（五四学制）数学教师教学用书7年级下册(1)_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

出 版 说 明
为了更好地满足义务教育教学的需求，山东教育出版社等单位受
山东省教育厅委托，以教育部审查通过的义务教育教科书为基础，改
编出版了一套适合五四分段教学使用的义务教育教科书。本书依据
《义务教育数学课程标准（2011年版）》，配合山东教育出版社《义务
教育教科书（五四学制）·数学》（七年级下册）编写而成，供教师教
学时参考使用。
本书力求体现义务教育课程标准精神和教科书的编写意图；从教
师教学实际出发，既有利于教师更好地把握教科书的内容，解决备课
中的实际困难，又留给教师一定独立发挥、独立钻研教科书的个性空
间；根据素质教育的要求，在每一教学环节都注重体现对学生进行知
识与能力、思想与方法、情感态度与价值观的培养；注意吸收数学教
育教学的最新研究成果；符合五四分段教学实际，体现五四学制教育
特色。
本书是在北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学教
师教学用书》（八年级上册）的基础上改编而成的。参加本书改编的人
员是韩际清、王德刚、云鹏、柳圣明、刘崇渭、陈杰、赵水祥、辛珍
文，由马复、韩际清主编。  
欢迎广大教师在使用过程中提出修改意见和建议，以利于本书的
不断改进和完善。
山东教育出版社
山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
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山东教育出版社
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义
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书
Ⅰ
目   录
第七章 二元一次方程组
1 二元一次方程组 
6（2）
2 解二元一次方程组 
10（6）
3 二元一次方程组的应用 
17（13）
4 二元一次方程与一次函数 
25（19）
5 三元一次方程组 
30（24）
回顾与思考 
35（28）
复习题 
36（28）
综合与实践
 哪一款“套餐”更合适 
46（31）
第八章 平行线的有关证明
1 定义与命题 
59（34）
2 证明的必要性 
63（38）
3 基本事实与定理 
66（41）
*
山东教育出版社
X U
东教育出
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山
X
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山东
X
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出版社
版
七章
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七章
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1
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山东教育出版社             山东教育出版社
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教育出版社
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山东教育出版社
教育
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S H U X U E
义
务
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育
教
科
书
Ⅱ
4 平行线的判定定理 
70（45）
5 平行线的性质定理 
74（48）
6 三角形内角和定理 
77（51）
回顾与思考 
87（60）
复习题 
89（60）
第九章 概率初步
1 感受可能性 
101（66）
2 频率的稳定性 
106（70）
3 等可能事件的概率 
114（77）
回顾与思考 
126（87）
复习题 
128（87）
第十章 三角形的有关证明
1 全等三角形 
141（92）
2 等腰三角形 
149（100）
3 直角三角形 
162（111）
4 线段的垂直平分线 
169（118）
5 角平分线 
177（125）
山东教育出版社
X U
东教育出
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山
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山东
X
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出版社
版社
版
回顾与思
社
回顾与思
复习题
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山东教育出版社             山东教育出版社
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教育出版社
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87（
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89
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能性
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3
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回顾与
  
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山东教育出版社
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山东
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128
版社
128（
版社
（87
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87）
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）
明
东教
明
Ⅲ
回顾与思考 
184（131）
复习题 
188（131）
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
1 不等关系 
204（136）
2 不等式的基本性质 
208（139）
3 不等式的解集 
211（141）
4 一元一次不等式 
214（143）
5 一元一次不等式与一次函数 
220（147）
6 一元一次不等式组 
226（151）
回顾与思考 
234（158）
复习题 
236（158）
综合与实践
 生活中的“一次模型” 
243（161）
总复习题 
252（162）
S H U X U E
义
务
教
育
教
科
书
 注：括号内页码系教科书的页码.
山东教育出版社
育出
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不等式与一元
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不等式与一元
等式的基本性
教育
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不等式的解
东教
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教
山东
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214
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教育出版
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教育出版社
山东教育
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3
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山东
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161）
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教育出版社
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1
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七年级  下册
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ஔ学用书
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本书Κ据ǒ义务教育数学课程ಖю（2011年版）Ǔ（̿
下እሦǒಖюǓ），ᦡ合山东教
育出版社ᄱ应的五四学制ǒ义务教育教科书·数学Ǔ编ᣤᏫੇ
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事教学௑参考.
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型—解᧖nj应用与઩࡙
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山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
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七年级  下册
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山东教育出版社
学活ү的教学
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山东教育出版社             山东教育出版社
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社 
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આК҂有ਓ义的
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教师ښ教学中要
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教育
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山东教育出版社
Ύ用ᝠካ
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ώҰ新੿షԝ
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୲ͻ活ү，Ꮻ
出版社
୲ͻ活ү，Ꮻ
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七年级  下册
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ஔ学用书
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题Ὑ能աຍംڡ᛫᣺解х᫈
题的᣿程，ࣳ
解᧖ፇ౧的合理性Ὑ能աࠫ
解х᫈
题的᣿
程ᤉ行Ԧ思，ࣳ
ᖍ४解х᫈
题的ፃᰎ.  ࠫ
学生ৱ感与গए的ក价，应ፇ合Цʹ的教学᣿程
和᫈
题ৱܒ，ᬤ௑̀
解̵̓
学习数学的˟ү性njᒭηॷnjࠫ
数学活ү的Уᡚ和应用数学
ᅼគ解х᫈
题的ਓគ.  ࠫ
学生ଂଧ基ᆩᅼគ和基本੿能࿄ц的ក价，应ᅌ重考ಊ学生ࠫ
ᅼ
គ与੿能的理解和ᤂ用，Ꮻ不௧ࠫ
ᅼគ的఻೚ᝮॺ和᣿分的੿ࢼ性要ර.  应ेूូ
的௧，
ǒಖюǓਫ਼ѵ的教学ᄬಖ௧本学段ፇౌ
௑学生应᣺҂的ᄬಖ，不能要රඈ一˔学生ښᄱ应
内ࠔ学习˨Ցቡԁ᣺҂，应Њ᝵̵̓
ፃ᣿一段௑ᫎ
的ұҧ和ᅼគnj੿能与ፃᰎ的ሥግᏫᤪ
൦᣺҂.
要᧔用ܳ
ನӑ的ក价方式，ݠ书᭧考តnj԰តnjͻˊ分ౢ
nj课۶᜺ࠣ
nj课Ց᝻េnjथ
ቡ数学ੇ᫂
ᝮै
nj୩и࠵᝷஡和活үઑշ等，юᆸ̀
解学生的数学学习࿄ц.  ښ᧔用书᭧
考ត௑，教师要ોི
ǒಖюǓ的要ර，଍制考តᬲएԣ次数，଍制ࠇ᜺题型的උΓ，ᥘВ
Ϡ题njর题和൫ᝮᆶᑀ的题ᄬ.  ࠫ̆
፬合与实᡻，学生ᭊ要一定的୲ͻ和思考௑ᫎ
，ᤇᭊ
要和Տͧ
ᤉ行ᝧ᝷与̔ื
，ॢ
ᬲښ一次书᭧฾ᰎ中߹ੇ
.  ڂ൥，教师应ฌ重ក价学生፬合
与实᡻学习的᣿程，不ࠂં߲
ጪК҂书᭧考ត（฾ᰎ）的ᔵڊ˨中.
ښնဘក价ፇ౧௑，应重᜽定性ក价的ͻ用，᧔用定性与定᧚ᄱፇ合的方ข.  定性ក
价可᧔用កឦ的形式，更ܳ
ڡ关ฌ学生ࣃፃଂଧ̤̀
˦，有哪̏
ᤉ൦，Цܬ̤̀
˦能ҧ，
ᤇᭊ要ښ哪̏
方᭧ұҧ等，̿
Ύក价ፇ౧有Ѿ̆
学生ಞቡ学习数学的ᒭηॷ，ଢᰴ学生学
习数学的Уᡚ，Ψᤉ学生的全᭧发࡙
.
پnjїགឭ௚
 ஔሙ书ʹΓ
本版教科书̿
学生的学习活ү˞出发ག，ԁ࠲教科书ᯫЏ᜽˞学生学习的“学ె
”. 
教科书ʹΓ̿
“ቦ”˞一˔基本ӭͯ
，不Տቦ˨ᫎ
的ʹΓࣳ
௄明௭ӝѿ.  ඈ一ቦ的基本ʹ
Γݠ下：
（1）ቦᯫᮆ.  ӊ઺：本ቦՐሦnj本ቦ˟题图nj本ቦळᝓ
nj本ቦ学习ᄬಖ.  
（2）ᔪࣰ
ᓬ.  ඈ一ᓬܸ
ᒱӊ઺：
——ᓬՐሦ.  
——᫈
题ৱܒ：̿
学生ᒭᢶ和ևڊဗܒ中的ᒭཀྵဘ៶nj社͘
生活nj数学ੋ
Х̵
学科中
的᫈
题˞ᅼគ学习的ѭКག，ቊ出数学与ဘ实ˇႍ
njХ̵
学科˨ᫎ
的ᐏ系，̿
ԣᅼគ̗
生
的ႀ౏，ळ发学生的学习൘మ，ࣳ
ळ࠮̵̓
的思፥ૉՔ࠲要学习的新ᅼគ.  
——᫈
题˙：ႀู
Кງ，ଢ出一系ѵ有思፥ࡏ次ੋ
不Տ理解ງए的᫈
题，ҧ图Ύඈ一
山东教育出版社
基ᆩᅼ
社
基ᆩᅼ
௧ࠫ
ᅼគ的఻
版社
௧ࠫ
ᅼគ的఻
本学段ፇౌ
௑
版社
本学段ፇౌ
௑
，应Њ᝵̵̓
出版
，应Њ᝵̵̓
ನӑ的ក价方式
教育出
ನӑ的ក价方式᫂
ᝮै
nj୩и࠵
教育᫂
ᝮै
nj୩и࠵
，教师要ોི
东教
，教师要ોི
题njর题和൫
山东教
题njর题和൫
要和Տͧ
ᤉ
山东
要和Տͧ
ᤉ
实᡻学
山
实᡻学
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
数学
版社
数学
学生ࠫ
ᅼ
版社
学生ࠫ
ᅼेूូ
的௧，
出版ेूូ
的௧，
ඈ一˔学生ښᄱ
育出
ඈ一˔学生ښᄱ
能与ፃᰎ的ሥ
教育出
能与ፃᰎ的ሥౢ
nj课۶᜺ࠣ
东教ౢ
nj课۶᜺ࠣ
学生的数学学习
山东
学生的数学学习
एԣ次数，଍制
山东
एԣ次数，଍制
，学生ᭊ要一
山
，学生ᭊ要一
฾ᰎ中߹ੇ
.  
 
฾ᰎ中߹ੇ
.  
᭧考ត（฾ᰎ
 
᭧考ត（฾ᰎ
性ក价的ͻ用
 
性ក价的ͻ用
关ฌ学生ࣃፃଂ
  
关ฌ学生ࣃፃଂ̿
Ύក价ፇ౧
社 ̿
Ύក价ፇ౧
生的全᭧发࡙
社 
生的全᭧发࡙
ឭ௚
出版
ឭ௚
ሙ书ʹΓ
育出版
ሙ书ʹΓ
版教科书̿
学
育出
版教科书̿
学
科书ʹΓ̿
“
教育
科书ʹΓ̿
“
Γݠ下：
东教
Γݠ下：
（1
东教
（1
山东教育出版社
学生学
社
学生学
᜽˞学生学习
教育
᜽˞学生学习
௄明௭ӝѿ. 
东教育
௄明௭ӝѿ. 
本ቦळᝓ
nj本ቦ
山东
本ቦळᝓ
nj本ቦ
4
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书ͯ
学生ᦐ能આК҂学习活ү中，不Տ的学生有不Տ的ஆᖍ.  
——数学活ү：Κ据学生ࣃ有的ᅼគᑀఀ
和活үፃᰎ，᧫ࠫ
ᄱ应学习˟题，Ք学生ଢ
Ι̿
ᒭ˟ଊጊnj合ͻ̔ื
等方式ᤉ行的˟ү式学习活ү，ӊ઺“Ϣ一Ϣ”“ਇ一ਇ”“ᝬ一
ᝬ”等.  
——思考与ட理：ᝨ学生ፃԋॆ
ጪnj概઺等᣿程，ଢང出上ᤘ活ү中的数学学习ࠫ
៶，ࣳ
用ᒭࣂྀ
৙的方式njឦᝓ
ԣ数学ኀ号ԝ᛫᣺.  
——明ఁ：̿
ᣗ˞᜻ᔵ的形式᛫᣺˟要的数学ࠫ
៶（ݠ重要的ፇ᝷njషឦnj概ঐnjข
ѷ等）.  
——Γ题：直ଌᐏ系ਫ਼学内ࠔ的基ᆩ性᫈
题.  
——ᬤ۶ጷ习：与ЏҒ的数学活үੋ
Γ题关ᐏ的基本᫈
题.  
——឴
一឴
：与学习˟题ࠛ
ѭᄱ关的数学Ծ实njဘ实中的数学应用̮
ፁ஡ቦੋ
ᡚ֊性
࠵ֶ
஡.  ඈቦᒰ࠶有一ኽ.  
——习题.  ഷՔ分˞：ᅼគ੿能nj数学理解nj᫈
题解хnjᐏ系઩ࣹ
ὙጫՔ分˞：一ᓊ
性᫈
题nj࠽ត性᫈
题（̿
“Ą”ಖᝮ）.  
（3）ቦՑ࠵ፇ：回顾与思考.  ̿
᝺᫈
的方式，ᝨ学生ᤰ᣿思考与̔ื
，೛理ਫ਼学的ᅼ
គ，थቡኀ合˔ʹᝣᅼྲ
ག的ᅼគፇ౞.  
（）ቦ复习题.  复习题与习题ዝͫ
，˷̰
ഷՔnjጫՔː˔方᭧ᤉ行̀
分ዝ.  
 ஔ࣎
ஔ学用书ʹΓ
教师教学用书௉ښळ࠮教师ࣟ
Ұ学生学习.    与教科书ᄱՏ，教师教学用书ʹΓ˷̿
“ቦ”˞一˔基本ӭͯ
，Х基本ʹΓښ̿
教科书的ʹΓ˞“ጩ”的Ғଢ下，ܙҫ̀
ᄱ应
的教的要ጉ，̿
ʹဘ“教师টನϢ੦有Ұ̆
学生有஍ڡ学”的ૉ࠮思ਇ.    教师教学用书
ඈ一ቦ的基本ʹΓݠ下：
（1）ǒಖюǓ要ර：̮
ፁǒಖюǓࠫ
ᄱ关内ࠔ的Цʹ要ර.  
（2）教学ᄬಖ：ᤰ᣿本ቦ教学活ү࣏
మ᣺ੇ
的ܳ
፥课程ᄬಖ.  
（3）᝺ᝠ思路：̮
ፁ本ቦ教科书的编иਓ图nj编и思路̿
ԣ内ࠔ重ॷ等，᫨ᤘ本ቦ内
ࠔ与本册书ੋ
全套书Х̵
ᄱ关内ࠔ˨ᫎ
的关系.  
（）课௑安ଆथᝬ：ଢ出本ቦЦʹ教学课௑安ଆथᝬ.  
（5）教学थᝬ（঴ʹ）：᧫ࠫ
本ቦ教学重ॷԣ要ག，ଢ出一̏
ښ教学活ү中的ܫ理方
ขnjฌਓག，̿
ԣᤥહХ̵
教学资ູ
等方᭧的୲ͻ性थᝬ.  
（6）ក价थᝬ（঴ʹ）：᧫ࠫ
本ቦ教学内ࠔԣ教学活ү的重ॷnj要ག，ଢ出˟要的教
学ក价方᭧和方ข.  
（7）Պᓬ（ӊ઺“回顾与思考”）Цʹ教学ឭ明：᧫ࠫ
ඈ一ᓬ（ӊ઺“回顾与思
山东教育出版社
ፃԋ
社
ፃԋ
ឦᝓ
ԣ数学
版社
ឦᝓ
ԣ数学
᜻ᔵ的形式᛫
版社
᜻ᔵ的形式᛫
直ଌᐏ系ਫ਼学
育出
直ଌᐏ系ਫ਼学
ᬤ۶ጷ习：与Џ
教育出
ᬤ۶ጷ习：与Џ
——឴
一឴
：与
教育
——឴
一឴
：与ֶ
஡.  ඈቦᒰ
东教ֶ
஡.  ඈቦᒰ
——习
山东教
——习
性᫈
题
山东
性᫈
题
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
ᝬ一
社
ᝬ一
的数学学习ࠫ
版社
的数学学习ࠫ
᝷njషឦnj概
育出
᝷njషឦnj概
本᫈
题. 
东教
本᫈
题. 
ဘ实中的数学
山东
ဘ实中的数学
理解nj᫈
题解
山
理解nj᫈
题解̿
᝺᫈
的方式
 ̿
᝺᫈
的方式
ᅼគፇ౞.  
ᅼគፇ౞.  
与习题ዝͫ
，
  
与习题ዝͫ
，
Γ
社
Γ
௉ښळ࠮教师
社 
௉ښळ࠮教师
基本ӭͯ
，Х
版社
基本ӭͯ
，Х
ጉ，̿
ʹဘ“教
出版
ጉ，̿
ʹဘ“教
ቦ的基本ʹΓݠ
育出版
ቦ的基本ʹΓݠ
（1）ǒಖю
育出
（1）ǒಖю
（2）教
教育
（2）教
（3
教
（3
ࠔ与
东教
ࠔ与
山东教育出版社
用书ʹΓ˷̿
版社
用书ʹΓ˷̿
ଢ下，ܙҫ̀
出版社
ଢ下，ܙҫ̀
࠮思ਇ.    教师教
出版
࠮思ਇ.    教师教
要ර.  
教育
要ර.  
课程ᄬಖ. 
东教育
课程ᄬಖ. 
编и思路̿
ԣ
东教
编и思路̿
ԣ
௑安ଆथᝬ
山
௑安ଆथᝬ
5
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
考”）Цʹ的活үੋ᫈
题等，ଢ出教学थᝬ，ଢΙᄱ关᫈
题的ንವ.  
（8）ᬄै
：ଢΙ一˔Ч型教学ವΓԣХក价.  有̏
ቦᤇଢΙ一̏
学科઩࡙
ᅼគ.  
 Ύ用ឭ明
（1）̰
Цʹ୲ͻࡏ᭧ᄺ，不Տ的教师᧫ࠫ
Տನ的教学内ࠔ可̿
有ᒭࣂ的教学方式nj方
ข，ᤈࡃ௧教学ѹᤵ性的一መʹဘ.  教师ᤉ行有஍教学ѹᤵ的Ғଢ௧юᆸં
ଧǒಖюǓ的
要රnj理解教科书的编иਓ图.  ڂ൥，教师教学௑可ښᥖ॰上ᤘԔѷ的基ᆩ上，ಪ据学生
的实ᬅ࿄ц，ѹᤵ性ڡΎ用本书，ݠஈԫੋ
ణ૱教科书中的Γ题ੋ
习题，ڂڡ制ࠂڡѹ᝺
一̏
学习ৱܒnj学习ጉె
和教学用Ц.
（2）教科书中ᭊ要学生߹ੇ
的任务，ӊ઺ॆ
ጪขѷ（方ข）njଡᤘ概ঐ（定义）nj঴
ፇਫ਼学内ࠔ的ᅼគፇ౞等.  应ᯫЏᴂҵ学生ᤰ᣿࿘ቡ思考与合ͻ̔ื
ፌ出Պᒭ的ንವ，教
师ѷښ学生Ѝ分活ү的基ᆩ˨上̮
ፁ᜻ᔵ的᛫ᤘ，ͮ
不ࠂ要ර学生఻೚ᝮॺ᜻ᔵ的᛫ᤘ，
应ଢϏښ̀
解不Տንವ的基ᆩ˨上，ඈ˔̡
ᤥહత适合ᒭࣂ的ንವ.
（3）教科书中的“឴
一឴
”ᄬ的ښ̆
ፌࠫ
数学有Уᡚ的学生̿
更ܳ̀
解数学njଊቃ数
学的఻͘
，௧教学中“ु
性”的一መ᛫ဘ.  教学中应明ᆸ：有Уᡚ的学生可̿
ᤥહᄱ关ె
料ᤉ行᫞឴
和思考，教师ѷ有义务ፌ̵̓
ଢΙ必要的ࣟ
Ұ.   习题中ࣜ
“Ą”的内ࠔ̩̩
᭧
Քᦊ分学生，̿
໘ᡜ̵̓
ᤉ一൦理解和ᆑቃ有关ᅼគ与方ข的ᭊර，௧ʹဘ教学“ु
性”
的Գ一˔方᭧，不应े
要ර全ʹ学生ᦐ࠽តԝ߹ੇ߲̓
.
（）本书的ᄬ的ښ̆ࣟ
Ұ教师更ݞڡં
ଧ教科书，ӊ઺߲
的঴ʹᄬಖnj编и思路nj内
ࠔፇ౞nj教学中应े́̿
关ฌ的重ག和ᬲག.  ਫ਼ଢ教学थᝬ̩
Ι教师ښ教学᣿程中参考，࣏
మࣹܸ
教师ښΎ用᣿程中߲ࠫ
ଢ出ࠃ᠜的ਓ᜹和थᝬ.  
៙៙Ἷ
山东教育出版社
教师
社
教师
ڂ൥，教师
版社
ڂ൥，教师
本书，ݠஈԫ
版社
本书，ݠஈԫె
和教学用Ц
出版ె
和教学用Ц
ᭊ要学生߹ੇ
育出
ᭊ要学生߹ੇ
ᅼគፇ౞等.  应
教育出
ᅼគፇ౞等.  应
生Ѝ分活ү的基
教育
生Ѝ分活ү的基
ښ̀
解不Տን
东教
ښ̀
解不Տን
（3）教科书
山东
（3）教科书
学的఻͘
，
山东
学的఻͘
，
ᤉ行᫞
山
ᤉ行᫞
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
nj方
版社
nj方
ಖюǓ的
版社
ಖюǓ的
上，ಪ据学生
出版
上，ಪ据学生
ڂڡ制ࠂڡѹ
育出
ڂڡ制ࠂڡѹ
njଡᤘ概ঐ（
教育
njଡᤘ概ঐ（
合ͻ̔ื
ፌ出
东教
合ͻ̔ื
ፌ出
ࠂ要ර学生఻೚
山东
ࠂ要ර学生఻೚
适合ᒭࣂ的ንವ
山东
适合ᒭࣂ的ንವ
学有Уᡚ的学
山
学有Уᡚ的学
教学中应明ᆸ
 
教学中应明ᆸ̓
ଢΙ必要的ࣟ
 ̓
ଢΙ必要的ࣟ
解和ᆑቃ有关ᅼ
 
解和ᆑቃ有关ᅼ
ʹ学生ᦐ࠽តԝ
  
ʹ学生ᦐ࠽តԝ
Ұ教师更ݞڡ
社 
Ұ教师更ݞڡ̿
关ฌ的重ག
社 ̿
关ฌ的重ག
用᣿程中߲ࠫ
版社
用᣿程中߲ࠫ
山东教育出版社
路nj内
社
路nj内
中参考，
版社
中参考，
1
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ኄʹቦ
̄
Ћʷ൓வሮጸ
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. ଊጊЦʹ᫈
题中的数᧚关系和ԫӑ᜻॥，ଂଧ用方程nj函数ᤉ行᛫ᤘ的方ข，ʹ͘
模型的思ਇ，थቡኀ号ਓគ.
2. 初൦学͘
ښЦʹ的ৱܒ中能̰
数学的角ए发ဘ᫈
题和ଢ出᫈
题，ࣳ
፬合ᤂ用数学ᅼ
គ和方ข等解хእӭ的实ᬅ᫈
题，ܙू
应用ਓគ，ଢᰴ实᡻能ҧ.
3. 能ಪ据Цʹ᫈
题中的数᧚关系ѵ出二元一次方程组，ʹ͘
方程௧҉ႇဘ实ˇႍ
数᧚
关系的有஍模型.
4. ଂଧ̽
К๗元ข和ҫѓ๗元ข，能解二元一次方程组和እӭ的三元一次方程组.
5. ʹ͘
一次函数与二元一次方程的关系，͘
Ѿ用ॠ定系数ขᆸ定一次函数的᛫᣺式.̄
nj教ߦ目ಖ
1. ፃԋ̰
实ᬅ᫈
题中ચ៶出二元一次方程组的᣿程，ʹ͘
方程的模型思ਇ，发࡙
学生
༧活ᤂ用有关ᅼគ解х实ᬅ᫈
题的能ҧ，۲Щ学生ᓢݞ的数学应用ਓគ.
2. ̀
解二元一次方程（组）的有关概ঐ，͘
解እӭ的二元一次方程组（数字系数）Ὑ
能ಪ据Цʹ᫈
题中的数᧚关系，ѵ出二元一次方程组解хእӭ的实ᬅ᫈
题，ࣳ
能ೝᰎ解的
合理性.
3. ʹ͘
一次函数与二元一次方程nj二元一次方程组的关系，͘
Ѿ用ॠ定系数ขᆸ定一
次函数的᛫᣺式.
4. ̀
解解二元一次方程组和三元一次方程组的“๗元”思ਇ，̰
Ꮻ初൦理解ӑ“ళ
ᅼ”˞“ࣃᅼ”和ӑ复ా᫈
题˞እӭ᫈
题的ӑॆ
思ਇ.
ʼnj᝺ᝠন᡹
“一ѭ᫈
题ᦐ可̿
ᣁӑ˞数学᫈
题，一ѭ数学᫈
题ᦐ可̿
ᣁӑ˞̽
数᫈
题，Ꮻ一ѭ̽
数᫈
题ԡᦐ可̿
ᣁӑ˞方程. ڂ൥，一ே解х̀
方程᫈
题，一ѭ᫈
题࠲ᤁѫᏫ解.”ቻӵЈ
的ᤈ段ភᙊཀྵ݂ܸ̀
方程的ͻ用，ͮ
Ԃឭ明̀
方程ͻ˞数学的一˔重要分ஃ，௧҉ႇဘ实
ˇႍ
的一˔有஍数学模型. 方程ښெ࣢生活njࢺкˊ生̗
njۢ
市᜻ѳˣᒰ国᫹等ᮗ۫
ᦐ有ࣹ
ฅ的应用，Տ௑，߲
˷௧学习数学ˣᒰྭ
理njӑ学等Х̵
学科ᅼគ的一˔重要基ᆩ.
ښО年级，学生ࣃፃ学习̀
一元一次方程，初൦感受̀
方程的模型ͻ用，ࣳ
ሥግ̀
一̏
Ѿ用方程解х实ᬅ᫈
题的ፃᰎ. ښ൥基ᆩ上，本ቦ࠲ᤉ一൦ᆑቃ二元一次方程组的有关概
ঐnj解ข和应用等. ߲
௧一元一次方程的ፙ፞
和发࡙
，Տ௑ԡ௧̭
Ց学习线性方程组ԣ平᭧
解ౢ
ї͵等ᅼគ的基ᆩ，ڂ൥，本ቦ的学习࠲Ύ学生ᤉ一൦ʹ͘
方程的模型思ਇ，感受̽
数方ข的͖
ᡕ性，Տ௑˷࠲有Ұ̆
ࢾڍ有理数njட式的ᤂካnj一元一次方程等ᅼគ.
山东教育出版社
系
社
系和
社
和ԫ
社
ԫ
ৱ
版
ৱܒ
版
ܒ中
版社
中能
版社
能̰
版社̰
数
社
数
实ᬅ᫈
题，ܙ
出版
实ᬅ᫈
题，ܙ᫈
育᫈
题
育出
题中
育出
中的
出版
的数
出版
数᧚
版
᧚
育
.
育
.̽
К๗元ข和
教育̽
К๗元ข和
ʹ͘
一次函数与
东教育
ʹ͘
一次函数与̄
nj教ߦ目ಖ
山东̄
nj教ߦ目ಖ
1
山东
1.
山
. ፃ
山东
ፃԋ
东
ԋ
༧活ᤂ
山
༧活ᤂ
山东教育出版社             山东教育出版社
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方
版
方ข
版
ข，
版
，ʹ
版社
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版社ࣳ͘
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育出
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教育
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东教
组和እӭ的三
ॠ定系数ขᆸ定
山东
ॠ定系数ขᆸ定
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᣿程
，۲Щ学生ᓢ
 
，۲Щ学生ᓢ
有关概ঐ，͘͘
ѵ出二元一
 
一次
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方程
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山东教育出版社
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出版
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出版
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东教
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2
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ښ঴ʹ᝺ᝠ思路上，本ቦ与一元一次方程ዝͫ
，ूូ
थ模思ਇ，关ฌᅼគ的形ੇ
与应
用᣿程. ˞൥，教科书᝺ᝠፙ፞
ᥖ॰“᫈
题ৱܒ—थቡ模型—解᧖nj应用与઩࡙
”的模式，
ᯫЏᤰ᣿Цʹ᫈
题ৱܒ，थቡ有关方程ࣳॆ
ጪ出二元一次方程和二元一次方程组的有关概
ঐ，ཀྵՑଊጊХՊመ解ข，ࣳ
ښဘ实ৱܒ中ҫ̿
应用，ѭ实ଢᰴ学生的应用ਓគ和能ҧ.
Цʹڡ，第 1 ᓬᤰ᣿˘ࠝ
的实Γ，थቡ二元一次方程和二元一次方程组，ᝨ学生᜺ࠣॆ
ጪ出二元一次方程和二元一次方程组的有关概ঐ，̰ࣳ
中ʹ͘
方程的模型思ਇὙ第 2 
ᓬ，ᮋ理ੇ
ቦڡፌ出ဘ实᫈
题的解ን，ᤉᏫᤰ᣿Цʹ方程঴ፇ出二元一次方程组的ːመ基
本方ข——̽
К๗元ขnjҫѓ๗元ขὙ第 3 ᓬг次ᤰ᣿ї˔᫈
题ৱܒ，ᤉ行ѵ二元一次方
程组解х实ᬅ᫈
题的ᝫጷ. ᤈನ，一方᭧ښѵ方程组的थ模᣿程中，ू
ӑ̀
方程的模型思
ਇ，۲Щ̀
学生ѵ方程解хဘ实᫈
题的ਓគ和能ҧ，Գ一方᭧，࠲解方程组的੿能ᝫጷ与
实ᬅ᫈
题的解хᚸ˞一ʹ，ښ实ᬅ᫈
题的解х᣿程中ଢᰴ学生的解题੿能Ὑ第 4 ᓬ，ᤰ᣿ࠫ
二元一次方程nj二元一次方程组与一次函数关系的ᝧ᝷，थቡ方程与函数的ᐏ系，ळ࠮
学生̰
“图形”的角एᄺॠ二元一次方程和二元一次方程组，ࣳ
ᤰ᣿ॠ定系数ข，Ѿ用二
元一次方程组ᆸ定一次函数的᛫᣺式ὙతՑ，ͻ˞ᤥ学内ࠔ，̮
ፁ三元一次方程组的基本
解ข.
ႀ̆
ǒಖюǓ明ᆸ࠲解三元一次方程组ͻ˞ᤥ学内ࠔ，不ͻ考ត要ර. ڂ൥，教科书
᧔用ӭ࿘ੇ
ᓬ的形式编иஊښ本ቦతՑ一ᓬ，ࣳ̿
“*”号ಖᝮ，定ͯ
௧ᝨ学有͸ҧ的学生
感受解三元一次方程组的๗元思ਇ，̀
解解三元一次方程组的思路，̿
Χ࠲౏Ѿ用߲̓
解
хእӭ的实ᬅ᫈
题.ࠫ̆
二元一次方程组和三元一次方程组的解ข，ੈ̓
ҧරກӑХ੿ࢼ和Цʹ൦ᰡ，Ꮻ
ฌ重ଫᇨХ本质思ਇ——๗元，ᝨ学生ʹ͘
数学学习和ᆑቃ中的“ӑళᅼ˞ࣃᅼ”的ӑॆ
思ਇ.
ښ题ె
ᤥહ上，教科书ฌਓ̀
题ె
的ဘ实性nj科学性和ᡚ֊性，௅δ႑̀
一̏
传ፒ的
内ࠔ（ݠᲜДՏኊ），ԡܙҫ̀
一̏
更Цဘ实性的᫈
题（ݠܙஆᓬஃnjᦡ制ᖹЩֶ
等），
Տ௑ᤇฌਓ̀᫈
题的ᡚ֊性（ឺ
的ӊ᜝ܳ
nj᧗程ᇀ上的数等），̿
༏发学生的学习Уᡚ.
൥ܱ
，教科书ฌਓҫू
ᅼគᫎ
的ᐏ系，ྲ
ѿ௧本ቦ内ࠔ与七年级上册第Оቦ“一次函
数”的ᐏ系. 事实上，一次函数与二元一次方程ࠛ
ѭᄱ关，Զ不᣿ՊᒭΟ重ག不ՏᏫࣃ，ڂ
൥，可̰̿
函数的图៶上理解二元一次方程ԣ二元一次方程组的解ὙՏ௑，一次函数᛫᣺
式的ᆸ定௧基̆
ː˔౎件，Цʹර解௑ԡ要Ѿ用二元一次方程组. ˞൥，教科书ྲ
ਓ᝺ᝠ̀
第 4 ᓬ“二元一次方程与一次函数”，ଫᇨ二元一次方程与一次函数˨ᫎ
的内ښᐏ系，̰
“图形”的角एᄺॠ二元一次方程和二元一次方程组，ࣳ
ᤰ᣿ॠ定系数ข，Ѿ用二元一次
方程组ᆸ定一次函数的᛫᣺式. ᤈನ，࠲函数和方程ጋࠛ
ڡᐏ系ښ一ᡑ，Ύ४一次函数和二
元一次方程组ːቦ内ࠔፌ̡
โཀྵ一ʹ的感ᝀ.
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
  1 二元一次方程组 
 
 
 
 
 
 
   1 课௑
山东教育出版社
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一次
社
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方程
社
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山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
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出版
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出版
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
  2 解二元一次方程组 
 
 
 
 
 
 
   2 课௑
  3 二元一次方程组的应用 
 
 
 
 
 
   3 课௑
  4 二元一次方程与一次函数 
 
 
 
 
 
   2 课௑
*5 三元一次方程组 
 
 
 
 
 
 
   2 课௑
回顾与思考 
 
 
 
 
 
 
 
   2 课௑̋
nj教ߦथᝬ
1. ฌ重学生的活ү，ᴂҵ学生的ᒭ˟ଊጊ与合ͻ̔ื
.
学生ࣃፃЦܬѵ一元一次方程解х实ᬅ᫈
题的ፃᰎ基ᆩ，ڂᏫ，学生应有能ҧፃ᣿ᒭ
˟ଊጊ和̔ื
ѵ出二元一次方程组，解хእӭ的实ᬅ᫈
题. ښ教学中， 教师应ळ࠮学生̰
ᢶ᣸ྀ
৙的实ᬅ᫈
题出发，˟үஆ集感Уᡚ的᫈
题ͻ˞学习ె
料，ᴂҵ学生ᤉ行ᒭ˟ଊጊ
与合ͻ̔ื
，ѵ出二元一次方程组ࣳ
ᤉ行解х. ᝨ学生ښᒭ˟ଊጊ与合ͻ̔ื
的᣿程中ᖍ४
ᅼគ，۲Щ能ҧ.
2. ฌ重᝺Ꮆ˘ࠝ
的᫈
题ৱܒ，ᝨ学生ፃԋ模型ӑ的᣿程.
ѵ出二元一次方程组解хእӭ的实ᬅ᫈
题，௧第三学段̽
数教学中的一˔重要内ࠔ，
௧数学ᐏ系实ᬅ的一˔重要方᭧. ᤰ᣿ᤈ˔内ࠔ的学习，可̿
Ύ学生ଌᝏឱܳ
ဘ实᫈
题，ᤉ
一൦۲Щ学生发ဘ和ଢ出᫈
题nj分ౢ
和解х᫈
题的能ҧ. ڂᏫ，方程教学ᯫЏ应关ฌ方程的
थ模᣿程. 教科书第 1 课௑的ᄬ的ࡃ௧ਇᤰ᣿ࠫܳ
መ实ᬅ᫈
题的分ౢ
，ᝨ学生感受方程௧҉
ႇဘ实ˇႍ
的有஍模型，教学中应ᝨ学生̰
Цʹ实Γ出发，ፃԋ模型ӑ的᣿程，ࣳ
ښ൥基
ᆩ上ચ៶出数学概ঐ. े
ཀྵ，教师应ಪ据学生的生活实ᬅ和ᝣᅼ实ᬅ，ѹ᝺更˞˘ࠝ
nj᠛ᤃ
学生生活的ဘ实ৱܒ，ࣳ
ळ࠮学生分ౢ
Х中的数᧚关系，थቡ方程模型. ൥ܱ
，ښ解方程与
应用中˷应更ܳ
ڡ关ฌ学生的थ模᣿程，关ฌ学生能աᮋѾڡѵ出൤ᆸ的二元一次方程组. 
ݠ可Ք学生ଢ出ϸ“题ᄬ中的ࣃᅼ᧚njళᅼ᧚௧̤
˦”“Պ˔᧚˨ᫎ
的关系௧̤
˦”的᫈
题，ळ࠮学生思考ѵ方程组௑ݠ͵࠭
ර等᧚关系，ଢᰴ学生解х实ᬅ᫈
题的一ᓊ性ኖ႕. े
ཀྵ，ࠫ̆
ᣗ˞复ా
的᫈
题，教师ᤇ可̿
ፌ́
ᤉ一൦的ૉ࠮ੋ
ᤉ行适े
的分解. ݠ“二元一次
方程组的应用”一ᓬ中，ࠫ̆
᧗程ᇀ上数的᛫ᇨ和Х中一˔等᧚关系：“12：00ᾜ13：00 ᫎු
ᢼ行᯺的路程 = 13：00ᾜ14：00 ᫎු
ᢼ行᯺的路程”的ᖍ४，学生可能有̏
ڈᬲ，˞൥
教科书ᤰ᣿܍ቇ的方式࠲᫈
题ᤉ行̀
分解，教学中，教师可̿
组ጻ学生ᤉ行适े
的ᝧ᝷，ࠫ
学生ߛښ的ᝣᅼᬪᆾ要ᤉ行适े
的ळ࠮.
3. ฌਓӑॆ
思ਇ的ຖᤩ.̽
К๗元ข和ҫѓ๗元ขᦐ௧解二元一次方程组的基本方ข，Х本质௧“๗元”.“๗
元”ʹဘ̀
数学学习和ᆑቃ中“ӑళᅼ˞ࣃᅼ”的ӑॆ
思ਇ，Ꮻ˅߲
ښళ౏学习ܳ
元方程
组njܳ
元函数的౎件తϙ等ᅼគ௑Ц有ࣹ
ฅ的应用. ڂ൥ښ教学中，教师应ळ࠮学生分ౢ
出
解二元一次方程组的本质௧๗元，ԁં
“二元”ᣁӑ˞“一元”，ࣳ
ᴂҵ学生用ᒭࣂ的ឦᝓ
概઺解方程组的˟要൦ᰡ. ښᝯ߹二元一次方程组的ːመ解ขՑ，应ळ࠮学生ͻ一࠵ፇඋ
ᣗᤈːመ方ข的ࣀѿ与ᐏ系，ʹ͘
“๗元”的本质，Ꮻ不要᣿̆ूូ
“̽
К”和“ҫѓ”
山东教育出版社
ᴂҵ学生的ᒭ
版社
ᴂҵ学生的ᒭ
一
出
一元
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元一
出版
一次
出版
次方
出版
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版
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二元
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元一
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一次
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次方
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方程
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，ѵ出二元一
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东教
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东教
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山东
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二元
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山
௧数学ᐏ
൦۲
山
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社
௑
课௑
社
课௑
2
版
2 课௑
版社
课௑
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教
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教育
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教育
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教
教
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教
学中
教
中，
教育
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教育
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东教
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东教
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教
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教
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ᒭ˟ଊጊ与合
山东教
ᒭ˟ଊጊ与合
型ӑ的᣿程
山
型ӑ的᣿程.
山
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题，௧第三
 
三学
˔内ࠔ的学习，
 
˔内ࠔ的学习，
和解х᫈
题的能
 
和解х᫈
题的能
ࡃ௧ਇᤰ᣿ࠫ
 
ࡃ௧ਇᤰ᣿ࠫ
中应ᝨ学生
 
生̰̰
，教师应ಪ据
社 
，教师应ಪ据ࣳ
ळ࠮学生分
社 ࣳ
ळ࠮学生分
关
版
关ฌ
版社
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版社
学生
版社
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出
出
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出版
ϸ“
版
“题
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题ᄬ
版社
ᄬ中
版社
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出版
生思考ѵ方程̆
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的᫈
育出̆
ᣗ˞复ా
的᫈
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教育
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教育
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书ᤰ
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教
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东教ࠫ
学生
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൥
社
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社
基
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社
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ښ解方程与
版社
ښ解方程与
元
版
元一
版
一次
版社
次方
版社
方程
版社
程组
版社
组
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关系
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出版
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˦
出版
˦”
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题的一ᓊ性
育出᫈
题的一ᓊ性
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的分解.
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教
᧚关
教育
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东教̿
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东教
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东教
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山
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4
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᤈːመЦʹ੿ࢼ，更不要ಪ据方程的ྲ
ढ़ࠫ
ᤈːመ方ขᤉ行分ዝᤥ用.
4. ࠫ
Цʹ方ขᤉ行্े
的උᣗ与ក判.
教学中，可能有一̏
学生习ਅ̆
ѵ一元一次方程解х实ᬅ᫈
题，应សឭ，ᤈ௧一መౝ
˞൤࣢的ဘ៶，Ꮻ˅有Х͖
ᡕ的一᭧（࠶̀
一˔ళᅼ数），ڂ൥，ࠫ
ᤈ̏
学生，教师ѭ不
可੻ក，Ꮻ应适े
ळ࠮̵̓
උᣗːመ方ข的关系与ྲ
ག（实质上，ښѵ一元一次方程᝺ళ
ᅼ数௑，ࣃፃ࠲Х中一˔ళᅼ᧚用Գ一˔ళᅼ᧚᛫ᇨ出౏̀
，ᄱे̆
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К๗元
ข的Ғї൦，े
ཀྵ，ᤈನϢ可能要රЦ有ᣗᰴ的思፥ඵ平），ᝨХᒭ˟ڡͻ出ᤥહ.
Оnjក͉
थᝬ
1. 关ฌ学生ښ解х实ᬅ᫈
题njଊጊ等᧚关系等活ү中的参与程ए和思፥ඵ平.
ښ本ቦ的学习中，学生࠲用ᣗܳ
的௑ᫎ
ፃԋ模型ӑ和ᅼគ的形ੇ
与应用᣿程. ࠫ
上ᤘ
活ү᣿程的考ࠣ
，可̰̿̿
下方᭧౏ᤉ行：一௧学生ښЦʹ活ү中的આК程ए——能աሥ
ౝ˟үڡ̰
事Պᮊ活ү，ՔՏ学解᧖ᒭࣂ的ਇข，զԩ̵̡
的ਓ᜹和थᝬ. 二௧学生ښ活ү
中的᛫ဘ——能աښ活ү中ᤉ行˟ү思考，᭧ࠫ
实ᬅ᫈
题௑，࠽ត̰
数学的角एᤂ用ਫ਼学
的ᅼគ和方ข࠭
ර解х᫈
题的ኖ႕，能ա൤ᆸڡ੽出实ᬅ᫈
题中的Պመ数᧚的ਓ义ԣХᄱ̉
关系，ࣳ
能用数学式ߕં
ᤈመ关系᛫ᇨ出౏.
2. 关ฌ考ࠣ
学生ࠫ
ᅼគ与੿能的理解和应用.ࠫ
ᅼគ与੿能的ក价，应重᜽学生的理解和ښ新ৱܒ中的应用. ݠ考ࠣ
学生能աಪ据
实ᬅ᫈
题൤ᆸڡथቡ模型Ὑ能աᤥહ্े
的方ข解二元一次方程组Ὑ解方程组൤ᆸ与աὙ
能աೝᰎර४ፇ౧的合理性.
3. 关ฌ学生ѵ方程解х实ᬅ᫈
题的ਓគ的ଢᰴ࿄ц.
教学中，ᤇ要关ฌࠫ
学生ښ学习᣿程中᛫ဘ的᣿程性ក价，ฌ重۲Щ学生的应用ਓគ. 
ݠ，ᝨ学生̿
࠵组合ͻ学习的形式分ౢ
一̏
开ஊ性的᫈
题，ࣳ
ឭ出ॷ४ʹ͘
，ښ学生的̔ื
中ࠫ
Хᤉ行ក价，ᝨ学生ᒭ˟ڡ᜺ࠣ
生活实ᬅ，ࣳ
据൥编制有关应用᫈
题，̰
学生ਫ਼编
制的应用᫈
题中ក判Х应用ਓគ的ඵ平.
山东教育出版社
᧚
社
᧚用
社
用Գ
社
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社
一
可能要රЦ有
版社
可能要රЦ有
ښ解х实ᬅ᫈
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学习
育
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中，
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，学
育出
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程的
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教育
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教育ࠣ
，
教育
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育
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育̿
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事Պᮊ
东教
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东
᛫ဘ
东教
ဘ——
东教
——能
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能
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山东
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方̉
关系
山̉
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山东
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山东
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社
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社
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社
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社
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版
次方
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版社
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版社
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版社
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๗元
版社
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出版
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出版
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与程ए和思፥
教育
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东教
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东教
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山᫈
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山
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山
௑
൤ᆸڡ੽出实ᬅ
ᇨ出౏
ᇨ出౏.
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的理解和应用
重᜽学生的理解
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理性
社
理性.
社
.
程解х实ᬅ᫈
社 
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出版
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出版
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版社
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出版
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题中ក判
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
5
 
 x!,!y >!Ὂ
  
 x!.!y >!2/
ኄʹቦ
̄
Ћʷ൓வሮጸ̭
దᲜДՏኊὊ
ʽదʼӡ̋݀
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ʾద˵ӡپᡜ.᫈
ᲜДՊї͵Ὕ
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!༹ܾࣷ
ᇮᅃْ
ݛײፇ๟ਗ਼ࣃ၄ํ
๘হዐڦڪଉ࠲ဣ
!!ڦᆶၳ
ఇ႙
!ࣷ঴ܾ
ᇮᅃْ
ݛײፇLj༹ࣷ
Đၩᇮđາၙ
!ీᆌᆩܾ
ᇮᅃْ
ݛײፇ঴ਦ၄ํิ
ऄዐڦํ
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!༹ܾࣷ
ᇮᅃْ
ݛײࢅᅃْ
ࡧຕڦ࠲ဣ
Ϳᑟᝍхʽ᭧ᄊþᲜДՏኊÿ᫈ᮥ
ՙὝ̃
ࠄʽὊѾၹவሮ὆ጸ὇Ի̿ॢ
እӭڡᝍхᤈʷ᫈ᮥ
. வሮ὆ጸ὇௧҉ႇ
ဘࠄˇႍ
˗ᄊ኎᧚Тጇᄊద஍വیὊ᝵ܳ
ဘࠄ᫈ᮥ
ᦐԻॆ
ፇ˞வሮ᫈ᮥ
. 
వቦ࠲ߦ˸̄
Ћʷ൓வሮጸԣХᝍขὊࣳ
Ѿၹ̄
Ћʷ൓வሮጸᝍхʷ̏
ద
ᡚᄊဘࠄ᫈ᮥ
. 
O 
.
             
. .  
B
x
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y >!x .!
y >! .!x
方程（组）的ᆑቃ与应
用௧ੈ
国Ա̽
数学ᆑቃ的一˔
重要内ࠔ. ቦҒ图ᯫЏնဘ̀ੈ
国ԱካՐ题“ᲜДՏኊ”，
௉ښ఍ᇨੈ
国Ա̽
数学的ౕ
出ੇ
ࡃ，Տ௑༏发学生学习的У
ᡚ. Ꮻࢻ下方的ї˔方程组和图
៶，ѷଫᇨ̀
二元一次方程组
的їመ解ข̿
ԣ方程与函数˨ᫎ
的关系. ቦҒ஡字ҧ图ଫᇨ方
程组的ڡͯ
和应用，̮ࣳ
ፁ本
ቦ˟要内ࠔ.
山东教育出版
山东
山东
山东
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山

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版社
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出版社᫈ᮥ
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教育
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山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
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๘হዐڦڪ
 
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ݛײፇLj༹ࣷ
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版社
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版社
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出版
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出版
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出版
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出版
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出版
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ࡃ
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ࡃ，
教
，Տ
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东教
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东
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6
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
教ߦ目ಖ
1. ᤰ᣿ࠫ
实ᬅ᫈
题的分ౢ
，Ύ学生ᤉ一൦ʹ͘
方程௧
҉ႇဘ实ˇႍ
的有஍数学模型.
2. ̀
解二元一次方程nj二
元一次方程组ԣХ解等概ঐ，ࣳ͘
判ல一组数௧不௧౽˔二
元一次方程组的解.
ͻ˞本ቦ的第
 1
 课௑，本
ᓬ࠲ᤰ᣿˘ࠝ
的实Γ，ݠ“ឺ
的ӊ᜝ܳ
”“公ڇ᫃
ᇾ”等᫈
题，थቡ二元一次方程和二元
一次方程组，ᝨ学生ॆ
ጪ出二
元一次方程和二元一次方程组
的概ঐ，̰ࣳ
中ʹ͘
方程的模
型思ਇὙښथቡ̀
二元一次
方程和二元一次方程组模型˨
Ց，基̆
学生的学习ॷ理᜻
॥，学生ᒭཀྵ̗͘
生ଊරХ解
的൘మ，ڂ൥，教科书ጋଌᅌ
᝺ᝠ̀
一˔“Ϣ一Ϣ”活ү，
ᝨ学生ࠫ
Х 中一˔᫈
题——
“公ڇ᫃
ᇾ”᫈
题ᤉ行ᒭ˟的
ଊጊ，࠽តᖍ४Х解，̰
Ꮻ发࡙̀
学生ᒭ˟ଊቃ᫈
题的ਓគ
和能ҧ，Տ௑学生ԡᖍ४方程（组）解的概ঐ，感受҂“二元一次方程有௄数解”和“二元一次方
程组解的׭一性”.ࠫ̆
Цʹ᫈
题ৱܒ的ᤥહ，ҧ图关ฌХဘ实性和ᡚ֊性，˞൥ᤥહ̀
“ឺ
的ӊ᜝ܳ
”“公ڇ᫃
ᇾ”ᤈನː˔᫈
题. े
ཀྵ，ښЦʹ教学中，教师可̿
ಪ据学生的生活实ᬅ和ᝣᅼ实ᬅ，ѹ᝺更˞˘ࠝ
nj更᠛ᤃ学生生活的ဘ实ৱܒ.
ό1ύळ࠮学生ಪ据Ꮵྦ
与࠵马的ࠫ
ភଊጊХ中的等᧚关系：①Ꮵྦ
᯳的ӊ᜝数 - ࠵马᯳的ӊ᜝
数 = 2，ŁᏥྦ
᯳的ӊ᜝数 + 1 =（࠵马᯳的ӊ᜝数 - 1）×2. ཀྵՑ，ѵ出ե有ਫ਼᝺ళᅼ数的方程.

第七章 二元一次方程组
ό1ύ
山东教育出版社
版社
版社
1
育
1 课
育出
课௑
育出
௑，
出
，本
出
本
的实
育
实Γ
育
Γ，
育
，ݠ
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ݠ“
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教
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教育
ڇ᫃
教育᫃
ᇾ
育
ᇾ”
育
”
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东教
一次
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次方
教
方
方
东
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东
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东教
组，
东
，ᝨ
东教
ᝨ学
教
学
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元一
山
一次
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次方
山东
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东
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山
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山
概ঐ
山
ঐ，
山
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山
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山
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
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社
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社
解
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社
ጋଌ
社
ଌᅌ
社
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版社
活ү
版社
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社
，
一˔
出版
˔᫈
出版᫈
题
版社
题—
版
—᫈
出᫈
题
出版
题ᤉ
出版
ᤉ行
出版
行ᒭ
版
ᒭ
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育
តᖍ
育出
ᖍ४
育出
४Х
育出
Х解
出
解
学
教
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教育
生ᒭ
教育
ᒭ˟
教育
˟ଊ
育
ଊቃ
育
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教
能ҧ
教
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教
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教育
Տ௑
教育
௑学
育
学
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东教
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东教ࠫ̆̆
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山东
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东
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山ࠝ
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山东教育
教育
教育出版社
二
东
二元
东
元一
东教
一次
东教
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东教
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程有
教
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山
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山
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山东
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山东
性，
山东
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东
˞
ಪ
山
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山
据学
山
学生
山
生
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
7
᝺̵̓
˗ద x ˔ੇ̡
Ὂy ˔Јቨ.  ႀ൥Ϳᑟ४҂টನᄊவሮὝ
ඈसੇ̡
ᇾ  ЋὊඈ
सЈቨᇾ  Ћ. ̵̓
҂अԝ̀
ї˔ੇ̡
njї˔ЈቨքὝ
௥ܹ
Ὂੈ̓
  ˔̡
ԝጚࡣНڇနὊ˼᫃
ᇾ
ᔉ̀
  Ћ.
ʽ᭧ː˔᫈ᮥ
˗Ὂੈ̓
Ѭѿ४҂வሮ x!.!y!>!Ὂx!,!!>!὆y!.!὇֗
x!,!y!>!Ὂx!,!y!>!.  ᤈ̏
வሮՊեదї˔ళᅼ஝Ὕեళᅼ஝ᄊᮊᄊ൓஝௧ܳ
࠶Ὕ
եదː˔ళᅼ஝Ὂࣳ
˅ਫ਼եళᅼ஝ᄊᮊᄊ൓஝ᦐ௧  ᄊவሮԷϢ̄
Ћʷ൓
வሮ὆linear equation with two unknowns὇. 
ਇʷਇ
ᝬʷᝬ
ښʽ᭧ᄊவሮ x!,!y!>! ֗
 x!,!y!>! ˗Ὂx ਫ਼̽
᛫ᄊࠫ
៶ᄱՏՙὝy քὝ
வሮ x!,!y!>! ֗
 x!,!y!>! ˗ὊxὊy ਫ਼̽
᛫ᄊࠫ
៶ѬѿᄱՏὊڂᏫ xὊ
y ॹᮌՏ௑໘ᡜவሮ x!,!y!>! ֗
 x!,!y!>!.  ં߲̓
ᐏቡᡑ౏Ὂ४
  
 
 
         
x!,!y >!Ὂ
x!,!y >!/
ϸᤈನСեదː˔ళᅼ஝ᄊː˔ʷ൓வሮਫ਼ጸੇ
ᄊʷጸவሮὊԷϢ̄
Ћʷ
൓வሮጸ὆system of linear equations with two unknowns὇. 
ό1ύळ࠮学生Џ分ౢ
Х中的
等᧚关系：ੇ̡
与Јቨ̡
数˨
和˞
 8，ੇ̡
ᇾ款与Јቨᇾ款˨
和˞
 34. ཀྵՑಪ据等᧚关系ѵ出
ե有ਫ਼᝺ళᅼ数的方程.
ਇʷਇ
ᤰ᣿ਫ਼ѵ
 4
 ˔方程的С性
分ౢ
，ॆ
ጪ出下᭧的二元一次
方程的概ঐ. 教学中，可Џᝨ学
生ᤰ᣿᜺ࠣॆ
ጪХ中的С性，ࣳ
用ᒭࣂ的ឦᝓ
ᤉ行ଡᤘ，ཀྵ
Ցг组ጻ学生̔ื
.
ᝬʷᝬ
Ύ学生明ᄇᤈː˔方程中
x，y ਫ਼̽
᛫的ࠫ
៶分ѿᄱՏ，̰
Ꮻ可࠲ː Ꮸᐏቡ形ੇ
方程
组，ᒭཀྵ᣿ບ҂二元一次方程
组的概ঐ.
ό2ύ事实上，Сե有ː˔ళᅼ数的ї˔一次方程组ੇ
的一组方程，ᦐ௧二元一次方程组. 教科
书中ྲ
ૉ“ː˔”，௧考ᘽ҂߲
త˞࣢᜹，Ꮻ˅Ғ஡ਫ਼४҂的ᦐ௧ː˔方程ਫ਼组ੇ
的. ൥ܱ
，组ੇ
方程组的Պ˔方程˷不必ᦐՏ௑ե有ː˔ళᅼ数. े
ཀྵ，教学中不必Ք学生ག明ᤈ一ག，˷不必ࠫ
学生ᤉ行有关二元一次方程组概ঐ的考ಊ，Զ要学生能ܵ
ښЦʹ᫈
题ৱܒ中理解二元一次方程组ԁ
可. 应សૉ出的௧，方程组Պ方程中Տ一字ඇ必ᮌ̽
᛫Տ一˔᧚.
ό1ύ
ό2ύ
1   二元一次方程组

山东教育出版社
ႀ൥Ϳᑟ४҂ট
出版
ႀ൥Ϳᑟ४҂ট
Ὂੈ̓
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教育
Ὂੈ̓
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东教
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东教
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东教育
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దː˔ళᅼ஝Ὂ
山东
దː˔ళᅼ஝Ὂ
linear equatio
山
linear equatio
育出
社
版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
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஝௧
山
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Ћʷ൓
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᛫ᄊࠫ
៶ᄱ
 
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᛫ᄊࠫ
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社
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社
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᛫ᄊࠫ
社 
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᛫ᄊࠫ

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y
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y
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版社
y
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社
>!
版社
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.  ં߲̓
ᐏ
社 ં߲̓
ᐏ
出版
出版
x
版
x
版
x,
版社
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版社
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版社
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版社
Ὂ
社
Ὂ

出版
x
版
x,
版
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版
y
版
y
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育出版
˔ళᅼ஝ᄊː˔ʷ
m of linear equatio
育出
m of linear equatio
款˨
社
款˨
关系ѵ出
社
关系ѵ出
方程
版
方程.
版
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出
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育
᣿ਫ਼
育
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育出
ѵ 4
育出
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育出
˔方
出
方ౢ
教ౢ
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教
，ॆ
教育ॆ
ጪ
教育
ጪ出
育
出下
育
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东教
方程
东教
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东教
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教育
概ঐ
教育
ঐ
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东教
生ᤰ
东教
ᤰ᣿
东教
᣿᜺
教
᜺ࣳ
东ࣳ
用
东
用
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教
ύ事
教
事实
教育
实上
教育
上，
教育
，С
育
С
中
东
中ྲ
东教ྲ
ૉ
东教
ૉ“
东教
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教
ː˔
教
˔
方
山东
方程
山东
程组
山东教
组的
东教
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东教
Պ
学
山东
学生
山东
生ᤉ
山东
ᤉ行
东
行
可
山
可应
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ஔ࣎
ஔ学用书
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Ռவሮ x!,!y!>! ֗
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ʹ͘
二元一次方程有᝵ܳ
解，
Ꮻႀ（1）（2）可᜺ࠣ
出ː˔二
元一次方程的公С解，̰
Ꮻᒭ
ཀྵ࠮К下᭧的二元一次方程组
的解的概ঐ.
ᬤ۶ጷ˸
本课௑˟要ᝨ学生ፃԋ̰
实ᬅ᫈
题中ચ៶出二元一次方
程组的᣿程，感受方程的模型
思ਇὙՏ௑，ᝨ学生̀
解二元
一次方程nj二元一次方程组ԣ
Х解的概ঐ.
1. ᝺࠵明˼̀
᭧ϙ 50 分的
ᥫᇾ x ౦和᭧ϙ 80 分的ᥫᇾ y 
౦，ѷ可ѵ方程组
0.5x + 0.8y = 6.3，
x + y = 9.
2.（2）（4）.
3.（3）.

第七章 二元一次方程组
山东教育出版社
版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
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2.2.
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
9
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1.（1）4x + 7y = 76Ὑ
   （2）4Ὑ
   （3）5.
2.（2）.
3.（1）᝺សိ
有ႄ生 x Ր，ݙ
生 y Ր，ѷ可ѵ方程组
              
x + y = 45，
x = 2y - 9.
（2）᝺有 x ˔Տ学，y ˔ቸ
ᝮ本，ѷ可ѵ方程组
              
5x + 8 = y，
8x - 7 = y.
4. 二元一次方程组
x + y = 0，
x - y = 2
    的解௧
x = 1，
y = -1. Цʹ᣿程႕.
5. ࠵明᝺ඈ千Бᔱ౧和೗的价
ಫ分ѿ˞ x 元，y 元，Ꮻ࠵
ˠ᝺ඈ千Б೗和ᔱ౧的价ಫ
分ѿ˞ x 元，y 元，ڂ൥，̵̓
ਫ਼ѵ方程组中，Տ一˔ 
x 的ਓ义不Տ，े
ཀྵਫ਼ѵ方
程组˷ࡃ不ᄱՏ̀
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1   二元一次方程组

山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山东教育出版社
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七年级  下册
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ஔ学用书
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第七章 二元一次方程组
教ߦ目ಖ
1. ͘
用̽
К๗元ข和ҫѓ
๗元ข解二元一次方程组.
2. ̀
解解二元一次方程
组的“๗元”思ਇ，初൦ʹ͘
“ӑళᅼ˞ࣃᅼ”的ӑॆ
思ਇ.
ښ第
 1
 ᓬथቡ二元一次方
程组的基ᆩ上，本ᓬᮋ理ੇ
ቦ
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ข：̽
К๗元ข和ҫѓ๗元ข.̽
К๗元ขnjҫѓ๗元ข
的本质௧๗元——ѓ࠶ళᅼ数
的˔数，ӑ二元一次方程组˞
ࣃፃ学习᣿的一元一次方程.̽
Кข与ҫѓขԶ௧๗元的一̏
Цʹ੿能，教学中应ฌਓҫ̿
ʹ͘
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ཀྵ，ᤰ᣿一定᧚的ᝫ
ጷΨᤉ学生有关੿能的ᖍ४ᤇ
௧ӡ分必要的，ͮ
ᆑቃ᛫明，
形式ӑ的੿能ᝫጷᬲ̿
༏发学
生的学习Уᡚ，˞൥教科书中̩
᝺ᝠ̀
 2 课௑学习̽
К๗元
ขnjҫѓ๗元ข，Ꮻҧ图ښ
Ց፞
的Պᓬ中࠲解方程的੿能
ᝫጷ与实ᬅ᫈
题的解хᚸ˞一
ʹ，ښ实ᬅ᫈
题的解х᣿程中，௄形ڡଢᰴ学生的解题੿能.
第 1 课௑，ᆑቃ̽
К๗元ข. 教科书ᯫЏ੾ଌ上ᓬڤఀ
“ឺ
的ӊ᜝ܳ
”，ࣳ
ᝨ学生思考͘
解̤
˦方程，ݠ͵࠲二元一次方程组ӑ˞ࣃፃ学᣿的一元一次方程，̰
ᏫښЦʹ᫈
题的解х中初൦感
受̽
К๗元ข，ХՑᤰ᣿ࡏ次ຒᤉ的ː˔Γ题，ᤉ一൦ᤉ行̽
К๗元ข解二元一次方程组的ࢾڍᝫ
ጷ，తՑࠫ
ਫ਼应用的方ขᤉ行ட理与ଢང.
ό1ύଢᇨ学生能ա࠲二元一次方程组ᣁӑ˞ࣃፃ学᣿的一元一次方程᫈
题，ᝨ学生初൦ʹ͘
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˟᜶൦ᰡ௧὘࠲Х˗ʷ˔வሮ˗ᄊ౽˔ళᅼ஝ၹեదԳʷ˔ళᅼ஝ᄊ̽
஝
ᝬʷᝬ
2   解二元一次方程组

Γ 1njΓ 2
本ᓬː˔Γߕ的安ଆʹဘ
Џ௜Ցᬲ的Ԕѷ. Γ 1 的方程
Łx = y+3，ࣃፃ࠲ x ᛫ᇨੇ
ե
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Кԁ可
๗ԝ一˔ళᅼ数. ᏫΓ 2 ѷᮌЏ
ᤉ行ঽ等ԫ形. ښᤈ̏
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学中，教师可̿
ᴂҵ学生ᤰ᣿
ᒭ˟ଊጊ与̔ื
࠽តර解. ൥ܱ
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能不Տ，教学中不必ू
ර解ን
᣿程的ፒ一.
ᝬʷᝬ
ႀ上᭧Γ 1njΓ 2 ː˔实
Γ，ᝨ学生ʹ͘
解二元一次方
程组的基本思路௧๗元，ࣳ
用
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山东教育出版社
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山东教育
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东
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山东教育出版社
1
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版社
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出版
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๗
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12
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ஔ学用书
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Ꮻ๗ԝʷ˔ళᅼ஝Ὂӑ̄
Ћʷ൓வሮጸ
˞ʷЋʷ൓வሮ.  ᤈመᝍவሮጸᄊவขሦ˞̽
К๗ЋขὊእሦ̽
Кข. 

第七章 二元一次方程组
ᬤ۶ጷ˸
   （1）
x = 4，
y = 8Ὑ
   （2）
x = 5，
y = 15Ὑ
   （3）
x = 9，
y = 2Ὑ
   （4）
x = 3，
y = 0.
˸ᮥ

1.（1）
x = -1，
y = -1Ὑ
   （2）
x = 3，
y = 2Ὑ
   （3）
x = 2，
y = -1Ὑ
   （4）
m = 3，
n = 2.
2. 上一课௑，学生ᤰ᣿ѵˡଊጊ४҂̀
ː˔方程的公С解，˟要௧Ѿ用方程组解的定义ර解的，Ꮻ
本ᓬ学生用̽
К๗元ขර解，毫௄Ⴁ᫈
更Ц一ᓊ性.᝺ᝠ本题，൤௧࣏
మ学生ᤰ᣿方ข的ࠫ
උ感
受҂学习新方ข的必要性.
山东教育出版社
版社
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社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
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           山东教育
教育
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山东教育
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七年级  下册
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ஔ学用书
13
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2   解二元一次方程组

ᤰ᣿第 1 课௑̽
К๗元ข
的学习，学生ࣃፃ能ܵ
解一ᓊ
的二元一次方程组. ͮ
有௑̽
К
๗元ข可能උᣗጓా
，Ꮻ˅ҫ
ѓ๗元ขښ࠲౏的ᅾ᫼ᤂካ中
有ᅌࣹ
ฅ的应用，ڂ൥本课௑
ᤉ一൦学习二元一次方程组的
ҫѓ๗元ข.
和第
 1
 课௑一ನ，教科书
ᯫЏ੾ଌ上一课௑，ଢ出一˔
二元一次方程组，要ර学生
思考ݠ͵๗元，े
ཀྵ学生可能
习ਅ̆
Ѿ用上一课௑的̽
К๗
元ขὙͮ
考ᘽ҂方程本ᢶ的ྲ
ढ़，˷᝵ᦊ分学生ళ必࠲ y ߹
全解出，直ଌ४҂ 5y = 2x + 
11Ὑे
ཀྵ可能ᤇ有学生͘
发ဘ
5y 与 -5y ˨ᫎ
的ྲ
൴关系，直
ଌᄱҫ๗ԝ y，ᤈ实ᬅ上ࡃ௧
ਫ਼់
的ҫѓ๗元ข. ଌᅌ，教科
书᝺ᝠ̀
ː˔ࡏ次ຒᤉ的Γ题
ᤉ行ࢾڍᝫጷ. తՑ，гࠫ
解方
程组的基本思路和˟要൦ᰡᤉ
行঴ፇ.
ښЦʹ教学中，教师应ᯫЏ要ර学生ᒭ˟ڡ解хស᫈
题，ࣳ
ᤉ行解ข的̔ื
，̿
学生的解ข˞
基ᆩ࡙
开Ց፞
的教学. ݠ౧学生෥有出ဘҫѓ๗元的ਇข，教师гळ࠮学生思考“ː˔方程中ళᅼ
数的系数有̤
˦ྲ
ढ़，能ա᝺ข直ଌ๗ԝ౽˔ళᅼ数”，̰
Ꮻ४出ҫѓ๗元ข的思路.
山东教育出版社
出版
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教育
山东教育出版社
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出版社
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出版
一次
出版
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山东教
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山东教育出版社
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版社
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ஔ学用书
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ʽ᭧ᝍவሮጸᄊ۳వন᡹௧̤
˦Ὕ˟᜶൦ᰡదד̏
Ὕ
ʽ᭧ᝍவሮጸᄊ۳వন᡹̯
ཀྵ௧þ๗ЋÿὊ˟᜶൦ᰡ௧ᤰ᣿ːरᄱҫ὆ѓ὇
๗ԝХ˗ʷ˔ళᅼ஝.  ᤈመᝍ̄
Ћʷ൓வሮጸᄊவขԷϢҫѓ๗ЋขὊእሦ
ҫѓข. 
ᬤ۶ጷ˸
ၹҫѓ๗Ћขᝍʾѵவሮጸ὘
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ᑟաΎː˔வሮ˗ x὆ੋ
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第七章 二元一次方程组
Γ4
ळΓ与Γ 3 ᤰ᣿ː˔方程
的ҫѓԁ๗ԝ̀
一˔ళᅼ数，
ᣁӑ˞一元一次方程，Γ 4 ᤰ
᣿እӭ的ҫѓ௄ข᣺҂上ᤘᄬ
的，дจଢᧈ学生思考ݠ͵࠲
Хᣁӑ˞Γ 3 的形式，ʹ͘
ӑॆ
思ਇ. े
ཀྵ，ښЦʹ୲ͻ中，
๗元的方ข可̿
௧ܳ
ನ的，ݠ
Γ 4 ˷可̿
᝺ข๗ԝ y . 教学中
可̿
ᝨ学生ᒭ˟ڡᤥહਫ਼要๗
ԝ的ళᅼ数.
ᝬʷᝬ
ႀ上᭧ː˔实Γ，ᝨ学生
ʹ͘
解二元一次方程组的基本
思路௧๗元，ࣳ
用ᒭࣂ的ឦᝓ
概઺出解方程组的˟要൦ᰡ.
学߹̽
Кข和ҫѓขՑ，
ᤇ可ळ࠮学生ࠫ
ᤈːመ方ข
ᤉ行උᣗ，ʹ͘
Х实质ᦐ௧๗
元，ԁᤰ᣿๗ԝ一˔ళᅼ数， 
ӑ“ 二元”˞“一元”. ᤈ᧗
“๗元”思ਇ௧教学的重ག，
Ꮻ不ࠂࠫ
学生ଢ出有关᫈
题解
х的ᤴए与解ข的Χૹ性等要ර. ڂ൥，教学中应ᴂҵ学生ᤥહ不Տ的方ข解二元一次方程组，ཀྵ
Ցࠫ
不Տ方ขᤉ行උᣗ，ᤪ൦ሥግᄱ关ፃᰎ，ͮ
要ᥘВ“套题型”的ϚՔ.
ᬤ۶ጷ˸
   （1）
x = -1，
y = -5Ὑ
 
 
（2）
x = -2，
y = -3Ὑ
   （3）
s = -1，
t = 3Ὑ
 
 
（4）
x = -3，
y = -4.
山东教育出版社
版社
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社
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社
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山东
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版
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社
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山
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社
出版
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山东教
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出版
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ঌᤴюᆸڡරѣեదੇ
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  Х˗ a!>!Ὂa!>!Ὂb!>!Ὂ
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  ὆὇ᝠካ m!>!a
aὙ
  ὆὇ᝠካ aĂ
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  ਫ਼̿
வሮጸᄊᝍ˞
x >!.!Ὂ
y!>!.
2   解二元一次方程组
឴
ʷ឴
ᝨ学生初൦̀
解ᝠካ఻ර
解二元一次方程组的基本思ਇ
和Цʹ൦ᰡ，ᤉ一൦ʹ͘
๗元
思ਇ，Տ௑，开᫫学生᜽᧙. 
有Уᡚ的学生可能͘
Ѿ用ᝠካ
఻njᝠካ٨ᤉ行࠽តර解，ၵ
ᒰ有的学生ᤇࠫ͘
三元̿
上的
方程组ᤉ行࠽ត，ᤈ̏
活үፃ
ᰎࠫ
学生的发࡙
ӡ分重要.
山东教育出版社
版社
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山
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东教育出版社
山东教育出版社             山东教
山东教育
山东
育出版社             山
版社   
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教育
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教育
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教
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教育
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教育
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育
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东教
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学生的
山东教育出版社
 
16
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第七章 二元一次方程组
˸ᮥ

1.（1）
x = 5，
y = 2Ὑ
   （2）
x = 2，
y = 5Ὑ
   （3）
x = 1
2 ，
y = -3Ὑ
   （4）
x = 5，
y = 7.
用ҫ ѓ ๗元ข解二元一
次方程组௑，一ᓊ可̿
Џં
方
程组ԫ形гѾ用ҫѓ๗元，ݠ
（4）ԫ形Ց˞
3x - y = 8，
3x - 5y = -20.
2. 解˞
x = 5，
y = 2，Цʹ᣿程႕. ː
መ方ข的СՏགᦐ௧᝺ข๗
ԝ一˔ళᅼ数，Ύ二元᫈
题
ᣁӑ˞一元᫈
题.
3.（1）
x = 5，
y = 3Ὑ
（2）学生的方ข可̿ܳ
ನ，
可̿
࠲方程组中઺号
内Պᮊ࡙
开४҂方程组
2x  8y = 16，
-2x  8y = 0，
г解४ፇ౧
x = 4，
y = 1Ὑे
ཀྵ，˷可能有ᦊ分学生发ဘ
（1）（2）ː࠵题˨ᫎ
的ᐏ系，直ଌѾ用第（1）࠵题ፇ᝷४҂
x  y = 5，
x - y = 3，
ᤉᏫර解. ᝺ᝠ
本题的ᄬ的ښ̆
ळ࠮学生ᒭ˟ڡᤉ行方ข的උᣗ，ҧ图ଫᇨ一定的டʹ૱元思ਇ和ӑॆ
思ਇ.
4. Ϝ᝺ᤈː˔数分ѿ˞ x 和 y，ݠ౧ᅼ᥋̀
ᤈː˔数的和与ࣀ，ࡃ可̿
४҂一˔二元一次方程组，̰
Ꮻර出 x 和 y 的ϙ.
山东教育出版社
版社
版社
ѓ
教
ѓ ๗
教
๗元
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元ข
教育
ข解
教育
解二
育
二
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组௑
东教
௑，
东教
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教
ᓊ可
教
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山东
ԫ形
山东
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Ѿ用
东教
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4）ԫ形Ց
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
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社
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元᫈
社᫈
题
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题
3
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出
Ὑ
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育
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育出
ข可
出
可
可
教育
可̿
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育
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教
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教
Պᮊ
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教育
教育出版社
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东
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x = 4
东教
4，
东教
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（
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（1
山
1）
山
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山
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஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
17
̄
Ћʷ൓வሮጸᄊऄၹ

ǒߜߕካፃǓ௧ੈ
ڎԱ̽
ʷᦊᣗ˞௿ԣᄊ
ካ˺Ὂ᝵ܳ᫈ᮥู
௭దᡚ. Х˗ʾԄኄ  ᮥ
þᬹ
ДՏኊÿื͜
࠿˞ࣹ
ฅὊ໡ภ᣿๒ื͜
҂̀
ெవ኎ڎ. 
þᬹ
ДՏኊÿᮥ
˞὘þ̭
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὆Ნ὇ДՏ
ኊὊʽదʼӡ̋݀
Ὂʾద˵ӡپᡜ.  ᫈ᬹ
ДՊї͵Ὕÿ
὆὇þʽదʼӡ̋݀
ÿᄊਓন௧̤
˦Ὕþʾద˵ӡپᡜÿքὝ
὆὇Ϳᑟಪ૶὆὇˗ᄊ஝᧚ТጇѵѣவሮጸՙὝ
὆὇Ϳᑟᝍхᤈ˔దᡚᄊ᫈ᮥ
ՙὝˁՏͧ
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3   二元一次方程组的应用

教ߦ目ಖ
ᝨ学生ፃԋ和ʹᰎѵ方程
组解х实ᬅ᫈
题的᣿程，ʹ͘
方程（组）௧҉ႇဘ实ˇႍ
的
有஍数学模型，۲Щ学生的数
学应用能ҧ.
本课௑ԣХՑː课௑，ᤰ
᣿ї˔ဘ实᫈
题ৱܒ，࡙
ဘᤂ
用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的一ᓊ᣿程，ቊ出方程组ͻ
˞数学模型应用的ࣹ
ฅ性和有
஍性. ᤰ᣿ᤈ三课௑内ࠔ的᝺
ᝠ，一方᭧ښѵ方程组的थ模
᣿程中，ू
ӑ̀
方程的模型思
ਇ，۲Щ̀
学生ѵ方程解хဘ
实᫈
题的ਓគ和能ҧὙԳ一方
᭧，࠲解方程组的੿能ᝫጷ与
实ᬅ᫈
题的解хᚸ˞一ʹ，ښ
实ᬅ᫈
题的解х᣿程中，ᤉ一
൦ଢᰴ学生解方程组的੿能. ښ
题ె
的ᤥહ上，教科书ฌਓ̀
题ె
的ဘ实性nj科学性和ᡚ֊
性，教学中，教师可̿
ಪ据学
生的生活实ᬅ和ᝣᅼ实ᬅ，ᤥ
હ更᠛ᤃ学生实ᬅ的ጉె
ᤉ行
教学. ښ内ࠔ的编ଆᮋऀ
上，教科书ᥖ॰̀
ႀ௜҂ᬲ的Ԕѷ（等᧚关系̰
直ଌᖍ४҂ώҰ᛫ಫnj܍
ቇ等ᤉ行分ౢ
४҂），ቊ出थቡ方程组的Պመኖ႕. 
൥ܱ
，ښᤈї课௑的教学中，教师应更ܳ
ڡ关ฌ学生的थ模᣿程，关ฌ学生能աᮋѾڡѵ出൤
ᆸ的二元一次方程组. ݠ可Ք学生ଢ出“题ᄬ中的ࣃᅼ᧚njళᅼ᧚௧̤
˦”“Պ˔᧚˨ᫎ
的关系௧̤
˦”等᫈
题，Ύ̵̓
形ੇ
解х实ᬅ᫈
题的一ᓊ性ኖ႕. ࠫ̆
Ц有一定ᬲए的᫈
题，教师可̿
Ϣ适े
的分解ੋ
组ጻ学生ᆑᝧ.̡̓
ᤂ用方程组解хե有ܳ
˔ళᅼ数的᫈
题ࣃ有ॢ᫂
的ԋԾ，中国传ፒ数学ښ方程ԣ方程组的
ᆑቃ方᭧˷有᝵ܳੇ
౧. 本课௑ᤥહ的ї˔᫈
题౏ູ̆ੈ
国Ա̽
数学ᗃͻ中的ᄱ关ᝮᣒ，ᤰ᣿ᤈ̏
内ࠔΎ学生ښᤂ用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的᣿程中，感受҂数学஡ӑ的ོ
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山东教育出版社
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版
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版
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版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
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教育
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东
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教
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教育
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教育
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教育
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育
ଆ
等ᤉ行分ౢ
४
东教
等ᤉ行分ౢ
४
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东教ܱ
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山东教育出版社
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社
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版社
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版社
书ฌ
版社
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实性
出
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出版
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出版
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学性
版
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教学
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学中
育出
中，
育出
，教
出
教师
出
师
的
教育
的生
教育
生活
教育
活实
育出
实ᬅ
育出
ᬅ和
出
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હ
教
હ更
教育
更᠛
教育
᠛ᤃ
教育
ᤃ学
育
学
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东
等᧚
东教
᧚关
东教
关系
东教
系̰
教̰
直
教
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山
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山
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山东
थ模
山东
模᣿
山东
᣿程
东
程
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东
᣿程
᣿
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山
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山
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山
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山
ᅼ᧚
山
᧚̆
山̆
18
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ͻ˞二元一次方程组应用的第 1 ᓬ内ࠔ，本课௑๘ԣ的等᧚关系උᣗእӭ，方程组的
模型ᄱࠫ
උᣗࠔ௜थቡ. 本课௑的教学௉ښळ出用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题，ᝨ学生ܸ
ᒱ̀
解用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的基本൦ᰡ：理解题ਓ，࠭
੽等᧚关系，᝺ళᅼ数
ѵ方程组，解方程组.
ό1ύᯫЏնဘ有ᡚ的Աካ题“ᲜДՏኊ”，ਓښ༏发学生的学习Уᡚ.
本题的ንವ˞Ნ 23 Զ，Д 12 Զ.
山东教育出版社
“ᲜДՏ
社
“ᲜДՏ
Д
版社
Д 12
版社
12 Զ
版社
Զ.
社
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山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
数
社
数
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஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
19
3   二元一次方程组的应用

ᬤ۶ጷ˸
ស题出ᒭǒ˵ቦካషǓԄМ
方程ό七ύ，Х解˞：ඈ݀ྦ
ϙ“᧛” 34
21 ː，ඈԶᎽ直
“᧛” 20
21 ː. ଢᇨ：可᝺ඈ݀ྦ
ϙ“᧛”x ː，ඈԶᎽ
ϙ“᧛”y ː， ѷ有方程组
 
5x  2y = 10，
2x  5y = 8.
˸ᮥ

1. 可̿
Ѿ用二元一次方程组ර
解的᫈
题，实ᬅ上ᦐ可̿
用
一元一次方程̿
ԣ࠵学的ካ
ష方ขර解，ڂᏫ，ᦊ分学
生可能感受不҂学习二元一
次方程组的必要性. ˞൥，
本ᓬ᝺ᝠ̀
ᤈನ一˔课ܱ
习
题，ҧ图ᝨ学生感受Պመ方
ข˨ᫎ
的内ښᐏ系和ࣀѿ，̰
Ꮻ̗
生උᣗݞ的ᅼគᐏ
ፇ，能ಪ据实ᬅৱцᤥહΎ
用不Տ的方ข，Տ௑˷可̿
感受҂新ᅼគ学习的必要性. े
ཀྵ，教学中˷可̿
要ර学生ښ课۶ᤉ行ᤈ̏
方ข的උᣗ.
下᭧的ವΓ˷᝵ࠫ
教学有一定的参考价ϙ.
ವΓὉדመ方ขݞ὎
ᤈ௧̄
Ћʷ൓வሮጸᄊʷᓬऄ用ិ
. ښ学ၷᒭ˟ᤥહவขᝍх̀ੈ
ڎԱЧՐᮥ
þᲜДՏኊÿ὆学
ၷԻ̿
Ѭѿ用࠵学ካషவขnjʷЋʷ൓வሮ֗
వቦѸѸ学˸ᄊ̄
Ћʷ൓வሮጸරᝍ὇Ὂࣳ
নᏦᤈ̏
வขᄊጓእሮए֗
ᄱ̉ᫎ
ᄊТጇՑὊ教师ᤉʷ൦նဘ̀
ʾ᭧ᄊ᫈ᮥ
Ὂ᜶ර学ၷᒭ˟ᤥહவขᝍх὘
þ̭
దྦ̋
ὊᎽ̄
Ὂᄰ᧛ӡː. ྦ̄
ὊᎽ̋
Ὂᄰ᧛Мː. ྦ
ᎽՊᄰ᧛ї͵Ὕÿ
ښХՑ学ၷᄊලઑ˗Ὂԧဘї˫ਫ਼ద学ၷᦐᑟѵ̄
Ћʷ൓வሮጸὊᦊѬ学ၷѵᄊ௧ʷЋʷ൓வ
ሮὊᏫԶదї˔学ၷ用࠵学ᄊካషவขᖍ४ንವ.
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山东教育出版社
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东教
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山东
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20
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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    ଢᇨ：可᝺፤ߕ有 x ࡇ，ဗፉܸ
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3. 有 7 ̡
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价 53 元.
    ଢᇨ：可᝺有 x ̡
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价 y 元，ѷ有方程组
8x - 3 = y，
7x + 4 = y.
东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东
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东教
有方程组
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东教
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x + 4
 
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
21
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ਓὊ४வሮጸ
  
 
 
  
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ᄊ᣺ಖဋ˞ Ὂᥧ˦ʷိ
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஝Պ௧ܳ
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ߦၷ஝Ѭѿ˞ x Րnjy ՐὊ܍иʾ᛫ࣳ
රѣ xὊy ᄊϙ. 
3   二元一次方程组的应用

教ߦ目ಖ
ᝨ学生ᤉ一൦ፃԋ 和ʹ
ᰎѵ方程组解х实ᬅ᫈
题的᣿
程，ʹ͘
方程（组）௧҉ႇဘ
实ˇႍ
的有஍数学模型，۲Щ
学生的数学应用能ҧ.
本课௑ᝨ学生ᤉ一൦ፃԋ
用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的൦ᰡ和方ข，ৱܒԣΓnj
习题中的等᧚关系ک不௜直ଌ
ᖍ४，ᭊ要ώҰѵ᛫ᤉ行分ౢ
，੽出᫈
题中ਫ਼ᘔ๰的等᧚
关系.
ښ教学中，教师应Ѝ分发
૙学生ᒭ˟学习的ሥౝ性，ळ
࠮学生Џ࿘ቡ思考发ဘ᫈
题中
的等᧚关系，г与Տͧ
ᤉ行合
ͻ̔ื
. 教师应更ܳ
ڡ关ฌ学
生的थ模᣿程，关ฌ学生能ա
ᮋѾڡѵ出൤ᆸ的二元一次方
程组，ښ൥基ᆩ上ቊ出解题᣿
程，ҫू
学生解方程组的੿能
ᝫጷ.
ό1ύ᝺ԝ年঴̗
ϙ˞ x ʺ元，঴ஃ出˞ y ʺ元，ѷ̭
年঴̗
ϙ˞（1 + 20%）x ʺ元，঴ஃ出˞
（1-10%）y ʺ元，ႀ౎件可४方程组
x - y = 200，
（1 + 20%）x -（1 - 10%）y = 780.
解४
x = 2 000，
y = 1 800.
Γ 2
᛫ಫ中第一行：0.5x ӭͯ
，0.7y ӭͯ
，（0.5x + 0.7y）ӭͯ
Ὑ
第二行：x ӭͯ
，0.4y ӭͯ
，（x + 0.4y）ӭͯ
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山东教育出版社
出版社
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出版社
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山东
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山东教育出版社
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ஔ学用书
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ښ˳ѣԧ
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ښႁѣԧ  h Ցᄱ᥅.  ႁnj˳ː̡
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ඈ࠵௑Ѭѿᛡᡌ x kmὊy kmὊ܍иʾ᛫ࣳ
ර xὊy ᄊϙ. 
ႁᛡᡌᄊ᡹ሮ
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ᛡᡌᄊ᡹ሮ˨֗
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ஈԫʽ᭧வሮ˗ᄊ஝૶Ὂͮ
ˀ᜶ஈԫவሮᄊॎर. 
2. ౽஻ᯞᄊࠇ੝దʼ̡ᫎ֗
ː̡ᫎ
ːመὊʼ̡ᫎ
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  ЋὊː̡ᫎ
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3. ౽ʹᐲڤᄊဗᛡᡫ᥋᫂
  mὊႁnj˳Ѭѿ̿
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ᤝʽႁʷ൓.  ႁnj˳ᄊᤴएѬѿ௧ܳ
࠶Ὕ

第七章 二元一次方程组
ᬤ۶ጷ˸
1. 一ိ
有 48 ̡
，二ိ
有 52 ̡
.
   ଢᇨ：可᝺一ိ
有 x ̡
，二ိ
有 y ̡
，ѷ有方程组
x + y = 100，
87.5%x + 75%y = 81%（x + y）.
2. 第一መৱц：᛫内Κ次܍（2 
+ 2.5）x，2.5y，（2 + 2.5）x 
+ 2.5y，Хϙ˞ 36Ὑ第二መ
ৱц：᛫内Κ次܍3x，（2 + 
3）y，3x +（2 + 3）y，Хϙ
˞ 36.
    ႁᤴए˞ 6 km



h ，˳ᤴए˞
    3.6 km



h .
˸ᮥ

1. ښ数学学习中，ੈ̓
ڍཀྵ要关ฌ数学模型的थ౞᣿
程nj数学模型的数学解х᣿
程，ᤈ̏
ᦐ௧Ѿ用数学ᅼគ分ౢ᫈
题nj解х᫈
题的基ᆩ. ͮ
学
生数学应用ਓគ的发࡙
，ᤇᭊ
要学生有一˔数学的ᅋ光，̰
ጭጓ复ా
的ဘ៶中ᄺ出数学关
系，૎出数学本质. ˞൥，ᬔ̀
նဘܸ
᧚数学的应用，ᝨ学生感受数学应用的ࣹ
ฅܱ
，可能ᤇᭊ要
发࡙
学生应用数学解х᫈
题的ᒭ˟ਓគ. 教学中可̿
ᝨ学生˟ү࠭
ර有关数学模型的ᑀఀ
. 本题的᝺
ᝠਓ图൤௧ݠ൥. Цʹ教学中，可̿
ᤰ᣿适े
的方式ᝨ学生̔ื
Պᒭ编制的᫈
题，ፌ学生ଢΙ一˔̔ื
的平Լ，ᤈ௅௧ࠫ
学生的一˔ᅖΨ，˷能˘ࠝ
学生ࠫ
有关ᅼគᑀఀ
的ᝣគ，Ꮻࠫ
教师Ꮻᝓ
，ᤈ
Տನ˷௧一˔不可ܳ
४的教学资ູ
.
2. ស஻຤团ምͱ̀
三̡ᫎ
 8 ᫎ
，ː̡ᫎ
 13 ᫎ
.
    ଢᇨ：可᝺ምͱ三̡ᫎ
 x ᫎ
，ː̡ᫎ
 y ᫎ
，ѷ有方程组
3x + 2y = 50，
90x × 3 + 120y × 2 = 5 280.
3. ႁnj˳的ᤴए分ѿ௧ 25
6 m



s nj 55
6 m



s .
    ଢᇨ：可᝺ႁnj˳的ᤴए分ѿ˞ x m



s njy m



s ，ѷ有方程组
30（x + y） = 400，
80（y - x） = 400.
山东教育出版社
版社
y
版
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版
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版
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出版
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出版
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出版
2
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出
2.
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出版
5）
出版
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˞ 3
育
36
育
6Ὑ
育出
Ὑ第
育出
第二
育出
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教育
次܍
教育
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（2
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2 +
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山东
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社
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版
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版社
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教育出版社
版
教育
教育
教育出版
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出版
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           山东
山东
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版
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出版
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出版
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应
学
山
学生
山东
生˟
山东
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东教
ү࠭
东教࠭
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东教
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有
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山
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山
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山东
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山东
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山东̔ื
东ื
Պ
东
Պ
学
山
学生
山
生ࠫ
山ࠫ
有
山
有关
山
关
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
23
࠵௚ᄊྚྚ
ᰑᅌ୕
੬ᢼࣜ
ᅌ࠵௚ښН᡹ʽӉᤴᛡ᯺Ὂʾڏ௧࠵௚ඈᬦ 
 h ᄺ҂ᄊ᧗ሮৱц.  Ϳᑟᆸࠀ࠵௚ښ ὘ ᄺ҂ᄊ᧗ሮᇀʽᄊ஝ՙὝ
௧ʷ ˔ ːͯ
஝Ὂ߲
ᄊː˔஝ߚ
˨֗
˞ .
උ ὘ ௑ᄺ
҂ᄊːͯ
஝˗ᫎܳ̀
˔ .
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ˁ ˔ͯ
஝
ߚˁ ὘ ௑ਫ਼ᄺ
҂ᄊ൤ݞ̉
૱̀
.
ݠ౧᝺࠵௚ښ ὘ ᄺ҂ᄊ஝ᄊӡͯ
஝ߚ௧ xὊ˔ͯ
஝ߚ௧ yὊᥧ˦
὆὇࠵௚ښ ὘ ᄺ҂ᄊ஝Ի᛫ᇨ˞ ______________________________Ὂ
ಪ૶ː˔஝ߚ֗
௧ ὊԻѵѣவሮ ______________________________________Ὑ
὆὇࠵௚ښ ὘ ᄺ҂ᄊ஝Ի᛫ᇨ˞ ______________________________Ὂ
὘ _
὘ ᫎ୕
੬ᢼᛡ᯺ᄊ᡹ሮ௧ ____________________________________Ὑ
὆὇࠵௚ښ ὘ ᄺ҂ᄊ஝Ի᛫ᇨ˞ ______________________________Ὂ
὘ _
὘ ᫎ୕
੬ᢼᛡ᯺ᄊ᡹ሮ௧ ____________________________________Ὑ
὆὇὘ _
὘ ˁ ὘ _
὘ ː඀௑ᫎ
Я୕
੬ᢼᛡ᯺ᄊ᡹ሮద̤
˦
ТጇὝͿᑟѵѣᄱऄᄊவሮՙὝ
ಪ૶̿
ʽѬౢ
Ὂ४வሮጸ
  x!,!y >!Ὂ
὆x!,!y὇.὆y!,!x὇>὆y!,!x὇.὆x!,!y὇/
ᝍᤈ˔வሮጸὊ४
x!>!Ὂ
y!>!.
ڂ൥Ὂ࠵௚ښ ὘ ᄺ҂ᄊ᧗ሮᇀʽᄊ஝௧ . 
 
