，最后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵
，
，
∴
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴△ACB 是等腰直角三角形，
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∵
，
∴AD 垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴
；
（2）解：图②中
，图③中
，理由如下：
图②：取CD 的中点H，连接AH、EH、FH，如图②，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴EH 垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，
∴∠EHF=∠EAF=45°，
∴点A、E、F、H 四点共圆，
∵∠HFA=∠EAF=45°，
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∴
，
∴
；
图③：如图③，取BC 的中点G，连接GF 并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，
∵
，
，
∴△ADE 是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴△AGC 是等边三角形，
∴AC=CG，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴四边形CGMD 是平行四边形，
∴
，∠GCD=∠DMG，
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∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴△ACD≌△DME（SAS），
∴CD=EM，∠EMD=∠DCA，
∴
，
∴
，
∴△EMG 是等边三角形，
∵点
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴GF=MF，
∴EF⊥GM，
∴
．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函数、
圆的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函
数、圆的基本性质是解题的关键．
27. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一
笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2 件甲种农机具和1 件乙种农机具共需3.5 万元，购进1 件甲种农
机具和3 件乙种农机具共需3 万元．
（1）求购进1 件甲种农机具和1 件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10 件，且投入资金不少于9.8 万元又不超过12 万元，
设购进甲种农机具m 件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
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（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7 万元，每件乙种农
机具降价0.2 万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买
一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）购进1 件甲种农机具需1.5 万元，购进1 件乙种农机具需0.5 万元；（2）有三种方案：方案
一：购买甲种农机具5 件，乙种农机具5 件；方案二：购买甲种农机具6 件，乙种农机具4 件；方案三：
购买甲种农机具7 件，乙种农机具3 件；方案一需要资金最少，最少资金是10 万元；（3）节省的资金再
次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0 件，乙种农机具15 件；方案二：购买甲种农机具
3 件，乙种农机具7 件
【解析】
【分析】（1）设购进1 件甲种农机具需x 万元，购进1 件乙种农机具需y 万元，根据题意可直接列出二元
一次方程组求解即可；
（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m 的一元一次不等式组，求解即可得到m 的范围，从而根
据实际意义确定出m 的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；
（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合
实际意义进行求解即可．
【详解】解：（1）设购进1 件甲种农机具需x 万元，购进1 件乙种农机具需y 万元．
根据题意，得
，
解得：
，
答：购进1 件甲种农机具需1.5 万元，购进1 件乙种农机具需0.5 万元．
（2）根据题意，得
，
解得：
，
∵m 为整数，
∴m 可取5、6、7，
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5 件，乙种农机具5 件；
方案二：购买甲种农机具6 件，乙种农机具4 件；
方案三：购买甲种农机具7 件，乙种农机具3 件．
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设总资金为W 万元，则
，
∵
，
∴W 随m
增大而增大，
∴当
时，
（万元），
∴方案一需要资金最少，最少资金是10 万元．
（3）由（2）可知，购买甲种农机具5 件，乙种农机具5 件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为
（万元），
降价后的单价分别为：甲种0.8 万元，乙种0.3 万元，
设节省的资金可购买a 台甲种，b 台乙种，
则：
，
由题意，a，b 均为非负整数，
∴满足条件
解为：
或
，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0 件，乙种农机具15 件；
方案二：购买甲种农机具3 件，乙种农机具7 件．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一
次函数的性质是解题关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，
的边
在
轴上，
，且线段
的长是方程
的根，过点
作
轴，垂足为
，
，动点
以每秒1 个单位长度的
速度，从点
出发，沿线段
向点
运动，到达点
停止．过点
作
轴的垂线，垂足为
，以
为边作正方形
，点
在线段
上，设正方形
与
重叠部分的面积为
，点
的运
动时间为
秒．
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（1）求点
的坐标；
（2）求
关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点
落在线段
上时，坐标平面内是否存在一点
，使以
为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在，
或
或
【解析】
【分析】（1）由题意易得
，进而可得
，则有
，然后问题可求解；
（2）由题意易得
，则有
，进而可得
，然后根据梯
形面积计算公式可求解；
（3）由（2）及题意易得
，则有
，然后可得点
，进而可分①以OM
为平行四边形的对角线时，②以OA 为平行四边形的对角线时，③以AM 为平行四边形的对角线时，最后
根据平行四边形的性质分类求解即可．
【详解】解：（1）由线段OA 的长是方程
的根，可得：
，
∴
，
∵
轴，
，
∴在Rt△AEB 中，可由三角函数及勾股定理设
，
∴
，解得：
，
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∴
，
∴
，
∴
；
（2）由题意得：
，则由（1）可得
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴自变量t 的范围为
；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：
，
，
，
∴
，
∵MF∥OA，
∴
，
∴
，即
，
解得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
①以OM 为平行四边形的对角线时，如图所示：
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∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
；
②以OA 为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得
；
③以AM 为平行四边形的对角线时，如图所示：
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同理可得
；
综上所述：当以
为顶点的四边形是平行四边形时，则点
的坐标为
或
或
．
【点睛】本题主要考查三角函数、平行四边形的性质、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌
握三角函数、平行四边形的性质、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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