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广西贵港市平南县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、
（D）的四个选项，其中只有一个是正确的
1．方程4x2=16 的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=
4
﹣D．x=±2
2．下列说法正确的是（ ）
A．一个点可以确定一条直线
B．在图形旋转中图形上可能不存在动点
C．三个点可以确定一个圆
D．平分弦的直径垂直于弦
3．下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ）
A．110° B．70°
C．55°
D．125°
5．如图，某小区有一块长为18 米，宽为6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿
地，它们的面积之和为60 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道
的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是（ ）
A．x2+9x
8=0
﹣
B．x2
9x
8=0
﹣
﹣
C．x2
9x+8=0
﹣
D．2x2
9x+8=0
﹣
6．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′
的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
7．如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
8．抛物线y=
2x
﹣
2+1 的对称轴是（ ）
A．直线x=
B．y 轴C．直线x=2 D．直线x=﹣
9．若方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根分别是x1，x2，则x1
2+x2
2的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．11
D．﹣11
10．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从
50 吨下降到40.5 吨，则平均每年下降的百分率是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
11．若A（﹣
，y1），B（
，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x
5
﹣的图象上的三点，则y1，
y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
经过平移得到抛物线y=
，其对称轴
与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函
数”．请写出两个为“同簇二次函数”的函数 ．
14．三角形两边长分别为3 和6，第三边是方程x2
6x+8=0
﹣
的解，则此三角形周长是
．
15．如图，AB 是半圆的直径，点C 在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上运动．
则∠ACP 的度数可以是 ．
16．如图，点A，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A，B 不重合），连接AP，
PB，过点O 分别作OE AP
⊥
于E，OF PB
⊥
于F，则EF= ．
17．若抛物线y=（x
2m
﹣
）2+3m
1
﹣（m 是常数）与直线y=x+1 有两个交点，且这两个交点分别
在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是 ．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得
到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8 个小题，满分66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程：x2
x
12=0
﹣﹣
．
20．如图，已知点A、B、C 的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）．将△ABC 绕点A 按逆时针方
向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）求点C′的坐标．
21．关于x 的一元二次方程x2
3x
k=0
﹣
﹣
有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
22．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，
得到△DEC，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求n 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
23．据媒体报道，我国2012 年公民出境旅游总人数约5000 万人次，2014 年公民出境旅游总
人数约7200 万人次，若2013 年、2014 年出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2015 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2015 年我国公民出境旅游总人数约
多少万人次？
24．（10 分）（2015 秋•平南县期中）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物
线y=x2
3
﹣向右平移1 个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A，点B 在该抛物线上，且横
坐标为3．
（1）求点M、A、B 坐标；
（2）若顶点为M 的抛物线与x 轴的两个交点为D、C，试求线段DC 的长．
25．（10 分）（2014•武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，C，P 是
上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P 是
的中点，求PA 的长；
（2）如图（2），若点P 是
的中点，求PA 的长．
26．（12 分）（2014•始兴县校级模拟）如图，抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A
在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P 在x 轴
上运动，过点P 作PM x
⊥轴，交抛物线于点M，交直线BC 于点N，设点P 的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，若△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；