  ὘ 
 
 
 ὘ 
                         ὘
3   二元一次方程组的应用

ፃ᣿Ғːᓬ的学习，学生ࠫ
用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的൦ᰡ和方ข有̀
基本的̀
解. 与Ғːᓬᄱඋ，本ᓬᤥહ
的᫈
题数᧚关系更˞复ా
，教
科书̿
൥˞ᣒʹ࡙
ဘ̀
分ౢ
数
᧚关系njथቡ方程组的᣿程和
ኖ႕，ښ൥基ᆩ上ॆ
ጪѵ方程
组解х实ᬅ᫈
题的一ᓊ൦ᰡ.
ښ教学中，教师可Ք学生
ଢ出“题ᄬ中的ࣃᅼ᧚njళᅼ
᧚௧̤
˦”“Պ˔᧚˨ᫎ
的关
系௧̤
˦”等᫈
题，ᴂҵ学生
ଊቃ不Տ的分ౢ
nj解х᫈
题的
方ข，Ύ̵̓
形ੇ
解х实ᬅ᫈
题的一ᓊ性ኖ႕，必要௑教师
可̿ࠫ᫈
题Ϣ适े
的分解ੋ
组
ጻ学生ᤉ行ᆑᝧ.
ό1ύ“᧗程ᇀ上的数”ᤈ一ڤఀ
ᣗ˞有ᡚ，߲
௅௧一˔数字᫈
题，ԡ和行程有关，ͮ
ᄱࠫ
Ꮻᝓ
有一定的ᬲए.˞൥教科书ᤰ᣿܍ቇ的方式࠲᫈
题ᤉ行̀
分解. 解хᤈ˔᫈
题的关᪄௧：一௧੽出等
᧚关系：12：00 ~ 13：00 ᫎ୕
੬ᢼ行᯺的路程 = 13：00 ~ 14：00 ᫎ୕
੬ᢼ行᯺的路程，12：00 ௑࠵
明ᄺ҂的᧗程ᇀ上的ː˔数字˨和௧ 7Ὑ二௧用 x，y ൤ᆸڡ᛫ᇨ出三˔௑҉࠵明ਫ਼ᄺ҂的数ԣ上᭧
的等᧚关系. ՊቇΚ次˞（1）10x + y，x + y = 7Ὑ（2）10y + x，（10y + x）-（10x + y）Ὑ（3）100x + y，
（100x + y）-（10y + x）Ὑ（4）12：00 ~13：00 ᫎ୕
੬ᢼ行᯺的路程与13：00 ~ 14：00 ᫎ୕
੬ᢼ行᯺的
路程ᄱ等， 可ѵ方程（10y + x）-（10x + y）=（100x + y）-（10y + x）.
ό1ύ
山东教育出版
出版社
҂ᄊ஝ᄊӡͯ
஝ߚ
育出
҂ᄊ஝ᄊӡͯ
஝ߚ
ᄺ҂ᄊ஝Ի᛫ᇨ˞
教育
ᄺ҂ᄊ஝Ի᛫ᇨ˞
ὊԻѵѣவሮ
教育
ὊԻѵѣவሮ
育

东
὘
东教
὘
东教
 ᄺ҂ᄊ஝
东教
ᄺ҂ᄊ஝

东
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੬ᢼᛡ᯺
东教ᫎ୕
੬ᢼᛡ᯺
὇࠵௚ښ
山东
὇࠵௚ښ 
山东
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东
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东
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东
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_
山
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山
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山
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山
ᫎ୕
੬
山东ᫎ୕
੬

山
὘
山
὘
山


出
὘
出
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出版

出
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
___
山
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_ Ὂ
山
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山
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山
Ὑ
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__
__
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੬ᢼᛡ᯺ᄊ᡹ሮద
 
੬ᢼᛡ᯺ᄊ᡹ሮద
὆
社
὆
社
y
社
y
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社
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社
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社
὇.
社
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出版社
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版社
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版社
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版社
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版社
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版社
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版
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育
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育出
 ᄺ҂ᄊ᧗ሮ
育出
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社
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本
社
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社
ᓬᤥ
社
ᤥહ
社
હ
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版
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版社
复ా
版社ా
，
版社
，教
社
教
ʹ
出
ʹ࡙
出版࡙
ဘ
出版
ဘ̀
出版社̀
分
版社
分ౢ
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ቡ
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ቡ方
出
方程
出版
程组
出版
组的
出版
的᣿
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ښ
育
ښ൥
育
൥基
育出
基ᆩ
育出
ᆩ上
育出
上ॆ
出ॆ
х实ᬅ᫈
题的
教育
х实ᬅ᫈
题的
ښ
教育
ښ教
教育
教学
教育
学中
育
中
ଢ
东教
ଢ出
东教
出“
教
“题
教
题ᄬ
教
ᄬ
᧚
东教
᧚௧
东教
௧̤
东教̤
系
东
系௧
东
௧
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教
ύ“
教
“᧗
教育
᧗程
教育
程ᇀ
教育
ᇀ上
育
上
一
东
一定
东教
定的
东教
的ᬲ
东教
ᬲए
教
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教
˞
᧚关系：
山东教
᧚关系：12
东
12
明ᄺ҂的
山东
明ᄺ҂的
的
山
的等
山
等
山东教育出版社
字
东
字᫈
东教᫈
题
东教
题，
东教
，ԡ
教
ԡ和
教
和行
教
行
解
山
解.
东
. 解
山东
解х
山东教
хᤈ
东教
ᤈ˔
东教
˔᫈
教᫈
~
山
~ 14
山
14：
山
：00
山东
00ᫎ୕
山东ᫎ୕
ᆸڡ᛫ᇨ
山
ᆸڡ᛫ᇨ
（
山
（
 
24
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
Γ
 ː˔ːͯ
஝ᄊ֗
௧ Ὂښᣗܸ
ᄊːͯ
஝ᄊԿ᣸ଌᅌиᣗ࠵ᄊːͯ
஝Ὂ४҂ʷ˔پͯ
஝Ὑښᣗܸ
ᄊːͯ
஝ᄊࢻ᣸иʽᣗ࠵ᄊːͯ
஝Ὂ˷४҂ʷ˔
پͯ
஝.  ࣃᅼҒʷ˔پͯ
஝උՑʷ˔پͯ
஝ܸ
  Ὂරᤈː˔ːͯ
஝. 
Ѭౢ
Ὁ᝺ᣗܸ
ᄊːͯ
஝˞ xὊᣗ࠵ᄊːͯ
஝˞ y. 
ښᣗܸ
஝ᄊԿ᣸ଌᅌиᣗ࠵ᄊ஝Ὂਫ਼иᄊ஝Ի᛫ᇨ˞ ________________Ὑ
ښᣗܸ
஝ᄊࢻ᣸иʽᣗ࠵ᄊ஝Ὂਫ਼иᄊ஝Ի᛫ᇨ˞ ___________________. 
ᝍὉ᝺ᣗܸ
ᄊːͯ
஝˞ xὊᣗ࠵ᄊːͯ
஝˞ yὊѷ
  
 
  x!,!y >!Ὂ
὆x!,!y὇.὆y!,!x὇>! .
ӑእὊ४
  
 
x!,!y >!Ὂ
x!.!y >! .
ԁ
  
 
x!,!y >!Ὂ
x!.!y >!.
ᝍសவሮጸὊ४
x!>!Ὂ
y!>!.
ਫ਼̿
ᤈː˔ːͯ
஝Ѭѿ௧  ֗
 . 
ᬤ۶ጷ˸
ѵ̄
Ћʷ൓வሮጸᝍхࠄᬅ᫈ᮥ
ᄊʷᓊ൦ᰡ௧টನᄊὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
. 
ᝬʷᝬ
ʷ˔ːͯ
஝Ὂѓԝ߲
ᄊՊͯ
஝ߚ˨֗
ᄊ  φὊፇ౧௧ Ὑᤈ˔ːͯ
஝ᬔ߲̿
ᄊՊͯ
஝ߚ˨֗
Ὂ׸௧ Ὂ͸஝௧ .  ᤈ˔ːͯ
஝௧ܳ
࠶Ὕ

第七章 二元一次方程组
Γ 3
本题中的等᧚关系˞：一
௧ː˔ːͯ
数的和௧ 68Ὑ二
௧ԫӑՑ的ː˔四ͯ
数的ࣀ˞
2 178. ᤈ̏
学生௜̆࠭
ර. ͮ
ݠ͵᛫ᇨᤈː˔四ͯ
数௧本题
的ᬲག.
ՊቇΚ次˞ 100x + y，
100y + x.
教师应ᴂҵ学生Џᒭ˟ଊ
ቃ，ݠ౧学生理解题ਓnj᛫ᤘ
题ਓᆸ有ڈᬲ，可Џ̿
Цʹ的
数字˞Γҫ̿
解᧖，ᤉᏫळ࠮
学生思考：ᔪ᝺ᤈː˔数分ѿ
˞ x，y，ѷ४҂的四ͯ
数可ݠ
͵᛫ᇨὝࣟ
Ұ学生൤ᆸڡ᛫ᤘ
ᤉᏫѵ出্े
的方程.
ᝬʷᝬ
ळ࠮学生回顾本ቦՊ˔᫈
题的解х᣿程，ॆ
ጪ出ѵ二元
一次方程组解х实ᬅ᫈
题的一
ᓊ൦ᰡ. ᤈ᧗不一定要明ఁ一˔
ӡ分Цʹ的൦ᰡ，Զ要学生能̀
解ᤈ˔᣿程ԁ可，不必要ර
学生的回ን᜻ᔵӑnjፒ一ӑ.
ᬤ۶ጷ˸
ᤈ˔ːͯ
数௧ 56.
ଢᇨ：可᝺ӡͯ
数字௧ x，˔ͯ
数字௧ y，ѷ有方程组
10x + y - 3（x + y）= 23，
10x + y = 5（x + y）+ 1.
山东教育出版社
版社
+
出
+ y
出版
y，
出版
，
学
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学生
育
生Џ
育出
Џᒭ
育出
ᒭ˟
育出
˟ଊ
出
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教育
理解
教育
解题
教育
题ਓ
育
ਓnj
育
nj᛫
育
᛫
ڈ
教
ڈᬲ
教
ᬲ，
教
，可
教育
可Џ
教育
Џ̿
育̿
˞
东
˞Γ
东
Γҫ
东教
ҫ̿
东教̿
解
东教
解᧖
教
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山
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山东
思考
山东
考：
东
：ᔪ
东
ᔪ᝺
东
᝺
˞
山
˞ x
山
x，
山
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山东
y，
山
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东
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山
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山
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山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
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社
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版社
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版社
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版社
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育
 
育出
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教

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山
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山东
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山
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山东
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山东
.
山
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山
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x>
山
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山
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山
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 ̿
ᤈː˔ːͯ
஝Ѭ
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ᝬʷ
Պ
社
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社
˔᫈
社᫈
ጪ
版
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版
出ѵ
版社
ѵ二
版社
二元
版社
元
实
出版
实ᬅ
出版
ᬅ᫈
出版᫈
题
版社
题的
版社
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版
一
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出
不一
出
一定
出版
定要
出版
要明
出版
明ఁ
版
ఁ
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育
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育出
൦ᰡ
育出
ᰡ，
育出
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Զ要
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教
ᤈ˔
教育
˔᣿
教育
᣿程
教育
程ԁ
育
ԁ可
育
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生的回ን᜻ᔵ
教育
生的回ን᜻ᔵ
山东
山东
山东教
东教
东教
东教
东教
ᬤ
东教
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山东教育出版社
教育出版
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社
Տͧ
ᤉᛡ
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ፇ౧௧
出
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出
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࠶Ὕ
育出
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࠶Ὕ
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
25
˸ᮥ


஝ߦေᝍ᫈ᮥ
ᝍх
1. ဘࠄၷำ֗
஝ߦߦ˸˗Ὂద᝵ܳ᫈ᮥ
Ի̿
ώҰ̄
Ћʷ൓வሮጸᝍх.  តᎄ҄
ʷ˔
Ի̿
ၹ̄
Ћʷ൓வሮጸᝍхᄊ᫈ᮥ
. 
2. ࠵௚֗
࠵̝
Ϣҫข຤੆.  ࠵௚ښʷ˔ҫ஝Ց᭧ܳ
ѝ
ʷ˔  Ὂ४҂ᄊ֗
˞ Ὑ
Ꮻ࠵̝
ښԳʷ˔ҫ஝Ց᭧ܳ
ѝ
ʷ˔ Ὂ४҂ᄊ֗
˞ .  Ԕ౏ː˔ҫ஝Ѭѿ௧ܳ
࠶Ὕ
3. ࠵ᮣ
ࠒሏߦಣ   mὊХ˗దʷ඀˞ʽڹ᡹ὊԳʷ඀˞ʾڹ᡹.  ݝᡫ൦ԝߦಣ
Сၹ̀
  minὊࣃᅼ࠵ᮣ
ښʽڹ᡹ʽᄊࣱ
کᤴए௧ . km/hὊᏫݝښʾڹ᡹ʽᄊࣱ
کᤴए௧  km/h.  ࠵ᮣ
ʽڹnjʾڹՊၹ̀ܳ᫂
௑ᫎ
Ὕ
4. ౽׸इюܬၹːመ͉
ಫѬѿ˞  Ћ / ӢБ֗
 Ћ / ӢБᄊዾ౧ຉՌੇా
તዾ౧ѣ
׬ὊຉՌՑዾ౧ᄊ͉
ಫ௧  Ћ / ӢБ.  ဘښ᜶ᦡ҄
ᤈመా
તዾ౧  ӢБὊᭊ᜶
ːመዾ౧Պܳ
࠶ӢБὝ
̄
Ћʷ൓வሮˁʷ൓Ѧ஝
὆὇வሮ x!,!y!>! ᄊᝍదܳ
࠶˔ὝиѣХ˗ᄊї˔. 
὆὇ښᄰᝈگಖጇ˗Ѭѿଡѣ̿
ᤈ̏
ᝍ˞گಖᄊགὊ߲̓
ښʷ൓Ѧ஝ 
y!>!!.!x ᄊڏ៶ʽՙὝ
὆὇ښʷ൓Ѧ஝ y!>!!.!x ᄊڏ៶ʽ͊
ԩʷགὊ߲
ᄊگಖᤠ
Ռவሮ x!,!y!>!
ՙὝ
὆὇̿
வሮ x!,!y!>! ᄊᝍ˞گಖᄊਫ਼దགጸੇ
ᄊڏ៶ˁʷ൓Ѧ஝ y!>!!.!x
ᄊڏ៶ᄱՏՙὝ
4   二元一次方程与一次函数

˸ᮥ

1. 本题的᝺ᝠਓ图nj教学ܫ理
थᝬ，与习题 7.5 第 1 题ᄱՏ.
2. ː˔ҫ数分ѿ௧ 21，32 .
ଢᇨ：可᝺࠵明ښ x Ց᭧ܳ
ѝ
一˔ 0，࠵̝
ښ y Ց᭧ܳ
ѝ
一˔ 0，ѷ有方程组
10x + y = 242，
x + 10y = 341.
3. ࠵ᮣ
上ڹ用 11 m i n ，下ڹ用 
5 m i n . 
ଢᇨ：可᝺࠵ᮣ
上ڹ用 x m i n 
下ڹ用 y m i n ， ѷ有方程组
x + y = 16，
4.8 × x
60 + 12 × y
60 = 1 880
1 000 . 
4. ᭊ要价ಫ˞ 18 元
 /
 千Б的
ዾ౧ 62.5 千Б，价ಫ˞ 10 
元
 /
 千Б的ዾ౧ 37.5 千Б.
ଢᇨ：可᝺ᭊ要价ಫ˞ 18 
元
 /
 千Б的ዾ౧ x 千Б，价
ಫ˞ 10 元
 /
 千Б的ዾ౧ y 千
Б，ѷ有方程组
x + y = 100，
18x + 10y = 15 × 100.
本ᓬ分˞ː课௑，
第 1 课௑的教学ᄬಖ௧：
1. Ύ学生初൦ʹ͘
二元一次方程（组）与一次函数的关系.
2. 能̰
“图形”的角एᄺॠ二元一次方程和二元一次方程组.
3. ͘
Ѿ用ॠ定系数ขᆸ定一次函数的解ౢ
᛫᣺式.
本课௑௉ښᤰ᣿二元一次方程（组）与一次函数关系的ଫᇨ，थቡ方程与函数的ᐏ系，ळ࠮学
生̰
图形的角एᄺॠ二元一次方程和二元一次方程组，ࣳ
ᤰ᣿ॠ定系数ข，Ѿ用二元一次方程组ᆸ
定一次函数的᛫᣺式. ڂ൥，教科书ᯫЏᤰ᣿ࠫ
二元一次方程关系式与一次函数的ࠫ
උ分ౢ
，ᝨ学
生ᝣគ҂：̰
“数”的角एᄺ，方程与函数ଡᤘ的௧Տನ的关系Ὑ̰
“形”的角एᄺ，߲̓ࠫ
应解
山东教
东教育出版社
஝Ց᭧ܳ
ѝ
ʷ˔
版社
஝Ց᭧ܳ
ѝ
ʷ˔
˔ 
版
Ὂ४҂ᄊ֗
˞
版社
Ὂ४҂ᄊ֗
˞ 
社

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出版
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东教
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教育出版社             山东教育出版社
教育
山东教育出版社
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山东教育出版社
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山东
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山东
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次方程组
山
次方程组
 
26
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
வሮ x!,!y!>! ᄊᝍద௄஝˔.  ̃
ࠄʽὊ̿
வሮ x!,!y!>! ᄊᝍ˞گಖᄊགጸੇ
ᄊڏ៶ˁʷ൓Ѧ஝ y!>!!.!x ᄊڏ៶ᄱՏὊ௧Տʷ౎ᄰጳ. 
x!,!y!>! ˁ y!>!!.!x ᛫
ᇨᄊТጇᄱՏ.
ʷᓊڡὊ̿
ʷ˔̄
Ћʷ൓வሮᄊᝍ˞گಖᄊགጸੇ
ᄊڏ៶ˁᄱऄᄊʷ൓Ѧ
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஝ y!>!!.!x ֗
 y!>!x!.! ᄊڏ៶὆ݠڏ .὇Ὂ
ᤈː˔ڏ៶ద̔
གՙὝ̔
གᄊگ ಖˁவሮጸ
x!,!y >!Ὂ
x!.!y >! ᄊᝍద̤
˦ТጇὝ
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y!>!x!.! ᄊڏ៶὆ݠڏ .὇దটನᄊͯ
ᎶТጇὝவ
ሮጸ
x!.!y >!.!Ὂ
x!.!y >!
ᄊᝍᄊৱцݠ͵ὝͿԧဘ̤̀
˦Ὕ
ڏ .
O 
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B
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y >! .!x
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ག˞
὆Ὂ὇ὊᏫ
x!>!Ὂ
y >! ࡃ௧வሮጸ
x!,!y >!Ὂ
x!.!y >! ᄊᝍ. 
ʷᓊڡὊ̰
ڏॎᄊᝈएᄺὊᆸࠀː౎ᄰጳ̔
གᄊگಖὊᄱे̆
රᄱऄᄊ̄
Ћʷ൓வሮጸᄊᝍὙᝍʷ˔̄
Ћʷ൓வሮጸὊࡃᄱे̆
ᆸࠀᄱऄː౎ᄰጳ̔
ག
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ڏ .
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y >!x .!
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. 
.
.
 


y

第七章 二元一次方程组
（ག）组ੇ
的图៶ᄱՏ，४҂
二元一次方程图៶的ྲ
ढ़. ཀྵՑ̿
൥˞基ᆩ，४҂：一ᓊڡ，̰
图形的角एᄺ，ᆸ定ː౎直
线̔
ག的گಖ，ᄱे̆
රᄱ应
的二元一次方程组的解Ὑ解一
˔二元一次方程组，ᄱे̆
ᆸ
定ː౎直线̔
ག的گಖ.̰
图形的角एᄺ二元一次
方程组可̰̿
直᜺上ᖍ४᫈
题
的解，ͮ
直᜺的方ขड़ड़ࣳ
不
юᆸ，有௑ᤇᭊ要̰
直᜺的图
៶上ᖍԩюᆸηৌ，ᤈ᧗ࡃ๘
ԣර图៶ࠫ
应的̽
数᛫᣺式的᫈
题. ˞൥，第 2 课௑ᯫЏ᝺ᝠ̀
一˔Цʹ᫈
题，要ර学生思
考ХЦʹ解ข，ښ解ข的̔ื
中，必有学生不໘ᡜ̰̆
图形
४҂的ᤃͫ
ፇ౧，ڂᏫᭊ要࠭
ර图៶ࠫ
应的̽
数᛫᣺式，ᤈ
ನࡃӡ分ᒭཀྵڡ᣿ບ҂一次函
数̽
数᛫᣺式的ᆸ定᫈
题，ཀྵ
Ցгᤰ᣿一定的Γnj习题ҫ̿
ࢾڍ.
ό1ύᤰ᣿学生的思考和୲
ͻ，ҧ图ଫᇨ出方程与函数图៶˨ᫎ
的ᐏ系，थቡᡑ“数”——二元一次方程组与“形”——函数
的图៶（直线）˨ᫎ
的ࠫ
应，۲Щ学生初൦的数形ፇ合的ਓគ和能ҧ.
ϢʷϢ
ᤉ一൦ʹ͘
方程与函数图៶˨ᫎ
的ᐏ系，ᝨ学生明ᆸ：̰
图形的角एᄺ，ᆸ定ː౎直线̔
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ಖ，ᄱे̆
රᄱ应的二元一次方程组的解Ὑ解一˔二元一次方程组，ᄱे̆
ᆸ定ː౎直线̔
ག的گಖ.
ਇʷਇ
学生̰
“形”上௜̆
发ဘᄱ应的函数图៶——直线ᄱ̉
平行， Ꮻ̰
“数”的方᭧˷不ᬲᄺ出
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山东教育出版社
版社
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社
஝ᄊڏ
版社
版社
版社
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版
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二元
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一次
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次
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教育
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教育̰
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东教
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东
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东教ࠫ
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东教
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东教
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山
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东教育出版社             山东教育出版社
社
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版社
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教
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东教
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东教
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山东
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ʷᓊڡὊ̰
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Ћʷ൓வሮጸᄊ
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山东
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版社
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版社
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出版
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出版
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出版
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版社
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山东
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山东
东教育出版社
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山东
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二元
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次
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山东教
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஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
27
1. ࣃᅼʷ൓Ѧ஝ y!>!x!.! ˁ y!>!x ᄊڏ៶ᄊ̔
ག௧὆Ὂ὇Ὂරவሮጸ
x!.!y >!Ὂ
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2. దʷጸ஝Տ௑ᤠ
Ռவሮ x!,!y!>! ֗
 x!,!y!>! ՙὝʷ൓Ѧ஝ y!>!!.!x ˁ y!>!!.!x ᄊڏ
៶˨ᫎ
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˦ТጇὝ
ᬤ۶ጷ˸
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ࣃᅼவሮጸ
.!x!,!y ,! >!Ὂ
x!,!y .! >!
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x > 
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y > Ὂ
តරѦ஝ y!>!x!.! ˁ y!>!.!
 x!,!
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གگಖ. 
2. ʷ൓Ѧ஝ y!>!x!.! ˁ y!>!x!,!b ᄊڏ៶ᄊ̔
ག˞P὆Ὂ.!὇Ὂតᆸࠀவሮጸ
    
y >!x .!Ὂ
y!>!x ,!b
ᄊᝍ֗
 b ᄊϙ. 
3. ࣃᅼʷ൓Ѧ஝ y!>!x!ˁ y!>!.!x!,!b ᄊ̔
ག˞὆Ὂa὇Ὂតᆸࠀவሮጸ
x .!y >!Ὂ
x ,!y!.!b!>!1
 
ᄊᝍ֗
 aὊb ᄊϙ. 
Ą4.὆὇ឰиѣʷጸ̄
Ћʷ൓வሮጸὊΎសவሮጸ௄ᝍὙ
὆὇ͿᤇᑟиѣХ̵
௄ᝍᄊ̄
Ћʷ൓வሮጸՙὝݠ౧ᑟὊឰ᜺ࠣ
ᤈ̏
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ː˔வሮద̤
˦СՏྲ
ढ़. 
ᝬʷᝬ
AὊB ːڡᄱᡰ  kmὊႁnj˳ː̡
ᰑᢼՏ௑Ѭѿ̰
 AὊB ːڡᄱՔᏫᛡ. 
Ϝ᝺̵̓
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Ӊᤴᛡ᯺Ὂѷ̵̓
Պᒭ҂ A ڡᄊᡰሏ s὆km὇ᦐ௧ᰑᢼ௑ᫎ
t὆h὇ᄊʷ൓Ѧ஝.   h Ց˳ᡰሏ A ڡ  kmὙ h Ցႁᡰሏ A ڡ  km.  ፃ᣿ܳ᫂
௑ᫎ
ː̡
࠲ᄱ᥅Ὕ
Ϳ௧টನϢᄊὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
. 
4   二元一次方程与一次函数

෥有一组数Տ௑适合ᤈː˔方
程. ࣏
మ学生ᤰ᣿ᤈ一发ဘᤉ
一൦ʹ͘
二元一次方程与一次
函数图៶˨ᫎ
的关系，方程组
的解与函数图៶̔
ག˨ᫎ
的关
系，̰
“数”“形”ː˔方
᭧初൦ʹ͘
౽̏
方程组的௄解
性，ᤉ一൦发࡙
学生的数形ፇ
合的ਓគ和能ҧ.
ᬤ۶ጷ˸
1. 
x = 1，
y = 2.
2. ෥有， 一次函数 y = 2 - x和
y = 5 - x 的图៶平行. ࣏
మ学
生ᤉ一൦ʹ͘
二元一次方程
（组）与一次函数图៶˨ᫎ
的关系.
˸ᮥ

1. ̔
གگಖ˞ 4
3
 , 1 .
2. 
x = 1，
y = -2，
b= -4.
3. 
x = 1，
y = 2，
a = 2，b = 3.
4.（1）Զ要ː˔方程不能Տ௑ੇ
ቡ，ស方程组ࡃ௄解Ὑ
   （2）௄解的二元一次方程组ࠫ
应的一次函数图៶ᄱ̉
平行.
本课௑的教学ᄬಖ˞：
1. 理解ͻ函数图៶的方ข与̽
数方ขՊᒭ的ྲ
ག.
2. ଂଧѾ用二元一次方程组ᆸ定一次函数的᛫᣺式.
3. ᤉ一൦理解方程与函数的ᐏ系，ʹ͘
ᅼគ˨ᫎ
的௿᥆ᐏ系和ᅼគ˨ᫎ
的ᄱ̉
ᣁӑ.
版社
山东教育出版社
ߦေᝍ
山
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ᄊᝍ௧
出
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出版
x x
出版
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出版

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出版
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教育
ˁ y
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y >
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教育
x
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x ,!
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育
b ᄊ
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东教
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b 
东教
b ᄊϙ
教
ᄊϙ.
教
.
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山东
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东
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东
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山东
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东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
      山
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山
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ݠ౧ᑟὊឰ᜺ࠣ
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社
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ᰑᢼՏ௑
版社
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版社
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社
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出版
˳ᡰሏ A 
出版
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出版
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版
k
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ᤉᛡ̔
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ᄊὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔
一次
社
次
方
社
方程
社
程组
社
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ག
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版社
˨ᫎ
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版社
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社
关
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版
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出版
形”
版
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版社
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版社
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出̏
方
出版
方程
出版
程组
出版
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版
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൦
育
൦发
育出
发࡙
育出࡙
学
育出
学生
出
生
ਓគ和能ҧ
教育
ਓគ和能ҧ
东教
东教
东教
东教
东教
东教
东教
ᬤ۶
东教
ᬤ۶
1
东
1
东
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教
= 1
教
1，
教
，
y = 
东教
y = 2
东教
2，
东教
，
东
a = 
教
a = 2
教
2
4
山东
4.
山东
.（
山东
（1
山东
1）Զ要
东
）Զ要
山
（
山东
（2
山东
2）
东
）
山东教育出版社
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出
˞
4
出版
4
3
出版
3
出版
,
出版
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1
出版社
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育
1，
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，
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y = -
育
-2
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2，
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，
教
b=
育出
b=
平行
山
平行.
山
.
 
28
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第七章 二元一次方程组
ᝬʷᝬ
௉ښᤉ一൦ҫू
方程与函
数的ᐏ系. ࠫ̆
ᤈ˔᫈
题，ႀ̆
学生ښҒ一课௑ࣃፃ有̰̀
图
形的角एᄺ二元一次方程组的
ፃᰎ，ڂ൥ᣗ˞ᒭཀྵ的Ϣข௧
ႇ图៶，ͮ
ႇ图的ፇ౧ܳ
௧ᤃͫ
的，ᬲ̿
ድᆸ，ڂᏫ͘
考ᘽ
有෥有Х̵
ҩข， ݠ能աᆸ定
ႁnj˳Պᒭ的 s 与 t ˨ᫎ
的函数
᛫᣺式等. ˞൥，ښ学生ᝧ᝷的
基ᆩ上，教科书ଢῚ
三˔Տ
学的思路，ᝨ学生ᤉ行思考和
උᣗ，ᤉᏫᖍ४̰
图៶等ηৌ
ᆸ定一次函数᛫᣺式的方ข，
ҫू
二元一次方程与一次函数
的ᐏ系.
Цʹ教学中，可̿
Џᝨ学
生ᒭ˟ଢ出解х方ವ，ᤉᏫ̔ื
方ವnjඋᣗ方ವ，ښᤈ̏
活
ү᣿程中үগڡ生ੇ
ᄱ关方ข.
Γ
ᤰ᣿Γ题ᝨ学生̀
解ॠ定
系数ข. ॠ定系数ข的一ᓊ൦ᰡ
௧：Џи出ե字ඇ系数的函数
᛫᣺式，гಪ据题ᄬ中的౎件
ᆸ定系数的ϙ.
山东教育出版社
版社
版社
௧
版
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版
ᤃ
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考
出版
考ᘽ
出版
ᘽ
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
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山东教育
教育
教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
29
4   二元一次方程与一次函数

ᬤ۶ጷ˸
1. 
x + y = 4，
2x - y = -1.
2. y = 0.5x + 14.5. े
 x = 4 ௑，
y = 0.5 × 4 + 14.5 = 16.5
（c m ）. 
˸ᮥ

1.（1）y = 7.5x + 0.5Ὑ
   （2）75.5 c m .
2. ಖю内ඵ价和ᡔ᣿ಖюᦊ分
的ඵ价分ѿ௧ඈቡ方米 2 元
 
和ඈቡ方米 4 元. 学生的方ข
࠲௧ܳ
ನ的，可̿
ᤰ᣿ѵ二
元一次方程组njѵ一元一次
方程njѾ用函数图៶̿
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学ካష方ข等ර解.
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山东教育出版社
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30
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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௧ Ὂႁ஝උ˳஝ܸ
 Ὂႁ஝ᄊ  φˁ˳஝ᄊ֗
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 Ὂරᤈʼ˔஝. 
ښʽᤘ᫈ᮥ
˗Ὂ᝺ႁ஝˞ xὊ˳஝˞ yὊˉ஝˞ zὊႀᮥ
ਓԻ४҂வሮጸ
  
 
x!,!y ,!z >!Ὂ
x!.!y >!Ὂ
x!,!y .!z >!.

 ʼЋʷ൓வሮጸ
ᤈ˔வሮጸ֗
Ғ᭧ߦ
᣿ᄊ̄
Ћʷ൓வሮጸద̤
˦ӝѿ֗
ᐏጇὝੈ̓͘
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வሮጸὊᑟˀᑟϸ̿
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ښᤈ˔வሮጸ˗Ὂx!,!y!,!z!>! ֗
 x!,!y!.!z!>! ᦐեదʼ˔ళᅼ஝Ὂࣳ
˅
ਫ਼եళᅼ஝ᄊᮊᄊ൓஝ᦐ௧ ὊᤈನᄊவሮԷϢʼЋʷ൓வሮ὆linear equation 
with three unknowns὇. 
ϸᤈನСեదʼ˔ళᅼ஝ᄊʼ˔ʷ൓வሮਫ਼ጸੇ
ᄊʷጸவሮὊԷϢʼЋʷ
൓வሮጸ὆system of linear equations with three unknowns὇. 
ʼЋʷ൓வሮጸ˗Պ˔வሮᄊНСᝍὊԷϢᤈ˔ʼЋʷ൓வሮጸᄊᝍ.
টನᝍʼЋʷ൓வሮጸքὝ
  
 
 
x!,!y ,!z >!Ὂ 
 
 
 
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 ಖద* ᄊЯࠔ˞ᤥߦЯࠔὊˀͻᏦត᜶ර.

第七章 二元一次方程组
教ߦ目ಖ
1. ፃԋ三元一次方程组解
的ଊጊ᣿程，ᤉ一൦ʹ͘
“ӑ
ళᅼ˞ࣃᅼ”的ӑॆ
思ਇ.
2. ͘
用̽
К๗元ข和ҫѓ
๗元ข解三元一次方程组，ᤉ
一൦ʹ͘
“๗元”的思ਇ.
൤ݠቦҒ ᝺ᝠ思路中ਫ਼
ឭ， 本ᓬ˞ᤥ学内ࠔ，定ͯ
௧
ᝨ学有͸ҧ的学生感受解三元
一次方程组的๗元思ਇ，̀
解
解三元一次方程组的思路，̿
Χ࠲౏Ѿ用߲̓
解хእӭ的实
ᬅ᫈
题. Ꮻ学生Ғ᭧ࣃፃ学习̀
ර解二元一次方程组的ːመ基
本方ข——̽
К๗元ข和ҫѓ
๗元ข，̀
解̀
“๗元”的思
ਇ，ᤈ̏
学习ፃᰎ˞ଊጊ三元
一次方程组的解ขଢῚ
Ѝ分
的基ᆩ. ڂ൥，本课௑重གښ̆
ळ࠮学生ᒭ˟ଊጊ三元一次方
程组的解ข，ښ活ү᣿程中ᤉ
一൦ʹ͘
“๗元”的思ਇ.
ό1ύৱܒᤥԩ的内ࠔඋᣗእӭ，Χ̆
ᣗঌڡळ出三元一次方程和三元一次方程组. ௅ཀྵ本课௑的
重ག௧感受“๗元”的思ਇ，̀
解ᤂ用๗元ขර解三元一次方程组的思路，ڂ൥，̰
生活实Γ҂三
元一次方程组的थ模ࡃ不ࠂͻ˞教学重ག. े
ཀྵ，考ᘽ҂教ె
டʹ᮳ಫ的一ᒱ，ᤈ᧗ᤇ௧ଢῚ
一
˔ৱܒ，ͮ
ৱܒᄱࠫ
እӭ，有Ұ̆
ࡊঌѵ出方程组，ᤪ൦᣿ບ҂方程组的解ขଊጊ.
ό2ύዝඋҒ᭧二元一次方程组ᄱ关概ঐ的学习，教科书Κ次ळК̀
三元一次方程nj三元一次方
程组和三元一次方程组解的概ঐ.
 一ᓊڡ，Сե有三˔ళᅼ数的ї˔一次方程组ੇ
的一组方程，ᦐ௧三元一次方程组. ᭊ要ฌਓ
的௧，方程组Պ方程中Տ一字ඇ必ᮌ̽
᛫Տ一˔᧚.
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山东教育出版社
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出版
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31
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ό3ύዝඋ二元一次方程组的解题思路，ፌ出解三元一次方程组的思路，ᝨ学生ᤉ一൦ʹ͘
“ӑళᅼ˞ࣃᅼ”的ӑॆ
思ਇ：ᤰ᣿“๗元”，࠲“三元”ӑੇ̀
“二元”，ࡃં
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ࣃፃ͘
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题̀
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教学中，教师˷可̿
直ଌዝඋ二元一次方程组的解ข——̽
К๗元ข和ҫѓ๗元ข，
ᝨ学生࠽ត用ᤈːመ方ข解三元一次方程组.
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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山东教育出版社
 
32
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七年级  下册
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ፃೝᰎὊx!>!Ὂy!>!Ὂz!>! ᤠ
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К๗ЋขЏ๗ԝళᅼ஝ y὆ੋ
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὆὇ͿᤇదХ̵
வขՙὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
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ᝬʷᝬ
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˦СՏ˨ܫὝˁ̄
Ћʷ൓வሮጸᄊᝍขద̤
˦ᐏጇὝ
ᝍʼЋʷ൓வሮጸᄊন᡹௧̤
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ᝍʼЋʷ൓வሮጸᄊ۳వন᡹̯
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ЋÿὊгӑ˞þʷЋÿ. 
๗Ћ
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ʷЋʷ൓வሮ

第七章 二元一次方程组
ϢʷϢ
三元一次方程组ႀ̆
ళᅼ
数的ܙҫ，更能ʹဘ๗元的思
ਇ， ᤰ᣿๗元，ં
三元一次方
程组ᣁӑ˞二元一次方程组，
ᤉᏫᣁӑੇ
一元一次方程ᤉ行
ර解. ͮ
ݠ͵๗元njЏ๗哪˔元
௧ᭊ要ಪ据Цʹ᫈
题ᝣᄾ考ᘽ
的.
教科书նဘ的方ข௧ᤰ᣿
“̽
К๗元ข”๗ԝళᅼ数 x，̰
Ꮻ४҂二元一次方程组. 事实
上， Цʹ“ ๗元”的方ข可̿
有ܳ
መ. 本题˷可̿
ᤰ᣿“̽
К
๗元ข”Џ๗ԝళᅼ数 y ੋ
 z，
४҂二元一次方程组Ὑे
ཀྵ，
ᤇ可̿
ᤰ᣿“ҫѓ๗元ข”，
ݠ ① + ł ๗ԝళᅼ数 z，४҂
二元一次方程组. 教师ښ教学
中应ᴂҵ学生ᤥહ适合ᒭࣂ的
方ขᤉ行ර解，ͮ
ᭊ要ूូ
的
௧：不ኮ᧔用的௧哪መ方ข，
关᪄的思ਇᦐ௧“๗元”.
ᝬʷᝬ
ᝨ学生Ԧ思上᭧解三元一次方程组的ර解᣿程，ʹ͘
不Տ解ข的СՏྲ
ག，概઺解三元一次方
程组的基本思路.
教科书̿
಴图的形式ፌ出解三元一次方程组的基本思路，明ᆸ不Տ解ข的СՏ˨ܫᦐ௧“๗
元”，ࣳ
ቊ出与二元一次方程组解ข˨ᫎ
的ᐏ系.
ᒰ̆
ᤥԩ哪መ๗元ข，Џ๗哪˔元，ѷ要᜽Цʹ᫈
题和不Տ学生Ꮻ定.
山东教育出版社
版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
33
5   三元一次方程组

ᬤ۶ጷ˸
1. 275.
ଢᇨ：可᝺ᤈ˔ 三ͯ
数˔ͯ
njӡͯ
njᄈͯ
上的数字分
ѿ௧ x，y，z，ѷ有方程组
x + z = y，
7z = x + y + 2，
x + y + z = 14.
2. 
x = 10，
y = 9，
z = 7.
˸ᮥ

1.（1）
x = - 1
3 ，
y = 8
3 ，
z = 5
3 .
   （2）
x = 2，
y = -3，
z = 1
2 .
2. 
x = 3，
y = 2，
z = 5.
3. 七年级 231 ̡
，М年级 220 ̡
，˵年级 200 ̡
.
    ଢᇨ：可᝺七年级njМ年级nj˵年级的̡
数分ѿ௧ x ̡
njy ̡
njz ̡
，ѷ有方程组
    
x + y + z = 651，
y =（1 + 10%）z，
x =（1 + 5%）y.
4. Ԕ౏的三ͯ
数௧ 631.
    ଢᇨ：可᝺ᤈ˔三ͯ
数˔ͯ
njӡͯ
njᄈͯ
上的数字分ѿ௧x，y，z，ѷ有方程组
    
y = x + 2，
z = 2y，
x + 10y + 100z = z + 10y + 100x + 495.
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山ͯ
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上
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上的
版社
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字分
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出版社
ѷ有方程组
y
出
y，
出
，
x + y +
育出
x + y + 2
育出
2，
出
，
x + y + z =
教育
x + y + z = 14
育
14
2
东
2.
东教
.
x = 
教育
x = 10
教育
10，
教
，
y = 
东教
y = 9
教
9
z
东
z
东教
年级
教
年级231
教育
231̡
，М
教育̡
，М
ଢᇨ：可᝺七
东教
ଢᇨ：可᝺七
山
x + y +
山东
x + y +
y =
山东
y =
山东
山东教育出版社
，
版
，
出
1
出
1
2
出
2
出版
.
出版
.
 
育
 3
育
3，
育出
，
y = 
教育
y = 2
教育
2，
育
，
z =
教育
z = 5
教育
5.
育
.
教
y
山
y̡
nj
山东̡
njz
东教
z̡
，ѷ
东教̡
，ѷ
 
34
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ϢʷϢ
可ᴂҵ学生ᤥહ不Տ的方
ขර解. Ύ学生更ݞڡʹ͘
“๗
元”的思ਇ方ข. 

第七章 二元一次方程组
ᬤ۶ጷ˸
1. 
x = 1，
y = 2，
z = 3.
2. a = 1，b = -2，c = 1. 
山东教育出版社
版社
版社
山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
2
出
2，
出
，c = 
出版
c = 1
出版
1.
出版
.
山东教育
教育
教育出版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
35
˸ᮥ

1.（1）
x = 1，
y = 1，
z = 1.
   （2）
x = 2，
y = 3
2 ，
z = 5
2 .
2. 3. ଢᇨ：a = 1
2 ，b = - 3
2 ，
    c = 1.
ڀᮏˁনᏦ
᝺ቡ“回顾与思考”的ਓ
图௧ᤂ用᫈
题的形式ࣟ
Ұ学生
೛理本ቦਫ਼学ᅼគ，थቡ一定
的ᅼគʹ系.
教学௑可̿
ᯫЏᴂҵ学生
࿘ቡ思考，ᒭࣂ回顾ਫ਼学的内
ࠔ，ࣳ
࠽ត回ን教科书中ଢ出
的᫈
题. ښࠫ᫈
题ᤉ行回ን௑，
教师应关ฌ学生ᤂ用ᒭࣂ的ឦᝓ
解᧖ንವ的᣿程，关ฌ学生
ᤂ用Γߕឭ明ᒭࣂࠫ
有关ᅼ
គ的理解，Ꮻ不௧እӭ复ᤘ书
上的ፇ᝷，学生的ንವԶ要合
理，教师ᦐ应ፌ́
ᐰ定. ཀྵՑ开࡙
࠵组̔ื
和全ိ̔ื
，Ύ学生ښԦ思与̔ื
的᣿程中ᤪຒथቡᅼ
គʹ系. ښ学生Ѝ分思考和̔ื
的基ᆩ上，教师ळ࠮学生СՏथቡ಴౶图. 下᭧௧一˔Ι参考的ᅼគ
ፇ౞಴图.
˘ࠝ᫈
题ৱܒ——二（三）元一次方程组
ե义
解ข
应用̽
К๗元ข
ҫѓ๗元ข
解二（三）元一次方程组的基本方ข௧̽
К๗元ขnjҫѓ๗元ข，基本思ਇ௧๗元：ӑ三元˞
二元，ӑ二元˞一元. 应用二（三）元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的关᪄ښ̆
൤ᆸ੽出᫈
题中的等᧚
关系，ѵ出方程ࣳ
组ੇ
方程组，Տ௑ฌਓೝᰎ解的合理性. ښ回顾与思考的教学中，务必重᜽学生
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ᝍʾѵவሮጸ὘
  ὆὇
x!,!y ,!z >!Ὂ
x!,!y ,!z >!Ὂ
x!,!y ,!z > Ὑ
 
 
὆὇
x!,!y .!z > Ὂ
.!x!,!y ,!z >!Ὂ
x!.!y ,!z > .
2.े
 x!>! ௑Ὂ̽
஝र ax!,!bx!,!c ᄊϙ˞ Ὑे
 x Ѭѿԩ Ὂ ௑Ὂ̽
஝र
ax!,!bx!,!c ᄊϙᦐ௧ .  े
 x ԩ!.! ௑Ὂ̽
஝र ax!,!bx!,!c ᄊϙ௧ܳ
࠶Ὕ
ڀᮏˁনᏦ
ᅼគ੿ᑟ
ܭ˸ᮥ
. ˡѣၷำ˗ᤂၹ̄
Ћʷ൓வሮጸᝍх᫈ᮥ
ᄊː˔Γߕ. 
. ښѵ̄
Ћʷ൓வሮጸᝍхࠄᬅ᫈ᮥ
ᄊ᣿ሮ˗ὊͿᝣ˞తТ᪄ᄊ௧̤
˦Ὕ
. ᝍ̄
Ћʷ൓வሮጸᄊ۳వন᡹௧̤
˦Ὕదד̏
வขὝˡΓឭ௚ᝍ̄
Ћʷ൓வ
ሮጸᄊ᣿ሮ.  ᝍʼЋʷ൓வሮጸքὝ
. ˡΓឭ௚̄
Ћʷ൓வሮˁʷ൓Ѧ஝ద̤
˦Тጇ. 
. ၹᤠे
ᄊவข೛ေవቦᄊᅼគὊࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
. 
1. ̄
Ћʷ൓வሮጸ
x!.!y >!Ὂ
x!,!y!>6
ᄊᝍ௧ _________ .
὆὇
x!>!Ὂ
y!>!Ὑ 
὆὇
x > 
 Ὂ
y > Ὑ
  ὆὇
x >  Ὂ
y > 
 Ὑ  ὆὇
x!>!Ὂ
y!>!.!.
 
复习题

教育出版社
y
社
y,!
社
,!z
社
z
ᄊϙ˞
出版
ᄊϙ˞ 
版
Ὑे
版
Ὑे
x
版
x
.
出
.
出
 ௑Ὂ̽
஝र
出版
௑Ὂ̽
஝र ax
版
 ax
山东教育
教育
教育
教育
教育出
ڀᮏˁ
育
ڀᮏˁ
ᤂၹ̄
Ћʷ൓வሮ
东教育
ᤂၹ̄
Ћʷ൓வሮ
Ћʷ൓வሮጸᝍх
东教
Ћʷ൓வሮጸᝍх̄
Ћʷ൓வሮጸᄊ
山东教̄
Ћʷ൓வሮጸᄊ
ሮጸᄊ᣿ሮ
山东
ሮጸᄊ᣿ሮ.  
东
.  ᝍʼ
东
ᝍʼ

山
. 
山
. ˡΓឭ௚̄
Ћ
山东
ˡΓឭ௚̄
Ћ
ၹᤠे
ᄊ
山
ၹᤠे
ᄊ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
，
出
，
y =
育
y = 3
育出
3
2
育出
2
育出
，
育出
，
z =
教育
z = 5
育出
5
2
育
2
育
.
育
.
教育
2
东
2. 
东教
. 3
东教
3. 
东教
. ଢᇨ：
东教
ଢᇨ：
   c =
东
   c = 1
教
1
ڀ
东
ڀ
教
东教
教师
东教
师ᦐ
东教
ᦐ应
教育
应ፌ
教育
ፌ́
教́
គ
东
គʹ
东
ʹ系
东教
系.
东教
. ښ
东教
ښ学
东教
学生
教
生
ፇ౞಴图
山东
ፇ౞಴图
     山
     山
     山
     山ᮥᮥ
Ћʷ൓வ
山
Ћʷ൓வ
Ὂ
版
Ὂ
>6
出
>6
ᄊᝍ௧
版社
ᄊᝍ௧ ____
版
 ____
὆
育出
὆
育出
὇
育出
὇
育出版
x 
出
x x
出
x>
出
>
出

出版


出
 Ὂ
出
Ὂ
y
出
y
出
y>
出
>
山东教育出版社
ਫ਼
社
ਫ਼学
社
学的
社
的
科
版社
科书
版社
书中
版社
中ଢ
社
ଢ出
社
出
题
版
题ᤉ
版
ᤉ行
版社
行回
版社
回ን
版社
ን௑
社
௑
学
出
学生
出版
生ᤂ
出版
ᤂ用
版
用ᒭ
版
ᒭࣂ
版
ࣂ
ን
育
ንವ
育出
ವ的
育出
的᣿
出版
᣿程
出版
程，
Γ
育
Γߕ
育出
ߕឭ
育出
ឭ明
育出
明ᒭ
出
ᒭ
គ
教
គ的
教育
的理
教育
理解
教育
解，
育
，Ꮻ
育
Ꮻ
上
东教
上的
东教育
的ፇ
教育
ፇ᝷
教育
᝷
学
东
学生
东
生ښ
东教
ښԦ
东教
Ԧ思
东教
思与
教
与̔
教̔
С
山
СՏ
山东
Տथ
山东
थቡ
山东
ቡ಴
东
಴౶
东
౶
36
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
的ˡΓ，重᜽学生ښ实ᬅ᫈
题ৱܒ中ࠫ
概ঐnj方ขਓ义的理解，ࣳ
关ฌ学生ਫ਼ˡΓߕ的合
理性nj科学性和新ᮣ
性，̰
Ꮻࠫ
学生的ᝣᅼ࿄ц和应用ਓគͻ出্े
的ក判.
下᭧的Ч型Γ题Ι参考.
Γ ౽ᦥ店ࠇ੝ᦊ有三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝njԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝，ஆᠠಖю˞三̡ᫎ
 150 元 / ᫎ
，
ԥ̡ᫎ
 140 元 / ᫎ
.
˞ծळ຤ࠇ，实行团ʹКͱ五ઉ
3
3͖
ৼଐஷ. 一˔ 46 ̡
的஻຤团͖
ৼరᫎ
҂សᦥ店К
ͱ，ͱ̀
一̏
三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝和ԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝. ᔪඈᫎ
ࠇ੝൤ݞͱ໘，˅一ܹ
Сᔉԝͱࠗ
ᠠ 1 310 元，ѷ஻຤团ͱ̀
三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝和ԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝Պܳ
࠶ᫎ
Ὕ
Ѭౢ
Ὁ本题˟要考ಊ学生应用二元一次方程组解х实ᬅ᫈
题的能ҧ. 思考的角ए不
Տ，ᤥહ的ళᅼ数njѵ出的方程组˷不Տ.
ᝍὉ解ข一：᝺三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝和ԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝Պͱ̀
 x ᫎ
njy ᫎ
，ಪ据题ਓ，४
3x + 2y = 46，
150 × 0.5x + 140 × 0.5y = 1 310.
解४
x = 10，
y = 8.
ን：三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝njԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝Պͱ̀
 10 ᫎ
和 8 ᫎ
.
解ข二：᝺三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝和ԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝Պͱ̀
x̡
njy̡
，ಪ据题ਓ，४
x + y = 46，
150 × 0.5 × x
3 + 140 × 0.5 × y
2 = 1 310.
解४
x = 30，
y = 16.
30
3 = 10（ᫎ
）， 16
2 = 8（ᫎ
）.
ን：三̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝njԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ੝Պͱ̀
 10 ᫎ
和 8 ᫎ
.
঴ፇ：本题ፌ出̀
ːመ解ข，解ข一更直ଌ一̏
，解ข二˷不复ా
，Տ௑߲
թ发ੈ̓
可̿
ԫ૱角एԝ思考和解х᫈
题.
ܭ˸ᮥ
1. C .
2.（1）
x = 5，
y = 5Ὑ
   （2）
x = 2，
y = 7Ὑ
   （3）
x = 5
8 ，
y = - 9
8 Ὑ
   （4）
x = -  11
13 ，
y = - 23
13 Ὑ
   （5）
x = 2，
y = 3，
z = 5.
山东教育出版社
ͱ
社
ͱ五
社
五ઉ
社
ઉ
3
3
社
3
3͖
社͖
੝和ԥ̡ᫎ
௿
版社
੝和ԥ̡ᫎ
௿
ͱ̀
三̡ᫎ
௿ᤰ
版社
ͱ̀
三̡ᫎ
௿ᤰ
要
出
要考
出
考ಊ
出版
ಊ学
出版
学生
版
生应
版
应
数njѵ出的方
育出
数njѵ出的方
ข一：᝺三̡ᫎ
育出
ข一：᝺三̡ᫎ
解४
山东
解४
x
东
x
东教
ን
山
ን
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
/
社
/ᫎ
社ᫎ
，
社
，ᫎ
出ᫎ
҂
出版
҂ស
出版
សᦥ
版社
ᦥ店
版社
店К
版社
К
˅一ܹ
Сᔉԝ
出版
˅一ܹ
Сᔉԝᫎ
Ὕ
育ᫎ
Ὕ
题
教
题的
教育
的能
教育
能ҧ
育
ҧ.
育
. 思
育
思
ͱ̀
东
ͱ̀
 x
东教
 xᫎ
nj
东教ᫎ
njy
教
yᫎ
教ᫎ
0.
山
.5
山
5y =
山
y =
5y
5
山
5y
5
1
山东
1 310
山东
310
ᤰࠇ੝Պͱ̀
 
ᤰࠇ੝Պͱ̀
和ԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ
 
和ԥ̡ᫎ
௿ᤰࠇ
y =
y = 46
46，
150
150 × 0.5 ×
0
出
0（ᫎ
），
出版
（ᫎ
），16
版社
16
版
：三̡ᫎ
௿ᤰ
育出
：三̡ᫎ
௿ᤰ
঴
教育
঴ፇ
教育
ፇ：
育
：本
育出
本题
育出
题ፌ
出
ፌ
可̿
ԫ૱角ए
教育
可̿
ԫ૱角ए
ܭ
东教
ܭ
东教
山东教育出版社
二
教
二˷
教育
˷不
教育
不复
教育
复ా
育ా
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
37
2. ᝍʾѵவሮጸ὘
὆὇
x .!y >!Ὂ
x!.!y >!Ὑ 
 
὆὇
x .!y >!Ὂ
y!>!x ,!Ὑ  
὆὇
x ,!y >!Ὂ
x!.!y >!Ὑ
὆὇
x .!y >!Ὂ
x!,!y >!.!8Ὑ
 
  Ą὆὇
z!>!x , yὊ
x!.!y!,!z > Ὂ
x!,!y .!z > .
3. ᔪ
x >!Ὂ
y!>!֗
x >!Ὂ
y!>!.!
ᦐ௧வሮ ax!.!y!>!b ᄊᝍὊර a ˁ b ᄊϙ. 
Ą4. ښ̽
஝र ax!,!bx!,!c ˗Ὂे
 x!>!.!ὊὊ ௑Ὂ̽
஝रᄊϙΚ൓௧ Ὂ.!Ὂ.!. 
὆὇ර aὊbὊc ᄊϙὙ
὆὇े
 x!>! ௑Ὂරᤈ˔̽
஝रᄊϙ.
5. ݠڏὊᄰጳ lὊl ᄊ̔
གگಖԻ̿
ᄺϢவሮጸ _______________ ᄊᝍ. 
஝ߦေᝍ
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
                       x 
.! . 
. 
O 





y
A
l
l
6. ݠڏὊᄰጳ lὊl ᄱ̔̆
ག A.  តරѣག A ᄊگಖ. 
7. ᎄʷ˔̄
Ћʷ൓வሮጸὊΎ߲
ᄊᝍ௧
x >!.!Ὂ
y!>!.
                          x 
.!    . 
. 
O 



y
l
l᫈ᮥ
ᝍх
8. ౽᫂
வॎᄊև᫂
௧  cmὊᔪࠕᄊ  φඋ᫂ܳ
  cmὊ
ѷស᫂
வॎᄊ᫂֗
ࠕՊ௧ܳ
࠶Ὕ
9. ݠڏὊ ڱᄱՏᄊ᫂
வॎڡᆒૃੇ
ʷ˔ܸ᫂
வॎὊඈ
ڱ᫂
வॎڡᆒᄊ᫂֗
ࠕѬѿ௧ܳ
࠶Ὕ
 cm
὆ኄ  ᮥ
὇
7. ᤈನ的方程组ॢܳ
，ݠ
x + y = 2，
2x - y = -8
等， 本题ਓښҫू
学生ࠫ
方程组的解的ᝣគ.
8. ᫂
方形的᫂
和ࠕ分ѿ˞ 15 c m 和 7 c m .
    ଢᇨ：可᝺᫂
方形的᫂
和ࠕ分ѿ˞ x c m 和 y c m ，ѷ有方程组
2（x + y）= 44，
3y - x = 6.
9. ᫂
方形ڡᆒ的᫂
和ࠕ分ѿ˞ 45 c m 和 15 c m .
    ଢᇨ：可᝺ڡᆒ的᫂
和ࠕ分ѿ˞ x c m 和 y c m ，ႀ图可ᅼ，᫂
௧ࠕ的 3 φ， ѷ有方程组
    
x + y = 60，
x = 3y.
复习题

3. a 与 b 的ϙ分ѿ˞ 5 和 2.
4. ᤈ᧗实ᬅ上௧用“ॠ定系数
    ข”ර a，b，c 的ϙ.
   （1）a = 1，b = -4，c = -5Ὑ
   （2）x = 0 ௑，ϙ˞ -5.
5. 
x - y = -1，
2x - y = 1.
6. 可Џ分ѿර出直线 l1，l2 的方
程. ݠ᝺ l2 的方程˞ y = kx + 
b， ڂ˞ l2 ፃ᣿ག（0，5）， 
（1，3），ਫ਼̿
5 = b，
3 = k + b.
解४
k = -2，
b = 5.
ԁ l2 的的方
程˞ y = -2x + 5. Տ理可ර出 
l1 的方程˞ y = x. ᐏቡ，४
y = x，
y = -2x + 5.
 解४
x = 5
3 ，
y = 5
3 .
    ਫ਼̿
ག A 的گಖ˞ A（5
3 ，
    5
3 ）.
山东教育出版社
a 
社
a ˁ
社
ˁ̽
஝रᄊϙΚ൓
版社̽
஝रᄊϙΚ൓
گಖԻ̿
ᄺϢவሮ
育出
گಖԻ̿
ᄺϢவሮ
山东
山东教
山东
山东
山东
山东
山东
山
教
东教
山东教
山东
山东
山东
山
教

东

.!
山
.!
山

山
.
山
.
山

.
山
.
山

O
山东
O

山东

l
教
l
教

教
l
教
l
教

育出版社
教育出版社             山东教育
教育
山东
὆ኄ
὆ኄᮥ
὇ᮥ
὇


x
l
Ὂ
>!
社
>!
社
.
社
.
ᔪࠕᄊ
版
ᔪࠕᄊ
版社
 φඋ᫂ܳ
版社
φඋ᫂ܳ
௧ܳ
࠶Ὕ
出版
௧ܳ
࠶Ὕ᫂
வॎڡᆒૃੇ
ʷ
出版᫂
வॎڡᆒૃੇ
ʷ
ᄊ᫂֗
ࠕѬѿ௧ܳ
育出
ᄊ᫂֗
ࠕѬѿ௧ܳ
山东教
山
ᤈನ的方程组ॢ
东教
ᤈನ的方程组ॢ
8
山东
8. 
山东
. ᫂
方形的
山东᫂
方形的
山
ଢᇨ
山
ଢᇨ
=
社
= -
社
-5
社
5Ὑ
社
Ὑ
˞
版
˞ -
版社
-5
版社
5.
版社
.
1
出
1.
出
.
分ѿර出直线
育出
分ѿර出直线
程
教
程.
教
. ݠ᝺
教育
ݠ᝺l
教育
l2
育
2 的方
育
的方
b
东教
b，
东教
，ڂ˞
教育
ڂ˞ l
育
l
（
东教
（1
东
1
山东教育出版社
生ࠫ
方程组的解
东教
生ࠫ
方程组的解
程组
山
程组
山
y = 
社
y = 3
社
3
ಖ
版
ಖ˞
版社
˞ A
版社
A（
版社
（5
社
5
3
社
3
社
，
社
，
 
38
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第七章 二元一次方程组
10. A = 40c，B = 70c.
11. ႁ组一ܹ
生̗
500˔，˳组
一ܹ
生̗
600˔.
ଢᇨ： 可᝺ႁ组一ܹ
生̗
 
x ˔ֶ̗
， ˳组一ܹ
生̗
 y 
˔ֶ̗
， ѷ有方程组
       
6x = 5y，
300 + 4x + 100 = 4y.
12. ᓕښ᭢ඵ中的ᤴए˞ 18 
k m / h ，ඵื
ᤴए˞ 2 k m / h .
ଢᇨ：可᝺ᓕښ᭢ඵ中的ᤴ
ए˞ x k m / h ，ඵื
ᤴए˞ 
y km
 / h ， ѷ有方程组
      
4（x + y）= 80，
5（x - y）= 80.
13. 实ᬅ生̗
ඵሺ 11.5 t，࠵᳡5.5 t.
ଢᇨ：可᝺ស˄ˊਗ਼ԝ年ᝠѳ生̗
ඵሺ x գ，࠵᳡ y գ，ѷ有方程组
       
x + y = 15，
（1
 +
 15%）x
 + （1
 +
 10%）y
 =
 17.
14. ׸ֶ
ᤉ价 155 元，定价˞ 200 元.
      ଢᇨ：可᝺ស׸ֶ
ᤉ价˞ x 元，定价˞ y 元，ѷ有方程组
y - x = 45，
8（85% y - x）= 12（y - 35 - x）.
15. ႁnj˳׸ֶ
ᤉ价分ѿ˞ 150 元和 200 元.
      ଢᇨ：᝺ႁnj˳׸ֶ
ᤉ价分ѿ˞ x 元和 y 元，ѷ有方程组
山东教育出版社
版社
版社
ए
出
ए˞
出
˞ 1
出版
18
出版
8
ए
育
ए˞
育
˞ 2
育出
2 k m
育出
k m
/
出
/ h
出
h
᝺
教
᝺ᓕ
教育
ᓕښ
教育
ښ᭢
教育
᭢ඵ
育出
ඵ中
育出
中的
k m
教
k m
/
教
/ h
教育
h ，
教育
，ඵ
教育
ඵื
育ื
东
 / 
东
 / h
东教
h ，
东教
，ѷ有方
东教
ѷ有方
山
4
山东
4（
山东
（x + y
山东
x + y）
东教
）
5
山东
5（
山东
（x 
山东
x -
东
-
山
教育出版社 
社            山东教育出版社
山东教育
山东
山
.
教
. 实ᬅ生̗
ඵሺ
教育
实ᬅ生̗
ඵሺ
ଢᇨ：可
东教
ଢᇨ：可
山东
x
东
x
东教
东教育
教育
教育出版社
山东
y
山
y գ，ѷ有方程
山东教
գ，ѷ有方程
39
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
0.7（1 + 40%）x + 0.9（1 + 40%）y = 399，
（1 + 40%）x +（1 + 40%）y = 490.
16. ႁࣜ
ᨑ 37 1
2 ，˳ࣜ
ᨑ 25.
      ଢᇨ：可᝺ႁࣜ
ᨑ x，˳ࣜ
ᨑ y， ѷ有方程组
x + y
2 = 50，
2
3 x + y = 50.
17. ᝺一ိ
nj二ိ̡
数分ѿ˞ x ̡
和 y ̡
，ѷ有
 
x + y = 102，
12x + 10y = 1 118.
解४
x = 49，
y = 53.
ਫ਼̿
，一ိ
nj二ိ
分ѿ有 49 ̡
和 53 ̡
. ᐏ合ᡑ౏᠔ᇾ能ᄵ 1 118 - 102×8 = 302（元）.
18. 方程组
-2x + y = 3，
4x - 2y = -6
有௄数ܳ
组解，方程组ਫ਼ࠫ
应的ː˔一次函数的图៶（ː౎直
线）重合. 本题௉ښᝨ学生ᤉ一൦ʹ͘
方程组的解与ᄱ应图៶˨ᫎ
的关系，感受方程组
有௄数ܳ
组解的౎件.
东教育出版社
，
社
，ѷ
社
ѷ
ѿ
版
ѿ˞
版
˞ x
版
x̡
版社̡
和
版社
和y
版社
y̡
社̡
有
育
有49
育出
49̡
和
育出版̡
和53
出版
53̡
版̡
x + y = 
育出
x + y = 3
育出
3，
育出
，
4
教
4x
教育
x -
教育
- 2
教育
2y =
教育
y =
2y
2
教育
2y
2
-
育
-6
育
6
山东教
重
东教
重合
东教
合.
东教
. 本
教育
本题
教育
题௉
教育
௉
有௄数ܳ
组解
东教
有௄数ܳ
组解
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
४
育
४
x =
育出
x = 49
育出
49，
出
，
y =
育出
y = 53
育出
53.
出
.
育
ਫ਼
出
ਫ਼
×
教
×8
教
8 = 
教育
 = 302
教育
302（元
育
（元
的
东
的ː
东
ː˔
东教
˔一
东教
一次
东教
次函
教
函
解
山
解与
山
与ᄱ
山
ᄱ应
山东
应图
山东
图៶
东
៶˨
东
˨
山东教育出版社
40
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै
 ЧیವΓកౢ
ᝨߦၷښଊቃnjՌͻˁ̔ื
˗ᤉᛡ஝ߦܭ˸
úú一节̄
Ћ一൓方程ጸ复˸课的实ै
与កౢ
᝺ᝠ὘پࢶᄵੇ
ᦐ࣊
ᴝ෼ᰃӝ教育ࡍ教ᆑࠉ ဍࠝ
ᔮ
កౢ
὘پࢶᄵੇ
ᦐ࣊
ᴝ෼ᰃӝ教育ࡍ教ᆑࠉ ဍࠝ
ᔮ
一nj学ৱѬౢ
师：Տ学̓
，̭ܹ
一ᡑ复习ᆑቃ二元一次方程组ԣХ解ขᤈ一ቦ的内ࠔ. ௥ܹੈ
ࣃፃឰܸ
ࠒં
二元一次方程组ᤈᦊ分ᅼគᤉ行̀ॆ
ዝnjட理. ဘښឰ一ͯ
Տ学࡙
ᇨ一下ᒭࣂ的ᅼគॆ
ዝட理的ৱц，哪一ͯ
Џ౏Ὕ
ᤈ᧗教师௧要ර学生࡙
ᇨᒭࣂ的ੇ
౧，Ꮻ不௧要ර学生回ን教师ଢ出的᫈
题，ં
学生
ᄾ൤ͻ˞学习的˟ʹ౏ࠫ
ॠ，Ѝ分发૙̀
学生的˟ʹͻ用.
生1（ᄇљԤ）：ੈ
௧ો教科书的编иᮋऀ
ட理的（࡙
ᇨԼ࡙
ᇨ）（႕）.
生2（ᥴࢼ）：ੈ
௧̰
二元一次方程的டʹፇ౞ᤉ行ட理的，ੈ
分˞四ᦊ分：
（1）二元一次方程（组）的有关概ঐ 
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解
二元一次方程组的解
解二元一次方程组
（2）二元一次方程组的解ข 
ҫѓ๗元ข̽
К๗元ข
图៶ข
（3）二元一次方程与一次函数˨ᫎ
的关系：一˔二元一次方程的图៶௧一౎直线. ڂ
൥，二元一次方程组解的ৱцࡃ可ႀ平᭧上方程组ࠫ
应的ː౎直线的ͯ
Ꮆ关系ᆸ定. ː౎直
线平行௑方程组௄解Ὑː౎直线ᄱ̔
௑方程组有一˔解Ὑː౎直线重合௑方程组有௄ቄܳ
组解. Ԧ᣿౏˷ੇ
ቡ.
（4）二元一次方程组的应用：① රॠ定系数的ϙ（Γ႕）ὙŁ 解应用᫈
题（Γ႕）
等.
师：ːͯ
Տ学̰
不Տ的角एࠫ
本ቦᅼគᤉ行̀ॆ
ዝட理，ᦐॢ
不ᩲ. ͮ
උᣗᏫᝓ
，Ϳ̓
更؞ൔ哪ͯ
Տ学的Ὕ
生͕
：ᥴࢼՏ学（生2）Ἷ
师：第一ͯ
Տ学௧ો教科书的ᮋऀ
ᤉ行ட理，ᤈࠫ̆
初学ட理的Տ学˷௧一መ࣢用的
山东教育出版社
ࢶᄵੇ
ᦐ࣊
ᴝ
社
ࢶᄵੇ
ᦐ࣊
ᴝ
پࢶᄵੇ
ᦐ࣊
版社
پࢶᄵੇ
ᦐ࣊ౢ
育ౢ
学̓
，̭ܹ
一ᡑ
育出
学̓
，̭ܹ
一ᡑ
元一次方程组
教育
元一次方程组
ட理的ৱц，
东教
ட理的ৱц，
ᤈ
东
ᤈ᧗
东教
᧗教
东教
教师
东教
师௧
教
௧
ᄾ൤ͻ˞学
山东
ᄾ൤ͻ˞学
生
山
生
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
育
解ขᤈ一ቦ的
东教
解ขᤈ一ቦ的
ဘښឰ一ͯ
Տ
山东教
ဘښឰ一ͯ
Տ
不௧要
山
要ර
山
ර学
山
学生
山
生
生的˟ʹͻ用
 
生的˟ʹͻ用
иᮋऀ
ட理的
 
иᮋऀ
ட理的
方程的டʹፇ౞
 
方程的டʹፇ౞
（组）的有关
社 
（组）的有关
 
2
育
2）二元一次方
育出
）二元一次方
（
教
（3
教
3）
教
）
൥，二
东教
൥，二
线
东
线
山东教育出版社
˔
东
˔二
东
二元
东教
元一
东教
一次
东教
次方
教
方程
教
程
组ࠫ
应的ː౎直
山东
组ࠫ
应的ː౎直
有
山
有一
山
一˔
山
˔解
山
解Ὑ
山
Ὑː
41
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
方ข，ͮ
௧第二ͯ
Տ学的ட理ં
ଧͱ̀
ᤈቦᅼគ的டʹፇ౞，ݝࠫ
ඈ一መৱцᤇˡΓፌ́̀
ឭ明，理解४更ҫງ҉. ːͯ
Տ学ᦐ不ᩲἿܸ
ࠒ̿
Ցгᤉ行ட理঴ፇ௑要Քݝ̓
学习. ᤈ
᧗，ੈ
˷ࠫ
ᤈ一ቦ的ᅼគᤉ行̀ॆ
ጪட理，ဘښܸ
ࠒ可̿
ᄺ一ᄺ（ܳ
媒ʹ࡙
ᇨ，ፇ౧与
学生的උᣗ，ᤇ不ݠ第二ͯ
Տ学的ݞ）. Տ学̓
可̿
ᄺ出，教师ட理的ᤇ不ݠͿ̓
ட理的
ݞ，Տ学̓
උ教师ᤇᐓ明. Х实Զ要ܸ
ࠒӃ̆
思考，ܳ
үᑨnjү੤，一定͘
有重要的发ဘ
和ஆᖍ的.
Џႀ学生ᒭࣂࠫ
សᦊ分ᅼគᤉ行ॆ
ጪ঴ፇ，ښ课۶上࡙
ᇨՑгᤰ᣿师生的СՏក价ξ
൤，̰
Ꮻࣟ
Ұ学生थቡடʹ性的ᝣᅼ಴౶，߹ؓ
ᝣᅼፇ౞ὙՏ௑，学生的˟ү性和ሥౝ性
४҂̀
Ѝ分的发૙，උԶႀ教师ᝯ解学४˟үnj理解ງ҉.
ॷ理的安全和ᒭႀ௧学生ѹᤵ性思፥的必要౎件. 教师̿
一˔参与Ꮸ的ᢶ份ሥౝ参与̔ื
与ក价，ࣳ
һ̆
੾ᝣᒭࣂ的不ᡜ，Ύ学生感҂教师̵ࠫ̓
஗开̀
ॷখ，可̞
可ஜ，̰
Ꮻ
Ύ学生ᖍ४̀
一መॷ理的安全和ᒭႀ，˞学生ܸ
ᐿڡଊጊnjሥౝ̔ื
，ᖹᤵ̀
ࠕ౛的ॷ理
ဗܒ和ඟ˟nj平等nj和ៈ的课۶ဗܒ.
师：ဘښੈ̓
౏ᄺ下᭧的一˔Γߕ：
Γ 解方程组：
x + y
2
 + 
x - y
3
 = 7，
x + y
2
 - 
x - y
3
 = 3.ܸ
ࠒЏࡊ᧚用ܳ
መ解ขᒭࣂර解，ཀྵՑښ学习࠵组内̔ื
，උᣗ哪መ解ขݞ，తՑՊ
组଎出తݞ的解ขښ全ိ̔ื
.
Ѿ用࠵组学习的形式，ፌඈ˔学生ଢΙ更ܳ
合ͻ̔ื
的఻͘
，Ύ课۶᭧Ք全ʹ学生४
҂̀
ᄾ൤的ᗀ实.
（学生解题，࠵组内̔ื
njᝧ᝷，教师ࢸ᜽njૉ࠮）
师：ੈ
ᄺܸ
ࠒᦐࣃ४出̀
ស题的解ን，有̏
组的解ขੈ
ᦐ෥ਇ҂，ဘښឰՊ组࡙
ᇨͿ̓
的͖
ሒੇ
౧.ښ࡙
ᇨ௑要ර要与ѿ̡
的解ข不ᄱՏ.
生 3（一组）：ੈ̓
௧Џ用ԝ分ඇં
方程组ӑእட理Ց用ҫѓ๗元ขර४解ን的.
生 4（三组）：ੈ̓
ښӑእட理Ց用的௧̽
К๗元ขර४解ን的.
生 5（四组）：ੈ̓
用的௧૱元ข.̾
 x + y = m，x - y = n，ཀྵՑර解.
生 6（二组）：ੈ̓
෥有直ଌ૱元，Ꮻ௧ં
 
x + y
2
 和 
x - y
3
 ᄺੇ
一˔டʹ，ᤰ᣿ॷካࡃ
可४҂ x + y
2
 = 5，x - y
3
 = 2. ႀ൥४
x + y = 10，
x - y = 6.
гᤰ᣿ॷካԁ४方程组的解˞
x = 8，
y = 2.
（全ိ
ᒭ发ڡᴂଂ）
师：ܺೢ̀
Ἷᤇ有෥有Х̵
解ขὝ
（学生ᦐሥౝᤉ行思考）
生 7（三组）：ં
Ԕ方程组ӑእՑ用图៶ข解.
山东教育出版社
ᅼ
版
ᅼគ
版社
គᤉ
版社
ᤉ行
版社
行ॆ
社ॆ
ጪ
社
ጪ
ʹ
版
ʹ性
版
性的
版社
的ᝣ
版社
ᝣᅼ
版社
ᅼ಴
社
಴
උԶႀ教师ᝯ解
出版
උԶႀ教师ᝯ解
和ᒭႀ௧学生ѹ
育出
和ᒭႀ௧学生ѹ
һ
育
һ̆
育̆
੾
育
੾ᝣ
育出
ᝣᒭ
育出
ᒭࣂ
出
ࣂ
४
教
४̀
教̀
一
教育
一መ
教育
መॷ
教育
ॷ理
育
理的
育
的
ඟ˟nj平等nj
东教
ඟ˟nj平等nj
师：ဘښੈ
东教
师：ဘښੈ
Γ
山
Γ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
与
社
与
理
社
理的
社
的
要
版
要的
版社
的发
版社
发ဘ
版社
ဘ
生
出
生的
出
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出版
СՏ
出版
Տក
出版
ក价
版
价
生
育
生的
育
的˟
育出
˟ү
育出
ү性
育出
性和
出
和ሥ
出
ሥ
˔参与Ꮸ的ᢶ
教育
˔参与Ꮸ的ᢶ̓
东̓
஗
东
஗开
东教
开̀
东教̀
ॷ
东教
ॷখ
教
খ
ጊ
山
ጊnj
山东
njሥ
山东
ሥౝ
东教
ౝ̔
东教̔ื
东教ื
3
= 
= 3.
ࣂර解，ཀྵ
 
