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山东省滨州地区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题包括12 个小题，共36 分）
1．（3 分）若（a
1
﹣）x2+bx+c=0 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A．a=1 B．a≠1 C．a≠﹣1
D．a≠0 且b≠0
2．（3 分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）方程x2+6x
5=0
﹣
的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．
（x+3）2=14B．（x
3
﹣）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x
3
﹣）2=4
4．（3 分）关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+5x+m2
3m
﹣
+2=0，常数项为0，则m 值等于
（ ）
A．1 B．2 C．1 或2 D．0
5．（3 分）若关于x 的一元二次方程kx2
6x
﹣
+9=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（
）
A．k＜1 且k≠0
B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
6．（3 分）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
7．（3 分）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长
线交于点P，则∠P 等于（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
8．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）
A．
B．2 C．
D．4
9．（3 分）把抛物线y=
x
﹣2向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解
析式为（ ）
A．y=﹣（x
1
﹣）2
3
﹣
B．y=﹣（x+1）2
3
﹣C．y=﹣（x
1
﹣）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3
10．（3 分）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．b2
4ac
﹣
＞0D．a+b+c＞0
11．
（3 分）若A（﹣
，y1），B（
，y2），C（
，y3）为二次函数y=x2+4x
5
﹣的图象上的三点，
则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
12．（3 分）已知抛物线y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＜0，则x 的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1 或x＞4 D．x＜﹣1 或x＞3
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
13．（4 分）方程2x2
1=
﹣
的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
14．（4 分）已知二次函数y=x2
bx
﹣
+3 的对称轴为x=2，则b= ．
15．（4 分）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于x 轴对称，则P 点关于原点对称的点M 的坐标为
．
16．（4 分）如图，AB 与⊙O 相切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O 的半径为 ．
17．（4 分）已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最短弦的
长为 ．
18．（4 分）已知二次函数y=
x
﹣2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣
x2+2x+m=0 的解为 ．
三、解答题：（7 个答题，共计60 分）
19．（8 分）解方程
（1）3x2
6x
﹣
+1=0（用配方法）
（2）3（x
1
﹣）2=x（x
1
﹣）
20．（7 分）△ABC 三个顶点A、B、C 在平面直角坐标系中位置如图所示．将△ABC 绕C 点顺
时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1、B1的坐标．
21．
（7 分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16．求截面圆
心O 到水面的距离．
22．（8 分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3 月分的5000 元/m2下降到5
月分的4050 元/m2
（1）问4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7 月分该市的商品房成交均价是否会
跌破3000 元/m2？请说明理由．
23．（8 分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E 点，D 为
BC 的中点．求证：DE 与⊙O 相切．
24．（10 分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高
点P 位于AB 的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
25．（12 分）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，
），以点C 为顶点的抛物线
y=ax2+bx+c 恰好经过x 轴上A、B 两点．
（1）求A、B、C 三点的坐标；
（2）求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出
平移了多少个单位．
山东省滨州地区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括12 个小题，共36 分）
1．（3 分）（2016 秋•仁寿县期中）若（a
1
﹣）x2+bx+c=0 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A．a=1 B．a≠1 C．a≠﹣1
D．a≠0 且b≠0
【分析】根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相
应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得a
1
﹣≠0，
解得a≠1，
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方
程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0 的条件．这是在做
题过程中容易忽视的知识点．
2．（3 分）（2012•沙坪坝区校级二模）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称的概念可作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180 度，
旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫
做中心对称点．
【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180 度以
后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180 度以后，能够与
它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180 度以后，能够与
它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．
故选C．
【点评】掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重
合．
3．（3 分）（2016 秋•滨州期中）方程x2+6x
5=0
﹣
的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．
（x+3）2=14B．（x
3
﹣）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x
3
﹣）2=4
【分析】根据配方法的步骤进行配方即可．
【解答】解：
移项得：x2+6x=5，
配方可得：x2+6x+9=5+9，
即（x+3）2=14，
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
4．（3 分）（2016•阳泉模拟）关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+5x+m2
3m
﹣
+2=0，常数项为0，
则m 值等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或2 D．0
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0 列出方程组，求出m 的值即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+5x+m2
3m
﹣
+2=0，常数项为0，
∴
，
解得：m=2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是
常数且a≠0），特别要注意a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式
中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数
项．
5．
（3 分）
（2015 春•重庆校级期末）若关于x 的一元二次方程kx2
6x
﹣
+9=0 有两个不相等的实
数根，则k 的取值范围（ ）
A．k＜1 且k≠0
B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△＞0 且二次项系数不为0 即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx2
6x
﹣
+9=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即（﹣6）2
4
﹣×9k＞0，
解得，k＜1，
∵为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＜1 且k≠0．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：
（1）△＞0⇔方程有两个不相
等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6．（3 分）（2016 秋•滨州期中）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．
【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
③能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故此选项错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；
故正确的有1 个，
故选：A．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理和圆的有关定理；解题时要注意圆心
角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．
7．（3 分）（2016•东莞市二模）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切
线PC 与AB 的延长线交于点P，则∠P 等于（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【分析】连接OC，先求出∠POC，再利用切线性质得到∠PCO=90°，由此可以求出∠P．
【解答】解：如图，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=35°，
∴∠POC=∠OAC+∠OCA=70°，
∵PC 是⊙O 切线，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，
∴∠P=90°﹣∠POC=20°，
故选B．
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，记住切线垂直于过切点的半径，直
角三角形两锐角互余，属于基础题，中考常考题型．
8．（3 分）（2007•聊城）如图，△ABC 内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）
A．
B．2 C．
D．4
【分析】先利用圆周角定理求出∠AOB，再根据等边三角形的判定得到△AOB 是等边三角形，
从而得解．
【解答】解：连接OA，OB，则∠AOB=2∠C=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，有OA=AB=2．
故选B．
【点评】本题利用了圆周角定理和等边三角形的判定和性质求解．
9．（3 分）（2010•宁夏）把抛物线y=
x
﹣2向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移
后抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x
1
﹣）2
3
﹣
B．y=﹣（x+1）2
3
﹣C．y=﹣（x
1
﹣）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3
【分析】利用二次函数平移的性质．
【解答】解：当y=
x
﹣2向左平移1 个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3 个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x
h
﹣）2、y=a（x
h
﹣）2+k 的关系问题．
10．（3 分）（2016•淮安模拟）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的
是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．b2
4ac
﹣
＞0D．a+b+c＞0