（3）当以C、O、M、N 为顶点的四边形是以OC 为一边的平行四边形时，求m 的值．
广西贵港市平南县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、
（D）的四个选项，其中只有一个是正确的
1．方程4x2=16 的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=
4
﹣D．x=±2
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】把系数化为1，直接开方得出答案即可．
【解答】解：4x2=16，
x2=4，
x=±2．
故选：D．
【点评】此题考查解一元二次方程的方法﹣直接开平方，掌握解方程的步骤与方法是解决问
题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．一个点可以确定一条直线
B．在图形旋转中图形上可能不存在动点
C．三个点可以确定一个圆
D．平分弦的直径垂直于弦
【考点】命题与定理．
【分析】根据直线的性质公理判断A；根据旋转的定义判断B；根据确定一个圆的条件判断C；
根据垂径定理推论判断D．
【解答】解：A、过一点有无数条直线，两点确定一条直线，所以一个点不能确定一条直线，故
本选项错误；
B、在图形旋转中，旋转中心不变，所以图形上可能不存在动点，故本选项正确；
C、不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故本选项错误；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
题的真假关键是要熟悉课本中的定义与定理．
3．下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
轴折叠后可重合．
4．如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ）
A．110° B．70°
C．55°
D．125°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】首先通过同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出角A，再利用圆内接四边形的对角
互补，可以求出∠BDC．
【解答】解：∵∠BOC=110°
A=
∴∠
BOC=
∠
×110°=55°
又∵ABDC 是圆内接四边形
A+ D=180°
∴∠
∠
D=180°
55°=125°
∴∠
﹣
故选D．
【点评】熟练掌握圆周角定理．理解圆内接四边形的性质．
5．如图，某小区有一块长为18 米，宽为6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿
地，它们的面积之和为60 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道
的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是（ ）
A．x2+9x
8=0
﹣
B．x2
9x
8=0
﹣
﹣
C．x2
9x+8=0
﹣
D．2x2
9x+8=0
﹣
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】设人行道的宽度为x 米，根据矩形绿地的面积之和为60 米2，列出一元二次方程．
【解答】解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，
（18
3x
﹣
）（6
2x
﹣
）=60，
化简整理得，x2
9x+8=0
﹣
．
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为
60 米2得出等式是解题关键．
6．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′
的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即
可．
【解答】解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
A′OA=45°
∴∠
，∠AOB= A′OB′=15°
∠
，
AOB′= A′OA
A′OB′=45°
15°=30°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，
∠AOB= A′OB′=15°
∠
是解题关键．
7．如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
【考点】二次函数的性质．
【分析】需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标是P（1，3），
∴对称轴为x=1，
又∵抛物线开口向下，
∴函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是x＞1．
故选C．
【点评】考查二次函数的图象与性质．
8．抛物线y=
2x
﹣
2+1 的对称轴是（ ）
A．直线x=
B．y 轴C．直线x=2 D．直线x=﹣
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据对称轴的公式求出对称轴即可．
【解答】解：∵y=
2x
﹣
2+1 是抛物线的顶点式，
∴抛物线y=
2x
﹣
2+1 的对称轴是直线x=0，或y 轴，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握求抛物线的顶点坐标的方法是解题的关键．
9．若方程x2
3x
1=0
﹣
﹣
的两根分别是x1，x2，则x1
2+x2
2的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．11
D．﹣11
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1•x2=
1
﹣，再变形x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1•x2，然后
利用整体思想进行计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1•x2=
1
﹣，
x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1•x2=32
2×
﹣
（﹣1）=11．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，
则x1+x2=﹣，x1•x2= ．
10．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从
50 吨下降到40.5 吨，则平均每年下降的百分率是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】解答此题利用的数量关系：原有降尘量×（1﹣平均每年下降的百分率）2=现在降尘量，
设出未知数，列出方程解答即可．
【解答】解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意列方程得，
50×（1
x
﹣）2=40.5，