ཀྵՑ̔ื
社̔ื
.
社
.
形
社
形式
社
式，
社
，ፌ
社
ፌඈ
社
ඈ˔
社 
˔学
题，࠵组内̔ื
出版社
题，࠵组内̔ื
ᄺ
出
ᄺܸ
出ܸ
ࠒ
出版
ࠒᦐ
出版
ᦐࣃ
出版
ࣃ४
版
४
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౧
育出
ሒੇ
౧.
育出
.ښ࡙
ᇨ
育出
ښ࡙
ᇨ
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教育
生3
教育
3（一组）
教育
（一组）
生
教育
生4
教育
4（三
教育
（三
生
东教
生5
教
5
山东教育出版社
Ց
社
ՑՊ
社
Պ
全
版
全ʹ
版社
ʹ学
版社
学生
版社
生४
社
४
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育
҂，
育
，ဘ
育出
ဘښ
育出
ښឰ
出
ឰՊ
出
Պ
ҫѓ๗元ขර
教育
ҫѓ๗元ขර
ර४解ን的
东教
ර४解ን的.
教
.
-
东
- y = n
山东
 y = n，ཀྵՑ
东教
，ཀྵՑ
+
山
+ y
山
y
山
和
山东
和
x
山东
x -
山东
- y
东
y
山
42
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
生 8（四组）：૱元Ց用图៶ข解.
生 8 的发ᝓ
௭ཀྵ௧受҂̀
生 7 的թ发. ښᄱ̉̔ื
njᝧ᝷᣿程中，学生的思ਇښᇌୣ
，思፥的༧感njѹ新的༢ᔉ不ல௭ဘ.
师：Տ学̓
的发ᝓॢ
ݞ，ં
Ꮵ师ਇ要ᝯ的ᦐឭ̀
. ဘښܸ
ࠒࠫ
四˔组४出的四መ不Տ解
ขᤉ行一˔ក价，ᄺ哪˔组的解ขతݞ.ં
ក价ጪК学生的学习᣿程˨中，用ក价౏༏发学生的学习Уᡚ，̰
ᏫΎក价ੇ
˞Ψ
ᤉ学生˟ү学习的一ᦊ分. Տ௑ᤰ᣿ࠫ
їመ不Տ解ข͖
Ү的උᣗ和᧝ѿ，可۲Щ学生思፥的
੻判性和Щੇ
解题ՑԦ思的ᓢݞ习ਅ.
生 9（五组）：ੈ
ᝣ˞，一组和三组的解ขॢ
ݞ，ڂ˞ᤈ௧解二元一次方程组的࣢用
方ข. ੈ̓
组˷ᦐ௧用的ᤈːመ解ข.
生 10（О组）：ੈ
ᝣ˞四组的解ข更ݞ. ᙊཀྵ一组和三组的解ข௧࣢用的解ข，ͮ
ᝠ
ካᣗጓ. 四组的解ขᤰ᣿૱元，Ύ形式更እӭ̀
，Χ̆
ᝠካ，˅不௜出ᩲ.
生 11（一组）：ᙊཀྵ૱元Ց形式要እӭ一̏
，ͮ
要解ː次方程组，ܙҫ̀
解方程组的
次数，ࣳ
不一定ࡃእӭἿ
生 6：ੈ
ᝣ˞，ੈ̓
组的解ขతእӭnjతݞ. ੈ̓
ښ解ស题௑，ಪ据ស题的ྲ
ག，Ѿ用̀
૱元的ਇขͮ
෥有૱元，Ꮻ௧ં
 
x + y
2
 和 
x - y
3
 ᄺੇ
一˔டʹᤉ行ර解，ட˔解的᣿程
基本上෥有үቸࡃ४出̀
ንವ，ࣳ
˅不௜出ᩲ.
生 5：ੈ
˷ᝣ˞二组的解ขඋੈ̓
组的ݞ.
生 11：ੈ
ᡂՏ生 6 的ਓ᜹. ੈ
ᤇਇឭ一ག. 本题ᬔ̀
తݞ的解ขܱ̿
，ੈ
ᝣ˞，本题用
图៶ข解௧త不ݞ的解ข. ڂ˞，े
Ϳႇݞ图៶௑，ੈ
ࣃፃ解出ንವ̀
. 用图៶ข解，不ͮ
ᠠ௑，Ꮻ˅ႀ̆
ႇ的图៶不юᆸ，४出的解ᤇԶ௧一˔ᤃͫ
解Ꮻ不௧юᆸϙ.
教师ԔЏ的᝺ᝠԶ௧ਇᤰ᣿උᣗក出త͖
ሒ的解ข，Ꮻ学生不ͮ
ក出̀
త͖
解ข，Ꮻ
˅ࠫ
ඈመ解ข的͖
Үᤇᤉ行̀
ᄱ̉
උᣗក价，߹全ᡔ出̀
教师的᝺ਇ. 实ᬅ上学生的ក价੦
௧全᭧nj公൤和త有价ϙ的. ښ᝵ܳ
௑ϋ，学生的అਦड़ड़要ᡔ᣿教师Ἷ
师：Տ学̓
分ౢ
४ॢ
ݞ. ᤰ᣿උᣗnj分ౢ
，ܸ
ࠒ௧աᦐᝣ˞第二组的解ขతݞὝ
生͕
：第二组的解ขతݞἿ
师：ੈ
ᡂՏܸ
ࠒ的ਓ᜹. Х实，Պ组的解ข有Պᒭ的ྲ
ག，̵̓
分ѿ௧̰
不Տ的角एᤉ
行的. 第二组Տ学的解ข௧ښᝣᄾࠆ题nj̳
ጺ᜺ࠣ
题ᄬྲ
ढ़的基ᆩ上，ᤂ用̀
ːመ数学思ਇ
方ข̰
Ꮻঌᤴnjюᆸڡ४出̀᫈
题的解ን. ᤈːመ数学思ਇ方ข௧“૱元的思ਇ”和“டʹ
的思ਇ”. 第二组Տ学的解ንፌੈ̓
一˔ॢ
ݞ的թᇨ：ښ解题௑，一定要ᝣᄾࠆ题，̳
ጺ᜺ࠣ
题ᄬ的ྲ
ढ़，༧活ᤥ用解题的方ข，্ࣳे
ڡᤂ用数学思ਇ方ข౏ૉ࠮解题，可ଢᰴੈ̓
的解题஍率. ᔪ᫂
రᤈನᤉ行下ԝ，可形ੇ
ᓢݞ的数学思፥ኖ႕，ଢᰴ解题能ҧ.
数学思ਇ方ข௧数学的ድᰳ
和༧᱈，௧数学ᅼគښ更ᰴࡏ次上的ચ៶和概઺. Ѿ用数学
思ਇ方ข౏ૉ࠮数学学习和解题，ड़ड़能ଢᰴ学生的数学学习஍率，᣺҂事ӧҪφ的஍౧. ͮ
数学思ਇ方ข不௧຤ሏ̆
数学ᅼគ˨ܱ
的，Ꮻ௧ຖᤩښ数学ᅼគ的发生nj发࡙
和ᤂ用的
山东教育出版社
程
社
程˨
社
˨中
社
中，
社
，
Տ௑ᤰ᣿ࠫ
ї
版社
Տ௑ᤰ᣿ࠫ
ї
思的ᓢݞ习ਅ
版社
思的ᓢݞ习ਅੈ
出ੈ
ᝣ
出版
ᝣ˞
出版
˞，
出版
，一
版
一组
版
组
ᦐ௧用的ᤈːመ
育出
ᦐ௧用的ᤈːመ
О
育
О组
育
组）
育
）：
育
：ੈ
育出ੈ
ᝣ
出
ᝣ
四组的解ขᤰ
教育
四组的解ขᤰ
生
东
生1
东教
11
东教
1（
东教
（一
教
一组
教
组）
教
）
次数，
东
次数，ࣳ
不一定
东教ࣳ
不一定
生
山东
生6
东
6：
东
：̀
山̀
૱
山
૱元
山
元
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
不Տ解
社
不Տ解
Ύ
出版
Ύក
出版
ក价
出版
价ੇ
版社ੇ
˞
版社
˞Ψ
版社
Ψ
可۲Щ学生思
出版
可۲Щ学生思
解
教
解二
教育
二元
教育
元一
教育
一次
育
次方
育
方
三
东
三组
东教
组的
东教
的解
东教
解ข
教
ข௧
教
௧
ᝠካ，˅不௜
山东教
ᝠካ，˅不௜ͮ
山ͮ
要
山
要解
山东
解ː
山东
ː次
东
次方
东
方
తݞ.ੈੈ̓
 ̓
ښ解
y
2
和
x - y
 
y
3ࣳ
˅不௜出ᩲ
 ࣳ
˅不௜出ᩲ
解ขඋੈ̓
组的
 
解ขඋੈ̓
组的
的ਓ᜹
社
的ਓ᜹.
社
.ੈ
ᤇਇ
 ੈ
ᤇਇ
解
社
解ข
社
ข.
社
. ڂ
社
ڂ˞
社 
˞，
ႇ的图៶不юᆸ
版社
ႇ的图៶不юᆸ
Џ
出
Џ的
出版
的᝺
出版
᝺ᝠ
出版
ᝠԶ
版
Զ௧
版
௧ਇ
版
ਇ
解ข的͖
Үᤇ
出版
解ข的͖
Үᤇ
᭧nj公൤和త有
育出
᭧nj公൤和త有
师：Տ学̓
教育
师：Տ学̓
生͕
：
教育
生͕
：
师：
教
师：
行的
东
行的
方
东
方
山东教育出版社
，本题用
社
，本题用
៶
版
៶ข
版社
ข解
版社
解，
版社
，不
版社
不ͮ
社ͮ
ϙ
出
ϙ.
出版
.
ក
出
ក出
出
出̀
出版̀
త
出版
త͖
出版͖
解
版
解
ਇ
育
ਇ.
育
. 实ᬅ上学生
育出
实ᬅ上学生
᣿教师Ἷ
教育出
᣿教师Ἷ
ᝣ˞第二组的
教育
ᝣ˞第二组的
ᒭ的ྲ
ག，̵
山东教
ᒭ的ྲ
ག，̵ࠣ
山ࠣ
题ᄬྲ
ढ़的基
山东
题ᄬྲ
ढ़的基
数学思ਇ
山
数学思ਇ
43
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
᣿程˨中的. ᤈࡃ要ර教师要有ᄬ的ڡԣ௑঴ፇଢང，࠲数学思ਇ方ข的学习有఻ڡᚸК学
生的数学学习᣿程˨中. ᤈ᧗，教师ં
ᒭࣂᎶ̆
一˔参与Ꮸ的ᢶ份，参与学生的ᝧ᝷，ࣳ
࠲
学生ᝧ᝷中出ဘ的数学思ਇ方ขԣ௑ڡᤉ行঴ፇଢང，Ύ学生ᝣគ҂数学思ਇ方ขښ数学
学习中的重要价ϙ和ͻ用，̰
Ꮻ࠲数学思ਇ方ข的学习有఻ڡຖᤩХ中，Ύட˔ᝧ᝷和学
生的ᝣគ上Ӥ҂一˔新的ᰴए.
师：Ѹ੦方程组的解˞
x = 8，
y = 2.
ဘښੈ̓
Ԧ᣿౏思考：解˞
x = 8，
y = 2
的方程组，ᬔΓ
1 ܱ
ᤇ有哪̏
ὝͿ̓
能աᒭࣂ编一᥋与Γ 1 的方程组的解ᄱՏ的数学᫈
题Ὕᄺឺ
编的᫈
题
新ᮣ
nj࿘ྲ
，形式ܳ
ನ.
教师௧学生学习活ү的组ጻᏨ和ळ࠮Ꮸ，൥ܫ教师̰
Ԧ᭧ଢ出᫈
题，ळ࠮学生г次આ
К҂新的ଊጊ活ү中ԝ.
（学生ሥౝڡ思考njଊቃὙ教师ښိ
级ࢸ回ૉ࠮，௑Ꮻͻ˞顾᫈
回ን学生ଢ出的᫈
题，௑Ꮻፌ́
学生必要的ૉ࠮，௑Ꮻ参与学生的ᝧ᝷nj̔ื
）
生 12：͵Ꮵ师，ੈ
ᝣ˞解˞
x = 8，
y = 2
的方程组ᬔΓ 1 ܱ
ᤇ有：
（1）
x + y = 10，
x - y = 6Ὑ
Ὑ 
（2）
2x + y = 18，
x - 3y = 2.
师：௧աԶ有ᤈː˔方程组Ὕ
生 12：不௧，ᤇ有ॢܳ
˔.
生 13：ࣃᅼ | x - 4y | + x + y - 10 = 0 ，ѷ x = _______ ，y = _______ .
师：ᤈ௧Ѿ用᭤᠇数的性质̿
܍ቇ题的形式编制的习题，ॢ
ݞἿ（ં
题иښᳬ౜上）
ᤇ有Х̵
形式的ՙὝ
生 14：有Ἷੈ
编̀
一᥋题：
ࣃᅼ：-3a
xb
y 与 7a
4yb
x - 6 ௧Տዝᮊ，ර̽
数式 2x
2 - 3y + 1 的ϙ.
师：ݞἿᤈͯ
Տ学௧ં
Տዝᮊ的概ঐ与解方程组ᚸ˞一ʹ编制的，ॢ
有新ਓ（ં
题и
ښᳬ౜上）.
生 15：ੈ
编制̀
一᥋ᤥહ题：下ѵ方程组中，解˞
x = 8，
y = 2
的方程组௧（ ）.
（A ）
x + y = 10，
x - 2y = 4Ὑ
  （B ）
x + y = 1，
x - y = 2Ὑ
  （C ）
x + 2y = 11，
3x - 2y = 18Ὑ
  （D ）
x - 2y = 5，
3x - 2y = 8.
师：ॢ
ݞἿ与͕
不Տ.（ં
题иښᳬ౜上）
生 16：ੈ
ᤇ有一᥋题：
௧աߛښட数 m，n Տ௑Ύ关̆
 x，y 的方程组
x + m
2
 + 
y + n
2
 = 8，
（5x - 7y）m = 36
和
mx - 2y = 4，
2x + ny = 26
的解ᦐ˞
x = 8，
y = 2.
ݠ౧有，ឰර出 m，n ϙὙݠ౧෥有，ឰឭ明理ႀ.
山东教育出版社
8
社
8，
社
，
y =
版社
y = 2
版社
2.
版社
.
版
ဘ
社
ဘښ
社
ښ
ᒭ
版
ᒭࣂ
版
ࣂ编
版社
编一
版社
一᥋
版社
᥋与
社
与
ನ
出
ನ.
出
.
学
育
学习
育
习活
育出
活ү
育出
ү的
出
的组
出
组ጻ
出
ጻ
活ү中ԝ
教育出
活ү中ԝ.
育
.
生
教
生ሥ
教
ሥౝ
教育
ౝڡ
教育
ڡ思
教育
思考
育
考
௑Ꮻፌ́
学生必
东教
௑Ꮻፌ́
学生必
生
山东
生12
山东
12：͵
东
：͵
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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学
社
学
和
社
和学
社
学
的
出
的方
出
方程
出版
程组
出版
组，
出版
，ᬔ
版
ᬔΓ
版
Γ᫈
育᫈
题
育
题Ὕ
育出
Ὕᄺ
育出
ᄺឺ
育出ឺ
编
出
编
ଢ
教
ଢ出
教
出᫈
教育᫈
题
教育
题，
教育
，ळ
育
ळ
௑
山东
௑Ꮻ
山东
Ꮻͻ
山东
ͻ˞
东
˞顾
东
顾
᝷nj̔ื
）
山东
᝷nj̔ื
）
方程组ᬔΓ
山
方程组ᬔΓ 1
山
1ܱ
山ܱ
2x + y =
x + y = 18
 
18
x x - 3y = 
 
y = 
3y
3y
3
2
组Ὕ
组Ὕܳ
˔
社ܳ
˔.
社
.
y | + 
社
y | + 
社
x + y
社 
x + y
x +
社
x +
社
᭤
版
᭤᠇
版社
᠇数
版社
数的
版社
的性
社
性质
社
质
的ՙὝ
出版
的ՙὝ
有Ἷੈ
编̀
一
出版
有Ἷੈ
编̀
一
ᅼ：-
育出
ᅼ：-3
育出
3a
育出
a
x
育出
xb
育出
b
y
出
yb
yb
出
b
yb 与
出
与
师
教育
师：
教育
：ݞ
教育
ݞἿ
育
Ἷᤈ
育
ᤈͯ
育ͯ
ښᳬ౜上）
教育
ښᳬ౜上）.
育
.
生
东教
生
山东教育出版社
题и
出版
иښ
出版
ښᳬ
出版社
ᳬ౜
版社
౜上
版社
上）
社
）
ϙ
教
ϙ.
教育
.
ʹ
教
ʹ编
教
编制
教育
制的
教育
的，
教育
，ॢ
育ॢ
解˞
山东
解˞
x = 
山东
x = 8
东教
8，
东
，
y = 
山东
y = 2
东
2
山东
x +
山
x + 2
山
2
山
44
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
师：̵
出的௧一᥋ଊጊ性᫈
题，ॢ
有ѹਓ.（ଂܦ）ᤈመ题型௧ᤃї年中考ត题中ፃ
࣢᥅҂的，߲ࠫ
考ࠣ
Տ学̓
的ଊቃ能ҧӡ分有Ѿ，ڂ൥，ܸ
ࠒ要ฌਓᤈመ题型的解ข和ͻ
用.（ં
题иښᳬ౜上）̿
上ܸ
ࠒᦐ௧ᅌᅋ̆
解˞
x = 8，
y = 2
Ꮻ编制的习题，有ឺ
编制的习题ᭊ要用Γ 1 的方程
组౏ර解的Ὕឰ上ᳬ౜౜书njᝯ解.
生 6：有Ἷੈ
编̀
一᥋஡字题.（上ᳬ౜౜书习题）
有一˔ːͯ
数，߲
ӡͯ
上的数字与˔ͯ
上的数字和的一ӧҫ上ӡͯ
上的数字与˔ͯ
上
的数字的ࣀ的 1
3 等̆
7Ὑ߲
ӡͯ
上的数字与˔ͯ
上的数字和的一ӧѓԝӡͯ
上的数字与˔ͯ
上的数字的ࣀ的 1
3 等̆
3. රᤈ˔ːͯ
数.
ݠ౧分ѿ᝺ӡͯ
上的数字˞ x，˔ͯ
上的数字˞ y，४҂的方程组ࡃ௧Γ 1 的方程组. 
ਫ਼̿
，ᤈ˔ːͯ
数௧82.
生 17：ੈ
编̀
一᥋应用题.（上ᳬ౜౜书习题）
一˔ኊߕ᧗有一̏
Ნ和Ღ. ࣃᅼᲜ的঴数和Ღ的঴数的和的 1
2 与Ნ的঴数和Ღ的঴数
的ࣀ的 1
3 ᄱࣀ3 ԶὙᲜ的঴数和Ღ的঴数的和的 1
2 与Ნ的঴数和Ღ的঴数的ࣀ的 1
3 一С
Ѹݞ 7 Զ，᫈
：ᤈ˔ኊߕ᧗的Ნ和ᲦՊ有ܳ
࠶ԶὝ
生 18：ੈ
ਫ਼编的题不௧Ѿ用Γ 1 的方程组౏解，̯ͮ
ཀྵ௧用二元一次方程组౏解
的.（上ᳬ౜౜书习题）
有一˔ᤂᣥ᫳੾ӊ̀
一ࠒ公司ᤂ᤟᠎ྭ
的ˊ务.第一次ᤂ᤟ 18 t ，ึ̀
一ᣚܸ
ӵᢼ和 5
ᣚ࠵ӵᢼὙ第二次ᤂ᤟ 30 t ，ึ̀
一ᣚܸ
ӵᢼ和 11 ᣚ࠵ӵᢼ，ࣳ
˅ː次ਫ਼ึ
的ᢼᦐѸݞ装
໘. ᫈
：ːመᢼ型的ᣒ重᧚Պ௧ܳ
࠶Ὕ
师：ᤈͯ
Տ学෥有ࡍ限̆ੈ̓
ଢ出的᫈
题，Ꮻ௧ͻ̀
ᤉ一൦的઩࡙
. 思路开᫫，ࣳ
˅
ਫ਼编的᫈
题，ឦᝓ
᛫ᤘຍം，思፥ˑ៟，ॢ
不ᩲἿ（ଂܦ）
生：͵Ꮵ师，ੈ
ᤇ有Ἷੈ
ᤇ有Ἷᤈ௑，下课ᨣ־̀
，教师ԣ௑ڡͻ̀
঴ፇ. ᝵ܳ
学生˞ᒭࣂ的ੇ
౧෥有४҂࡙
ᇨᏫ਷
ঢ়不ࣃ.
师：Տ学̭ܹ̓
思路开᫫，思፥活ᡤ，Ѝ分发૙和࡙
ᇨ̀
Ϳ̓
的ᐓ明੦అ. Ϳ̓
编制
的᝵ܳ᫈
题，ੈ
课Ғᦐ෥有ਇ҂，ॢ̀
不ᡑἿੈ̭
Ցᤇ要ՔՏ学̓
学习（їԲእᆁ的༏ҵ
性ក价ឦᝓ
，ં
教师Ꮆ̆
与学生Տ等的ͯ
Ꮆ，ઢᤃ̀
师生˨ᫎ
的ᡰሏ，ܙᤉ̀
师生ৱ感Ὑ
Տ௑，ԡܙू̀
学生的ੇ
ࡃү఻，༏发̀
学生学习和ଊቃ数学的Уᡚ与ሥౝ性）. ႀ̆
௑ᫎ
关系，有᝵ܳ
Տ学的ੇ
౧ᤇ෥有४҂࡙
ᇨ，ڂ൥，̭ܹ
的ͻˊࡃ௧ඈ˔Տ学ᒭࣂ编五᥋
形式不Տͮ
ᦐ要用҂二元一次方程组౏解的习题，编ݞՑи出߲
的解ን᣿程，ᄺឺ
编४ݞ. 
Տ௑঴ፇᤈ一ቦ的˟要题型和解题᜻॥njᒭࣂښ学习ᤈ一ቦ௑的ॷ४ʹ͘ੋ
Ꮸᒭࣂ的新发
ဘ. 
山东教育出版社
ᝯ解
社
ᝯ解.
社
.
஡字题
版社
஡字题.
版社
.（上ᳬ
社
（上ᳬ
ӡ
版
ӡͯ
版ͯ
上
版社
上的
版社
的数
版社
数字
社
字
等
出
等̆
出̆
7
出
7Ὑ
出
Ὑ߲
出版߲
ӡ
出版
ӡͯ
版ͯ
的ࣀ的
育
的ࣀ的1
育出
1
3
育
3
育出
等̆
育出
等̆
分
教
分ѿ
教育
ѿ᝺
教育
᝺ӡ
教育
ӡͯ
育ͯ
上
育
上
ᤈ˔ːͯ
数
东教
ᤈ˔ːͯ
数
生
东
生17
东教
17：ੈ
东教
：ੈ
一
山东
一˔
东
˔ኊ
东
ኊ
的
山
的ࣀ
山
ࣀ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
1
版
1 的
版社
的方
版社
方程
版社
程
ӡ
育
ӡͯ
育ͯ
上
育出
上的
育出
的数
育出
数字
出
字与
出
与
ӧ
教
ӧѓ
教育
ѓԝ
教育
ԝӡ
教育
ӡͯ
育ͯ
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山
y，
山
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山东
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山东
҂的
东教
的方
东教
方程
东教
程
题）
题）
঴数和Ღ的঴
 
঴数
的঴数的和的
 
的1
和ᲦՊ有ܳ
࠶
 
和ᲦՊ有ܳ
࠶
௧Ѿ用Γ 1 的
 
的
ӊ
社
ӊ̀
社̀
一
社
一ࠒ
社
ࠒ公
社
公司
 
司
ᤂ᤟
版社
ᤂ᤟30
版社
30 t
社
t ，ึ
社
，ึ
ᢼ型的ᣒ重᧚Պ
版社
ᢼ型的ᣒ重᧚Պ
ᤈ
出
ᤈͯ
出ͯ
Տ
出版
Տ学
出版
学෥
出版
෥有
版
有ࡍ
版
ࡍ᫈
题，ឦᝓ
᛫
育出᫈
题，ឦᝓ
᛫
生：͵Ꮵ师
教育出
生：͵Ꮵ师
ᤈ
教育
ᤈ௑
教育
௑，
育
，下
育
下
ঢ়不ࣃ
东教
ঢ়不ࣃ.
教
.
师
教
师
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东
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ᣚ
版
ᣚܸ
版社ܸ
ӵ
版社
ӵᢼ
版社
ᢼ和
社
和5
社
5ึ
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45
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七年级  下册
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ஔ学用书
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复习课ݠ͵ʹဘ新课程的教学理ঐ，ஈԫ学生的学习方式，ଢᰴ复习课的஍率，௧
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࠲ក价与教师的教和学生的学有఻ڡᚸ˞一ʹ. 实᡻证明，复习课中，
Զ要教师ᣁԫ᜺ঐ，᝺ᝠ合理，组ጻ४े
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ቃnj合ͻ̔ื
”的学习方式可̿
Ѝ分༏发和ូ
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山东教育出版社
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七年级  下册
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ஔ学用书
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1. ፃԋ̰
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题中ચ៶出一次函数，˟ү࠭
੽一次函数的生活ᑀఀ
等活ү，感受一
次函数的ࣹ
ฅ应用，ଢᰴ应用ਓគnj˘ࠝ
数学活үፃᰎ，ࣳ
ଢᰴथ模ਓគ和थ模能ҧ.
2. 感受一次函数中“k”“b”的ਓ义，ଢᰴࠫ
一次函数的ᝣគ.̄
nj᝺ᝠন᡹
本课题的ਓ图௧，ᝨ学生ፃԋ应用一次函数的ᅼគnj方ข和᜺ག分ౢ᫈
题nj解х᫈
题
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Ұ学生ᤉ一൦ʹ͘
一次函数的模型思ਇ，理解ᄱ关的ᅼគ与方ข，˘ࠝ
数学
活үፃᰎ，ଢᰴथ模ਓគ和थ模能ҧ.
学生ښО年级下学ర学习̀
“ԫ᧚˨ᫎ
的关系”，̰
数学的角एᆑቃ᣿ԫӑ的᧚，ࣳ
ᝧ᝷߲̓
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函数的概ঐ，ࣳ
ᆑቃ̀
一次函数的图៶nj᛫᣺式的
ᆸ定ԣХ应用等，学生ࣃ初൦Ц有概઺函数关系的能ҧὙͮ
教科书中的ৱܒᄱࠫ
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的ৱܒ中ચԩ一次函数模型ࣳ
Ѿ用߲
解х实ᬅ᫈
题，ࠫ
学生௧一˔્੍
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˷更有Ұ̆
发࡙
学生的能ҧ，˞൥，教科书ᤥહ̀
“哪一款套餐更合适”ᤈ一ጉె
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哪一款੤఻资ᠠ的“套餐”更合适，ӡ分ဘ实，Хፇ౧̡ࠫ̓
的ࢺͻnj生活Ц有ૉ࠮
ਓ义. 要解ንᤈ˔᫈
题， ᭊ要学生ښᄾ实的ৱఀ
中，分ౢ
Պመॖ
־ڂጉ，ᆸ定˟要关ฌ的
ڂጉ，ᤉᏫᆸቡ数学模型nj解х᫈
题Ὑᤈನ的᣿程，ሏ不开学生的࿘ቡ思考，Տ௑更ᭊ要
Տͧ
的合ͻ̔ื
，ݠᤉ行ូ
ಊ᝻េ等Ὑ解х᫈
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学生有关一次函数ᅼគ的
一次፬合ೝ᫞，ԡ可̿ॢ
ݞڡࣟ
Ұ学生ʹᰎᆑቃ᣿程，̀
解ᆑቃ方ข，۲Щ᫈
题ਓគ，ᝯ
ቃ科学গए，ଢᰴथ模能ҧ，༏发ѹ新ድᇸ.
ಪ据函数᛫᣺式ᒭ行౞ᤵ适合的应用ৱܒ，可̿
更ݞڡ实ဘႀਓ义理解҂ᒭ˟थ౞的
ᮻᡤ，ᤉ一൦ҫງࠫ
“生活数学ӑnj数学᜻॥ӑnj数学生活ӑ”的ʹᰎ，஌൥，教科书త
Ցԡ编制̀
一˔“Ϣ一Ϣ”的活ү，ळ࠮学生ᒭ˟࠭
੽生活中的一次函数的ᑀఀ
，ҧ图发࡙
学生的数学应用ਓគ，形ੇ
数学ڡᄺॠˇႍ
的ᅋ光.
ʼnj教ߦथᝬ
1. ಪ据学生ৱц，༧活ᤥԩ教学方式.
本课题学习的重ག௧ᝨ学生ፃԋ᣿程nj感ৢ
方ข. ፃ᣿О年级的学习，学生ࣃፃሥግ̀
ᣗ˘ࠝ
的课题ᆑቃፃᰎ，ڂ൥，ښ学生学ҧ᝵可的ৱц下，ࡊ可能更ݞڡ发૙学生的˟ʹ
性，थᝬᝨ学生组ੇ
课ܱ
ᆑቃ࠵组，ᒭ˟ᆑቃ，ࣳ
୩иᆑቃઑշ，ᤉᏫᤉ行ိ
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ཀྵ，考ᘽ҂本课题的复ా
性njಖю的ܳ
ನ性等，˷可᧔用教师ळ࠮下的课۶学习
方式. Цʹᤥ用哪መ教学方式，ឰ教师ಪ据学生ЏҒ的活үৱц和学ҧඵ平，༧活ܫ理.
ݠ౧᧔ԩ教师ळ࠮下的课۶学习，थᝬ安ଆː课௑. 第 1 课௑ळ࠮学生ᆑቃЦʹ的ᑀఀ᫈
题“哪一款套餐更合适”Ὑ第 2 课௑，ښ第 1 课௑的基ᆩ上，ලઑՊ组的ᆑቃੇ
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3. 关ฌ学生ࠫ
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生活ৱܒ中的函数，Х参数ड़ड़Ц有ဘ实ਓ义，ᝣគᤈ̏
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参数的ဘ实ਓ义更ݞ的解х᫈
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题，ᭊ要关ฌ学生ࠫ
Х中参数“k”“b”的ဘ实ਓ义的
理解.
4. ಪ据学生ৱц，༧活ᤥԩᆑቃጉె
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本课题学习的஡本Զ௧ଢῚ
一˔教学ጉె
ԣХΎ用方Ք，Պͯ
教师߹全可ಪ据ᒭࣂ
的教学实ᬅ，ᤥહХ̵
生活中的一次函数，ݠটನᤉ行组合᠔ྭ
可̿
Ύᔉᠠ更࠶Ꮻԡྭ
有
ਫ਼ϙ等.
پnjក͉
थᝬ
1. 关ฌࠫ
学生活ү᣿程和课题ᆑቃઑշ的ក价.
本课题的ក价重ॷ௧：
（1）ក价合ͻ࠵组的౞ੇ
ԣ分ࢺ௧աຍఁ明ᆸ，ඈ˔ੇ
ր௧աՊࡊਫ਼能Ὑࠫ
࠵组ੇ
ր
的合ͻਓគϢ出ក价.
（2）ࠫ
࠵组߹ੇ
的课题ઑշϢ出ក价.
᧫ࠫ
Պ合ͻ࠵组߹ੇ
的课题ઑշᤉ行ក价，थᝬ᧔用四˔ក价等级：A ，B ，C ，D ，
分ѿࠫ
应：͖
ሒnjᓢݞnj中等nj基本合ಫ. 一ᓊৱц，ࡊ᧚不ፌ́
不合ಫ的ក价，ᬔ᭤Х与
D 级ඵ平有明௭ࣀप. 下᭧的等级᛫ဘଡᤘ，Ι教师参考：
D 等级：෥有ಪ据᫈
题ᑀఀ
ଢ出᫈
题，ͮ
ᤥહ̀
ᦊ分ηৌ，ࣳ
߹ੇ̀
一̏
基本任务，
ݠ：᛫ᤘᤰភ௑᫂
与ᠠ用的函数关系，߹ੇ
上ᤘՊ函数的图៶，Х中ᦊ分൤ᆸ. ಪ据ਫ਼ႇ的
图៶，ᤥહ的套餐ߛښ᫈
题. Զ能ᦊ分ᖍ४数学模型的解（ӊ઺ࠫ
解的᛫᣺ߛښᣯ不᣺ਓဘ
៶）. 能ᤥહᦊ分ηৌ，ᦊ分൤ᆸڡ分ౢ
ឭ明一መਫ਼适用的๗ᠠᏆʹ.
C 等级：෥有ಪ据᫈
题ᑀఀ
ଢ出᫈
题，ͮ
能ܵ
ᤥહ解х᫈
题ਫ਼ᭊηৌ. ܍иᤰភ௑᫂
与
ᠠ用的函数关系，基本൤ᆸڡ߹ੇ
上ᤘՊ函数的图៶（可能ߛښ᛫ᤘ不ຍ的ဘ៶）. ಪ据ਫ਼
ႇ的图៶，ᤥહ൤ᆸ的套餐. 能基本൤ᆸڡᖍ४数学模型的解，ͮ
᛫ᤘ౎理不௧ॢ
ຍം，关
᪄གઅ४不௧ॢ
҂ͯ
. 能基本൤ᆸڡឭ明їመਫ਼适用的๗ᠠᏆʹ.
山东教育出版社
分学生有
社
分学生有
ਓळ࠮学生Ѝ分
版社
ਓळ࠮学生Ѝ分
ڡ
版
ڡፌ
版
ፌ́
版社́ࣟ
版社ࣟ
Ұ
版社
Ұࠫ
“
育ࠫ
“k
育出
k”
育出
”“
育出
“b
育出
b”的ဘ
出
”的ဘ
中
育
中的
育
的函
育出
函数
育出
数，
育
，Х
出
Хࠫ
教ࠫ
ស
教
ស函
教育
函数
教育
数的
教育
的理
育
理解
育
解̆
东̆
Ц
东教
Ц有
东教
有ဘ
东教
ဘ实
教
实ᑀ
教
ᑀ
解
东
解.
东
.
4
山东
4. 
山东
. ಪ据学
山东
ಪ据学
本
山
本课
山
课
教
山
教学
山
学
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
解
版
解，
版
，ॖ
版社ॖ
־
版社
־
ኮ᧔ԩ课ܱ
学
出版社
ኮ᧔ԩ课ܱ
学
题的基ᆩ
出版
题的基ᆩ. 
出版
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ཀྵ
出版े
ཀྵ̔
育̔ื
育ื
，
育
，ښ
育出
ښ̔
育出̔ื
出ื
中
出
中
ᤈ
东
ᤈ̏
东教̏
参
东教
参数
东教
数的
教
的ဘ
教
ဘ
数
山
数的
山东
的ဘ
山东
ဘ实
东教
实ਓ
东教
ਓ义
东教
义
生
山
生ࠫ
山ࠫ
Х
山东
Х中
山东
中参
山东
参数
东
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函数，ݠট
 
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᣿程和课题ᆑ
社 
᣿程和课题ᆑ
重ॷ௧：
版社
重ॷ௧：
合ͻ࠵组的౞
出版社
合ͻ࠵组的౞
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出版
Ϣ出ក价.
出版
.
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࠵组߹ੇ
育出
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᧫
教育
᧫ࠫ
教育ࠫ
Պ
教育
Պ合
育
合ͻ
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育
࠵
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应：͖
教育
分ѿࠫ
应：͖
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东教
D
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东教
级ඵ平有
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东
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山东教育出版社
ਫ਼能Ὑࠫ
࠵组
出版
ਫ਼能Ὑࠫ
࠵组
˔
教
˔ក
教
ក价
教育
价等
教育
等级
教育
级：
育
：
᧚不ፌ́
不合ಫ
东教
᧚不ፌ́
不合ಫ
考：
山东
考：
હ
山
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山̀
ᦊ
山东
ᦊ分
山东
分η
山东
ηৌ
东
ৌ
函数的图
山
函数的图
解
山
解
48
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
B 等级：ಪ据᫈
题ᑀఀ
ଢ出᫈
题，能ܵ
ᤥહ解х᫈
题ਫ਼ᭊηৌ，෥有᫨ᤘຍം˞̤
˦
ᤥહᤈ̏
ηৌ. 能ܵ
܍иᤰភ௑᫂
与ᠠ用的函数关系，߹ੇ
上ᤘՊ函数的图៶，߹全൤ᆸ，
᛫ᤘຍఁ. 能ܵ
ಪ据ਫ਼ႇ的图៶，ᤥહ൤ᆸ的套餐，ࣳ
能እ要ឭ明Ϳ˞̤
˦ᤥહᤈመ套餐. 
能߹ட൤ᆸڡᖍ४数学模型的解，᛫ᤘ౎理ຍം，关᪄གઅ४ॢ
҂ͯ
. 能ஆ集ηৌ，能߹ட
൤ᆸڡឭ明Պመਫ਼适用的๗ᠠᏆʹ.
A 等级：ښ B 等级的基ᆩ上，Ц有࿘ྲ
᜹解ੋ
ѹ新性思考. 能ஆ集ηৌ，߹ட൤ᆸ
ڡ分ౢ
ឭ明Պመਫ਼适用的๗ᠠᏆʹ，能发ဘ一̏
解хՏዝ᫈
题的᜻॥ੋ
Ꮸ能ࠫ
Տዝ᫈
题̗
生ᐏਇ.
2. ฌਓࠫ
࠵组内ੇ
ր的ក价.
下᭧௧一˔Ꮵ师᝺ᝠ的学生ក价᛫，Ι参考. े
ཀྵ，Ꮵ师̓
应ಪ据ᒭࣂ课۶学习的方式
制定更˞᠛合的ក价᛫.
ក͉
ઑշ（学ၷ用）
࠵组ੇ
ր
ށՐ
分ࢺ
课Ғюܬ
（໘分10分）
合ͻ̔ื
（໘分10分）
ᒭࣂ任务߹ੇ
ৱц（໘分10分）
合ᝠ
A
᠇责分ౢె
料中的ηৌ，ࠫ
ਫ਼ᭊηৌϢ出х定
B
ႇ图៶
C
ଢ出一̏
थᝬ
D
иઑշ，࡙
ᇨੇ
౧分ౢ
˔性ӑथᝬ
࠵组合
ᝠ४分
山东教育出版社
ᆩ
社
ᆩ上
社
上，
社
，Ц
社
Ц
๗
版
๗ᠠ
版社
ᠠᏆ
版社
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版社
ʹ，
社
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社
能
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ր的ក价
出版
内ੇ
ր的ក价
Ꮵ师᝺ᝠ的学
育出
Ꮵ师᝺ᝠ的学
合的ក价᛫
育出
合的ក价᛫.
育
.
东教
东教
东教
山东
山
࠵组
东
࠵组ੇ
ր
东ੇ
ր
ށՐ
东教
ށՐ
A
山东
A
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
餐
社
餐
能߹ட
社
能߹ட
ৌ
出
ৌ，
出版
，߹
出版
߹ட
版社
ட൤
版社
൤ᆸ
版社
ᆸੋ
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Ꮸ
出
Ꮸ能
出
能ࠫ
出版ࠫ
Տ
出版
Տዝ
版
ዝ̓
应ಪ据ᒭࣂ课
教育̓
应ಪ据ᒭࣂ课
）
山
）
山东
版
山
社
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分）
合ͻ̔ื
山
合ͻ̔ื
（໘分
山
（໘分1
山
1࡙
ᇨੇ
౧分ౢ
社 ࡙
ᇨੇ
౧分ౢ
ӑथᝬ
社
ӑथᝬ
山东教育出版社
出版社
版社
版社
版社
版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
49
ό1ύਓ图̿
一˔实ᬅ的Γ
ߕ，ळᡑ学生ࠫ
ဘ实᫈
题的关
ฌ与思考，˞ᤉ一൦的ଊቃϢ
юܬ，߹ੇ
课题࠮К. 教师可̿
课Ғૉ࠮学生ᤰ᣿ಊ资料ੋ
实ᬅ᧔᝻等方式，࡙
开实᡻ូ
ಊ，ஆ集有价ϙ的ηৌ，ࣳࠫ
ஆ集҂的ηৌᤉ行እӭឭ明，
ᤈನ有Ұ̆
学生更ݞڡ理解᫈
题ৱܒԣ课题的˟௉，有஍ଢ
ᰴ课۶ଊቃ஍率.
ό2ύ൥ܫնဘ一˔ጉె
ͻ˞
师生分ౢ᫈
题的ᣒʹ，方Χ师
生ࡃՏ一˔资ູ
ᤉ行ᆑቃ. 教学
中可̿
ಪ据े
ڡ的实ᬅৱцᤥ
હ更᠛ѭ的数据，˷可̿
ښ学
生ஆ集数据基ᆩ上ᝨ̵̓
ᒭ˟
ᤥહ数据.
与˨Ғᣗ˞እӭ的᫈
题ᑀఀ
不Տ，学生൥次᭧˚的᫈
题
要ဘ实nj复ా
४ܳ
. 哪̏
௧࣢
᧚Ὕ哪̏
௧ԫ᧚Ὕটನ平ᛦ和
᛫᣺߲̓
˨ᫎ
的关系Ὕ学生ॢ
可能௄ਫ਼适̰
，˞൥教师可̿
ଢΙ一̏ࣟ
Ұ，ݠळ࠮学生̰
综合与实践 哪一款“套餐”更合适

ό1ύ
ό2ύ̀
解ࠒ᫂
的ЦʹភᠠৱцϢᡑὙᏫ˞̀ࣟ
Ұ有஍ڡட理ភᠠৱц，ԡ不ݱଢΙፌ学生一˔᛫ಫ等. 
ݠ下᭧௧౽˔Ꮵ师᝺ᝠ的࠮学方ವ：
（1）̿ྚྚੋ
ݥݥ的੤఻˞ನ本，ូ
ಊᤌ፞
五˔月౏੤఻ᤰភ௑ᫎ
的ৱц.（下᭧˞ನ本᛫ಫ）
本ڡᤰភ௑ᫎ
（分）
本ڡᤰភᠠ用
（元）᫂
᤭ᤰភ௑ᫎ
（分）᫂
᤭ᤰភᠠ用
（元）
ᤰភ঴௑ᫎ
（分）
1
2
3
4
5
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
ቃ
社
ቃϢ
社
Ϣ
教
社
教师
社
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社
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᣿
版
᣿ಊ
版社
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版社
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版社
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式
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出版࡙
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出版社
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版社
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版社
᡻
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ৌ
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出
እ
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教育
有Ұ
教育
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学
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育
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育
更
题
教
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教
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教育
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教育
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教育
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育
题
ᰴ课۶ଊቃ
东教
ᰴ课۶ଊቃ
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教育
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下᭧௧౽˔Ꮵ
东教
下᭧௧౽˔Ꮵ
（
东教
（1
东
1）
东教
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东̿
山东
山东教育出版社
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社
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社
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版社
᭧˚
版社
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版社
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社᫈
题
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题ాా
४
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४ܳ
版ܳ
.
版
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版社
哪̏
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௧
社
௧
௧
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௧ԫ
出
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出版
᧚Ὕ
出版
Ὕট
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版
ನ߲
育߲̓
育̓
˨
育出
˨ᫎ
育出ᫎ
的
出
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出
关
能
教育
能௄
教育
௄ਫ਼
教育
ਫ਼适
育出
适̰
育出̰
ଢ
教
ଢΙ
教育
Ι一
教育
一̏
教育̏ࣟ
育ࣟ
ц
东
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东教
，ԡ
东教
ԡ不
东教
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教
ݱଢ
教
ଢ
౏
山
౏੤
山
੤఻
山东
఻ᤰ
山东
ᤰភ
山东
ភ௑
东
௑
山ᫎ
山ᫎ
 
50
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
（2）߹ੇࠫ
教师ਫ਼ଢΙ资
ᠠࠈ传ӭ的ηৌ解឴
nj分ౢ
，
࿘ቡ思考“ඈ月的资ᠠ受哪̏
ڂጉॖ
־Ὕ”，̰
资ᠠࠈ传ӭ中
ચԩ有关的数᧚关系，थቡᄱ
应的᛫᣺式，ҒᎶចல，˞下
一ဗᓬੳຍ学生理解上的ᬪᆾ.
ϢʷϢ
ৱܒ中ڂጉᣗܳ
，˞方Χ
学生合理ڡᤥહ与Ύ用，ፌଊ
ቃଢΙ线ጊஃે
Ꮻଢ出上ᤘ4 
˔᫈
题，ਓښळ࠮学生Ϣ҂：
发ဘnj理解ਫ਼关ฌ的ηৌࣳ
用
ኀ号նဘὙಪ据Պ组ྲ
定要ර
ᤥહ合适的方式分ౢ
解᧖ηৌ.
࠵组合ͻ生生̉
ү可̿
实
ဘፃᰎС̚
，ࣳ
Ύ᫈
题͖
ӑ集
中nj更Ц有Ч型性，δᬪ课۶
教学஍ᄞ. 教师要ळ࠮学生ᒭ
˟思考ਫ਼ᤥ定的ԫӑ᧚与ᠠ用
˨ᫎ
的关系，ॖ
־ਫ਼ᤥ定ᠠ用
的˟要ԫ᧚௧̤
˦，ဘښԫ᧚
ᡔ出一˔សݠ͵解х等，ࣳ
ᴂ
ҵ学生ଊᝧ൥ࠫ᫈
题ፇ౧的ॖ
௑ᫎ
దד̏
.
὆὇̀
ᝍͿࠒ౽ᦊ੤఻ᔪࣰ
థᄊՊᮊᤰភ௑ᫎ
ὊনᏦॖ
־ស੤఻ᠫᠠԫӑ
ᄊ˟᜶ڂጉ௧דᮊᤰភ௑ᫎ
 .
὆὇ڍࠀХ̵
ᤰភ௑ᫎ
ὊѬѿᆸࠀʼመݓᯀʾᄱऄᄊᠫᠠ֗
ᤰភ௑ᫎ
˨ᫎ
ᄊѦ஝᛫᣺रὊࣳ
ᝍ᧖ਫ਼४ᄊѦ஝᛫᣺र˗ʷ൓ᮊጇ஝þkÿ֗
࣢஝ᮊþbÿᄊ
ࠄᬅਓ˧ .
὆὇ಪ૶ͿࠒᄊࠄᬅৱцὊᤥહדመݓᯀᣗՌካὝឭ௚ေႀ.
ᝬʷᝬ
὆὇ਫ਼४ᄊѦ஝᛫᣺र˗ᄊþkÿþbÿѬѿࠫ
ඈథᠫᠠదটನᄊॖ
־Ὕ
὆὇ʷᓊڡὊ̤
˦ৱцʾᤥહ A ݓᯀὝឭឭͿᄊေႀὌ̤
˦ৱцʾᤥહ 
B ݓᯀքὝC ݓᯀքὝ
ϢʷϢ
ښ੤఻ᠫᠠ᫈ᮥ
˗Ὂᤰភ௑ᫎ
ᄰଌॖ
־ᅌᠫᠠᄊܳ
࠶ὊᏫ˅ښХ̵
௑ᫎ
ڍ
ࠀᄊৱцʾὊښʷࠀ௑඀Я੤఻ᠫᠠˁᤰភ௑ᫎੇ
ʷ൓Ѧ஝Тጇ .
὆὇ˁʽᤘþ੤఻ᠫᠠÿ᫈ᮥ
ዝͫ
ᄊὊͿᤇᑟ੽ѣד̏
ԫ᧚˨ᫎ
ᄊТጇὊ
Ի̿
ၹʷ൓Ѧ஝౏ᤃͫ
ڡ᛫ᤘὝ˞̤
˦Ὕ
὆὇ʷ൓Ѧ஝ႀː˔ጇ஝þkÿþbÿᆸࠀ.  ښͿਫ਼ˡᄊЦʹᑀఀ
˗Ὂ
þkÿþbÿᄊЦʹਓ˧௧̤
˦ὝЦʹᑀఀ
˗ד̏
ڂጉԻ̿
࠮ᒱþkÿþbÿᄊԫ
ӑὝ̿
࠵ጸ˞ӭͯ
Ὂଊቃʽᤘ᫈ᮥ
ὊиѣదТࠄ᡻ำүᄊઑշὊࣳ
ᤉᛡိ
ጟ̔ื
 .
˸ᮥ̿
࠵ጸ˞ӭͯ
Ὂូ
ಊþ੤఻ᠫᠠÿᄊݓᯀመዝὊଊጊᤥહדመݓᯀᣗ˞ՌካὊં
ͿᄊѬౢ
᣿ሮ֗
తጼፇ᝷঴ፇੇ
ʷ͋ិᮥ
ઑշὊࣳ
ᤉᛡိ
ጟ̔ื
.

综合与实践 哪一款“套餐”更合适
־Ὑښ̞
ᢶፃԋ中关ฌဘ实生活中ᆸ实ߛښ的ဘ៶，思考ݠ͵ԝ଀᭤本质ڂጉ的ࣰ
੸——解хե有ܳ
˔ԫ᧚的᫈
题௑，可̿
分ౢ
ᤈ̏
ԫ᧚˨ᫎ
的关系，̰
中ᤥ出有̽
᛫性的ԫ᧚ͻ˞ᒭԫ᧚，ᤉᏫ࠭
ර可̿
Ԧ௢实ᬅ᫈
题的函数，ͻ˞解х᫈
题的数学模型.
可̿
ώҰᤈನ一˔᛫ಫ，ʹဘ˟Էᤰភ௑ᫎ
与ᠠ用˨ᫎ
的数᧚关系Ὑ
套餐Րሦ
ᝠᠠ方式
˟Է௑ᫎ
与ᠠ用的函数关系
山东教育出版社
版社
ᆾ
版
ᆾ.
版
.
ጉᣗ
育
ᣗܳ
育ܳ
，
育
，˞
育出
˞方
育出
方
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教
ᤥહ
教育
હ与
教育
与Ύ
教育
Ύ用
育
用
线
东
线ጊ
东教
ጊஃ
东教
ஃે
东教ે
Ꮻ
教
Ꮻଢ
教
ଢ
题
东
题，
东
，ਓ
东教
ਓښ
东教
ښळ
东教
ळ࠮
教
࠮
发
山
发ဘ
山
ဘnj
山东
nj理
山东
理解
山东
解ਫ਼
东
ਫ਼
ኀ
山
ኀ号
山
号ն
山
նဘ
山
ဘ
હ合
山
હ合
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版社
版社
ᝬ
社
ᝬ
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课
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课۶
社
۶
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社
ᒭ
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版
ӑ᧚
版
᧚与
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用
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ਫ਼ᤥ
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用
௧
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௧̤
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˦，
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ښ
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សݠ
育出
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教育
ᝧ൥
教育
൥ࠫ
育ࠫ᫈
育᫈
஝ᮊþ
社
஝ᮊþ
௚ေႀ
版社
௚ေႀ.
版社
.
出
Ѭѿࠫ
ඈథᠫᠠద
育出
Ѭѿࠫ
ඈథᠫᠠద
ݓᯀὝឭឭͿᄊ
教育
ݓᯀὝឭឭͿᄊ
东
˗Ὂᤰភ௑ᫎ
ᄰଌ
山东
˗Ὂᤰភ௑ᫎ
ᄰଌ
ʷࠀ௑඀Я੤఻ᠫ
山
ʷࠀ௑඀Я੤఻ᠫ
ᤘþ੤఻ᠫᠠÿ
山
ᤘþ੤఻ᠫᠠÿ
൓Ѧ஝౏ᤃͫ
ڡ᛫
 
൓Ѧ஝౏ᤃͫ
ڡ᛫
὇ʷ൓Ѧ஝ႀ
὇ʷ൓Ѧ஝ႀ
kÿþbÿᄊЦʹਓ
 
ᄊЦʹਓ
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ӑὝ̿
࠵ጸ
 ̿
࠵ጸ̔ื̔ื
Ὑ
教
Ὑښ
教
ښ̞
教育̞
ᢶ
教育
ᢶፃ
教育
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育
ԋܳ
东ܳ
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东教
˔ԫ
东教
ԫ᧚
教
᧚的
教
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ර可̿
Ԧ
山东教
ර可̿
Ԧ
山东教育出版社
教育
社
教育出版
ዝὊଊጊᤥહדመݓ
出版
ዝὊଊጊᤥહדመݓࣳ
ᤉᛡိ
ጟ̔ื
育出ࣳ
ᤉᛡိ
ጟ̔ื
ݠ
东
ݠ͵
东
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东教
ԝ଀
东教
଀᭤
东教
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教
本质
教
质
中
山东
中ᤥ
山东
ᤥ出
山东
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东教
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东教̽
᛫
东教
᛫
模型
山
模型.
山
.
ᠠ用˨ᫎ
的
山
ᠠ用˨ᫎ
的
51
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书ࠫ̆᫈
题“Ϳࠒᤈᦊ੤఻的Ύ用ৱц，࠲̿
本ڡᤰភ˞˟，ᤇ௧᫂
᤭ᤰភᣗܳ
Ὕ”一̏ိ
级实ᬅូ
ಊ发ဘ有下᭧一̏
ৱц：① ܸܳ
数学生ូ
ಊ的ፇ౧௧，੤఻的Ύ用̿
本ڡᤰ
ភ˞˟，஌ও႕᫂
᤭˟Էৱцᤉ行ᆑቃὙ Ł ˔ѿ学生的ូ
ಊፇ౧௧，੤఻的Ύ用̿᫂
᤭ᤰ
ភ˞˟Ὑł ᤇ有学生的ូ
ಊፇ౧௧，Պ˔月份本ڡᤰភ௑ᫎ
和᫂
᤭ᤰភ௑ᫎ
ᄱࣀ不ܳ
，ԁ
本ڡᤰភᠠ基本稳定，᫂
᤭ᤰភᠠ˷基本稳定，ႀ൥关ฌ҂月平کᤰភ௑ᫎ
ԣ平کᠠ用的
Ύ用. ൥ܱ
，ښᤈ˔᫈
题中学生ᦐ͘
发ဘ有ː˔ԫ᧚，有的学生ᤇ͘
考ᘽ҂ᆁηࠫ
঴资ᠠ的ॖ
־.
教师ࠫ
学生ଢ出的用ขᤪ一གក，ࣳ
ڊፉ与“ඈ月资ᠠ”ᄱࠫ
应的ᒭԫ᧚分ౢ
. 课۶ࠔ
᧚ඌብ有限，Цʹ的学ৱ˷͘
有不࠵的ࣀप，学生ஆ集ட理的ৱц可能有ᮕ᝺ৱц中的一
መੋ
їመ，教师不必全ᦊ๘࿩，ಪ据教学实ᬅ中学生发࡙
的可能ৱц，ڊፉ教学ᄬಖ，અ
ͱ一ːመᆑቃᤩग़ԁ可.
本ဗᓬᤉ一൦ࣟ
ҰՏ学̓
感受ဘ实᫈
题数学ӑ的ᤉ程，感受函数ͻ˞一መ数学模型
ښ分ౢ
解х实ᬅ᫈
题中的重要ͻ用. ࠫ̆
学习程एᣗݞ的Տ学，߹全可̿
ஊ੤ᝨ̵̓
ᒭ行
᝺ᝠ解х᫈
题的方ข：ӊ઺ࠫ
数据的分ౢ
njܫ理形式nj数学模型的ᤥԩ与应用等Ὑࠫ̆
ᜂ
ү等ॠ型的学生要ܳ
ᤉ行ӭ࿘的师生̔ื
——“ࠫ
ᤈ˔᫈
题Ϳট˦ᄺὝ”“ᤇ可能Ϣ出̤
˦Ὕ”ښ师生平等的ᝧ᝷中༏ᡑ学生思考，̰᫈
题ଢ出和᫈
题解х的᣿程中ᖍ४˔性ӑ
的ੇ
Ҫʹᰎ.
可能出ဘৱц ①：可᝺本ڡᤰភ௑ᫎ
˞ x 分᧿，ᤰភᠠ用˞ y 元，ѷ
  yA = 0.2x + 10（x≥200）Ὑ
  yB = 0.18x（x≥389）Ὑ
  yC = 0.15x + 6（x≥440）.
k ˞本ڡ˟Էඈ分᧿的ᠠ用，b ˞෥有本ڡᤰភ௑的ᠠ用.
学生ښᆸ定ᒭԫ᧚的ԩϙᔵڊ௑可能͘
᥅҂ڈᬲ，教师要ଢᇨ学生关ฌඈ一套餐中的
ܬฌ.
可能出ဘৱц Ł：੤఻的Ύ用̿᫂
᤭ᤰភ˞˟，ࠫ
ඈ月本ڡᤰភᠠ用ԩ平کϙ̽
КὙ
ݠ౧ੈ̓
᝺本ڡᤰភ平کᠠ用˞ m 元（m ௧ੈ̓
Ϝ᝺的一˔࣢᧚），᫂
᤭ᤰភ௑ᫎ
˞ x 分
᧿，঴ᤰភᠠ用˞ y 元，ѷ
  yA = 0.28x + 10 + m（m≥40）Ὑ
  yB = 0.3x + m（m≥60，x≥34）Ὑ
  yC = 0.3x + 6 + m（x ≥ 
66 - m
0.3
）.
k ᛫ᇨ᫂
᤭ᤰភඈ分᧿的ᠠ用，b ᛫ᇨ᫂
᤭ᤰភ˞ 0 ௑的঴ភᠠ.
学生不一定͘
ਇ҂ં
本ڡᤰភᠠ用ԩ平کϙ̡̽
，受 ① 的ॖ
־，学生ॢ
可能͘
ਇ҂ও
႕本ڡ˟Էৱц，ᤈ௑ᭊ要教师ࠫ
学生ᤉ行্े
的ळ࠮：任͵̡
ښΎ用੤఻௑ᦐ͘
有一定
᧚的本ڡᤰភ，஌ᤪຒਇ҂ Ł ᤈመৱц.
山东教育出版社
ᦐ͘
发ဘ
社
ᦐ͘
发ဘ
ขᤪ一གក，
版社
ขᤪ一གក，
学
出
学ৱ
出
ৱ˷
出版
˷͘
出版͘
有
出版
有不
版
不
不
育
不必
育
必全
育出
全ᦊ
育出
ᦊ๘
出
๘࿩
出
࿩
ᤩग़ԁ可
育出
ᤩग़ԁ可.
育
.
ᓬ
教
ᓬᤉ
教
ᤉ一
教育
一൦
教育
൦ࣟ
教育ࣟ
Ұ
育
Ұ
解
东
解х
东教
х实
东教
实ᬅ
教
ᬅ᫈
教᫈
题
教
题
ᝠ
东
ᝠ解
东
解х
东
х᫈
东教᫈
题
东教
题的
教
的
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山
ү等
山东
等ॠ
山东
ॠ型
山东
型的
东
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东
学
˦
山
˦Ὕ
山
Ὕ”
山
”ੇ
Ҫ
山ੇ
Ҫ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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ᤰ
社
ᤰ
，
社
，ԁ
社
ԁ
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版
کᠠ
版社
ᠠ用
版社
用的
版社
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ηࠫ
঴资ᠠ的
出版社
ηࠫ
঴资ᠠ的
ᒭԫ᧚分ౢ
育出
ᒭԫ᧚分ౢ
课
出
课
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教育
可能
教育
能有
教育
有ᮕ
育
ᮕ᝺
育
᝺ৱ
育
ৱ
能
教
能ৱ
教
ৱц
教育
ц，
教育
，ڊ
教育
ڊፉ
育
ፉ
ᤉ
山
ᤉ程
山东
程，
山东
，感
山东教
感受
东教
受函
东教
函
ᣗݞ
山
ݞ的
山
的Տ
山东
Տ学
山东
学，
东
，߹
东
߹
形式
山
式nj
山
nj数
山
数学
山
学模
山
模
—“ࠫࠫ
ᤈ˔
 
˔᫈᫈
思考，̰̰᫈
 ᫈
题ଢ
ᤰភ௑ᫎ
˞
 
ᤰភ௑ᫎ
˞ x x 分
0）Ὑ
）Ὑ
9
社
9）Ὑ
社
）Ὑ
（
社
（x
社
x≥
社
≥440
社
440）
社 
）
ඈ分᧿的ᠠ用，
版社
ඈ分᧿的ᠠ用，
定
出
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出版
ᒭԫ
出版
ԫ᧚
出版社
᧚的
版社
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版社
ԩϙ
社
ϙ
能
育
能出
育
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育出
ဘৱ
育出
ৱц
育出
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᝺本ڡᤰ
教育ੈ̓
᝺本ڡᤰ
᧿，঴ᤰភᠠ
教育
᧿，঴ᤰភᠠ
山东教育出版社
关
出
关ฌ
出
ฌඈ
出版
ඈ一
出版
一套
出版
套餐
版
餐
ᤰ
教育
ᤰភ
教育
ភᠠ
教育
ᠠ用
育出
用ԩ
育出
ԩ平
出
平
࣢᧚），᫂
᤭
教育
࣢᧚），᫂
᤭
52
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
ᴂҵ学生ፇ合ਫ਼४҂的函数图៶，̰
数和形ː方᭧ҫງࠫ
一次函数的ᝣᅼ.
ፇ合Պᒭ的生活ፃᰎ发᛫˔性ӑ᜺གὙथᝬૉ࠮学生ࠫ
本课的ᆑቃ᣿程ᤉ行Ԧ思nj঴
ፇ，初൦概઺数学थ模的一ᓊ方ข. ̿
࠵组˞ӭͯ
制ͻ课题ઑշ，课题ઑշե̿
下ї方᭧内
ࠔ：ဘ实᫈
题 Ġ 数据ܫ理与分ౢ
 Ġ 发ဘ数学关系 Ġ 数学थ模 Ġ ර解数学模型ࣳ
កͥ
解
的合理性 Ġ ઩࡙
应用.
下᭧௧౽学生的ፇ౧：
ಪ据图៶，े
 x≤300 ௑，ᤥહ套餐 A తѳካὙे
 300< x ≤400 ௑，ᤥહ套餐 B తѳካὙे
 x>400 ௑，ᤥહ套餐 C తѳካ.
ϢʷϢ
ळ࠮学生࠭
੽更ܳ
的ᑀఀ̰
中感ᅼ生活中一次函数模型的应用̿
ԣಪ据函数᛫᣺式ᒭ行
౞ᤵ适合的应用ৱܒ，̿
更ݞڡ实ဘႀਓ义理解҂ᒭ˟थ౞的ᮻᡤ，ଢᰴ学生的应用ਓគ.̩̰
᛫᣺式ᄺ，一次函数ႀːᦊ分组ੇ
，一ᦊ分௧࣢数ᮊ b，ᤈ˔᧚௧不ԫ的᧚，与
ᒭԫ᧚෥关系ὙԳ一ᦊ分௧一次ᮊ kx，߲
和ᒭԫ᧚ੇ
൤උὙ ळ࠮学生解᧖Цʹᑀఀ
中，
“k”“b”ਫ਼̽
᛫的ե义，ࣳ
ፇ合学习ʹᰎҫ̿
分ౢ
njᆑቃnjхኖ，第 2 ˔᫈
题可̿
Ύ学
生ࠫ
一次函数模型的理解Ϣ҂更ງКጺᒱ.
˸ᮥ
႕.
出版社ౢ
社ౢ
Ġ
社
Ġ 发
社
发
౧：
版
౧：
山东
山东教育出版
育出版社
思
社
思nj
社
nj঴
社
঴
ї方᭧内
版社
ї方᭧内
模型ࣳ
កͥ
解
版社
模型ࣳ
កͥ
解
山东
山东教育出版社 
山东
山东
௑，ᤥહ套餐
版社
௑，ᤥહ套餐
<
出
< x 
出
x ≤
出版
≤400
出版
400 ௑，
版
௑，
x
育
x>
育
>400
育出
400 ௑，ᤥ
育出
௑，ᤥ
教
ϢʷϢ
教育
ϢʷϢ
ळ
教
ळ࠮
教
࠮
౞
东
౞ᤵ
东
ᤵ
社            山东教育出
山东教育出版社
数
山东
数模
山东
模型
山东
型的
东教
的应
东教
应用
东教
用
҂
山
҂ᒭ
山
ᒭ˟
山
˟थ
山东
थ౞
山东
౞的
东
的ᮻ
东
ᮻ
ᦊ
山
ᦊ分
山
分௧
山
௧࣢
山
࣢ੇੇ
版社
53
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ኄМቦ
ࣱ
ᛡጳᄊదТ᝽௚
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. ʹ͘
ᤰ᣿合ৱ଎理ଊጊ数学ፇ᝷，ᤂ用໦ፂ଎理ҫ̿
证明的᣿程，ښܳ
መ形式的数
学活ү中，发࡙
合ৱ଎理与໦ፂ଎理的能ҧ. 
2. ᤰ᣿Цʹ实Γ，̀
解定义nj命题nj定理nj଎᝷的ਓ义. 
3. ፇ合Цʹ实Γ，͘
ӝ分命题的౎件和ፇ᝷. 
4. ᅼ᥋证明的ਓ义和证明的必要性，ᅼ᥋证明要合˫᤿ᣤ，ᅼ᥋证明的᣿程可̿
有不
Տ的᛫᣺形式，͘
፬合ข证明的ಫ式. 
5. ̀
解ԦΓ的ͻ用，ᅼ᥋Ѿ用ԦΓ可̿
判ல一˔命题௧ᩲឨ的. 
6. ଂଧ基本的证明方ข. ଂଧࠫ
ᮇ角ᄱ等njՏ角（等角）的͸角ᄱ等njՏ角（等角）的
ᛪ角ᄱ等的性质. 
7. ଂଧ基本事实：ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧Տͯ
角ᄱ等，ᥧ˦ᤈː౎直线平
行. 
8. ଂଧ平行线的性质定理：ː౎平行线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，Տͯ
角ᄱ等. *̀
解平行线
性质定理的证明. 
9. 证明平行线的判定定理：ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧内ᩲ角ᄱ等（ੋ
Տஸ内
角̉
ᛪ），ᥧ˦ᤈː౎直线平行Ὑଊጊࣳ
证明平行线的性质定理：ː౎平行直线ᜂ第三౎
直线ਫ਼੕，内ᩲ角ᄱ等（ੋ
Տஸ内角̉
ᛪ）. 
10. ̀
解平行̆
Տ一౎直线的ː౎直线平行. ̄
nj教ߦ目ಖ
1. 理解证明的必要性和᝺Ꮆ基本事实的必要性，ʹ͘
଎理的ˑ៟性和ፇ᝷的ᆸ定性，
初൦ಞቡ൦൦有据的଎理ਓគ，发࡙
଎理能ҧ. 
2. ᤰ᣿ЦʹΓߕ̀
解定义nj命题nj定理的ե义，͘
ӝ分命题的౎件和ፇ᝷. 
3. ፇ合Цʹ实Γ，能ᤰ᣿ԦΓ判ல一˔Ϝ命题. 
4. 初൦ʹ͘
公理ӑ思ਇ，ࣳ̀
解本套教科书ਫ਼᧔用的基本事实Ὑ᫞឴
有关ǒԔ本Ǔ和
公理ӑ的Ծ实，感受公理ӑ方ขࠫ
数学发࡙
和Ψᤉ̡
ዝ஡明ᤉ൦的价ϙ. 
5. ፃԋࠫ
ᮇ角定理njː直线平行的有关判定定理njː直线平行的有关性质定理nj三角
形内角和定理ԣХ଎᝷等定理的证明᣿程，初൦ଂଧ፬合ข证明的ಫ式Ὑ能Ѿ用ᤈ̏
定理
解хእӭ的᫈
题. 
ʼnj᝺ᝠন᡹
ǒಖюǓښ“图形的性质”中，උᣗܳ
ڡΎ用̀
“ଊጊࣳ
证明”的᛫ᤘ，˷ࡃ
௧要ښ一定的ৱܒ中，ळ࠮学生ώҰࣃ有的ᅼគ和ፃᰎ，ώҰ图形的直᜺，ᤰ᣿୲ͻnj
តᰎ，ᤂ用合ৱ଎理ੋ
图形ᤂү等方ข，ଊጊ发ဘ图形可能Ц有的性质，ᤈ与ӭጦ的ፌ出
山东教育出版社
理的
社
理的
nj命题nj
社
nj命题nj
分命题的౎件和
版社
分命题的౎件和
和证
版
证明
版
明的
版社
的必
版社
必要
版社
要性
社
性
合ข证明的ಫ
出版
合ข证明的ಫ
的ͻ用，ᅼ᥋Ѿ
育出
的ͻ用，ᅼ᥋Ѿ
本的证明方ข
教育出
本的证明方ข
的性质
教育
的性质. 
教育
. 
ଂ
东教
ଂଧ
东教
ଧ基
东教
基本
教
本事
教
事实
教
实
8
山东
8.
山东
. ଂ
山东
ଂଧ
东
ଧ
性质定理
山
性质定理
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
式
社
式的
社
的数
社
数
证
育
证明
育
明的
育出
的᣿
育出
᣿程
育出
程可
出
可
ឨ的
教
ឨ的.
教
.
）的͸角ᄱ等
东教
）的͸角ᄱ等
ݠ
山
ݠ౧
山
౧Տ
山东
Տͯ
山东ͯ
角
东
角
ᜂ第三౎直
 
直线
直线ᜂ第三
 
三౎
ଊጊࣳࣳ
证
 
证明
ஸ内角̉
ᛪ）
 
ஸ内角̉
ᛪ）
౎直线的ː౎直
社 
౎直线的ː౎直
明
出
明的
出版
的必
出版
必要
出版
要性
版
性和
版
和
൦有据的଎理
出版
൦有据的଎理
ᤰ᣿ЦʹΓߕ
育出
ᤰ᣿ЦʹΓߕ
3
教
3.
教
. ፇ合Цʹ实
教育
ፇ合Цʹ实
4
教
4.
教
. 初
教育
初൦
教育
൦ʹ
育
ʹ
公理ӑ的Ծ
东教
公理ӑ的Ծ
5
东
5
形
东
形
山东教育出版社
和
出
和ፇ
出
ፇ᝷
出版
᝷的
出版
的ᆸ
出版
ᆸ定
版
定
的౎件和ፇ᝷
教育出
的౎件和ፇ᝷
的
东
的基
东
基本
东教
本事
东教
事实
东教
实Ὑ
教
Ὑ᫞
教
᫞
ዝ஡明ᤉ൦的
山东教
ዝ஡明ᤉ൦的
定
山
定理
山
理nj
山
njː
山东
ː直
山东
直线
东
线
ଧ
山
ଧ፬
山
፬合
山
合ข
山
ข
54
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
“ࣃᅼnjර证nj证明”的方式ᆑቃ图形性质௧有ӝѿ的. ːᏨᄱඋ，ҒᏨ更ҫ有Ѿ̆
学生ښ
ᖍԩ有关ᅼគ的᣿程中，不லଢᰴᆑቃї͵图形性质的能ҧ，发࡙
ѹ新ਓគ和ѹ新能ҧ. ˞̀
实ဘǒಖюǓ的ᤈ一ਓ图，本套教科书ᤥહ̰̀
“ː᫽段”（ଊጊ᫽段与证明᫽段）᣿
ບ҂合二˞一（᣸ଊጊ᣸证明）的ܫ理方式. ࠫ
“ᄱ̔
线与平行线”和“三角形”的学习
᧔ԩ̀
分ː˔᫽段学习的方式Ὑࠫ̆
“平行四᣸形”“ྲ
൴平行四᣸形”等，᧔ԩଊጊҫ证
明的方式，˷ࡃ௧ळ࠮学生ᤰ᣿᜺ࠣ
nj฾᧚nj୲ͻnj实ᰎ等活үଊቃፇ᝷，Տ௑ࠫ
ᤈ̏
ଊ
ቃ的ፇ᝷ᤉ行ˑಫ的଎理᝷证. ᤈನ的ܫ理方式，初ݽ᫽段，ᤰ᣿᜺ࠣ
nj฾᧚nj୲ͻnj实ᰎ
等ଊጊ活ү，发ဘ有关ፇ᝷Ὑښᤈನ的活ү᣿程中，学生ᤰ᣿̞
ᢶଊቃ活ү，࡙
开合ৱ଎
理，合ৱ଎理能ҧ和ଊቃ发ဘ能ҧ४҂ॢ
ݞ的发࡙
，˟ʹ性˷४҂̀
Ѝ分的发૙Ὑႀ̆
初
ݽ᫽段，重ॷஊښፇ᝷的ଊቃ上，ї͵学习的ឦᝓ
᛫ᤘ等ᬲག४̿
分解，有Ѿ̆
ᬌͰї͵
К᫃
教学的ᬲए，༏发学生的学习Уᡚ. 
本ቦ௧证明的ᡑݽ᫽段，学生ЏҒࣃፃᤰ᣿᜺ࠣ
nj฾᧚nj实ᰎnj୲ͻ等活үଊቃ४҂̀
一̏
ї͵ፇ᝷，学生˷࠽តᤉ行̀
一̏
ᰎ证和ឭ理，基本ᝣ可ᤈ̏
ፇ᝷，ͮ
ඌብ不௧证
明. 本ቦᯫЏ要ᝨ学生明ᆸᝣគ҂，ᤈ̏
ଊቃ的ፇ᝷ᭊ要ҫ̿
证明ὙཀྵՑ明ᆸ证明ᭊ要一
˔ភឦʹ系，˞൥ࡃ有̀
ਫ਼់
的定义nj命题等ὙХ次，证明ᭊ要ᆸ定一̏
出发ག，˞൥，
ᭊ要೛理有关ፇ᝷，ᤥહ౽̏
ፇ᝷ͻ˞证明的出发ག（实ᬅ上ᤈࡃ௧౞थࡍᦊ的公理ʹ
系）Ὑ有̀
ᤈ̏
证明的出发ག，下᭧ᒭཀྵࡃ应Κ次证明一̏
ЏҒଊቃ४҂的定理，ښ证明
᣿程中，初൦ଂଧ证明的要ර和ಫ式，г次ᝣគ҂证明的ˑ៟性，Ϣ҂൦൦有据，发࡙
学
生的଎理能ҧ. 基̆
ᤈನ的考ᘽ，ࡃ有̀
下᭧їᓬ内ࠔ：
第 1 ᓬૉ出定义nj命题的ե义，˞Ց᭧的基本事实nj定理ݖ定基ᆩ. 
第 2 ᓬឭ明“要判ல一˔数学命题௧ա൤ᆸ，̩̩
Κ᭥实ᰎnj᜺ࠣੋॆ
ጪ௧不ܵ
的，
必ᮌ一൦一൦nj有ಪ有据ڡᤉ行଎理”，ूូ
证明的必要性. 
第 3 ᓬૉ出基本事实nj定理的ե义，考ᘽ҂学生的年ᴔྲ
ག，ᤈ᧗෹用̀̿
ड़ੱܸ
公
理ʹ系的Ϣข，˞Ց᭧的证明ݖ定基ᆩ. Տ௑，̮
ፁ̀
ൗї᧗४的ǒԔ本Ǔ. 
第 4 ᓬፌ出̀
平行线的判定的基本事实和定理. 
第 5 ᓬፌ出̀
平行线的性质定理. ࠫ̆
“判定”和“性质”，Զ要ර学生᥅҂Цʹৱ
ц͘
用ࡃ可̿̀
. 
第 6 ᓬࠫ
三角形内角和定理ԣ内角与ܱ
角的关系ᤉ行̀
证明. ᭊ要ूូ
的௧，᣿ԝԶ
௧ᤰ᣿直᜺ੋ
ୠጮ等Цʹ୲ͻᝣគ̀
ᤈ一定理，Ꮻᤈ᧗ѷፌ出̀
ˑಫ证明. Տ௑，第一次ښ
平᭧ї͵中安ଆ̀
不等关系的ܫ理和证明. 
本ቦ௧证明的ᡑݽ᫽段，ڂ൥，උᣗ关ฌࠫ
证明ਓ义的理解和ࠫ
证明᣿程中ಫ式᜻ᔵ
的要ර. ڂ൥，本ቦ的证明题ᦐ要රႇ出ᄱ应的图形，и出Цʹ的ࣃᅼnjර证，ࣳ
˅ښ证明
᣿程中要රฌ明证明的Κ据. ᤈನϢ的ᄬ的௧，࣏
మЩੇ
学生൦൦有据的习ਅ，形ੇ
ˑ៟的
科学গए. े
ཀྵ，ښՑ᭧ї˔ቦᓬ，学生ᤪ൦Щੇ
൦൦有据的习ਅ˨Ց，˷可̿
不гϢᤈನ
的要ර. 
本ቦܳ
数ፇ᝷௧Ғ᭧ࣃፃଊቃ᣿的，े
ཀྵ˷有ᦊ分新的ፇ᝷. ࠫ̆
ࣃፃଊቃ᣿的ፇ
山东教育出版社
᣿
社
᣿᜺
社
᜺ࠣ
社ࠣ
nj
社
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证
版
证. 
版社
. ᤈನ的ܫ理
版社
ᤈನ的ܫ理
ፇ
版
ፇ᝷
版
᝷Ὑ
版
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版社
ښᤈ
版社
ᤈನ
社
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和ଊ
出
ଊቃ
出版
ቃ发
出版
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出版
ဘ能
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版
ҧ
ښ
育
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育出
ፇ᝷
育出
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育出
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ᬲए，༏发学生
育出
ᬲए，༏发学生
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教
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教
௧证
教育
证明
教育
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教育
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育
ᡑݽ
育
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东̏
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东教
ї͵
东教
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东教
ፇ᝷
教
᝷
明.
东
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东
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东教
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东教
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东教
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教
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山
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山东
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山东
ឦʹ
东
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东
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山
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山
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山
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山
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山
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山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
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社
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社
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社
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版
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版社
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版社
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出版
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版社
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出版
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ቃ
育
ቃ活
育出
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育出
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育出
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教育̀
Ѝ
教育
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教育
分的
育
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育
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教
ག४
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教育
分解
教育
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育
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育
有
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山东
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山东
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山东
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东教
实ᰎ
东教
ᰎ
理
山
理，
山
，基
山东
基本
山东
本ᝣ
山东
ᝣ可
东
可
的ፇ᝷
山
᝷ᭊ
山
ᭊ要
山
要ҫ
山
ҫ
题等ὙХ次，证
˞证明的出
 
出发ག
᭧ᒭཀྵࡃ应
 
应Κ次
ಫ式，г次
 
次ᝣ
ᘽ，ࡃ有̀
下
 
ᘽ，ࡃ有̀
下
命题的ե义，˞
社 
命题的ե义，˞
判
社
判ல
社
ல一
社
一˔
社
˔数
社 
数学
有ಪ有据ڡᤉ行
版社
有ಪ有据ڡᤉ行
ૉ
出
ૉ出
出版
出基
出版
基本
出版社
本事
版社
事实
版社
实
Ϣข，˞Ց᭧
出版
Ϣข，˞Ց᭧
第
育
第4
育
4 ᓬፌ出̀
平
育出
ᓬፌ出̀
平
第
教育
第5
教育
5 ᓬ
育
ᓬፌ
育
ፌ出
育
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用ࡃ可̿
教育
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用ࡃ可̿
第
教
第
௧ᤰ
东教
௧ᤰ
平
东
平
山东教育出版社
ጪ
版
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版社
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版社
不ܵ
版社ܵ
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社
，
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出
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出版
用̀
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出版̿
ड़
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版ੱ
Ԕ本Ǔ
育出
Ԕ本Ǔ. 
育出
. 
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性质
教
质”
教
”，
教育
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教育
Զ要
育
要ර
育
ර
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山东
系ᤉ
山东
ᤉ行
山东
行̀
东教̀
证
东教
证明
教
明
Ꮻᤈ᧗ѷፌ出
山东
Ꮻᤈ᧗ѷፌ出
明
山
明ਓ
山
ਓ
55
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
᝷，学习的重ॷᒭཀྵ௧ᤈ̏
ፇ᝷的证明，ͮࠫ̆
ᤈ̏
内ࠔ，教科书˷不௧直ଌնဘ证明，
ड़ड़௧Џळᮗ学生回顾有关ፇ᝷的发ဘ᣿程，࣏
మᤰ᣿回顾发ဘ᣿程，ळ发证明的思路. ࠫ̆
新的ፇ᝷，教科书ܳ
௧Џळᮗ学生ᤰ᣿活ү发ဘፇ᝷，ᤉᏫѾ用Ғ᭧的定理ᤉ行证明. ঴
˨，教科书᝺ᝠ中，ᬔ̀
关ฌ学生证明᣿程ܱ
，˷关ฌ证明思路的发ဘ᣿程和ፇ᝷的发ဘ
᣿程. 
ᭊ要ឭ明的௧：
“ː直线平行，Տͯ
角ᄱ等”ࣳ
不௧基本事实，ڂ൥要රፌ́
证明. ͮ
ᤈ˔证明ᄱࠫ
උ
ᣗ复ా
，᧔用̀
Ԧ证ข，ڂ൥，ોི
ǒಖюǓ的要ර，教科书࠲Хͻ˞ᤥ学内ࠔ. Տನ，Ԧ
证ข，ᙊཀྵ௧ǒಖюǓ中要ර̀
解的内ࠔ，ͮ
本ቦ学习中̩
有ᤈ˔ᤥ学内ࠔ๘ԣԦ证ข，
ڂ൥，थᝬ本ቦ不要ӭ࿘ᝧ᝷Ԧ证ข，ಪ据本套教科书的டʹ᝺ᝠ，Ԧ证ข࠲ښՑ᭧ᤉ行
˄᫃
ᆑቃ. 
公理ӑʹ系的证明重要Κ据˨一௧公理，ႀ̆
ᅼគ的ࡍ限和ᝣᅼ程ए的ॖ
־，本套教
科书෥有Ύ用ൗඝї͵ʹ系中的公理，Ꮻ௧ಪ据ǒಖюǓᤥહ̀
˵౎基本事实ͻ˞公ᝣ的
事实，不ҫ̿
证明，直ଌϢ˞证明的Κ据，ሦ˨˞基本事实. 
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
1 定义与命题 
 
 
 
 
 
 
 
    2 课௑
2 证明的必要性   
 
 
 
 
 
 
    1 课௑
3 基本事实与定理  
 
 
 
 
 
 
    1 课௑
4 平行线的判定定理  
 
 
 
 
 
 
    1 课௑
5 平行线的性质定理  
 
 
 
 
 
 
    1 课௑
6 三角形内角和定理  
 
 
 
 
 
 
    3 课௑
   回顾与思考  
 
 
 
 
 
 
 
    2 课௑̋
nj教ߦथᝬ
1. 关ฌࠫ
证明必要性的理解和证明ਓគ的थቡ. 
要ᝨ学生ᅼ᥋数学ᭊ要证明，数学˨ܱ
的Х̵
事ྭ
，˷应សᤝቃХᎆႀnj᫈
˔˞̤
˦Ὑʹ͘
公理ӑ方ขښ数学和̡
ዝ஡明中的ͻ用. 证明的必要性，不̩
要̰
ї͵的角एፌ́
ᝣគ，ᤇ要̰̽
数ၵᒰХ̵
学科nj实ᬅ生活等角एҫ̿
ᝣគ. ᝨ学生ᝣគ҂，ឭភҩ事要有
ಪ有据. ࠫ̆
࿯฾nj实ᰎnj୲ͻ等४҂的ፇ᝷一定要ፌ́
证明. 
2. Ъ顾ଊጊ与证明，发࡙
学生଎理能ҧ. 
଎理能ҧ的发࡙
应᠖ቈ̆
ட˔数学学习᣿程中，本ᓬ开ݽ࠲ᅌ重ଢᰴ学生的໦ፂ଎理
能ҧ，ͮࣳ
不ਓ֊ᅌ不要关ฌ合ৱ଎理. ښ解х᫈
题的᣿程中，ːመ଎理的Ҫ能不Տ，ᄱᣙ
ᄱੇ
Ὑ合ৱ଎理用̆
ଊጊ思路，发ဘፇ᝷Ὑ໦ፂ଎理用̆
证明ፇ᝷. 教学中要关ฌᤈːመ能
ҧ的发࡙
. ڂ൥，ښ关ฌ证明的Տ௑，˷应ࡊ可能ѹ᝺ଊቃ活үnj实᡻୲ͻ活ү，ښ活ү中
发࡙
学生的ଊቃ能ҧ. 
山东教育出版社
ᄱ等”ࣳ
不௧基
版社
ᄱ等”ࣳ
不௧基
ڂ൥，ોི
ǒ
版社
ڂ൥，ોི
ǒ
Ǔ
出
Ǔ中
出
中要
出版
要ර
出版
ර̀
出版̀
解
版
解
要
育
要ӭ
育出
ӭ࿘
育出
࿘ᝧ
出
ᝧ᝷
出
᝷Ԧ
出
Ԧ
ӑ
教
ӑʹ
教
ʹ系
教育
系的
教育
的证
教育
证明
育
明重
育
重
有
东
有Ύ
东教
Ύ用
东教
用ൗ
东教
ൗඝ
教
ඝї
教
ї
实，不ҫ̿
证
东教
实，不ҫ̿
证
پnjិ
௑
山
پnjិ
௑
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
঴
社
঴
发
社
发ဘ
社
ဘ
ᤈ˔证明ᄱࠫ
出版
ᤈ˔证明ᄱࠫ
ᤥ学内ࠔ
育出
ᤥ学内ࠔ. 
出
. Տನ
出
Տನ
ᤥ
教育
ᤥ学
教育
学内
教育
内ࠔ
育
ࠔ๘
育
๘ԣ
育
ԣ
᝺
教
᝺ᝠ
教
ᝠ，
教
，Ԧ
教育
Ԧ证
教育
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育
ข࠲
育
࠲
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山
的ࡍ
山东
ࡍ限
山东
限和
东教
和ᝣ
东教
ᝣᅼ
东教
ᅼ
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山
ಖю
山
юǓ
山
Ǔᤥ
山东
ᤥહ
山东
હ̀
东̀
˵
东
˵
˞基本事实
山
˞基本事实.
山
.
社
定理
社
定理
社
和定理
版社
和定理
版社
思考
出版
思考
出版
ߦथᝬ
育出
ߦथᝬ
1
教
1. 
教
. 关ฌࠫ
证明
教育
关ฌࠫ
证明
要
教育
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教育
ᝨ学
教育
学生
育
生
˦Ὑʹ͘
公
东教
˦Ὑʹ͘
公
ᝣគ，
东教
ᝣគ，
ಪ有
东
ಪ有
山东教育出版社
课
社
课
1
社
1 课௑
社
课௑
版社
1
版社
1 课௑
版社
课௑
版
3
版社
3 课௑
版社
课௑
版
2
版
2
，
东
，˷
东教
˷应
东教
应ស
东教
សᤝ
教
ᤝቃ
教
ቃ
的必要性，不
山东教
的必要性，不
ҫ̿
ᝣគ
山东
ҫ̿
ᝣគ.
东
. ᝨ
东
ᝨ
要ፌ́
证明
山
要ፌ́
证明
56
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
本ቦਫ਼๘ԣ的᝵ܳ
ፇ᝷ᦐ௧学生ਫ਼ྀ
৙的，教学௑不能Զ௧እӭڡ证明᣿ԝਫ਼发ဘ的
ፇ᝷，ᒱΎ学生̗
生Ԏདৱ፜. 课۶上可̿
ᤥહХ中ᦊ分ፇ᝷ͻ˞ᇨᔵҫ̿
证明，Х̵
ፇ᝷
可̿
ᝨ学生ᒭࣂ证明. ࠫ̆
本ቦ中新的ᅼគ，要ळ࠮学生Џᤉ行ଊጊ，̰
ଊጊ的᣿程中੽҂
证明的思路和᣿程. ࠫ
学生学习中出ဘ的ܳ
መ思路和方ข，应ស́̿
Ѝ分ᐰ定，ࣳ
ښ全ʹՏ
学中̔ื
和࡙
ᇨ，ΎХ˔性४̿
张ੴ和Ϥक发࡙
. 
3. 关ฌ证明的Κ据和᜻ᔵ性. 
ႀ̆
本ቦ的ܳ
数ፇ᝷学生ЏҒࣃፃଊቃ᣿，ڂ൥，ښ证明᣿程中ᬲВ出ဘ一̏
॰ဗ᝷
证的ဘ៶. 教学中要ฌਓळ࠮学生ӝ分哪̏
ፇ᝷可̿
ͻ˞证明的Κ据，哪̏
ፇ᝷不可̿
ͻ˞
证明的Κ据. ଢᧈ学生，Զ要ͻ˞证明出发ག的基本事实和Ғ᭧ࣃፃ证明᣿的ፇ᝷੦能ͻ˞
证明的Κ据. े
ཀྵ，॰ဗ᝷证，˷Զ௧本ቦ学习᣿程中的一˔᫽段性ဘ៶，ښ下᭧三角形证
明学习߹˨Ց，ਫ਼有Ғ᭧ࣃፃ४҂的ፇ᝷ᦐ可̿
ͻ˞证明的Κ据，҂˵年级ї͵学习ፇౌ
Ց，全套书中ਫ਼有的ᳬʹ字的ፇ᝷ᦐ可̿
ͻ˞证明的Κ据，ᤈನ的ဘ៶ࡃ可ᥘВ̀
. ڂ൥，
学生出ဘ̀
॰ဗ᝷证的ৱц，ҫ̿
ळ࠮ԁ可，˷不用᣿̆
ઞॷ，更不要ፌ学生᣿ܸ
的ԍ
ҧ，ᥘВڂԍҧ᣿ܸ
ᤵੇ
学生Уᡚ的ืܿ
. 
ႀ̆
学生௧第一次学习证明，Ꮵ师要ώҰ᜻ᔵ的౜书ᤉ行ᇨᔵ，ҧරϢ҂൦൦有据. ͮ
˷൤ႀ̆
学生௧第一次学习证明，学生的证明不᜻ᔵ的ဘ៶˷ᬲВ，ڂ൥，教师要Њ᝵学
生࠶有௑໕，不要రᄳ一次҂ͯ
. 
4. юᆸ定ͯ
教学要ර，ฌਓ଍制题ᄬᬲए. 
ႀ̆
本ቦ௧证明的ᡑݽ᫽段，重ག௧理解证明的必要性nj初൦ଂଧ፬合ข证明的൦ᰡ
和ಫ式，ڂ൥，教ె
中有关ፇ᝷的证明᣿程ᦐ不复ా
，ᤥԩ的Γ题和习题ᦐ不ᬲ，教学中
ฌਓ଍制ᬲए，不ࠂᛪЍᬲए᣿ᰴnj଎理൦ᰡ᣿ܳ
的题ᄬ. 
Оnjក͉
थᝬ
1. 关ฌ˔ʹࣀप，实ஷ༏ҵ性ក价. 
ក价的ᄬ的௧˞̀
学生的发࡙
. ក价应សͻ˞ં
ඵ̰
Ͱܫଢ҂ᰴܫ的“ඵด”，Ꮻࣳ
᭤
Զ௧ၮѿ͖
Ү的“ኙߕ”. ڂ൥，ក价的ಖю不能׭一，ក价要关ฌ学生的˔ʹࣀप，实ஷ
༏ҵ性ក价. ݠ，有的学生可能ॢ
ঌࡃ学̀͘
᜻ᔵ的证明ಫ式，ͮ
可能有ᦊ分学生的᛫᣺不
ၵ᜻ᔵ，应Њ᝵学生有ᤈನ的ࣀप，应ᤰ᣿༏ҵ性的ក价，ΨᤉՑᤉ的学生ࡊঌ᣺ੇ
ᄬಖ. ࠫ̆
学有͸ҧ的学生，可̿
适े
ଢᰴ要ර，ᤰ᣿ଢᰴ要රΨᤉᤈᦊ分学生更ݞ的发࡙
，ݠ
可̿
要රᤈᦊ分学生࠽តᤉ行一题ܳ
解nj一题ܳ
ԫ的ᝫጷ. 
2. 关ฌក价˟ʹ，实ஷܳ
元ក价. 
学生௧学习的˟ʹ，实ᬅ上˷௧ក价的˟ʹ. ڂ൥，可̿
发૙学生ښក价᣿程中的˟ʹ
性. ݠࠫ̆
Цʹ命题的证明njͻˊ的੻ஈ，可̿
᧔用̉
ក的方式. ښ̉
ក和ᄱ̉
解᧖njᄱ̉
ᝯ解中，ښ证明思路的发ဘnj证明ಫ式的᜻ᔵnjឦᝓ
᛫᣺的እฝ等方᭧，Ψᤉ学生˨ᫎ
的
СՏଢᰴ. 
山东教育出版社
性
社
性. 
社
. 
学
版
学生
版社
生Џ
版社
ЏҒ
版社
Ғࣃ
社
ࣃፃ
社
ፃଊ
社
ଊ
ਓळ࠮学生ӝ分
版社
ਓळ࠮学生ӝ分
生，Զ要ͻ˞
出版
生，Զ要ͻ˞
ཀྵ，॰ဗ᝷证，
育出
ཀྵ，॰ဗ᝷证，
Ց
育
Ց，
育
，ਫ਼
育
ਫ਼有
育出
有Ғ
育出
Ғ᭧
育出
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教育
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东
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57
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
3. 关ฌ活ү᣿程，ҫू
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学生活ү᣿程的ក价. ฌ重考ಊ学生证明ਓគ的थ
ቡ和ᤂ用᣿程，考ಊ̵̓
௧աሥౝڡ࿘ቡ思考njሥౝڡ参与合ͻ，能աᮋѾڡᖍԩ解х᫈
题的思路nj解х᫈
题᣿程中能ա˟ү࠭
රܳ
ನ的方ขnj解х᫈
题˨Ց௧աЦ有Ԧ思的习ਅ
和能ҧ. 
4. 关ฌࠫ
ፇ᝷的理解ඵ平和应用能ҧ的ក价. ࠫ̆
Цʹፇ᝷的ក价，应សฌਓં
ଧ实质，ᥘВ形式的ᝮॺ和౎஡的ᑀឮ，Ꮻ应考ಊ
学生௧ա൤ᆸ理解̀
ᤈ˔ፇ᝷的౎件njፇ᝷njΎ用ᔵڊ，能աᤂ用ᤈ˔ፇ᝷解хእӭ的᫈
题等. 
山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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山东教育出版社
 
58
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

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ᤰ᣿᜺ࠣ
njए᧚nj࿯฾४҂ᄊፇ᝷ᦐ௧൤ᆸᄊՙὝݠ౧ˀ௧Ὂᥧ˦ၹ̤
˦
வขឭ௚ʷ˔ፇ᝷ᄊ൤ᆸভքὝ
ಪ૶þՏͯ
ᝈᄱ኎Ὂːᄰጳࣱ
ᛡÿþ᣿ᄰጳܱ
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౎ᄰጳࣱ
ᛡÿὊͿᤇᑟ४҂דྀ̏
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ᦐ௧൤ᆸᄊՙὝ
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࠲ʷᡑߦ˸ݠ͵ಪ૶ʷ̏
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ፇ᝷ᄊ᣿ሮὊࣳ
࠲ࠫ
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ᤉᛡᆑቃ.  Տ௑Ὂੈ̓
ᤇ࠲ଊᝧʼᝈॎᄊЯᝈˁܱ
ᝈᄊТጇ.
第一段஡字ਓښळᡑ学生
思考：᜺ࠣ
njए᧚nj࿯฾४҂
的ፇ౧ళ必൤ᆸ，̰
Ꮻᝣគ证
明的必要性. ܸ
ಞ的ا义௧：数学࿇ݠ
一ಥಪງՁᔴnj生生不ৌ的ܸ
ಞ. Цʹ҂本ቦ，ਓښळ࠮学
生ᝣគ定义和公理ܫܸ̆
ಞ的
ಪᦊ，௧证明的基ᆩὙ定理nj
଎᝷等ښܸ
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
59
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˦ὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.