【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点，与x 轴交点的个数，当x=1 时，函数值的正
负判断正确选项即可．
【解答】解：A、二次函数的开口向下，∴a＜0，正确，不符合题意；
B、二次函数与y 轴交于正半轴，∴c＞0，正确，不符合题意；
C、二次函数与x 轴有2 个交点，∴b2
4ac
﹣
＞0，正确，不符合题意；
D、当x=1 时，函数值是负数，a+b+c＜0，∴错误，符合题意，
故选D．
【点评】考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：二次函数的开口向下，a＜0；二次
函数与y 轴交于正半轴，c＞0；二次函数与x 轴有2 个交点，b2
4ac
﹣
＞0；a+b+c 的符号用当
x=1 时，函数值的正负判断．
11．（3 分）（2008•菏泽）若A（﹣
，y1），B（
，y2），C（
，y3）为二次函数y=x2+4x
5
﹣的
图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
【解答】解：∵y=x2+4x
5=
﹣
（x+2）2
9
﹣，
∴对称轴是x=
2
﹣，开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（
，y2）离对称轴最近，C（
，y3）离对称轴最远，
即y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．
12．（3 分）（2005•南通）已知抛物线y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＜0，则x 的取值范
围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1 或x＞4 D．x＜﹣1 或x＞3
【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x=1，与x 轴的一个交点（﹣1，0），可求另一交点，观
察图象得出y＜0 时x 的取值范围．
【解答】解：因为抛物线的对称轴x=1，与x 轴的一个交点（﹣1，0）；
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x 轴的另一交点为（3，0），
因为抛物线开口向上，当y＜0 时，﹣1＜x＜3．
故选B．
【点评】考查抛物线的对称性，根据函数值的符号确定自变量的取值范围的问题．
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
13．（4 分）（2016 秋•滨州期中）方程2x2
1=
﹣
的二次项系数是
2
，一次项系数是 ﹣
，常数项是 ﹣
1
．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0），在一般形式中ax2
叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2
1=
﹣
化成一般形式是2x2﹣
1=0
﹣
，
二次项系数是2，一次项系数是﹣
，常数项是﹣1．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，
一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
14．（4 分）（2016 秋•滨州期中）已知二次函数y=x2
bx
﹣
+3 的对称轴为x=2，则b=
4
．
【分析】把函数化成顶点坐标式则有
=2，即可求得b 的值．
【解答】解：∵二次函数y=x2
bx
﹣
+3，
∴y=（x﹣
）2﹣
+3，
∴
=2，即b=4，
故答案为：4
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标式，此题难
度不大．
15．（4 分）（2009 秋•惠民县校级期末）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于x 轴对称，则P 点关于
原点对称的点M 的坐标为 （﹣
3 ，﹣
2 ）
．
【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，m=3，n=
2
﹣，即点P（3，2）与点Q（3，
﹣2），则P 点关于原点对称的点M 的坐标为（﹣3，﹣2）．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐
标规律：
（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．（4 分）（2007•洞头县二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O 的半
径为
cm
．
【分析】连接OB，则OB⊥AB；在Rt△AOB 中，利用勾股定理可得到OB 的值．
【解答】解：连接OB，
∵AB 与⊙O 相切于点B，∴OB⊥AB，
在Rt△AOB 中，AO=6，AB=4，
∴OB=
（cm）．
故答案是：
cm．
【点评】此题主要考查圆的切线的性质及勾股定理的应用．通过切线的性质定理得到△AOB
是直角三角形，是解决本题的关键．
17．（4 分）（2009•连云港模拟）已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的
所有弦中，最短弦的长为
8
．
【分析】⊙O 中的最短弦的长为与过点A 的弦心距垂直的弦，根据勾股定理和垂径定理可将
最短弦的长求出．
【解答】解：与OA 垂直且过点A 的弦的长最短，
设该弦为CD，
在Rt△OAC 中，AC=
=4
∵OA⊥CD
∴CD=2AC=8，
即最短弦的长为8．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的运用．
18．（4 分）（2016 秋•滨州期中）已知二次函数y=
x
﹣2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x
的一元二次方程﹣x2+2x+m=0 的解为
x 1=4
，
x 2=
2
﹣
．
【分析】根据图象可知，二次函数y=
x
﹣2+2x+m 的部分图象经过点（4，0），把该点代入方程，
求得m 值；然后把m 值代入关于x 的一元二次方程﹣x2+2x+m=0，求根即可．
【解答】解：根据图象可知，二次函数y=
x
﹣2+2x+m 的部分图象经过点（4，0），所以该点适合
方程y=
x
﹣2+2x+m，代入，得
4
﹣2+2×4+m=0
解得m=8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得
x
﹣2+2x+8=0，②
解②得
x1=4，x2=
2
﹣，
故答案为x1=4，x2=
2
﹣．
【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，
根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
三、解答题：（7 个答题，共计60 分）
19．（8 分）（2016 秋•滨州期中）解方程
（1）3x2
6x
﹣
+1=0（用配方法）
（2）3（x
1
﹣）2=x（x
1
﹣）
【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）3x2
6x
﹣
+1=0，
3x2
6x=
1
﹣
﹣，
x2
2x=
﹣
﹣
，
x2
2x
﹣
+1=﹣
+1，
（x
1
﹣）2=
，
x
1=
﹣
，
x1=1+
，x2=1﹣
；
（2）3（x
1
﹣）2=x（x
1
﹣），
3（x
1
﹣）2
x
﹣（x
1
﹣）=0，
（x
1
﹣）[3（x
1
﹣）﹣x]=0，