解得：x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去），
答：平均每年下降的百分率是10%．
故选A．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，解答时要抓住每年下降的百分率是相同的，列出方程
解答即可解决问题．
11．若A（﹣
，y1），B（
，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x
5
﹣的图象上的三点，则y1，
y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
【解答】解：∵y=x2+4x
5=
﹣
（x+2）2
9
﹣，
∴对称轴是x=
2
﹣，开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（
，y2）离对称轴最近，C（，y3）离对称轴最远，
即y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
经过平移得到抛物线y=
，其对称轴
与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】压轴题．
【分析】根据抛物线解析式计算出y=
的顶点坐标，过点C 作CA y
⊥轴于点A，根据
抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积，然后求解即可．
【解答】解：过点C 作CA y
⊥，
∵抛物线y=
= （x2
4x
﹣
）= （x2
4x+4
﹣
）﹣2= （x
2
﹣）2
2
﹣，
∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的
解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函
数”．请写出两个为“同簇二次函数”的函数
y=2
（ x
3
﹣
）
2 +4
与
y=3
（ x
3
﹣
）
2 +4
（答案不唯
一）． ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】新定义；开放型．
【分析】只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇
二次函数”的函数表达式即可．
【解答】解：设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x
h
﹣）2+k，
当a=2，h=3，k=4 时，
二次函数的关系式为y=2（x
3
﹣）2+4．
2
∵＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4 时，
二次函数的关系式为y=3（x
3
﹣）2+4．
3
∵＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4 顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4 是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4．
故答案可以为y=2（x
3
﹣）2+4 与y=3（x
3
﹣）2+4（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x
h
﹣）2+k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为
x=h．当a＞0 时，抛物线开口向上；当a＜0 时，抛物线开口向下．
14．三角形两边长分别为3 和6，第三边是方程x2
6x+8=0
﹣
的解，则此三角形周长是
13
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2 时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4 时，看
看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2
6x+8=0
﹣
，
（x
2
﹣）（x
4
﹣）=0，
x
2=0
﹣
，x
4=0
﹣
，
x1=2，x2=4，
当x=2 时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2 舍去，
当x=4 时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边
的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
15．如图，AB 是半圆的直径，点C 在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上运动．
则∠ACP 的度数可以是
60°
．
【考点】圆周角定理．
【专题】开放型．
【分析】分类讨论：当点P 在点O 处时，根据等腰三角形的性质易得∠ACP=30°；当点P 在点
B 处时，根据圆周角定理易得∠ACP=90°，所以30°≤ACP
∠
的度数≤90°，然后在此范围内任
意取一个角度即可．
【解答】解：当点P 在点O 处时，PC=PA，此时∠ACP=30°；
当点P 在点B 处时，AB 为直径，此时∠ACP=90°，
所以30°≤ACP
∠
的度数≤90°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦
是直径．
16．如图，点A，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A，B 不重合），连接AP，
PB，过点O 分别作OE AP
⊥
于E，OF PB
⊥
于F，则EF=
5
．
【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】根据垂径定理和三角形中位线定理求解．
【解答】解：点P 是⊙O 上的动点（P 与A，B 不重合），但不管点P 如何动，因为OE AP
⊥
于E，
OF PB
⊥
于F，根据垂径定理，E 为AP 中点，F 为PB 中点，EF 为△APB 中位线．根据三角形中
位线定理，EF= AB= ×10=5．
【点评】此题是一道动点问题．解答此类问题的关键是找到题目中的不变量．
17．若抛物线y=（x
2m
﹣
）2+3m
1
﹣（m 是常数）与直线y=x+1 有两个交点，且这两个交点分别
在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是
m ＜
2
．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数y=（x
2m
﹣
）2+3m
1
﹣（m 是常数）与直线y=x+1 有两个交点，且这两个
交点分别在抛物线对称轴的两侧，则（2m
2m
﹣
）2+3m
1
﹣＜2m+1，求出k 的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y=（x
2m
﹣
）2+3m
1
﹣（m 是常数）与直线y=x+1 有两个交点，且这两个交
点分别在抛物线对称轴的两侧，
∴当x=2m 时，y＜2m+1，所以把x=2m 代入解析式中得：（2m
2m
﹣
）2+3m
1