ࠀ˧ˁ֑ᮥ
ڏ .
þదː౎᣸ᄱ኎ᄊʼᝈॎԷϢ኎ᒉʼᝈॎ.ÿᤈʷእᆁᄊឦԲ௅ឭ௚̀
኎ᒉ
ʼᝈॎ௧ʼᝈॎᄊʷዝὊԡૉѣ̀
኎ᒉʼᝈॎӝѿ̆
Х̵
ʼᝈॎᄊవ᠏ྲ
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ԷϢ኎ᒉʼᝈॎᄊࠀ˧.
ʷ ᓊڡ Ὂၹ౏ឭ௚ʷ ˔ Ր ឈੋ
Ꮸʷ ˔ షឦᄊਓ˧ ᄊឦԲ Է Ϣ ࠀ˧
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ᝬʷᝬ
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ͻၹՙὝˁՏͧ
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ᄰᝈᏫ࠵ࣱ̆
ᝈᄊᝈԷϢ᧽ᝈ.ÿ
ᤈ˔ࠀ˧᜻ࠀ̀
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ᄰᝈᏫ࠵ࣱ̆
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ͻ˞᧽ᝈᄊʷመѼࠀவขúúј௧ܸ̆
ᄰᝈᏫ࠵ࣱ̆
ᝈᄊᝈᦐԻþѼࠀÿ˞᧽ᝈὊԡԻ̿
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ᄰᝈᏫ࠵ࣱ̆
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.  ΓݠὊ
὆὇ݠ౧ a!>!bὊᥧ˦ a!,!c!>!b!,!cὙ
1   定义与命题

教ߦ目ಖ὘
1. ̀
解定义nj命题的ե
义，͘
ӝ分命题的౎件（题
᝺）和ፇ᝷，͘ં
命题ஈиੇ
“ݠ౧ᥧ˦”的形式. 
2. ̀
解ᄾ命题njϜ命题的
ե义，能ᤰ᣿ЦʹΓߕ理解Ԧ
Γ的ͻ用，ᅼ᥋Ѿ用ԦΓ可̿
ឭ明（证明）一˔命题௧Ϝ命
题.
3. ࠲一˔命题分解˞“౎
件”和“ፇ᝷”ːᦊ分，௅௧
本ᓬ的重ག，˷௧ᬲག. 
ό1ύᤈ˔᫈
题˟要௧ळᡑ学
生ฌਓ：ښ数学学习中ੈ̓͘
᥅҂᝵ܳ
概ঐ，Ϝݠ不ࠫ
ᤈ̏
概ঐ下定义，ѿ̡
ࡃ௄ข理解
ᤈ̏
概ঐ，̿
ᒱ௄ขᤉ行൤࣢
的̔ื
. Գܱ
，要ᤉ行ˑಫ的᝷
证，˷必ᮌᯫЏࠫ
ਫ਼๘ԣ的概
ঐ下定义. 
ό1ύ
ό2ύ
ᝬʷᝬ
ᝨ学生回ॺ一̏
概ঐ的定义，一方᭧复习̀
有关内ࠔ，Գ一方᭧Ύ学生初൦̀
解ፌ数学概ঐ下
定义的方ข. 
ό2ύᤈ᧗̿
Ғ᭧学᣿的内ࠔ˞Γ，ឭ明̤
˦௧命题，̤
˦不௧命题. 要ර学生理解命题的ե义. ࠫ̆
命题的定义，要અͱ“判ல”和“ឦԲ”ᤈːག. 判லࡃ௧ࠫ
思፥ࠫ
៶有ਫ਼ᐰ定ੋ
有ਫ਼ա
定的思፥形式. 命题௧᛫᣺判ல的ឦԲ，ڂ൥命题必ᮌᐰ定一件事ྭ
௧̤
˦ੋ
Ꮸ不௧̤
˦. Γݠ，
“ݠ౧Տͯ
角ᄱ等，ᥧ˦ː直线平行”௧命题，“ݠ౧Տͯ
角不等，ᥧ˦ː直线不平行”˷௧命
题. ͮࣳ
不௧ਫ਼有的ឦԲᦐ௧命题，ݠႡ᫈
Բࡃ不௧命题. 要ӝ分̤
˦௧命题，̤
˦不௧命题，可̿
ፇ合教科书中的ЦʹΓߕͻ̏
ឭ明，ᝨ学生̀
解ࡃ可̿̀
，不必ງቃ. 
山东教育出版社
版社
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ឭ௚ʷ ˔ Ր ឈ
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版社
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山东
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山东教育出版社
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60
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第八章 平行线的有关证明
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1. ႕. 
2. ႕. 
˸ᮥ

1.（1）ݠ౧直线 ABľ线段 
CD，ࣳ
˅ AB ̔
 CD ̆
ག E，˅ CE = DE，
ᥧ˦直线 AB ࡃ௧线段 
CD 的垂直平分线. 
（2）ݠ౧直线 AB ௧线段 CD
的垂直平分线，ᥧ˦：
① ABľCDὙ Ł AB 平
分 CD. 
2.（1）（2）（4）（6）௧命题. 
山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
61
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὆B὇ݠ౧ a!>!bὊᥧ˦ a!>!bὙ
὆C὇ݠ౧ʷ˔ʼᝈॎ௧኎ᒉʼᝈॎὊᥧ˦ᤈ˔ʼᝈॎᄊː˔अᝈᄱ኎Ὑ
὆D὇ݠ౧ː˔ʼᝈॎ˗దː᣸֗
ʷ˔ᝈѬѿᄱ኎Ὂᥧ˦ᤈː˔ʼᝈॎЛ኎Ὑ
὆E὇ݠ౧ː˔ᝈ௧ЯᩲᝈὊᥧ˦߲̓
ᄱ኎.  
὆὇Ϳԧဘᤈ֑̏ᮥ
ᄊፇ౞ద̤
˦СՏྲ
ढ़ὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
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὆὇ᤈ֑̏ᮥ
˗Ὂד֑̏ᮥ
௧൤ᆸᄊὝד֑̏ᮥ
௧ˀ൤ᆸᄊὝ֑ᮥ
ᤰ࣢ႀ౎͈
὆condition὇֗
ፇ᝷὆conclusion὇ːᦊѬጸੇ
.  ౎͈
௧ࣃ
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ᮊὊፇ᝷௧ႀࣃᅼ̃
ᮊ଎லѣᄊ̃
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ښʽ᭧ᄊ֑ᮥ
˗Ὂ὆A὇Ὂ὆B὇Ὂ὆C὇ᦐ௧൤ᆸᄊ.  ൤ᆸᄊ֑ᮥ
ԷϢᄾ֑ᮥ
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ቡ.  ֑ᮥ
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ቡ.  
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ឭ௚ᤈʷ֑ᮥ
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ᝬʷᝬ
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὆὇᭧ሥᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎Ὑ
1   定义与命题

ᝬʷᝬ
ᤈ᧗ፌ出的五˔命题中，
（A
）（B ）（C ）௧ᄾ命题，
（D ）（E ）௧Ϝ命题. ൥ܫ的教
学重ག௧ᝨ学生અͱፇ౞ྲ
ढ़
“ݠ౧ᥧ˦”，ᤉᏫ
概઺४出：命题ᦐ௧ႀ౎件和
ፇ᝷ːᦊ分组ੇ
的，౎件ࡃ௧
ࣃፃᅼ᥋的事ᮊ，ፇ᝷ࡃ௧ႀ
ࣃፃᅼ᥋的事ᮊ଎ல出的事ᮊ. 
教学௑，应˟要ᝨ学生ᤰ
᣿ࠫ
ਫ਼ፌΓߕ的学习，ᤪ൦感ৢ
njʹ͘
命题的ե义和ፇ౞，
不要ᝨ学生఻೚ᝮॺ. 
ό1ύښԬᤘ命题௑，ᬔ“ݠ
౧ᥧ˦”ᤈመЍ分౎
件的Ϝᝓ
判ல形式ܱ
，ᤇ有ᄵ
႕ᤌଌឈ的እӭ判ல形式. 要ळ
࠮学生ᤪ൦ྀ
৙命题Ԭᤘ的ᤈ
ːመ形式. ښӝ分一˔እӭ判ல
的౎件和ፇ᝷௑，学生可能͘
出ဘڈᬲ. ˞൥，要ં
እӭ判ல
൤ᆸڡஈиੇ
“ݠ౧ᥧ˦
”的形式. ஈи௑，Զ要ю
ό1ύ
ό2ύ
ό3ύ
ᆸԁ௑，不必ूូ
ፒ一. 教学௑，可ፇ合ࣃ学᣿的命题ࠫ
学生ᤉ行ᝫጷ. 
ό2ύڂ˞判ல有൤ᆸ和ᩲឨːመ，ਫ਼̿
命题ᄱ应ڡ有ᄾ命题和Ϝ命题˨分. 学生ࣃྀ
৙̀ॢܳ
ᄾ
命题，ͮࠫ
Ϝ命题ᤈ一概ঐԂ௧初次ଌᝏ. 教学௑，తݞ能ፇ合ᄾ命题和Ϝ命题的Γߕིࠫ
ᝯ解. 要ूូ
ឭ明ᄾ命题ښ౎件Цܬ௑，ፇ᝷௄一Γܱ
ڡੇ
ቡ. ᏫϜ命题ښ౎件Цܬ௑，ፇ᝷Ԃ不能δ证঴
௧ੇ
ቡ. 应շង学生，数学中ႀ̆
Ϝ命题的ߛښ，ਫ਼̿ࠫ
命题的证明ࡃ௧ӡ分必要的̀
. 
ό3ύࠫ̆
Γ题中判லᄾ命题和Ϝ命题的方ข，应ᝨ学生Ѝ分᛫᣺，ᤉᏫळ࠮学生ʹ͘
：要ឭ明
一˔命题௧Ϝ命题，ᤰ࣢ˡ出一˔ԦΓࡃ可̿̀
. Տ௑，与Ғ᭧的内ࠔᄱ֐应：要ឭ明一˔命题௧
൤ᆸ的，௄᝷ᰎ证ܳ
࠶˔ྲ
൴的Γߕ，˷௄ขδ证命题的൤ᆸ性. 
山东教育出版社
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社
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ढ़ὝˁՏͧ
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版社ྲ
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版社
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ᮊ
育出
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教育
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东教֑ᮥ
˗Ὂ὆
东教
὆A
东教
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὇Ὂ
教
Ὂ὆
教
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东
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东
t὇
东教
὇. 
东
. ࠫ̆
东教ࠫ̆֗
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山֗
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山
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山东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山
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ΓߕὊΎ˨Цܬ
 
ΓߕὊΎ˨Цܬ
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版社
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出版
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ᦐ௧
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ႀ
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ːᦊ
教育
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教育
分组
育出
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育出ੇ
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教育
ᅼ᥋
教育
᥋的
教育
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育
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东教
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教
东教
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山东
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山东教育出版社
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社
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形式
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式
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东教
行ᝫጷ.
东教
.
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山
有ᄾ
山
ᄾ命
山东
命题
山东
题和
山东
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东
Ϝ命
东
命
ݞ
山
ݞ能
山
能ፇ
山
ፇ合
山
合ᄾ
山
ᄾ
命
山
命
 
62
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
὆὇Տᝈᄊᛪᝈᄱ኎Ὑ
὆὇ːᝈѬѿᄱ኎˅Х˗ʷጸ኎ᝈᄊࠫ
᣸ᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎.  
ᝍ὘὆὇Џં
ᤈ˔֑ᮥ
иੇ
þݠ౧ĀĀᥧ˦ĀĀÿᄊॎर὘ݠ౧ː˔ʼᝈ
ॎᄊ᭧ሥᄱ኎Ὂᥧ˦ᤈː˔ʼᝈॎЛ኎.  
౎͈
὘ː˔ʼᝈॎᄊ᭧ሥᄱ኎Ὑ
ፇ᝷὘ᤈː˔ʼᝈॎЛ኎.  ߲
௧Ϝ֑ᮥ
.  
὆὇Ԕ֑ᮥ
Ի̿
иੇ
὘ݠ౧ː˔ᝈ௧Տʷ˔ᝈᄊᛪᝈὊᥧ˦ᤈː˔ᝈᄱ኎.  
౎͈
὘ː˔ᝈ௧Տʷ˔ᝈᄊᛪᝈὙ
ፇ᝷὘ᤈː˔ᝈᄱ኎.  ߲
௧ᄾ֑ᮥ
.  
὆὇Ԕ֑ᮥ
Ի̿
иੇ
὘ݠ౧ː˔ʼᝈॎదːᝈѬѿᄱ኎˅Х˗ʷጸ኎ᝈᄊࠫ
᣸ᄱ኎Ὂᥧ˦ᤈː˔ʼᝈॎЛ኎.  
౎͈
὘ː˔ʼᝈॎదːᝈѬѿᄱ኎˅Х˗ʷጸ኎ᝈᄊࠫ
᣸ᄱ኎Ὑ
ፇ᝷὘ᤈː˔ʼᝈॎЛ኎.  ߲
௧ᄾ֑ᮥ
.  
ᬤ۶ጷ˸
1. ࠲ʾѵ֑ᮥ
иੇ
þݠ౧ĀĀᥧ˦ĀĀÿᄊॎरὊѬѿឭѣ߲
ᄊ౎͈֗
ፇ᝷Ὂࣳ
ૉѣ߲
௧ᄾ֑ᮥ
ᤇ௧Ϝ֑ᮥ
὘
὆὇ښՏʷࣱ
᭧ЯὊۇᄰ̆
Տʷᄰጳᄊː౎ᄰጳࣱ
ᛡὙ
὆὇ː˔ᩩ
ᝈᄊ֗
௧᧽ᝈὙ
὆὇ՏஸЯᝈ̉
ᛪὊːᄰጳࣱ
ᛡὙ
὆὇᠇஝࠵̆
.  
2. ʾѵ֑ᮥ
˗ד̏
௧Ϝ֑ᮥ
Ὕ˞̤
˦Ὕ
὆὇ݠ౧ x!.!
 !>!!.!x
 Ὂᥧ˦ x!>!Ὑ
὆὇Պ᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ܳ
᣸ॎʷࠀЛ኎Ὑ
὆὇ݠ౧ aĹὊbĹὊᥧ˦ a!,!ab!,!b!>὆a!,!b὇ .

第八章 平行线的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1.（1）ݠ౧Տ一平᭧内的ː౎
直线垂直̆
Տ一直线，
ᥧ˦ᤈː౎直线平行.
              ᄾ命题. 
（2）ݠ౧ː˔角௧ᩩ
角，ᥧ
˦߲̓
的和௧᧽角. 
          
 Ϝ命题. 
（3）ː౎直线ᜂ第三౎直线
ਫ਼੕，ݠ౧Տஸ内角̉
ᛪ，ᥧ˦ᤈː౎直线平
行. 
          
 ᄾ命题. 
（4）ݠ౧一˔数௧᠇数，ᥧ
˦ᤈ˔数࠵̆
0. 
          
 ᄾ命题. 
2. （1）Ϝ命题. 方程 
x - 5
2
 = 
3 - x
3
 的解不௧ x = 4.
    （2）Ϝ命题. ᣸᫂
˞ 1 的൤方形和有一˔角௧ 60c的᣸᫂
˞ 1 的ᖦ形不全等.
    （3）Ϝ命题. े
 a = b = 1 ௑，a
2 + ab + b
2 = 3，Ꮻ（a+b）
2 = 4.
山东教育出版社
版社
὆
社
὆
౎͈
社
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Տ
教
Տ一
教育
一平
教育
平᭧
教育
᭧内
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内的
育
的
直
东
直线
东教
线垂
东教
垂直
东教育
直̆
教育̆
Տ
教育
Տ
ᥧ˦ᤈː౎
东教
ᥧ˦ᤈː౎
山东
ᄾ命题
山东
ᄾ命题
（
山
（2
山
2）
山
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山东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
ᛪᝈὊᥧ˦ᤈː˔
出版社
ᛪᝈὊᥧ˦ᤈː˔
ʼᝈॎదːᝈѬѿ
教育
ʼᝈॎదːᝈѬѿ
኎
东
኎.  
东教
.  
Ѭѿᄱ኎˅Х˗
东教
Ѭѿᄱ኎˅Х˗
Л኎
山东
Л኎.  
山东
.  
۶ጷ˸
۶ጷ˸
࠲ʾѵ֑ᮥ
иੇ
þ
 
࠲ʾѵ֑ᮥ
иੇ
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௧ᄾ֑ᮥ
ᤇ௧
 ߲
௧ᄾ֑ᮥ
ᤇ௧
὆὇ښՏʷ
 
὇ښՏʷ
὆὇ː
὇ː
὆̉
社̉
直
社
直线
社
线平
社
平
˔
出
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出版
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出版
௧᠇
出版
᠇数
版
数
ᤈ˔数࠵̆
育出
ᤈ˔数࠵̆
0
出
0
ᄾ命题
教育出
ᄾ命题.
育
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东
2.
东
. （
东教
（1
东教
1）Ϝ命题
东教育
）Ϝ命题
山东
（
东
（2
东
2）
东
）
山
（
东
（
山东教育出版社
教育
,!
出
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出
b὇
出
὇
出
.
出
.
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的᣸᫂
˞
山东
᣸᫂
˞ 1
东
1 的
东
的
（
山
（a+b
山
a+b）
山
）
2
山
2
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
63
˸ᮥ


஝ߦေᝍ
1. Ѭѿૉѣʾѵ֑ᮥ
ᄊ౎͈֗
ፇ᝷Ὂࣳ
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௧ᄾ֑ᮥ
ᤇ௧Ϝ֑ᮥ
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὆὇ݠ౧ː˔ʼᝈॎᄊː᣸ԣХ݃
ᝈѬѿᄱ኎Ὂᥧ˦ᤈː˔ʼᝈॎЛ኎Ὑ
὆὇ᄰᝈʼᝈॎᄊː˔ᩩ
ᝈ̉
͸Ὑ
὆὇ːᄰጳࣱ
ᛡὊՏͯ
ᝈᄱ኎.  
2. ૉѣʾѵ֑ᮥ
௧ᄾ֑ᮥ
ᤇ௧Ϝ֑ᮥ
.  ݠ౧௧Ϝ֑ᮥ
Ὂˡѣʷ˔ԦΓ.  
὆὇ݠ౧ a ˞ࠄ஝Ὂᥧ˦ȘaȘ?!Ὑ
὆὇ʷ˔ʼᝈॎ˗ᒰ࠶దː˔ᩩ
ᝈὙ
὆὇ݠ౧įα ˁįβ ̉
͸Ὂįβ ˁįγ ̉
͸Ὂᥧ˦įα ˁįγ ˷̉
͸.  

᝽௚ᄊॹ᜶ভ
࠵௚͊
ਓႇ̀
ї˔ʼᝈॎὊၹ᧚ᝈ٨Ѭѿ฾᧚ՊʼᝈॎЯᝈᄊए஝ὊཀྵՑં
ʼ˔ᝈएҫᡑ౏Ὂԧဘඈ˔ʼᝈॎᄊЯᝈᄊ֗
ᦐ௧ Ń.  ̆
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˔ʷᓊভᄊፇ᝷὘ʼᝈॎʼ˔Яᝈᄊ֗
኎̆
 Ń.  
࠵ᮣࠫ
࠵௚ᄊϢขଢѣ̀
पᝬ὘Ϳট˦ᅼ᥋Ϳᄊፇ᝷ʷࠀԻ᭥քὝʼᝈॎ
ద௄஝ܳ
˔ὊͿ੦฾᧚̀
ї˔ʼᝈॎὝԁΎ฾᧚їӢ˔njїʺ˔Ὂ˷Զ௧ॢ
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ᤈॢ
࠵ʷᦊѬᄊভ᠏
଎ѣਫ਼దʼᝈॎᄊভ᠏
քὝгឭὊͿ
ᄊ฾᧚ˀԻᑟ෥దឨࣀὊͿট˦ᑟᆸࠀʼᝈॎᄊЯᝈ֗
൤ݞ௧ ŃὊᏫˀ௧
Ńੋ ŃքὝ
ښ஝ߦߦ˸˗Ὂੈ̓
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ᤰ᣿ࠄᰎnjॆ
ጪnj᜺ࠣ
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.  Ϳ௧աਇ᣿Ὂᤰ᣿ᤈ̏
வข४҂ᄊ֑ᮥ
ʷࠀ௧ᄾ֑ᮥ
ՙὝ
2   证明的必要性

˸ᮥ

1.（1）౎件：ː˔三角形的ː
᣸ԣХ݃
角分ѿᄱ等. 
ፇ᝷：ᤈː˔三角形全
等. 
ᄾ命题. 
（2）౎件：ː˔角௧一˔直
角三角形的ː˔ᩩ
角. 
ፇ᝷：ᤈː˔角̉
͸. 
ᄾ命题. 
（3）౎件：ː直线平行. 
ፇ᝷：Տͯ
角ᄱ等. 
ᄾ命题. 
2.（1）Ϝ命题. Γݠ：े
 a = 0 
௑，ᾚaᾚ= 0. 
（2）ᄾ命题. 
（3）Ϝ命题. Γݠ：∠α = 
30c，∠β = 60c，∠γ = 
30c，໘ᡜ∠α +∠β= 
90c，∠β +∠γ = 90c，ͮ
∠α +∠γ= 60cķ 
90c.
教ߦ目ಖ὘
1. ፃԋ᜺ࠣ
njᰎ证njॆ
ጪ等᣿程，Ύ学生ࠫ
ႀᤈ̏
方ขਫ਼४҂的ፇ᝷̗
生খႡ，̿
൥༏发学生
的ݞ݉
ॷ理，̰
Ꮻᝣគ证明的必要性，۲Щ学生的଎理ਓគ. 
2. ʹ͘
ೝᰎ数学ፇ᝷的࣢用方ข：实ᰎᰎ证njˡ出ԦΓnj଎理等. 
ښ̿
Ғ的学习中，学生ᤰ᣿ଊጊ（᜺ࠣ
nj฾᧚nj实ᰎnjॆ
ጪ）ࣃፃ४҂̀ॢܳ
൤ᆸ的ፇ᝷，ͮࣳ
෥有ᤉ行ˑಫ的证明（ᙊཀྵ学生߲ࠫ̓
的൤ᆸ性˷௧ᝣ可的，ࣳ
˅Ѿ用ᤈ̏
ፇ᝷解х̀
一̏
እӭ
的᫈
题），ڂᏫࠔ௜ፌ学生ᤵੇ
一̏
ᩲᝀ，ᝣ˞ᤰ᣿ଊቃ४҂的ፇ᝷ᦐ௧൤ᆸ的. 本课௑开ݽࡃ௧
要学生ࠆ᜽ᤈ一ག，ᝨ学生ᝣគ҂ଊቃ४҂的ፇ᝷ళ必可᭥，ࡃ௧可᭥的，˷ᭊ要ᤉ行ˑಫ的଎理
᝷证. ˞̀
᣺ੇ
ᤈ一ᄬ的，教科书ᯫЏ安ଆ̀
一˔活ү，˟要ᝨ学生ᤰ᣿ए᧚४出࿯ਇ，ͮ
ए᧚௅
有ឨࣀ，ԡ有ࡍ限性，ڂ൥ႀए᧚ਫ਼४҂的ፇ᝷Χϙ४খႡ. 
山东教育出版
出版社ᮥ
Ὂˡѣʷ˔
社ᮥ
Ὂˡѣʷ˔̉
͸Ὂᥧ˦
出版社̉
͸Ὂᥧ˦į
版社
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版
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版社
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ᄊॹ᜶ভ
教育
ᄊॹ᜶ভ
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山东
௚͊
ਓႇ̀
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˔ᝈएҫᡑ౏Ὂ
山东
˔ᝈएҫᡑ౏Ὂ
ᄊፇ᝷
山
ᄊፇ᝷
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山
ᄊए஝ὊཀྵՑ̆
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 ̆
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ፇ᝷ʷࠀԻ᭥ք
 
ፇ᝷ʷࠀԻ᭥ք
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їӢ˔njїʺ˔
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ѣਫ਼దʼᝈॎᄊ
ʼᝈॎᄊЯᝈ֗
社 
ʼᝈॎᄊЯᝈ֗̿
ᤰ᣿ࠄᰎnjॆ
出版社̿
ᤰ᣿ࠄᰎnjॆ
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出版
᣿ᤈ̏
வข४҂ᄊ
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社
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版
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版社
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版社
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版社
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题.
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出版
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出版
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出版
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育出
角三角形的ː
ፇ᝷：ᤈ
教育
ፇ᝷：ᤈ
ᄾ命
教育
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山东教育出版社
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64
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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 n!>!ὊὊὊὊ ௑Ὂ̽
஝र n!.!n!,! ᄊϙ௧᠏
஝ᤇ௧Ռ஝Ὕ࠵
௚ႀ൥४ѣʷ˔֑ᮥ
὘ࠫ̆
ਫ਼దᒭཀྵ஝ nὊn!.!n!,! ᄊϙᦐ௧᠏
஝.  Ϳᝣ˞࠵
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ᤉᛡ̔ื
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὆὇࠵Ѹԧဘ !?!
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ښʷसጮʽႇѣʷ౎ᄰጳὊᤈ౎ᄰጳં
ጮ᭧Ѭ˞  ᦊѬὙݝښጮ
ʽԡႇѣʷ౎ᄰጳὊԧဘᤈː౎ᄰጳతܳ
Ի̿ં
ጮ᭧Ѭ˞  ᦊѬ.  ̆
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Ի̿ં
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Ի̿ં
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ᄊឭข௧൤ᆸᄊὝ˞̤
˦ὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
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࿯ਇ௧ˀܵ
ᄊὊॹᮌʷ൦ʷ൦njదಪద૶ڡᤉᛡ଎ေ.  ଎ေᄊ᣿ሮࡃ௧᝽௚὆proof὇.  
ϢʷϢ
ᝬʷᝬ
὆὇ښ஝ߦߦ˸˗ὊͿၹ҂᣿଎ေՙὝˡΓឭ௚.  
὆὇ښெ࣢ၷำ˗ὊͿၹ҂᣿଎ေՙὝˡΓឭ௚.  
ᬤ۶ጷ˸
1.὆὇ڏ὆὇˗ː౎ጳ඀ a ˁ b ᄊ᫂
एᄱ኎ՙὝឰͿЏ᜺ࠣ
Ὂгए᧚ʷʾ.  
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὆὇
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第八章 平行线的有关证明
ϢʷϢ
教科书гፌ出ї˔Γߕ，
ᝨ学生ᤉ行࿯ਇnjᰎ证，ᄬ的
௧ᝨ学生ࠫ
᜺ࠣ
与ॆ
ጪਫ਼४҂
的ፇ᝷̗
生খႡ，ᤉᏫ思考：
টನ੦能ல定一˔数学ፇ᝷௧
൤ᆸ的քὝࠫ̆᫈
题（1），n = 0，
1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10 ௑，n
2 - n + 11 的ϙ分ѿ
˞ 11，11，13，17，23，31，
41，53，67，83，101，全௧质
数，Ꮻ n = 11 ௑，n
2 - n + 11
的ϙ˞ 121 = 11
2. ࠫ̆᫈
题（2），े
一˔ட
数˞ 1 ੋ
᠇数௑，ᤈ˔数等̆ੋ
࠵߲̆
的ψ数.ࠫ̆᫈
题（3），࠵明的ឭ
ข௧൤ᆸ的. 
ό1ύႀ上ᤘ内ࠔΨᤉ学生ງ
҉理解“要判ல一˔数学ፇ᝷
௧ա൤ᆸ，̩̩
Κ᭥ፃᰎnj᜺ࠣੋ
实ᰎ௧不ܵ
的，必ᮌ一൦
一൦nj有ಪ有据ڡᤉ行଎理”
的ե义. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ᤈ四˔图形ᦐࠔ௜ፌ̡
一̏
᜽ᝀ上的ᩲᝀ. 教学中，应ᯫЏᴂҵ学生ឭ出ᒭࣂ的感ᝀ，г实ᬅ฾
᧚一下，ᆸᝣੋ
ա定ᒭᢶ的ᄾ实感ᝀ. 
（1）可能有学生感ᝀ图中ː౎线段᫂
ए不等，ͮ
实ᬅ฾᧚可̿
发ဘ߲̓
௧ᄱ等的. 
（2）可能有学生感ᝀ线段 a 与线段 d ښՏ一直线上，Ꮻ实ᬅ上，线段 b 与线段 d ښՏ一直线上. 
（3）可能有学生感ᝀː౎线段不一ನ᫂
，Ꮻ实ᬅ上，ː౎线段一ನ᫂
. 
（4）可能有学生感ᝀ图中的四᣸形Ք᧗Ѣ，ͮ
ᤰ᣿直ࡇඋᣗ，四᣸形的四౎᣸௧直的，ࣳ
˅᫂
ए௧ᄱ等的，௧൤方形. 
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山东教育出版社
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版
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出版
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版社
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版社
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版社
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出版
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出版
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
65
2   证明的必要性

2. 不൤ᆸ. ڂ˞（a + b）
3 
=（a + b）
2（a + b）
=（a
2 + 2ab + b
2）（a + b）
= a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3.
3. 不一定. े
 n = 6 ௑，
n
2 + 3n + 1 = 55 = 5×11.឴
ʷ឴
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ႀї˔ྲ
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不可᭥，ԁΎݠ
ᠠ马ᤈನ的Րࠒ，ॆ
ጪ的ፇ᝷
˷ᬲВᩲឨἿ
˸ᮥ

1. ᤈ˔࿯ਇ不൤ᆸ，े
 n = 40 
௑，式ߕ n
2 + n + 41 的ϙ˞ 
40
2 + 40 + 41 = 41
2 ，௧一˔
合数. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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出版
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出版
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教育
合数. 
教育
. 
 
66
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书̓
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஝.ÿ
 Ϳᝣ˞ᤈ˔࿯ਇ൤ᆸՙὝᰎ᝽ʷʾ n!>! ᄊৱॎ.  
2. ᜺ࠣ
ʾѵՊर὘
  !>!!.!Ὂ
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  !>!!.!Ὂ
  !>!!.!Ὂ
  Ā
Ϳᑟա४҂ፇ᝷὘ࠫ̆
ਫ਼ద݉
஝ὊᦐԻ̿
᛫ᇨ˞ː˔ᒭཀྵ஝ᄊࣱ
வࣀὝࠫ̆
Ϧ
஝Ὂ˷ᑟ᛫ᇨ˞ː˔ᒭཀྵ஝ᄊࣱ
வࣀՙὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
3. ݠڏὊABĩDEὊBCĩEFὊᥧ˦ͿᑟѼலįABC ˁ
įDEF ᄊܸ
࠵ТጇՙὝ࠵ᮣ
૶൥४ѣፇ᝷὘ݠ౧ː˔
ᝈᄊː᣸Ѭѿࣱ
ᛡὊᥧ˦ᤈː˔ᝈᄱ኎.  Ϳᝣ˞ݝᄊ
ਇข൤ᆸՙὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
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НЋҒ  ˇጢὊԱ࣏
ᑹ஝ߦࠒൗї᧗४὆EuclidὊጞҒ
úጞҒ ὇ᎄѝ ǒԔవǓ὆Elements὇ʷ˺Ὂ࠲Ғ̡
ሥግʾ౏ᄊ˘ࠝ
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౧டေښጇፒᄊ᤿ᣤʹጇ˨
˗.  ̵્
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ʷᦊѬ஝ߦՐឈ֗
ʷᦊѬНᝣᄊᄾ֑ᮥ
ͻ
˞᝽ࠄХ̵֑ᮥ
ᄊѣԧག֗
Κ૶Ὂࠀ˧ѣХ̵
దТᄊഐ
ঐὊࣳ
ᤂၹ଎ေᄊவขὊ᝽ࠄ̀
஝ᄈ˔దТᄊ֑ᮥ
ὊΎ
ї͵ߦੇ
˞ʷ᫃
ЦదНေӑʹጇᄊሙߦ.  
ൗї᧗४

第八章 平行线的有关证明
2. 可̿
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数ᦐ
可̿
᛫ᇨ˞ː˔ᄱ᥶ᒭཀྵ数
的平方ࣀὙͮࠫ̆
Ϧ数，ѷ
不一定能᛫ᇨੇ
ː˔ᒭཀྵ数
的平方ࣀ，Γݠ，10 ࡃ不能
иੇ
ː˔ᒭཀྵ数的平方ࣀ. 
3. ݠ图， ∠ABC = ∠DEF. 一ᓊ
ڡ，ݠ౧ː˔角的ː᣸分ѿ
平行，ᥧ˦ᤈː˔角ᄱ等ੋ̉
ᛪ. 可̿
Ѿ用平行线的ྲ
ག
ҫ̿
解᧖. 
教ߦ目ಖ὘
1. ̀
解基本事实nj定理的
ե义，初൦ʹ͘
公理ӑ思ਇ，ࣳ̀
解本套教科书ਫ਼᧔用的基
本事实. 
2. ᤰ᣿̮
ፁൗї᧗४的
ǒԔ本Ǔ，Ύ学生感受公理ӑ
方ขࠫ
数学发࡙
和Ψᤉ̡
ዝ஡
明ᤉ൦的价ϙ. 
开᫃
᜹山，直ଌᤉК ˟
题“ݠ͵证明一˔命题௧ᄾ命
题”，教学中，可̿
组ጻ学生ࡃᤈ一ភ题ᤉ行ᆑᝧ，ښᆑᝧ的基ᆩ上，ᝨ学生᫞឴
教ె
中有关ൗї
᧗४ǒԔ本Ǔ̿
ԣ公理ӑ思ਇ的̮
ፁ，Ψᤉ学生̀
解公理nj证明nj定理等概ঐ. 
ൗї᧗४的ǒԔ本Ǔ中， 公理与公᝺௧有ӝѿ的. 一ᓊᝣ˞，ǒԔ本Ǔ中的公᝺ਫ਼᫨ᤘ的内ࠔ
௧ї͵图形ྲ
有的，ϸ“ݠ౧ː౎直线与Գ一౎直线ᄱ̔
，ਫ਼ੇ
的ՏΟ内角的和࠵̆
ː直角，ᥧ˦
ᤈː౎直线ښᤈ一Ο必ᄱ̔
”（ᤈࡃ௧ᗃՐ的第五公᝺）ὙᏫ公理ਫ਼᫨ᤘ的内ࠔ௧ᤰ用的，ݠ“等
᧚ҫ等᧚Х和ᄱ等”. ښᤃဘ̽
ї͵学中不г用“公᝺”ᤈ一షឦ̀
，ፒሦ˞“公理”. ͻ˞教师， 
可̿̀
解ᤈ一ག，ͮ
不要Ք学生̮
ፁ. 
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七年级  下册
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ஔ学用书
67
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ː౎ᄰጳᜂኄʼ౎ᄰጳਫ਼੕Ἳݠ౧Տͯ
ᝈᄱ኎Ἳᥧ˦ᤈː౎ᄰጳࣱ
ᛡ



᣿ᄰጳܱ
ʷགద˅Զదʷ౎ᄰጳˁᤈ౎ᄰጳࣱ
ᛡ



ː᣸ԣХ݃
ᝈѬѿᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎



ːᝈԣХ݃
᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎



ʼ᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎


Գܱ
ʷ౎۳వ̃
ࠄੈ̓
࠲ښՑ᭧ᄊߦ˸˗ᝣគ߲
.  
ښ᝽௚֑ᮥ
௑Ὂ኎रᄊదТভ᠏֗
Ց᭧࠲᜶ߦ˸ᄊˀ኎रᄊదТভ᠏
ᦐԻ̿
ͻ˞଎ေᄊΚ૶.  ΓݠὊþښ኎रੋ
ˀ኎र˗Ὂʷ˔᧚Ի̿
ၹ߲
ᄊ኎᧚౏̽
ణÿὊእሦ˞þ኎᧚̽
૱ÿ.
Ѿၹʽ᭧ᤈ̏
᝽௚ᄊѣԧགὊੈ̓
ࡃԻ̿
᝽௚ࣃፃଊጊ᣿ᄊፇ᝷̀
.
Γ
 ࣃᅼ὘į!>įὊį!,į!>!ŃὊį!,į!>!Ń.  
ර᝽὘į!>į.  
᝽௚Ὁı
į!,į!>!ŃὊį!,į!>!Ń὆ࣃᅼ὇Ὂ
İį!>!Ń.įὊį!>!Ń.į὆኎रᄊ۳వভ᠏
὇.  
ıį!>į὆ࣃᅼ὇Ὂ
İį!>į὆኎रᄊ۳వভ᠏
὇.
 
Нᝣᄊᄾ֑ᮥ
ሦ˞Нေ

ǒԔవǓ˗దþНေÿˁþН᝺ÿ˨ѬὊᤃ̽
஝ߦࠫ
൥ˀгӝѬὊᦐ

 
ሦþНေÿ
 
ኀՂþıÿ឴
ͻþڂ˞ÿὊþİÿ឴
ͻþਫ਼̿
ÿ



3   基本事实与定理

ό1ύ实ᬅ上，ᤈМ౎基本事
实ښҒ᭧学习中ᦐហጺଊጊ᣿̀
，学生߲ࠫ̓
的൤ᆸ性௧ᆸ
η的. ဘښ直ଌ੾ᝣᤈМ౎基本
事实，߲ࣳ̿̓
ͻ˞证明的出
发གԁ可，不必ᝧ᝷ᤈ̏
命题
的൤ᆸ性. 
ᭊ要ឭ明的௧，ͻ˞数学
教学内ࠔ的基本事实与ͻ˞数
学科学的公理௧有ӝѿ的. 数
学科学要ර߲
的公理Цܬ࿘ቡ
性nj߹ܬ性nj和ៈ性，Ꮻ数学
教学内ࠔ中的基本事实不ᭊ要
߹全Цܬᤈ̏ྲ
ढ़. ǒಖюǓଢ
出的ᤈМ౎基本事实，有的ښ
数学科学中ࡃ不௧公理，Ꮻ௧
可̿
证明的定理，ͮ
考ᘽ҂ᤈ̏
ፇ᝷ॢ
明௭，学生证明的ᬲ
एᤇඋᣗܸ
，˞̀
ѓᣐ学生学
习的᠇ઞ，ښ不ॖ
־学科ፇ౞
的基ᆩ上，࠲ᤈ̏
定理˷ͻ˞
公理ᄺॠ. ࠫ
൥，教师应ॷ中有
数，ͮ
不必Ք学生ᝯ解. 
ό1ύ
Γ
教科书中第一次ˑಫڡ证明ї͵定理，ڂ൥ᤈ᧗̿
Γ题的形式նဘ，̿
ᝨ学生初൦ʹ͘
证明的
思路与书и的᣿程. 
山东教育出版社
ጳˁࣃᅼᄰጳۇᄰ
版社
ጳˁࣃᅼᄰጳۇᄰ
Տͯ
ᝈᄱ኎Ἳᥧ
版社
Տͯ
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ᛡ
出版
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ː˔ʼᝈॎЛ኎

出版
ː˔ʼᝈॎЛ኎

኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ
育出
኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ
˔ʼᝈॎЛ኎

教育出
˔ʼᝈॎЛ኎

ࠄੈ̓
࠲ښՑ᭧ᄊ
教育
ࠄੈ̓
࠲ښՑ᭧ᄊᮥ
௑Ὂ኎रᄊద
东教ᮥ
௑Ὂ኎रᄊద
ေᄊΚ૶
山东
ေᄊΚ૶. 
东
. Γݠ
东
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山
እሦ˞þ኎᧚̽
山东
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ၹʽ᭧ᤈ̏
山
ၹʽ᭧ᤈ̏
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山
ভ᠏
ᦐԻ
ᄊ኎᧚౏̽
山
ᄊ኎᧚౏̽
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ጊ᣿ᄊፇ᝷̀
.
į>
Ń.  .  

Ń὆ࣃᅼ὇
社
 
὆ࣃᅼ὇

社
὆኎रᄊ۳వভ
社 
὆኎रᄊ۳వভ
ভ᠏
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版
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὇.
版
.
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出版
Нေ

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ͻþڂ˞ÿ
育出឴
ͻþڂ˞ÿὊ
育出
Ὂþİÿ឴
育出
þİÿ឴
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社
౎基
社
基本
社
本事
社
事
ហ
版
ហጺ
版社
ጺଊ
版社
ଊጊ
版社
ጊ᣿
社
᣿̓
出̓
的
出版
的൤
出版
൤ᆸ
出版社
ᆸ性
版社
性௧
版社
௧ᆸ
社
ᆸ
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出
直ଌ
出
ଌ੾
出
੾ᝣ
出版
ᝣᤈ
出版
ᤈМ
出版
М౎
版
౎ࣳ
育ࣳ̿
育߲̿
育出߲̓
育出̓
ͻ
育出
ͻ˞
出
˞
ԁ
教育
ԁ可
教育
可，
教育
，不
育
不必
育
必ᝧ
育
ᝧ
的൤ᆸ性
教育
的൤ᆸ性.
教育
.
ᭊ
东教
ᭊ要
教
要ឭ
教
ឭ
教
东教
教学
东教
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东教
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学
东
学科
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Γ
教
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东教
教科
东教
科书
东教
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中第
教
第
思路与书и
山东
思路与书и
山东教育出版社ͮ
社ͮ
考
社
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社
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社
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版社
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版社
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社
ᬲ
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版
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版̀
ѓ
版社
ѓᣐ
版社
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版社
学
，
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，ښ
出
ښ不
出版
不ॖ
出版ॖ
־
版
־学
版
学
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育
ᆩ上
育
上，
育出
，࠲
育出
࠲ᤈ
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理
教育
理ᄺ
教育
ᄺॠ
教育
ॠ.
育
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育出ࠫ
൥
育出
൥
数，ͮ
不必Ք
教育
数，ͮ
不必Ք
题
山
题的
山东
的形
山东
形式
山东
式ն
东
նဘ
东
ဘ
 
68
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第八章 平行线的有关证明
ό1ύႀ̆
基本事实和定理的
数᧚不能ܺܳ
，̰
Ꮻᄾ命题不
一定ᦐͻ˞基本事实ੋ
定理ଢ
出. Γݠ，“垂直̆
Տ一౎直线
的ː౎直线平行”௧ᄾ命题，ͮ
不ͻ˞基本事实，˷不ͻ˞
定理. 不ͻ˞基本事实ੋ
定理的
ᄾ命题不能ͻ˞证明命题的ಪ
据. ᒰ̆
Ϝ命题，ᐰ定不௧基本
事实ੋ
定理. ̿
上їག，ᦐ应Ք
学生ᝯຍ. 
ό2ύ下一课௑࠲开ݽ证明
有关平行线的定理，˞൥，ᤈ
一课௑࠲߹ੇ
ǒಖюǓ中要ර
的njښ平行线˨Ғ的nj证明平
行线ᭊ要用҂的一̏
እӭ定理. 
ښ课۶上一一证明ᤈ̏
定理，
可能௭४ᣗ˞౲ྌ，Գܱ
௑ᫎ
˷不Њ᝵，ڂ൥，ᦊ分定理的
证明，ஊ҂课Ց的习题中. ͮ
考ᘽ҂ட套书的ፒ一，̿
ԣΧ̆
学生࠲౏的Ύ用，本套书࠲
ᤈ̏
定理ᦐښ൤஡中Ꭽѵ出౏. 
˞൥，ᤈ᧗明ᆸଢ出ᤈ̏
定理
可̿
证明，教学中ಪ据实ᬅৱ
ό1ύ
ό2ύ
ц，ᆸ定ښ课۶上ᤇ௧课Ց߹ੇ
ᤈ̏
定理的证明. 
ᬤ۶ጷ˸
1. 基本事实和定理的СՏག௧：第一，߲̓
ᦐ௧ᄾ命题Ὑ第二，߲̓
ᦐ可̿
ͻ˞证明的Κ据. ߲̓
的不Տག௧：基本事实（ͻ˞公理ᄺॠ）的ᄾ实性௧ᤰ᣿实᡻证实的，Ꮻ定理的ᄾ实性必ᮌᤰ᣿
଎理证明. 
2. ࣃᅼ：∠α +∠β = 90c，∠α +∠γ = 90c，ර证：∠β =∠γ.
证明：ı∠α +∠β = 90c，∠α +∠γ = 90c（ࣃᅼ），
İ∠β = 90c- ∠α，∠γ = 90c- ∠α（等式的性质）.
İ∠β =∠γ（等᧚̽
૱）.
山东教育出版社
版社
版社
的
版
的
的
版
的ಪ
版
ಪ
不
出
不௧
出
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出版
基本
出版
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，ᦐ
育出
ᦐ应
育出
应Ք
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Ք
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东
下一
东教
一课
东教
课௑
教
௑࠲
教
࠲
平
东
平行
东
行线
东教
线的
东教
的定
东教
定理
教
理
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山
课௑
山东
௑࠲
山东
࠲߹
东
߹ੇ
东ੇ
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山
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山
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山
ښ平
山
平行
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山
线ᭊ
山
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山东教育出版社 
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山
            山东教育出版社
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社
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中
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出版
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出版
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版社
套书
版社
书࠲
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出版
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出版
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育出
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教
证明
教育
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教育
，教
教育
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教
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教
ύ
，ᆸ定ښ课۶
教育
，ᆸ定ښ课۶
山东
山东
山东教
东教
东教
东教
东教
ᬤ
东教
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1
山
1
山东教育
教育
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山
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山
Ὑ第
山
第
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
69
ߦˣᒰ̡
ዝᄊনਇਫ਼̗
ၷᄊࢽܸ
଎үͻၹ௧Х̵
ᗃͻ௄ขԩ̽
ᄊ.   ࣲྦ
ᮐښ୩и
ǒᒭཀྵזߦᄊ஝ߦԔေǓ௑ࡃఢԪ҂᣿ǒԔవǓᄊթᤔ.  ద̡
ឭὊᤉӑ᝷ˣᒰᎿڎᄊ࿘
ቡࠈᝓ
ὊᦐງԪൗї᧗४வขᄊॖ
־.  ၵᒰ̆
Ὂїᄈࣲ
Ғదᄊזߦࠒښᒭࣂᄊᗃͻ˗˷
ఢ᝺ขळၹ̰
ࠀ˧njНေ࠮ѣࠀေᄊॎरᤉᛡ᝷᝽.  
ൗї᧗४ᄊǒԔవǓ˞̡̓
ଢῚ
ʷመᆑቃ᫈ᮥ
ᄊவข὆ሦ˞Нေӑவข὇Ὂಖঃ
ᅌ̡
ዝন፥ᄊʷڤ᭩֑
Ὂ௧ሙߦনਇԾʽᄊʷ˔᧗ሮᇀ.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
ᐏጇ઩ࣹ
஝ߦေᝍ
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ AB ֗
 CD ᄱ̔̆
ག OὊ˅įAOC 
௧ᄰᝈ.  
ර᝽὘įCOBὊįBODὊįDOA ᦐ௧ᄰᝈ.  
὆ኄ  ᮥ
὇
A
D
B
C
O
2. ᝽௚὘ࠫ
ᮇᝈᄱ኎.  
ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ ABὊCD ᄱ̔̆
ག OὊį ֗
į 
௧ࠫ
ᮇᝈ.  
ර᝽὘į!>į.  
὆ኄ  ᮥ
὇
D
B
C
O


A
3. AὊBὊCὊDὊE ̋
Րߦၷ࿯฾ᒭࣂᄊ஝ߦੇ
፛.  
A ឭ὘þݠ౧ੈ
४͖
Ὂᥧ˦ B ˷४͖
.ÿ
B ឭ὘þݠ౧ੈ
४͖
Ὂᥧ˦ C ˷४͖
.ÿ
C ឭ὘þݠ౧ੈ
४͖
Ὂᥧ˦ D ˷४͖
.ÿ
D ឭ὘þݠ౧ੈ
४͖
Ὂᥧ˦ E ˷४͖
.ÿܸ
ࠒᦐ෥దឭᩲ.  ݠ౧ A ४͖
Ὂᥧ˦̵̓
˨˗దї̡
४͖
Ὕݠ౧ C ४͖
Ὂᥧ˦̵̓
˨˗ᒰ࠶దї̡
४͖
Ὕ
3   基本事实与定理
឴
ʷ឴
˟要ࠫ
ǒԔ本Ǔ的̗
生nj
ळᤉnjॖ
־ԣਓ义ͻ̮̀
ፁ. ݠ
౧有可能，可̿
ፇ合ဘ实社͘
஋෵njข॥等ᤉ一൦ឭ明公理
ӑ思ਇ的重要ਓ义.
˸ᮥ

1. 证明：ı∠AOC ௧直角（ࣃ
ᅼ），
İ∠AOC = 90c（直角等̆
90c）.
ı A O B ௧一౎直线（ࣃ
ᅼ），
İ∠COB =  180c- ∠AOC = 
180c- 90c= 90c（ᛪ角的定
义）.
İ∠COB ௧直角（90c的角
௧直角）.
Տ理可证∠BOD，∠DOA ᦐ
௧直角.
2. 证明：∠1 和∠2 是对顶角
（ࣃᅼ），
İOA 与 OB ̉
˞ԦՔण᫂
线
（ࠫ
ᮇ角的定义）.
İ∠AOB ௧平角（平角的定义）.
Տ理，∠COD ˷௧平角.
İ∠1 和∠2 ᦐ௧∠AOC 的ᛪ角（ᛪ角的定义）.
İ∠1 = ∠2（等角的ᛪ角ᄱ等）.
3. ݠ౧ A ४͖
，ᥧ˦五̡
ᦐ४͖
Ὑݠ౧ C ४͖
，ᥧ˦ᒰ࠶三̡
४͖
. 
ଢᇨ： ႀܸ̆
ࠒᦐ෥有ឭᩲ，ਫ਼̿
ݠ౧ A ४͖
，ಪ据 A ឭ的可଎出 B ४͖
ὙB ४͖
，ಪ据 B ឭ
的可଎出 C ४͖
ὙC ४͖
，ಪ据 C ឭ的可଎出 D ४͖
ὙD ४͖
，ಪ据 D ឭ的可଎出 E ४͖
. ᤈ
ನ，A ，B ，C ，D ，E 五̡
ᦐ४͖
. ݠ౧ C ४͖
，ᥧ˦可଎出 D ，E ˷४͖
，ͮ
௄ขᆸ定 B ，A ௧
ա४͖
. ਫ਼̿
，ᒰ࠶三̡
४͖
. 
本题可̿
ᝨ学生ᤉ行଎理的初൦ᝫጷ.
版社
山东教育出版社
版社
ᝍ
东
ᝍ
D 
育
D ᄱ̔̆
ག
育出
ᄱ̔̆
གO
出
OὊ˅
出
Ὂ˅
BOD
教育
BODὊ
教育
Ὂį
教育
įDOA
教育
DOA ᦐ௧
育
ᦐ௧
௚὘
山
௚὘ࠫ
ᮇᝈᄱ኎
山东ࠫ
ᮇᝈᄱ኎.
东
.
ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ
山东
ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ
௧ࠫ
ᮇᝈ
山
௧ࠫ
ᮇᝈ. 
山
. 
᝽὘
山
᝽὘į
山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
὆ኄ
὆ኄ
 
ᮥᮥ
 山
B
山
B
O


ߦੇ
፛
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፛. . ͖
社͖
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社
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社
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版社
˷४͖
.
版社
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版社
ÿ
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版
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版社
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版
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版社
ÿ
౧
出
౧A
出
A ४͖
Ὂᥧ˦̵
出版
४͖
Ὂᥧ˦̵
ї̡
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Ὕ
出
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४͖
Ὕ
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社
生̮
社̮
ፁ
社
ፁ.
社
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社
ݠ
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版
合ဘ
版社
ဘ实
版社
实社
版社
社͘
社͘
ᤉ
出
ᤉ一
版
一൦
出版
൦ឭ
出版社
ឭ明
版社
明公
版社
公理
社
理
要ਓ义
出版
要ਓ义.
出版
.
˸ᮥ

教育
˸ᮥ

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东
1.
东教
. 证
东教
证明
东教育
明：
教
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教
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育
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东教
ᅼ），
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东
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东教
∠AOB
东教
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教育
௧平角
Տ理，
东教
Տ理，∠
东教
∠CO
教
CO
İ
山东
İ∠
东
∠1
东
1 和
东
和
İ
山
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山
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山东教育出版社
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社
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版社
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版社
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版社
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社
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社
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∠1
出
∠1 和∠2
出版
和∠2
ࣃᅼ
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），
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教育
İOA
教育
OA 与
教育
与OB
育
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ᮇ角
教育
（ࠫ
ᮇ角
 
70
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第八章 平行线的有关证明
教ߦ目ಖ὘
1. 初൦̀
解证明的基本൦
ᰡ和书иಫ式. 
2. ͘
ಪ据基本事实“Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行”౏证
明“内ᩲ角ᄱ等，ː直线平
行”“Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线平
等”，ࣳ
能እӭ应用ᤈ̏
ፇ᝷. 
3. ښ证明᣿程中，发࡙
初
൦的໦ፂ଎理能ҧ. 
本ᓬ࠲证明平行线的有关
判定定理. 上一课௑ࣃፃ明ᆸ̀
基本事实“Տͯ
角ᄱ等，ː直
线平行”，ڂ൥，本课௑࠲̿
ᤈ
˔基本事实˞基ᆩ证明Գܱ
ː
˔判定定理：“内ᩲ角ᄱ等，ː
直线平行”“Տஸ内角̉
ᛪ，ː
直线平行”，ࣳ
Ѿ用判定定理解
х一̏
እӭ的᫈
题. ˞൥，教科
书ᯫЏ开᫃
᜹山，ळ࠮学生回
ॺ平行线的判定౎件，要ර学
生Ѿ用基本事实证明Х̵
的判
定౎件. 
教学中，थᝬᝨ学生Џᒭ˟证明有关定理ὙཀྵՑ࠲学生的证明᣿程ட理出౏ὙతՑг与教科书
中的ಫ式ᤉ行උࠫ
，感受证明的᣿程和ಫ式᜻ᔵ. 
ᒰ̆
Џ证明哪一˔判定定理，ࣳ
෥有一定˨᜻. े
ཀྵ，᭢গ的教科书Զ能Ϣ出౽መᤥહ，ͮ
教
学௧үগ的nj生ੇ
的，教学中应ᮋ应学生ဘڤ的࿄ц，ԣ௑ᤉ行ូ
ட. 
学生的证明ళ必和教科书߹全一ᒱ，ݠࣃፃ证明᣿“内ᩲ角ᄱ等，ː直线平行”Ց，г证明
“Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线平行”௑，ࡃ不一定ᦐ用Ԕ౏的基本事实“Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行”，
可̿
ᤂ用“内ᩲ角ᄱ等，ː直线平行”. ঴˨，Զ要学生的证明有理有据，ࡃ应ፌ́
ᴂҵ. े
ཀྵ，一定的ಫ式᜻ᔵ௧必ᮌ的. ښ证明的初ݽ᫽段，一定要᫹ൣ
学生ຉ๶一̏
证明的出发ག
和᡺൦等ဘ៶. 教学中要ळ࠮学生明ఁဘښ证明的出发ག有哪̏
，哪̏
概ঐnjขѷnj基本事实nj定
理ੈ̓
可̿
Ύ用，有̏
ፇ᝷ᙊཀྵੈ̓
ࣃଊጊ᣿，ͮੈ̓
ᤇ෥有ˑಫ证明，ڂ൥ဘښᤇ不能用. 要Ύ
山东教育出版社
版社
版社
平
版
平
᝷
版
᝷. 
版
. 
发
出
发࡙
出版࡙
初
出版
初
证
教
证明
教
明平
教育
平行
教育
行线
育
线的
育
的
理
东
理.
东
. 上
东教
上一
东教
一课
东教
课௑
教
௑ࣃ
教
ࣃ
事
东
事实
东
实“
东教
“Տ
东教
Տͯ
东教ͯ
角
教
角
线
山
线平
山
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山东
行”
山东
”，
山东
，ڂ
东
ڂ൥
东
൥
˔
山
˔基
山
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山
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山
事实
判
山
判定
山
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
教
社
教科
社
科
学
社
学生
社
生回
社
回
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版
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版
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版社
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版社
学
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出版
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版社
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教
教
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教育
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教育
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教育
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育
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东教
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ᒰ
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山东
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山东教育
教育
教育出版社
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东
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证明
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教
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教
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ཀྵ，
山东
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山东
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东
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东
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ц，ԣ௑ᤉ
山
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᣿
山
᣿
71
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
学生̰
ї͵证明的开ݽ᫽段ࡃᝣគ҂，证明的Κ据Զ能௧有关概ঐ的定义，ਫ਼᜻定的基本
事实ԣࣃፃ证明的定理，᫹ൣ
学生ં̿
Ғਫ਼学的ፇ᝷不Ϝ思ጊڡ用౏ͻ˞本ቦ证明的Κ据. ྲ
ѿڡ，ͻ˞证明的初ݽ᫽段，˞̀
Щੇ
学生证明“有理有据”的习ਅ，本ቦ内ࠔ的有关
证明ᦐហጺฌ明̀
理ႀ，教学中˷应ࡊ᧚要ර学生ᤈನϢ，Տ௑ᤇ应要ර学生ឭ明ХΚ据
的合理性. े
ཀྵ，ښ࠲౏的学习中，ښ学生ࣃፃЩੇ
ˑ៟的学习গए˨Ց，可̿
不гඈ一൦
ᦐฌ明理ႀ. 
ᝬʷᝬ
“ᝬ一ᝬ”的ᄬ的௧Ѿ用平௑ႇ平行线的一መ方ขळ出平行线的Գ一判定定理，ࣳ
ႀ
൥解᧖̿
Ғͻ图的᥋理. 学生可̿
Ѿ用“内ᩲ角ᄱ等，ː直线平行”ឭ明ᤈː౎直线平行. 
教学中ᤇ可̿
ᝨ学生Ѿ用੤݀
的直ࡇnj三角౜等ࢺЦঌૹڡͻ出平行线，ࣳ
ឭ明ᄱ应
的᥋理. ᤈನ，学生可能出ဘܳ
መͻ平行线的方ข，ឭ明᥋理的方ข可能更˞ܳ
ನ，ᤈನ的
教学更˞开ஊ. 
山东教育出版社
的
出
的௧
出
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出版
Ѿ用
出版
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出版
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育出
᥋理.
育出
. 学生可
育出
学生可
可
育
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育
ᝨ学
育出
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育出
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ನ，学生可能
教育
ನ，学生可能
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东教
˞开ஊ.
东教
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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社
关
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社
Κ据
社
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教育
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教育
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教育
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育
判定
育
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育
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行”ឭ明ᤈː
教育
行”ឭ明ᤈː
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ঌૹ
东
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东教
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东教
ͻ出
东教
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教
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教
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᥋理的方ข可
山东教
᥋理的方ข可
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72
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第八章 平行线的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1. （1）൤ᆸ，理ႀ：Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行. 
（2）不൤ᆸ，ڂ˞ႀ“∠4 +∠5 = 180c”Զ能଎出“l1 ĩ l2”，଎不出“l3 ĩ l4”. 
（3）൤ᆸ，理ႀ：内ᩲ角ᄱ等，ː直线平行. 
（4）൤ᆸ，理ႀ：Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线平行. 
山东教育出版社
版社
版社
山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
东教
东教
东教
东教
东教
ᬤ۶ጷ
东教育
ᬤ۶ጷ
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东教
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东
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山东教育
教育
教育出版社
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1 ĩ
山
ĩ
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
73
4   平行线的判定定理

2. b ĩ c.
证明：ıb ľ a（ࣃᅼ），
İ∠1 = 90c（垂直的定义）.
ԡıc ľ a（ࣃᅼ），
İ∠2 = 90c（垂直的定义）.
İ∠1 =∠2（等᧚̽
૱）.
İb ĩ c（Տͯ
角ᄱ等，ː直
线平行）.
˸ᮥ

1. 方ข 1：证∠3 =∠2；
方ข 2：证∠4 =∠2；
方ข 3：证∠5 +∠2 = 180c.
（如图）
2. 证明：ı∠ABP + ∠BPC = 180c（ࣃᅼ），
İ∠ABP = 180c- ∠BPC（等式的性质）.
ı∠BPC + ∠BPD = 180c（1 平角 = 180c），
İ∠BPD = 180c- ∠BPC（等式的性质）.
İ∠ABP = ∠BPD（等᧚̽
૱）.
ı∠1 = ∠2（ࣃᅼ），
İ∠EBP = ∠BPF（等᧚̽
૱）.
İ EB ĩ PF（内ᩲ角ᄱ等，ː直线平行）.
（第 1 题）
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
义
社
义）
社
）
直
版
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版社
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版社
定义
版社
义）
社
）.
社
.
等᧚̽
૱）
出版社
等᧚̽
૱）
Տͯ
角ᄱ等，
出版
Տͯ
角ᄱ等，
行）
育
行）.
育
.
东教
东教
东教
东教
东教
东教
˸ᮥ

教育
˸ᮥ

1
东
1.
东教
. 方ข
东教
方ข1
教
1
方ข
东
方ข
明：ı
教
明：ı∠
教育
∠ABP
教育
ABP
育
P
育
P
İ
东
İ∠
东教
∠ABP
东教
ABP =
教
=
P
教
P
1
教
1
ı
山东
ı∠
东
∠BPC
东
BPC
İ
山东
İ∠
东
∠B
东
B
İ
山
İ
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74
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
᫈ᮥ
ᝍх
4. ݠڏὊలࢺ࣎
Ϭፃ࣢ၹʷં
ᄰᝈࡇႇѣː౎ࣱ
ᛡᄊᄰጳ a ֗
 b.  Ϳᅼ᥋ᤈನϢᄊ
᥋ေՙὝ
a
b
὆ኄ  ᮥ
὇
ࣱ
ᛡጳᄊভ᠏
ࠀေੈ̓
ࣃፃଊጊ᣿ࣱ
ᛡጳᄊভ᠏
Ὂʾ᭧᝽௚߲̓
.  
ࠀေ
 ː౎ࣱ
ᛡᄰጳᜂኄʼ౎ᄰጳਫ਼੕ὊՏͯ
ᝈᄱ኎.  
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂᄰጳ ABĩCDὊį ֗
į ௧ᄰጳ ABὊCD ᜂᄰጳ EF ੕
ѣᄊՏͯ
ᝈ.  
ර᝽὘į!>į.
E
A
C
M
N
F

B
D
ڏ .
ݠ౧įĹįὊ
AB ˁ CD ᄊͯ
ᎶТጇ͘
টನքὝ
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊCD ࣱ
ѬįACBὊįDCB!>!ŃὊįAED!>!Ń.
 ර᝽὘DEĩBC.  
A
D
E
B
C
὆ኄ  ᮥ
὇

第八章 平行线的有关证明
3. 证明：ı CD 平分∠ACB
（ࣃᅼ），
İ ∠BCE = 2∠DCB = 80c
（角平分线的定义）. 
ı ∠AED = 80c（ࣃᅼ），
İ ∠BCE = ∠AED（等᧚̽
૱）. 
İ DE ĩ BC（Տͯ
角ᄱ等，
ː直线平行）. 
4. 可̿
Ѿ用“Տͯ
角ᄱ等，ː
直线平行”ੋ
“Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线平行”ឭ明᥋理. 
教ߦ目ಖ὘
1. ଂଧ平行线的性质定
理：ː౎平行直线ᜂ第三౎直
线ਫ਼੕，Տͯ
角ᄱ等，*̀
解ᤈ
˔定理的证明Ὑ证明平行线的
性质定理：ː౎平行直线ᜂ第
三౎直线ਫ਼੕，内ᩲ角ᄱ等（ ੋ
Տஸ内角̉
ᛪ）Ὓ
解平行̆
Տ一౎直线的ː౎直线平行. 
2. ښ与Ғ一ᓬ判定定理的
ᐏ系中，ʹ̉͘
ᤤ的思፥᣿程. 
3. ښ证明᣿程中，ᤉ一൦
理解证明的൦ᰡ，ಫ式和方ข. 
本ᓬ࠲证明平行线的有关性质定理. ǒಖюǓ中࠲判定定理“ː直线平行，Տͯ
角ᄱ等”的证
明ͻ˞ᤥ学内ࠔ，ڂ൥，教科书ᯫЏնဘ̀
ᤈ一定理的证明᣿程，Ι学有͸ҧ的学生ᒭ˟᫞឴
Ὑཀྵ
Ց̿
ᤈ˔性质定理˞基ᆩ证明Գܱ
ː˔性质定理，े
ཀྵ，˞̀
ᥘВӭូ
，ᤈ᧗̩̩
նဘ̀
Х中一˔
定理的证明᣿程，Գ一˔定理的证明̔
ႀ学生߹ੇ
. ࠫ̆
ᤈ˔ဗᓬ的ܫ理，可̿
ዝͫ̆
上一课௑，ᯫЏ要ර学生Ѿ用“ː直线平行，Տͯ
角ᄱ等”
ᒭ˟证明“ː直线平行，内ᩲ角ᄱ等”“ː直线平行，Տஸ内角̉
ᛪ”ὙཀྵՑ࠲学生的证明᣿程ட
理出౏ὙతՑг与教科书中的ಫ式ᤉ行උࠫ
，感受证明的᣿程和ಫ式᜻ᔵ. ˷可̿
和教科书的ᮋऀ
一ᒱ，ᯫЏ᫞឴
第一˔性质定理的证明᣿程，感受证明᣿程中的一̏
ጺᓬ᫈
题，ݠ，ݠ͵ႇ出图
形，ݠ͵ፇ合图形и出ࣃᅼnjර证的，证明᣿程中ඈ一൦଎理的理ႀ等ὙཀྵՑ，ஊ੤ᝨ学生࿘ቡ߹
教育出版社
版社
版社
山东教育
等，
版
等，
角
育
角ᄱ
育出
ᄱ等
育出
等，
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，ː
出
ːੋੋ
“
育
“Տ
育
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内角
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角
线平行”ឭ明
教育
线平行”ឭ明
教ߦ目ಖ὘
山东
教ߦ目ಖ὘
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山
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山
ଂ
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山
ː
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教育出版社
 
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版社
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育出
育
教育出
育出
育

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版社             山东
社
山东教育出版
山东
山
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山东
ᄊভ᠏
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ࣃፃଊጊ᣿ࣱ
ᛡጳ
  
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ࣃᅼ὘
ѣᄊՏͯ
 
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社
ኄ
社
ኄ
社
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社ᮥ
὇
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社
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第
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版社
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出版
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山
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山东教育出版社
教育
教育出版
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山े
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山
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山
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山̀
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
75
᝽௚Ὁݠ౧ įĹįὊᥧ˦ੈ̓
Ի̿
᣿གMͻᄰጳ
GHὊΎįEMH!>įὊݠڏ . ਫ਼ᇨ.  
ಪ૶Տͯ
ᝈᄱ኎Ὂːᄰጳࣱ
ᛡὊԻ४҂ GHĩCD.
ԡ ڂ ˞ A B ĩ C D Ὂᤈನፃ᣿ག M ߛښ ː ౎ᄰ
ጳ AB ֗
 GH ᦐˁᄰጳ CD ࣱ
ᛡ.  
ᤈˁþ᣿ᄰጳܱ
ʷགద˅Զదʷ౎ᄰጳˁᤈ౎ᄰጳࣱ
ᛡÿᤈ˔۳వ̃
ࠄᄱᅸᄴ.  
ᤈឭ௚Ϝ᝺įĹį௧ˀੇ
ቡᄊὊਫ਼̿
į!>į.  
ᤈʷࠀေԻ̿
እᤘ˞὘ːᄰጳࣱ
ᛡἻՏͯ
ᝈᄱ኎. 
Ѿၹʽ᭧ᄊࠀေὊੈ̓
Ի̿
᝽௚ݠʾፇ᝷὘
ᤈʷࠀေԻ̿
እᤘ˞὘ːᄰጳࣱ
ᛡἻЯᩲᝈᄱ኎.  
ਇʷਇ
὆὇ಪ૶ʽᤘࠀေᄊ஡ߚԬᤘὊͿᑟͻѣᄱТڏॎՙὝ
὆὇Ϳᑟಪ૶ਫ਼ͻᄊڏॎиѣࣃᅼnjර᝽ՙὝ
὆὇Ϳᑟឭឭ᝽௚ᄊন᡹ՙὝ
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂᄰጳ aĩbὊį ֗
į ௧ᄰጳ aὊ
b ᜂᄰጳ c ੕ѣᄊЯᩲᝈ.  
ර᝽὘į!>į.  
᝽௚Ὁı aĩb὆ࣃᅼ὇Ὂ
İį!>į὆ːᄰጳࣱ
ᛡὊՏͯ
ᝈᄱ኎὇.  
ıį!>į὆ࠫ
ᮇᝈᄱ኎὇Ὂ
İį!>į὆኎᧚̽
૱὇.  
F
N

C
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ڏ .
a
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ڏ .
ࠀေNjː౎ࣱ
ᛡᄰጳᜂኄʼ౎ᄰጳਫ਼੕ὊЯᩲᝈᄱ኎.  
5   平行线的性质定理

ό1ύੇ
第二˔定理的证明，гᤉ行̔ื
កౢ
. 
ό1ύᤈ˔定理的证明௧ᤥ
学内ࠔ，Ι学有͸ҧ的学生᫞឴
. 证明᣿程中᧔用̀
Ԧ证ข，
Ց᭧的学习中˄᫃͘
ᤉ行Ԧ证
ข的̮
ፁ，ڂ൥，थᝬ教师̓
ښᤈ᧗不要ଢԦ证ข的概ঐ，
证߹˞ൣ
，˷不гښጷ习中出
ဘ，ఇ௑不要ර学生ଂଧԦ证
ข，更不要ර学生ଂଧԦ证ข
的证明൦ᰡ. 
ਇʷਇ
教学中应សूូ
学生ү
੤njү԰njүᑨ的实᡻，ूូ
学生的直ଌፃᰎ，ұҧᝨ学生
ښᒭࣂ的活ү中ᖍԩᅼគ. ᤈ
᧗，应សᴂҵ学生Џ࿘ቡ思考. 
山东教育出版社
教育出
į
版
į
版社
.  
版社
.  
ᛡἻՏͯ
ᝈᄱ኎
出版
ᛡἻՏͯ
ᝈᄱ኎̿
᝽௚ݠʾፇ᝷὘
育出̿
᝽௚ݠʾፇ᝷὘
እᤘ˞὘
东教
እᤘ˞὘ːᄰጳ
教育
ːᄰጳ
ਇʷਇ
山东
ਇʷਇ
山东
ಪ૶ʽᤘ
山
ಪ૶ʽᤘࣱ
ᛡᄰጳᜂኄʼ
教育ࣱ
ᛡᄰጳᜂኄʼ
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ό
社
ό1
社
1ύ
社
ύ
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Ὕ
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社
į
社
 ௧ᄰጳ
社
௧ᄰጳ a aὊࣱ
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出
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出版社
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教育
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教育
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教育
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东教
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东教
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东
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山东教育出版社
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社
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Џ࿘ቡ思考
版社
Џ࿘ቡ思考. 
社
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76
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
ᤰ᣿ї˔课௑的学习，学
生ࣃፃ证明̀
ᔪࣰ
定理，有̀
一定的证明ፃᰎ，ԣ௑ட理ፃ
ᰎӡ分必要，˞൥᝺ᝠ̀
ᤈ˔
“ᝬ一ᝬ”，ळ࠮学生回顾证
明᣿程，೛理证明活ү中的ፃ
ᰎ，̿
ଢӤ学生的证明能ҧ. 
证明一˔ 命题的˟ 要ဗ
ᓬ，ࣳ
෥有一˔ፐࠫ
ፒ一的ឭ
ข，下᭧௧一˔可Ι参考的ឭ
ข：（1）理解题ਓὙ（2）ಪ据
题ਓ൤ᆸႇ出图形Ὑ（3） ಪ据
题ਓи出“ ࣃᅼ”和“ර证”Ὑ
（4）分ౢ
题ਓ，ଊጊ证明的
思路Ὑ（5）Κ据࠭
ර的思路，
ᤂ用数学ኀ号和数学ឦᝓ
，有
౎理njຍఁڡи出证明᣿程Ὑ
（6）ೝಊ᛫᣺᣿程௧ա൤ᆸnj
߹ؓ
. 
教学中，不必要ර学生
有一˔ፒ一的ፇ᝷，Զ要学生
能ܵ
ಪ据ᒭࣂ的理解，ᤰ᣿ˡ
Γ，用ᒭࣂ的ឦᝓ
ҫ̿
回ንԁ
可. 
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂᄰጳ aĩbὊį ֗
į ௧ᄰጳ aὊ
b ᜂᄰጳ c ੕ѣᄊՏஸЯᝈ.  
ර᝽὘į!,į!>!Ń.  
ឰͿиѣ᝽௚᣿ሮ.  
ዝͫ
ڡὊᤇԻ̿
᝽௚὘
b
a
c


ڏ .
ᝬʷᝬ
Ϳᑟឭឭ֑ᮥ
᝽௚ᄊʷᓊ൦ᰡՙὝ
ᬤ۶ጷ˸
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ aὊb ᜂᄰጳ c ਫ਼੕Ὂ˅ aĩb.  
 ර᝽὘į!>į.  
a
b
c



A
B
C
D
 




 
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ݠڏὊોིᮥ
ᄬ˗ፌѣᄊ౎͈
ὊᛪЛፇ᝷Ὂࣳ
ፌѣ᝽௚὘
὆὇ࣃᅼ ADĩBCὊԻ̿
଎ѣד̏
ᝈᄱ኎Ὕ
὆὇ࣃᅼ ABĩDCὊԻ̿
଎ѣד̏
ᝈᄊ֗
௧ ŃὝ
ࠀေ
 ː౎ࣱ
ᛡᄰጳᜂኄʼ౎ᄰጳਫ਼੕ὊՏஸЯᝈ̉
ᛪ.  
ᤈʷࠀေԻ̿
እᤘ˞὘ːᄰጳࣱ
ᛡἻՏஸЯᝈ̉
ᛪ.  
ϢʷϢ

第八章 平行线的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1. ႕.
2.（1）∠1 = ∠5，∠4 = ∠8Ὑ
   （2）∠1 + ∠2 + ∠8 + ∠7 = 180c，
   
 ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180c.
山东教育出版社
版社
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版
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版
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出
能ҧ. 
出版
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教育
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教育
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教育
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参考
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东教
理解
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东教
题ਓ
教
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教
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东
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东教
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山
题ਓ
山
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山东
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东
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东
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山
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山东教育出版社
山东教育出版社
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要学
版社
学生
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山东
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۶ጷ˸
۶ጷ˸
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ර᝽὘
ර᝽὘į>į
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东教
东教
东教
东教
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东教育
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东教
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
77
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ԣХ̵ॢܳ
༥Цᦐˁઋྭ
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Ց෹ᅌˁ POQ ࣱ
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2. ࣃᅼ὘ݠڏὊADĩBCὊįABD!>įD.  
 ර᝽὘BD ࣱ
ѬįABC.  
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊABĩCDὊADĩBC.  
 ර᝽὘įA!>įCὊįB!>įD.  
A
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὇

ʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေੈ̓
ᅼ᥋Ὂʼᝈॎʼ˔Яᝈᄊ֗
኎̆
 Ń.  Ϳᤇᝮ४ᤈ˔ፇ᝷ᄊଊጊ᣿ሮ
ՙὝ
὆὇ݠڏ .Ὂे
௑Ὂੈ̓
௧ં
įA ୠʾՑረ҂̀
į ᄊͯ
ᎶὊ଎
6   三角形内角和的定理

˸ᮥ

1. ∠ABO = 45c，∠DCO = 92c. 
2. 证明：ıAD ĩ BC（ࣃᅼ），
İ∠D = ∠DBC（ː直线平
行，内ᩲ角ᄱ等）. 
ԡı∠ABD =∠D（ࣃᅼ），
İ ∠ABD =∠DBC（等᧚̽
૱）. 
İ BD 平分∠ABC（角平分
线的定义）. 
3. 证明：ıAB ĩ CD（ࣃᅼ），
İ∠A + ∠D = 180c，∠B + 
∠C = 180c（ː直线平行，
Տஸ内角̉
ᛪ）. 
ıAD ĩ BC，
İ∠A + ∠B=180c，∠D + 
∠C = 180c（ː直线平行，
Տஸ内角̉
ᛪ）. 
İ∠A = ∠C，∠B = ∠D
（Տ角的ᛪ角ᄱ等）. 
教ߦ目ಖ὘
1. ଂଧ“三角形内角和定理”的证明ԣХእӭ应用. 
2. ଂଧ三角形内角和定理的ː˔଎᝷ԣХ证明. 
3. ࠫ
උ᣿ԝୠጮ等ଊጊ᣿程，ʹ͘
思፥实ᰎ和ኀ号ӑ的理性ͻ用. 
4. ʹ͘
ї͵中不等关系的እӭ证明. 
5. ळ࠮学生̰
内和ܱ
njᄱ等和不等的不Տ角एࠫ
三角形ͻ更全᭧的思考. 
6. ᤰ᣿一题ܳ
解nj一题ܳ
ԫ等，初൦ʹ͘
思፥的ܳ
Ք性，ळ࠮学生的˔性ӑ发࡙
. 
山东教育出版社
ᝍ
东
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出版社
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育出
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教育
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山东
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东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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出版社
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社
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出版
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出版
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线的定义
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3. 
东教
. 证
东教
证明
东教
明：
教
：
İ
东
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目ಖ὘
教
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1
东
1. 
东教
. ଂଧ“三
东教
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2
东
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东
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东教
ଂଧ
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东
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社
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版社
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山
ӑ的理性ͻ
 
78
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第八章 平行线的有关证明
࠵学᫽段学生ࣃፃ学习᣿
“三角形的内角和等̆
 180”，
七年级上学ర学生ԡᤰ᣿活үг
次ᰎ证̀
ᤈ一ፇ᝷，本ᓬѷ要ˑ
ಫڡ证明ᤈ一ፇ᝷，ࣳ
Ѿ用ᤈ一
ፇ᝷଎࠮有关三角形ܱ
角的定
理，Ѿ用ᤈ̏
定理解хእӭ的᫈
题. Цʹڡ，第 1 课௑的重ག௧
证明三角形内角和定理，ᤉ行እ
ӭ的应用Ὑ第 2 课௑，学习三角
形ܱ
角的概ঐ，ଊጊࣳ
证明三角
形ܱ
角有关的ї˔定理. 第 3 课
௑，Ѿ用ਫ਼学内ࠔ，ଊጊࣳ
证明
一̏
፬合᫈
题.
ό1ύࠫ̆
三角形内角和定
理等学生ࣃፃଊቃ᣿的ፇ᝷，
本套教科书一ᓊᦐ௧Џळ࠮学
生回顾Ԕ౏的ଊቃ与ᰎ证的
᣿程，ҧ图̰
ଊቃ与ᰎ证活
ү中ᖍԩ证明的思路. 三角形
内角和定理的证明，ᭊ要຋ҫ
ᣙҰ线Ὑͮ
不ኮ຋ҫ̤
˦ͯ
Ꮆ
的ᣙҰ线，Хᄬ的ᦐ௧࠲ᤈ̏
角“є”҂一ᡑὙᏫښ七年级
上册ᰎ证三角形内角和的活ү
中，学生ࣃፃ有̀
࠲三˔角“є”҂一ᡑ的ፃᰎ，ڂ൥，ᤈನ的回顾௧ӡ分必要的. 
教学中，可̿
ळ࠮学生思考：ݠ౧࠲ː˔角∠A，∠B ᦐረ҂∠C ܫ，有哪̏
方ขὝݠ౧不ረ
ү能աϢ出౽̏
ᣙҰ的线，实ဘᤈመረүὝݠ౧̩̩
࠲∠A ረү҂∠C ܫ，४҂ݠ图的图形，不ረ
ү∠A，能ឭ明内角和定理ՙὝښ学生思考的基ᆩ上，г要ර学生и出ˑಫ的证明᣿程，తՑᤉ行̔ื
njកౢ
. 
ό2ύ̡̰̓
౏ࡃ௧用ᒭࣂ的ᐓ明੦అѹᤵ౎件nj解х᫈
题的. े᫈
题的౎件不ܵ
௑，຋ҫᣙҰ
线，౞ᤵ新图形，形ੇ
新关系，੽҂ࣃᅼ与ళᅼ的ೄ್
，ં᫈
题ᣁӑੇ
ᒭࣂࣃፃ͘
解的ৱц，ᤈ௧
解х᫈
题࣢用的ኖ႕˨一. 
ᣙҰ线的຋ข෥有ፒ一的᜻॥，要ಪ据ᭊ要Ꮻ定. 本题ࡃ௧ᤰ᣿ᣙҰ线ં
三˔角“ୃ
”҂一
ᡑ，ᝨ三˔ᮇག重合njː౎᣸形ੇ
一౎直线，̿
ΧѾ用平角定义解х. 
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山东教育出版社 
山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
79
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6   三角形内角和的定理

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ࢾ
ڍ，˞൥᝺ᝠ̀
Γ 1. 教学中，
应ᴂҵ学生Џᒭ˟解х，ཀྵՑ
ᤉ行ࠫ
උnj̔ื
. 
解ї͵题，第一൦ࡃ௧ښ
图形中юᆸڡಖฌηৌ. 教学中
应ळ࠮学生࠲题ᄬ中的ηৌຍ
ఁڡಖฌ҂图形中，ࣳ
ᤉ一൦
思考，ಪ据ᤈ̏
ηৌᤇ可̿
४
҂哪̏
ፇ᝷，ࡊ可能ڡಖฌ，
ᤈ௑˷᝵᫈
题ࣃፃ解х̀
. Գܱ
，ಖฌ的ᮋऀ
，可能൤௧Ԧ
௢解题的ᮋऀ
. 教学中，ฌਓळ
࠮学生ʹ͘
ᤈ一ག. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ࣃᅼ：ݠ图，∠A，∠B ௧ R t ǁABC 的ː˔ᩩ
角，∠C = 90c.
    ර证：∠A + ∠B = 90c.
    证明：ı∠A ，∠B，∠C ௧ R t ǁABC 的三˔内角（ࣃᅼ），
    İ∠A +∠B + ∠C = 180c（三角形内角和定理）.
    İ∠A +∠B = 180c- ∠C（等式的性质）.
    ı∠C = 90c（ࣃᅼ），
    İ∠A +∠B = 180c- 90c= 90c（等᧚̽
૱）.
A 
B
C
（第 1 题）
山东教育出版社֗
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东教
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东教
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东教

东教


东教
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山东
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山东教育
山东教育出版社
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角
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社
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版
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义”
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东
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东教育
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山东
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山东
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山东
ර证：
山
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山
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版
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山东
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山东
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山东
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80
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. 证明：ı ∠A = 60c，∠C = 70c（ࣃᅼ），
∠A + ∠B + ∠C = 180c（三角形内角和定理），
İ ∠B = 180c- ∠A - ∠C（等式的性质）. 
İ ∠B = 180c- 60c- 70c= 50c（等᧚̽
૱）. 
ԡı DE ĩ BC（ࣃᅼ），
İ ∠ADE = ∠B = 50c（ː直线平行，Տͯ
角ᄱ等）. 
˸ᮥ

1. ࣃᅼ：ښǁABC 中，∠A + ∠B = 90c.
ර证：ǁABC ௧直角三角形. 
证明：ı∠A ，∠B，∠C ௧ ǁABC 的三˔内角（ࣃᅼ），
İ∠A + ∠B + ∠C = 180c（三角形内角和定理）.
İ∠C = 180c-（∠A + ∠B）（等式的性质）.
ı∠A + ∠B = 90c（ࣃᅼ），     
İ∠C = 180c- 90c = 90c（等᧚̽
૱）.
İ ǁABC ௧直角三角形（直角三角形的定义）. 
2. 证明：ı∠ACB = 90c（ࣃᅼ），
İ∠DCB = ∠ACB - ∠ACD = 90c- ∠ACD（等᧚̽
૱）.
ԡıCD ľ AB（ࣃᅼ），
İ∠ADC = 90c（垂直的定义）.
İ∠A + ∠ACD = 90c（直角三角形的ːᩩ
角̉
͸）.
İ∠A = 90c- ∠ACD（等式的性质）.
İ∠A = ∠DCB（等᧚̽
૱）.
3. 方ข一：᣿四᣸形 ABCD 的一˔ᮇགͻࠫ
角线，ᤌଌ AC（ੋ
 BD），࠲四᣸形 ABCD ᣁ
ӑ˞ː˔三角形，Ѿ用三角形内角和定理ᤉ行证明. 
方ข二：ښ四᣸形 ABCD 内任ԩ一ག O，ᤌଌ OA，OB，OC，OD，࠲四᣸形 ABCD ᣁ
ӑ˞四˔三角形，可४四᣸形的内角和等̆
 4×180c- 360c（一˔և角）. 
方ข三：任ԩ四᣸形 ABCD 一౎᣸上的一ག P（ݠ BC ᣸），ᤌଌ PA，PD，࠲四᣸形
ABCD ᣁӑ˞三˔三角形，可४四᣸形的内角和等̆
 3×180c- 180c（一˔平角）. 
山东教育出版社
直线平行
社
直线平行
中，
出
中，∠
出版
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出版
A + 
出版
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育出
௧直角三角
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教育
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教育
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，∠
育
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育
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A + 
教
+ ∠
教
∠B +
教育
B + ∠
教育
∠
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东教
C = 180
东教
180c
教
c
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山东
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山东
∠A
东
A +
东
+ ∠
东
∠
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山东
İ∠
山东
∠C
东
C
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山
İ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
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东
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东
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形的定义）.
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版社
（直角三
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版
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版社
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版社
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∠
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∠DCB
出版
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出版
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一：᣿四᣸形
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育出
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教育
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育
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东教育
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东教
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山东教育出版社
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东教
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山东
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山东
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山东
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山东
和等̆
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山东
3×
山
×1
东
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
81
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
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1. ᝽௚὘దː˔ᝈ̉
͸ᄊʼᝈॎ௧ᄰᝈʼᝈॎ.  
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊښ RtǁABC ˗ὊįACB!>!ŃὊCDĭ!ABὊۇᡜ˞ག D.  
 ර᝽὘įA!>įDCB.  
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A
D
C
B
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ਓʷ˔پ᣸ॎ.  
 ර᝽὘įA!,įB!,įC!,įD!>!Ń.  
 వᮥ
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ݠʾፇ᝷὘پ᣸ॎᄊЯᝈ֗
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Ń.   
 