x
1=0
﹣
，3（x
1
﹣）﹣x=0，
x1=1，x2=
．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的
关键．
20．（7 分）（2016 秋•滨州期中）△ABC 三个顶点A、B、C 在平面直角坐标系中位置如图所示．
将△ABC 绕C 点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1、B1的坐标．
【分析】根据图形旋转的性质画出图形，并写出A1、B1的坐标即可．
【解答】解：如图，△A1B1C 并即为所求，A1（8，3）、B1（5，5）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
21．（7 分）（2016 秋•滨州期中）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB=10，水
面宽AB=16．求截面圆心O 到水面的距离．
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC 的长，进而可得出答案．
【解答】解：过O 作OC⊥AB 垂足为C，
∵OC⊥AB
∴BC=8cm
在RT△OBC 中，由勾股定理得，
OC=
=
=6，
答：圆心O 到水面的距离6．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，熟知垂径定理及勾股定理是解答此题的关键．
22．（8 分）（2016 秋•滨州期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3 月分的
5000 元/m2下降到5 月分的4050 元/m2
（1）问4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7 月分该市的商品房成交均价是否会
跌破3000 元/m2？请说明理由．
【分析】（1）设4、5 两月平均每月降价的百分率是x，那么4 月份的房价为5000（1
x
﹣），5 月
份的房价为5000（1
x
﹣）2，然后根据5 月份的4050 元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出7 月份商品房成交均价，然后和3000 元/m2进行比较即可作
出判断．
【解答】解：（1）设两月平均每月降价的百分率是x，根据题意得：
5000（1
x
﹣）2=4050，
（1
x
﹣）2=0.9，
解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：4、5 两月平均每月降价的百分率是5%；
（2）不会跌破3000 元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计7 月份该市的商品房成交均价为：
4050（1
x
﹣）2=4050×0.92=3280＞3000．
由此可知6 月份该市的商品房成交均价不会跌破3000 元/m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关
键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
23．（8 分）（2016 秋•滨州期中）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的
⊙O 交AC 于E 点，D 为BC 的中点．求证：DE 与⊙O 相切．
【分析】先判断出，∠2=∠A，∠3=∠1，进而判断出∠1=∠2，即可判断出△OED≌△OBD 即
可得出DE⊥OE，即可得出结论．
【解答】解：连接OD，OE，
∵O，D 分别是AB，BC 中点，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠A，∠3=∠1，
∵OA=OE，
∴∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
在△OED 和△OBD 中，
，
∴△OED≌△OBD，
∴∠OED=∠ABC=90°，
∴DE⊥OE，
∵点D 在⊙O 上，
∴DE 与⊙O 相切．
【点评】此题是切线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解
本题的关键是判断出，△OED≌△OBD．
24．（10 分）（2007•唐山一模）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽
为2m，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y=4，解出x 与2
作比较；（3）隧道内设双行道后，求出横坐标与2 作比较．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y=a（x
4
﹣）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2=a（0
4
﹣）2+6．
所以a=﹣
．
因此有：y=﹣
+6．
（2）令y=4，则有4=﹣
+6，
解得x1=4+2
，x2=4
2
﹣
，
|x1
x
﹣2|=4
＞2，
∴货车可以通过；
（3）由（2）可知
|x1
x
﹣2|=2
＞2，
∴货车可以通过．
【点评】此题考抛物线的性质及其应用，求出横坐标与货车作比较，从而来解决实际问题．
25．（12 分）（2010•滨州）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，
），以点C 为顶点
的抛物线y=ax2+bx+c 恰好经过x 轴上A、B 两点．
（1）求A、B、C 三点的坐标；
（2）求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出
平移了多少个单位．
【分析】（1）过C 作CE⊥AB 于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD 是菱
形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在
Rt△BCE 中，根据勾股定理即可求出m 的值，由此可确定A、B、C 三点的坐标；
（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）设出平移后的抛物线解析式，将D 点坐标代入此函数的解析式中，即可求出平移后的函
数解析式，与原二次函数解析式进行比较即可得到平移的单位．
【解答】解：（1）过C 作CE⊥AB 于E，由抛物线的对称性可知AE=BE，
在Rt△AOD 和Rt△BEC 中，
∵OD=EC，AD=BC，
∴Rt△AOD≌Rt△BEC（HL），
∴OA=BE=AE，（1 分）
设菱形的边长为2m，
在Rt△AOD 中，
，
解得m=1；
∴DC=2，OA=1，OB=3；
∴A、B、C 三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，
）；（4 分）
（2）设抛物线的解析式为y=a（x
2
﹣）2+
，
代入A 点坐标可得a=﹣
，
抛物线的解析式为y=﹣
（x
2
﹣）2+
；（7 分）
（3）设抛物线的解析式为y=﹣
（x
2
﹣）2+k，
代入D（0，
）可得k=5
，
所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣
（x
2
﹣）2+5
，（9 分）
向上平移了5
﹣
=4
个单位．（10 分）
【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函
数图象的平移，综合性较强，难度适中．