﹣＜2m+1
m
∴＜2，
所以m 的取值范围是m＜2．
故答案是：m＜2．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴交点，得出当x=2m 时，y＜2m+1 是解题关键．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得
到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 （
36
，
0 ）
．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据前四个图形的变化寻找旋转规律，得到⑩的直角顶点的坐标．
【解答】解：由原图到图③，相当于向右平移了12 个单位长度，象这样平移三次直角顶点是
（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为
（36，0）．
故答案为：（36，0）．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，要通过几次旋转观察
旋转规律，学生往往因理解不透题意而出现问题．
三、解答题（本大题共8 个小题，满分66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程：x2
x
12=0
﹣﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为
0 转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：（x+3）（x
4
﹣）=0，
可得x+3=0 或x
4=0
﹣
，
解得：x1=
3
﹣，x2=4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．
20．如图，已知点A、B、C 的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）．将△ABC 绕点A 按逆时针方
向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）求点C′的坐标．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到点B'、C'，然后顺次连接作
出图形；
（2）根据网格结构，写出点C′的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
；
（2）由（1）得，点C′的坐标为（﹣2，5）．
【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出各点的对应点．
21．关于x 的一元二次方程x2
3x
k=0
﹣
﹣
有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【专题】开放型．
【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k 的取值范围；
（2）在k 的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2
4
﹣（﹣k）＞0，
即4k＞﹣9，解得
；
（2）若k 是负整数，k 只能为﹣1 或﹣2；
如果k=
1
﹣，原方程为x2
3x+1=0
﹣
，
解得，
，
．
（如果k=
2
﹣，原方程为x2
3x+2=0
﹣
，解得，x1=1，x2=2）
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
22．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，
得到△DEC，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求n 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
【考点】旋转的性质；含30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC 是等边三角形，即可得出∠ACD
的度数；
（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转
n 度后，得到△DEC，
AC=DC
∴
，∠A=60°，
ADC
∴△
是等边三角形，
ACD=60°
∴∠
，
n
∴的值是60；
（2）四边形ACFD 是菱形；
理由：∵∠DCE= ACB=90°
∠
，F 是DE 的中点，
FC=DF=FE
∴
，
CDF= A=60°
∵∠
∠
，
DFC
∴△
是等边三角形，
DF=DC=FC
∴
，
ADC
∵△
是等边三角形，
AD=AC=DC
∴
，
AD=AC=FC=DF
∴
，
∴四边形ACFD 是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半等知识，得出△DFC 是等边三角形是解题关键．
23．据媒体报道，我国2012 年公民出境旅游总人数约5000 万人次，2014 年公民出境旅游总
人数约7200 万人次，若2013 年、2014 年出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2015 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2015 年我国公民出境旅游总人数约
多少万人次？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意2013 年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人
次，2014 年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；
（2）2015 年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．
【解答】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，根据题意得：
5000（1+x）2 =7200，
解得x1 =0.2=20%，x2 =
2.2
﹣
（不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2015 年仍保持相同的年平均增长率，
则2015 年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．
答：预测2015 年我国公民出境旅游总人数约8640 万人次．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解决问题的关键．
24．（10 分）（2015 秋•平南县期中）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物
线y=x2
3
﹣向右平移1 个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A，点B 在该抛物线上，且横
坐标为3．
（1）求点M、A、B 坐标；
（2）若顶点为M 的抛物线与x 轴的两个交点为D、C，试求线段DC 的长．