Ą4. ښ᝽௚ʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေ௑Ὂ௧աԻ̿ં
ʼᝈॎᄊʼ˔ᝈþєÿ҂ BC ᣸ʽᄊ
ʷག P ܫ὆ݠڏ὆὇὇Ὕݠ౧ં
ʼ˔ᝈþєÿ҂ʼᝈॎЯᄊʷག P ܫք὆ݠڏ
὆὇὇Ὕݠ౧þєÿ҂ʼᝈॎܱ
ᄊʷག P ܫք὆ݠڏ὆὇὇ὝͿᤇᑟਇѣХ̵
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6   三角形内角和的定理

4. ҧ图г一次ू
ӑ学生“અͱ
ಪ本”的ਓគ. 
અͱ“ં
三˔角üୃ
ý҂一
ᡑ，ᝨ三˔ᮇག重合njː౎
᣸形ੇ
一౎直线，̿
ΧѾ用
平角定义”ᤈ一基本思ਇ，
可̿ં
三˔角集中҂三角形
的౽一˔ ᮇག（ݠҒ ᭧ፌ
出的ં
三˔角集中҂ C ੋ
 
A）Ὑ可̿ં߲̓
集中҂三角
形的一᣸上，ݠ图（1）Ὑ集
中҂三角形内ᦊ的一ག，ݠ
图（2）Ὑᤇ可̿ં߲̓
集中
҂三角形ܱ
ᦊ的一ག，ݠ图
（3）. 
学数学，要ؓ̆
અͱ不ԫ的
ಪ本，ԡ要ؓ̆
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ӑ中ᝣគnjܫ理和解х᫈
题. 
山东教育出版社
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山东
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山东教育
山东教育出版社
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ಪ本”的ਓ
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ಪ本”的ਓ
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东教
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山东教育出版社
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ԡ要
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ӑ中ᝣគ
教育
ӑ中ᝣគ
 
82
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
A
C
B




D
ڏ .
ᝬʷᝬ
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ጳጸੇ
ᄊᝈὊሦ˞ǁABC ᄊܱ
ᝈ.  ݠڏ .Ὂį ௧ǁABC ᄊ
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ᝈ.  Ϳᑟښڏ˗ႇѣǁABC ᄊХ̵ܱ
ᝈՙὝ
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ˀᄱ᥶ᄊː˔Яᝈᄊ֗

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ᝈįEAC.  
ර᝽὘ADĩBC.  
Ѭౢ
Ὁ᜶᝽௚ ADĩBCὊԶᭊ᝽௚þՏͯ
ᝈᄱ኎ÿὊੋ
þЯᩲᝈᄱ኎ÿὊੋ
þՏஸЯᝈ̉
ᛪÿ.  
᝽௚ὉıįEAC!>įB!,įC὆ʼᝈॎᄊʷ˔ܱ
ᝈ኎߲̆֗
ˀᄱ᥶ᄊː˔Я
ᝈᄊ֗
὇Ὂ
įB!>įC὆ࣃᅼ὇Ὂ
İįC!>!
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὇.  
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ѬįEAC὆ࣃᅼ὇Ὂ
İįDAC!>!
 įEAC὆ᝈࣱ
Ѭጳᄊࠀ˧὇.  
İįDAC!>įC὆኎᧚̽
૱὇.  
İADĩBC὆Яᩲᝈᄱ኎Ὂːᄰጳࣱ
ᛡ὇.  
E
D
A
B
C
ڏ .

第八章 平行线的有关证明
本课௑，࠲Κ次学习：三
角形ܱ
角的概ঐ，ଊጊࣳ
证明
三角形ܱ
角有关的ї˔定理，ࣳ
Ѿ用߲̓
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እӭ的᫈
题. ᄱࠫ
Ꮻᝓ
，ܱ
角的概ঐ和关ܱ̆
角的ː˔定理උᣗእӭ，
ڂ൥，本课௑的重གښ̆
ᤂ用
ᤈ̏
解х᫈
题，ښ解х᫈
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发࡙
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本课௑，直ଌ明ఁܱ
角的
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˫不ኀ合本套教科书
关ฌଊቃ的一᠖᮳ಫ. ᆸ实，本
套教科书ӡ分重᜽发࡙
学生的
ଊቃ能ҧ，ࡊ可能ᴂҵ学生ᒭ
˟߹ੇ
概ঐ的概઺nj命题的ଊ
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题的解х. ܱͮ
角ᤈ˔
概ঐࣳ
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ఁ̀
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要ර学生ښ
图中ಖฌХ̵ܱ
角，ᤰ᣿Х̵ܱ
角ງӑ学生ܱࠫ
角概ঐ的理
解ὙՏ௑，ښ图中ಖฌХ̵ܱ
角的᣿程˷˞下᭧发ဘܱ
角的
有关ፇ᝷ଢῚ
ᩔۙ
. 
ᝬʷᝬ࣏
మᤰ᣿“ᝬ一ᝬ”发ဘ有关ܱ
角的ː˔定理. “有̤
˦关系”ᄱࠫ
Ꮻᝓ
ᤇඋᣗࠕฅ，教学
中可̿ࠫ
学生ᤉ行适ए的ळ࠮. ݠ，图中∠1 与ǁABC 的三˔内角有̤
˦ܸ
࠵关系（可̿
௧不等关
系，˷可̿
௧等᧚关系），ࡊ可能ܳ
ڡ੽出౏Ὑښ三角形ԫӑ的᣿程中，ᤈನ的关系ᤇੇ
ቡՙὝ
ό1ύࠫ̆
三角形内角和定理的ː˔଎᝷，关᪄要ᝨ学生明ᆸ“不ᄱ᥶”的ե义，ԁ三角形的一
˔ܱ
角等̆
和߲
“不ᄱ᥶”的ː˔内角的和，ܸ̆
任͵一˔和߲
“不ᄱ᥶”的内角. ښ应用ᤈː˔
଎᝷௑，学生ड़ड़ڂ不ฌਓ“不ᄱ᥶”的要රᏫፃ࣢出ᩲ，ਫ਼̿
ښ教学௑应ूូ
“不ᄱ᥶”. ࠫ̆
三角形的ඈ一˔ܱ
角，ᦐ有一˔内角௧߲
的᥶ᛪ角，ᏫХ͸ː˔内角ᦐ与ᤈ一ܱ
角不ᄱ᥶. 
ό1ύ
山东教育出版社
版社
į
社
į
版社
用
版
用
题
版
题中
版
中
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直ଌ
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ଌ明
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明ఁ
育出
ఁܱ
育出ܱ
角
育出
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不ኀ
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教育
合本
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育
套教
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
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山东
ͻࠀေΎၹ.
东
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山
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山
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山
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山
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版
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出版
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出版
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版社ܱ
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出版
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出版
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出版
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版ܱ
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育出
ଢῚ
ᩔۙ
东教
东教
东教
东教
东教
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东教
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东教࣏
మ
教
మ
中
山东
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东
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山
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山东教育出版社
教育
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教育
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山
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山
形ԫ
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
83ࠫ̆
Γ ὊͿᤇదХ̵
᝽௚வขՙὝ
Γ
Njࣃᅼ὘ݠڏ .ὊįBAFὊįCBDὊ
įACE ௧ǁABC ᄊʼ˔ܱ
ᝈ.  
ර᝽὘įBAF!,įCBD!,įACE!>!Ń.  
᝽௚ὉıįBAF ௧ǁABC ᄊʷ˔ܱ
ᝈ὆ࣃ
ᅼ὇Ὂ
İįBAF!>į!,į὆ʼᝈॎᄊʷ˔ܱ
ᝈ኎߲̆֗
ˀᄱ᥶ᄊː˔Яᝈᄊ֗
὇.  
ՏေὊįCBD!>į!,įὊįACE!>į!,į.  
İįBAF!,įCBD!,įACE!>!὆į!,į!,į὇὆኎रᄊ۳వভ᠏
὇.  
ıį!,į!,į!>!Ń὆ʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေ὇Ὂ
İįBAF!,įCBD!,įACE!>!ġŃ>!Ń὆኎᧚̽
૱὇.  
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1. ݠڏὊښǁABC ˗ὊįA!>!ŃὊܱ
ᝈįACD!>!Ń.  රįB ֗
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A
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D
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὆ኄ  ᮥ
὇
2. ݠڏὊ܍ቇ὘
὆὇įADE!>įB!,į_______ὙįADB!>įC!,į_______!>įAED!,į______.    
὆὇ၹþ?ÿੋ
þ=ÿ܍ቇ὘
įAEC!_______įADEὙįAEC!_______įB.    
F
A
B
D
C
E



ڏ .
6   三角形内角和的定理

ᄱࠫ̆
Ғї课௑的题ᄬᏫᝓ
，本课௑ː˔Γ题的图形更
˞复ా
一̏
，ڂ൥，教科书̿
Γ题的形式նဘ题ᄬ，ࣳ
ፌ出̀
Γ 2 的分ౢ
᣿程. े
ཀྵ，教学
中̯
应ᴂҵ学生Џᒭ行解х，
ښ有ڈᬲ的௑ϋ，г࠭
රᏥ师
和Տͧ
的ࣟ
Ұ. 
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1. ∠B = 55c，∠ACB = 80c. 
2.（1）DAB，CAD，EAD. 
   （2）὜Ὑ὜. 
山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东
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出版
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出版
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山东教育出版社
 
84
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ݠڏὊښǁABC ˗ὊįA!>!įBὊܱ
ᝈįACD!>!ŃὊරįB ᄊए஝.  
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A
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D
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὇
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ݠڏὊښǁABC ˗ὊįB!>!ŃὊAE ௧įBAC ᄊࣱ
ѬጳὊܱ
ᝈįACD!>!Ń. 
රįAEC ᄊए஝.  
3 . ݠڏὊࣃᅼག DὊE Ѭѿښ A CὊA B ʽὊݠ౧
įB!>įCὊᥧ˦ᬔࠫ
ᮇᝈܱ
Ὂڏ˗ᤇదד̏
ᝈѬѿ
ᄱ኎Ὕ᝽௚Ϳᄊፇ᝷.  
὆ኄ  ᮥ
὇
A
E
D
C
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ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂ̋
ᝈ௡ॎᄊᮇᝈѬѿ௧įAὊ
įBὊįCὊįDὊįE.  
ර᝽὘įA!,įB!,įC!,įD!,įE!>!Ń.  
᝽௚ὉıįAFG ௧ǁFCE ᄊʷ˔ܱ
ᝈ὆ܱ
ᝈᄊࠀ
˧὇Ὂ
İįAFG!>įC!,įE὆ʼᝈॎᄊʷ˔ܱ
ᝈ኎߲̆֗
ˀᄱ᥶ᄊː˔Яᝈᄊ֗
὇.  
ՏေὊįAGF!>įB!,įD.  
ıښǁAFG ˗ὊįA!,įAFG!,įAGF!>!Ń὆ʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေ὇Ὂ
İįA!,įC!,įE!,įB!,įD!>!Ń὆኎᧚̽
૱὇.  
ႀ൥ԻᅼὊ̋
ᝈ௡ॎ̋
˔ᮇᝈᄊ֗
኎̆
 Ń.  
B
F
A
G
E
D
C
ڏ . 

第八章 平行线的有关证明
˸ᮥ

1. ∠B = 50c.
ଢᇨ：ı ∠A + ∠B = 
∠ACD = 150c，
∠A = 2∠B， 
İ 2∠B + ∠B = 150c.
İ ∠B = 50c. 
2. ∠AEC = 75c. 
ଢᇨ：Џර出∠BAC = 70c.
3. ∠BEC = ∠CDB，∠ADB 
=∠AEC. 
证明႕. 
山东教育出版社
版社
版社
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育出
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育出
70c
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出
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育出
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东
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东
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山东教育出版社             山东教育
山东教育出版社
山
教育出版社
出版社
E
出
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版
C
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C
὆ኄ
出版
὆ኄ
出版
ᮥ
὇
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὇
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BAC ᄊࣱ
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ѬጳὊܱ
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东
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东教
A CὊ
东教
ὊA B
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A B ʽ
教
ʽ
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Ὂڏ˗ᤇద
东教
ᮇᝈܱ
Ὂڏ˗ᤇద
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山
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山
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山东教育出版社
教育
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版社
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教育֗
኎̆

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Ń
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Ń.  
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社
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.
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஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
85
ښ᝽௚̋
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˔ᮇᝈᄊ֗
኎̆
 Ń௑Ὂ࠵௚ਇᤰ᣿ᤌଌ CDὊં̋
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ᄊਇขԻᛡՙὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
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ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂښ ǁABC ˗Ὂį ௧߲
ᄊʷ˔ܱ
ᝈὊE ˞
᣸ AC ʽᄊʷགὊण᫂
 BC ҂ག DὊᤌଌ DE.
ර᝽὘į ?į.  
᝽௚Ὁıį ๟ ǁABC ڦᅃ߲ྔ
ঙ὆ᅙኪ὇Ὂ
İį?į὆ʼᝈॎᄊʷ˔ܱ
ᝈܸ̆͊
͵ʷ˔߲֗
ˀᄱ᥶ᄊЯᝈ὇.
ıį ௧ ǁCDE ᄊʷ˔ܱ
ᝈ὆ܱ
ᝈᄊࠀ˧὇Ὂ
İį ?į὆ʼᝈॎᄊʷ˔ܱ
ᝈܸ̆͊
͵ʷ˔߲֗
ˀᄱ᥶ᄊЯᝈ὇.
İį ?į.
ᝬʷᝬ
ᬤ۶ጷ˸
1. ݠڏὊʾѵדїመឭขʷࠀ൤ᆸὝ
὆὇įB!?įACDὙ 
 
 
὆὇įB!,įACB!>!Ń.įAὙ
὆὇įB!,įACB =!ŃὙ 
 
὆὇įHEC!?įB.
A
H
E
B
C
D
὆ኄ  ᮥ
὇
A
B
D
E
C
὆ኄ  ᮥ
὇
ڏ . 
D
C
F
A
B
E





2. ࣃᅼ὘ݠڏὊABĩCD.  
  ර᝽὘įCAB!>įCED!,įCDE.  
6   三角形内角和的定理

ᝬʷᝬ
ᤈ一᫈
题可̿
证明ݠ下：
ᤌଌ CD，BD 与 CE ̔̆
ག H，ڂ˞∠BHC ௅௧ ǁCDH
的ܱ
角，˷௧ ǁBEH 的ܱ
角，
ਫ਼̿
∠CDH + ∠DCH =∠B + 
∠E，ႀ൥可证五角௡形五˔ᮇ
角˨和˞ 180c.
Γ4
ᤈ௧本套教科书中ᯫ次证
明ї͵中的不等关系，学生ᬲ
В有̏
不习ਅ，ڂ൥，ݠ౧学
生有ڈᬲ，适े
的ळ࠮௧必要
的. ݠ本题可̿
有下᭧的ळ࠮
方式：要证明ː˔角的不等关
系，ੈ̓
有哪̏
关̆
角的不等
关系的ፇ᝷Ὕ能直ଌᤂ用ᤈ˔
ፇ᝷ՙὝڈᬲښ哪᧗Ὕ
教学中，应ស适े
ฌਓ. 本
Γਇᝨ学生复习“三角形的一
˔ܱ
角ܸ̆
任͵一˔和߲
不ᄱ
᥶的内角”，Տ௑ʹ͘
౽̏
不等
关系的᤬଎和᝷证᣿程. 
ᭊ要ឭ明的௧，本Γ证明
中用҂̀
不等关系的传᤬性，ԁ“ݠ౧ a > b，b > c，ᥧ˦ a > c”. ښ初中᫽段，ᤈ一ፇ᝷可̿
ᄺͻ
不等式的性质Ꮻͻ˞基本事实Ύ用. ݠ౧学生有Ⴁ᫈
，教师可ፇ合实Γҫ̿
解᧖. 
ᬤ۶ጷ˸
1.（2）（3）（4）ᦐ一定൤ᆸ. ᤈ௧一᥋ܳ
ᤥ题. 
2. 证明：ıAB ĩ CD（ࣃᅼ），
İ∠A = 180c- ∠C（ː直线平行，Տஸ内角̉
ᛪ）. 
ԡı∠C = 180c-（∠D + ∠CED）（三角形内角和定理），
İ∠A = 180c-ό180c-（∠D + ∠CED）ύ（等᧚̽
૱），
ԁ∠CAB =∠CED + ∠CDE. 
山东教育出版社
ኪ
版
ኪ὇
版
὇Ὂ
版社
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ᝈܸ̆͊
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东
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山东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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B
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὆ኄ
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社
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C
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E
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版社
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版社
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版社
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EH
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出版
EH
E
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版ܱ
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版
角
H
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H +
育出
+ ∠
育出
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出版
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出版
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出版
H
CH
C
出版
CH
C
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育
ႀ൥
育
൥可
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育出
证五
育出
五角
出
角
˨和˞
教育
˨和˞ 180
教育
180c
育
c
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东教
Γ4
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4
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东教
ᤈ
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东
明ї
东
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҂̀
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教育
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不等关系的
等式的性质Ꮻ
东教
等式的性质Ꮻ
山东
山东
山东
山东
山东
山东
山东
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东
ᬤ
1
山
1
山东教育出版社
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社
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社
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版社
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社
. 本
社
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版社
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版社
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版社
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Տ௑
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出
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系的᤬଎和᝷
教育出
系的᤬଎和᝷
ᭊ
教育
ᭊ要
教育
要ឭ
育
ឭ
c
东
c”
东
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东教
. ښ初中᫽
东教
ښ初中᫽
可ፇ合实Γҫ
山东教
可ፇ合实Γҫ
 
86
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
˸ᮥ


஝ߦေᝍ
ᐏጇ઩ࣹ
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ˗ὊįDAC!>įB.  
ර᝽὘įADC!>įBAC.  
A
B
D
C
B
C
F
A
὆ኄ  ᮥ
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὆ኄ  ᮥ
὇
2. ݠڏὊښǁABC ˗ὊBF ࣱ
ѬįABCὊCF ࣱ
ѬįACBὊįA!>!ŃὊරįBFC ᄊ  ܸ
࠵.  
3. ݠڏὊර᝽὘὆὇įBDC!?įAὙ
὆὇įBDC!>įB!,įC!,įA.  
Ąݠ౧ག D ښጳ඀ BC ᄊԳʷΟὊፇ᝷͘
টನὝ
B
D
C
A
὆ኄ  ᮥ
὇

第八章 平行线的有关证明
˸ᮥ

1. 证明：ı∠ADC = ∠B + 
∠BAD（三角形的一˔ܱ
角
等̆
和߲
不ᄱ᥶的ː˔内角
的和），∠DAC = ∠B（ࣃ
ᅼ），
İ∠BAC =∠BAD + ∠DAC = 
∠BAD + ∠B（等᧚̽
૱），
 İ∠ADC = ∠BAC（等᧚̽
૱）. 
2. ∠BFC = 115c.
3. ଢᇨ：
（1）ण᫂
 BD ̔
 AC ̆
ག E，
可४∠BDC ὜∠DEC 
὜∠AὙ
 （2）∠BDC = ∠C +∠DEC 
=∠C + ∠B + ∠A. 
第（2）题实ᬅፌ出̀
一˔
关系：ݠ౧ં
图中ਫ਼ፌ图形
ሦ˞ ल形，ᥧ˦ ल形中ݠ
∠BDC 的角等̆
Х三˔内角
的和，ԁ有“ં
三˔内角一
ᡑረ出图形ܱ
ᦊ”的ͻ用.
题中ଢ出：“ݠ౧ག D ښ线
段 BC 的Գ一Ο，ፇ᝷͘
ট
ನὝ”ࠫ
൥，可̿
ळ࠮学生ᤉ行适े
ଊጊ：ݠ图，ݠ౧ܸ̿̆
平角的∠BDC Ꮻ᝷，̯
有∠BDC 
=∠A + ∠B + ∠C. 证明思路௧：ᤌଌ AD ࣳ
ण᫂
ᒰ E，ڂ˞∠BDE =∠BAD + ∠B，∠CDE = 
∠CAD + ∠C，̆
௧∠BDC =∠A + ∠B + ∠C. ݠ౧̿
࠵̆
平角的∠BDC Ꮻ᝷，ѷ有 360c-
∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C，ੋ
∠BDC = 360c-（∠A + ∠B + ∠C）. 
（第 3 题）
山东教育出版社
版社
C
版
C =
版
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出版̽
૱），
出版
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C
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C（
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15
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教
c.
教育
.
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东
）ण
东
ण᫂
东教᫂
B
东教
BD
东教
D
BD
B
东教
BD
B̔
教̔
可
山东
可४
东
४∠
东
∠
὜
山
὜
2
山
2
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
版社
教育出版社
版社
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教育
B
教育
B
F
育出
F
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版
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东ࣱ
Ѭį
东
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东教
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东教
ὊCF 
东教
CF ࣱ
教ࣱ
ර᝽὘
ර᝽὘὆὇įBD
BD
὇įBDC
BDC>į
>įB
 
B,į
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Ąݠ౧ག
ݠ౧གD 
D ښጳ
ښጳ
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社
图形
社
形
形
社
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社
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社
ݠ
Х
版
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版
三˔
版社
˔内
版社
内角
版社
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出版ં
三
出版
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出版
˔内
版社
内角
版社
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ᦊ”的ͻ用
出版
形ܱ
ᦊ”的ͻ用
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教育
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教
ನὝ
教
Ὕ”
教育
”ࠫ
教育ࠫ
൥
教育
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东教
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东教
∠A
东教
A +
教
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东
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东
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东
A
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东
CA
C
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东
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山东教育出版社
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东ܸ̿
东教ܸ̆
东教̆
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东教
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山东
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山东
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东教
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东教
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山
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山
∠B
山
B
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
87
ڀᮏˁনᏦ
. ᄰ᜺௧᧘᜶ᄊὊ߲ͮ
ద௑˷͘
൛ᰕ̡
.  Ϳᑟ੽҂ᤈನᄊΓߕՙὝ
. ឰၹᒭࣂᄊឦᝓ
ឭឭ̤
˦௧ࠀ˧nj֑ᮥ
Ὂࣳ
ˡΓឭ௚.
. ̤
˦௧ᄾ֑ᮥ
Ὕ̤
˦௧Ϝ֑ᮥ
ὝটನѼலʷ˔֑ᮥ
௧ᄾ֑ᮥ
ᤇ௧Ϝ֑ᮥ
Ὕ
. ឰͿၹᒭࣂᄊឦᝓ
ឭʷឭ̤
˦௧۳వࠄ̃
njࠀေ֗
଎᝷.  వ˺˗ͻ˞᝽௚ѣԧག
ᄊ۳వ̃
ࠄదד̏
Ὕ
. ˞̤
˦ᭊ᜶᝽௚ὝឰͿၹᒭࣂᄊឦᝓ
ឭʷឭ᝽௚ᄊ۳వ൦ᰡ.  
. ̤
˦౎͈
ʾː౎ᄰጳࣱ
ᛡὝː౎ᄰጳࣱ
ᛡԡ͘
টನὝᤈːዝ֑ᮥ
ᄊ౎͈֗
ፇ᝷
 ద̤
˦ТጇὝͿ͘
᝽௚߲̓
ՙὝ
. ʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေট˦᝽௚Ὕʼᝈॎᄊܱ
ᝈˁЯᝈద̤
˦ТጇὝ
. ၹᤠे
ᄊவर೛ေవቦᄊᅼគὊࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
. 
ܭ˸ᮥ
ᅼគ੿ᑟ
1. ࠵௚ႇ̀
ʷ˔ڏ὆ݠڏ὇ὊͿᑟѬѿಪ૶ʾ᭧ᄊ۳వ̃
ࠄੋ
ࠀေὊឭ௚̵
ႇᄊڏ௧
ᩲឨᄊՙὝ
὆὇ࣱ
ᛡጳᄊదТ۳వ̃
ࠄ֗
ࠀေὙ
὆὇ʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေ.  
B
D
C
E
A
F
P
A B
l


὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ឰ࠲ʾ᭧᝽௚˗ඈʷ൦ᄊေႀ܍ښᄱऄᄊ઺ՂЯ὘
ࣃᅼ὘ݠڏὊDὊEὊF Ѭѿ௧ BCὊCAὊAB ʽᄊགὊDEĩBAὊDFĩCA.  
复习题

ڀᮏˁনᏦ
教科书̿᫈
题的形式，ळ
࠮学生回顾与೛理本ቦᅼគ，̿
形ੇ
߹ؓ
的ᅼគፇ౞. 教学
中，教师应Ѝ分发૙学生的˟
ʹ性，ᝨ学生ᒭ˟ᤉ行ᅼគ的
回顾与೛理ࢺͻ，ࣳ
ᤰ᣿ိ
级̔ื
与ᄱ̉
កౢ
，Ψᤉ学生ࠫ
有关ᅼគ的理解，ଢӤ学生ᅼ
គ೛理的能ҧ. ࠫ̆
ЦʹՊ˔᫈
题，࣏
మ
学生用ᒭࣂ的ឦᝓ
回ን，Ꮻ不
ࠂूូ
Ԕ࠰不үڡ复ᤘ教科书
中的内ࠔ. ࠫ̆
平行线的判定
定理和性质定理，࣏
మ学生能
ᅼ᥋߲̓
的౎件和ፇ᝷൤ݞᄱ
Ԧ，可̿
不要ර̵̓
ᅼ᥋判定
与性质ᤈː˔Ր字. ൥ܱ
，教学
中ᤇ应ፇ合ЦʹΓߕᤉ行有关
ᅼគ的೛理与ࢾڍ，ښЦʹΓ
ߕ中，ᝨ学生ࠫ
证明的基本൦
ᰡnjଊ࠭
证明思路有一˔更˞
全᭧的̀
解. Γݠ，ښ࠭
ර证明
思路的᣿程中，可̰̿
ࣃᅼՔ
ර证ଊጊ，˷可̿
ψ᣿౏̰
ර
证Քࣃᅼᤝແ，ᤇ可̰̿
ࣃᅼ
和ර证ː˔方Ք分ѿ出发，̉
ᄱଌᤃ. 
山东教育出版社
出版
出版
۳వ൦ᰡ
社
۳వ൦ᰡ
টನὝᤈːዝ֑ᮥ
版社
টನὝᤈːዝ֑ᮥ
ᄊܱ
ᝈˁЯᝈద̤
˦
版社
ᄊܱ
ᝈˁЯᝈద̤
˦
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
出版
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
ܭ
育
ܭ
教育
ᅼគ੿ᑟ
山东
ᅼគ੿ᑟ
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ʷ
山
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ʷ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社ੋ
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版社   
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B
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F
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ඈʷ൦ᄊေႀ܍ښᄱ
D
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育
ὊE
育
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社
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社
，
౞
社
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社
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社
教学
社
学
૙
版
૙学
版社
学生
版社
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版社
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社
˟
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出
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出版
˟ᤉ
出版
ᤉ行
出版社
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版社
ᅼគ
版社
គ
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出
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出
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出版
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版
᣿
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ᄱ̉
育̉
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កౢ
育出ౢ
，
出
，Ψ
出
Ψ
ᅼ
教育
ᅼគ
教育
គ的
教育
的理
育
理解
育
解
គ೛理的能ҧ
教育
គ೛理的能ҧࠫ
东教ࠫ̆
教̆
Ц
教
Ц
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学生
东教
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东教
用
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山东教育出版社
行
社
行
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社
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社
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社
Γ
证
版
证明
版社
明的
版社
的基
版社
基本
社
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社
൦
明思
版
思路
出版
路有
版社
有一
版社
一˔
版社
˔
解
出
解.
出
. Γ
出版
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出版
ݠ，
出版
，ښ
版
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版࠭
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的᣿
育
᣿程
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程中
育出
中，
出
，可
出
可
证
教育
证ଊ
教育
ଊጊ
教育
ጊ，
育
，˷
育出
˷可
出
可
证
教
证Ք
教育
Քࣃ
教育
ࣃᅼ
教育
ᅼᤝ
育
ᤝ
和
东教
和ර
东教
ර证
教
证ː
教
ː
ᄱଌ
东教
ᄱଌ
88
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
下᭧௧一˔可Ι参考的本ቦᅼគፇ౞图：
下᭧௧一˔可Ι参考的Ч型Γ题.
Γ ࣃᅼ：ݠ图 1，直线 AB ĩ ED. ර证：∠ABC + ∠CDE = 
∠BCD. 
本题解х思路ॢܳ
，分ѿͻ下᭧的一̏
ᣙҰ线，ᦐ可̿
解х：① ᤌ
ଌ BD，Ł ᣿ C གͻ CF ĩ AB，ł ण᫂
 BC ̔
 DE ̆
ག F. 
不ኮͻ哪一౎ᣙҰ线，తጼᦐ࠲ᤂ用三角形的内角和ੋ
Ꮸ平行线的性质ᤉ行ර解，ڂ
൥，ᤈ௧考ಊ学生ࠫ̆
本ቦᅼគᤂ用能ҧ的一᥋Ч型᫈
题. े
ཀྵ，ႀ̆
ᭊ要ͻᣙҰ线，本题ࠫॢܳ
学生Ꮻᝓ
Ц有一定的ڈᬲ，教学中ҫ̿
ૉ࠮
௧必要的. ͮੈ̓
一定要ં
ଧݞૉ࠮的“ए”. ݠ౧ૉ࠮᣿ບ，本可̿
ႀ学生ᒭ˟解х的，
ႀ̆
教师的ૉ࠮，学生ԦᏫܿ
ԝ̀
思考的఻͘
，能ҧᬲ有఻͘
发࡙
. ڂ൥，教学中应ࠫ
学
生的࿄цͻ出юᆸ的判ல. 可̿
Џፌ́
学生一̏
ࠕฅ的ૉ࠮，ݠ：ႀ౎件“ː直线平行”
可̿
४҂哪̏
ፇ᝷Ὕ本题中౎件ᤂ用的ڈᬲښ哪᧗Ὕݠ͵更ݞڡ࠲౎件用ᡑ౏Ὕᤈನ的
ૉ࠮௧௿适的，ࠫ̆ܳ
数᫈
题ᦐ有஍，௉ښΨᤉ学生解题分ౢ
的习ਅ的Щੇ
. ݠ౧ښᤈನ
的ࣟ
Ұ下，学生ᤇ不能解х᫈
题，ᤈ௑可̿
гᤉ行一̏
更ҫЦʹӑ的ૉ࠮njଢᇨ，ݠ：
ፇ᝷“∠ABC + ∠CDE = ∠BCD”，能不能࠲∠BCD 分解ੇ
ː˔࠵的角，߲̓
൤ݞ等̆
∠ABC，∠CDEὝ哪˔定理๘ԣ一˔角等̆
ː˔角的和Ὕ能不能应用ᤈ˔定理Ὕ
解х᫈
题Ց，ᒭཀྵ应ळ࠮学生ᤉ行Ԧ思nj̔ื
，̿
ᖍ४解хᤈዝ᫈
题的ᤰ用的思路，
发࡙
学生的解题能ҧ. ݠࠫ̆
本题，可̿
ळ࠮学生回顾解题᣿程，ሥግ解题ፃᰎ，可̿
ळ࠮
学生思考ܳ
ನ的方ข̿
ԣᤈ̏
方ข的С性，可̿
ळ࠮学生ࠫ᫈
题ҫ̿
଎ࣹ
҂一ᓊӑ. 
下᭧௧可̿
参考的ї˔Ԧ思᫈
题：
（1）ឭឭ解х本题中Ϳ的ڈᬲ௧̤
˦，Ϳ௧ݠ͵ቊᆡ的.
（2）ᤇ有哪̏
方ขὝ与Տͧ̔ื
，ࣳ
ښ图中ᤉ行እӭ的ಖฌ，࠲思路ᝮै
下౏. 
A
E 
B
D
C
图 1
下᭧
山东
下᭧
Γ
山
Γ
山东教
东教育出版社
版社
山东
山东教育出版社             山
山东
山东
ED
ED
ED
E . ර证：∠
ͻ下᭧的一̏
 ̏
ᣙ
B，ł ण᫂
 ᫂
B
线
社
线，
社
，త
社
తጼ
社
ጼᦐ
 
ᦐ࠲ࠫ̆
本ቦᅼគᤂ
版社ࠫ̆
本ቦᅼគᤂ̆
版̆
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版
ᭊ要
版社
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版社
ͻᣙ
版社
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社
Ұ线
社
线ͮ
出ͮੈ
出ੈ̓
出版̓
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一定
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育
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ૉ࠮
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出
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࿄
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࿄ц
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育出
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出
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教
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४
教育
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教育
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育
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ૉ
东教
ૉ࠮
东教
࠮௧
教育
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教育
௿适
育
适
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东教
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东教ࣟ
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教
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ፇ
东
ፇ᝷
东
᝷
山东教育出版
山东教育出版社
行
版社
行ර
版社
ර解
版社
解，
社
，ڂ
社
ڂ
教
出版
教学
出版
学中
出版
中ҫ
版
ҫ̿
版̿
ႀ
育出
ႀ学
育出
学生
出版
生ᒭ
出版
ᒭ˟
出版
˟解
版
解࡙
育࡙
.
育
. ڂ
育出
ڂ൥
育出
൥，
育出
，教
出
教
ݠ
教
ݠ：
教育
：ႀ
教育
ႀ౎
育
౎件
育
件
͵
东教
͵更
东教
更ݞ
东教
ݞڡ
教育
ڡ࠲
教育
࠲౎
教育
౎
解
东
解题
东
题分
东教
分ౢ
东教ౢ
的
东教
的习
教
习
行
山
行一
山东
一̏
山东̏
更
山东
更ҫ
东
ҫЦ
东
Ц
∠
山
∠B
山
BC
山
CD
山东
D
CD
C
山
CD
C
分
山东
分解
东
解
的和Ὕ
山
的和Ὕ
89
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
（3）ᤤᣁԫ式：࠲本题的౎件和ፇ᝷ࠫ
૱，命题ᤇੇ
ቡՙὝ˷ࡃ௧ឭ，ݠ图 1，ࣃᅼ
∠ABC + ∠CDE = ∠BCD，ᤈ௑直线 AB，ED 平行ՙὝឭឭͿ的理ႀ. 
（4）一ᓊӑԫ式：ஈԫག C 的ͯ
Ꮆ，图形͘
发生ԫӑ，∠ABC，∠CDE 和∠BCD 的
关系͘
发生ԫӑՙὝតښ下᭧三˔图形中，и出∠ABC，∠CDE 和∠BCD ˨ᫎ
的等᧚关系. 
A
E 
B
D
C
A
E 
B
D
C
A
E 
B
D
C
ܭ˸ᮥ
1.（1）ᔪ∠1 = 90c，∠2 = 90c，ѷ∠1 = ∠2，  PA ĩ PB（Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行）. ͮ
 PA 与 PB ᄱ̔
，ਫ਼̿
图形௧ᩲឨ的. 
（2）ᔪ∠1 = 90c，∠2 = 90c，ѷ∠PAB = ∠PBA = 90c，ͮ
三角形三˔内角的和௧
180c，ਫ਼̿
图形௧ᩲឨ的. 
2. ࣃᅼὙː直线平行，内ᩲ角ᄱ等ὙࣃᅼὙː直线平行，Տͯ
角ᄱ等Ὑ等᧚̽
૱. 
图 3
图 4
图 2
山东教育出版社
出版社
D
育出版
D
出
D
C
出版
C
A
版社
A
˸ᮥ
东教
˸ᮥ
（
山
（1
山东
1）
山东
）ᔪ
山东教
ᔪ∠
东教
∠1
东教
1ͮ
山东ͮ
P
山东
PA
山东
A
PA
P
山东
PA
P 与
东
与
东
（
山
（2
山
2）
山
）
图
教育
图2
育
2
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
的
社
的
关
社
关系
社
系.
社
.
教育出
D
教育
D
C
出
C
PA
山
A
PA
PA
P
ĩ
山
ĩ P
山
PB
山
B
PB
P
山
PB
P
PA
PA
PA
P B = ∠P
 
PB
PB
PB
P
等ὙࣃᅼὙː
 
等ὙࣃᅼὙː
图
东教
图4
教
4
山东教育出版社
 
90
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ර᝽὘įFDE!>įA.  
᝽௚ὉıDEĩBA ὆      ὇Ὂ
İįFDE!>įBFD὆      ὇.
ıDFĩCA 
 ὆      ὇Ὂ
İįBFD!>įA 
 ὆      ὇.
İįFDE!>įA 
 ὆      ὇.
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ aὊb ᜂᄰጳ c ਫ਼੕Ὂ˅ aĩb.  
 ර᝽὘į!,į!>!Ń.  
4. ࣃᅼ὘ݠڏὊį!,į!>!Ń.  
 ර᝽὘į!>į.  
5. ݠڏὊABĭBCὊBCĭCDὊACĭBD.  ݠ౧įA!>!αὊᥧ˦įABP ֗
įPCD Ѭѿ኎̆ܳ
࠶Ὕ
὆ኄ  ᮥ
὇
A
B
C
D
P
A
F
D
E
B
C
G
H
὆ኄ  ᮥ
὇
6. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ˗ὊDEĩBCὊF ௧ AB ʽᄊʷགὊFE ᄊण᫂
ጳ̔
 BC ᄊण᫂
ጳ̆
ག G.  
 ර᝽὘įEGH!?įADE.  
7. ݠڏ௧ੈ
ڎԱ̽
஝ߦ˺˗ᄊʷ˔᧘᜶ڏॎὊሦ˞þऺ
ڏÿὊ
ώҰ߲
Ի̿
᝽௚Ӈᐧࠀေ.  ښऺ
ڏ˗ὊAEĭBFὊBFĭCGὊ
CG ĭ DHὊDH ĭ!AE.  
 ර᝽὘AEĩCGὊBFĩDH.  Ϳᑟਇѣїመ᝽௚வขὝ
a
b
c


὆ኄ  ᮥ
὇




O
C
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A
B
D
F
὆ኄ  ᮥ
὇
A
D
C
B
F
E
H
G
὆ኄ  ᮥ
὇

第八章 平行线的有关证明
3. 证ข一：ݠ图，
ıa ĩ b（ࣃᅼ），
İ∠1 + ∠3 = 180c（ː直线
平行，Տஸ内角̉
ᛪ）. 
ı ∠2 = ∠3 （ࠫ
ᮇ角ᄱ
等），
İ∠1 + ∠2 = 180c（等᧚̽
૱）. 
证ข二：ݠ图，ıa ĩ b（ࣃ
ᅼ），
İ∠1 = ∠4（ː直线平行，
Տͯ
角ᄱ等）. 
ı∠4 + ∠2 = 180c（平角的
定义），
İ∠1 + ∠2 = 180c（等᧚̽
૱）.  
4. 证明：ݠ图，
ı∠1 + ∠2 = 180c（ࣃᅼ），∠2 = ∠5（ࠫ
ᮇ角ᄱ等），
İ∠1 + ∠5 = 180c（等᧚̽
૱）. 
İCD ĩ EF（Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线平行）. 
İ∠3 =∠4（ː直线平行，Տͯ
角ᄱ等）. 
5. ∠ABP = 90c- α，∠PCD = α.
6. ႕. 
7. ଢᇨ：用“Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行”“内ᩲ角ᄱ等，ː直线平行”“Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线平
行”，ᦐ可̿
证明.  
a
b
c
B
C
D
A
E
F
O
（第 4 题）
（第 3 题）
东教育出版社
版社
山东
直线
版
直线
）
出
）.
出
.ࠫ
育出ࠫ
ᮇ
育出
ᮇ角
育出
角ᄱ
出
ᄱ
∠
教
∠2
教
2 = 
教育
= 180
教育
180c
教育
c（等
育
（等
ข二：ݠ图，
东教
ข二：ݠ图，
ᅼ）
山东
ᅼ），
山东
，
İ
山
İ∠
山
∠1
山
1 =
山
=
Տͯ
山
Տͯ
教育出版社             山东教育出版社
社

东
Ń
东
Ń. 
东
. 
C
山
Cĭ
山
ĭCD
山东
CDὊ
山东
ὊAC
山东
ACĭ
山东
ĭBD
东
BD
 
A
6.
6.

出


育出


育出


育

E
出版
E
A
出版
A
D
教育
D
F
育
F
὆ኄ
教育
὆ኄ
教育出版
出
育出
育出
育出
育出
山东教
山东
山
᧚̽
社
᧚̽
证明：ݠ图，
教育
证明：ݠ图，
ı
东教
ı∠
东教
∠1
教
1 +
教
+
İ
东
İ∠
东
∠1
İ
东
İ
山东教育出版社
教育
ᄊण᫂
ጳ̔
社
ᄊण᫂
ጳ̔
þऺ
ڏÿ
版
þऺ
ڏÿὊ
版
Ὂ
Ὂ
出
ὊBF
出版
BFĭ
出版
ĭCG
出版
CGὊ
版
Ὂ
መ᝽௚வขὝ
育出
መ᝽௚வขὝ
版
A
版社
A
版社
）
山
），
山东
，
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
91
8. ݠڏὊښǁABC ˗ὊDEĩBCὊįDBE!>!ŃὊįEBC!>!ŃὊරįBDE ᄊए஝.  
A
D
E
B
C
὆ኄ  ᮥ
὇
B'
A
C
D
O
B
὆ኄ  ᮥ
὇
஝ߦေᝍ
10. ڀንʾѵ᫈ᮥ
὘
὆὇ʼᝈॎᄊʷ˔Яᝈʷࠀ࠵̆
 ŃՙὝʷࠀ࠵̆
 ŃՙὝ
὆὇ʷ˔ʼᝈॎ˗తܳ
దї˔ᄰᝈὝతܳ
దї˔᧽ᝈὝ
὆὇ʷ˔ʼᝈॎᄊతܸ
ᝈˀ͘
࠵̆
 ŃὊ˞̤
˦Ὕత࠵ᝈˀܸ̆ܳ͘
࠶एὝ
11. ݠڏὊښǁABC ˗ὊįABC!>!ŃὊįACB!>!ŃὊAD ࣱ
ѬįBACὊAEĭBC.  
   රįDAE ᄊए஝.  
A
B
D E
C
὆ኄ  ᮥ
὇
12. ݠڏὊឰѾၹįὊįὊįὊįὊįὊį ᤈ  ˔ᝈὊиѣᑟܵ
᝽௚ aĩb ᄊ
  ౎͈
὆ᑟиѣї˔ࡃиї˔὇.  
9. ં᫂
வॎ AB'CD ෹ࠫ
ᝈጳ AC ઉԯὊ४҂ݠڏਫ਼ᇨᄊڏॎ.  ࣃᅼįBAO!>!ŃὊර
įAOC ֗
įBAC ᄊए஝.  
a
b






὆ኄ  ᮥ
὇
复习题

8. ∠BDE = 125c. 
9. ∠AOC = 120c，∠BAC = 
60c.
10. 本题௧考ಊ学生ࠫ
基本概ঐ
的理解. 
（1）三角形的一˔内角一
定࠵̆
 180c，不一定
࠵̆
 90cὙ
（2）一˔三角形中తܳ
有
一˔直角，తܳ
有一
˔᧽角Ὑ
（3）三角形中的తܸ
角不͘
࠵̆
 60c. ڂ˞，
ᔪతܸ
角࠵̆
 60c，
ᥧ˦三角形的三˔内
角的和ࡃ࠵̆
 180c. 
ᤈ与三角形的内角和
等̆
 180cᅸᄴ. ዝͫ
ڡ，三角形中త࠵角
不ܸ̆͘
 60c. 
Х中，第（3）题关̆
三角
形తܸ
角和త࠵角的᫈
题，
๘ԣࠫ
ԫү中᣸ႍ
的ᝣគ，
ښ解х౽̏
数学᫈
题௑ፃ࣢͘
用҂. 
11. ∠DAE = 10c.
12. ኀ合要ර的౎件ॢܳ
，ݠ：∠1 = ∠3，ੋ
∠1 = ∠5，ੋ
∠2 = ∠4，ੋ
∠2 = ∠6，ੋ
∠2 + ∠3 
= 180c，ੋ
∠2 + ∠5 = 180c，ੋ
∠1 + ∠4 = 180c，ੋ
∠1 + ∠6 = 180c. 
山东教育出版社
ʷࠀ࠵̆
育出
ʷࠀ࠵̆

育出
Ń
育出
ŃՙὝ
出
ՙὝ
తܳ
దї˔ᄰᝈὝత
教育
తܳ
దї˔ᄰᝈὝత
ᄊతܸ
ᝈˀ͘
࠵̆
教育
ᄊతܸ
ᝈˀ͘
࠵̆
ABC 
东教
ABC ˗Ὂ
东教
˗Ὂį
教
įABC
教
ABC>
教
>
E
东
E ᄊए஝
东教
ᄊए஝.  
东教
.  
ᇨᄊڏॎ
社
ᇨᄊڏॎ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
į ᤈ ˔ᝈὊи
˔ᝈὊи
出版社
a
版
a
b
出版
b

版


版


版社


版社

版社
版社
版社
版社
版
基
社
基本
社
本概
社
概ঐ
社
ঐ
的
出版
的一
版
一˔
出版社
˔内
版社
内角
版社
角
࠵
出
࠵̆
出̆
1
出
18
出版
80
出版
0c
出版
c，
版
，不
版
不
࠵̆
育出
࠵̆
90
育出
90c
育出
cὙ
出
Ὑ
2
教
2）
教育
）一
教育
一˔
育
˔三
育
三角
育
角
一
教育
一˔
教育
˔直
育
直
˔
教
˔
（
东教
（3
东教
3
DAE =
教育
DAE = 10
教育
10c
教育
c.
育
.
 
东
 ኀ合要ර的౎
东教
ኀ合要ර的౎
=
山东
= 180
东
180c
东
c
教
山东教育出版社
త
社
త
. 
社
. 
）
版
）题
版社
题关
版社
关̆
版社̆
三
社
三角
社
角
和
版
和త
版
త࠵
版
࠵角
版社
角的
版社
的᫈
版社᫈
题
社
题ࠫ
出ࠫ
ԫ
出
ԫү
出版
ү中
出版
中᣸
出版
᣸ႍ
版ႍ
的
版
的
解
育
解х
育出
х౽
育出
౽̏
育出̏
数
出
数学
出
学͘
用҂
教育出͘
用҂.
育
.ੋ
山ੋ
∠
东
∠2
东
2 =
东
= ∠
东教
∠4
东教
4，
东教
，ੋ
山ੋ
∠
山
∠1
山东
1 +
山东
+ ∠
东
∠6
东
6
 
92
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
13. ݠڏὊMNὊEF Ѭѿ᛫ᇨː᭧̉
ᄱࣱ
ᛡᄊ᪫᭧Ὂʷౌ
Аጳ AB ི
࠱҂᪫᭧ MN ʽὊ
Ԧ࠱Аጳ˞ BCὊ൥௑Ὂį!>įὙАጳ BC ፃ᪫᭧ EF Ԧ࠱ՑᄊԦ࠱Аጳ˞ CDὊ
൥௑į!>į.  តѼல AB ˁ CD ᄊͯ
ᎶТጇὊͿ௧ݠ͵নᏦᄊὝ
ᐏጇ઩ࣹ
15.὆὇ࣃᅼ὘ݠڏ὆὇Ὂᄰጳ ABĩED.  
     ර᝽὘įABC!,įCDE!>įBCDὙ
 ὆὇ ݠڏ὆὇Ὂݠ౧ག C ښ AB ˁ ED ˨ܱ
ὊХ̵
౎͈
ˀԫὊᥧ˦͘
ద̤
˦ፇ౧Ὕ
           Ϳᤇᑟࡃవᮥ
ͻѣ̤
˦ழᄊ࿯ਇὝ
A
E
D
B
C
A
E
C
D
B
὆ኄ  ᮥ
὇
὆὇
὆὇
M
B
N
F
C
E
A
D




὆ኄ  ᮥ
὇
A
C
E
D
B
Ń
὆ኄ  ᮥ
὇
14. ౽ۢ࣊
ї౎᥋᡹ᄊͯ
ᎶТጇݠڏਫ਼ᇨὊ᥋᡹ AB ˁ᥋᡹ CD ࣱ
ᛡὊ᥋᡹ AB ˁ᥋᡹ 
AE ᄊ݃
ᝈ˞ Ń.  ۢ࣊
᜻ѳᦊ᫃
ਇழξʷ౎᥋᡹ CEὊ᜶රįC!>įEὊරįC ᄊ
ए஝.  

第八章 平行线的有关证明
13. ABĩCD. ݠ图，
ı MN ĩ EF，
İ ∠2 = ∠3. 
ı ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
İ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. 
ı ∠1 + ∠2 + ∠5 = 180c
  =∠3 + ∠4 + ∠6，
İ ∠5 = ∠6. 
İ AB ĩ CD. 
14. ∠C = 22.5c. 
15. （1）ᤈ௧一᥋可̿
ᤉ行Պ
መ发ங的ݞ题. ͻᣙҰ线的
方ขॢܳ
（ݠ图）. 
（2）े
ག C ښ AB 与 ED ˨ܱ
௑，∠ABC - ∠CDE = ∠BCD. 
应សᤰ᣿൥题ळ࠮学生ܙू
图形ԫӑ的ਓគ. ښ第（1）题的基ᆩ
上，可̿ࠫ
图形ͻՊመԫӑ，ݠག C ᤂү҂平行线的ܱ
᣸，ੋ
ག 
C ᤂү҂ག B，D 的ԿΟΎ∠ABC 和∠CDE ੇ
˞᧽角，˷可̿
不ൣ
一˔གC 等. े
ཀྵ，学生ᤇ可能ʹ͘
҂ག C ښ内和ܱ
与൤᠇数的
关系. 教学中，Զ要ර学生͘
解х教科书上的᫈
题，不必ଢ出᣿ᰴ的要ර. ͮ
௧应សፌ学生
႑有ᣗܸ
的ଊጊ͸ڡ，ࠫ
学生的ଊጊድᇸ应សፌ́
ᐰ定和ᴂҵ. 
（第 13 题）
A
E 
B
D
C
（第 15（2）题）
（第 15（1）题）
山东教育出版社
版社
∠
育
∠3
育
3 =
育出
= ∠
育出
∠4
出
4，
出
，
=
育
= ∠
育
∠3
育
3 =
育出
= ∠
育出
∠4
出
4
∠
教
∠2
教
2 +
教育
 + ∠
教育
∠5
教育
5 =
育
=
∠
东
∠3
东教
3 +
东教
+ ∠
东教
∠4
教
4 + 
教
+ ∠
教
∠
İ ∠
东
∠5
东
5 =
东教
= ∠
东教
∠6
东教
6
İ
山
İ AB
山东
AB ĩ
东
ĩ C
东
C
14
山
14. 
山
. ∠
山
∠C = 
山
C = 
（
山
（
育出版社             山东教育出版社
社
ᐏጇ઩ࣹ
ᐏጇ઩ࣹ
15.
15.὆὇ࣃᅼ
 
὇ࣃᅼ
东教
山东
山东教
山东
山东
山东
山东
山东
山东教
东教
山东
A
山东
A
B
东教
B

东
Ń
东
Ń
东
AB
育
AB ˁ᥋᡹
育出
ˁ᥋᡹CD
出
CDࣱ
出ࣱ
ξʷ౎᥋᡹
育出
ξʷ౎᥋᡹CE
育出
CEὊ᜶
育出
Ὂ᜶
版
出版
出
育出版
出
山东教育
山东
山
教育
（
教
（
山东教育出版社
教育
˦͘
ద
社
˦͘
ద
育出版
E
出
E
C
育出
C
D
出版
D
出版
D
B
版
B
版
B
ኄ
教
ኄ
育
ᮥ
὇
教育ᮥ
὇
὆
育出
὆
育出
὇
出
὇
DE =
山
DE = ∠
山
∠B
山
B
ښ
山
ښ第
山
第
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
93
16. ݠڏὊښ̋
᣸ॎ ABCDE ˗ὊįA!>įBὊįBCD!>įDEAὊࣳ
˅įCED!>įECD. 
ͿᑟѼࠀ AB ˁ EC ࣱ
ᛡՙὝ˞̤
˦Ὕ
D
E
C
B
A
὆ኄ  ᮥ
὇
A
B
M
D
C
὆ኄ  ᮥ
὇
17. ᝽௚὘
 ὆὇̋
᣸ॎᄊЯᝈ֗
኎̆
 ŃὙ
 ὆὇n ᣸ॎᄊЯᝈ֗
኎̆
὆n!.!὇eŃ.  
18. ࣃᅼ὘ݠڏὊAMὊCM Ѭѿࣱ
ѬįBAD ֗
įBCD.  
 ὆὇ݠ౧įB!>!ŃὊįD!>!ŃὊරįM ᄊए஝Ὑ
 ὆὇ර᝽὘įM!>!
 ὆įB!,įD὇.  
复习题

16. AB ĩ EC. ଢᇨ：Џ证
∠AEC = ∠BCE，гѾ用四
᣸形的内角和等̆
 360c，
证∠A + ∠AEC = 180c. 
17. ଢᇨ：（1）ݠ图，ᤌଌ
AC，AD，ં
五᣸形分ੇ
三
˔三角形，五᣸形的五˔
内角的和ࡃ௧ᤈ三˔三角
形的内角的和. ڂ൥，五᣸
形的内角和等̆
 3×180c= 
540c. 
（2） ݠ图，᣿ n ᣸形的一
˔ ᮇག（ݠ A 1）的
ਫ਼有ࠫ
角线ં
 n ᣸形
分ੇ
（n - 2）˔三角
形，ᤈ（n - 2）˔三
角形的内角和্
ݞ௧ܳ
᣸形的内角和. ڂ൥
n ᣸形的内角和˞（n 
- 2）·180c. 
18.（1）∠M = 35cὙ
（2）∠M = 1
2 （∠B + ∠D）௧᫈
题的一ᓊӑ. 证明的思路௧：௜
证∠BAM + ∠B = ∠BCM + ∠M，∠D + ∠DCM = ∠DAM + 
∠M. 二式ᄱҫ४∠BAM + ∠B + ∠D + ∠DCM = ∠BCM + 
∠M + ∠DAM + ∠M. ฌਓ҂∠BAM = ∠DAM = 1
2 ∠BAD，
∠DCM = ∠BCM = 1
2 ∠BCD，̆
௧∠B + ∠D = ∠M + ∠M. ӑእ४∠M = 1
2 （∠B + 
∠D）.
൥题๘ԣࠫ
关系的ᝣគ，不能ࡃ事᝷事直ଌ解х∠M 的ए数᫈
题，Ꮻ௧తݞѵ出ː˔方程̰
中
解出∠M，ਫ਼̿
௭४උᣗ复ా
. ൥题ࠫࣟ
Ұ学生ᝣគ数学证明的思路和ޏҧ有一定ݞܫ，可̿े
ͻ
学有͸ҧ的学生的ଊቃ性题ᄬ. 
（第 17（1）题）
（第 17（2）题）
山东教育出版社
教
e
出
e
出版
Ń
出版
Ń. 
出版
. ࣱ
Ѭ
育出ࣱ
Ѭį
育出
įBAD
育出版
BAD֗
出版֗
į
出版
įB
出版
B
>
育
>
育
Ń
育
ŃὊර
育出
Ὂරį
育出
įM 
出
M ᄊ
出
ᄊ

教
 ὆
教
὆į
教育
įB
教育
B,į
教育
,įD
育
D὇
育
὇.  
育
.  
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
，
社
，
0
社
0c
社
c. 
社
. 
ݠ
版
ݠ图
版社
图，
版社
，ᤌ
版社
ᤌଌ
社
ଌં
出ં
五
出版
五᣸
出版
᣸形
出版社
形分
版社
分ੇ
版社ੇ
形
出
形，
出
，五
出版
五᣸
出版
᣸形
出版
形的
版
的
的
育
的和
育出
和ࡃ
育出
ࡃ௧
育出
௧ᤈ
出
ᤈ
形
教
形的
教育
的内
教育
内角
教育
角的
育
的和
育
和
形
教
形的
教育
的内
教育
内角
教育
角和
育
和
540
东教
540c
教
c
）
教
）∠
教
∠M =
教育
M = 35
教育
35c
育
c
（
东
（2
东教
2）
东教
）∠
东教
∠M
教
M
证
东
证
教
山东教育出版社
n
社
n
）
社
）˔
社
˔三
社
三角
社
角
（
版
（n
版
n -
版社
- 2
版社
2）
版社
）˔
社
˔三
社
三
的
版
的内
版
内角
版社
角和
版社
和্
版社্
ݞ
社
ݞܳ
出ܳ
᣸
出
᣸形
出版
形的
出版
的内
出版
内角
版
角
n
育出
n ᣸
育出
᣸形
育出
形的
出
的内
出
内
-
育
- 2
育出
2）
育出
）·
思
山
思路
山东
路௧
山东
௧：
东
：௜
东
௜
CM = 
山
CM = ∠
山东
∠DAM
山东
DAM
=
山
= ∠
山
∠B
山
B
教育
94
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै
 ЧیವΓកౢࣱ
ᛡጳᄊѼࠀ὆ߦವ὇
᝺ᝠ὘ຬӒᄵࠂ௙О˗ ᬈঃ
 
 
 
   កౢ
὘෈ᔚᄵ教ሙᬓ ቦᮻ
ʷnjߦ˸目ಖ
1. ̀
解证明的基本൦ᰡ和书иಫ式. 
2. ͘
ಪ据ࣃ学的基本事实ੋ
定理౏证明ː直线平行. ̄
njߦ˸᣿ሮ̭ܹ
，ੈ̓
ࡃ࠽តώҰ基本事实和ࣃፃ证明᣿的定理，证明ː直线平行的判ѿ౎件Ἷ
ǘ第一ဗᓬǙڀॺ平行线的Ѽѿ౎͈
1. ː直线平行的判ѿ౎件有：
（1）ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧ 
，ѷː直线平行. 
እᤘ˞：
，ː直线平行. 
（2）ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧ 
，ѷː直线平行. 
እᤘ˞：
，ː直线平行. 
（3）ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧ 
，ѷː直线平行. 
እᤘ˞：
，ː直线平行. 
2. ښඈ˔判ѿ౎件ஸ᣸ႇ一˔图ҫ̿
ឭ明. 
3. ᤈ三˔౎件中，哪一˔௧上一课௑ᆸᝣ的基本事实Ὕ
កౢ
὘न᫃
᜹山གՐិᮥ
὘ࣱ
ᛡጳᄊѼࠀ. ႀ̆
Оࣲ
ጟʾв学ၷࣃፃ学˸᣿ࣱ
ᛡጳᄊ 
Ѽѿ౎͈
ὊᏫ˅ᄱࠫ
Ꮻᝓ
Ὂᤈ˔Ѽѿ౎͈
˷උᣗእӭὊ学ၷ᥌঄ᄊԻᑟভˀܸ
Ὂڂ൥Ὂᤈ
᧗ᄰଌଢឰ学ၷڀॺࣱ
ᛡጳᄊѼѿ౎͈
. ͻ˞学ವὊᭊ᜶ࡊԻᑟѓᣐ学ၷᄊ௄஍ҷүὊڂ
൥Ὂᤈ᧗̿
܍ቇᄊॎरὊ᜶ර学ၷ܍иТ᪄ឈឦὊʷவ᭧Ի̿
ѓᣐ学ၷ᠇ઞὊԳܱ
˷Χ̆
师ၷᄊೝಊ֗
Ց፞
ᄊូ
用. े
ཀྵὊˀ᧔用学ವᄊိ
ጟὊԻ̿
ᄰଌଢ᫈
὘ࣱ
ᛡጳᄊѼѿ౎͈
ద
ד̏
ὝѬѿ௧̤
˦Ὕ
ڀॺ出Ѽѿ౎͈
˨ՑὊ᜶ර学ၷښඈ˔Ѽѿ౎͈
ஸ᣸ႇʷ˔ڏҫ̿
ឭ௚Ὂᄬᄊښ̆
ҫ
ງ学ၷࠫ
Ѽѿ౎͈
ᄊေᝍ. ࠄᬅʽὊࠫ̆
ї͵ፇ᝷Ὂఞᭊ᜶ښ݀
ᑨ˗ॎੇ
Т̆
ፇ᝷ᄊࠫ
ऄڏ
ॎྲ
ढ़Ὂᤈನᄊڏॎྲ
ढ़௅Χ̆
ᝮॺὊ˷Χ̆
ေᝍ. े
ཀྵὊᤈʷำү˷˞Ց፞
᝽௚Ϣ̀ॢ
ݞ
ᄊᩔۙ
. 
ǘ第二ဗᓬǙ证明平行线的Ѽࠀࠀေ
1. Ѿ用基本事实ឭ明下ѵՊ组中ː౎直线௧ա平行. 
山东教育出版社
កౢ
὘෈
社
កౢ
὘෈
本൦ᰡ和书и
出版
本൦ᰡ和书и
学的基本事实
育出版
学的基本事实
᣿ሮ
教育
᣿ሮ̭ܹ
，ੈ̓
ࡃ࠽
东教育̭ܹ
，ੈ̓
ࡃ࠽
ǘ第一ဗᓬ
东教
ǘ第一ဗᓬ
1
山东
1.
山东
. ː直
东
ː直
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
的定理，证明ː
山东
的定理，证明ː
，ݠ౧
，ݠ౧
，ː直
 
，ː直
线ਫ਼੕，ݠ౧
  
线ਫ਼੕，ݠ౧
 
第三౎直线ਫ਼੕
社  
第三౎直线ਫ਼੕
版社
ѿ౎件ஸ᣸ႇ
版社
ѿ౎件ஸ᣸ႇ
˔౎件中，哪一
出版
˔౎件中，哪一ౢ
育ౢ
὘
育
὘न
育出
न᫃
育出版᫃
᜹
出版
᜹山
出版
山ག
版
ག
౎
育
౎͈
育͈
Ὂ
育
ὊᏫ
育出
Ꮻ˅
育出
˅ᄱ
出
ᄱ
᧗
教
᧗ᄰ
教
ᄰଌ
教育
ଌଢ
教育
ଢឰ
育
ឰ学
育
学
൥
东教
൥Ὂ
东教
Ὂᤈ
教育
ᤈ᧗
教育
᧗̿
育̿
师ၷᄊ
东教
师ၷᄊ
ד̏
东
ד̏
山东教育出版社
学
育
学ၷ
育
ၷࣃ
育出
ࣃፃ
育出
ፃ学
育出
学˸
出
˸
᥌
教
᥌঄
教育
঄ᄊ
教育
ᄊԻ
教育
Իᑟ
育
ᑟভ
育
ভˀ
育
ˀ
ࡊ
教
ࡊԻ
教
Իᑟ
教
ᑟѓ
教育
ѓᣐ
教育
ᣐ学
育
学
வ
东
வ᭧
东
᭧Ի
东教
Ի̿
东教̿
ѓ
东教
ѓᣐ
教
ᣐ学
教
学
ጟὊԻ̿
ᄰଌଢ
山东
ጟὊԻ̿
ᄰଌଢ
౎
山
౎͈
山͈
ஸ
山
ஸ᣸
山
᣸
95
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. ࠲上᭧图（2）中的ː˔ 60c૱ੇ
Х̵
ː˔ᄱ等的角，ፇ᝷ᤇੇ
ቡՙὝႀ൥Ϳ能४҂̤
˦ፇ᝷Ὕ
3. ត证明：ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧内ᩲ角ᄱ等，ᥧ˦ᤈː౎直线平行. 
ࣃᅼ：ݠ图，∠1 和∠2 ௧直线 a，b ᜂ直线 c ੕出的内ᩲ角，˅∠1 = ∠2. 
ර证：a ĩ b. 
c
a
b
60°
60°
c
a
b
60°
60°
c
a
b
60°
120°
（2）
（1）
（3）
c
a
b
3
2
1
（第 3 题）
4. ត证明：ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧Տஸ内角̉
ᛪ，ᥧ˦ᤈː౎直线平行. 
ࣃᅼ：ݠ图，∠1 和∠2 ௧直线 a，b ᜂ直线 c ੕出的Տஸ内角，˅∠1 与 ∠2 ̉
ᛪ. 
ර证：a ĩ b. 
（Ϳ有їመ证ขὝ）
កౢ
὘ᤈ˔ဗᓬ᜶රښࣃద۳వ̃
ࠄᄊ۳ᆩʽὊ᝽௚Х̵
ː˔Ѽࠀࠀေ. ݠ౧ᄰଌଢ
出ᤈ˔᫈ᮥ
ὊԻᑟ学ၷదʷࠀڈᬲὊڂ൥Ὂᤈ᧗ᤇ௧ᯫЏ̰
ᄰ᜺ᄊڏॎྲ
ढ़К੤Ὂ᜶ර学
ၷᑟܵ
ፇՌڏ៶Ѿ用۳వ̃
ࠄឭ௚ː౎ᄰጳࣱ
ᛡὊᤉᏫনᏦ૱ੇ
Х̵
ᝈएᤈ˔ፇ᝷௧ա൤
ᆸὊ̰
ᏫਖԪ҂Գܱ
ː˔Ѽࠀࠀေ. Տ௑Ὂ὆2὇὆3὇ː˔ڏ˗ a ĩ b ᄊឭ௚᣿ሮ൤௧ʷᓊᄊ
Ѽࠀࠀေ᝽௚᣿ሮᄊЦʹӑὊᤈನὊࡃ˞Ց᭧Ѽࠀࠀေᄊ᝽௚ଢῚॢ
ݞᄊᩔۙ
. ద̀
ᤈ̏
ᩔۙ
ὊЦʹᄊ᝽௚ѷ߹ЛԻ̿
教ፌ学ၷ̀
ὊՑ᭧ଢῚ
学˸ᩗଌΙ学ၷིࠫ
កѼ. 
൥ܱ
Ὂࠫ̆
Ցʷ˔ࠀေὊႀ̆
ద̀
۳వ̃
ࠄ֗
Ғ᭧ᄊࠀေː˔۳ᆩὊڂ൥ὊԻᑟదܳ
መ᝽ข. े
ཀྵὊᤈ௧ጮ᠏
ᄊ学ವὊڂ൥Զᑟڍӑʷ˔ᮋऀ
Ὂͫ
˫Ի̿
Џ௧ЯᩲᝈཀྵՑ௧ՏஸЯ
ᝈὊࠄᬅʽὊ教学˗߹ЛԻ̿
ಪ૶学ၷᄊৱцὊᤥહˀՏᄊ教学ᮋऀ
. 
ǘ第三ဗᓬǙᤂ用ࠀေᝍх᫈
题
1. 下ѵՊ࠵题中直线a，b平行ՙὝឭឭͿ的理ႀ. 
c
a
b
3
2
1
（第 4 题）
（第 1 题）
山东教育出版社
中的ː˔
出版
中的ː˔ 60
版
60c
版
c
ː౎直线ᜂ第
育出
ː౎直线ᜂ第
ݠ图，
教育
ݠ图，∠
教育
∠1
育
1 和
育
和
证：
东教
证：a
东教
a ĩ
东教育
ĩ b.
教
b.
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社ੇ
ቡՙὝႀ൥
教育出ੇ
ቡՙὝႀ൥
等，ᥧ˦ᤈː౎
东教
等，ᥧ˦ᤈː౎
的内ᩲ角，˅
山东教
的内ᩲ角，˅∠
教
∠
3 题）
题）
线ᜂ第三౎直
社 
线ᜂ第三౎直
∠
版
∠1
版
1 和
版社
和∠
版社
∠2
版社
2 ௧直
社
௧直
b. 
出版
b. 
їመ证ขὝ）
出版
їመ证ขὝ）ౢ
育ౢ
὘
育
὘ᤈ
育出
ᤈ˔
育出
˔ဗ
育出
ဗᓬ
出
ᓬ
˔
教育
˔᫈
教育᫈ᮥ
教育ᮥ
Ὂ
育
ὊԻ
育
Իᑟ
育
ᑟ
ၷ
教
ၷᑟ
教
ᑟܵ
教育ܵ
ፇ
教育
ፇՌ
教育
Ռڏ
育
ڏ
ᆸὊ̰
Ꮻਖ
东教
ᆸὊ̰
Ꮻਖ
Ѽࠀࠀ
东教
Ѽࠀࠀ
ᩔۙ
东
ᩔۙ
a
山东教育出版社
线平行
版社
线平行. 
版社
. 
与∠
版
∠2
版
2̉
ᛪ
版社̉
ᛪ. 
版
. 
˔
教育
˔Ѽ
教育
Ѽࠀ
教育出
ࠀࠀ
育出
ࠀေ
育出
ေ
ᄰ
教
ᄰ᜺
教
᜺ᄊ
教育
ᄊڏ
教育
ڏॎ
教育
ॎྲ
育ྲ
ढ़
育
ढ़
Ꮶ
东
Ꮶ૱
东教
૱ੇ
东教ੇ
Х
东教
Х̵
教̵
ᝈ
教
ᝈ
˔ڏ˗
东
˔ڏ˗ a 
东教
a ĩ
东教
ĩ b
教
b
ࠀေᄊ᝽௚ଢ
山东
ࠀေᄊ᝽௚ଢ
Ὶ
学˸ᩗ
山
Ὶ
学˸ᩗ
᭧
山
᭧
96
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. ੈ̓
ఢፃ用下᭧的方ขͻ出̀
平行线，Ϳ能ឭឭХ中的᥋理ՙὝ
c
a
b
c
a
b
78°
78°
c
a
b
80°
80°
（2）
（1）
（3）
3. （1）តᅌښ一张不᜻ѷ的四᣸形ጮྟ
上ઉ出平行线，与Տͧ
ᤉ行̔ื
. 
    （2）证明ઉ出的ː౎直线௧平行线. （Џႇ出图形，ги出Ϳ的证明᣿程）
កౢ
὘᝽௚ࠀေ˨ՑὊᒭཀྵ௧ࠀေᄊᤂ用ࢾڍ̀
. ͮ
ᤂ用ࢾڍ௑Ὂʷࠀ᜶ฌਓᮥ
ᄬᄊࡏ
൓᤬ᤉ֗
ॎरܳ
ನ. ࡏ൓᤬ᤉᄊᮥ
ᄬὊԻ̿
ᝨఞܳ
学ၷᖍ४ੇ
ҪᄊʹᰎὙᏫܳ
ನᄊॎरὊԻ̿
༏ԧ学ၷᄊ学˸УᡚὊΨᤉ学ၷᄊద஍ԠˁὊଢᰴិ
۶学˸ᄊ஍ᄞ. 
ᤈ᧗Ὂኄ 1 ᮥ
ፌ出̀
ڏॎྲ
ढ़Ὂ᜶ර学ၷᄰଌѾ用Ѽࠀࠀေឭ௚ὊඋᣗእӭὙኄ 2 ᮥ
Ὂ௧Ԕ౏ͻࣱ
ᛡጳᄊЦʹவขὊ学ၷ˷උᣗྀ
৙Ὂͮ
᜶ර学ၷឭ௚ᤈመͻขᄊՌေভὊ
Х˗ᙊཀྵదڏὊͮ
ඌብ௧ࠄྭ
ڏὊᭊ᜶ҫ̿
ચ៶ὊԳܱ
Ὂڏ˗ᄊጳ֗
ᝈˀ௧௭ভᄊὊᭊ᜶
学ၷᒭࣂӇႇ出౏ҫ̿
ᤂ用Ὂڂ൥Ὂᣗኄ 1 ᮥ
ሯᬲὊͮ
ඌብᤈʷำү௧学ၷӡѬྀ
৙ᄊὊ
ڂ൥Ὂᄱηᤰ᣿ᒭࣂᄊұҧ֗
Տͧ
ᄊ̉
ҰὊᑟܵ
ᝍхᤈ˔᫈ᮥ
Ὑኄ 3 ᮥ
Ὂ᜶ර学ၷښʷस
ˀ᜻ѷᄊጮʽઉ出ࣱ
ᛡጳὊࣳ
ႇ出ᄱऄᄊڏॎὊѷఞ˞नஊ. ᄱη឴
Ꮸˀᬲ̰
ᤈї᥋ᮥ
˗ਖ
Ԫ҂ᮥ
ᄬ˨ᫎ
ᄊຒ൓᤬ᤉ֗ᮥ
ᄬॎरᄊܳ
ನ. 
ǘ第پဗᓬǙᒭ˟Ԧᯠ（႕）
ǘ学习ᩗଌǙ
1. 证明：ı∠1 = ∠2（ࣃᅼ౎件），
     ∠1 = ∠3（ࠫ
ᮇ角ᄱ等），
    İ∠2 = ∠3（等᧚̽
૱）. 
    İa ĩ b（Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行）. 
2. 证明：ı∠2 + ∠3 = 180，
     ԡı∠1 + ∠2 = 180，
    İ∠1 = ∠3（Տ角的ᛪ角ᄱ等）. 
    İa ĩ b（Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行）. 
c
a
b
3
1
2
c
a
b
3
1
2
（第 1 题）
（第 2 题）
（第 1 题）
（第 2 题）
山东教育出版社
᭧的方ขͻ出
出版
᭧的方ขͻ出
版
3
山东
3.
山
. （
东
（
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
ՙὝ
育
ՙὝ
山东
ጮྟ
上ઉ出平行
 
ጮྟ
上ઉ出平行
行线
行线. （Џႇ出
 
（Џႇ出
௧ࠀေᄊᤂ用ࢾ
 
௧ࠀေᄊᤂ用ࢾ
ᄊᮥ
ᄬὊԻ̿
ᝨ
 
ᄊᮥ
ᄬὊԻ̿
ᝨ
Ψᤉ学ၷᄊద஍
 
Ψᤉ学ၷᄊద஍
出
社
出̀
社̀
ڏ
社
ڏॎ
社
ॎྲ
社 ྲ
ढ़
ጳ
版
ጳᄊ
版社
ᄊЦ
版社
Цʹ
版社
ʹவ
社
வข
社
ขͮ
版ͮ
ඌ
版
ඌብ
版社
ብ௧
版社
௧ࠄ
版社
ࠄྭ
社ྭ
ႇ
出
ႇ出
出
出౏
出版
౏ҫ
出版
ҫ̿
版̿
ᤂ
版
ᤂ
ᄱ
育
ᄱη
育出
ηᤰ
育出
ᤰ᣿
育出版
᣿ᒭ
出版
ᒭࣂ
出版
ࣂᄊ
版
ᄊ
ѷᄊጮʽઉ出
育出
ѷᄊጮʽઉ出
Ԫ҂ᮥ
ᄬ˨ᫎ
教育
Ԫ҂ᮥ
ᄬ˨ᫎ
ǘ第
教
ǘ第
题）
题）
山东教育出版社
እ
版
እӭ
版社
ӭὙ
版社
Ὑኄ
社
ኄ2
社
2
ข
版
ขᄊ
版
ᄊՌ
版社
Ռေ
版社
ေভ
版社
ভ
ˀ
出
ˀ௧
出版
௧௭
出版
௭ভ
出版
ভᄊ
版
ᄊὊ
版
Ὂ
ү
育
ү௧
育出
௧学
育出
学ၷ
育出版
ၷӡ
出版
ӡѬ
出版
Ѭྀ
版ྀ
ኄ
育
ኄ3
育
3ᮥ
育出ᮥ
Ὂ
育出
Ὂ᜶
育出
᜶ර
出
ර
ᄱη឴
Ꮸˀᬲ
教育
ᄱη឴
Ꮸˀᬲ
97
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ኄ˵ቦ
 ഐဋѺ൦
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. 能ᤰ᣿ѵ᛫njႇಞ࿄图等方ขѵ出እӭᬤ఻事件ਫ਼有可能的ፇ౧，̿
ԣૉ定事件发
生的ਫ਼有可能ፇ౧，̀
解事件的概率. 
2. ᅼ᥋ᤰ᣿ܸ
᧚ڡ重复តᰎ，可̿
用频率౏ͥ
ᝠ概率. ̄
nj教ߦ目ಖ
1. ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集តᰎ数据nj᝺ᝠតᰎ方ವ，分ౢ
តᰎፇ౧等活ү᣿程，发࡙
数据分ౢ
᜺ঐ. 
2. 理解ᬤ఻事件的有关概ঐ，能ӝ分ᆸ定事件与ᬤ఻事件，必ཀྵ事件与不可能事件，ࣳ
感受ᬤ఻事件发生的可能性有ܸ
有࠵. 
3. ᤰ᣿តᰎ感受ᬤ఻事件发生的频率的稳定性，̀
解事件的概率，ʹ͘
概率௧ଡᤘᬤ
఻ဘ៶的数学模型. 
4. ̀
解ːዝ事件（ԱЧ概型和可ӑ˞ԱЧ概型的概型）发生的概率，能ᤉ行እӭ的ᝠ
ካ，ࣳ
能᝺ᝠኀ合要ර的እӭ概率模型. 
5. ʹ͘
ᬤ఻ဘ៶ښੈ̓
ᢶ᣸ܸ
᧚ߛښ，能初൦ڡ用概率的思ਇ解᧖ᢶ᣸的ဘ៶，发࡙
“用数学”的ਓគ与能ҧ. 
6. ښଊቃ频率与概率的᣿程中，ᤉ一൦ʹ͘
数学的价ϙԣ发࡙
合ͻਓគ. 
ʼnj᝺ᝠন᡹
ښဘ̽
社͘
᧗，̡̓
᭧˚ᅌ更ܳ
的఻͘
和ᤥહ，࣢࣢ᭊ要ښ不ᆸ定的ৱܒ中ͻ出合理
的хኖ. 概率᝷ࡃ௧ᆑቃᬤ఻ဘ៶ԣХ᜻॥的数学学科. 
ښᒭཀྵႍ
和̡
ዝ社͘
中，ᆸ定性的ဘ៶ӡ分有限， 不ᆸ定性的ဘ៶（˷ሦ˞ᬤ఻ဘ
៶）Ԃ௧ܸ
᧚ߛښ的，Ꮻ概率൤௧ࠫ
ᬤ఻ဘ៶的数学ଡᤘ，߲
能ࣟ
Ұ̡̓
ͻ出合理的хኖ. 
ᭊ要ૉ出的௧，概率ࣳ
不ଢΙᆸ实௄ឨ的ፇ᝷，ᤈ௧ႀ不ᆸ定ဘ៶的本性ᤵੇ
的. උݠ，ԁ
ΎշងͿ中ݒ的概率˞ 
1
1
 000 ，ͮ
Ϳ˼ 1 000 张ݒ҆
Ԃ不一定能中ݒὙԡݠ，明ܹ
的ᬌඵ
概率˞ 10%，Ցܹ
௧ 90%，ͮ
Ԃ有可能事实上明ܹ
下̀
ᭁ，ᏫՑܹ
Ԃ෥有下ᭁ. ᝵̡ܳ͘
有
ᤈನ的ਇข：学习概率有̤
˦用Ὕ૱Բភឭ，ݠ౧ੈ̓
不能ښតᰎ˨Ғᮕᅼតᰎ的ᆸѭፇ
౧，Զ能ᅼ᥋ඈ˔ፇ౧发生的概率，ᥧ˦ᤈ有̤
˦ਓ义քὝ实ᬅ上ᤈ᧗ߛښᅌ一˔ᩲᝀੋ
ᏨឭϠ᜹，̿
˞不̀
解តᰎ的ᆸѭፇ౧，一ѭᦐ௄ਓ义，Х实不ཀྵ. ᝺ਇ有ː˔ࢺԈ生̗
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率˞ 0.001，˳Ԉֶ̗
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率˞ 0.1. ᔪː˔Ԉ的ֶ̗
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ඡឭ“明ܹ
ᬌඵ概率௧ 90%”，“ࣜ
ᭁЦ出᫃
”和“不ࣜ
ᭁЦ
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”ᄱඋ，ҒᏨ়
ণ௧更明అ的ᤥહ，ࡊኮ第二ܹ
可能ಪ本෥下ᭁ. ڂ൥，概率ͻ˞一᫃
山东教育出版社
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事
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98
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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数njї͵的˟要不Տ˷ښ̆
൥，ԁՑᏨड़ड़४҂ᆸ
定性的ፇ᝷，ᏫҒᏨ࣢࣢४不҂ᆸ定性的ፇ᝷. ͮ
௧，概率᝷和ᆸ定性的数学学科一ನ，ੇ
˞̡̓
不可Ꭵ࠶的൧٨. ᝣគ҂概率的思፥方式与ᆸ定性思፥的ࣀप，ᤈࡃ௧ᬤ఻᜺ঐ. 
Ύ学生Цܬᬤ఻᜺ঐ，̰
Ꮻ能明అڡ应̷
ԫӑ和不ᆸ定性，ᤈ௧概率教学的˟要ᄬಖ. 
ဘ实生活中ߛښᅌܸ
᧚的ᬤ఻事件，教科书Џ̿
学生؞᫕˭᜹的ଗᰥߕ຤੆˞ᑀఀ
， 
ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集តᰎ数据nj分ౢ
តᰎፇ౧等活ү᣿程，ᝨ学生ʹᰎ生活中有᝵ܳ
事
件的发生௧不ᆸ定的，ҫງࠫ
ᆸ定事件与ᬤ఻事件，必ཀྵ事件与不可能事件等概ঐ的理
解，ࣳ
感受ᬤ఻事件发生的可能性有ܸ
有࠵. Տ௑，初൦ʹ̡̓͘
一ᓊᤰ᣿重复ܳ
次តᰎ౏ͥ
ᝠ事件发生的可能性ܸ
࠵. 
ښ第二ᓬ中，ᤰ᣿ઋଗ图᧬和ઋଗکӉ的ᆶࣉ的តᰎ，ᝨ学生感受҂频率的稳定性， ࣳ
४出概率的ፒᝠ定义，ԁ用事件发生的频率的稳定ϙͻ˞ស事件发生的概率. 本ቦ内ࠔ᝺
ᝠ௑，Џፌ出概率的ፒᝠ定义，௧基̆
下᭧їག考ᘽ：ᯫЏ，可̿
更ງ҉ڡ理解概率的ਓ
义. ੈ̓
ឭ一˔事件发生的概率˞ 30%，߲
的ਓ义ࡃ௧ښܸ
᧚的重复តᰎ中，ស事件发生的
频率稳定ښ 30%. Х次，ᄱࠫ̆
概率的ԱЧ定义，概率的ፒᝠ定义更Ц௿᥆性和一ᓊ性. 概
率的ԱЧ定义௧ښ等可能Ϝ᝺下的一መ理ਇ模型，事实上，ဘ实ˇႍ
ߛښܸ
᧚的᭤ԱЧ概
型，ਫ਼๘ԣ的事件的概率ᦐ不能用ԱЧ概率的公式ᝠካ，ᏫԶ要౎件Њ᝵，ੈ̓
঴可̿
ᤰ
᣿ܸ
᧚的重复តᰎ，用频率౏ͥ
ᝠ߲
. తՑ，ښ用តᰎ的方ขଊቃ概率的᣿程中，可̿
۲Щ
学生的ү੤能ҧ，ܫ理数据的能ҧ，ܙू
学生的ፒᝠਓគ，۲Щ学生实事ර௧的গएnjһ̆
ଊጊ的ድᇸ和̔ื
өͻ的ድᇸ. 
用事件发生的频率的稳定ϙͻ˞ស事件发生的概率，ᙊཀྵЦ有௿᥆性，ͮ
ᤈመ方ขᭊ
要ᤉ行ܸ
᧚的重复តᰎ，Ꮻ˅ड़ड़४҂的Զ௧概率的ͥ
ᝠϙ. ښ第三ᓬ中，ᤰ᣿ࠫ
ୗ҂ጚု
的概率的ᝧ᝷，ࠫ
一ዝ事件（ԱЧ概型）发生的概率ᤉ行እӭ的理᝷ᝠካ. ᤰ᣿ࠫ
ϣ႑ښᳬ
ᆒ上的概率的ᝧ᝷，ࠫ
Գ一ዝ事件（ї͵概型）发生的概率ᤉ行እӭ的理᝷ᝠካ. ̰
Ꮻҫງࠫ
概率ਓ义的理解. 
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
1 感受可能性 
 
 
 
 
 
 
 
    1 课௑
2 频率的稳定性  
 
 
 
 
 
 
    2 课௑
3 等可能事件的概率 
 
 
 
 
 
 
    4 课௑
   回顾与思考 
 
 
 
 
 
 
 
    1 课௑̋
nj教ߦथᝬ
1. ฌ重学生数据分ౢ
᜺ঐ的۲Щ与发࡙
. ࠫ̆
ᬤ఻ဘ៶，学生一ᓊᦐ有一̏
హጉ的ਇ
ข，ᤈ̏
ਇข，有的௧൤ᆸ的，有的௧ᩲឨ的，ښ教学᣿程中应ԣ௑̀
解ࣳ
ҫ̿
ळ࠮和ጘ
൤. 一方᭧，要ᝨ学生̞
ᒭፃԋࠫ
ᬤ఻ဘ៶的ଊጊ᣿程，̞
ᒭፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集តᰎ数
据nj分ౢ
តᰎፇ౧等活ү᣿程，̿
ᖍ४事件发生的概率ὙԳ一方᭧，ळ࠮学生̰
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山东教育出版社
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社
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社ౢ
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东教ੈ̓
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山东
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. . తՑ，ښ用
 
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出版
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出版
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99
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七年级  下册
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ஔ学用书
中ྀ
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题中ʹ͘
ᬤ఻事件发生的概率. ̀
解ᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག，̀
解概率的ਓ
义，ಞቡ一定的ᬤ఻᜺ঐ，௧教学的重ག和ᬲག. 
2. ฌ重ळ࠮学生ሥౝ参与តᰎ᣿程，̞
ᒭү੤ᤉ行តᰎ，ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集តᰎ
数据nj᝺ᝠតᰎnj分ౢ
តᰎፇ౧等活ү᣿程，ࣳ
ښ活ү᣿程中ʹᰎݠ͵与̵̡
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. 
3. ฌਓ̰
不Տ角ए̀
解概率ਓ义（ፒᝠ定义，ԱЧ概型），ʹ͘
模型思ਇ. ݠԱЧ概型
ࡃ௧一˔理ਇӑ的概率模型，Զ要ኀ合ԱЧ概型的ྲ
ढ़，ښᝠካ௑ࡃ可̿
Ѿ用ԱЧ概型的
概率ᝠካ公式ᤉ行. 
4. ळ࠮学生̰
ᢶ᣸的གགໟໟ（ݠ，ܹ
ඡᮕઑ中的ᬌඵ概率，׸ڤୗݒ௑中ݒ的概率
等等）ԝ᜺ࠣ
和ʹ͘
ᬤ఻ဘ៶ԣХ᜻॥性，ᤰ᣿ᢶ᣸ܸ
᧚的实Γᝨ学生ࠫ
概率形ੇ
൤ᆸ的
ᝣគ，ฌ重ᝨ学生̀
解概率ښெ࣢生活和生̗
实᡻中的应用，ᤉ一൦ʹ͘
“数学ࡃښੈ̓
ᢶ᣸”，发࡙
“用数学”的ਓគ与能ҧ. 
Оnjក͉
थᝬ
1. ฌ重考ಊ学生ښ活ү᣿程中᛫ဘ出౏的直᜺ፃᰎ的合理性和ࡍ限性. 
ࣃ有的生活ፃᰎ௧学生ᤉ一൦学习的重要基ᆩ，教师要ԣ௑̀
解ࣳ
ҫ̿
ᝮै
. 教学௑可̿
ښ开ݽតᰎҒ，ឰ学生࿯฾តᰎ的ፇ౧，ࣳ
ឭ明理ႀ. ښតᰎ᣿程中ԣ௑̀
解学生思ਇ的
ԫӑ. ښតᰎፇౌࣳ
ᤉ行理᝷分ౢ
Ց，гឰ学生េេᒭࣂ的ᄺข，ႀ൥可̿̀
解҂教学௧աࣟ
Ұ学生ஈ൤一̏
ᩲឨᝣគ，发̵࡙̀̓
൤ᆸ的ᬤ఻᜺ঐ，̿
Χូ
ட教学. 
2. 考ಊ学生௧ա能ܵ
ᤉ行概率的ᝠካ௧本ቦ的一˔内ࠔ，ͮ
थᝬ更ฌ重ក价学生ࠫ
不
ᆸ定事件ԣХ概率的理解. 
3. ฌ重ក价学生能աሥౝڡ参与តᰎ，ښតᰎ中௧ա有科学的গए，能աሥౝڡ思
考，能ա与̵̡
ᓢݞڡ合ͻ̔ื
，能ա̰
តᰎ数据中ᖍ४᜻॥. 教师可̿
ᴂҵ学生थቡੇ᫂
ᝮै
，ᝮै
ᒭࣂఢፃߛښ的ᩲឨፃᰎnjᤰ᣿学习ᖍ४的ࠫ
概率的理解njᭊ要ᤉ一൦༃ຍ的
᜺ঐ等. 
山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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版社
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出版社
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要基ᆩ，教师要
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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᝺ᝠਓ图ښ̆
༏发学生的学习
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ᅌ᫈
题开ݽ本
ቦ的学习，ᤉᏫ᣺҂ࠫ
ᄱ关内
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
101
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1   感受可能性

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102
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
103
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104
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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ద࠵ᄊ.

第九章 概率初步
ᬤ۶ጷ˸
1. （1）ᆸ定事件（必ཀྵ事件）
（2）不ᆸ定事件. 
2. ႀ̆
ऐͯ
号௧ 2 的φ数的ႃॖ
ᇾඋऐͯ
号௧ 5 的φ数的
ႃॖ
ᇾ要ܳ
，ਫ਼̿
，࠵明任
ਓ˼一张ႃॖ
ᇾ，ऐͯ
号௧ 
2 的φ数的可能性要උऐͯ
号௧ 5 的φ数的可能性ܸ
. 
˸ᮥ

1. （1）必ཀྵ事件Ὑ
（2）不ᆸ定事件Ὑ
（3）不ᆸ定事件Ὑ
（4）不可能事件. 
学生Զ要能用ᒭࣂ的ឦᝓ
ឭ
明理ႀԁ可. 
2. ୗ҂ጚု
的可能性ܸ
，ڂ˞
᛻中ጚု
උᄇု
的˔数ܳ
. 
3. ႀ̆
ᄇᓤӝ۫
的᭧ሥ要උጚ
ᓤӝ۫
和ᗰᓤӝ۫
的᭧ሥᦐ
要ܸ
，ਫ਼̿
，ᣁүᣁᄨ，े
ᣁᄨϣൣ
௑，ૉ᧫ᗀښᄇᓤ
ӝ۫
的可能性తܸ
. 
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
ᬤ
社
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1
社
1
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版
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උ
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出版
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出版ͯ
能性ܸ
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能性ܸ
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出
.

教

必ཀྵ事件Ὑ
东教
必ཀྵ事件Ὑ
2
东
2）不ᆸ定事件
东教
）不ᆸ定事件
（
山
（3
山东
3）不ᆸ定
山东
）不ᆸ定
（
山
（4
山
4）不
山
）不
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山
学生
山
生
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
ᑟˡѣї
社
ᑟˡѣї
出版͈̃
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Ὕ
ག஝௧݉
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教育
ག஝௧݉
஝.
育
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教
 ᄊφ஝ˁऐͯ
Ղ
教育
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           山东͈
˗Ὂד̏
௧ᆸࠀ̃
山͈
˗Ὂד̏
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ઋѣᄊወု͘
ʾᗀ
 
ઋѣᄊወု͘
ʾᗀ
὆὇੪नႃ᜽఻Ὂ
 
὇੪नႃ᜽఻Ὂ
὆὇͊
ਓ˼ʷ
 
὇͊
ਓ˼ʷ
὆὇ொʽᄊ
 
὇ொʽᄊ
2.2. ʷ˔᛻
 
ʷ˔᛻
ୗ
3
要
社
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社
උጚ
社
ጚ۫
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版社
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版社
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版社
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ᣁ
出版
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出版
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出版
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版社
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版
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௑
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出
，ૉ
出版
ૉ᧫
出版
᧫ᗀ
出版
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可能性తܸ
育出
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山东教育
教育
教育出版社
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社
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育出
育出
教育
ኄ
教
ኄ
教
ኄ
教育
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教育ᮥ
὇
教育
὇
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
105
1   感受可能性

4. ોི
ୗ҂ጚု
的可能性ႀܸ
҂࠵ᤉ行ଆѵ˞：ń Ń ł 
Ł ①. 
5. ႕.
山东教育出版社
山东教育出版社
山东教育出版社
山东教育出
山东教育出版社             山
山东教育出版社
 
106
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第九章 概率初步
教ߦ目ಖ
1. ᤰ᣿ઋ图᧬和ଗᆶࣉ
活ү，ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集
តᰎ数据nj分ౢ
តᰎፇ౧等᣿
程，初൦ʹ͘
频率与概率的关
系.
2. ᤰ᣿តᰎ，理解ښតᰎ
次数ॢܸ
௑，事件发生的频率
Ц有稳定性.
3. ̀
解概率的ਓ义，ࣳ
能
ಪ据౽̏
事件发生的频率౏ͥ
ᝠ൥事件发生的概率. 
教科书̰
ː˔តᰎК੤，
Ύ学生ፃԋ“࿯฾Ųតᰎ和ஆ
集តᰎ数据Ų分ౢ
តᰎፇ౧Ų
ᰎ证࿯฾”的᣿程， 初൦̀
解
ښតᰎ次数ॢܸ
௑，事件发生
的频率Ц有稳定性. 
教科书ଢΙ “ ଗ图᧬”
和“ଗᆶࣉ”ː˔តᰎ.“ଗ图
᧬”的តᰎ෥有理᝷概率，Ꮻ
“ଗᆶࣉ”的តᰎ有理᝷概
率，Ꮻ˅Џնဘ“ଗ图᧬”的
តᰎ௧有一定用ਓ的. ᯫЏ可̿
ጘ൤有̏
学生的一̏
ᩲឨ᜺ঐ. 
ݠ，一次តᰎ可能出ဘːመፇ౧，ᥧ˦ᤈːመፇ౧发生的可能性一定௧ᄱՏ的，ᦐ௧ 1
2Ὑԡݠ，ਫ਼
有事件的概率ᦐ可̿
ᤰ᣿理᝷ᝠካ४҂等. Х次，可̿
շង学生，不᝷តᰎ有෥有理᝷概率， 事件
发生的频率ᦐЦ有稳定性，̰
Ꮻ用事件发生的频率౏ͥ
ᝠស事件发生的概率，Ц有௿᥆性. 
教科书̰
一˔ெ࣢生活中的࣢᜹᫈
题К੤，Ύ学生ፃԋ“࿯฾Ųតᰎ和ஆ集តᰎ数据Ų分ౢ
ត
ᰎፇ౧Ųᰎ证࿯฾”的᣿程， 初൦̀
解ښតᰎ次数ॢܸ
௑，事件发生的频率͘
ښ一˔࣢数ᬄᤃୌ
ү，ԁ事件发生的频率Ц有稳定性. 
୲ͻ上，应ฌਓ下᭧їག：
1. ઋଗ图᧬௑，要ྲ
ѿଢᧈ学生ฌਓ安全Ὑ
山东教育出版社
版社
版社
ᰎ
版
ᰎ
频
版
频率
版
率
ਓ
育
ਓ义
育出
义，
育出
，ࣳ
育出ࣳ
能
出
能
发
育
发生
育
生的
育
的频
育出
频率
育出
率౏
育出
౏
生的概率
教育
生的概率. 
教育
. 
教
东
教科
东
科书
东教
书̰
东教̰
ː
东教
ː˔
教
˔
Ύ
山
Ύ学
山
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山东
生ፃ
山东
ፃԋ
东
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东
“
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山
集ត
山
តᰎ
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山
数据
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山
证࿯
山
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
᧬
社
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“
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“ଗ
社
ଗ图
社
图
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版
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版
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版社
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版社
，Ꮻ
版社
Ꮻ
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出
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出版
ᰎ有
出版
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版社
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版社
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一定
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一
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东教
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教
一次
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教育
តᰎ
教育
ᰎ
有
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发生
东
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东
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山东教育
教育
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东
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东教
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东教
一定
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山
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山东
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山东
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东
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东
不
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山
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山ͥ
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山
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山东
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山东
事件
东
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生
山
生ፃ
山
ፃԋ
山
ԋ
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
107
2   频率的稳定性

2. ઋଗ图᧬௑， 要̰
一定
的ᰴए任ਓڡઋ出，̿
δ证ត
ᰎ的ᬤ఻性Ὑ
3. ळ࠮学生ල঴តᰎ数据ࣳ
߹ੇ
᛫ಫ，гಪ据᛫ಫ中的
数据߹ੇ
ᄱ应的ઉ线ፒᝠ图. 
᜺ࠣ
ઉ线ፒᝠ图，ੈ̓͘
发ဘ：े
តᰎ的次数ᣗ࠵௑，
ઉ线上下ୌү的ࣨ
ए可能උᣗܸ
，ͮ
ᬤᅌតᰎ次数的ܙҫ，
ઉ线ୌү的ࣨ
एᤪຒԫ࠵， ښ
តᰎ次数ॢܸ
௑，͘
稳定ښ一
˔࣢数的ᬄᤃ. 学生Զ要能用ᒭ
ࣂ的ឦᝓ
ଡᤘԁ可. 
ᝬʷᝬ
（1）ᤈ˔ҩข一ᓊ௧不
公平的， ᒰ̆ࠫ
哪一方有Ѿ，
ѷ应ಪ据តᰎ数据. 学生ᤰ᣿上
᭧的តᰎ，感受҂频率的稳定
性，ᒭཀྵ͘
ਇ҂用频率ਫ਼稳定
的ϙ౏᛫ᇨ᧬࠹య上和᧬࠹య
下的可能性ܸ
࠵，̰
Ꮻ˞下一
课௑ळ出概率的定义Ϣᩔۙ
. ښ
൥，教师不用᣿分ूូ
， 学生
Զ要能用ᒭࣂ的ឦᝓ
ଡᤘԁ可. 
（2）࠵ј̵̓
的ឭข௧有一定᥋理的. ښតᰎ次数ॢܸ
（1 000 次）的ৱц下，有 640 次᧬࠹
య上，360 次᧬࠹య下，ੈ̓
有理ႀᝣ˞᧬࠹య上的可能性උ᧬࠹య下的可能性ܸ
. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
ត
版社
តᰎ
版社
ᰎ数
版社
数据
社
据
ಪ
版
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版
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版社
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版社
ಫ中
版社
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社
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出版
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ઉ
育
ઉ线
育出
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育出
ፒᝠ
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ᝠ图
出版
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ត
育
តᰎ
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ᰎ的
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的次
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次数
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数
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教
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教育
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教育
ୌү
育
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东教ܸ
，
东教
，ͮ
东教育ͮ
ᬤ
教育
ᬤᅌ
教育
ᅌ
ઉ
东教
ઉ线
东教
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东教
ୌү
教
ү
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东
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˔
能用ᒭࣂ的ឦᝓ
教育
能用ᒭࣂ的ឦᝓ
（
东教
（2
东教
2）
东教
）࠵
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教
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య上，
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య上，360
东
360 次
教
次
山东教育出版社
有
社
有
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社
学生
社
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社
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社
᣿上
社
上
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版社
频率
版社
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社
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出版
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出版
用频
版社
频率
版社
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版社
ਫ਼
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出版
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࠵
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教育
௑ळ
教育
ळ出
教育
出概
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概率
育出
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൥
教
൥，
教
，教
教育
教师
教育
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育
不ܸ
山ܸ
（
山东
（1
东
1 0
东
00
东教
00
东教
0 次
东教
次）
教
）
能性උ᧬࠹య下
山东
能性උ᧬࠹య下
 
108
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
౽࠱ѤᤂүրښՏʷ౎͈
ʾᤉᛡ࠱ѤὊፇ౧ݠʾ᛫ਫ਼ᇨ὘
࠱Ѥ঴൓஝ n






 
Ѥ˗᭬
ॷᄊ൓஝ m







Ѥ˗᭬
ॷᄊᮠဋ m
n
὆὇߹ੇ
ʽ᛫Ὑ
὆὇ಪ૶ʽ᛫ὊႇѣសᤂүրѤ˗᭬
ॷᄊᮠဋᄊઉጳፒᝠڏὙ
὆὇᜺ࠣ
ႇѣᄊઉጳፒᝠڏὊសᤂүրѤ˗᭬
ॷᄊᮠဋᄊԫӑద̤
˦᜻॥Ὕ
ᬤ۶ጷ˸
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ࠫ
౽੻ֶ̗
ᄊ᠏
᧚ᤉᛡᬤ఻ચಊὊፇ౧ݠʾ᛫ਫ਼ᇨ὘
ᬤ఻ચԩᄊֶ̗
஝ n 






 
Ռಫᄊֶ̗
஝ m







Ռಫဋ m
n
὆὇߹ੇ
ʽ᛫Ὑ
὆὇ಪ૶ʽ᛫Ὂႇѣֶ̗
ՌಫဋԫӑᄊઉጳፒᝠڏὙ
὆὇᜺ࠣ
ʽ᭧ᄊઉጳፒᝠڏὊֶ̗
Ռಫဋᄊԫӑద̤
˦᜻॥Ὕ
2. ઋଗʷ˔ݠڏਫ਼ᇨᄊၫᄦὊᄦ᭧యʽ֗
ᄦ᭧యʾᄊԻᑟভ௧աʷನܸ
Ὕটನ੦
ᑟᰎ᝽ᒭࣂፇ᝷ᄊ൤ᆸভὝ
ᄦ᭧యʽ
ᄦ᭧యʾ

第九章 概率初步
ᬤ۶ጷ˸
（1）᜹本ᮆ下᛫Ὑ
（2）႕Ὑ
（3）频率Ц有稳定性. 
˸ᮥ

1.（1）᜹本ᮆ下᛫Ὑ
（2）႕Ὑ
（3）ښᬤ఻ચԩ的ֶ̗
数ॢܸ
௑， 合ಫ率͘
稳定ښ
一˔࣢数的ᬄᤃ. 
2. 可ི̿͌
ઋ图᧬的តᰎ，一
ᓊ౏ឭ，ᄦ᭧య上和ᄦ᭧య
下的可能性不一ನܸ
.
࠱Ѥ঴次数 n
10
20
50
100
200
500
1 000
Ѥ中᭬
ॷ的次数 m
9
16
41
88
168
429
861
Ѥ中᭬
ॷ的频率 m
n
0.9
0.8
0.82
0.88
0.84
0.858
0.861
ᬤ఻ચԩ的ֶ̗
数 n
10
20
50
100
200
500
1 000
合ಫ的ֶ̗
数 m
9
19
47
93
187
467
935
合ಫ率 m
n
0.9
0.95
0.94
0.93
0.935
0.934
0.935
育出版社
版社
὆
社
὆
社
὇
社
὇
὆
社
὆
社
὇
社
὇
὆
社
὆
山东教育
ԩ
育
ԩ的
育
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育出ֶ̗
育出ֶ
数
育出
数ॢ
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合ಫ率͘
稳定
教育
合ಫ率͘
稳定
˔࣢数的ᬄᤃ
教育
˔࣢数的ᬄᤃ͌
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东教ི
ઋ
东教
ઋ图
东教
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教
᧬的
教
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山
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山东
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山东
ឭ，
东
，ᄦ
东
ᄦ᭧
东
᭧
下的可能性
山东
下的可能性
教育出版社             山东教育出版社
社           山东教育
版社
版社
版社
版社
版社
版社

社


社

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出版
ጳፒᝠڏὙ
ᄊᮠဋᄊԫӑద̤
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教育
 
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ᛡᬤ఻ચಊὊፇ౧
山东
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  山东
山东
山东
山东
山东
山
 山东
山东
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山ֶ
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山
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n
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ʽ᛫
 
὇߹ੇ
ʽ᛫
὆὇ಪ૶ʽ
὇ಪ૶ʽ
὆὇᜺
 
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山东教育
山东
山
教育
山东教
山东
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教育
࠱Ѥ঴
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出版社
௧աʷನܸ
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社
௧աʷನܸ
Ὕট
东教育
教育
教育出
ᄦ᭧యʾ
教育
ᄦ᭧యʾ
山东教育出版
东教
山东教
东
山东
山
100
东教
100
41
山
41
88
东
88
0
山
0 82
山
82
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
109
2   频率的稳定性

ό1ύ
ό1ύᝨ学生г次ፃԋ“ ࿯
฾Ųតᰎ和ஆ集តᰎ数据Ų分ౢ
តᰎፇ౧Ųᰎ证࿯฾”的᣿
程，学生可能̰
ெ࣢生活ፃᰎ
（ݠᡜု
උᠿ中，ᜇ判ᤰ࣢用
ଗ一౦کӉ的ᆶࣉ的方ข౏х
定ԥ方的උᠿڤڡ） ࿯฾ଗ一
౦کӉ的ᆶࣉ，൤᭧య上和൤
᭧య下的可能性௧ᄱՏ的，ᤈ
˔តᰎ的ᄬ的௧：
（1）̀
解ښតᰎ次数ॢܸ
௑，事件发生的频率Ц有稳定
性Ὑ
（2）Ύ学生ʹ͘
ښ“ଗᆶ
ࣉ”的តᰎ中，൤᭧య上和൤
᭧య下的可能性௧ᄱՏ的，˞
Ց᭧的ԱЧ概型ϢюܬὙ
（3 ）可̿
ᝨ学生思考：
˞̤
˦ଗ一౦图᧬，᧬࠹య上
和᧬࠹య下的可能性௧不ᄱՏ
的，Ꮻଗ一౦کӉ的ᆶࣉ，൤
᭧య上和൤᭧య下的可能性௧
ᄱՏ的Ὕ
ϢʷϢ
୲ͻ上，应ฌਓ下᭧їག：
（1）ઋଗᆶࣉ௑， 要̰
一定的ᰴए任ਓڡઋ出，̿
δ证តᰎ的ᬤ఻性Ὑ
（2）ळ࠮学生ල঴តᰎ数据ࣳ
߹ੇ
᛫ಫ，гಪ据᛫ಫ中的数据߹ੇ
ᄱ应的ઉ线ፒᝠ图. ښͻઉ
线ፒᝠ图௑，थᝬႇ出ː౎线，一౎௧൤᭧య上的频率分࣋
的ઉ线ፒᝠ图，Գ一౎௧൤᭧య下的频
率分࣋
的ઉ线ፒᝠ图，̿
Χᝨ学生发ဘ൤᭧య上的频率和൤᭧య下的频率ᦐ稳定҂ 1
2 ，˞४出ᤈː
˔事件的等可能事件Ϣᩔۙ
. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
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社
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社
᣿
生
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生活
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活ፃ
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ፃᰎ
社
ᰎ
ᜇ
版
ᜇ判
版社
判ᤰ
版社
ᤰ࣢
版社
࣢用
社
用
ᆶ
出
ᆶࣉ
出版
ࣉ的
出版
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出版社
方ข
版社
ข౏
版社
౏
ᠿ
出
ᠿڤ
出
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出版
ڡ）
出版
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出版
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版
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育
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育
ᆶࣉ
育出
ࣉ，
育出
，൤
育出
൤᭧
出
᭧
下
教育
下的
教育
的可
教育
可能
育
能性
育
性௧
育
௧
˔តᰎ的ᄬ的௧
教育
˔តᰎ的ᄬ的௧
（
东教
（1
教
1）
教
）̀
教̀
௑
东教
௑，
东
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东教
事
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东
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ϢʷϢ
东教育
ϢʷϢ
୲ͻ上，
东教
୲ͻ上，
（
东
（1
东
1）
东
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山
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山东教育出版社
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社
࠹
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社
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社
不ᄱ
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ᄱՏ
社
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版社
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版社
ᆶࣉ
版社
ࣉ，
社
，൤
社
൤
᭧య
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版
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版社
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版社
可能
版社
能̿
δ证តᰎ的
山东̿
δ证តᰎ的
ಫ
山
ಫ中
山
中的
山
的
 
110
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第九章 概率初步
ό1ύ߹ੇ
ઉ线ፒᝠ图，ੈ̓
᜺ࠣ͘
发ဘ：े
តᰎ的次数ᣗ
࠵௑，ઉ线上下ୌү的ࣨ
ए可
能උᣗܸ
，ͮ
ᬤᅌតᰎ次数的
ܙҫ，ઉ线ୌү的ࣨ
एᤪຒԫ
࠵， ښតᰎ次数ॢܸ
௑，௄᝷
௧൤᭧య上的频率ᤇ௧൤᭧య
下的频率，ᦐ͘
稳定ښ一˔࣢
数（1
2 ）的ᬄᤃ. ԁ事件发生的
频率Ц有稳定性，ࣳ
˅൤᭧య
上的频率和൤᭧య下的频率稳
定的ϙᄱ等，߲̓
发生的可能
性ܸ
ᒱᄱ等. 学生Զ要能用ᒭࣂ
的ឦᝓ
ଡᤘԁ可. 
ό2ύ第一˔̰
理᝷上证明
频率Ц有稳定性ᤈ一᜻॥的௧
数学ࠒᬶ
科࣋
·ͤ
ұѾ（J a k o b 
B e r n o u l l i ，1654—1705），̵
证明̀
ᗃՐ的ͤ
ұѾܸ
数定
理：ښ n 次࿘ቡ重复តᰎ中，
ᬤ఻事件 A 发生̀
 m 次，p ௧
事件 A ښඈ次តᰎ中发生的概
率，ѷࠫ
任ፌ的¤ > 0，有
ό1ύ
ό2ύ
ό3ύͤ
ұѾܸ
数定理̿
ˑಫ的数学形式᛫᣺̀
频率的稳定性，ԁे
តᰎ次数n ॢܸ
௑，事件发生的
频率与概率有ᣗܸ
Ϡࣀ的可能性ॢ
࠵. ಪ据实ᬅ଎லԔ理，ښ实ᬅ应用中，े
តᰎ次数 n ॢܸ
௑，
ࡃ可̿
用事件发生的频率౏ͥ
ᝠ事件发生的概率. 
ό3ύ事件 A 发生的概率 P（A），҉ႇ̀
事件 A 发生的可能性的ܸ
࠵. P（A）ᡕܸ
，事件 A 发生
的可能性˷ᡕܸ
，P（A）ᡕ࠵，事件 A 发生的可能性˷ᡕ࠵. 
频率与概率௅有ࠛ
ѭ的ᐏ系，ԡ有本质的ࣀѿ. 概率௧ᬤ఻事件的本质࡛
性，Ꮻ频率௧ᬤ఻事
件ښតᰎ中的ፒᝠፇ౧. 
l i m P   m
n - p  ≥¤  = 0.
nĠħ
山东教育出版社
版社
版社
య
版
య
˔
版
˔࣢
版
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出
件发
出
发生
出版
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出版
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，ࣳ
育ࣳ
˅
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˅൤
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᭧య
出
య
൤
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教育
᭧య
教育
య下
教育
下的
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的频
育
频率
育
率
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东教
等，
东教
，߲
东教育߲̓
教育̓
发
教育
发生
育
生
ᒱ
东
ᒱᄱ
东
ᄱ等
东教
等.
东教
. 学
东教
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东教
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教
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ឦᝓ
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山东
ឦᝓ
ଡᤘԁ可
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山
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山
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山
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社̵̵
数
社
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社
定
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版
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版社
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中，
版社
，̀̀
m
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东教
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m
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教
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山东教育
教育
教育出版社
定
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东
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东
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东教
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教
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山
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山
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山东
，ښ
山东
ښ实
东
实ᬅ
东
ᬅ
111
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ਇʷਇ
ڂ˞ښn 次重复តᰎ中，事件A发生的次数 m ໘ᡜ 0≤m≤n，ਫ਼̿
0≤m
n ≤1，̰
Ꮻ可
ᅼ频率 m
n ਫ਼稳定҂的࣢数 p ˷໘ᡜ 0≤p≤1. ڂ൥
0≤P（A）≤1.
ᔪ A ௧必ཀྵ事件，ѷ事件 A 发生的次数 m = n，ਫ਼̿
 m
n =1，̰
Ꮻ可ᅼ频率 m
n ਫ਼稳定
҂的࣢数 p ˷一定௧ 1. ڂ൥ P（A）= 1，ԁ必ཀྵ事件发生的概率˞ 1. 
ᔪ A ௧不可能事件，ѷ事件 A 发生的次数 m = 0，ਫ਼̿
 m
n = 0，̰
Ꮻ可ᅼ频率 m
n ਫ਼稳
定҂的࣢数 p ˷一定௧ 0. ڂ൥ P（A）= 0，ԁ不可能事件发生的概率˞ 0. 
山东教育出版社
0
社
0≤
社
≤
事件
版
事件A
版社
A 发生的次
版社
发生的次
ڂ൥
出版
ڂ൥P
出版
P（
版
（A
版
A）
版
）
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育出
能事件，ѷ事件
˷一定௧
教育出
˷一定௧0
育
0 ڂ
出
ڂ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
可
社
可
ᅼ频率
育出
ᅼ频率m
出版
m
n
出
n
出
ਫ਼
出版
ਫ਼
=
教
= 0
教
0，̰
Ꮻ可ᅼ
教育
，̰
Ꮻ可ᅼ
发生的概率˞
东教
发生的概率˞
山东教育出版社
 
112
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第九章 概率初步
ᝬʷᝬ
学生ᤰ᣿上᭧តᰎ的图᛫
数据和ԋԾ上的数学ࠒਫ਼Ϣ的
ଗᆶࣉតᰎ的数据，一ᓊ能初
൦ʹ͘
҂൤᭧య上的概率和൤
᭧య下的概率ᦐ˞ 1
2 ，߲̓
௧
ᄱ等的. ݠ౧学生ႀ̆
តᰎ数据
的ࣀѿᏫ不ᝣՏᤈː˔事件的
等可能性，教师可̿
ಪ据̵̓
的生活ፃᰎΎХᝣՏ. 
教师可̿
Ք学生ଢ᫈
：ݠ
౧ଗ一౦不کӉ的ᆶࣉ，൤᭧
య上和൤᭧య下发生的可能性
௧աᄱ等Ὕ
ᬤ۶ጷ˸
1. （1） ڂ˞តᰎ的次数
不ܳ
（Զ有 5 次），൥௑用频
率౏ͥ
ᝠ概率，Хឨࣀ一ᓊᣗܸ
，ਫ਼̿
，ᝣ˞൤᭧య上的可
能性ܸ
ጞ˞ 3
5 ，య下的可能性
ጞ˞ 2
5 ௧不ܺ
合适的. ႀ̆
ᆶ
ࣉ௧کӉ的，ਫ਼̿
гܳ
Ϣ一̏
តᰎ，൤᭧య上的频率和൤᭧య下的频率一ᓊᦐ͘
稳定ڡښ 1
2 的ᬄᤃ. 
2. 概率௧᧫ܸࠫ
᧚តᰎᏫᝓ
的，ܸ
᧚តᰎ中ਫ਼ߛښ的᜻॥ࣳ
不一定ښ一次តᰎ中ߛښ，概率௧ 
1
2 ，不能δ证ښ 2 次តᰎ中্
ݞ发生 1 次，˷不能δ证ښ 100 次តᰎ中্
ݞ发生 50 次，Զ௧े
ត
ᰎ的次数ᡕ౏ᡕܸ
௑，൤᭧య上的频率͘
稳定҂ 1
2 . 
ᙊཀྵܳ
次តᰎ的频率ຒᡖ稳定̆
Х理᝷概率，ͮ
˷不ଆம௄᝷Ϣܳ
࠶次តᰎ，តᰎ概率̯
ཀྵ௧
理᝷概率的一˔ᤃͫ
ϙ，ːᏨߛښᅌ一定的Ϡࣀ，Ꮻ˅Ϡࣀ的ߛښ௧൤࣢的njፃ࣢的. 事实上，Ϣ
100 次ଗࣉតᰎ্
ݞ 50 次൤᭧య上的概率ܸ
ጞԶ有 8%. ឴
ʷ឴
˟要̮
ፁ有关概率的发࡙
እԾ，௉ښᝨ学生̀
解概率的౏ູ
和发࡙
᣿程. 
山东教育出版社
版社
版社
௧
版
௧
ᰎ
出
ᰎ数
出版
数据
出版
据
˔
出
˔事
出
事件
出版
件的
出版
的
可
育
可̿
育̿
ಪ
育出
ಪ据
育出
据̵
育出̵̓
出̓
ХᝣՏ
教育
ХᝣՏ. 
教育
. 
可
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可̿
教̿
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教
Ք学
教育
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教育
生ଢ
育
ଢ
౦
东
౦不
东教
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东教
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东教
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教
ᆶ
上
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上和
山东
和൤
山东
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东
᭧య
东
య下
东
下
௧աᄱ等Ὕ
山东
௧աᄱ等Ὕ
教育出版社 
社            山东教育出版社
山东教
山东
山
用
社
用频
社
频
一
社
一ᓊ
社
ᓊᣗ
社
ᣗ
᭧
版
᭧య
版
య上
版社
上的
版社
的可
版社
可
య
出版
య下
出版
下的
出版
的可
版
可能
版
能
௧
育
௧不
育
不ܺ
育出ܺ
合
育出
合适
育出
适的
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的
ک
教
کӉ
教育
Ӊ的
教育
的，
教育
，ਫ਼
育
ਫ਼̿
育̿
តᰎ，൤᭧య
东教育
តᰎ，൤᭧య
2
东教
2.
东
. 概
教
概
1
山东
1
2
山东
2
山东
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东
，
山东教育
教育
教育出版社
ښ
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ښ 1
东
1
2
东
2
东
的ᬄᤃ
东教
的ᬄᤃ
ښ
山
ښ的
山东
的᜻
山东
᜻॥
山东
॥ࣳ
东ࣳ
不
东
不
δ
山
δ证
山
证ښ
山
ښ 1
山
10
山
0
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
113
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ౽መ᳡ዢښᄱՏ౎͈
ʾᄊԧᔏតᰎὊፇ౧ݠʾ᛫ਫ਼ᇨ὘
តᰎᄊ᳡ዢ஝ n



 
 
 
ԧᔏᄊዢ஝ m




 
 
ԧᔏᄊᮠဋ m
n
὆὇߹ੇ
ʽ᛫Ὑ
὆὇ႇѣ᳡ዢԧᔏᮠဋᄊઉጳፒᝠڏὙ
὆὇͊
ԩʷዢ᳡ዢὊͥ
ᝠ߲
ᑟԧᔏᄊഐဋ.
2. ࠫ
౽੻ˮ˯ု
ᄊ᠏
᧚ᤉᛡᬤ఻ચಊὊፇ౧ݠʾ᛫ਫ਼ᇨ὘
ᬤ఻ચԩᄊˮ˯ု
஝ n






 ͖
኎ֶ
஝ m






͖
኎ֶ
ဋ m
n
὆὇߹ੇ
ʽ᛫Ὑ
὆὇ಪ૶ʽ᛫Ὂښᤈ੻ˮ˯ု
˗͊
ԩʷ˔Ὂ߲
˞͖
኎ֶ
ᄊഐဋܸ
ጞ௧ܳ
࠶Ὕ
὆὇ݠ౧᧘ழгચԩ   ˔ˮ˯ု
ᤉᛡ᠏
᧚ೝಊὊࠫ
උʽ᛫ᝮै
ʾ஝૶Ὂː᛫
ᄊፇ౧͘
ʷನՙὝ˞̤
˦Ὕ
3. ଗʷ౦کӉᄊᰥߕ.
὆὇͘
ѣဘד̏
Իᑟᄊፇ౧Ὕ
὆὇ଗѣᄊག஝˞  ˁଗѣᄊག஝˞  ᄊԻᑟভᄱՏՙὝଗѣᄊག஝˞  ˁଗѣ
ᄊག஝˞  ᄊԻᑟভᄱՏՙὝ
὆὇ඈ˔ፇ౧ѣဘᄊԻᑟভᄱՏՙὝͿ௧টನϢᄊὝ
2   频率的稳定性

˸ᮥ

1.（1）᜹本ᮆ下᛫Ὑ
（2）႕Ὑ
（3）᳡ዢ能发ᔏ的概率ܸ
ጞ
˞ 0.95. 
2.（1）᜹本ᮆ下᛫Ὑ
（2）任ԩ一˔ˮ˯ု
， ߲
˞͖
等ֶ
的概率ܸ
ጞ௧ 
           0.825Ὑ
（3）ڂ˞ᬤ఻事件ښ一次
តᰎ中发生与ա ௧不
ᆸ定的，ਫ਼̿
ݠ౧г
ચԩ 1 000 ˔ˮ˯ု
ᤉ
行质᧚ೝಊ，ᝮै
下౏
的数据一ᓊ௧不Տ的. 
3.（1）ଗ一౦کӉ的ᰥߕ，ਫ਼
有可能的ፇ౧有 6 መ：
ଗ出的ག数分ѿ௧ 1，
2，3，4，5，6. 
（2）ଗ出的ག数˞ 1 与ଗ出
的ག数˞ 2 的可能性ᄱ
ՏὙ ଗ出的ག数˞ 1 与
ଗ出的ག数˞ 3 的可能
性ᄱՏ. 
（3）ඈመፇ౧出ဘ的可能性
ᄱՏ. 
应ᴂҵ学生ЦʹϢ一Ϣ，˅可̿
ᝨ学生ଊቃඈመፇ౧出ဘ的可能性ᄱՏ的Ԕڂ，˞下一ᓬԱЧ
概率的ᝠካ੪ݞ基ᆩ. 
តᰎ的᳡ዢ数 n
100
200
500
1 000
2 000
5 000
发ᔏ的ዢ数 m
94
191
473
954
1 906
4 748
发ᔏ的频率 m
n
0.94
0.955
0.946
0.954
0.953
0.949 6
ᬤ఻ચԩ的ˮ˯ု
数 n
10
20
50
100
200
500
1 000͖
等ֶ
数 m
7
16
43
81
164
414
825͖
等ֶ
率 m
n
0.7
0.8
0.86
0.81
0.82
0.828
0.825
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
版社
版社

社

ፒᝠڏὙ
出版
ፒᝠڏὙ
ᑟԧᔏᄊഐဋ
育出
ᑟԧᔏᄊഐဋ.
出
.
ᛡᬤ఻ચಊὊፇ౧
育出
ᛡᬤ఻ચಊὊፇ౧
东教育
东教育
஝
教
஝ n
教
 n

教育


育

஝
东教
஝ m
东教
 m

教育
͖
኎ֶ
ဋ
东͖
኎ֶ
ဋ
东教
m
东教
m
n
东教
n
὆
山
὆
山
὇߹ੇ
ʽ᛫Ὑ
山东
὇߹ੇ
ʽ᛫Ὑ
὆
山
὆
山
὇ಪ૶ʽ᛫
山
὇ಪ૶ʽ᛫

山
὇ݠ౧
山
὇ݠ౧
东教育出版社             山东教育出版社
教育
山东教育出版社
出版社             山
ဋܸ
ጞ௧ܳ
࠶Ὕ
ဋܸ
ጞ௧ܳ
࠶Ὕ
උʽ᛫ᝮै
ʾ஝૶Ὂ
 
උʽ᛫ᝮै
ʾ஝૶Ὂ
ག஝˞
版社
ག஝˞ 
版社
 ᄊԻᑟভ
版社
ᄊԻᑟভ
ᄱՏՙὝ
版社
ᄱՏՙὝ
ԻᑟভᄱՏՙὝͿ௧
出版社
ԻᑟভᄱՏՙὝͿ௧
山东
山
概
版社
概率
版社
率ܸ
版社ܸ
ጞ
社
ጞ
下᛫Ὑ
出版
下᛫Ὑ
ԩ
育出
ԩ一
育出
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˔ˮ
出版
ˮ˯
出版
˯ု
版ု
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育
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概
教育
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教育
0.
教育
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教育
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育
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东教
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东教
3）
教育
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教育
ڂ˞
教育
˞
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教
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应ᴂ
东教
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东教
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教
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教
Ц
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东教
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山东
山
山东教育出版社
˞
版社
˞ 1
版社
1 与
版社
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社
ଗ出
社
出
˞
版
˞ 2
版
2 的
版社
的可
版社
可能
版社
能性
社
性
ଗ出的ག数˞
出版
ଗ出的ག数˞
ଗ
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ଗ出
育出
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出版
ག数
出版
数˞
版
˞
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性ᄱՏ. 
出
. 
（
教
（3
教育
3）
教育
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教育
ඈመ
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育
ፇ
ᄱ
教育
ᄱ
ဘ
东
ဘ的
东
的可
东教
可能
东教
能性
东教
性ᄱ
教
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山
1
山
1 0
山
0
 
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஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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ԧၷᄊᮠဋ౏ͥ
ᝠស͈̃
ԧၷᄊഐဋὊͮ
४҂ᄊड़ड़Զ௧
ഐဋᄊͥ
ᝠϙ.  ᥧ˦Ὂᤇద෥దХ̵
රഐဋᄊவขքὝ

኎Իᑟ͈̃
ᄊഐဋ
ᝬʷᝬ
. ʷ˔᛻˗ᜉద  ˔ု
ὊѬѿಖద ὊὊὊὊ ᤈ̋
˔ՂᆊὊᤈ̏ု
ᬔ
Ղᆊܱ
ᦐᄱՏὊଵӉՑ͊
ਓୗѣʷ˔ု
.
὆὇͘
ѣဘד̏
Իᑟᄊፇ౧Ὕ
὆὇ඈ˔ፇ౧ѣဘᄊԻᑟভᄱՏՙὝ࿯ʷ࿯߲̓
ᄊഐဋѬѿ௧ܳ
࠶.
. Ғ᭧ੈ̓
ଢ҂ᄊઋᆶࣉnjଗᰥߕ֗
ୗု
ᄊ຤੆ద̤
˦СՏᄊྲ
གὝ
᝺ʷ˔តᰎᄊਫ਼దԻᑟᄊፇ౧ద n ˔Ὂඈ൓តᰎద˅ԶదХ˗ᄊʷ˔ፇ౧
ѣဘ.  ݠ౧ඈ˔ፇ౧ѣဘᄊԻᑟভᄱՏὊᥧ˦ੈ̓
ࡃሦᤈ˔តᰎᄊፇ౧௧኎Ի
ᑟᄊ.
ਇʷਇ
Ϳᑟ੽ʷ̏
ፇ౧௧኎ԻᑟᄊតᰎՙὝ
ʷᓊڡὊݠ౧ʷ˔តᰎద n ˔኎Իᑟᄊፇ౧Ὂ͈̃
 A ӊեХ˗ᄊ m ˔ፇ
౧Ὂᥧ˦͈̃
 A ԧၷᄊഐဋ˞὘P὆A὇>!m
n /
Γ
 ͊
ਓଗʷ౦کӉᄊᰥߕ.
὆὇ଗѣᄊག஝ܸ̆
  ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
὆὇ଗѣᄊག஝௧Ϧ஝ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
ᝍὉ͊
ਓଗʷ౦کӉᄊᰥߕὊਫ਼దԻᑟᄊፇ౧ద  መ὘ଗѣᄊག஝Ѭѿ௧

第九章 概率初步
教ߦ目ಖ
1. ፃԋ“ଢ出᫈
题—࿯
ਇ—思考̔ื
—ચ៶概઺—解
х᫈
题”的᣿程，̀
解ԱЧ概
型的ྲ
ག，̀
解可ӑ˞ԱЧ概
型的ї͵概型的ྲ
ག，͘
ಪ据
តᰎፇ౧的ࠫ
ሦ性ੋ
کᛦ性判
லតᰎፇ౧௧աЦ有等可能性.
2. ଂଧԱЧ概型ԣ可ӑ˞
ԱЧ概型的ї͵概型的概率ᝠ
ካ方ข.
3. 能᝺ᝠኀ合要ර的እӭ
概率模型，初൦ʹ͘
概率௧ଡ
ᤘ不ᆸ定ဘ៶的数学模型. 
用事件发生的频率౏ͥ
ᝠ
ស事件发生的概率，ᙊཀྵЦ有
௿᥆性，ͮ
ᤈመ方ขᭊ要ᤉ行ܸ
᧚的重复តᰎ，Ꮻ˅४҂的
ड़ड़Զ௧概率的ͥ
ᝠϙ，ਫ਼̿
教科书ଌᅌᝧ᝷̀
ԱЧ概型和
可ӑ˞ԱЧ概型的ї͵概型，߲̓
的概率可̿
ᤰ᣿ᝠካ४҂. 
本ᓬ分˞ 4 课௑. Ғː课௑̰
Цʹڡୗု
຤੆出发，ᝨ学
生̀
解ԱЧ概型的ྲ
ག，ፌ出
ԱЧ概型的概率ᝠካ公式， ̰ࣳ
概率的ਓ义౏理解຤੆的公平性，తՑᤉ行ԦՔ᝺ᝠ. 
Ցː课௑ᤰ᣿Цʹ实Γ，ᝨ学生̀
解可ӑ˞ԱЧ概型的ї͵概型的ྲ
ག和概率ᝠካ，ࣳ
᝺ᝠኀ
合要ර的እӭ概率模型. 
ᝬʷᝬ
1. （1）͘
出ဘୗ҂ 1 号ု
njୗ҂ 2 号ု
njୗ҂ 3 号ု
njୗ҂ 4 号ု
njୗ҂ 5 号ု
ᤈ 5 መ可能
的ፇ౧. 
（2）ඈ˔ፇ౧出ဘ的可能性ᦐᄱՏ. ႀ̆
一С有 5 መ等可能性的ፇ౧，ਫ਼߲̿̓
发生的概率ᦐ
௧ 1
5 . 
ό1ύ
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
ᝬ
社
ᝬ
据
版
据
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版
性判
版
判
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出版
可能性.
出版
.
型
育
型ԣ
育出
ԣ可
育出
可ӑ
育出
ӑ˞
出
˞
͵
育
͵概
育
概型
育
型的
育出
的概
育出
概率
育出
率
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东
能᝺
东教
᝺ᝠ
东教
ᝠኀ
东教
ኀ合
教
合要
教
要
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东
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东
型，
东
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东教
初൦
东教
൦ʹ
教
ʹ
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山东
ᤘ不ᆸ定ဘ៶
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山
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山
事件
山
件
事
山
事件
山
件
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
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出版
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育
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育
Ὂ
育
Ὂ
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Ὂ
育出
Ὂ
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 ᤈ̋
出
ᤈ̋
ᄱՏՙὝ࿯ʷ࿯
东教
ᄱՏՙὝ࿯ʷ࿯
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东教
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山东
ਫ਼దԻᑟᄊፇ౧ద
ፇ౧ѣဘᄊԻᑟ
山
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ਇʷਇ
Ϳᑟ੽ʷ
 
Ϳᑟ੽ʷ
ʷ
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社
ਫ਼̿
社̿
概
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概型
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和
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概型
版社
型，
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，
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出版社
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出
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出版
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出版
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出版
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ୗု
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຤
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出
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出
发
解
教
解Ա
教育
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教育
Ч概
教育
概型
育
型的
育
的
ԱЧ概型的概率
教育
ԱЧ概型的概率
Ց
东教
Ցː
教
ː课
教
课
合要ර的
山东教
合要ර的
山
山东教育出版社
教育
եХ˗ᄊ
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育
࠶Ὕ
ਫ਼దԻᑟᄊፇ౧ద
教育
ਫ਼దԻᑟᄊፇ౧ద
公平性，తՑᤉ
东教
公平性，తՑᤉ
型
山东
型的
山东
的ї
山东教
ї͵
东教
͵概
东教
概型
教
型
115
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ښҒ᭧学习的基ᆩ上，要ර学生不Ϣតᰎ，直ଌಪ据ᬤ఻តᰎፇ౧的ࠫ
ሦ性ੋ
کᛦ性
判லតᰎፇ౧Ц有等可能性. 
2. 可̿
ळ࠮学生ચ៶概઺出ԱЧ概型的СՏ的ྲ
ག： ਫ਼有可能的ፇ౧有有限˔（有限
性），ඈ˔ፇ౧出ဘ的可能性（概率）ᄱՏ（等可能性）. 
一˔តᰎ௧ա˞ԱЧ概型，关᪄ࡃ௧ᄺ߲
௧աՏ௑Цܬ上ᤘː˔基本ྲ
ག，ːᏨᎥ一
不可. 
ԱЧ概型ښ概率᝷发࡙
初ర௧˟要的ᆑቃࠫ
៶，߲
有ᅌ直᜺njࠔ௜理解的ྲ
ག，ࣳ
有
ᅌࣹ
ฅ的应用. 
“等可能性”௧一መ理ਇ࿄গ，௧一መϜ᝺，ښ教学௑要ර学生不要ᨛྦ
角࠹，要ᥘ
В与学生“ઔ్
”，ࣳ
要ර学生能ಪ据ᬤ఻តᰎፇ౧的ࠫ
ሦ性ੋ
کᛦ性判லតᰎፇ౧௧ա
Ц有等可能性. ݠଗ一౦کӉ的ᆶࣉ，߲
௧一˔ї͵ࠫ
ሦʹ，Хፇ౞کᛦ，൤᭧య上和൤᭧
య下发生的“఻͘
”ᄱՏ，ਫ਼߲̿̓
发生的可能性ᄱ等. Ꮻଗ一౦图᧬，߲
不௧一˔ї͵ࠫ
ሦʹ，Хፇ౞不کᛦ，᧬࠹య上和᧬࠹య下发生的“఻͘
”不ᄱՏ， ਫ਼߲̿̓
发生的可能
性一ᓊ௧不ᄱ等的. 
ਇʷਇ
ݠଗᆶࣉnjଗᰥߕnjୗု
njୗྡ
等௧等可能的តᰎ，教师ᤇ可̿
ˡ一̏
不௧等可能的
តᰎ，ݠ࠱Ѥតᰎ中的“中᭬
”与“ᑲ᭬
”，发ᔏតᰎ中的“发ᔏ”与“不发ᔏ”等，ᄬ
的௧ᝨ学生能ಪ据ԱЧ概型的ː˔基本ྲ
ག౏判லតᰎ௧ա˞等可能的តᰎ，ྲ
ѿ௧能ಪ
据ᬤ఻តᰎፇ౧的ࠫ
ሦ性ੋ
کᛦ性判லតᰎፇ౧௧աЦ有等可能性. 
ό1ύᤈ௧ԱЧ概型的概率ᝠካ公式，ښ用൥公式ᝠካ概率௑，ᯫЏ，应判லតᰎ˞ԱЧ
តᰎ，ԁЦ有ԱЧ概型的ː˔基本ྲ
ག： 有限性和等可能性，ːᏨᎥ一不可. Х次，ᝠካ
௑关᪄௧ᝠካតᰎ中ਫ਼有等可能的ፇ౧঴数和ਫ਼ර事件中可能出ဘ的ፇ౧数，˞൥，ੈ̓
࣢用ѵˡข. 
ښ本ቦ中，有关ԱЧ概率的ᝠካ，Զ๘ԣ一൦概率. 
Γ 1
ښ用ԱЧ概型的概率ᝠካ公式ᝠካ概率௑， 关᪄௧ᝠካតᰎ中ਫ਼有等可能的ፇ౧঴数
和ਫ਼ර事件中可能出ဘ的ፇ౧数，本题ਫ਼用的方ข௧ѵˡข，ᤈመ方ข˷௧ဘ᫽段的࣢用
方ข. 
山东教育出版社
初
版
初ర
版社
ర௧
版社
௧˟
版社
˟要
社
要的
社
的ᆑ
社
ᆑ
一
出
一መ
出
መ理
出版
理ਇ
出版
ਇ࿄
出版
࿄গ
版
গ
，
育
，ࣳ
育出ࣳ
要
育出
要ර
育出
ර学
出
学生
出
生
ݠଗ一౦کӉ
育出
ݠଗ一౦کӉ
的“఻͘
”ᄱՏ
教育
的“఻͘
”ᄱՏ
Х
东
Хፇ
东教
ፇ౞
东教
౞不
东教
不ک
教
کᛦ
教
ᛦ
一ᓊ௧不ᄱ等
东教
一ᓊ௧不ᄱ等
山东
ਇʷ
山
ਇʷ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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限
社
限
ː
版
ːᏨ
版社
ᏨᎥ
版社
Ꭵ一
版社
一
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出
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出
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出版
ག，
出版
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版ࣳ
生
教育
生不
教育
不要
教育
要ᨛ
育ᨛྦ
育ྦ
角
育
角ੋ
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ک
教
کᛦ
教育
ᛦ性
教育
性判
教育
判ல
育
ல
Хፇ౞کᛦ，
东教
Хፇ౞کᛦ，
Ꮻଗ一౦图᧬
山东教
Ꮻଗ一౦图᧬
఻
山
఻͘
山͘
”
山东
”不
山东
不ᄱ
山东
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东
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等௧等可
 
可能
与“ᑲ᭬᭬
”
的ː˔基本
 
本ྲྲ
性ੋ
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社 
性ੋ
کᛦ性判ல
概
版
概型
版
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版社
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版社
概率
版社
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社
ᝠ
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出版
Ч概
出版
概型
出版
型的
版
的ː
版
ː
ᝠ
育
ᝠካ
育出
ካត
育出
តᰎ
育出版
ᰎ中
出版
中ਫ਼
出版
ਫ਼
ѵˡข
育
ѵˡข. 
育
. 
ښ本ቦ中，
教育
ښ本ቦ中，
Γ
东教
Γ 1
教
 1
ښ
东教
ښ
和
东
和ਫ਼
东
ਫ਼
山东教育出版社
௧
社
௧能
社
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社
ಪ
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出
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出版
லត
出版
តᰎ
出版
ᰎ˞
版
˞Ա
版
Ա
一
出
一不
育出
不可
育出版
可.
出
. Х
出版
Х次
出版
次
ဘ
育
ဘ的
育
的ፇ
育
ፇ౧
育出
౧数
育出
数，
出
，˞
出
˞
关
山
关᪄
山
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山东
௧ᝠ
山东
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山东
ካត
东
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东
ᰎ
௧
山
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山
ѵˡ
山
ˡข
山
ข
 
116
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第九章 概率初步
ό1ύ
ό1ύᤈ௧一˔开ஊ性的᫈
题，ݠ可̿
ර： ଗ出的ག数࠵̆
 5 的概率Ὑଗ出的ག数௧ 3 
的φ数的概率Ὑଗ出的ག数不
௧ 6 的概率等等，学生的ንವ
Զ要合理ԁ可. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ચ҂ܸ
ဍ的概率௧ 1
54 ，ચ
҂ 3 的概率௧ 2
27 ，ચ҂方
ڱ的概率௧ 13
54 .
௭ཀྵચ҂ܸ
ဍ的概率උચ҂ 
3 的概率࠵，ਫ਼̿
੪ྡ
的௑
Υୗ҂ܸ
ဍ的఻͘
උୗ҂ 3 
的఻͘
࠵.
2. 1
4
 .
˸ᮥ

1. ͘
出ဘୗ҂и有字ඇ A 的ጮ౎njи有字ඇ B 的ጮ౎njи有字ඇ C 的ጮ౎njи有字ඇ D 的ጮ౎nj
и有字ඇ E 的ጮ౎ᤈ 5 መ可能的ፇ౧. ߲̓
௧等可能的. 
2.（1）1
2 Ὑ（2）1
2 Ὑ（3）0Ὑ（4）1.
3.（1）1
7 Ὑ（2）2
7 Ὑ（3）4
7 .
4. 方ขॢܳ
，ݠ࠲ 40 ՐՏ学的Ր字分ѿиښ 40 张ጮኤ上，ᬤ఻ચԩ一张，ચԩи有ឺ
的Ր字的ኤ
ࡃᤥ中ឺ
. 学生的方ขԶ要合理ԁ可. 
山东教育出版社
版社
版社
௧
育
௧
1
出
1
54
育出
54
育出
，
出
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出版
ચ
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教
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教育
௧
2
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2
27
教育
27
教育
，
育
，ચ
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育
҂
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东教
概率௧13
东教育
13
54
东教
54
东教
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.
௭
山
௭ཀྵ
山东
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山东
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东教
҂ܸ
东教ܸ
ဍ
东教
ဍ
3
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山东
的概
山东
概率
山东
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东
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山
Υୗ
山
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山
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
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社
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社
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社
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东教
东教
东教
˸ᮥ

东教育
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东
1. 
东
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出ဘୗ
东教͘
出ဘୗ
и有
东
и有
2
山
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山东教育
教育
教育出版社
山东
౎njи有字ඇ
山东
౎njи有字ඇC
东
C
可能的
山
可能的.
山
.
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
117
ᝬʷᝬ
. ʷ˔᛻˗ᜉద  ˔ጚု֗
  ˔ᄇု
Ὂඈ˔ု
ᬔᮨ
ᓤܱ
ᦐᄱՏὊ͊
ਓୗѣ
ʷ˔ု
Ὂୗ҂ጚု
ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
ୗѣᄊု
ˀ௧ጚု
ࡃ௧ᄇု
Ὂਫ਼̿
ୗ҂ጚု֗
ୗ҂ᄇု
ᄊԻ
ᑟভᄱՏὊ˷ࡃ௧ὊP὆ୗ҂ጚု
὇>!
 .
ጚု
ద  ˔ὊᏫᄇု
ద  ˔Ὂݠ౧࠲ඈʷ˔ု
ᦐᎄʽՂᆊὊ
 Ղု
὆ጚᓤ὇nj Ղု
὆ጚᓤ὇nj Ղု
὆ᄇᓤ὇nj Ղု
὆ᄇ
ᓤ὇nj Ղု
὆ᄇᓤ὇Ὂୗѣඈʷ˔ု
ᄊԻᑟভᄱՏὊСద  መ
኎Իᑟᄊፇ౧.  ୗ҂ጚု
Իᑟѣဘᄊፇ౧ద὘ୗѣ  Ղုੋ
  Ղု
ὊСద  መ኎Իᑟᄊፇ౧.  ਫ਼̿
ὊP὆ୗ҂ጚု
὇>!
 .
Ϳᝣ˞ឺ
ឭᄊద᥋ေὝ
. ࠵௚֗
࠵јʷᡑϢ຤੆.  ښʷ˔ᜉద  ˔ጚု֗
  ˔ᄇု
὆ඈ˔ု
ᬔᮨ
ᓤܱ
ᦐᄱՏ὇ᄊ᛻˗͊
ਓୗѣʷ˔ု
Ὂୗ҂ጚု
࠵௚ᖍᑈὊୗ҂ᄇု
࠵јᖍ
ᑈ.  ᤈ˔຤੆ࠫ
ԥவНࣱ
ՙὝښʷ˔ԥ̡
຤੆˗ὊͿ௧টನေᝍ຤੆ࠫ
ԥவНࣱ
ᄊὝ
ᤥԩ  ˔ᬔᮨ
ᓤܱ
߹ЛᄱՏᄊု
᝺ᝠʷ˔ୗု
຤੆.
὆὇Ύ४ୗ҂ጚု
ᄊഐဋ௧ 
Ὂୗ҂ᄇု
ᄊഐဋ˷௧ 
Ὑ
὆὇Ύ४ୗ҂ጚု
ᄊഐဋ௧ 
Ὂୗ҂ᄇု᳧֗ု
ᄊഐဋᦐ௧ 
.
ϢʷϢ
3   等可能事件的概率

ᝬʷᝬ
1. ࠵ᮣ
ឭ的有᥋理. 教科书
用࠵明ᩲឨ的ឭข౏ଢᧈ学生ࣳ
不௧任ਓ事件௧等可能的，
教师可̿
гˡ一̏
ዝͫ
的Γ
ߕ，̿
ҫງࠫ
൥的理解. 
2. P（࠵明ᖍᑈ）= 2
5 ，
P（࠵јᖍᑈ）= 3
5 ，ႀ̆
ː̡
ᖍᑈ的概率不Տ，ਫ਼̿
຤੆ࠫ
ԥ方不公平. ښ一˔ԥ̡
຤੆
中，຤੆ࠫ
ԥ方公平௧ૉԥ方
ᖍᑈ的概率ᄱՏ. 
ϢʷϢ
ᤈ௧一˔Ц有્੍
性的活ү，学生要ಪ据要ර᝺ᝠ຤੆，ᤈʹဘ̀
概率模型的思ਇ. 教师可̿
ښ学生࿘ቡ思考的基ᆩ上组ጻ࠵组ᝧ᝷. 
（1） ᤥԩ的 4 ˔ု
，Х中 2 ˔ጚု
，2 ˔ᄇု
Ὑ
（2） ᤥԩ的 4 ˔ု
，Х中 2 ˔ጚု
，1 ˔ᄇု
，1 ˔᳧ု
. 
山东教育出版社
>
社
> 
社


社

社
.
社
.
Ꮻᄇု
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出版
Ꮻᄇု
ద
出版
 ˔Ὂݠ
版
˔Ὂݠ
὇nj
育
὇nj
育出
 Ղု
὆ጚᓤ
育出
Ղု
὆ጚᓤ
Ղု
὆ᄇᓤ὇
育出
Ղု
὆ᄇᓤ὇Ὂୗ
育出
Ὂୗ
ᑟᄊፇ౧
教育
ᑟᄊፇ౧. 
教育
. ୗ҂ጚ
育
ୗ҂ጚု
ὊСద
东教育ု
ὊСద
教育
 መ኎Ի
教育
መ኎Ի
ᝣ˞ឺ
ឭᄊద᥋ေ
山东
ᝣ˞ឺ
ឭᄊద᥋ေ
࠵௚֗
࠵ј
山
࠵௚֗
࠵ј
὇
山
὇
版社
东教
版
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山东教育
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˔ᄇု
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118
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ਇʷਇ
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!.
2. ឰͿ᝺ᝠʷ˔ԥ̡
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ᄊ.
˸ᮥ


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1. ʷ˔᛻˗ᜉద  ˔ጚု֗
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஝ߦေᝍ
3. ឰˡѣʷ͈̏̃
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ԧၷᄊഐဋᦐ௧ 
 .

第九章 概率初步
ਇʷਇ
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：
（1）4 ˔ጚု
，4 ˔ᄇု
Ὑ
（2）4 ˔ጚု
，2 ˔ᄇု
，
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. 
7 ˔ု
：不可能. 
ᬤ۶ጷ˸
1. P（ୗ҂ጚု
）= 1
3 ὙP（ୗ
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）= 2
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）= 4
9 . 
2. ႕. Զ要᝺ᝠ的຤੆Ύԥ方ᖍ
ᑈ的概率ᄱՏԁ可.
˸ᮥ

1. 不等. 能，ݠܙҫ 2 ˔ጚုੋ
Ꮸѓ࠶ 2 ˔ᄇု
.
2. 5
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3 Ὑ1
4 .
3. ݠ 4 ˔ᬔᮨ
ᓤܱ
߹全ᄱՏ的ု
，Х中有 3 ˔௧ጚု
，任
ԩ 1 ˔，ୗ҂ጚု
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山东教育出版社
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គ੿ᑟ
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ʷ˔᛻˗ᜉదု
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2.2. ʷ
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
119
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ὊὊὊὊὊὊὊὊὊJὊQὊKὊAὊ˅ྡ
᭧ᄊܸ
࠵ˁᔉᓤ௄Т὇
὆὇Ѹฤݞྡ
ኄʷ൓နὊဘ࠵௚ࣃፃୗ҂ᄊྡ
᭧˞ ὊཀྵՑ࠵ᮣ
ୗྡ
.  ᫈
὘࠵௚
ᖍᑈᄊഐဋ௧ܳ
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ᖍᑈᄊഐဋԡ௧ܳ
࠶Ὕ
὆὇ᔪ࠵௚ࣃፃୗ҂ᄊྡ
᭧˞ Ὂৱцԡݠ͵Ὕ࠵௚ࣃፃୗ҂ᄊྡ
᭧˞ A քὝ
ڏ . ௧Ӻࠉˁ˺੝ڡ౜ᄊᇨਓڏὊڏ˗ඈʷڱவᆒᬔᮨ
ᓤܱ
߹ЛᄱՏ. 
࠲ʷ˔࠵ု
ѬѿښӺࠉ֗
˺੝ᄊڡ౜ʽᒭႀڡ໔үὊ࠵ု
ᬤ఻ڡϣښ౽ڱவ
ᆒʽ.
὆὇ښד˔੝ᫎ
᧗Ὂ࠵ု
ϣښᳬᆒʽᄊഐဋܸ
Ὕ˞̤
˦Ὕ
὆὇Ϳᝀ४࠵ု
ϣښᳬᆒʽᄊഐဋܸ
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˺੝ 
ڏ .
ݠ౧࠲࠵ု
ښݠڏ . ਫ਼ᇨᄊڡ౜ʽᒭႀڡ໔үὊ࠵ု
ᬤ఻ڡϣښ౽ڱவ
ᆒʽὊѷ࠵ု
ϣښᳬᆒʽᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
ᝬʷᝬ
3   等可能事件的概率

ό1ύ
4.（1）5 ˔ጚု
，5 ˔ᄇု
Ὑ
（2）2 ˔ጚု
，4 ˔ᄇု
，  
         4 ˔᳧ု
. 
5.（1）࠵明ᖍᑈ的概率௧
 8
51 ，
            ࠵ᮣ
ᖍᑈ的概率௧ 40
51 Ὑ
（2）ᔪ࠵明ࣃፃୗ҂的ྡ
᭧
˞ 2，ѷ࠵明ᖍᑈ的概
率௧ 0，࠵ᮣ
ᖍᑈ的概
率௧ 48
51 Ὑ
ᔪ࠵明ࣃፃୗ҂的ྡ
᭧
˞ A ，ѷ࠵明ᖍᑈ的概
率௧ 48
51 ，࠵ᮣ
ᖍᑈ的
概率௧ 0. 
ឭ明：（1）教师可̿
ळ
࠮学生思考：˞̤
˦࠵
明ᖍᑈ的概率与࠵ᮣ
ᖍ
ᑈ的概率的和不௧ 1 Ὕ 
ϸᤈನښ౽事件ࣃፃ发
生（ݠ࠵明ࣃፃୗ҂的ྡ
᭧˞ 4）的ৱц下Գ
一事件（ݠ࠵明ᖍᑈ） 
的概率， ˷ሦ˞౎件概
率. ښ൥，教师௄ᮌ҉
ਓଢ出. 
本课௑和下一课௑˟要௧ᝨ学生̀
解可ӑ˞ԱЧ概型的ї͵概型的ྲ
ག和概率ᝠካ，ࣳ
᝺ᝠኀ
合要ර的እӭ概率模型.
ό1ύ教科书ᤰ᣿有ᡚ的᫈
题，Ύ学生直᜺ڡʹ͘
҂一መ重要的概率模型——ї͵概型，概率的ܸ
࠵与᭧ሥ有关，事件发生的概率等̆
൥事件ਫ਼有可能ፇ౧ਫ਼组ੇ
的图形的᭧ሥᬔ̿
ਫ਼有可能ፇ౧
组ੇ
的图形的᭧ሥ. 
“ඈ一ڱ方ᆒᬔᮨ
ᓤܱ
߹全ᄱՏ，࠲一˔࠵ု
分ѿښӺࠉ和书੝的ڡ౜上ᒭႀڡ໔ү，࠵ု
ᬤ
఻ڡϣښ౽ڱ方ᆒ上”，௧˞̀
δ证ᬤ఻性，ښ教学௑应សᝨ学生ʹ͘
ᬤ఻性的重要性. 
（1）ښӺࠉ᧗，࠵ု
ϣ႑ښᳬᆒ上的概率ܸ
. ڂ˞ښӺࠉ᧗， ᳬᆒ的᭧ሥӴட˔Ӻࠉ的᭧ሥ
˨උ要උ书੝ܸ
. 
（2）࠵ု
ϣ႑ښᳬᆒ上的概率ܸ
࠵与᭧ሥ有关. 
学生能ܵ
用ᒭࣂ的ឦᝓ
回ንԁ可. 
山东教育出版社

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出版
ᇨਓڏὊڏ˗ඈ
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育出
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ϣښᳬᆒʽᄊ
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࠵ု
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山东教
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
      
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社
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120
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第九章 概率初步
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ᤰ᣿ᝧ᝷，ώҰࣃ学的Ա
Ч概型的ፃᰎ，学生一ᓊ可̿
ᝣគ҂：ݠ౧ඈ一ڱ方ᆒᬔᮨ
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ښڡ౜上
ᒭႀڡ໔ү，ࣳ
ᬤ఻ڡϣ႑ښ
౽ڱ方ᆒ上，ᥧ˦࠵ု
ϣ႑ښ
ඈ一ڱ方ᆒ上的概率ᦐᄱՏ， 
ਫ਼̿
P（࠵ု
తጼϣ႑ښᳬᆒ
上）= 5
20 = 1
4 . 
ਇʷਇ
（1）P（࠵ု
తጼϣ႑ښ
ᄇᆒ上）= 15
20 = 3
4 . ᤈ᧗ຖᤩ̀ࠫ
ቡ事件的概ঐ，ͮ
不要ර
学生ଂଧ. 
（2）ᤈː˔事件发生的概
率௧ᄱ等的. ᤰ᣿൥题，Ύ学生̀
解҂ᙊཀྵ᝵ܳ
事件的Ԭᤘ不
Տ，߲ͮ̓
的实质௧ᄱՏ的，̰
Ꮻʹ͘
҂概率模型的思ਇ. 
ښ教学中，教师可̿
ᴂҵ学生
гˡ一̏
事件，ࡊኮХԬᤘ不
Տ，߲ͮ̓
的实质与本题௧ᄱ
Տ的，߲̓
发生的概率˷௧ 3
4. 
Γ 2
本Γ௧ெ࣢生活中࣢᜹的ચݒΨᩙ
活ү，ᝨ学生ʹ͘
҂“数学ࡃښੈ̓
ᢶ᣸”，发̵࡙̓
“用
数学”的ਓគ与能ҧ. 
ெ࣢生活中有᝵ܳ
ચݒ຤੆，ੈ̓
可̿
Ѿ用ਫ਼学的概率ᅼគ౏ᝠካ౽̏
ચݒ຤੆ᖍݒ的概率，
ᤈ˷ʹဘ̀
概率ښ生活中的应用. 教师˷可̿
ಪ据े
ڡ的一̏
ચݒΨᩙ
活ү౏᝺ᝠዝͫ
的᫈
题ৱܒ. 
ښ教学௑，ᯫЏ可̿
ᝨ学生࿘ቡ思考，ཀྵՑᤉ行̔ื
. 要ᝨ学生明ᆸᣁᄨᜂ等分ੇ
 20 份，ᒭ
ႀᣁүᣁᄨ，ૉ᧫ૉՔඈ一份的可能性ᦐᄱՏ，ᤈನ੦能用教科书上的方ขᤉ行ᝠካ. ښᤈ᧗，“ᖍ
४᠔ྭ҆
”的概率˷等̆
“ᖍ४ 100 元᠔ྭ҆
”“ᖍ४ 50 元᠔ྭ҆
”“ᖍ४ 20 元᠔ྭ҆
”的概率的
山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
121
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ᘩښ౽ʷவڱЯὊᥧ˦ࠃᘩᘩښՊመڏವʾᄊഐဋѬѿ௧ܳ
࠶Ὕ
὆ኄ  ᮥ
὇
ᬤ۶ጷ˸
1. ݠڏਫ਼ᇨὊᣁᄨᜂ኎Ѭੇ
  ˔੡ॎ.  ឰښᤠे
ᄊڡவ๕ʽᮨ
ᓤὊΎ४ᒭႀᣁүᤈ˔ᣁᄨὊे߲
ϣൣ
ᣁү௑Ὂૉ᧫ᗀښᳬᓤ
ӝ۫
ᄊഐဋ˞ 
 .
2. Ϳᤇᑟˡѣʷ̏
ˀᆸࠀ͈̃
Ὂ߲
ԧၷᄊഐဋ˷௧ 
 ՙὝ
὆ኄ  ᮥ
὇
3   等可能事件的概率

和，ͮࠫ̆
学生，不要රଂଧ
൥መϢข. 
ᬤ۶ጷ˸
ᬤ۶ጷ习௧一̏
开ஊ性的᫈
题， ንವ不׭一，应ᴂҵ学
生ܳ
ፌ一̏
ኀ合要ර的ንವ，̰ࣳ
中ʹ͘
概率模型的思ਇ. 
1. ንವ不׭一，Զ要ᳬᓤӝ۫
Ӵ 6 份ԁ可. ฌਓ：ᤈ 6 份不
一定要ᤌښ一ᡑ.
2. 应ᴂҵ学生ܳ
ˡ出一̏
概率
˞ 3
8 的事件. 
˸ᮥ

1. ࠃᘩᘩښ“ 
”图ವ下的概
率˞ 2
7 ， ᘩښ“
”图ವ
下的概率˞ 1
6 ，ᘩښ“
”
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7 ，ᘩښ
“
”图ವ下的概率˞ 17
42 . 
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山东
᧫ᗀښᳬ
社
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版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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”图ವ下的概
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图ವ下的概
 
122
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
஝ߦေᝍ
3. ὆὇ݠ౧࠲ʷ˔࠵ု
ښݠڏ὆὇ਫ਼ᇨᄊڡ౜ʽᒭႀڡ໔үὊ࠵ု
ᬤ఻ڡϣښ
    ౽ڱவᆒʽὊᥧ˦߲
ϣښᳬᓤӝ۫
ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕݠ౧࠲࠵ု
ښݠڏ὆὇
    ਫ਼ᇨᄊڡ౜ʽᒭႀڡ໔үքὝ
 ὆὇ឰͿ᝺ᝠїመڡᆒڏವὊΎ४࠲ʷ˔࠵ု
ښʽ᭧ᒭႀ໔ү௑Ὂ࠵ု
ϣښᳬ
    ᓤӝ۫
ᄊഐဋ௧ 
 .
ڏ . ௧ʷ˔Ի̿
ᒭႀᣁүᄊᣁᄨὊᣁүᣁᄨὊे
ᣁᄨ
ϣൣ
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ᄇᓤӝ۫
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࠶Ὕ
὆὇
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὆ኄ  ᮥ
὇
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ࡃ௧ᗀښᄇᓤӝ۫
Ὂᗀښጚᓤӝ۫֗
ᄇᓤӝ۫
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 P὆ᗀښጚᓤӝ۫
὇>!P὆ᗀښᄇᓤӝ۫
὇>!
 .
2. Տߦ̓
န᣿ᝠካ఻þੳᭇÿ຤੆ՙὝԿڏ˞ᝠካ఻þੳ
ᭇÿ຤੆ᄊႇ᭧Ὂښ ġ ˔࠵வಫᄊᭇӝ˗Ὂᬤ఻ڡۡ
ᘩᅌ  ᮤ
ڡᭇὊඈ˔࠵வಫతܳ
ᑟۡ
ᘩ  ᮤ
ڡᭇ. 
࠵௚຤੆௑Џᢍ˗ʷ˔࠵வಫὊ௭ᇨ஝ߚ ὆ݠڏਫ਼
ᇨ὇Ὂ߲
᛫ᇨˁᤈ˔வಫᄱ᥶ᄊ  ˔࠵வಫ὆ڏ˗ᳬ಴
ਫ਼ڊӝ۫
Ὂ᝺˞ A ӝ۫
὇˗ۡ
ᘩᅌ  ᮤ
ڡᭇ.  ˞̀
ࡊԻ
ᑟˀᢍ˗ڡᭇὊ࠵௚ᄊኄ̄
൦ऄᢍښ A ӝ۫
Яᄊ࠵வಫ
ʽᤇ௧ऄᢍښ A ӝܱ۫
ᄊ࠵வಫʽὝ
὆ኄ  ᮥ
὇

第九章 概率初步
2. ښ A ӝ۫
内，ᢍ中ڡᭇ的概率
˞ 3
8Ὑښ A ӝܱ۫
， С有 10 
- 3 = 7 ᮤ
ڡᭇ，A ӝܱ۫
С有
81 - 9 = 72 ˔࠵方ಫ，ਫ਼̿
ښ 
A ӝܱ۫
，ᢍ中ڡᭇ的概率˞ 
2
72
 . ڂ˞ 3
8 > 2
72 ，ਫ਼̿
˞̀
ࡊ可能不ᢍ中ڡᭇ，࠵明的
第二൦应ᢍښ A ӝܱ۫
的࠵
方ಫ上. 
3.（1） 3
8 ，1
3 Ὑ
   （2） ႕. 
ό1ύ
ό1ύᤈ一᫈
题௉ښጘ൤一̏
学生的ᩲឨਇข. ࠵明的Ϣข不൤ᆸ. ڂ˞ᣁᄨ中ጚᓤᦊ分和ᄇᓤᦊ
分的᭧ሥ不Տ，ڂᏫૉ᧫ᗀښᤈː˔ӝ۫
的可能性不Տ.ં
可能性不Տ的ৱцेੇ
等可能的ৱцܫ理，ᤈ௧学生ࠔ௜࿁的ᩲឨ.
山东教育出版社
版社
版社
஝
社
஝
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出版
明的
出版
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3 Ὑ
教
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东教
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东教育出版社
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东教
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   山东
出版社
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山东教
山东
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ጚ

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出版
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山东
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山东
ᤈ௧学生ࠔ௜࿁
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
123
ᣁүݠڏ . ਫ਼ᇨᄊᣁᄨὊे
ᣁᄨϣൣ
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ᓤӝ۫֗
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ᤉᛡ̔ื
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˞὘ጚ༥  snj፯༥  snj᳧
༥
 s.  ࠵௚ᄊྚྚ
ᬤ఻ڡႀӯड़Ӓनᢼፃ᣿ស᡹԰Ὂ᫈
὘
὆὇̵
᥅҂ጚ༥ᄊഐဋܸ
ᤇ௧᥅҂፯༥ᄊഐဋܸ
Ὕ
὆὇̵
᥅҂ጚ༥ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
ᝍὉ὆὇࠵௚ᄊྚྚ
ᬤ఻ڡፃ᣿ស᡹԰Ὂ̵
ඈʷ௑҉ፃ᣿ᄊԻᑟভᦐᄱ
ՏὊڂ˞ស᡹԰ӯӒவՔጚ፯༥ᄊ᝺Ꮆ௑ᫎ
˞὘ጚ༥  snj፯༥  snj᳧
༥  s. 
፯༥௑ᫎ
උጚ༥௑ᫎ᫂
Ὂਫ̵਼̿
᥅҂፯༥ᄊഐဋܸ
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ᬤ۶ጷ˸
ឰͿ᝺ᝠʷ˔ᣁᄨὊΎ४ᒭႀᣁүᤈ˔ᣁᄨὊे߲
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ὊХ˗  ˔௧ጚᓤὊ
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Ϣ४ࠫ
ὝឭឭͿᄊေႀὊͿ௧টನϢᄊὝ
3   等可能事件的概率

࠵ᮣ
Ϣ४ࠫ
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ळ
࠮学生ʹ͘
࠵ᮣ
的Ϣข. 
ਇʷਇ
ᤈ௧一˔ උᣗ有ᡚ的᫈
题，教师可̿
Џᝨ学生࿘ቡ
思考，ཀྵՑ组ጻ学生ᤉ行̔ื
. ᤈ˔᫈
题௅与Ғ᭧的᫈
题
ዝͫ
，ԡ有ਫ਼ࣀѿ. 有的学生
可能受Ғ᭧࠵ᮣ
Ϣข的ॖ
־， ં
ᄇᓤӝ۫
等分ੇ
 25 份，ጚ
ᓤӝ۫
等分ੇ
 11 份，ᤈನᣁ
ᄨᜂ等分ੇ
 36 ˔੡形ӝ۫
，
Х中 11 ˔௧ጚᓤ，25 ˔௧ᄇ
ᓤ，ਫ਼̿
 P（ ᗀښጚᓤӝ۫
） 
= 11
36 ，P（ᗀښᄇᓤӝ۫
）
= 25
36 Ὑ˷可能ં
ᄇᓤӝ۫
等
分ੇ
 250 份，ጚᓤӝ۫
等分ੇ
 
110 份，ᤈನᣁᄨᜂ等分ੇ
 360 
˔੡形ӝ۫
，Х中 110 ˔௧ጚ
ᓤ，250 ˔௧ᄇᓤ，ਫ਼̿
 P（ᗀ
ښጚᓤӝ۫
）= 11
36 ，P（ᗀښ
ᄇᓤӝ۫
）= 25
36 Ὑ有的学生
可能̰
ї͵概型的ྲ
ག出发，ᝠካ出ጚᓤӝ۫
的᭧ሥӴட˔ړ᭧ሥ的
 11
36 ，ᄇᓤӝ۫
的᭧ሥӴட˔
ړ᭧ሥ的 25
36 ，̰
ᏫP（ᗀښጚᓤӝ۫
）= 11
36 ，P（ᗀښᄇᓤӝ۫
）= 25
36 等等. Զ要学生的ਇข合
理，教师ᦐ应សᴂҵ. 
थᝬ教师తՑ˷可̿
和学生一ᡑ঴ፇ出ዝͫ
ᣁᄨ᫈
题的概率ᝠካ方ขੋ
公式. 
Γ 3
ዤᄺΓ 3，ݞϸ௅不௧ԱЧ概型的᫈
题，˷不௧ї͵概型的᫈
题，ͮ
ጺቃ˨下，߲
与ੈ̓
Ғ
᭧᥅҂的ї͵概型的᫈
题一ನ，తՑᦐ可̿
ӑॆ
˞ԱЧ概型的᫈
题： ႀ̆
࠵明的ྚྚ
ඈ一௑҉ፃ
᣿的可能性ᦐᄱՏ，ਫ਼̿ੈ̓
可̿
࠲一˔η号ևర等分˞ 103 份，Х中ጚ༥Ӵ 40 份， ፯༥Ӵ 60 
山东教育出版社
ᄨϣൣ
௑Ὂૉ᧫
出版
ᄨϣൣ
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ӯӒவՔጚ፯༥ᄊྚ
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᥅҂ጚ༥ᄊഐဋ
山东教
᥅҂ጚ༥ᄊഐဋ
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山东
὇̵
᥅҂ጚ༥ᄊ
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山
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山
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山
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山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
༥
山
༥
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ፃ᣿ᄊԻᑟভᦐ
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版社
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出版
४ᒭႀᣁүᤈ˔ᣁᄨ
ᄇᓤӝ۫
ᄊഐဋ˞
出版
ᄇᓤӝ۫
ᄊഐဋ˞
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版
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版社
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版社
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出版
Џᝨ
出版
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出版
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出版
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出版
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教育
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山东
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山东
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山
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山东教育出版社
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社
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社
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ᄨᜂ等分ੇ
版社
ᄨᜂ等分ੇ
36
社
36
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出版
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出版
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版社
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版社
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版社
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版社
˔
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出版
ᄇᓤ
出版
ᓤ，
出版
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ᓤӝ
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育出۫
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ᓤӝ
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教育۫
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育
）
ړ
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东
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东教
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3
东教
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山
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山东
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山东
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山东۫
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东
）
124
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
份， ᳧
༥Ӵ 3 份，ڂ൥̵
᥅҂ጚ༥的概率˞ 40
103 . 
ښ教学௑，教师可̿
ळ࠮学生ˡ出与本ΓԬᤘ不Տ，ͮ
本质ᄱՏ的概率模型. ݠ，有一
˔ႀ 103 ˔࠵方ڱ组ੇ
的ӝ۫
，Х中有 40 ˔ጚᓤ࠵方ڱ，60 ˔፯ᓤ࠵方ڱ，3 ˔᳧
ᓤ࠵方
ڱ， ඈ一ڱ方ᆒᬔᮨ
ᓤܱ
߹全ᄱՏ. 一˔࠵ု
ښ上᭧ᒭႀڡ໔ү，ࣳ
ᬤ఻ڡϣ႑ښ౽ڱ方
ᆒ上，߲
తጼϣ႑ښጚᓤ࠵方ڱ上的概率௧ܳ
࠶Ὕ Ύ学生̰
中ʹ͘
҂概率模型的思ਇ. 
本Γ௧ெ࣢生活中࣢᜹的ဘ实ৱܒ，可̿
ᝨ学生ʹ͘
҂“数学ࡃښੈ̓
ᢶ᣸”，发̵࡙̓
“用数学”的ਓគ与能ҧ. 
ᬤ۶ጷ˸
ንವ不׭一，ݠᣁᄨᜂ分ੇ
 8 ˔ᄱՏ的੡形，Х中ጚᓤӝ۫
Ӵ 3 份，ᄇᓤӝ۫
Ӵ 3 
份，᳧
ᓤӝ۫
Ӵ 2 份等. 
山东教育出版社
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社
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版社
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版社
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社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东
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出版
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出版
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
125
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
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1. ʾ᭧௧ː˔Ի̿
ᒭႀᣁүᄊᣁᄨὊᣁүᣁᄨὊѬѿᝠካᣁᄨϣൣ
ՑὊૉ᧫ᗀښ
ጚᓤӝ۫
ᄊഐဋ.
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ʾ᭧௧ʷ˔Ի̿
ᒭႀᣁүᄊᣁᄨὊᣁүᣁᄨὊᣁᄨϣൣ
ՑὊૉ᧫ᗀښጚᓤӝ۫
ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
὆ኄ  ᮥ
὇
4. ឰͿ᝺ᝠʷ˔ᣁᄨὊΎ४ᒭႀᣁүᤈ˔ᣁᄨὊे߲
ϣൣ
ᣁү௑Ὂૉ᧫ᗀښጚᓤ
ӝ۫
ᄊഐဋ˞ 
 Ὂᗀښᄇᓤӝ۫
ᄊഐဋ˞ 
 Ὂᗀښ᳧
ᓤӝ۫
ᄊഐဋ˞ 
 .
3. ౽ႃ᜽ᮠ᥋୧ஊ൤ྟ
ˁࣹ
շᄊ௑ᫎ
˨උ˞ IJὊࣹ
շᬤ఻ڡቈଣښ൤ྟ
˨ᫎ
.  
࠵௚ᬤ఻ڡ੪नႃ᜽఻Ὂஆᄺសᮠ᥋Ὂ̵
न఻௑্
ݞ୧ஊ൤ྟ
ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
3   等可能事件的概率

˸ᮥ

1. 1
4 Ὑ3
8 . 
2. 115
360 = 23
72 . 
3. 7
8 . 
4. ንವ不׭一，ݠ可࠲ᣁᄨ分
ጚᓤnj ᄇᓤnj᳧
ᓤ三˔ ӝ۫
，ጚᓤӝ۫
的ړ ॷ角˞
160c，ᄇᓤӝ۫
的ړॷ角˞
120c，ᗰᓤӝ۫
的ړॷ角˞
80c. 
版社
育出版社
版社
版
山东教育出版社
὆ኄ
出
὆ኄ
出版
ᮥ
὇
出版ᮥ
὇
ᄊᣁᄨὊᣁүᣁᄨ
育出
ᄊᣁᄨὊᣁүᣁᄨ
3.
山
3. ౽ႃ᜽ᮠ᥋୧
山东
౽ႃ᜽ᮠ᥋୧
࠵௚ᬤ఻ڡ
山
࠵௚ᬤ఻ڡ
山东教育出版社
山东教育出版社
  山
     