【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点．
【分析】（1）抛物线y=x2
3
﹣的顶点坐标为（0，﹣3），顶点向右平移一个单位后得到M 点的坐
标为（1，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x
1
﹣）2
3
﹣；再求x=0 的函数值即可得到A
点坐标；然后求自变量为3 时的函数值即可得到B 点坐标；
（2）根据抛物线与x 轴的交点问题，解方程（x
1
﹣）2
3=0
﹣
即可得到C、D 的坐标，然后计算两
点之间的距离即可．
【解答】解：（1）抛物线y=x2
3
﹣向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x
1
﹣）2
3
﹣，则
顶点M 的坐标为（1，﹣3），
令x=0，则y=（0
1
﹣）2
3=
2
﹣
﹣，则点A 的坐标为（0，﹣2），
当x=3 时，y=（3
1
﹣）2
3=4
3=1
﹣
﹣
，则点B 坐标为（3，1）；
（2）令y=0，则（x
1
﹣）2
3=0
﹣
，解得x1=
+1，x2=﹣
1
﹣，则D（
+1，0），C（
﹣1，0），
所以DC=2
．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求
平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，
利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
25．（10 分）（2014•武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，C，P 是
上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P 是
的中点，求PA 的长；
（2）如图（2），若点P 是
的中点，求PA 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周
角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p 是弧AB 的中点，所以三角形APB 是等腰三
角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP 垂直平分BC，得出OP AC
∥
，从而得出△ACB
0NP
△
∽
，根据对应边
成比例求得ON、AN 的长，利用勾股定理求得NP 的长，进而求得PA．
【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，
AB
∵
是⊙O 的直径且P 是
的中点，
PAB= PBA=45°
∴∠
∠
，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB 中有AB=13，
PA=
∴
=
=
．
（2）如图（2）所示：连接BC．OP 相交于M 点，作PN AB
⊥
于点N，
P
∵点为弧BC 的中点，
OP BC
∴
⊥
，∠OMB=90°，
又因为AB 为直径
ACB=90°
∴∠
，
ACB= OMB
∴∠
∠
，
OP AC
∴
∥
，
CAB= POB
∴∠
∠
，
又因为∠ACB= ONP=90°
∠
，
ACB
0NP
∴△
△
∽
∴
=
，
又∵AB=13 AC=5 OP=
，
代入得 ON= ，
AN=OA+ON=9
∴
∴在Rt
OPN
△
中，有NP2=0P2
ON
﹣
2=36
在Rt
ANP
△
中 有PA=
=
=3
PA=3
∴
．
【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形
的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
26．（12 分）（2014•始兴县校级模拟）如图，抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A
在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P 在x 轴
上运动，过点P 作PM x
⊥轴，交抛物线于点M，交直线BC 于点N，设点P 的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，若△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；
（3）当以C、O、M、N 为顶点的四边形是以OC 为一边的平行四边形时，求m 的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点A，点C 的坐标代入抛物线y=
x
﹣2+bx+c，得出抛物线的解析式为y=﹣
x2+2x+3，令﹣x2+2x+3=0，得点B 的坐标（3，0），设直线BC 的解析式为y=kx+b，把C（0，3），
B 的坐标（3，0）代入，得出直线BC 的解析式为y=
x+3
﹣
．
（2）由△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形，得出CM x
∥轴，即点M 的纵坐标为3，把
y=3 代入y=
x
﹣2+2x+3，得x=0 或2，由PM x
⊥轴，得出点P 的横坐标为m=2．
（3）由抛物线的解析式可得出M（m，﹣m2+2m+3），由直线BC 的解析式可得N（m，﹣m+3），
由以C、O、M、N 为顶点的四边形是以OC 为一边的平行四边形，可得MN=OC=3，由方程﹣
m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，即可得无解．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=
x
﹣2+bx+c，得
，解
得
所以抛物线的解析式为y=
x
﹣2+2x+3，
令﹣x2+2x+3=0，解得x1=
1
﹣，x2=3，得点B 的坐标（3，0），
设直线BC 的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B 的坐标（3，0）代入，得
，解得
所以直线BC 的解析式为y=
x+3
﹣
．
（2）∵△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形，
CM x
∴
∥轴，即点M 的纵坐标为3，
把y=3 代入y=
x
﹣2+2x+3，得x=0 或2，
PM
x
∵
⊥轴，
∴点P 的横坐标为m=2．
（3）∵抛物线的解析式为y=
x
﹣2+2x+3，P 的横坐标为m
M
∴
（m，﹣m2+2m+3），
∵直线BC 的解析式为y=
x+3
﹣
．
N
∴（m，﹣m+3），
∵以C、O、M、N 为顶点的四边形是以OC 为一边的平行四边形，
MN=OC=3
∴
，
m
∴﹣
2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2
3m+3=0
﹣
，无解，
不存在m 这样的值．
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转
化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．