山东教育出版社    
山东教育
ᄨὊे߲
ϣൣ
ᣁү௑
 
ᄨὊे߲
ϣൣ
ᣁү௑
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社
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社
 Ὂᗀښ᳧
ᓤ
社
Ὂᗀښ᳧
ᓤ
ڡቈଣښ൤ྟ
˨ᫎ
 
ڡቈଣښ൤ྟ
˨ᫎ
൤ྟ
ᄊഐဋ௧ܳ
࠶
 
൤ྟ
ᄊഐဋ௧ܳ
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不
育
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育
׭一
育出
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育出
，ݠ
育出
ݠ可
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可࠲
出
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教育
ᓤnj
教育
nj ᄇ
教育
ᄇᓤ
育出
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育
nj۫
教۫
，
教
，ጚ
教育
ጚᓤ
教育
ᓤӝ
育
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1
东教
16
东教
60
东教
0c
教
c，
教
，ᄇ
教
ᄇ
1
东教
12
东教
20
东教
0c
教
c
8
东
8
山东教育出版社
 
126
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ڀᮏˁনᏦ
. ˡΓឭ௚̤
˦௧ᬤ఻͈̃
.
. ͈̃
ԧၷᄊഐဋˁᮠဋద̤
˦ӝѿ֗
ᐏጇὝ
. Ϳᑟ᝺ᝠʷ̏ࠫ
ԥவᦐНࣱ
ᄊ຤੆ՙὝ
. ˡΓឭ௚ݠ͵රᬤ఻͈̃
ᄊഐဋ.  ښ̤
˦౎͈
ʾᤠ
ՌၹНर P὆A὇>!m
n !౏ර
 ᬤ఻͈̃
ᄊഐဋὝ
. ၹᤠे
ᄊவर೛ေవቦᄊᅼគὊࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.
1. ʾѵ͈̃
˗Ὂד̏
௧ᆸࠀᄊὝד̏
௧ˀᆸࠀᄊὝឰឭ௚ေႀ.
὆὇ᢼᣚᬤ఻ፃ᣿ʷ˔᡹԰Ὂ᥅҂ጚ༥Ὑ
὆὇ː౎ጳ඀Ի̿
ጸੇ
ʷ˔ʼᝈॎὙ
὆὇ ̡
˗ᒰ࠶దː̡
ᄊၷெښՏʷܹ
Ὑ
὆὇ଗʷ౦کӉᄊᰥߕὊଗѣᄊག஝௧᠏
஝.
2. ʾ᭧௧ʷ̏
Ի̿
ᒭႀᣁүᄊᣁᄨὊឰͿોི
ᣁᄨϣൣ
Ցૉ᧫ᗀښ᳧
ᓤӝ۫
ᄊԻᑟভ
ႀܸ
҂࠵ᤉᛡଆѵ.
ܭ˸ᮥ
ᅼគ੿ᑟ
3. ឰ࠲ʾѵ͈̃
ԧၷᄊഐဋಖښڏ˗὘
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇

第九章 概率初步
ڀᮏˁনᏦ
ᤰ᣿本ቦ的学习和ଊቃ，
学生ᭊ要ࠫ
概率᝷的ᄱ关ᅼគ
ᤉ行回顾与思考，˞൥，教科
书᝺ᝠ̀
“回顾与思考”ᤈ一
ဗᓬ，ᄬ的௧ᝨ学生ᤰ᣿回ን᫈
题，೛理本ቦਫ਼学的ᅼគ，
ҫງࠫ
本ቦ学习内ࠔ的理解，
Щੇ
回顾与Ԧ思的习ਅ，ᖍ४
ᅼគ系ፒ的ᒭ˟थ౞能ҧ. ˞̀
更ҫຍఁ直᜺ڡࣟ
Ұ学生थ౞
ᅼគ系ፒ，教学௑ᭊ要ώҰЧ
型᫈
题，ࠫ
有关重གᅼគᤉ行
ࢾڍᤂ用. 
˞̀
۲ Щ 学生Щੇ
回顾
与Ԧ思的习ਅ和೛理ᅼគ的能
ҧ，教学௑应ࡊ可能ᴂҵ学生
ᒭ˟ڡࠫ
ਫ਼学ᅼគᤉ行ட理，
制ͻ˔性ӑ的ᅼគፇ౞图，教
师应ស用ൕᠶ的ᅋ光ᄺॠ学生
的“ͻֶ
”. ݠ౧学生Ꭵˬ೛理
ᅼគ的ፃᰎ和能ҧ，୲ͻ上有
ڈᬲ，ᥧ˦教师可ፌ́
适े
的
ळ࠮. උݠ，教师可̿
ᤥહ̿
下
教学ଐஷ：ଢҒ࣋
Ꮆ任务，ᝨ
学生̿
࠵组合ͻ的形式ட理本
ቦᅼគགὙ教师࠲本ቦᅼគགጺӑ˞їᦊ分，ᝨ不Տ࠵组ட理不Տᦊ分的内ࠔ，ੋ
Ѿ用“回顾与思
考”中的᫈
题ᤉ行分ࢺ，全ိ
合ͻ೛理全ቦᅼគὙ教师有ᄬ的ڡ࣋
Ꮆ课Ғͻˊੋ
课上Γ题，学生̿
题ᄬ中๘ԣ的ᄱ关ᅼគག˞线ጊ，ښ教师的ࣟ
Ұ下߹ੇ
全ቦ的ᅼគ೛理教学中，可̿
ಪ据学生的实ᬅৱц，ᤥહ合适的教学方式. ̿
下௧ᅼគ೛理ဗᓬ的教学थᝬ，Ι参考. 
1. 复习回顾
ळ࠮学生回顾ᅼគ内ࠔնဘ的ᮋऀ
njᅼគ内ࠔ的分ዝ等，回ॺ全ቦᄱ关内ࠔ. 教师可̿
课Ғ࣋
Ꮆ任务，ᝨ学生复习本ቦ内ࠔ，回顾Պᓬ学习的ᅼគག. 
2. 思考ட理
ळ࠮学生࠲ᖍ४的ηৌᤉ行ҫࢺnjᤥહnj组合，Ύਫ਼学的内ࠔ౎理ӑnj有ऀ
ӑnjፇ౞ӑ. 教师
山东教育出版社
版社
解
版
解，
版
，
ਅ
出
ਅ，
出
，ᖍ
出版
ᖍ४
出版
४
౞
育
౞能
育出
能ҧ
育出
ҧ.
育出
. ˞
育出
˞̀
出̀
ڡ
育
ڡࣟ
育ࣟ
Ұ
育
Ұ学
育出
学生
育出
生थ
育出
थ
教
教
教学
教育
学௑
教育
௑ᭊ
教育
ᭊ要
育
要ώ
育
ώࠫ
东教ࠫ
有
东教
有关
东教
关重
教
重ག
教
ག
ᤂ用
东
ᤂ用.
东
.
˞
山东
˞̀
山东̀
۲
东
۲ Щ
东
Щ
与
山
与Ԧ
山
Ԧ思
山
思的
山
的习
教
山
教
山东教育出版社             山东教育出版
山东教育出版社
山
出版社
出版
出版
出版
A
社
A὇
社
὇>
社
> m
社
m
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社
n
社
౏ර
社
౏ර
ᆸࠀᄊὝד̏
௧ˀᆸ
山东
ᆸࠀᄊὝד̏
௧ˀᆸ
᣿ʷ˔᡹԰Ὂ᥅҂ጚ
山东
᣿ʷ˔᡹԰Ὂ᥅҂ጚ
Ի̿
ጸੇ
ʷ˔ʼᝈ
山
Ի̿
ጸੇ
ʷ˔ʼᝈ̡
˗ᒰ࠶దː̡
ᄊၷ
山̡
˗ᒰ࠶దː̡
ᄊၷ
ଗʷ౦کӉᄊᰥߕὊ
 
ଗʷ౦کӉᄊᰥߕὊ
᭧௧ʷ̏
Ի̿
ᒭႀ
᭧௧ʷ̏
Ի̿
ᒭႀ
ႀܸ
҂࠵ᤉᛡଆ
 
ႀܸ
҂࠵ᤉᛡଆ
˸ᮥ
教育
˸ᮥ
   
学
社
学生
社
生
ˬ
社
ˬ೛
社
೛理
社
理
୲
版
୲ͻ
版社
ͻ上
版社
上有
版社
有
可
出版
可ፌ
出版
ፌ́
出版́
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版社
适े
版社े
的
版社
的
教
出
教师
出
师可
出版
可̿
出版̿
ᤥ
出版
ᤥહ
版
હ
：
育
：ଢ
育出
ଢҒ
育出
Ғ࣋
育出࣋
Ꮆ
出
Ꮆ任
出
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教̿
࠵
教育
࠵组
教育
组合
教育
合ͻ
育
ͻ的
育
的
ቦ
教
ቦᅼ
教
ᅼគ
教
គག
教育
གὙ
教育
Ὑ教
教育
教师
育
师
考
东教
考”
东教
”中
东教
中的
教
的᫈
教᫈
题ᄬ中๘
山东教
题ᄬ中๘
山东教育出版社
教育
版社
育出版
ኄ
教
ኄ
教育
ᮥ
὇
教育ᮥ
὇
ட
东
ட理
东教
理不
东教
不Տ
东教
Տᦊ
教
ᦊ分
教
分的
教
的
有
山东
有ᄬ
山东
ᄬ的
山东教
的ڡ
东教
ڡ࣋
东教࣋
Ꮆ
教
Ꮆ
߹ੇ
全ቦ的ᅼគ
山东
߹ੇ
全ቦ的ᅼគ
的教学方式
山
的教学方式
127
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
可ࠫ
本ቦ˟要的学习内ࠔᤉ行ଢ᫈
，ښ学生回ን和教师适एᤝ᫈
的基ᆩ上，教师ښᳬ౜上
适े
的ͯ
Ꮆи下ᄱ应的内ࠔ. ࠫ̆
ᣗચ៶的概ঐ等内ࠔ，教师可ಪ据ৱцᝨ学生ᤉ行一定的
解᧖和ˡΓឭ明. 
3. 形ੇ
಴౶
ښҒᤘː˔ဗᓬ的基ᆩ上，ښᳬ౜上形ੇ̀
一˔本ቦ的ᅼគ಴౶图. 教师分ౢ
ᤈ˔಴౶
图，解᧖Х中ᣗ˞重要的ᅼគག，ࣳ
ଢΙЧ型的Γ题和习题. ښ᝺ᝠᄱ关Γ题௑，˷要与ᤈ̏
重要的ᅼគགnj考ಊགᄱࠫ
应. 
4. Ԧ思ଢᰴ 
ळ࠮学生ࠫ
解х᫈
题᣿程中ਫ਼用ᅼគnj方ขnjኖ႕等ᤉ行Ԧ思和ក价，ܙᤉࠫ
概率᝷
ᅼគʹ系的ᝣគ，ଢᰴ解х᫈
题的能ҧ. 
下᭧௧一˔可Ι参考的ፇ౞಴图. 
下᭧的Ч型Γ题Ι参考.
Γ  ̿
下ឭข合理的௧（ ）.
（A ）࠵明Ϣ 3 次ઋ图᧬的តᰎ，发ဘ 2 次᧬࠹య上，ႀ൥̵
ឭ᧬࠹య上的概率௧ 2
3
（B ）౽॑
ᇾ的中ݒ概率௧ 5%，ᥧ˦ݠ౧˼ 100 张॑
ᇾ一定͘
有 5 张中ݒ
（C ）౽࠱Ѥᤂүր࠱Ѥ一次，Զ有ːመ可能的ፇ౧：中᭬
与不中᭬
，ਫ਼߲̿̓
发生
的概率ᦐ௧ 1
2
（D ）࠵明Ϣ̀
 3 次ઋଗکӉᆶࣉ的តᰎ，Х中有 1 次൤᭧య上，2 次൤᭧య下，̵
ᝣ
˞гઋ一次，൤᭧య上的概率ᤇ௧ 1
2
ឭ明Ὁ本题௧有关ᬤ఻事件ԣХ概率ਓ义的一组判ல.（A ）࠵明Ϣ的តᰎ次数ܺ
࠶，̿
൥ͥ
ᝠ᧬࠹య上的概率不ܺ
合理Ὑ（B ）॑
ᇾ的中ݒ概率௧ 5%，ͮ
ႀ̆
ᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག，˼ 100 张॑
ᇾ，中ݒ的॑
ᇾ数可能ܸ̆
 5，˷可能࠵̆
 5Ὑ（C ）中ਫ਼有可能的ፇ౧ᆸ
教育出版社ࣳ
ଢΙ
社ࣳ
ଢΙࠫ
应
版社ࠫ
应.
版社
.᫈
出᫈
题
出
题᣿
出版
᣿程
出版
程中
版
中ਫ਼
版
ਫ਼
ଢᰴ解х᫈
题
育出
ଢᰴ解х᫈
题
˔可Ι参考的
育出
˔可Ι参考的
山东教育
社
山东教育出版社
ᤈ˔಴౶
版社
ᤈ˔಴౶
௑，˷要与ᤈ
出版社
௑，˷要与ᤈ
和
教育
和ក
教育
ក价
教育
价，
育
，ܙ
育
ܙᤉ
育
ᤉ
山东教育出版
山
的Ч型Γ题Ι参
育出版
的Ч型Γ题Ι参

育
̿
下ឭข
育出̿
下ឭข
（
教
（A
教育
A ）࠵明
教育
）࠵明
（
教
（B
教
B ）
教
）
（
教
（
的
东
的
出版社             山东
山东教育出版社
ႀ൥̵
ឭ᧬࠹
东教育
ႀ൥̵
ឭ᧬࠹
张॑
ᇾ一定͘
有
东教
张॑
ᇾ一定͘
有
的
山
的ፇ
山东
ፇ౧
山东
౧：
山东
：中
东
中᭬
东᭬
出版社
128
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
实Զ有ːመ：中᭬
与不中᭬
，ͮ
௧ᤈːመፇ౧不௧等可能的，ਫ਼̿
不能ឭ߲̓
发生的概率
ᦐ௧ 1
2 Ὑ（D ）中ႀ̆
ᆶࣉ௧کӉ的，ਫ਼̿
௄᝷Ғ᭧有෥有ઋଗ᣿ᆶࣉ，௄᝷Ғ᭧ઋଗᆶࣉ
的ፇ౧௧̤
˦，гઋ一次，൤᭧య上的概率ᤇ௧ 1
2 . 
ንವ：D .
Γ  一˔԰᛻中装有 4 ˔ᄇု
，6 ˔ጚု
，ᤈ̏ု
ᬔᮨ
ᓤܱ
߹全ᄱՏ，Ѝ分ଵӉՑ
ᬤ఻ୗ出一ု
，发ဘ௧ᄇု
.
（1）ݠ౧࠲ᤈ˔ᄇု
ஊ回，гୗ出一ု
，ᥧ˦߲
௧ᄇု
的概率௧ܳ
࠶Ὕ
（2）ݠ౧ᤈ˔ᄇု
不ஊ回，гୗ出一ု
，ᥧ˦߲
௧ᄇု
的概率௧ܳ
࠶Ὕ
ឭ明Ὁښ用ԱЧ概型的概率ᝠካ公式ᝠካ概率௑，关᪄௧ᝠካតᰎ中ਫ਼有等可能的ፇ
౧঴数和ਫ਼ර事件中可能出ဘ的ፇ౧数. 
ᝍὉ（1）ႀ̆
࠲ᄇု
ஊ回，൥௑԰᛻中̯
有 4 ˔ᄇု
，6 ˔ጚု
，гୗ出一ု
，ਫ਼有
等可能的ፇ౧঴数˞ 4 + 6 = 10，ਫ਼ර事件中可能出ဘ的ፇ౧数˞ 4，ਫ਼̿
P（ୗ҂的ု
௧ᄇု
）= 4
10 = 2
5 . 
（2）ᄇု
不ஊ回，൥௑԰᛻中有 3 ˔ᄇု
，6 ˔ጚု
，гୗ出一ု
，ਫ਼有等可能的ፇ
౧঴数˞ 3 + 6 = 9，ਫ਼ර事件中可能出ဘ的ፇ౧数˞ 3，ਫ਼̿
P（ୗ҂的ု
௧ᄇု
）= 3
9 = 1
3 . 
ܭ˸ᮥ
1.（1）不ᆸ定Ὑ（2）ᆸ定（不可能事件）Ὑ（3）ᆸ定（必ཀྵ事件）Ὑ（4）不ᆸ定.
2. ોི
ᣁ出᳧
ᓤ的可能性ႀܸ
҂࠵ଆѵ˞：ł ń ① Ń Ł. 
3. 图႕. ̿
下分ѿ௧三˔事件发生的概率：
  （1）1Ὑ
  （2）0Ὑ
  （3）1
2 . 
山东教育出版社
˔
社
˔ᄇ
社
ᄇု
社ု
，
社
，ု
版ု
.
版
.
ᄇု
ஊ回，гୗ
出版社
ᄇု
ஊ回，гୗ
ᄇု
不ஊ回，
出版
ᄇု
不ஊ回，
用
育
用Ա
育
ԱЧ
育出
Ч概
育出
概型
育出
型的
出
的概
出
概
ර事件中可能
教育出
ර事件中可能
（
教
（1
教
1）
教
）ႀ
教育
ႀ̆
教育̆
࠲
育
࠲
能的ፇ౧঴数
东教
能的ፇ౧঴数
（
山
（
౧঴
山
౧঴
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
Տ
出
Տ，
出
，Ѝ
出版
Ѝ分
出版
分ଵ
版社
ଵӉ
版社
ӉՑ
版
Ց
௧ܳ
࠶Ὕ
育出
௧ܳ
࠶Ὕ
概率௧ܳ
࠶Ὕ
教育
概率௧ܳ
࠶Ὕ
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教
௧ᝠ
教
ᝠካ
教
ካត
教育
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教育
ᰎ中
育
中
ᄇ
山
ᄇု
山东ု
，
山东
，6
东
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东
˔ጚ
东
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出ဘ的ፇ౧数
山东
出ဘ的ፇ౧数
ᄇု
）
ᄇု
）=
山
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山
4
10
10
山
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，
˔ᄇု
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能出ဘ的ፇ౧数
 
能出ဘ的ፇ౧数
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௧
 
（ୗ҂的ု
௧
2
版
2）ᆸ定（不
版社
）ᆸ定（不
ᓤ的可能性ႀ
出版社
ᓤ的可能性ႀ
下分ѿ௧三˔
出版
下分ѿ௧三˔
1
育
1Ὑ
育
Ὑ
（
教
（2
教
2）
教育
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教育
0Ὑ
教育
Ὑ
东教
（
东教
（3
东教
3）
教育
）1
教育
1
2
教
2
教
山东教育出版社
不ᆸ定
出版
不ᆸ定.
版
.
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
129
஝ߦေᝍ
6. ݠڏ௧ʷ˔ᣁᄨὊ࠵ᮣ
ᝣ˞ᣁᄨʽСదʼመˀՏᄊᮨ
ᓤὊਫ਼̿
ᒭႀᣁүᤈ˔ᣁᄨὊૉ᧫ϣښጚᓤnj᳧
ᓤੋ
ᗰᓤӝ۫
ᄊഐဋᦐ
௧ 
 .  Ϳᝣ˞քὝ
὆ኄ  ᮥ
὇
὆὇࠲  ˔̡
Ѭੇ
ːጸὊʷࠀద  ˔̡
ѬښʷጸὙ
὆὇ᬤਓଗː౦کӉᄊᰥߕὊయʽ᭧ᄊག஝˨֗
˞ Ὑ
὆὇ᒭႀᣁүݠڏਫ਼ᇨᄊᣁᄨ὆ᣁᄨᜂ኎Ѭੇ
  ˔੡ॎ὇Ὂૉ᧫ϣښጚᓤᄊӝ۫
˗.
὆ኄ ὆὇ᮥ
὇
4. ݠڏਫ਼ᇨద  सӵྟ
ὊѬѿиద  ᒰ  ᤈ˵˔஝ߚ.  ࠲߲̓
ᑀ᭧యʽฤӉՑὊ͊
ਓ
ચѣʷस.
὆὇P὆ચ҂஝ߚ ὇>!
Ὑ
὆὇P὆ચ҂ːͯ
஝὇>!
Ὑ
὆὇P὆ચ҂ᄊ஝ܸ̆
 ὇>!
ὊP὆ચ҂ᄊ஝࠵̆
 ὇>!
Ὑ
὆὇P὆ચ҂݉
஝὇>!
ὊP὆ચ҂Ϧ஝὇>!
!.
5. ݠڏὊదʷ౦کӉᄊ൤̄
ӡ᭧ʹॎ࿄ᄊᰥߕὊХ˗ᄊ  ˔
᭧ಖదþÿὊ ˔᭧ಖదþÿὊ ˔᭧ಖదþÿὊ ˔᭧
ಖదþÿὊ ˔᭧ಖదþÿὊХ͸ᄊ᭧ಖదþÿ.  ࠲ᤈ˔
ᰥߕଗѣՑ὘
὆὇þÿయʽᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕ
὆὇஝ߚїయʽᄊഐဋతܸ
Ὕ
὆ኄ  ᮥ
὇
复习题

4.（1）1
9 Ὑ
   （2）0Ὑ
   （3）1
3 ，5
9 Ὑ
（4）5
9 ，4
9 .（ᤈ᧗ຖᤩ 
      
       P（A）+ P（A）= 1，
          ͮ
不要ර学生ଂଧ）
5.
 （1）有 5 ˔᭧ಖ有数字“6”
ਫ਼̿
“6”య上的概率˞ 
5
20 = 1
4Ὑ
（2）ಖ有数字“5”“6”的᭧
తܳ
，ਫ਼̿
“5”“6” 
య上的概率తܸ
. 
6. ૉ᧫ϣښጚᓤnj᳧
ᓤ和ᗰᓤ
的概率分ѿ˞ 1
2 ，1
4 ，1
4 . 
山东教育出版社
育出版
ᤈ˵˔஝ߚ
版社
ᤈ˵˔஝ߚ.
版社
. ࠲߲̓
版社
࠲߲̓
ߚ
教
ߚ
教
὇
教
὇>
教
>
教育
҂ːͯ
஝὇
东教
҂ːͯ
஝὇>
东教
>
教
὆ચ҂ᄊ஝ܸ̆
东教
὆ચ҂ᄊ஝ܸ̆

教


山
὇
山
὇P
山
P὆ચ҂݉
஝὇
山东
὆ચ҂݉
஝὇
ݠڏὊదʷ౦
山
ݠڏὊదʷ౦
ಖదþ
山
ಖదþ
山

山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
ᝣ˞ᣁᄨʽСదʼመ
版社
ᝣ˞ᣁᄨʽСదʼመ
ૉ᧫ϣښጚᓤnj᳧
出版
ૉ᧫ϣښጚᓤnj᳧
山
Ὑ
山
Ὑ
᭧
࠲ᤈ˔
࠲ᤈ˔
     
出版
ᤈ
版
ᤈ᧗
版
᧗ຖ
版社
ຖᤩ
版社
ᤩ
）
出
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出版
+ P（
出版
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出版
A）
版
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版
=
不要ර学生ଂ
育出
不要ර学生ଂ
）
教
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教育
有5
育
5 ˔
育出
˔᭧
育出
᭧ಖ
育出
ಖ
ਫ਼
教育
ਫ਼̿
教育̿
“
育
“6
育
6
5
教
5
2
教
2
教
（
东
（2
东
2
山东教育出版社
 
130
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
7. ʷԶ࠵Ლᒭႀᒭښڡښቇ˗ᮻᛡὊཀྵՑᬤਓᗀښݠڏ὆὇ਫ਼ᇨᄊ౽˔வಫ˗὆ඈ
˔வಫᬔᮨ
ᓤܱ
߹ЛᄱՏ὇Ὂѷ࠵Ლϣښᄇᓤவಫ˗ᄊഐဋ௧ܳ
࠶Ὕݠ౧࠵Ლᬤਓ
ᗀښڏ὆὇ਫ਼ᇨᄊ౽˔வಫ˗Ὂ߲
ϣښᄇᓤவಫ˗ᄊഐဋԡ௧ܳ
࠶Ὕ
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
8. ݠڏὊϜ᝺Ի̿
ᬤਓښڏ˗ԩགὊᥧ˦ᤈ˔གԩښ᫻ॖ
ᦊѬᄊഐဋ௧ܳ
࠶ὝឰͿ᧘
ழ᝺ᝠڏವὊΎ४ᤈ˔གԩښ᫻ॖ
ᦊѬᄊഐဋ˞ 
 .᫈ᮥ
ᝍх
11. ᒭႀᣁүᣁᄨὊોૉ᧫ਫ਼ૉӝ۫
ᄊૉᇨᛡү.
὆὇ᣁүᔪࣰ
൓ὊతՑ௧ښѣԧགҒᄊԻᑟভܸ
ᤇ௧ښѣԧ
གՑᄊԻᑟভܸ
Ὕ
὆὇ᤌ፞
ᣁү  ൓ὊតʷតὊᄺৱцট˦ನ.
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
὆὇
὆὇
9. ݠڏὊʷ˔کӉᄊᣁᄨᜂ኎Ѭੇ
  ͋
ὊѬѿಖద ὊὊὊὊὊὊὊὊὊ
 ᤈ  ˔஝ߚ.  ᣁүᣁᄨὊे
ᣁᄨϣൣ
ՑὊૉ᧫ૉՔᄊ஝ߚԁ˞ᣁѣᄊ஝ߚ.  ː
 ̡
Ԡˁ຤੆὘ʷ̡
ᣁүᣁᄨὊԳʷ̡
࿯஝Ὂᔪਫ਼࿯஝ߚˁᣁѣᄊ஝ߚᄱኀὊѷ࿯஝
 ᄊ̡
ᖍᑈὊաѷᣁүᣁᄨᄊ̡
ᖍᑈ.  ࿯஝ᄊவข̰
ʾ᭧ʼመ˗ᤥʷመ὘
὆὇࿯þ௧݉
஝ÿੋ
þ௧Ϧ஝ÿὙ
὆὇࿯þ௧  ᄊφ஝ÿੋ
þˀ௧  ᄊφ஝ÿὙ
὆὇࿯þ௧ܸ̆
  ᄊ஝ÿੋ
þˀ௧ܸ̆
  ᄊ஝ÿ.
 ݠ౧ᣃ҂Ϳ࿯஝Ὂᥧ˦˞̀
ࡊԻᑟᖍᑈὊͿ࠲ᤥહדʷመ࿯஝வขὝটನ࿯Ὕ
10. ࠵௚Ϣ̀
  ൓ઋଗکӉᆶࣉᄊតᰎὊХ˗ద  ൓൤᭧యʽnj ൓൤᭧యʾ.  ̵
ᝣ˞г
  ઋʷ൓Ὂʷࠀ൤᭧యʽ.  ͿՏਓ̵
ᄊ᜺གՙὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.

第九章 概率初步
7. （1）1
2 Ὑ（2）1
3 . 
8. 1
7 ，႕. 
9. ᤥહ方ข（2）中“不௧ 3 的
φ数”. 
10. ࠵明的ਇข௧ᩲឨ的，ႀ̆
ᆶࣉ௧کӉ的，ਫ਼̿
гઋ一
次，൤᭧య上的概率̯
˞ 
1
2 . 
11.（1）ښ出发གՑ的可能性ܸ
. ᙊཀྵ“ Ғ ᤉ一
൦”和“Ցᤞː൦” 
的概率一ನܸ
，ͮ
Ғ
ᤉ的൦数උՑᤞ的൦
数࠶，ਫ਼̿
ᣁүᔪࣰ
次Ց，ښ出发གՑ的
可能性ܸ
. 
（2）႕. 
山东教育出版社
版社
8.
社
8. ݠ
社
ݠ̯
出版̯
˞
出版
˞
ག
育
གՑ
育
Ց的
育出
的可
育出
可能
育出
能性
出
性
ᙊ
教
ᙊཀྵ
教育
ཀྵ“
教育
“ Ғ
育
Ғ
൦
东教
൦”
教
”和
东教
和“
教育
“Ց
教育
Ցᤞ
育
ᤞ
的
东教
的概
东教
概率
东教
率一
教
一
ᤉ
山东
ᤉ的
东
的൦
东
൦
数
山东
数
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
育出
东教

山
ᮥ
὇
山东ᮥ
὇ॖ
ᦊѬᄊഐဋ௧ܳ
出版ॖ
ᦊѬᄊഐဋ௧ܳ
育

出


育出

出
.
出
.
ᄊᣁᄨᜂ኎Ѭੇ
山东
ᄊᣁᄨᜂ኎Ѭੇ

东

஝ߚ
஝ߚ. ᣁүᣁᄨὊे
山
ᣁүᣁᄨὊे
੆὘ʷ̡
ᣁүᣁᄨ
山
੆὘ʷ̡
ᣁүᣁᄨ
ᖍᑈὊաѷᣁүᣁ
ᖍᑈὊաѷᣁүᣁ
὇࿯þ௧݉
஝ÿ
 
὇࿯þ௧݉
஝ÿ
὆὇࿯þ௧
὇࿯þ௧ ᄊ
὆὇࿯þ௧
 
὇࿯þ௧
ݠ౧ᣃ
ݠ౧ᣃ
10.
 
10. ࠵
山东教育出版社
教育
ᑟভܸ
ᤇ௧ښѣԧ
出版
ᑟভܸ
ᤇ௧ښѣԧ
ৱцট˦ನ
育出
ৱцট˦ನ.
育
.
版社
య
社
య
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
131
复习题

12.（1）ᤥહӝ۫
 2，ڂ˞ӝ۫
 
2 的᭧ሥతܸ
，ͮ
不
能δ证ښӝ۫
 2 内一
定能੽҂ࠃᘩὙ
（2）ӝ۫
 1 和ӝ۫
 3Ὑ
（3）ᤥહӝ۫
 2，ڂ˞ӝ۫
 2 的᭧ሥతܸ
，ͮ
不能δ证ښӝ۫
 2 内
一定能੽҂ࠃᘩ. ࠃ
ᘩۡ
ښӝ۫
 1 和ӝ۫
3 的可能性ᄱՏ. 事实
上，ࠃᘩۡ
ښ哪一˔
ӝ۫
的可能性ܸ
࠵Զ
与ӝ۫
的᭧ሥ有关， 
ӝ۫
的᭧ሥᡕܸ
，Х
可能性ࡃᡕܸ
，ӝ۫
的᭧ሥᡕ࠵，Х可能
性ࡃᡕ࠵，Ꮻ与ӝ۫
的形࿄௄关. 
13. ႕. 
14. 本题的方ವ有ܳ
መ，ݠ：
（1）6 ˔ጚု
，6 ˔ᄇု
Ὑ
（2）4 ˔ጚု
，4 ˔ᄇု
，
4 ˔ᳬု
Ὑ
（3）3 ˔ጚု
，3 ˔ᄇု
，
6 ˔ᳬု
. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
内
社
内
Ὑ
社
Ὑ
ӝ۫
版
ӝ۫
3
版社
3Ὑ
版社
Ὑ
ӝ
出
ӝ۫
出版۫
2
出版
2，
出版
，ڂ
版社
ڂ˞
版社
˞
2
出
2 的
出
的᭧
出版
᭧ሥ
出版
ሥత
出版
తܸ
版ܸ
不
育
不能
育出
能δ
育出
δ证
育出
证ښ
出
ښ
一
教育
一定
育
定能
育
能੽
ᘩ
教育
ᘩۡ
育ۡ
3
教
3
山东教育出版社ܳ
መ，ݠ：
版社ܳ
መ，ݠ：
ጚု
，
出版
ጚု
，6
版社
6 ˔ᄇု
版社
˔ᄇု
˔ጚု
，
出版
˔ጚု
，4
版
4 ˔
版
˔
4
育出
4 ˔ᳬု
Ὑ
育出
˔ᳬု
Ὑ
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教育
（3
教育
3）
教育
）3
育出
3 ˔ጚ
育出
˔ጚ
6
育
6 ˔
育
˔
132
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै
 ЧیವΓកౢ
ᮠဋᄊሷࠀভ὆ኄ  ិ
௑὇
᝺ᝠ὘ӯ̛
ಞ̡
ڎᬅ学ಣ ߘጓఅ ౐рਦ
ʷnjߦৱѬౢ
ᤰ᣿̿
Ғ的学习，学生ࣃፃࠫ
事件发生的可能性的ܸ
࠵有̀
初൦ᝣគ，ͮ
可能ߛښ一̏
“ឨ解”. ݠ，Զ出ဘːመፇ౧的តᰎ，ᥧ˦ᤈːመፇ౧发生的可能性一定ᦐ௧ 1
2 Ὑԡ
ݠ，ਫ਼有事件的概率ᦐ可̿
ᤰ᣿理᝷ᝠካ४҂等. ڂ൥，活ү的᝺ᝠ和安ଆᦐ௧˞̀
学生能
൤ᆸڡᝣគ和理解概率的ᄱ关ᅼគ. ̄
nj͊
务Ѭౢ
教ె̰
ઋଗ图᧬តᰎК੤，Ύ学生ፃԋ“࿯฾Ųតᰎ和ஆ集តᰎ数据Ų分ౢ
តᰎፇ౧
Ųᰎ证࿯฾”的᣿程，初൦̀
解ښតᰎ次数ॢܸ
௑，事件发生的频率Ц有稳定性. ᤰ᣿ୗု
຤੆和ᬤ۶ጷ习中ଢΙ的᫈
题ৱܒҫງࠫ
Ғ᭧ፇ᝷的ᝣគ. తՑᤰ᣿࠵ፇࠫ
本ᓬ课的ʹ͘
ᤉ
行೛理，˞下ᓬ课的明ఁϢݞᩔۙ
. 
ʼnj教ߦ目ಖ
1. ፃԋ࿯฾តᰎnjஆ集តᰎ数据nj分ౢ
តᰎፇ౧等活ү᣿程，ʹᰎښ活ү᣿程中发࡙
学生合ͻ̔ื
的ਓគ与能ҧ. 
2. ᤰ᣿តᰎ，感受តᰎ次数ॢܸ
௑，事件发生的频率Ц有稳定性. 
پnj教ߦ᧘njᬲག
ፃԋ“࿯฾Ųតᰎ和ஆ集តᰎ数据Ų分ౢ
តᰎፇ౧Ųᰎ证࿯฾”的᣿程，感受ښតᰎ
次数ॢܸ
௑，事件发生的频率Ц有稳定性. ̋
nj教ߦ᣿ሮ
ǘ第一ဗᓬǙଢ出᫈
题᫈
题：ઋଗ一౦图᧬，ᗀڡՑ，ᤰ࣢͘
出ဘːመৱц：
（ːࣨ
图，分ѿ࡙
ᇨ᧬࠹య上和᧬࠹య下ːመৱц）
Ϳᝣ˞᧬࠹య上和᧬࠹య下的可能性一ನܸ
ՙὝ
ᄬ的：学生ښ࠵学᫽段ࠫ
事件发生的可能性ܸ
࠵ࣃ有初൦ᝣគ，ᤥહ一˔෥有ᆸ定ፇ
౧的ৱܒ，උᣗ能ծळ学生的ฌਓҧ，༏发学生的ݞ݉
ॷ和ࠫ
តᰎፇ౧的ຣమ. 教师可̿
ښ
ଢ出᫈
题的Տ௑，ښᝯԼ上ઋଗ一౦图᧬，ࠫ
学生ԁ࠲ᤉ行的୲ͻតᰎᡑ҂ᇨᔵͻ用，Տ
山东教育出版社
学
版
学生
版
生ࣃ
版社
ࣃፃ
版社
ፃࠫ
版社ࠫ
事
社
事件
社
件
出
出
出ဘ
出
ဘː
出版
ːመ
出版
መፇ
版
ፇ౧
版
౧
的概率ᦐ可̿
ᤰ
育出
的概率ᦐ可̿
ᤰ
គ和理解概率的
教育
គ和理解概率的͊
务Ѭౢ
东教͊
务Ѭౢ
教
山东
教ె
东ె̰
东̰
ઋ
东
ઋ
Ųᰎ证࿯
山东
Ųᰎ证࿯
຤੆和
山
຤੆和
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
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ᝣគ
育出
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育出
，ͮ
育出ͮ
可
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可能
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能性
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东教育
ү的᝺ᝠ和安ଆ
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山
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数ॢܸ
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社
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社
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社
ᰎ数
 
数据
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版社
គ与能ҧ.
社
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ᰎ，感受តᰎ次
版社
ᰎ，感受តᰎ次
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山东教育出版社
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版社
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教育
࿯฾
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教育
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程
ৱ
山
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133
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
௑学生ࠫ
ઋଗ图᧬有̀
直᜺的ᝣគ. 
ᮕర：ፐܸܳ
数学生基本可̿
ᆸ定᧬࠹య上和᧬࠹య下的可能性不一ನܸ
，ͮࠫ
“哪
一˔ܸ
”“ܸܳ
࠶”等ᤈನ更Цʹ的උᣗ௧不能ᆸ定的. 学生ࠫ᫈
题的思考不͘
ϣ႑ښ“不
一ನܸ
”上，可能ࠫ͘
更Цʹ的ፇ౧ᤉ行̂
᝷，教师可̿
ଢ出ឰ学生ࠫ
ፇ౧ᤉ行࿯฾和᛫
ᤘ的要ර，ښᳬ౜的一角ᝮै
下学生࿯฾的ፇ౧，ښតᰎፇౌ
Ցᤉ行උᣗ，感受࿯฾与ត
ᰎፇ౧的ࣀप. Գܱ
，学生ࠫ
࿯฾ፇ౧的Цʹ᛫ᤘ不௧ࠫ
概率的࿯฾，可̿
有不Տ形式，ݠ
ᄈ分数nj分数njїੇੋ
ᤊᤊܸ̆
njܸ
一གЈ等ኊፒ的ଡᤘ. 
ǘ第二ဗᓬǙតᰎ୲作
内ࠔ：ښ学生ᤕѭ࣏
మᅼ᥋ઋଗ图᧬᫈
题ፇ౧的基ᆩ上，ळ࠮学生ᤉ行តᰎ୲ͻ. 
ଢ出୲ͻ要ර：ባښ课ಸஸ，̰
ᴏᐫ的ᰴएܫઋ下图᧬. ˞̀
ᥘВ图᧬ፃ࣢ᗀ҂ڡ᭧
上，可̿
ښ课ಸ四և用ጮ౜ڊ૕. 
分组࣋
Ꮆ任务：四̡
一组，ඈͯ
Տ学ો要රઋଗӡ次，不ኀ合要රᏨ重新ઋଗ. 一ͯ
Տ
学ઋଗ௑，Գ一ͯ
Տ学ᝮै
ፇ౧（᧬࠹య上ੋ
᧬࠹య下），Х̵
ːͯ
Տ学ᄣᅖઋଗ௧աኀ
合要ර和ᝮै
௧ա൤ᆸ. 
ᄬ的：ښ学生初൦ᝣគ可能性的ৱц下，ࠫ
一̏
不能ᆸ定的事件ᤉ行୲ͻ௧త基本的
方ข. ࠫ
୲ͻਫ਼ଢ出的要ර应ࡊ᧚Цʹ，方Χ学生᜻ᔵڡᤉ行୲ͻ，Տ௑δ证ፇ౧的合理
性. ୲ͻ᣿程中，ฌਓଢᰴ学生ࠫ
活ү的参与ए，۲Щ学生合ͻ的গए和ਓគ. 教ె
中ፌ出
的୲ͻ൦ᰡ和᛫ಫ௧一˔ᇨᔵ，Цʹ的តᰎ୲ͻ൦ᰡ可̿
ಪ据学生的ৱцᤉ行安ଆ. 本ವΓ
୲ͻ᝺ᝠ中ᤥ用ඈ组 40 次，ᄬ的௧˞̀
ښ下᭧的ဗᓬ中ᤰ᣿ࠫ
分组ግᝠፇ౧和ල঴ግᝠፇ
౧的උᣗ，ʹ͘
តᰎ次数ࠫ
ፇ౧的ॖ
־. 
ᮕర：୲ͻ᣿程中ฌਓ安全，任课教师应ፇ合平௑ࠫ
学生的̀
解，ᅌ重关ฌ౽̏
学生. 
任务的明ᆸ性˷௧តᰎ能ᮋѾᤉ行的δ证，ڂ൥课Ғࠫ
Պመ可能出ဘ的᫈
题应ᤉ行Ѝ分的
考ᘽ. 
ǘ第三ဗᓬǙѬౢ
数据
内ࠔ：ښ学生߹ੇ
តᰎ的基ᆩ上，ࠫ
តᰎ୲ͻ的ፇ౧ᤉ行ஆ集ட理和分ౢ
. 
1. 分组ግᝠ 40 次តᰎ中᧬࠹య上和᧬࠹య下的次数，Տ组Տ学̔ืࠫ
តᰎፇ౧的ᝣគࣳ
ලઑፇ౧Ὑ
2. ஆ集全ိ
Տ学的តᰎፇ౧，ښ E xc
e l 中制ͻ᛫ಫࣳ
生ੇ
ઉ线ፒᝠ图Ὑ
3. උᣗ分组ግᝠፇ౧和ල঴ግᝠፇ౧，与Տ学̔ื
. 
ᄬ的：分组ᖍ४的数据ښଡᤘઋଗ图᧬可能出ဘ的ৱц௑，Պ组ࣀप可能͘
ᣗܸ
，ල
঴Ց，学生能直᜺ڡʹ͘
҂តᰎ次数ܙҫՑ，ፇ౧ᄱࠫ
稳定. 学生ࠫ
ፇ౧有̀
ᄱࠫ
ፒ一的
ᝣគ˨Ց，与Ғ᭧࿯฾的ፇ౧ᤉ行උᣗ，ʹ͘
តᰎ୲ͻፇ౧与直ᝀ感ᅼ˨ᫎ
的ࣀप. 本课
௑的重ག௧ᤰ᣿តᰎ୲ͻʹ͘
频率与概率˨ᫎ
的关系，Ꮻ不௧ፋ制ፒᝠ图，˅តᰎ୲ͻ应
ፌ́
学生ᡜܵ
的௑ᫎ
，ڂ൥，ښල঴数据௑可发૙ဘ̽
੿ష的ͻ用，Ύ用ᝠካ٨ੋ
ᝠካ఻
୲ͻ. 
山东教育出版社
฾ፇ౧的Ц
社
฾ፇ౧的Цܸ̆
njܸ
一གЈ
版社ܸ̆
njܸ
一གЈ
୲作
出版
୲作
ᤕѭ࣏
మᅼ᥋ઋ
出版
ᤕѭ࣏
మᅼ᥋ઋ
ර
育
ර：
育
：ባ
育出
ባښ
育出
ښ课
出
课ಸ
出
ಸ
课ಸ四և用ጮ౜
教育
课ಸ四և用ጮ౜
组࣋
Ꮆ任务：四
教育
组࣋
Ꮆ任务：四
ଗ
东
ଗ௑
东
௑，
东教
，Գ
东教
Գ一
东教
一ͯ
教ͯ
合要ර和ᝮै
௧
山东
合要ර和ᝮै
௧
ᄬ
山东
ᄬ的
山东
的
方
山
方ข
山
ข.
山
.ࠫ
山ࠫ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
不
社
不
和
社
和᛫
社
᛫
࿯
版
࿯฾
版
฾与
版社
与ត
版社
ត
不Տ形式，ݠ
出版社
不Տ形式，ݠ
࠮学生ᤉ行តᰎ
教育
࠮学生ᤉ行តᰎ
˞
东教
˞̀
东教̀
ᥘ
东教
ᥘВ
教育
В图
教育
图᧬
育
᧬
ӡ次，不ኀ合要
山东
ӡ次，不ኀ合要
࠹య
山
య下
山
下）
山
），
山
，Х
山
Х̵̵
下，ࠫࠫ
一̏
 ̏
不能
，方Χ学生
 
生᜻
ү的参与ए
 
ए
Цʹ的តᰎ୲
 
Цʹ的តᰎ୲
ᄬ的௧˞̀
ښ
 
ᄬ的௧˞̀
ښ
数ࠫ
ፇ౧的ॖ
־
社 
数ࠫ
ፇ౧的ॖ
־
中
版社
中ฌ
版社
ฌਓ
版社
ਓ安
版社
安全
社
全
௧
版
௧ត
版
តᰎ
版社
ᰎ能
版社
能ᮋ
版社
ᮋѾ
社
Ѿ
三ဗᓬǙѬౢ
育出
三ဗᓬǙѬౢ
内ࠔ：ښ学生
教育
内ࠔ：ښ学生
1
教
1.
教
. 分组ግ
教育
分组ግࣳ
ලઑፇ౧
东教ࣳ
ලઑፇ౧
2
东
2
山东教育出版社
ግᝠፇ
社
ግᝠፇ
关
版
关ฌ
版
ฌ౽
版社
౽̏
版社̏
学
版社
学生
社
生
题
出
题应
出版
应ᤉ
出版
ᤉ行
出版
行Ѝ
版
Ѝ分
版
分
行ஆ集ட理和分
教育
行ஆ集ட理和分
Տ组Տ学̔ื
东教
Տ组Տ学̔ื
᛫ಫࣳ
生ੇ
ઉ
山东
᛫ಫࣳ
生ੇ
ઉ̔ื
山̔ื
.
山
.
的
山
的
134
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᮕర：ښ教师෥有ૉ明用টನ的形式ࠫ
ፇ౧ᤉ行ଡᤘ௑，学生可能̩
ಪ据᧬࠹య上和
᧬࠹య下的次数ᤉ行判ல，తݞ能ळ࠮学生˟үᤥ用频率ଡᤘፇ౧，ݠ౧有ڈᬲ，可̿
ᤥ
用܍и教ె
中的᛫ಫՑг判ல的方式. 
ǘ第پဗᓬǙ຤੆ေᝍ
内ࠔ：教师૆出一˔不ᤩ明的᛻ߕ，ଢ出᫈
题：
ᤈ˔᛻ߕ中装̀
ᔪࣰ
౦ᳬnjᄇೠߕ，ᬔᮨ
ᓤܱ
߹全ᄱՏ，ښ不੪开ᄺ的ৱц下，Ϳ能
ᆸ定ːመᮨ
ᓤ的ೠߕ哪መܳ
ՙὝឭឭͿ的ਇข. 
ႀ̆
有Ғ᭧的តᰎ୲ͻ˞基ᆩ，学生ᒭཀྵ͘
ਇ҂用ୗု
តᰎ的方ขᤉ行判ல. 教师应ळ
࠮学生Џட理តᰎ୲ͻ൦ᰡ，г组ጻ学生ᤉ行分组តᰎ，Џ分组ಪ据តᰎፇ౧ᤉ行ግᝠnj
࿯฾，гࠫ
全ိ
的数据ᤉ行ල঴ግᝠ，̔ื
njፒ一ਓ᜹Ց，教师૆出᛻ߕ中的ೠߕଫᇨፇ
౧. 
ᄬ的：ᤰ᣿ࠫ
上ᤘ୲ͻ൦ᰡ和ፇ౧的ʹ͘
，᝺Ꮆ຤੆，ᤉ一൦理解តᰎ次数ॢܸ
௑，
事件发生的频率Ц有稳定性，ຖᤩ频率与概率˨ᫎ
的ᐏ系. 
ᮕర：教师应ಪ据课Ғࠫ
分组ৱц的思考，юܬᄱ应˔数的不ᤩ明᛻ߕ和ೠߕ. 有Ғ᭧
的୲ͻፃᰎ，຤੆的᣿程应උᣗঌ，Տನ用 E xc
e l ግᝠ数据和ፋ制ፒᝠ图. 
ǘ第̋
ဗᓬǙ࠵ፇॆ
ጪ
内ࠔ：ᤰ᣿上ᤘ୲ͻតᰎ，Ϳ有哪̏
ʹ͘
Ὕፇ合“ᬤ۶ጷ习”中的᫈
题思考ࣳ̔ื
. 
ᄬ的：ࠫ
本课௑的感受和ʹ͘
ᤉ行೛理. 
ᮕర：ႀ̆
本课௑෥有ࠫ
ፇ᝷ᤉ行明ఁ，ᴂҵ学生用ᒭࣂ的ឦᝓ
᛫᣺. 
ǘ第ОဗᓬǙ࣋
Ꮆ作ˊ
内ࠔ：߹ੇ
习题第 1nj2 题. 
ᄬ的：用更ܳ
的ৱܒ和តᰎ୲ͻࠫ
本课௑ᅼគᤉ行ࢾڍ. 
ᮕర：ࠫ
习题中的តᰎ୲ͻ（ઋଗၫᄦ），教师తݞ能Ϣ出更ጺᒱ的安ଆ. ݠ，可̿
ፒ
一ၫᄦ和୲ͻ要ර，ᤈನࠫ̆
全ိ
Տ学४҂的តᰎፇ౧可̿
ᤉ行ግᝠ，г次ʹ͘
តᰎ次数ॢܸ
௑事件发生频率的稳定性Ὑԡݠ，可̿ࠫ
学生分组ࠫ
不Տ的ၫᄦᤉ行តᰎ，ཀྵՑ全ိ̔ื
，ᖍ४更ܳ
的ፃᰎ. 
Оnjកౢ
本课௑的ː˔តᰎ୲ͻ௧重要内ࠔ，টನ组ጻ୲ͻ活ү，টನळ࠮学生ࣜ
ᅌ᫈
题ᤉ行
តᰎ，টನळ࠮学生ࠫ
តᰎፇ౧ᤉ行分ౢ
等，ᦐ应ស௧教师ښ活үҒᝣᄾ思考的᫈
题. 教师
可能ࠫ
学生తጼ४҂的感受有不ᆸ定性，ͮ
应ࠫ
学生的୲ͻ൦ᰡ和᣿程юᆸં
ଧ. Գܱ
，ښ
ፒᝠ和概率的ॢܳ᫈
题ଊቃ中，用҂តᰎ的方ขஆ集和ட理数据，重གᦐ௧ࠫ
ਫ਼ஆ集的数
据ᤉ行分ౢ
，可̿
有஍ڡѾ用ဘ̽
੿ష的੤段，ᓬᄵ௑ᫎ
˅ቊ出重ག，本课௑中 E x c e l 的
应用ࡃ௧一˔ॢ
ݞ的Γߕ，概率中的模લតᰎ˷可̿
用ᝠካ٨ੋ
 E xc
e l 解х. 
山东教育出版社
的᛻
社
的᛻
ᳬ
社
ᳬnj
社
njᄇ
社
ᄇೠ
社
ೠߕ
社
ߕ，
社
，ܳ
ՙὝឭឭͿ
版社ܳ
ՙὝឭឭͿ
ᰎ୲ͻ˞基ᆩ
出版社
ᰎ୲ͻ˞基ᆩ
ᰎ୲
出
୲ͻ
出
ͻ൦
出版
൦ᰡ
出版
ᰡ，
出
，г
版
гိ
育ိ
的
育
的数
育出
数据
育出
据ᤉ
育出
ᤉ行
出
行
的
教
的：
教
：ᤰ
教育
ᤰ᣿
教育
᣿ࠫ
教育ࠫ
上
育
上
件发生的频率Ц
东教
件发生的频率Ц
ᮕర：教
山东
ᮕర：教
的୲ͻፃ
山东
的୲ͻፃ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
的
出
的ৱ
出版
ৱц
出版
ц下
出版
下，
版
，Ϳ
版
Ϳ
方ขᤉ行判ல
育出
方ขᤉ行判ல
组
教
组ಪ
教
ಪ据
教育
据ត
教育
តᰎ
教育
ᰎፇ
育
ፇ౧
育
౧
教
东教
教师
东教
师૆
东教
૆出
教育
出᛻
教育
᛻ߕ
教育
ߕ
Ꮆ
山
Ꮆ຤
山
຤੆
山东
੆，
山东
，ᤉ
山东
ᤉ一
东
一൦
东
൦ᫎ
的ᐏ系
山ᫎ
的ᐏ系. 
山
. 
考，юܬᄱ应˔
山
考，юܬᄱ应˔
用E xc
e l
E xc
e l ግᝠ
 
ግᝠ
Ϳ有哪̏
ʹ͘
 
Ϳ有哪̏
ʹ͘
和ʹ͘
ᤉ行೛理
 
和ʹ͘
ᤉ行೛理
෥有ࠫ
ፇ᝷ᤉ行
社 
෥有ࠫ
ፇ᝷ᤉ行࣋
Ꮆ作ˊ
版社࣋
Ꮆ作ˊੇ
习题第
版社ੇ
习题第1
版社
1nj
版社
nj2
社
2
用更ܳ
的ৱܒ
出版
用更ܳ
的ৱܒ
ర：ࠫ
习题中的
育出版
ర：ࠫ
习题中的
ᄦ
育
ᄦ和
育
和୲
育出
୲ͻ
育出
ͻ要
育出
要ර
出
රॢ
教ॢܸ
教ܸ
௑
教育
௑事
教育
事件
教育
件发
育
发̔ื
，ᖍ४
东教育̔ื
，ᖍ४
О
东
О
山东教育出版社
更ጺᒱ的安ଆ
育出
更ጺᒱ的安ଆ
ᤉ
教
ᤉ行
教育
行ግ
教育
ግᝠ
教育
ᝠ，
育
，г
育
г次
育
次
不
东教
不Տ
东教
Տ的
东教育
的ၫ
教育
ၫᄦ
教育
ᄦᤉ
育
ᤉ
୲
山
୲ͻ
山
ͻ
135
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ኄӡቦ
 ʼᝈॎᄊదТ᝽௚
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. ଂଧ̿
下基本事实：
（1）ːགᆸ定一౎直线Ὑ
（2）ːག˨ᫎ
线段తᆁὙ
（3）᣿一ག有˅Զ有一౎直线与ࣃᅼ直线垂直Ὑ
（4）ː౎直线ᜂ第三౎直线ਫ਼੕，ݠ౧Տͯ
角ᄱ等，ᥧ˦ᤈː౎直线平行Ὑ
（5）᣿直线ܱ
一ག有˅Զ有一౎直线与ᤈ౎直线平行Ὑ
（6）ː᣸ԣХ݃
角分ѿᄱ等的ː˔三角形全等Ὑ
（7）ː角ԣХ݃
᣸分ѿᄱ等的ː˔三角形全等Ὑ
（8）三᣸分ѿᄱ等的ː˔三角形全等. 
2. 证明定理：ː角分ѿᄱ等˅Х中一组等角的ࠫ
᣸ᄱ等的ː˔三角形全等. 
3. ଊጊࣳ
证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的ːअ角ᄱ等Ὑअ᣸上的ᰴ线nj中
线ԣᮇ角平分线重合. ଊጊࣳ
ଂଧ等腰三角形的判定定理：有ː˔角ᄱ等的三角形௧等腰三
角形. 
4. ଊጊ等᣸三角形的性质定理：等᣸三角形的Պ角ᦐ等̆
60cὙ等᣸三角形的判定定
理：三˔角ᦐᄱ等的三角形（ੋ
有一˔角௧60c的等腰三角形）௧等᣸三角形. 
5. ଊጊࣳ
ଂଧ直角三角形的性质定理：直角三角形的ː˔ᩩ
角̉
͸. ଂଧ有ː˔角̉
͸
的三角形௧直角三角形. 
6. ଊጊӇ股定理ԣХᤤ定理，ࣳ
能ᤂ用߲̓
解х一̏
እӭ的实ᬅ᫈
题. 
7. ଊጊࣳ
ଂଧ判定直角三角形全等的“ப᣸nj直角᣸”定理. 
8. ଊጊࣳ
证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的ག҂线段ːቫ的ᡰሏ
ᄱ等ὙԦ˨，҂线段ːቫᡰሏᄱ等的གښ线段的垂直平分线上. 
9. ଊጊࣳ
证明角平分线的性质定理：角平分线上的ག҂角ː᣸的ᡰሏᄱ等ὙԦ˨，角
的内ᦊ҂角ː᣸ᡰሏᄱ等的གښ角的平分线上. 
10. ̀
解Ԕ命题ԣХᤤ命题的概ঐ. ͘
គѿː˔̉
ᤤ的命题，ᅼ᥋Ԕ命题ੇ
ቡХᤤ命题
不一定ੇ
ቡ. 
11. ᤰ᣿实Γʹ͘
Ԧ证ข的ե义. 
12. ᅼ᥋证明的ਓ义和证明的必要性，ᅼ᥋证明要合˫᤿ᣤ，ᅼ᥋证明的᣿程可̿
有不
Տ的᛫᣺形式，͘
፬合ข证明的ಫ式. 
13. ࡇ᜻ͻ图：ࣃᅼअ᣸ԣअ᣸上的ᰴͻ等腰三角形Ὑࣃᅼ一直角᣸和ப᣸ͻ直角三角
形，᣿一གͻࣃᅼ直线的垂线. ̄
nj教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊnj࿯ਇnj证明的᣿程，ᤉ一൦ʹ͘
证明的必要性，发࡙
଎理能ҧ. 
山东教育出版社
౎直线与ࣃᅼ
版社
౎直线与ࣃᅼ
三౎直线ਫ਼੕
版社
三౎直线ਫ਼੕
一ག有˅Զ有一
出版
一ག有˅Զ有一
Х݃
角分ѿᄱ
育出
Х݃
角分ѿᄱ
角ԣХ݃
᣸分ѿ
教育出
角ԣХ݃
᣸分ѿ
三᣸分ѿᄱ等
教育
三᣸分ѿᄱ等
证明定理：ː
东教
证明定理：ː
3
东
3.
东
. ଊ
山东教
ଊጊ
东教
ጊࣳ
东教ࣳ
证
教
证
线ԣᮇ角平分
山东
线ԣᮇ角平分
角形
山
角形.
山
.
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
直线平行Ὑ
育出
直线平行Ὑࠫ
᣸ᄱ等的ː˔
山东ࠫ
᣸ᄱ等的ː˔
腰三角
山
角形
山
形的
山
的ː
山
ːअ
山
अ
的判定定理：
 
的判定定理：
等᣸三角形
 
形的
有一˔角௧
有一˔角௧60
 
60c
的性质定理：
 
的性质定理：
ԣХᤤ定理，ࣳ
社 
ԣХᤤ定理，ࣳ
判定直角三角
版社
判定直角三角
证
出
证明
出版
明线
出版
线段
出版
段垂
版
垂直
版
直
，҂线段ːቫ
出版
，҂线段ːቫ
ଊ
育
ଊጊ
育
ጊࣳ
育出ࣳ
证
育出
证明
出
明角
出
角
内ᦊ҂角ː᣸ᡰ
教育
内ᦊ҂角ː᣸ᡰ
1
教
10
教育
0.
教
.̀
教育̀
解
教育
解
不一定ੇ
ቡ
东教
不一定ੇ
ቡ
1
东
1
山东教育出版社̉
͸
社̉
͸
҂
出
҂线
出
线段
出版
段ː
出版
ːቫ
出版
ቫ的
版
的
ː
教
ː᣸
教育
᣸的
教育
的ᡰ
教育
ᡰሏ
育出
ሏᄱ
育
ᄱ等
出
等
的
东
的命
东
命题
东教
题，
东教
，ᅼ
东教
ᅼ᥋
教
᥋Ԕ
教
Ԕ
要合˫᤿
山
要合˫᤿
136
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. ᤉ一൦̀
解ͻ˞证明基ᆩ的ї౎基本事实的内ࠔ，ଂଧ፬合ข的证明方ขὙፇ合实
Γʹ͘
Ԧ证ข的ե义. 
3. 证明等腰三角形nj等᣸三角形nj直角三角形nj线段垂直平分线nj角平分线的性质定
理ԣ判定定理. 
4. 证明判定三角形全等的“角角᣸”定理Ὑଊጊࣳ
ଂଧ判定直角三角形全等的“ப
᣸nj直角᣸”定理. 
5. ፇ合ЦʹΓߕ̀
解Ԕ命题ԣᤤ命题的概ঐ，͘
គѿː˔̉
ᤤ命题，ࣳ
ᅼ᥋Ԕ命题ੇ
ቡХᤤ命题不一定ੇ
ቡ. 
6. ࣃᅼअ᣸ԣअ᣸上的ᰴ线，能用ࡇ᜻ͻ出等腰三角形Ὑࣃᅼ一直角᣸和ப᣸，能用
ࡇ᜻ͻ出直角三角形Ὑ能用ࡇ᜻᣿一གͻࣃᅼ直线的垂线. 
7. 发࡙
һ̆
质Ⴁnjˑ៟ර实的科学গए. 
ʼnj᝺ᝠন᡹
ಪ据ǒಖюǓ的要ර，଎理能ҧ௧数学课程应े
发࡙
的核ॷጉЩ˨一ὙᏫ଎理能ҧӊ
઺合ৱ଎理能ҧ和໦ፂ଎理能ҧː˔方᭧. 本套教科书ښ“平行线的有关证明”一ቦ˨Ғ，
ᆑቃ图形˟要᧔用̀
实ྭ
୲ͻnjઉጮnjႇ图njए᧚ԣᣉࠫ
ሦ等直᜺方ข，Ο重发࡙
学生的
合ৱ଎理能ҧὙՏ௑，ښᤈ一᣿程中ᤪ൦ຖᤩእӭ的໦ፂ଎理ᝫጷ，ᝨ学生理解ї͵命
题˨ᫎ
的ڂ౧关系，˞ˑಫ的໦ፂ证明ݖ定基ᆩ. ښ本册第Мቦ “平行线的有关证明”一
ቦ，教科书൤式ळК໦ፂ଎理的方ขԣ፬合ข证明的᛫᣺形式，̰
ї౎基本事实出发，ࠫ
与平行线有关的ї͵命题ᤉ行ˑಫ的证明. 本ቦፙ፞
Κ据“平行线的有关证明”一ቦ中ፌ出
的基本事实和ࣃፃ证明᣿的定理证明与三角形有关的一̏
ї͵命题. 
本ቦਫ਼证明的命题ܸܳ
数与等腰三角形和直角三角形有关，˟要ӊ઺：等腰三角形
（ե等᣸三角形）的性质定理ԣ判定定理nj直角三角形的性质定理ԣ判定定理nj线段垂直
平分线的性质定理ԣ判定定理nj角平分线的性质定理ԣ判定定理nj判定三角形全等的“角
角᣸”定理，̿
ԣ判定直角三角形全等的“ப᣸nj直角᣸”定理. ࠫ̆
ᤈ̏
命题，教科书ұ
ҧ࠲证明的思路࡙
ဘ出౏. 教科书ᯫЏ᧔用ଢ᫈
的方式ᝨ学生回ॺᤈ̏
ፇ᝷，ࣳ
回ॺଊጊፇ
᝷的方ข和᣿程，ᤈ̏
方ข和᣿程ड़ड़ࠫ͘
证明的思路有ਫ਼թ发. ཀྵՑгѾ用基本事实和ࣃ
有定理ԝ证明ᤈ̏
ፇ᝷，ࣳ
ښ教科书中ፌ出᜻ᔵ的证明᣿程. ᤈನܫ理௉ښ࠲ચ៶的证明与
直᜺的ଊጊᐏ系ᡑ౏. ݠښ证明“等腰三角形的ːअ角ᄱ等”௑，教科书ᯫЏ回顾Ѿ用ઉጮ
౏ଊጊᤈ˔ፇ᝷的方ข，ႀ൥ΨΎ学生发ဘ证明思路：ͻअ᣸上的中线౞ᤵ全等三角形，
г证明ː˔角ᄱ等. 
本ቦᤇ๘ԣ一̏̿
Ғ෥有ଊጊ᣿的命题，ࠫ̆
ᤈ̏
命题，教科书᧔用̀
不Տ的ܫ理方
式：（1）直ଌᤰ᣿证明४҂ᦊ分命题Ὑ（2）ࠫ̆
Գ一ᦊ分命题，ѷࡊ可能ѹ᝺一̏᫈
题
ৱܒ，˞学生ଢΙᒭ˟ଊጊ发ဘ的ቇᫎ
，ཀྵՑгᤉ行证明，̰
Ꮻ࠲证明ͻ˞ଊጊ活ү的ᒭ
ཀྵण፞
和必要发࡙
，Ύ学生ፃԋ“ଊጊ—发ဘ—࿯ਇ—证明”的᣿程，ʹ͘
合ৱ଎理与໦
ፂ଎理ښᖍ४ፇ᝷௑Պᒭ发૙的ͻ用. ݠࠫ̆
“ښ直角三角形中，ݠ౧一˔ᩩ
角等̆
30c，
山东教育出版社
Ԕ
版
Ԕ命
版社
命题
版社
题ԣ
版社
ԣᤤ
社
ᤤ命
社
命题
社
题
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出
अ᣸
出
᣸上
出版
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出版
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出版
ᰴ线
版
线
角形Ὑ能用ࡇ
育出
角形Ὑ能用ࡇ
һ̆
质Ⴁnjˑ៟
育出
һ̆
质Ⴁnjˑ៟
᝺ᝠন᡹
东教
᝺ᝠন᡹
ಪ
东
ಪ据
东教
据ǒ
东教
ǒಖ
东教
ಖю
教
ю
઺合ৱ଎理
山东
઺合ৱ଎理
ᆑ
山
ᆑቃ
山
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山
图
合
山
合ৱ
山
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山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
定
社
定
全
版
全等
版
等的
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版社
“ப
版社
பࣳ
出ࣳ
ᅼ
出版
ᅼ᥋
出版
᥋Ԕ
出版
Ԕ命
版
命题
版
题
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教
ᅼ一
教育
一直
教育
直角
教育
角᣸
育
᣸和
育
和
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山े
发
山
发࡙
山࡙
的
山
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本套教科书ښ
 
本套教科书ښ
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᧚ԣ
中ᤪ൦ຖᤩ
 
ᤩእ
ፂ证明ݖ定
 
定基
理的方ขԣ
 
ԣ፬
题ᤉ行ˑಫ的证
社 
题ᤉ行ˑಫ的证
明᣿的定理证
社 
明᣿的定理证
的
版
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命题
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社ܳ
数
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质定
版社
定
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性质
出
质定
出版
定理
出版
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出版
ԣ判
版
判
定理，̿
ԣ判
育出
定理，̿
ԣ判
࠲证明的思路
教育
࠲证明的思路
᝷的方ข和᣿
教育
᝷的方ข和᣿
有定理ԝ
东教
有定理ԝ
直᜺
东教
直᜺
౏
东
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山东教育出版社
，
社
，
ቦ中ፌ出
社
ቦ中ፌ出
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版
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版社
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定理
出版
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出版
nj线
版
线段
版
段
判
育
判定
育出
定三
育出
三角
育出
角形
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形全
出
全
理
教
理. 
教
. ࠫ̆
ᤈ̏
命
教育出ࠫ̆
ᤈ̏
命
生回ॺᤈ̏
ፇ᝷
教育
生回ॺᤈ̏
ፇ᝷
有ਫ਼թ发
东教
有ਫ਼թ发.
教
. ཀྵՑ
教
ཀྵՑ
证明᣿程
山东教
证明᣿程.
东
. ᤈನ
东教
ᤈನ
ːअ角ᄱ等”௑
山东
ːअ角ᄱ等”௑
思
山
思路
山
路：
山
：ͻ
山
ͻ
137
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᥧ˦߲
ਫ਼ࠫ
的直角᣸等̆
ப᣸的一ӧ”，教科书Џळ࠮学生ૃ
ୌ三角ࡇ，ଊጊ发ဘ有关ፇ
᝷，Տ௑ଊጊ的᣿程˷˞ԁ࠲ᤉ行的证明ଢῚ
思路. 
൥ܱ
，教科书ᤇฌਓຖᤩॆ
ጪnjዝඋnjᣁӑ等数学思ਇ. 
本ቦ的᝺ᝠᤇ考ᘽ̀ࠫ
学生学习方ข的ૉ࠮，̿
ԣ思፥能ҧ的۲Щ. 一方᭧，教科书˞
学生᝺Ꮆ̀
可࠲ፇ᝷ᤉ行଎ࣹ
和一ᓊӑ的ቇᫎ
，࠲ଊጊ发ဘ和证明有఻ڡፇ合ᡑ౏ὙԳ一
方᭧，教科书ᤇฌਓळ࠮学生ଊጊ证明的不Տ思路和方ข，ࣳ
ᤉ行适े
的උᣗ和ᝧ᝷，开
᫫学生的᜽᧙，۲Щ学生的思፥能ҧ. ݠښ一መ证明方ขፇౌ
Ցଢ出᫈
题“Ϳᤇ有Х̵
的证
明方ขՙὝ与Տͧ̔ื
”. 
本ቦᙊཀྵ̿
໦ፂ证明˞˟，ͮ
ښጉె
和ᑀఀ
的ᤥԩ上̯
ฌਓ与实ᬅᐏ系，ࣳ
ࡊ可能ፌ
学生႑有᜺ࠣ
njଊጊ与发ဘ的఻͘
，̰
Ꮻܙू
᝷证的ᡚ֊性，༏发学生ࠫ
数学证明的Уᡚ
和ଂଧ፬合ข证明的ηॷ，Տ௑˷Ύ学生ʹ͘
҂໦ፂ证明ښ实ᬅ中的ਓ义和ͻ用. 
本ቦႀ 5 ᓬ౞ੇ
. 第 1 ᓬ˟要௧全等三角形的有关证明Ὑ第 2 ᓬ˟要证明等腰三角
形nj等᣸三角形的性质定理ԣ判定定理，ࣳ
ښᤈ一᣿程中ፇ合实Γʹ͘
Ԧ证ข的ਓ义Ὑ第 
3 ᓬ˟要证明直角三角形的性质定理和判定定理，ፇ合ЦʹΓߕ̀
解Ԕ命题ԣХᤤ命题的
概ঐ，ଊጊࣳ
证明判定直角三角形全等的“ப᣸nj直角᣸”定理Ὑ第 4 ᓬ˟要证明线段垂
直平分线的性质定理和判定定理，ࣳ
用ࡇ᜻ͻ等腰三角形Ὑ第 5 ᓬ˟要证明角平分线的性
质定理和判定定理. 
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
1 全等三角形 
 
 
 
 
 
 
 
    3 课௑
2 等腰三角形 
 
 
 
 
 
 
 
    4 课௑
3 直角三角形 
 
 
 
 
 
 
 
    2 课௑
4 线段的垂直平分线 
 
 
 
 
 
 
    2 课௑
5 角平分线 
 
 
 
 
 
 
 
    2 课௑
      回顾与思考 
 
 
 
 
 
 
 
    2 课௑̋
nj教ߦथᝬ
1. Ύ学生ፃԋଊጊnj࿯ਇnj证明的᣿程，ᤉ一൦ʹ͘
证明的必要性. 
ݠҒਫ਼ᤘ，本ቦ௅๘ԣ一̏̿
Ғఢፃଊጊ᣿的命题，ԡ๘ԣ一̏
新的ፇ᝷，ڂ൥ښ教
学中，应ં
证明ͻ˞ଊጊ活ү的ᒭཀྵण፞
和必要发࡙
，ळ࠮学生̰᫈
题出发，ಪ据᜺ࠣ
nj
实ᰎ的ፇ౧，ᤂ用ॆ
ጪnjዝඋ的方ขᯫЏ४出࿯ਇ，ཀྵՑгᤉ行证明，ᤈನϢ有Ѿ̆
学
生全᭧ڡ理解证明. ښЦʹ教学௑，一方᭧，教师可ळ࠮学生回ॺଊጊ的᣿程ԣХ४出的
ፇ᝷，ࣳूូ
证明的必要性ὙԳ一方᭧，学生ፃ᣿ଊጊᤇ͘
४҂̿
ड़෥有ଊጊ᣿的新的ፇ
᝷，ཀྵՑгԝ证明. 教师应Ѝ分Ѿ用ᤈನ的఻͘
，թ发ळ࠮学生ʹ͘
ଊጊፇ᝷和证明ፇ᝷的
ᄱ̉
关系，ԁ合ৱ଎理与໦ፂ଎理的ᄱ̉
Κᠻ和ᄱ̉
ᛪЍ的ᣳ证关系. 
山东教育出版社
ጊ
社
ጊ证
社
证明
社
明的
社
的
思፥能ҧ
版社
思፥能ҧ.
社
. ݠښ
社
ݠښ
证
出
证明
出
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出版
˞˟
出版
˟，
版
，ͮ
版ͮ
ଊ
育
ଊጊ
育
ጊ与
育出
与发
育出
发ဘ
出
ဘ的
出
的఻
出
఻
证明的ηॷ，
育出
证明的ηॷ，
ႀ
教
ႀ5
教
5 ᓬ
教育
ᓬ౞
教育
౞ੇ
教育ੇ
.
育
. 第
育
第
᣸
东
᣸三
东教
三角
东教
角形
东教
形的
教
的性
教
性
ᓬ
东
ᓬ˟
东
˟要
东
要证
东教
证明
东教
明直
东教
直角
教
角
概
山
概ঐ
山东
ঐ，
山东
，ଊ
山东
ଊጊ
东
ጊࣳ
东ࣳ
直
山
直平
山
平分
山
分线
山
线
定理
山
定理
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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书˞
社
书˞
౏
版
౏Ὑ
版
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版社
Գ一
版社
一
ᣗ
出
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出版
和ᝧ
出版
ᝧ᝷
出版社
᝷，
版
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版社
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Ϳᤇ有Х̵
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出版
Ϳᤇ有Х̵
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实
教育
实ᬅ
教育
ᬅᐏ
教育
ᐏ系
育
系，
育
，ࣳ
育ࣳ
༏
教
༏发
教
发学
教育
学生
教育
生ࠫ
教育ࠫ
数
育
数
实ᬅ中的ਓ义
东教
实ᬅ中的ਓ义
关
山
关证
山东
证明
山东
明Ὑ
山东
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东教
第2
东教
2
᣿
山
᣿程
山
程中
山
中ፇ
山东
ፇ合
山东
合实
东
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东
Γ
，ፇ
山
ፇ合
山
合Ц
山
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山
ʹΓ
山
Γ
ப᣸nj直角
 
角᣸
᜻ͻ等腰三
 
三角
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版
形
垂直平分线
出版社
垂直平分线
平分线
出
平分线
回顾与思考
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回顾与思考̋
nj教ߦथᝬ
教育̋
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1
东教
1. 
教
. Ύ学
教
Ύ学
ݠ
东教
ݠ
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东
学
山东教育出版社
3
社
3 课௑
社
课௑
版社
4
版社
4 课௑
版社
课௑
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2
版社
2 课௑
版社
课௑
版
2
版
2
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证明的必要
山东教
ʹ͘
证明的必要
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山
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山
命题
山东
题，
山东
，ԡ
山东
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东
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东
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山࡙
，
山
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山
ळ࠮
山
࠮
ཀྵ
山
ཀྵ
138
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. ฌ重ࠫ
证明思路的թ发，关ฌ学生的࿘ቡ思考. 
ښଂଧ̀
基本的证明൦ᰡ和要ර的基ᆩ上，发ဘፇ᝷njଊጊ证明的思路与方ข௧学
习本ቦ内ࠔ的重ག和ᬲག. 教学௑应ฌਓܳ
ᝨ学生᜺ࠣ
nj୲ͻ，ࡊ可能ᝨ学生࿘ቡڡᖍԩ
ፇ᝷Ὑࠫ̆
证明思路和方ข，教师应ፌ学生႑出Ѝ分思考的௑ᫎ
和ቇᫎ
，ᴂҵ学生ܸ
ᐿ࠽
តnj̔ื
，ࣳ
ښ൥基ᆩ上᧫ࠫ
不Տ学生ᤉ行্े
的ळ࠮，ࣟ
Ұ̵̓
分ౢ
ᣙҰ线的຋ҫnjᣙ
Ұ图形的౞ᤵ. ښᤈ˔᣿程中，̿
Ғଊጊፇ᝷௑ਫ਼Ύ用的方ขࠫ
证明思路ड़ड़Ц有重要的թ
ᤔͻ用，教师应ฌਓळ࠮njթ发. Տ௑，ॢܳ
ፇ᝷的证明方ข௧不׭一的，ᣙҰ线的຋ҫ方
ข˷௧ܳ
መܳ
ನ的，ڂ൥教师ښ教学中要ฌਓळ࠮学生ଊጊ证明的不Տ方ข，ଢϏ证明方
ข的ܳ
ನ性，ࣳ
ळ࠮学生ښ与̵̡
的̔ื
中උᣗ证明方ข的पՏ，ଢᰴ᤿ᣤ思፥ඵ平. Γ
ݠ，ښ证明“等腰三角形的ːअ角ᄱ等”௑，可̿
有不Տ的ͻᣙҰ线的方ข，̰
Ꮻ࠮ᒱ不
Տ的证明方ข. 教师应ᴂҵ学生ᤰ᣿̔ื
ଊጊ发ဘᤈїመ不Տ的证明方ข. 
3. 要ර学生ଂଧ证明的基本要ර和方ข. 
଎理证明௧本ቦ学习的重ག，ڂ൥教学中要ฌਓ۲Щ学生ଂଧ଎理证明的基本要ර. 
ݠ明ᆸ౎件和ፇ᝷，能ܵ
用数学的ኀ号ឦᝓ
൤ᆸ᛫᣺Ὑ明ᆸඈ一൦଎理的Κ据ࣳ
能юᆸڡ
᛫᣺଎理的᣿程. ᤰ᣿一定数᧚的଎理证明ᝫጷ，ᤪ൦Ύ学生ଂଧ证明的方ข和思路. Γ
ݠ，ښ应用“ப᣸nj直角᣸”定理证明௑，教师可̿
Џळ࠮学生分ౢ
Ύ用ᤈመ判定方ขᭊ
要Цܬ的౎件：ښː˔直角三角形中，ப᣸分ѿᄱ等，一౎直角᣸分ѿᄱ等. Զ有Տ௑Цܬ
ᤈ三˔౎件，੦能用“ப᣸nj直角᣸”定理判定ː˔直角三角形全等. ࠫ̆
Ԧ证ข，教学中可ᤰ᣿生活实Γ和እӭ的数学实ΓΎ学生ʹ͘
Х思ਇ，不必ࠫ
Ԧ
证ข的证明ಫ式和证明ᬲएଢ出᣿ᰴ要ර. 
4. ฌਓ数学思ਇښ教学中的ຖᤩ̿
ԣࠫ
学生学习方ข的թ发. 
命题的ଊጊ和证明᣿程ड़ड़ᘔեᅌ一̏
数学思ਇ，ݠॆ
ጪ的思ਇnjዝඋ的思ਇnjᣁӑ
的思ਇnjԦ证ข的思ਇ等. 教学中应ฌ重ᤈ̏
思ਇ的ຖᤩ，有ਓគڡळ࠮学生ԝᮗ͘
ᤈ̏
思
ਇࣳ
应用̆
解хЦʹ᫈
题的᣿程中，̰
Ꮻࣟ
Ұ学生形ੇ
൤ᆸ的数学学习方ข. Տ௑，ښଊጊ
和证明活ү中ᤇ要ฌਓ۲Щ学生发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题nj分ౢ᫈
题和解х᫈
题的能ҧ. 
5. Κ据ǒಖюǓ和教科书的基本要ර，ં
ଧݞ证明题的ᬲए. 
ʹᰎ和ଂଧ证明的基本方ข，ᭊ要证明一定数᧚的命题，ͮ
要ᥘВ᣿分ᤝර证明题的
数᧚ԣ证明੿ࢼ. 教学应Κ据教科书的基本要ර，଍制ݞ证明题的ᬲए. 
Оnjក͉
थᝬ
1. 关ฌࠫ
学生ଊጊፇ᝷和证明思路nj证明方ข等᣿程的ក价. 
ښ本ቦ中，௄᝷௧一̏
新ፇ᝷的ᖍ४，ᤇ௧命题证明的思路和方ข的ᖍ४，ᦐᭊ要学
生ᤉ行ଊጊ，ڂ൥学生ښᤈ̏
ଊጊ活ү中的᛫ဘ௧ក价的重要方᭧. Х一，要关ฌ学生能ա
ሥౝ˟ү参与ଊጊ活ү̿
ԣ与Տͧ
˨ᫎ
的̔ื
ৱцὙХ二，要关ฌ学生能աᤰ᣿࿘ቡ思考
ᖍ४证明的思路，能աΎ用᜻ᔵ的数学ឦᝓ
᛫᣺思考的᣿程，能ա࠽ត用不Տ的方ขԝ证
明Տ一˔命题. 
山东教育出版社̿
Ғଊጊ
社̿
Ғଊጊ
թ发
版社
թ发.
版社
. Տ௑，ॢ
版社
Տ௑，ॢ
൥
版
൥教
版
教师
版社
师ښ
版社
ښ教
版社
教学
社
学
࠮
出
࠮学
出
学生
出版
生ښ
出版
ښ与
出版
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腰
育
腰三
育出
三角
育出
角形
育出
形的
出
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出
ː
ข
育
ข. 
育
. 教师应ᴂҵ
育出
教师应ᴂҵ
要ර学生ଂଧ证
教育
要ර学生ଂଧ证
଎
东
଎理
东教
理证
东教
证明
东教
明௧
教
௧本
教
本
ݠ明
东
明ᆸ
东
ᆸ౎
东教
౎件
东教
件和
东教
和ፇ
教
ፇ
᛫
山
᛫᣺
山东
᣺଎
山东
଎理
东
理的
东
的
ݠ
山
ݠ，
山
，ښ
山
ښ
要Ц
山
要Ц
山东
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山东
山东
ԩ
社
ԩܸ
社ܸ
ᐿ
社
ᐿ࠽
社
࠽
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版
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版社
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版社
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版社
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出版社
Ц有重要的թ
ᣙҰ线的຋
出版
ᣙҰ线的຋
Տ
育
Տ方
育出
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育出
ข，
育出
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出
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出
Ϗ
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教
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教育
ଢᰴ
教育
ᰴ᤿
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᤿ᣤ
育
ᣤ思
育
思
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教
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教
ᣙҰ
教
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教育
线的
教育
的方
教育
方ข
育
ข
Տ的证明方ข
东教
Տ的证明方ข
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ฌਓ
山
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山东
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山东
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山东
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山
᣺Ὑ
山
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山
明ᆸ
山
ᆸ
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ᤪ൦Ύ
௑，教师可
 
可̿̿
中，ப᣸分ѿᄱ
 
中，ப᣸分ѿᄱ
角᣸”定理判
 
角᣸”定理判
ᤰ᣿生活实
 
实Γ
ᬲएଢ出᣿ᰴ要
社 
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ښ教学中的ຖ
社 
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教育
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教育
Κ据ǒಖ
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教育
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东
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题的
教育出
题和解х᫈
题的
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东教
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东教
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教
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山东教
制ݞ证明题的
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山
᣿
139
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. 关ฌ学生ࠫ
证明思路nj证明方ข的ଂଧৱц和଎理证明能ҧ的ඵ平. 
ښ本ቦ的命题证明中，ᄱࠫ̆
证明的੿ࢼ౏ឭ，证明的思路和方ข更重要，ਫ਼̿
要关
ฌ学生证明思路nj证明方ข的ଂଧৱц，ݠ能աώҰ直᜺୲ͻ等ᣗ˞ᮋѾڡͻ出ᣙҰ线ੋ
ᣙҰ图形，能ա࠲ళ证明的ፇ᝷ᣁӑ˞ࣃ证明的ፇ᝷等. 
3. 关ฌ学生ࠫ
᝷证᣿程的᛫ᤘඵ平. 
本ቦ௧ፙ“平行线的有关证明”˨Ցԡ一ቦ̿
证明˞˟的内ࠔ，要ර学生ᤉ一൦学习
用᜻ᔵ的数学ឦᝓ
౏᛫᣺ட˔证明᣿程，ӊ઺юᆸ᛫ᤘ命题的౎件和ፇ᝷. ڂ൥教师ښក价
௑应ฌਓ学生ښᤈ̏
方᭧的᛫ဘ，ԣ௑ૉ出学生ښ证明᣿程中出ဘ的᛫ᤘ方᭧的᫈
题，̰
Ꮻ۲Щ学生用᜻ᔵ的数学ឦᝓ
ᤉ行᛫᣺的习ਅ和能ҧ. े
ཀྵ，ښក价௑，˷要ฌਓ学生᛫ᤘ
ඵ平的᫽段性，要用ൕᠶ的ᅋ光ᄺॠඈ˔学生᛫ᤘ证明᣿程的གໟᤉ൦，用发࡙
的ᅋ光ក
价学生. 
山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社ੋ
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山东教育出版社
 
140
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

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ੈ̓
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ᄰᝈʼᝈॎᄊʷ̏
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Ὂݠ኎ᒉʼᝈॎ þʼ
ጳՌʷÿᄊভ᠏
njӇᐧࠀေ኎.  Ϳᤇᝮ४ᖍ४ᤈ̏
ፇ᝷ᄊ᣿ሮՙὝͿᑟಪ૶ࣃ
ద۳వ̃
ࠄ֗
ࠀေ᝽௚ᤈ̏
ፇ᝷ՙὝ
వቦ࠲ᆑቃː˔ʼᝈॎЛ኎Ὂ᝽௚ˁ኎ᒉʼᝈॎ֗
ᄰᝈʼᝈॎᄊভ᠏
ԣѼ
ѿ౎͈
దТᄊʷ̏
ፇ᝷Ὂ᝽௚ጳ඀ۇᄰࣱ
Ѭጳ֗
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Ὂᤇ࠲ᆑ
ቃᄰᝈʼᝈॎЛ኎ᄊѼѿ౎͈
Ὂᤉʷ൦ʹ͘
᝽௚ᄊॹ᜶ভ.
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૙
ኄӡቦ ʼᝈॎᄊదТ᝽௚
˟题图̿
一ࣨ
三角形थና
图ྟ
˞ᑀఀ
，ᦡ̿
ե有ൗї᧗
४njǒї͵Ԕ本Ǔ̿
ԣӇ股定
理的证明等内ࠔ的ႃॖ
ᑛྟ
，
ਓښ఍ᇨ本ቦ的˟要内ࠔ. 
山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
141
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ࠄ֗
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˸᣿ᄊࠀေὊੈ̓
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ፇ᝷.

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ࠄὉ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎.὆SAS὇
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ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎.὆ASA὇
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ࠄὉ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎.὆SSS὇
ႀʽ᭧ᄊ۳వ̃
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᝽௚᝵ܳ
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ࣃፃଊጊ᣿ þːᝈѬѿᄱ኎˅Х˗ʷጸ኎ᝈᄊࠫ
᣸ᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎ
Л኎ÿᤈ˔ፇ᝷ὊͿᑟၹదТᄊ۳వ̃
ࠄ֗
ࣃፃ᝽௚᣿ᄊࠀေ᝽௚߲
ՙὝ
ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊښǁABC ֗
ǁAĂBĂCĂ˗ὊįB!>įBĂὊįC!>įCĂὊ
AB!>!AĂBĂ.  
ර᝽὘ǁABC!ĭ!ǁAĂBĂCĂ.  
᝽௚ὉıįA!,įB!,įC!>!ŃὊ
įAĂ,įBĂ,įCĂ>!ŃὊ
ϢʷϢ
1   全等三角形

教ߦ目ಖ
1. ̀
解ͻ˞证明基ᆩ的ї
౎基本事实的内ࠔ，ଂଧ证明
的基本൦ᰡ和书иಫ式. 
2. 能༧活ڡᤂ用“᣸角
᣸”基本事实nj“角᣸角”基
本事实nj“᣸᣸᣸”基本事实
和“角角᣸”定理判定ː˔三
角形全等. 
3. ࠫ
଎理证明的要ර，应
ښ学生ࣃ有的基ᆩ上，ᤉ一൦ྀ
ጷ和ଢᰴ. 
ό1ύښ“平行线的有关证
明”中，ᙊཀྵࣃѵ出̀
М౎基
本事实，ͮ
与Ғ五౎基本事实
一ನ，ښЦʹΎ用௑，˞̀ूូ
ᤇ௧࠲Ց三౎基本事实重新
ѵ出. 
教科书中有关三角形全
等的三౎基本事实，̰
理᝷上
ᝯ，௧可̿
用ԯᎶข证明的，
ڂ൥௧定理. ͮ
˞̀
ᬌͰ学生初
学ї͵的ᬲए和教学的方Χ，
教科书᧔用ੱܸ
公理ʹ系的方
式，ં߲̓
ᄺͻ基本事实，ᤈ
ό1ύ
˷௧Њ᝵的. ڂ˞科学理᝷ʹ系和教学ʹ系௧可̿
不Տ的. ᤈನܫ理，௅不ॖ
־基ᆩᅼគ的学习，˷
不͘ॖ
־ࠫ
学生᤿ᣤ思፥能ҧ的۲Щ和ᝫጷ. 
ϢʷϢ
ᤈ௧ࠫ
下᭧的定理的证明. ᙊཀྵእӭ，˷应ᝨ学生ᤉ行证明，ྀ̿
৙证明的基本要ර和൦ᰡ，
˞下᭧的଎理证明Ϣюܬ. 
本ቦ教科书的证明᣿程෥有ហฌ理ႀ，ᏫԶฌ明̀
本ቦ出ဘ的基本事实和定理. ࠫ
൥，教学௑
可ಪ据学生的Цʹৱц༧活ܫ理. 
山东教育出版社
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社
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东
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142
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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ıįB!>įBĂὊįC!>įCĂὊ
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İǁABC ĭǁAĂBĂCĂ὆ASA὇.  
ႀ൥Ի̿
४҂ʾ᭧ᄊࠀေ὘
ڏ .
ࠀေ 
ːᝈѬѿᄱ኎˅Х˗ʷጸ኎ᝈᄊࠫ
᣸ᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ
኎.὆AAS὇
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İAC > BDὊįA >įD὆Л኎ʼᝈॎᄊࠀ˧὇.  
ڏ .
ಪ૶Л኎ʼᝈॎᄊࠀ˧Ὂੈ̓
Ի̿
४҂Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎njࠫ
ऄᝈᄱ኎.
B
C
A
D
O

第十章 三角形的有关证明
ό1ύݠ͵࠭
੽能判定ː˔三
角形全等的౎件քὝ一ᓊ可̰
下ѵї方᭧ᅌ੤：（1）ࣃᅼ౎
件Ὑ（2）学᣿的定义nj基本事
实nj定理nj性质等Ὑ（3）̰
图
中ᄺ有௄公С᣸nj公С角njࠫ
ᮇ角nj内ᩲ角njՏͯ
角（े
ː
直线平行௑）等. ښ书и௑，ᬔ
ѵ出ࣃᅼ的全等౎件ܱ
，ࠫ
Х
͸౎件应ᯫЏҫ̿
证明，ཀྵՑ
፬合४出ፇ᝷. 
ό2ύ用全等ኀ号“≌”᛫
ᇨː˔三角形全等௑，应要ර
学生ંࠫ
应ᮇག的字ඇиښࠫ
应的ͯ
Ꮆ上，ᤈನ͘
ፌ证明ː
˔三角形全等的᫈
题ࣜ
౏方Χ. 
Γݠ，ႀǁABC
 ≌ǁDEF 可
ᅼ，AB = DE，BC = EF，AC = 
DF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，
∠C = ∠F. 
全等ኀ号“ ≌” 中，
“∽”᛫ᇨ形࿄ᄱՏ（ԁᄱͫ
），“=”᛫ᇨܸ
࠵ᄱ等. ᤈː
ࡏե义可Ք学生ૉ明，全等形
ࡃਓ֊ᅌ形࿄ᄱՏ，ܸ
࠵ᄱ等. 
ό1ύ
ό2ύ
山东教育出版社
版社
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ཀྵՑ
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ኀ号
教
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东
˔三
东
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形全
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
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教育
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山东
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山东
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山东教育出版社
教育出版
出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
143
1. ߹ੇ
ʾ᭧ᄊ᝽௚᣿ሮ.  
ࣃᅼ὘ݠڏὊAB ˁ CD ၎঍ᇀۅ OὊǁAOC!ĭǁDOB.  
ර᝽὘ǁABD!ĭǁDCA.  
᝽௚ὉıǁAOC!ĭǁDOBὊ
İAO!>!DOὊCO!>!BOὊAC!>!DB὆      ὇.  
İ_____!,!_____!>!_____!,!_____Ὂ
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ښǁABD ֗
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 _____!>!_____Ὂ
İǁABD!ĭǁDCA὆      ὇.  
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊM ௧ጳ඀ AB ᄊ˗གὊįC!>įDὊį!>į.  
ර᝽὘ǁAMC!ĭǁBMD.  
ᬤ۶ጷ˸
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊįACB!>įDBCὊAC!>!DB.  
ර᝽὘įA!>įDὊAB!>!DC.  
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊښپ᣸ॎ ABCD ˗ὊAC ࣱ
ѬįBADὊAB!>!AD.  
ර᝽὘AC ࣱ
ѬįBCD.  
3.὆὇ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!DEὊAC!>!DF.  ᜶᝽௚ǁABC!ĭǁDEFὊԶᭊгܙ຋ʷ˔
    ౎͈
὘_______!>!_______Ὂੋ
_______!>!_______Ὑ
὆ኄ  ᮥ
὇


὆ኄ  ᮥ
὇
B
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O
὆ኄ  ᮥ
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B
C
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O
1   全等三角形

ᬤ۶ጷ˸
1. 全等三角形的ࠫ
应᣸ᄱ等Ὑ
AO + BO = DO + COὙAD = 
DAὙDB = ACὙS S S . 
2. ଢᇨ：Ѿ用“A A S ”ᤉ行证
明. 
˸ᮥ

1. ଢᇨ：Ѿ用“S A
S ”证明
ǁACB ≌ǁDBC（Х中 CB = 
BC）. 
2. ଢᇨ：ႀ AC 平分∠BAD，
४∠D A C = ∠B A C ，Ѿ
用“ S
A
S
” 证明ǁ D A C 
≌ǁ B A C ，४҂ ∠D C A 
=∠BCA，ԁ AC 平分∠BCD. 
3.（1）∠A=∠D，BC = EFὙ
   （2）AD = CE，OD = OE，
             AO = CO. 
东教育出版社
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山东

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山东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山东教育出版社
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出版社
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AD = CE，
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O
教育
AO = CO
教育出
AO = CO
 
144
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
A
B
C
D
E
F
὆ኄ ὆὇ᮥ
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὆ኄ ὆὇ᮥ
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὆὇ࣃᅼ὘ݠڏὊAE ֗
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ག OὊįADO!>įCEO!>!Ń.  ᜶᝽௚ǁAOD
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὘_________!>!_________Ὂੋ
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_________!>!_________ .  
Γ
 ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂག B ښįEAF ᄊЯᦊὊCὊD ːགѬѿښįEAF
ᄊː᣸ʽὊ˅į!>įὊį!>į.  
ර᝽὘AC!>!AD.  
᝽௚Ὁıį!>į!.įὊį!>į!.įὊ
! ! !!į!>įὊį!>įὊ
İį!>į.  
ښǁABC ֗
ǁABD ˗Ὂ
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İǁABC!ĭǁABD὆ASA὇.  
İAC!>!AD὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇.  






ڏ .
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˗ᄊࠀေ὆AAS὇᝽௚Γ !Ὕ
Γ
 ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊAB!>!CDὊABĩCDὊCE!>!AF.  
ර᝽὘įE!>įF.  
᝽௚ὉıCE!>!AFὊ
İAC!,!CE!>!AC!,!AFὊ
ԁ AE!>!CF.  
ıABĩCDὊ
ڏ .



第十章 三角形的有关证明
ό1ύ੽出全等三角形的ࠫ
应元ጉ，௧判定和ᤂ用全等三
角形的关᪄. ࠫͯ
Ꮆ不Տ的全等
三角形౏ឭ，ݠ౧ࣃᅼ౽̏
᣸
ᄱ等ੋ
౽̏
角ᄱ等，ѷᆸ定ࠫ
应᣸和ࠫ
应角的ҩข௧：Զ有
ᄱ等的᣸ੋ
角੦可̿
௧ࠫ
应᣸ੋࠫ
应角Ὑࠫ
Х̵
的᣸ੋ
角౏
ឭ，ࠫ
应᣸的ࠫ
角௧ࠫ
应角，ࠫ
应角的ࠫ
᣸௧ࠫ
应᣸Ὑː౎ࠫ
应᣸的݃
角௧ࠫ
应角，ː˔ࠫ
应角的݃
᣸௧ࠫ
应᣸. Գܱ
，
一ᓊڡ，全等三角形的公С᣸
௧ࠫ
应᣸，公С角௧ࠫ
应角，ࠫ
ᮇ角௧ࠫ
应角. 教学௑，应ฌ
ਓ̰
不Տ的角एҫू
ᝫጷ. 教学
中ᤇ要ฌਓ᫹ൣ
学生ંࠫ
角与ࠫ
应角njࠫ
᣸与ࠫ
应᣸ຉ˞一
េ. ൥ܱ
，ː˔任ਓ的三角形˨ᫎ
௄ਫ਼់ឺ
௧ࠫ
应角，ឺ
௧ࠫ
应᣸. 
ό2ύ证明᣿程ݠ下：
ı ∠ACB = 180c- ∠3，∠ADB = 180c- ∠4，∠3 =∠4，
İ ∠ACB =∠ADB. 
ښǁABC 和ǁABD 中，ı ∠ACB =∠ADB，∠1 =∠2，AB = AB，
İ ǁABC ≌ǁABD（A A S ）. 
İ AC = AD（全等三角形的ࠫ
应᣸ᄱ等）. 
ό3ύΓ 2 和Γ 3 ښ判定ː˔三角形全等Ց，ᤉ一൦Ѿ用全等三角形的性质，证明角ᄱ等ੋ
线段
ᄱ等. 证明ː线段ᄱ等ੋ
ː角ᄱ等，ᯫЏ考ᘽː线段ੋ
ː角分ѿښ哪ː˔三角形内，ᤈː˔三角形
ό1ύ
ό2ύ
ό3ύ
山东教育出版社
版社
三
版
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出版
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山
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山东教育出版社             山东教育出版
山东教育出版社
山
出版社ᮥ
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出版
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出版
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
145
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ښǁABE ֗
ǁCDF ˗Ὂ
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İǁABE!ĭǁCDF὆SAS὇.  
İįE!>įF὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.  
ᬤ۶ጷ˸
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!ADὊAF!>!AGὊBF!>!DG.  
ර᝽὘įBAG!>įDAF.  
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ˗ὊBF!>!DEὊDEĩABὊDFĩAC.  
ර᝽὘D ˞ BC ᄊ˗ག.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊག EὊF ښጳ඀ BC ʽὊBF!>!CEὊįAEB!>įDFCὊįB!>įC.  
ර᝽὘ǁABE!ĭǁDCF.  
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!ACὊįD!>įEὊį!>į.  
ර᝽὘ǁABD!ĭǁACE.  


὆ኄ  ᮥ
὇
1   全等三角形

௧ա可能௧全等三角形，ᔪ有
可能ѷ᝺ข证明ː˔三角形全
等. ᤈ௧一መ基本的和重要的思
考方ข，应ᝨ学生ྀ
ጷଂଧ. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ଢᇨ：ЏѾ用“S S S ”基本
事实证明ǁABF ≌ǁADG，
४出∠BAF = ∠DAG，ਫ਼̿
∠BAF + ∠FAG = ∠DAG + 
∠GAF，ԁ∠BAG = ∠DAF. 
2. ଢᇨ：ႀDE ĩ AB，४∠B 
= ∠CDEὙႀ DF ĩ AC，४
∠BDF = ∠CὙԡ BF = DE，
Ѿ用“A
A
S ”证明ǁBFD 
≌ǁDEC，̰
Ꮻ可४ፇ᝷. 
˸ᮥ

1. ଢᇨ：ႀ BF = CE，可४ BE 
= CFὙгѾ用“A S A ”可证. 
2. ଢᇨ：ႀ∠1 = ∠2，可४
∠BAD = ∠CAEὙгѾ用
“A A S ”可证. 
山东教育出版社
山
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教育出版ᮥ
὇
教ᮥ
὇
ښǁ
东教
ښǁABC 
东教
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东
BC ᄊ˗ག
东教
ᄊ˗ག. 
教
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山
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山

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山东教育
山东教育出版社
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出版
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出版
D>į
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ĭǁ
育
ǁACE.  
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ଂଧ. 
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Ѿ用
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出版
“S S S
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S S S
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教育
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东教
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东教
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东
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山东教育出版社
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社
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”可证
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1 =
版
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社
可
=
出
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出版
∠C
出版
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出版
AE
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EὙ
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Ὑ
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育
A S ”可证
育出
”可证. 
出
. 
 
146
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!ADὊBC!>!DC.  
ර᝽὘įB!>įD.  
஝ߦေᝍ
B
A
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Γ
 ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊǁABC!ĭǁAĂBĂCĂὊADὊAĂDĂѬѿ௧ǁABC ֗
ǁAĂBĂCĂᄊᰴ.  
ර᝽὘AD!>!AĂDĂ.  
᝽௚ὉıǁABC!ĭǁAĂBĂCĂὊ
İAB!>!AĂBĂ὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇Ὂ
! įB!>įBĂ὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.  
ıįADB!>įAĂDĂBĂ>!ŃὊ
İǁABD!ĭǁAĂBĂDĂ὆AAS὇.  
İAD!>!AĂDĂ὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇.  
ڏ .
ਇʷਇ
὆὇ݠ౧ː˔Л኎ʼᝈॎࠫ
ऄ᣸ʽᄊᰴښʼᝈॎᄊܱ
ᦊὊͿᤇᑟ४҂ʽ᭧
ᄊፇ᝷ՙὝ

第十章 三角形的有关证明
3 . ଢᇨ：ᤌଌ A C ，Ѿ 用
“S S S ”可证. 
ό1ύࠫ
全等三角形౏ឭ，ࠫ
应᣸ᄱ等和ࠫ
应角ᄱ等的重要
性质௧证明ː౎线段ᄱ等和ː
˔角ᄱ等的˟要Κ据，ڂ൥，
教学中应重᜽ᤈ一重要性质的
教学. 应े
ฌਓ，ႀ全等三角形
的定义可ᅼ，全等三角形中的
ਫ਼有ࠫ
应线段和ࠫ
应角ᦐ௧分
ѿᄱ等的. 
Γ 4 和Γ 5 උҒ᭧的Γ
题复ా
一̏
，˞̀࠭
ර证题思
路，教科书ښ证明Ғᤰ᣿ӵᤰ
的形式ፌ出̀
እӭ的分ౢ
. 分ౢ
ข௧̰
ፇ᝷К੤，࠭
੽ፇ᝷ੇ
ቡ的౎件，ཀྵՑં
ᤈ̏
౎件
ᄺͻ新的ፇ᝷，г࠭
੽新ፇ᝷ੇ
ቡ的౎件，ݠ൥下ԝ，直ᒰ
ႀࣃᅼ౎件௭ཀྵ଎४ፇ᝷˞ൣ
. 
ᤈ一思考方ข，概઺ᡑ౏ࡃ௧
“ੰ
౧ጊڂ”. 分ౢ
ขښ࠭
ර
证题思路中ᡑᅌӡ分重要的ͻ
用，̭
Ց࠲ፃ࣢用҂，要ᤪ൦
Ύ学生学͘
分ౢ
ข. 书и证明᣿程௑用的௧፬合ข，፬合ข的思考᣿程௧ႀࣃᅼ౎件҂ፇ᝷，与分ౢ
ข্
ݞᄱԦ. ࠫ̆
፬合ข，概઺ᡑ౏ࡃ௧“ႀڂ࠮౧”. ᤰ᣿Γ题教学，Ύ学生学͘
用分ౢ
ข࠭
ර
证题思路，ཀྵՑ用፬合ข书и证明᣿程. 
ਇʷਇ
（1）证明方ขՏΓ 4Ὑ
ό1ύ
山东教育出版社
版社
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版
质的
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出
等三
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三角
出版
角形
出版
形
三
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三角
育出
角形
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形中
育出
中的
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育
和ࠫ
育ࠫ
应
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应角
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角ᦐ
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ᦐ௧
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௧
Γ
东
Γ 4
东
4 和
东教
和Γ
东教
Γ 5
教
5
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山
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山
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山东ా
一
山东
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山
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山
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山
教科
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形
山
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山
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山东教育出版社             山东教育出版
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A
育
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山东教育出版社
教育出版
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᣿Γ
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东教
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教
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
147
὆὇ݠ౧ː˔Л኎ʼᝈॎࠫ
ऄ᣸ʽᄊᰴࡃ௧សʼᝈॎᄊʷ౎᣸քὝ
὆὇ᤰ᣿Γ  ֗
ʽ᭧ᄊː˔᫈ᮥ
ὊͿᑟ४҂̤
˦ፇ᝷ὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
Γ
 ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊAB!>!CDὊBE!>!DFὊįB!>įD.  
ර᝽὘὆὇AE!>!CFὙ
὆὇AEĩCFὙ
὆὇įAFE!>įCEF.  
ڏ .
᜶᝽௚ː౎ጳ඀὆ੋ
ː
˔ᝈ὇ᄱ኎ὊԻ̿
ᤰ᣿ᤈː
౎ጳ඀὆ੋ
ː˔ᝈ὇ਫ਼ښᄊ
ː˔ʼᝈॎЛ኎౏᝽௚.  
᝽௚὘὆὇ښǁABE ֗
ǁCDF ˗Ὂ
ıAB!>!CDὊįB!>įDὊBE!>!DFὊ
İǁABE!ĭǁCDF὆SAS὇.  
İAE!>!CF὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇.  
὆὇ıǁABE!ĭǁCDFὊ
İįAEB!>įCFD὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.  
İAEĩCF.  
὆὇ښǁAEF ֗
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ıAE!>!CFὊįAEF!>įCFEὊEF!>!FEὊ
İǁAEF!ĭǁCFE὆SAS὇.  
İįAFE!>įCEF὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.  
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1. ࣃᅼ὘ݠڏὊǁABC!ĭǁAĂBĂCĂὊADὊAĂDĂѬѿ௧ǁABC ֗
ǁAĂBĂCĂᄊᝈࣱ
Ѭጳ.  
 ර᝽὘AD!>!AĂDĂ.  
1   全等三角形

（2）可直ଌѾ用全等三角
形ࠫ
应᣸ᄱ等४҂Ὑ
（3）全等三角形ࠫ
应᣸上
的ᰴᄱ等. 
ᤰ᣿“ਇ一ਇ”，ᤇ应ᝨ
学生感ৢ
：ᔪ要证明“全等三
角形ࠫ
应᣸上的ᰴᄱ等”，ࡃᭊ
要分三መৱц౏证明. ᤈ௧一መ
分ዝᝧ᝷的思ਇ，可有ਓគڡ
Ք学生ຖᤩ分ዝ的思ਇ方ข. 
ό1ύΓ 5 的解ን，ᭊː次证
明三角形全等. 应े
ฌਓ，Ғ一
次三角形全等的ፇ᝷௧Ց一次
证明三角形全等的౎件. ښ教学
中，ዝͫ
ᤈನ证明三角形全等
一ᓊ不ᡔ᣿ː次. 
ό1ύ
ᬤ۶ጷ˸
1. ଢᇨ：ႀǁABC ≌ǁA′B′C′，可४∠B = ∠B′，AB = A′B′，∠BAC = ∠B′A′C′Ὑгႀ AD，A′D′ 分
ѿ௧ǁABC 和ǁA′B′C′ 的角平分线，可४∠BAD = ∠B′A′D′，可证ǁABD ≌ǁA′B′D′（A S A ），
ႀ൥४ AD = A′D′. 
山东教育出版社
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山东教育
山东教育出版社
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148
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!ACὊAD!>!AEὊBD ֗
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ག F.  
ර᝽὘὆὇įB!>įCὙ
὆὇ǁBEF!ĭǁCDFὙ
὆὇BF!>!CF.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
1. ර᝽὘Л኎ʼᝈॎࠫ
ऄ᣸ʽᄊ˗ጳᄱ኎.  
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ֗
ǁAĂBĂCĂ˗ὊADὊAĂDĂѬѿ௧ǁABC ֗
ǁAĂBĂCĂᄊ
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 ර᝽὘὆὇įB!>įBĂὙ὆὇ǁABC!ĭǁAĂBĂCĂ.  
὆ኄ  ᮥ
὇
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊABĩCDὊAD ֗
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ག OὊ
EF ᣿ག OὊѬѿˁ ABὊCD ᄱ̔̆
ག FὊEὊ
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ර᝽὘὆὇OC!>!OBὙ὆὇OE!>!OF.  
὆ኄ  ᮥ
὇

第十章 三角形的有关证明
2. ଢᇨ：（1）Џ证ǁABD ≌ 
   ǁACE（S A
S ），可४∠B 
=∠C. 
   （2）Џ证 BE = CD，可证
            ǁBEF ≌ǁCDF（A A S ）. 
   （3）ႀ（2）௜४ BF = CF. 
˸ᮥ

1. ଢᇨ：͌
Γ 4，ฌਓи出ࣃ
ᅼnjර证ࣳ
ႇ出ᄱ应图形，
Ѿ用“S A S ”证明. 本题ਓښ
ᝨ学生ᤰ᣿模͌
Γ 4 ౏感ᅼ
一下஡字题的证明ಫ式，˞
下ᓬ有关஡字题的证明Ϣᩔۙ
. 
2. ଢᇨ：Џ证ǁABD ≌ǁA′B′D′
（S S S ），可४∠B = ∠B′，
г 证ǁ A B C ≌ǁ A ′ B ′ C ′
（S A S ）. 
3. ଢᇨ：Џ证ǁAOB ≌ǁDOC
（A
A
S ੋ
 A
S A
），г 证
ǁBOF   ≌ǁCOE（A S A ）. 
山东教育出版社
版社
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S A S ”
东教
”证
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山东教育出版社             山东教育出版社
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山
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山东教育
教育出版社
出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
149

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ᤇᝮ४ੈ̓
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តѾၹࣃదᄊ۳వ̃
ࠄ֗
ࠀေ᝽௚ᤈ̏
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ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊښǁABC ˗ὊAB!>!AC.  
ර᝽὘įB!>įC.  
ڏ .
ڏ .ੈ̓
ఢፃѾၹઉԯᄊவ
ขឭ௚̀
኎ᒉʼᝈॎᄊː˔
अᝈᄱ኎὆ݠڏ .὇. 
ઉ჉࠲኎ᒉʼᝈॎѬੇ̀
ː
˔Л኎ʼᝈॎ.  ڂ൥ᤰ᣿ͻअ᣸ʽ
ᄊ˗ጳὊԻ̿
४҂ː˔Л኎ᄊʼᝈ
ॎὊ̰
Ꮻ᝽௚ᤈː˔अᝈᄱ኎. 
2   等腰三角形

教ߦ目ಖ
1. ፃԋ“ଊጊ—发ဘ—࿯
ਇ—证明”的᣿程，能ܵ
用፬
合ข证明等腰三角形的性质定
理和判定定理. 
2. ଂଧ等腰三角形的性质
和判定，ଂଧ等᣸三角形的性
质和判定，能༧活ڡᤂ用߲̓
ᤉ行᝷证. 
3. ̀
解等腰三角形和等᣸
三角形˨ᫎ
的关系，̀
解߲̓
的性质定理和判定定理˨ᫎ
的
关系. 
4. ̀
解直角三角形中 30c
角ਫ਼ࠫ
的᣸等̆
ப᣸的一ӧ的
性质. 
5. ፇ合实Γʹ͘
Ԧ证ข的
ե义. 
本ᓬ的˟要ᆑቃࠫ
៶௧等
腰三角形和等᣸三角形. 教科书
᝺ᝠ的ื
程ܸ
ᒱ௧：证明等腰
三角形nj等᣸三角形的性质定
理ԣ判定定理Ġ应用定理解х᫈
题. 
等腰三角形௧一መ࣢᜹的
ї͵图形. 学生ښ七年级上册ఢፃᤰ᣿ઉጮ等方ขଊጊࣳ
发ဘ̀
等腰三角形的性质，本ᓬ࠲ࠫ
ᤈ̏
性质ᤉ行证明，Տ௑ᤇ࠲ଊጊࣳ
证明等腰三角形的判定定理.
ό1ύ等腰三角形（ӊ઺等᣸三角形）的性质学生ࣃፃଊጊ᣿，ᤈ᧗可Џᝨ学生ࡊ可能回ॺ出
౏，ཀྵՑг考ࠣ
哪̏
能ܵ
ቡԁ证明. 
ό2ύ教学௑教师要ฌਓळ࠮学生ಪ据౎件൤ᆸnj᜻ᔵڡи出“ࣃᅼ”“ර证”，有ਓគڡ۲Щ学
生ࠫ
஡字ឦᝓ
njኀ号ឦᝓ
和图形ឦᝓ
的ᣁ૱能ҧ，关ฌ证明᣿程ԣХ᛫᣺的合理性. 
ό3ύᤈ᧗ᝨ学生回ॺ̿
Ғ的ઉጮ᣿程，ᄬ的௧ळ࠮学生发ဘ证明的思路. 学生一ᓊ可̿
ႀઉጮᆸ
定ᣙҰ线的ͯ
Ꮆ，ͮࠫ̆
ͻᣙҰ线的᜻ᔵԬᤘ̯
ᭊ教师ࣟ
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山东教育
山东教育出版社
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150
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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ᤈʷࠀေԻ̿
እᤘ˞὘኎ᝈࠫ
኎᣸.  

第十章 三角形的有关证明
本ቦ教科书中的证明᣿程
෥有ហฌ理ႀ，Զฌ明̀
与本
ቦᆑቃ内ࠔᄱ关的基本事实和
本ቦ出ဘ的定理nj଎᝷. ࠫ
൥，
教学௑可ಪ据学生的Цʹৱц
༧活ܫ理. 
ό1ύ教学中，应ᴂҵ学生࠭
රХ̵
证明方ข. 实ᬅ上，ᬔͻ
अ᣸中线ܱ
，ᤇ可̿
ᤰ᣿ͻᮇ
角平分线的方ข证明ፇ᝷，൥
௑证明的Κ据௧基本事实S A S . 
ᤈːመ证明方ขᦐ௧受ઉጮ的
թ发（ᣉࠫ
ሦ），ᤰ᣿ͻᣙҰ
线࠲图形分ੇ
ːᦊ分，г证明
ᤈːᦊ分全等. 教师可̿
ळ࠮
学生分ౢ
ᤈːመ证明方ข的С
性，ҫງࠫ
等腰三角形性质的
ᝣគ. 
教学௑，可能͘
有学生ᤰ
᣿ͻअ᣸上的ᰴࣳ
Ѿ用Ӈ股定
理౏证明ᤈ一定理. ࠫ
൥，教师
一方᭧要δઐ学生的学习ሥౝ
性，Գ一方᭧˷要ळ࠮学生ᝣ
គ҂：ੈ̓
ᙊཀྵښ̿
Ғଊጊࣳ
ᝣគ̀
Ӈ股定理，ͮ
࠻ళ用基
本事实证明᣿，ਫ਼̰̿
᤿ᣤ上
౏ឭ，Ӈ股定理不能ͻ˞ᤈ᧗证明的Κ据. 
൥ܱ
，不຋ҫᣙҰ线˷能证明“等᣸ࠫ
等角”. ݠ教科书图 10-7，ښǁABC 和ǁACB 中，
ı AB = AC，∠A = ∠A，AC = AB，
İ ǁABC ≌ǁACB（S A S ）. 
İ ∠B = ∠C. 
ᤈ一方ข的੿ࢼ性ᣗू
，关᪄௧ં
一˔等腰三角形ᄺੇ
ː˔三角形. 任͵一˔三角形ᦐ能与߲
本ᢶ重合，ԁ一定有 AB = AB，AC = AC，ͮ
Զ有等腰三角形࠲图形෹ࠫ
ሦᣉᏢᣁ，ਫ਼४҂的图形
与Ԕ图形重合，ԁ AB = AC，AC = AB. ࠫ̆
ᤈ一መ方ข，教师可ಪ据实ᬅৱцх定௧աՔ学生̮
ፁ. 
Գܱ
，应ᴂҵ学生࠲ᒭࣂ的证明方ขԣᒭࣂࠫ
ᤈመ方ข的理解与Х̵
Տ学ᤉ行̔ื
，̰
ᏫΎ学
生ᖍ४思፥能ҧ的ଢӤ. 
ό1ύ
ό2ύ
ό3ύ
山东教育出版社
版社
ᤈ
社
ᤈ࠭
版࠭
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版
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出版
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出版
ᮇ
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育
明ፇ
育出
ፇ᝷
育出
᝷，
出
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出
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育
本事
育出
事实
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实S A
育出
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方ข
教育
ขᦐ
教育
ᦐ௧
教育
௧受
育
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育
ઉ
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ᣉࠫ
东教ࠫ
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ሦ）
东教
），
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，ᤰ
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东教ੇ
ː
东教
ːᦊ
教
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山
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山东
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山东教育出版社
山
ᝬʷᝬ
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社
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社
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社
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社
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社

出版社
山东
኎
出版
኎. 
出版
. 
东
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东教
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教育
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教育
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D
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C
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CD
C
育
ᤇ௧ᮇᝈᄊࣱ
Ѭ
东教
ᤇ௧ᮇᝈᄊࣱ
Ѭ
ᝈॎᮇᝈᄊࣱ
Ѭጳ
山
ᝈॎᮇᝈᄊࣱ
Ѭጳ
Ғ᭧ࣃፃ᝽௚
 
Ғ᭧ࣃፃ᝽௚
దː˔ᝈᄱ኎
 
దː˔ᝈᄱ኎
ݠڏ
 
ݠڏ
AC
 
AC
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股
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社
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，
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社
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社
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版
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版社
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版社
ሥౝ
版社
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出版
要ळ
出版
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出版
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版社
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版社
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版社
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出版
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出版
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股
育
股定
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定理
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࠻
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教育
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育
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教育
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山东教育出版社
教育出版社
ڏ
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出版
௧኎ᒉʼᝈॎ. 
版
. 
教科书图
山东教
教科书图10
东教
10-
东
-7
教
7
151
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ό2ύᤈ一ፇ᝷ᤰ࣢እᤘ˞“三线合一”，ԁݠ౧౽线段௧一˔等腰三角形的“三线”
（ᮇ角的平分线njअ᣸上的中线njअ᣸上的ᰴ线）˨一，ᥧ˦߲
必定˷௧ᤈ˔等腰三角形
的Գ“ː线”. 
ᝬʷᝬ
ᤈ᧗应ळ࠮学生Щੇ
“Ԧ᣿౏”思考᫈
题的ਓគ，ԁ思考一˔命题的ᤤ命题的ᄾϜ，
ڂ˞ᤈ˷௧ᖍ४数学ፇ᝷的一౎᤭य़. 
ό3ύ学生可能͘
ႀҒ᭧定理的证明ᖍ४թ发，උݠͻ BC 的中线，ੋ
ͻ∠A 的平分线，ੋ
ͻ BC 上的ᰴ，教师应ᝨ学生思考判ல哪一መ方ข可行（Ցːመ方ข௧可行的），ᤈ௧
۲Щ学生଎理能ҧ的ݞ఻͘
，˷௧学生ʹ̰͘
基本事实和ࣃᅼ定理出发ᤉ行଎理的公理ӑ
思ਇ的఻͘
，教师应ฌਓळ࠮. 教学中应ᴂҵ学生ો要ර࠲଎理证明᣿程书и出౏. 
山东教育出版社
౏
社
౏”
社
”思
社
思考
社
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版社
一౎᤭य़.
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出版
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出版
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出版
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，教师应ฌਓ
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山东教育出版社             山东教育出版社
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命
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命题
出版
题的
出版
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ᄾϜ
版社
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，
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ͻ
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育
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东教
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东教
出发
教
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教
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࠲଎理证明᣿
山东教
࠲଎理证明᣿
山东教育出版社
 
152
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
1. Ѿၹͻ኎ᒉʼᝈॎᮇᝈᄊࣱ
ѬጳᄊவขὊ᝽௚኎ᒉʼᝈॎᄊː˔अᝈᄱ኎.  
2. ಪ૶኎ᒉʼᝈॎভ᠏
ࠀေ܍ቇ὘
ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ˗ὊAB!>!AC.  
὆὇ıADĭBCὊ
   İį_______!>į_______Ὂ_______!>!_______Ὑ
὆὇ıAD ௧अ᣸ʽᄊ˗ጳὊ
   İ_______!ĭ!_______Ὂį_______!>į_______Ὑ
὆὇ıAD ௧ᮇᝈᄊࣱ
ѬጳὊ
   İ_______!ĭ!_______Ὂ_______!>!_______.  
ᬤ۶ጷ˸
C
A
B
D
὆ኄ  ᮥ
὇
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ᫈ᮥ
ᝍх
1. ݠڏὊښǁABD ˗ὊC ௧᣸ BD ʽᄊʷགὊ˅ ACĭBDὊAC!>!BC!>!CD.  
὆὇ර᝽὘ǁABD ௧኎ᒉʼᝈॎὙ
὆὇රįBAD ᄊए஝.  
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ݠڏὊAC ֗
 BD ᄱ̔̆
ག OὊ˅ ABĩDCὊOA!>!OB.  
ර᝽὘OC!>!OD.  
D
C
O
A
B
὆ኄ  ᮥ
὇
3. ݠڏὊʷᓝᓕ̰
 A ܫѣԧὊ̿
  km / h ᄊᤴएՔ൤ӒவՔ
ᓈᛡὊፃ᣿ . h ҂᣺ B ܫ.  Ѭѿ̰
 AὊB ܫమ༥܉ CὊ
฾४įNAC!>!ŃὊįNBC!>!Ń.  ර̰
 B ܫ҂༥܉ C ᄊ
ᡰሏ.  
Ń
Ń
὆ኄ  ᮥ
὇

第十章 三角形的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1. ଢᇨ：Ѿ用“S A S ”证明. 
2.（1）BAD，CAD，BD，CDὙ
  
 （2）AD，BC，BAD，CADὙ
  
 （3）AD，BC，BD，CD. 
˸ᮥ

1.（1）ଢᇨ：证明ǁABC ≌ 
             ǁADC（S A S ）Ὑ
   （2）∠BAD = 90c. 
2. ଢᇨ：Џ证∠A =∠B，г
Ѿ用 AB ĩ DC，可证∠C = 
∠D.
3. BC = 30 km
.  
山东教育出版社
版社
὆
社
὆
社

证明ǁ
育
证明ǁABC 
育出
ABC ≌
育出
≌
DC
教
DC（
教
（S A S
教育
S A S ）
育
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育
Ὑ
∠
东
∠BAD =
东教
BAD = 90
教
90c
教
c
ଢᇨ
东
ᇨ：
东
：Џ
东教
Џ证
东教
证∠
教
∠
Ѿ
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Ѿ用
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山东
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B ĩ
东
ĩ
∠
山
∠D.
山
D.
C =
山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
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__. 
版社
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社
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版
B
           山东教育
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山
˗ὊC 
山
C ௧᣸
山东
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山东
BD ʽᄊ
东
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ABD
山
ABD ௧኎ᒉʼᝈॎ
山
௧኎ᒉʼᝈॎ
BAD
BAD ᄊए஝
山
ᄊए஝. 
山
. 
      
2.
 
2. ݠ
山东教育
教育
教育出版社
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出版
Ք൤ӒவՔ
出版
Ք
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出版
ܫమ༥܉C
出版
CὊ
出版
Ὂ̰
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B
育
B ܫ҂༥܉
育出
ܫ҂༥܉ C 
出
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出
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版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
153
ښ኎ᒉʼᝈॎ˗ͻѣːअᝈᄊࣱ
ѬጳὊᤈː˔अᝈᄊࣱ
Ѭጳᄱ኎ՙὝͿᑟ
᝽௚Ϳᄊፇ᝷ՙὝ
Γ
 ᝽௚὘኎ᒉʼᝈॎːअᝈᄊࣱ
Ѭጳᄱ኎.  
ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊښǁABC ˗ὊAB!>!ACὊBDὊCE ௧ǁABC ᄊᝈࣱ
Ѭጳ.  
ර᝽὘BD!>!CE.  
᝽௚ὉıAB!>!ACὊ
İįABC!>įACB὆኎᣸ࠫ
኎ᝈ὇.  
ıį!>!
 įABCὊį!>!
 įACBὊ
İį!>į.  
ښǁBDC ֗
ǁCEB ˗Ὂ
ıįACB!>įABCὊBC!>!CBὊį!>įὊ
İǁBDC!ĭǁCEB὆ASA὇.  
İBD!>!CE὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇.  
ਇʷਇ


ڏ .
ᝬʷᝬ
኎ᒉʼᝈॎː౎ᒉʽᄊ˗ጳᄱ኎ՙὝː౎ᒉʽᄊᰴքὝឰ᝽௚Ϳᄊፇ᝷Ὂࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
Γ
 
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂག DὊE ښǁABC ᄊ᣸ BC ʽὊAB!>!ACὊ
AD!>!AE.  
ර᝽὘BD!>!CE.  
Ѭౢ
Ὁڂ˞ǁABC ֗
ǁADE ௧దНСᮇགὊࣳ
˅
अ᣸ښՏʷᄰጳʽᄊ኎ᒉʼᝈॎὊਫ਼̿
ͻǁABC὆ੋ
ǁADE὇ᄊᰴ AFὊԻՏ௑ࣱ
Ѭ BCὊDE.  
᝽௚Ὁͻ AFĭBCὊۇᡜ˞ག FὊѷ AFĭDE.  
ıAB!>!ACὊ
ڏ .
2   等腰三角形

ਇʷਇ
Џ ᝨ学生ፃ᣿ᒭࣂ的᜺ࠣ
njଊጊ发ဘ等腰三角形ːअ
角的平分线ᄱ等，гळ࠮̵̓
ԝ证明. ᤈ᧗应ᝨ学生ᤉ一൦ʹ͘
证明的必要性. 
Γ 1ࠫ̆
本Γ，教科书ͻ˞ૉ
࠮学生的ᔵΓፌ出̀
᜻ᔵ的证
明. 
Γ 1 ௧஡字题，ԁ证明用
ឦᝓ
᛫ᤘ的一˔数学命题. ႀ߲̆
ӊ઺̀
证明一˔ї͵命题
的߹ட᣿程，̰
分ౢ
౎件njፇ
᝷，ಪ据题᝺ႇ图，用ኀ号ឦᝓ
и出ࣃᅼnjර证，直҂߹ੇ
证明，ඈ一ᦊ分ᦐ有ᬲए，ਫ਼̿
学生开ݽଌ受௑͘
感҂有一
定ڈᬲ. ˞解хᤈ˔ᬲག，ᯫЏ
要ૉ࠮学生࠲౎件和ፇ᝷ᣁӑ
˞ї͵ឦᝓ
，и出ࣃᅼnjර证ࣳ
ႇ出图形. 
ό1ύѾ用“S A S ”可证明等腰三角形ː腰上的中线ᄱ等ὙѾ用“A A S ”可证明等腰三角形ː腰
上的ᰴᄱ等. 
ό2ύ等腰三角形अ᣸上的三౎˟要线段重合的性质（ԁ“三线合一”），௧等腰三角形的重要
性质，学生ښᤂ用௑ࠔ௜出ဘᩲឨ. 应Ք学生ૉ出，ស定理ੇ
ቡ的౎件௧：（1）三角形中有ː᣸ᄱ
等Ὑ（2）三角形中的一౎线段˞三౎˟要线段˨一：ᮇ角的平分线ੋ
अ᣸上的中线ੋ
अ᣸上的ᰴ. 
Զ有Цܬᤈː˔౎件，੦能४出ᤈ౎线段˷௧Х̵
ː౎˟要线段的ፇ᝷. 
ό1ύ
ό2ύ
山东教育出版社
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山东
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山东教育
山东教育出版社
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版社
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154
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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ՏေὊıAD!>!AEὊ
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2. ࣃᅼ὘ݠڏὊįCAE ௧ǁABC ᄊܱ
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ර᝽὘AB!>!AC.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!ACὊįABD!>įACE.  
ර᝽὘὆὇OB!>!OCὙ὆὇BE!>!CD.  
1. ර᝽὘኎ᒉʼᝈॎअ᣸ᄊ˗ག҂ːᒉᄊᡰሏᄱ኎.  
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!ACὊDB!>!DCὊAD ᄊण᫂
ጳ̔
 BC ̆
ག E.  
ර᝽὘BE!>!CE.  

第十章 三角形的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1. ଢᇨ：Џႀ DB = DC，证
明∠DBC = ∠DCB，г证
∠ABC = ∠ACB. 
2. ଢᇨ：ႀ∠1=∠B，∠2 = 
∠C，可४∠B = ∠C. 
˸ᮥ

1. ࣃᅼ：ݠ图，ښǁABC 中，
AB = AC，D ௧᣸ BC 的中
ག，DEľAB，DFľAC，垂
ᡜ分ѿ˞ག E，F. 
ර证：DE = DF. 
证明：可Ѿ用“A
A
S ”证
ǁBED ≌ǁCFD. 
2. ଢᇨ：ЏѾ用“S S S ”证明ǁABD ≌ǁACD，४ AE ௧等腰三角形 ABC 的ᮇ角的平分线，̰
Ꮻ 
AE ˷௧अ᣸ BC上的中线. 
3. ଢᇨ：（1）证明∠OBC = ∠OCBὙ
  （2）证明ǁBCD ≌ ǁCBE. 
C
B
A
D
E
F
山东教育出版社
版社
1.
社
1. ࣃ
社
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社
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版
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出版
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出版
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东
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东教
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东教
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东教
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山
AB
山
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山东
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东
，D
东
D
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ག，
山
，D
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出版社             山东教育出版社
社
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出版
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山
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山东
ABC ᄊܱ
ᝈ
山东
ᄊܱ
ᝈ
          ᮥᮥ


ᅼគ੿ᑟ
ᅼគ੿ᑟ
1.1. ර᝽὘኎ᒉ
 
ර᝽὘኎ᒉ
2.2. ࣃᅼ὘
ࣃᅼ὘
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山东教育出版
山东
山
ଢ
教
ଢᇨ
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ᇨ：
教
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教育
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D
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出版
F
山东教育出
教育出版社
出版社
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腰三
东教
三角
东教
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教
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
155
ϢʷϢ
὆὇ʷ˔኎ᒉʼᝈॎ໘ᡜ̤
˦౎͈
௑Χੇ
˞኎᣸ʼᝈॎὝ
὆὇Ϳᝣ˞దʷ˔ᝈ኎̆
 Ńᄊ኎ᒉʼᝈॎ௧኎᣸ʼᝈॎՙὝͿᑟ᝽௚Ϳ
ᄊፇ᝷ՙὝં
Ϳᄊ᝽௚ন᡹ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
ᝬʷᝬ
ࠀေ
 దʷ˔ᝈ኎̆
 cᄊ኎ᒉʼᝈॎ௧኎᣸ʼᝈॎ.  
Ϳᤇᝮ४ၹː˔ե Ńᝈᄊʼᝈࡇૃ
ѣʷ˔኎᣸ʼᝈॎՙὝੈ̓
ఢၹૃ
ѣ
ᄊڏॎ४҂ᄰᝈʼᝈॎ˗ Ńᝈਫ਼ࠫ
ᄊᄰᝈ᣸ˁப᣸ᄊܸ
࠵ТጇὊͿᑟ᝽௚Ϳ
ᄊፇ᝷ՙὝ
ࣃᅼ὘ݠڏ .὆὇ὊښǁABC ˗ὊįACB!>!ŃὊįA!>!Ń.  
ර᝽὘BC!>!
 AB.  
὆὇
὆὇
ڏ .
᝽௚Ὁण᫂
 BC ᒰག DὊΎ CD!>!BCὊᤌଌ AD὆ݠڏ .὆὇὇.  
ıįACB!>!ŃὊ
İįACD!>!Ń.  
ıAC!>!ACὊįACB!>įACDὊBC!>!DCὊ
İǁABC!ĭǁADC὆SAS὇.  
İAB!>!AD὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇Ὂ
įBAC!>įDAC!>!Ń὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.  
2   等腰三角形

ᝬʷᝬ
教学௑，˷可̿
ᝨ学生ᯫ
Џ考ᘽ一˔更˞开ஊ的᫈
题：
“一˔三角形໘ᡜ̤
˦౎件௑
Χੇ
˞等᣸三角形Ὕ”ݠ౧有
学生ଢ出“三˔角ᦐᄱ等的三
角形௧等᣸三角形”，ᥧ˦త
ݞЏ证明ᤈ一ፇ᝷（ᬤ۶ጷ习
第 3 题），˞下᭧的证明Ϣᩔۙ
. 
（1）Џᝨ学生ᒭ˟ଊጊnj
思考等腰三角形ੇ
˞等᣸三角
形的౎件，教师不要用直ଌፌ
出ፇ᝷的方式̽
ణ学生的思考. 
（2）ᤈ˔ፇ᝷的证明ࠫ
学
生౏ឭ可能有一定的ᬲए，ᬲ
ག௧要ਓគ҂分ѿᝧ᝷ 60c的
角௧अ角和ᮇ角的ৱц，ᤈ௧
一መ分ዝᝧ᝷的思ਇ. 教师要关
ฌ学生४出证明思路的᣿程，
ळ࠮学生全᭧njև҂ڡ思考᫈
题，ࣳ
有ਓគڡՔ学生ຖᤩ分
ዝ的思ਇ方ข. 
ϢʷϢ
教科书᝺ᝠ̀
一˔学生ૃ
ୌ三角ࡇ的活ү，ᝨ学生ᤰ᣿活ү发ဘፇ᝷. Տ௑教师应ळ࠮学生ਓ
គ҂，ᤰ᣿实ᬅ୲ͻଊጊ出౏的ፇ᝷ᤇᭊ要ፌ́
证明. ښ证明ᤈ˔ፇ᝷௑，ᣙҰ线的ͻข可̰̿
三
角ࡇ的ૃ
ୌ᣿程中४҂թ发，教师应ښᤈ方᭧ፌ́
学生更ܳ
的གસ. 
ό1ύᭊ要ឭ明的௧，教科书中ፌ出的证ขࣳ
不௧తእૹ的. උݠ，可̿
ण᫂
 BC ҂ D，Ύ BD = 
AB，ᤌଌ AD. 
ႀҒ᭧的定理可ᅼǁABD ௧等᣸三角形. ႀ ACľBC，可ᅼ BC = CD = 1
2 AB. ͮ
ᤈመ证明的思路不௜ਇ出，Ꮻ教ె
ਫ਼ፌ的思路可ႀૃ
ୌ三角ࡇ直᜺४出. 
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山东教育出版社
版社
௧኎
௧኎
ࡇૃ
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出版
ࡇૃ
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ᄊᄰᝈ᣸ˁப
出版
ਫ਼ࠫ
ᄊᄰᝈ᣸ˁப

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教
὆
教
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教育
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教育
ὊښǁAB
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东

东


东
 AB. 
东教
AB. 
东教
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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版
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版社
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出版
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出版
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出版
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出版
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证明
教育
明ᤈ
教育
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东
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东
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山东教育出版社
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版社
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版社
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版社
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版社
思考
社
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出版
ڡՔ
出版
Ք学
版
学生
版
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ਇ方ข.
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.
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山
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山
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山东
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山东
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东
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山
ښ证
山
证明
山
明ᤈ
山
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山
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山
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156
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
İįBAD!>!Ń.  
İǁABD ௧኎᣸ʼᝈॎ὆దʷ˔ᝈ኎̆
 Ńᄊ኎ᒉʼᝈॎ௧኎᣸ʼᝈॎ὇. 
İBC!>!
 BD!>!
 AB.  
ႀ൥Ի̿
४ѣʾ᭧ᄊࠀေ὘  
ࠀေ
 ښᄰᝈʼᝈॎ˗Ὂݠ౧ʷ˔ᩩ
ᝈ኎̆
cὊᥧ˦߲
ਫ਼ࠫ
ᄊᄰᝈ᣸
኎̆
ப᣸ᄊʷӧ.  
Γ
 ኎ᒉʼᝈॎᄊअᝈ˞ ŃὊᒉ᫂
˞ aὊරᒉʽᄊᰴ.  
ݠڏ .ὊښǁABC ˗Ὂࣃᅼ AB!>!AC!>!aὊįABC!>!ŃὊCD ௧
ᒉ AB ʽᄊᰴ.  ර CD ᄊ᫂
.  
ڏ .
ᬤ۶ጷ˸
A
D
C
B
E
H
G
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὆ኄ  ᮥ
὇
1. ᄰᝈʼᝈॎᄊʷ˔ᝈ኎̆
 ŃὊப᣸᫂
˞ Ὂၹپ˔ᤈನ
ᄊᄰᝈʼᝈॎૃੇ
ݠڏਫ਼ᇨᄊ൤வॎὊර൤வॎ EFGH ᄊ
᣸᫂
.
ᝍὉıAB!>!ACὊ
İįACB!>įABC!>!Ń.
İįDAC!>įABC!,!įACB!
!! ! ! ! ! !!>!Ń,!Ń>!Ń.  
İCD!>!
 AC!>!
 ġa!>!a὆ښᄰᝈʼᝈॎ˗Ὂݠ౧ʷ˔ᩩ
ᝈ኎̆
 ŃὊᥧ
˦߲
ਫ਼ࠫ
ᄊᄰᝈ᣸኎̆
ப᣸ᄊʷӧ὇.  

第十章 三角形的有关证明
教学௑，应ښ证明Ғᝨ学
生思考证明思路，ᴂҵ学生ଢ
出不Տ的证明思路，ཀྵՑᤰ᣿̔ื
Ύ全ʹ学生受ᄞ. 
ό1ύᤈ一定理的ᤤ命题˷௧ੇ
ቡ的（参᜹ P 114 第 3 题）.
ᬤ۶ጷ˸
1. ᣸᫂
˞ 2 
3 - 2. 
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山东教育出版社
版社
版社
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社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
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出版社
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版社
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ਫ਼ࠫ
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˞ 
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教育
aὊරᒉʽ
教育
Ὂරᒉʽ
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教
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AB >!
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AC >!
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˦߲
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山东教育出版社
教育
版社
A
社
A
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出版
پ˔ᤈನ
ॎ
出
ॎEFGH 
出版
EFGH ᄊ
出版
ᄊ
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
157
2   等腰三角形

2. ଢᇨ：Ѿ用“等᣸ࠫ
等角”
定理ԣ三角形内角和定理. 
3. ଢᇨ：Ѿ用“等角ࠫ
等᣸”
定理. 
˸ᮥ

1. 证明：ıǁABC ௧等᣸三角
形，
İ ∠A = ∠B = ∠C（等᣸三角
形的三˔角ᦐᄱ等）. 
ıDE ĩ BC，
İ∠ADE = ∠B，
  ∠AED = ∠C. 
İ∠A = ∠ADE = ∠AED. 
İǁADE ௧等᣸三角形
（三˔角ᦐᄱ等的三角形௧等
᣸三角形）. 
2. BC = 5 m ，B1C1 = 3.75 m . 本
题要ර解᤭य़不׭一，教师
应ᴂҵ学生解ข的ܳ
ನӑ.
3 .
 ǁ D E F ௧等᣸三角形Ὑ
ǁABE，ǁACF，ǁBCD ˷
ᦐ௧等᣸三角形. 
ଢᇨ：Ѿ用平行关系࠭
੽角
˨ᫎ
的关系. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
᣸
社
᣸

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ǁA
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AB
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出版
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出版
௧等
出版
等
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教
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教
A =
教育
= ∠
教育
∠B
育
B =
育
=
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东教育
形的三˔角
ı
东教
ıDE 
东教
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教
ĩ
教
İ
东
İ∠
东
∠A
东
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山东教育出版社
，
社
，教
社
教
的ܳ
ನӑ
版社
的ܳ
ನӑ.
社
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等
版
等᣸
版社
᣸三
版社
三角
版社
角形
社
形
ǁ
出
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出版
AC
出版
CF
出版
F
CF
C
出版
CF
C ，
出版
，ǁ
版
ǁB
版
B
等᣸三角形
育出版
等᣸三角形.
出
.
ଢ
育
ଢᇨ
育
ᇨ：
育
：Ѿ
育出
Ѿ用
育出
用平
出
平行
出
行
˨ᫎ
的关系
教育
˨ᫎ
的关系
 
158
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第十章 三角形的有关证明
Γ 4
本Γ፬合应用̀
全等三角
形的判定定理和等腰三角形的
判定定理. ښ解ን᣿程中，教师
应关ฌ学生的思考᣿程，ळ࠮
学生分ౢ
解х᫈
题的方ข. 
ਇʷਇ̰
直᜺上ᄺ，学生不ᬲ४
出ፇ᝷. ͮ
ᤈ᧗要ර学生不̩
能
ώҰ直᜺४出ፇ᝷，Ꮻ˅ᤇ要
能ܵ
证明߲
，˷ࡃ௧要ᝨ学生
ʹ͘
证明的必要性. ࠫ
ᤈ一ག的
ᝣគ，௧本ቦࠫ
学生的要ර，
Ꮻᤈ˔᫈
题的证明方ข——Ԧ
证ข，௧ᤈ᧗要̮
ፁ的一መ证
明方ข. ᙊཀྵԦ证ข௧一መ重要
的证明方ข，ͮ
ಪ据ǒಖюǓ
的要ර，Զᭊᤰ᣿实Γ̀
解߲
的ե义ԁ可. 
命题“ښ一˔三角形中，
ݠ౧ː˔角不ᄱ等，ᥧ˦ᤈː
˔角ਫ਼ࠫ
的᣸˷不ᄱ等”௧ᄾ
命题. 实ᬅ上，ښ一˔三角形
中，ᬔ̀
“等角ࠫ
等᣸，等᣸ࠫ
等角”˨ܱ
，ᤇ有“ܸ
角ܸࠫ
᣸，ܸ
᣸ܸࠫ
角”“࠵角ࠫ
࠵᣸，࠵᣸ࠫ
࠵角”. ᭊ要ฌਓ的௧，
᝺Ꮆᤈ˔“ਇ一ਇ”的˟要ਓ图௧ळКԦ证ข，ڂ൥教学௑不必ښᤈ̏
Цʹፇ᝷上ܸ
Ϣ஡ቦ，̿
В
фກ˟题. 
ό1ύԦ证ข࡛̆ᫎ
ଌ证明方ข，௧̰
Ԧ᭧思考᫈
题的证明方ข. Цʹ౏ឭ，Ԧ证ขࡃ௧̰
ա定命
题的ፇ᝷К੤，ࣳંࠫ
命题ፇ᝷的ա定˷ͻ˞଎理的ࣃᅼ౎件，ᤉ行൤ᆸ的᤿ᣤ଎理，Ύ˨४҂与
ࣃᅼ౎件nj基本事实nj定理njขѷੋ
Ꮸࣃፃ证明˞൤ᆸ的命题等ᄱᅸᄴ的ፇ౧，出ဘᅸᄴ的Ԕڂ௧
ڂ˞ա定̀
命题的ፇ᝷，̰
ᏫΎ命题ᖍ४̀
证明. Ԧ证ขਫ਼Κ据的௧᤿ᣤ思፥᜻॥中的“ᅸᄴ॥”
和“ଆ中॥”. ښՏ一思፥᣿程中，ː˔̉
ᄱᅸᄴ的判ல不能Տ௑ᦐ˞ᄾ，ᒰ࠶有一˔௧Ϝ的，ᤈࡃ
௧᤿ᣤ思፥中的“ᅸᄴ॥”Ὑː˔̉
ᄱᅸᄴ的判ல不能Տ௑ᦐϜ，ᤈࡃ௧᤿ᣤ思፥中的“ଆ中॥”. 
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山东教育出版社
版社
版社
学
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学生
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育出
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出版
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东教
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东教育
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គ，
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山东
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山东教育出版社
山
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版社
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教
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“
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”˨
教育
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᝺
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东教
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山东教
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山东教育
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东ࠫ
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东教
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东教
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东
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东
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山
证
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ό1
育
1ύ
育
ύ
159
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
用Ԧ证ข证明的一ᓊ൦ᰡ௧：
（1）Ϝ᝺命题的ፇ᝷不ੇ
ቡὙ
（2）̰
ᤈ˔Ϝ᝺出发，应用൤ᆸ的଎理方ข，४出与定义nj基本事实njࣃ证定理ੋ
ࣃ
ᅼ౎件ᄱᅸᄴ的ፇ౧Ὑ
（3）ႀᅸᄴ的ፇ౧判定Ϝ᝺不൤ᆸ，̰
Ꮻᐰ定命题的ፇ᝷൤ᆸ. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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ࣃ
社
ࣃ
山东教育出版社
 
160
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
aὊaὊaὊaὊa ᦐ௧൤஝Ὂ˅ a!,!a!,!a!,!a!,!a!>!Ὂᥧ˦ᤈ̋
˔஝˗
ᒰ࠶దʷ˔ܸ̆ੋ
኎̆
 
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ݠ͵᝽௚ᤈʷፇ᝷քὝ
Ϝ᝺ᤈ̋
˔஝˗෥దʷ˔ܸ̆ੋ
኎̆
 
 Ὂԁᦐ࠵̆
 
 Ὂᥧ˦Ϳᑟ଎ѣ̤
˦
ፇ౧Ὕᤈʷፇ౧ˁࣃᅼ౎͈
௧աᅸᄴὝ
ᬤ۶ጷ˸
1. ݠڏὊښ ǁABC ˗ὊBD ࣱ
Ѭ įABCὊ̔
 AC ̆
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ག D ͻ DEĩBCὊ̔
 AB ̆
ག E.  ឰѼல ǁBDE ᄊॎ࿄Ὂࣳ
ឭ௚ေႀ.
2. ʷ˔ʼᝈॎ˗తܳ
దї˔᧽ᝈὝ˞̤
˦Ὕ
Ԧ᝽ข௧ʷመ᧘᜶ᄊ஝ߦ᝽௚வข.  ښᝍх౽̏᫈ᮥ
௑Ὂ߲
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A
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C
B
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὇឴
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Ԧ᝽ข௧ʷመ࿘ྲ
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ᄊ࿘ྲ
˨ܫదːག὘ʷ௧աࠀ֑ᮥ
ᄊፇ᝷Ὂࣳ
˅Ի̿
࠲ᤈ˔աࠀᄊፇ᝷ͻ˞᝽௚ᄊ౎͈
Ὑ̄
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ᤈ˔ழ౎͈
ѣԧὊፇՌ֑ᮥ
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౎͈
ʷᡑ଎ѣᅸᄴὊ̰
ᏫΎ᫈ᮥ
ᖍ᝽. ˁᤂၹХ̵
வข᝽௚ʷನὊᤂၹԦ᝽ข᝽௚௑Ὂ
଎ေᄊ᣿ሮॹᮌదေద૶.
Ԧ᝽ขښெ࣢ၷำ֗
஝ߦ᝽௚˗ऄၹ᭤࣢ࣹ
ฅ.  ΓݠὊښవвǒࣱ
ᛡጳᄊదТ᝽
௚Ǔ˗ఢፃၹԦ᝽ข᝽௚ࣱ̀
ᛡጳᄊভ᠏
þːᄰጳࣱ
ᛡὊՏͯ
ᝈᄱ኎ÿὊښʹࣲ
ጟʽ
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ʷ឴
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ឭ௚᣸᫂
˞  ᄊ൤வॎᄊࠫ
ᝈጳ᫂
὆ԁ
὇ˀ
௧దေ஝.

第十章 三角形的有关证明
ᝬʷᝬ
Ϝ᝺ᤈ五˔数෥有一˔ܸ̆ੋ
等̆
 1
5 ，ԁᦐ࠵̆
 1
5 ，ѷ
五˔数的和࠵̆
 1. ᤈ与ࣃᅼ五
˔数的和等̆
 1 ᅸᄴ，ਫ਼̿
ᤈ
五˔数中ᒰ࠶有一˔ܸ̆ੋ
等̆
 1
5 . 
᝺Ꮆ本᫈
题௧˞̀
ᝨ学生
更ܳ
ڡ̀
解Ԧ证ข的ͻ用. Ѿ用
Ԧ证ข证明的关᪄௧要ᆸ定ፇ
᝷的Ԧ᭧௧̤
˦，ཀྵՑ࠭
රᅸ
ᄴ的ፇ౧. ࠫ̆
本᫈
题，ᭊ要൤
ᆸ理解“ᒰ࠶有一˔”“ܸ̆ੋ
等̆
”的Ԧ᭧的ե义. 
ᬤ۶ጷ˸
1. 等腰三角形. ଢᇨ：证明 
∠EBD =∠EDB，г应用
“等角ࠫ
等᣸”定理. 
2. ፇ᝷：一˔三角形中తܳ
有
一˔᧽角. 
ࣃᅼ：ǁABC. 
ර证：∠A，∠B，∠C 中తܳ
有一˔᧽角. 
证明：思路和方ข与“ᝬ一
ᝬ”ᄱՏ. 
山东教育出版社
版社
ᒰ࠶
社
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社
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社
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出版
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出版
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的ͻ
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关᪄
教育
᪄௧
教育
௧要
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要ᆸ
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ᆸ定
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教
௧̤
教̤
˦
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˦，
教
，ཀྵ
教育
ཀྵՑ
育
Ց
ፇ
东
ፇ౧
东
౧.
东
.ࠫ
东教ࠫ̆
东教̆
本
东教
本᫈
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理解
山东
解“
山东
“ᒰ
东
ᒰ࠶
东
࠶有
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山东ੋ
等̆
”的Ԧ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
社
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版社
ᥧ˦ᤈ̋
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出版


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出版
Ὂᥧ˦
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东ࣱ
Ѭ į
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东教
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东教
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东教
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山
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ག
山东̆
ག E. 
山东
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东
ឰѼல
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దї˔᧽ᝈ
山
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దї˔᧽ᝈ
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ʷ឴឴
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有
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出
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教育
有一˔᧽角.
育
.
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教
证明
教
明：
教
：思
教育
思路
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路和
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东教
ᝬ”ᄱՏ
山东教育
教育
教育出版社
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社
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社
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版社
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ᛡὊՏͯ
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 ᄊ൤வॎᄊ
育出
ᄊ൤வॎᄊ
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
161
˸ᮥ


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࠵௚ᄊਇขὊၹԦ᝽ข᝽௚὘ښʷ˔ʼᝈॎ˗Ὂݠ౧ː౎᣸ˀᄱ኎Ὂᥧ˦ᤈ
ː౎᣸ਫ਼ࠫ
ᄊᝈ˷ˀᄱ኎.  
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊښ ǁABC ˗ὊAB = ACὊE ښ CA ᄊण᫂
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EPĭBCὊۇᡜ˞ PὊEP ̔
 AB ̆
ག F.  
 ර᝽὘ǁAEF ௧኎ᒉʼᝈॎ.
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A
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὆ኄ  ᮥ
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὆ႁ὇
὆˳὇
὆ኄ  ᮥ
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2. ὆὇ࣃᅼ὘ݠڏ὆ႁ὇Ὂ኎ᒉʼᝈॎᄊʷ˔Яᝈ˞ᩩ
ᝈ αὊᒉ᫂
˞ aὊරͻᤈ˔኎
       ᒉʼᝈॎὙ
὆὇ښ὆὇˗Ὂંᩩ
ᝈ α ԫੇ
᧽ᝈ α὆ݠڏ὆˳὇὇ὊХ̵
౎͈
ˀԫὊරͻᤈ˔
   ኎ᒉʼᝈॎ.ੈ̓
гᄺʷ˔ၹԦ᝽ข᝽௚ᄊΓߕ.
᝽௚὘ʷ˔ʼᝈॎ˗ᒰܳ
దʷ˔ᄰᝈ.  
ࣃᅼ὘ǁABC.  
ර᝽὘įAὊįBὊįC ˗ᒰܳ
దʷ˔ᄰᝈ.  
᝽௚ὉϜ᝺įAὊįBὊįC ˗దː˔ੋ
ʼ˔ᄰᝈὊˀݱ᝺įA!>įB!>!ŃὊѷ
įA!,įB!,įC!>!Ń,!Ń,įC!ǚ!Ń.  
ᤈˁʼᝈॎЯᝈ֗
ࠀေᅸᄴ.  ஌įA!>įB!>!Ńˀੇ
ቡ.  
ਫ਼̿
ʷ˔ʼᝈॎ˗ᒰܳ
దʷ˔ᄰᝈ.  
តʷតὊͿᑟၹԦ᝽ข᝽௚þː౎ᄰጳᄱ̔
Զదʷ˔̔
གÿՙὝ
2   等腰三角形

˸ᮥ

1. ଢᇨ：ႀ AB = AC，可ᅼ
∠B = ∠CὙႀ∠E 与 ∠C ̉
͸，∠B与∠BFP ̉
͸，४
∠E = ∠BFPὙᤉᏫ可४∠E 
= ∠EFA. ᤇ可̿
ͻǁABC अ
᣸ BC 上的ᰴ AD，४∠E = 
∠CAD，∠EFA = ∠BADὙ
ಪ据“ 三线合一” 可ᅼ 
∠CAD = ∠BAD，ਫ਼̿
 ∠E 
= ∠EFA. 
2.（1）ଢᇨ：ᤈನ的等腰三
角形有ː˔，一˔̿
 
∠α ˞ᮇ角，Գ一˔̿
 ∠α ˞अ角Ὑ
（2）ଢᇨ：ᤈನ的等腰三
角形Զ有一˔， ԁ̿
 
∠α ˞ᮇ角的等腰三
角形. 
3. ଢᇨ：Ϝ᝺ᤈː౎᣸ਫ਼ࠫ
的
角ᄱ等，ᥧ˦ಪ据“等角ࠫ
等᣸”定理，可४ᤈː౎᣸
ᄱ等，ᤈ与ࣃᅼ౎件“ː౎
᣸不ᄱ等”ᄱᅸᄴ.
出版社
山东教育出版
஝ߦေᝍ
山东
஝ߦေᝍ
ǁ
教
ǁABC
教育
ABC ˗Ὂ
教育
˗ὊAB
教育
AB = 
育
= 
B 
B
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B 
B
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A
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东教
ᡜ˞ P
教
PὊ
东教
ὊEP
教育
EP̔
教育̔
AB
教育
AB
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东
AEF ௧኎ᒉʼᝈॎ
东教
௧኎ᒉʼᝈॎ
὆
山
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山
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版社
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社
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社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
版社             山
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育出
ขὊၹԦ᝽ข᝽௚὘ࠫ
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育出ࠫ
ᄊᝈ˷ˀᄱ኎.  
出
.  
山
P
C
山
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὆ኄᮥ
὇ᮥ
὇
 
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社
ኄ
社
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社ᮥ
὇᫂
˞᫂
˞ aὊරͻᤈ˔
 
Ὂරͻᤈ˔
᧽ᝈ
社
᧽ᝈα
社
α὆ݠڏ὆˳὇
社 
὆ݠڏ὆˳὇
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出版
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出版
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“ 三
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东教
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东教
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山东教育出版社
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教育出
᣸不ᄱ等”ᄱ
 
162
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

ᄰᝈʼᝈॎੈ̓
ఢፃѾၹ஝வಫ֗
ҟᛪڏॎᄊவข४҂̀
Ӈᐧࠀေ.  ࠄᬅʽὊੈ̓
ᑟܵ
᝽௚Ӈᐧࠀေ὆దТ᝽௚᣿ሮԠ᜹వᓬþ឴
ʷ឴
ÿ὇.  
Ӈᐧࠀေ
 ᄰᝈʼᝈॎː౎ᄰᝈ᣸ᄊࣱ
வ֗
኎̆
ப᣸ᄊࣱ
வ.  
Ԧ᣿౏Ὂښʷ˔ʼᝈॎ˗Ὂे
ː᣸ᄊࣱ
வ֗
኎̆
ኄʼ᣸ᄊࣱ
வ௑Ὂੈ̓
ఢၹए᧚ᄊҩข४ѣþᤈ˔ʼᝈॎ௧ᄰᝈʼᝈॎÿᄊፇ᝷.  Ϳᑟ᝽௚ᤈ˔ፇ
᝷ՙὝ
ࣃᅼ὘ݠڏ .὆὇ὊښǁABC ˗ὊAB
!,!AC
!>!BC
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ර᝽὘ǁABC ௧ᄰᝈʼᝈॎ.  
὆὇
὆὇
ڏ .
᝽௚Ὁͻ RtǁAĂBĂCĂὊΎįAĂ>!ŃὊAĂBĂ>!ABὊAĂCĂ>!AC὆ݠڏ.
὆὇὇Ὂѷ
AĂBĂ
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!>!BĂCĂ
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İBC!>!BĂCĂ.  
İǁABC!ĭǁAĂBĂCĂ὆SSS὇.  
İįA!>įAĂ>!Ń὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.  
ڂ൥ὊǁABC ௧ᄰᝈʼᝈॎ.  

第十章 三角形的有关证明
教ߦ目ಖ
1. ᤉ一൦ଂଧ଎理证明的
方ข，发࡙
໦ፂ଎理能ҧ. 
2. ̀
解Ӈ股定理ԣХᤤ定
理的证明方ข，能ܵ
证明直角
三角形全等的“H L ”判定定理. 
3. ፇ合ЦʹΓߕ̀
解ᤤ命
题的概ঐ，͘
គѿː˔̉
ᤤ命
题，ᅼ᥋Ԕ命题ੇ
ቡХᤤ命题
不一定ੇ
ቡ. 
ό1ύ̿
Ғੈ̓
ఢፃѾ用图形
ҟᛪ的方ขᰎ证̀
Ӈ股定理，
Ꮻ൥ܫࠫ
Ӈ股定理的证明应̿ੈ̓
ᝣ定的ї౎基本事实和ႀ
൥଎出的定理˞Κ据ᤉ行. ᙊཀྵ
证明的方ข有ܳ
መ，ͮࠫ̆
学
生౏ឭ，ᤈ̏
证明ᦐ有一定ᬲ
ए，ڂ൥教科书෥有ښ൤஡中
ፌ出证明᣿程，Ꮻ࠲Х中的ː
መ证明方ขஊښ本ᓬ的“឴
一឴
”中，̿
Ι有Уᡚ的学生᫞឴
，不要රਫ਼有学生ᦐଂଧ. 
ό1ύ
ό2ύ
ό2ύӇ股定理的ᤤ定理的证明方ขࠫ
学生౏ឭ˷௧有一定ᬲए的，ڂ൥Զ要学生能ଌ受证明的
方ข和᣿程ԁ可，不ࠂଢ出更ᰴ的要ර.
山东教育出版社
版社ܵ
᝽௚
社ܵ
᝽௚
版社
命
版
命
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版
ᤤ命
版
命
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Хᤤ
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出版
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出版
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东教
ᰎ证
东教
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
163
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 ʷ˔ʼᝈॎ˗ᄱ኎ᄊᝈਫ਼ࠫ
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ᄊ౎͈֗
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ᤉᛡ̔ื
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˗Ὂݠ౧ʷ˔֑ᮥ
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ᄊፇ᝷֗
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Ὂᥧ˦ᤈː˔֑ᮥ
ሦ˞̉
ᤤ֑ᮥ
ὊХ˗ʷ˔֑ᮥ
ሦ˞Գʷ˔֑ᮥ
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þݠ౧ː˔దေ஝ᄱ኎Ὂᥧ˦߲̓
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Ὂᥧ˦߲
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ᛡὊЯᩲᝈᄱ኎ÿ௧
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ᝬʷᝬ
3   直角三角形

ᝬʷᝬ
教科书ᤰ᣿їࠫ
数学和生
活中的命题，ᝨ学生᜺ࠣ
ᤈ̏ੇࠫ
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ጪ出߲̓
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С性౏，̿
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ᤤ命题”
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࠲一˔命题的౎件与ፇ᝷̉
૱，ࡃ४҂ᤈ˔命题的ᤤ命
题. ᄱࠫ̆
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命题ԷϢԔ命题. Ԕ命题与ᤤ命
题௧̉
ᤤ关系，ڂᏫ௧ᄱࠫ
的. 
Ԕ命题൤ᆸ，ᤤ命题不一定൤
ᆸ. 
ਇʷਇ
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උᣗ明௭njእӭ，и出Хᤤ命
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˦᫈
题，关᪄௧ᝨ学生ᰎ证ᤤ命题
的൤ᆸ性，ࣳ
能ਓគ҂一ࠫ̉
ᤤ命题的ᄾϜ性不一定一ᒱ. 
ό1ύݠ“全等三角形的ࠫ
应᣸ᄱ等”和“三᣸ࠫ
应ᄱ等的三角形௧全等三角形”Ὑ“ː直线平
行，Տͯ
角ᄱ等”和“Տͯ
角ᄱ等，ː直线平行”等. 
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山东教育出版社
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164
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第十章 三角形的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1. AB = 3 
2 . 
2.（1）ܳ
᣸形௧四᣸形Ὑ ᄾὙ
             Ϝ. 
（2）Տஸ内角̉
ᛪ，ː直线
平行ὙᄾὙᄾ. 
（3）ݠ౧a = 0，b = 0，ᥧ
˦ab = 0ὙϜὙᄾ. ̉
ᤤ命题和̉
ᤤ定理的概
ঐ，学生ଌ受ᡑ౏应不͘
有̤
˦ ڈ ᬲ，࠿Х ௧ࠫ̆̿
“ݠ౧……ᥧ˦……”的形
式ፌ出的命题，и出Хᤤ命
题ᣗ˞ࠔ௜，ͮࠫ̆
ᥧ̏
不
௧̿
ᤈመ形式ፌ出的命题，
Ԭ ᤘХ ᤤ命题͘
有一定ڈ
ᬲ，ݠ本题的（1）（2）. 教
师可ࣟ
Ұ学生分ౢ
命题的౎
件和ፇ᝷，ͮ
ฌਓ不要ࠫ
ᤈ
መ形式的ᣗ复ా
的命题Ϣ更ܳ
的ጷ习. 
3. ଢᇨ：BD
2 - CD
2 = BC
2，AB
2 
- AC
2 = BC
2. ឴
ʷ឴
ᤈ᧗̮
ፁ的证明方ข用҂̀
全等三角形和᭧ሥ公式，与̿
Ғ̮
ፁ的ૃ
图方ขᄱඋ，更˞ˑࠛ
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山东教育出版社
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山东教育出版社
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
165
ϢʷϢ
ᅼគ੿ᑟ
ᐏጇ઩ࣹ
1. ࣃᅼ὘ښǁABC ˗ὊAB!>! cmὊBC!>! cmὊBC ᣸ʽᄊ˗ጳ AD!>! cm.  
ර᝽὘AB!>!AC.  
2. ݠڏὊښپ᣸ॎ ABCD ˗ὊABĩCDὊE ˞ BC ʽᄊʷགὊ
˅ įBAE!=!ŃὊįCDE!=!ŃὊAE!=!ὊDE!=!Ὂර AD 
     ᄊ᫂
.
Ą3. ֑ᮥ
þښᄰᝈʼᝈॎ˗Ὂݠ౧ʷ౎ᄰᝈ᣸኎̆
ப᣸ᄊʷӧὊᥧ˦ᤈ౎ᄰᝈ᣸ਫ਼ࠫ
 ᄊᩩ
ᝈ኎̆
 Ńÿ௧ᄾ֑ᮥ
ՙὝݠ౧௧ὊឰͿ᝽௚߲
.  
Ą4. ݠڏ὆὇ὊABCD ௧ʷस൤வॎጮྟ
ὊEὊF Ѭѿ˞ ABὊCD ᄊ˗གὊ෹᣿
ག D ᄊઉ჉࠲ A ᝈᏢઉὊΎ४ག A ᗀښ EF ʽ὆ݠڏ὆὇὇Ὂઉ჉̔
 AE ̆
ག GὊ
ᥧ˦įADG ኎̆ܳ
࠶एὝͿᑟ᝽௚Ϳᄊፇ᝷ՙὝ὆ଢᇨ὘Ѿၹኄ  ᮥ
ᄊፇ᝷.὇
ࣃᅼʷ౎ᄰᝈ᣸֗
ப᣸Ὂරͻʷ˔ᄰᝈʼᝈॎ.
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A
B
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C
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὇
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᣺஝ᄈመᄊ᝽௚வข. ݠ౧ͿదУᡚὊԻಊ᫞దТᠫநὊ̀
ᝍӇᐧࠀေᄊ
Х̵
᝽௚வข.
ː᣸Ѭѿᄱ኎˅Х˗ʷጸ኎᣸ᄊࠫ
ᝈᄱ኎ᄊː˔ʼᝈॎЛ኎ՙὝݠ౧Х˗
ʷጸ኎᣸ਫ਼ࠫ
ᄊᝈ௧ᄰᝈքὝ
˸ᮥ


3   直角三角形

˸ᮥ

1. ଢᇨ：证明ǁABD ௧直角三
角形，४∠ADB = 90c. ཀྵ
ՑښR t ǁACD 中ර४ AC = 
13 c m
. 
2. AD = 13. 
ଢᇨ： ᤰ᣿ːᩩ
角̉
͸，证
明ǁAED ˞直角三角形，г
ᤂ用Ӈ股定理ᝠካ AD 的᫂
. 
3. ௧ᄾ命题. ᣙҰ线的ͻข与图
10 - 13（2）ዝͫ
. 
4. ∠ADG = 15c. 
ό1ύ学生ښ七年级上册ࣃፃ࠽ត᣿ࣃᅼ三角形的ː᣸ԣХ中一᣸的ࠫ
角ႇ三角形，ᅼ᥋ႇ出的
三角形不׭一. 教科书̰
ᤈ᧗ळК，ᤰ᣿ү੤୲ͻ，ଊጊ发ဘ直角三角形ྲ
൴的全等౎件. 
教学௑，ݠ౧有学生ଢ出ི͌
七年级上册ଊጊ三角形全等౎件的方ข，ᤰ᣿ᠲ́
ː᣸ྲ
൴ϙnj
ႇ直角三角形nj与Տͧ
ਫ਼ႇ的直角三角形ᤉ行උᣗ，ᤉᏫॆ
ጪ出ፇ᝷，教师˷应ፌ́
ᴂҵ. Տ௑，
教师可ႀ൥ळ࠮学生考ᘽ用ࡇ᜻一ᓊڡͻ出直角三角形，̰
ᏫᣁК下᭧“Ϣ一Ϣ”ဗᓬ. 
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山东教育
山东教育出版社
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东
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东
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166
஝ߦ
七年级  下册
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ஔ学用书
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ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂጳ඀ aὊc὆a ǘ c὇Ὂᄰᝈ α.
ࠀေ
 ப᣸֗
ʷ౎ᄰᝈ᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎.
ᤈʷࠀေԻ̿
እӭڡၹþப᣸njᄰᝈ᣸ÿੋ
þHLÿ᛫ᇨ.
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂښ ǁABC ˁ ǁAĂBĂCĂ˗ὊįC =įCĂ= ŃὊAB = 
AĂBĂὊAC = AĂCĂ.
ර᝽὘ǁABC ĭǁAĂBĂCĂ.
A
C
B
A'
C'
B'
ڏ .
M
B
A
C
N
M
B
A
C
N

第十章 三角形的有关证明
ϢʷϢ
要ර学生Κ 据ፌ定的线
段 a，c，用ࡇ᜻ͻ出直角三角
形，ᤰ᣿与Տͧ̔ื
，උᣗܸ
ࠒਫ਼ͻ出的三角形௧ա能ܵ
重
合，ᖍ४判ல直角三角形全等
的ྲ
൴౎件. 教学௑，教师应ᴂ
ҵ学生Џᒭ˟思考ᤈ一ࡇ᜻ͻ
图的方ข，ࠫ
有ڈᬲ的学生ᤉ
行必要的ૉ࠮，ཀྵՑᤰ᣿̔ื
Ύਫ਼有学生理解ᤈ一ͻ图൦ᰡ. 
教科书ώҰ࠵明նဘ̀
ᤈ
一ࡇ᜻ͻ图的Цʹͻข，要ර
学生δ႑ͻ图჉ᤜ，不要රи
ͻข. 
ښ߹ੇ
ͻ图Ց，ळ࠮学生
用数学ឦᝓॆ
ጪnj概઺ႀ൥ᖍ
४的࿯ਇ. 
ό1ύႀ࿯ਇ४҂的命题Զ有
ፃ᣿证明੦能ੇ
˞定理. 教学௑
要ᝨ学生ʹ͘
证明的必要性. 
ό1ύ
育出版社
版社
版社
὆
社
὆
社
὇ͻ
社
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山东教育
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版
ᴂ
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出版
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出版
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出版
生ᤉ
出版
ᤉ
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育
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育
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育出
ᤰ᣿
育出
᣿̔
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解ᤈ一ͻ图൦
教育
解ᤈ一ͻ图൦
书
东教
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东教
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东教
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教育
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教育
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
山东教育出版
出版
出版
教育
东教
CM 
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出版
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版
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东教
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ᄊᄰᝈʼᝈॎˁ࠵
育出
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C
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ࠀေ
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社
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版
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版社
教学
版社
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的必要性. 
版社
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山东教育出版社
教育
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育出版
C'
育
C'
B
出
B
育

教
.
教
.
教育

஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
167
᝽௚Ὁښ ǁABC ˗Ὂ
ı įC > ŃὊ
İ BC
 > AB
 . AC
὆Ӈᐧࠀေ὇.
ՏေὊBĂCĂ
 > AĂBĂ
 . AĂCĂ
.
ı AB > AĂBĂὊAC > AĂCĂὊ
İ BC > BĂCĂ.
İ ǁABC ĭǁAĂBĂCĂ
὆SSS὇.
Γ ݠڏ .Ὂదː˔᫂
एᄱ኎ᄊ໏೙Ὂࢻ᣸໏೙ᄊᰴए AC ˁԿ᣸
໏೙ඵࣱ
வՔᄊ᫂
ए DF ᄱ኎Ὂː˔໏೙ᄊϚபᝈįB ֗
 įF ᄊܸ
࠵ద̤
˦
ТጇὝ
B
A
D
F
E
C
ڏ .
1. Ѽலʾѵ֑ᮥ
ᄊᄾϜὊࣳ
ឭ௚ေႀ὘
὆὇ː˔ᩩ
ᝈѬѿᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎Ὑ
ᬤ۶ጷ˸
ᝍὉಪ૶ᮥ
ਓὊԻᅼ
įBAC >įEDF > ŃὊ
BC > EFὊAC > DFὊ
İ RtǁBAC ĭ RtǁEDF὆HL὇.
İ įB >įDEF὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄᝈᄱ኎὇.
ı įDEF ,įF > ŃὊ
İ įB ,įF > Ń.
3   直角三角形

ό1ύ证明ᤈ一定理的思路
௧：ႀӇ股定理४出Գ一౎直
角᣸ᄱ等，гಪ据基本事实 
S S S 判定ː˔三角形全等. 
ᒰ൥，学生ፃԋ̀
定理的
发ဘnjଢ出和证明的全᣿程，
感受̀
合ৱ଎理与໦ፂ଎理的
ጋࠛ
关系. 
Γ
教科书᝺ᝠ̀
一˔ Ѿ 用
“ப᣸nj直角᣸”定理解х的
实ᬅ᫈
题，Ύ学生ʹ͘
数学ፇ
᝷ښ实ᬅ中的应用. 教学中应要
ර学生能用数学ឦᝓ
ຍംڡ᛫
᣺ᒭࣂ的ਇข，ࣳ
能࠲解题᣿
程᜻ᔵڡ书и出౏. 
ό1ύ
ᬤ۶ጷ˸
1.（1）Ϝ. 教师应ᝨ学生ʹ͘
ˡԦΓ的ͻ用. 
   （2）ᄾ. ໘ᡜ A A S 定理的౎件. 
   （3）ᄾ. ໘ᡜ基本事实 A S A 的౎件. 
   （4）ᄾ. ЏѾ用 H L 定理४҂Գ一౎直角᣸ᄱ等，гಪ据基本事实 S A S  判定ː˔三角形全等. 
山东教育出版社
໏೙Ὂࢻ᣸໏೙ᄊ
版社
໏೙Ὂࢻ᣸໏೙ᄊ
೙ᄊϚபᝈ
版社
೙ᄊϚபᝈį
版社
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东教育
东教育出
育出
育出
东教
东教
东教
东教
东教
B
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B
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C
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Ὁಪ૶ᮥ
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山东
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教育出版社             山东教育出版社
教育
山东教育出版社
ᄾϜὊࣳ
ឭ௚ေႀ὘
育出版
ᄾϜὊࣳ
ឭ௚ေႀ὘
Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ᄰ
育出
Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ᄰ
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山东教
山
事
社
事实
社
实
等
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社
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出版社
全᣿
版社
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版社
程
଎
出
଎理
出
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出版
与໦
出版
໦ፂ
出版
ፂ଎
版
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系
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系.
育
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Γ
教
Γ
教
东教育
教科
教育
科书
教育
书
“
东教
“ப
东教
ப᣸
东教
᣸
实
东
实ᬅ
东
ᬅ
᝷
ᬤ۶ጷ˸
东教育
ᬤ۶ጷ˸
1
东
1.
东
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东
（1
东
1）Ϝ
东教
）Ϝ.
东教
. 教
教
教
山东
（
山东
（2
山东
2）ᄾ
东
）ᄾ
山
（
山
（3
山
3
山东教育出版社
 
168
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
὆ኄ  ᮥ
὇
A
B
O
C
὆ኄ  ᮥ
὇
὆὇ப᣸ԣʷᩩ
ᝈѬѿᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎Ὑ
὆὇ː౎ᄰᝈ᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎Ὑ
὆὇ʷ౎ᄰᝈ᣸ᄱ኎˅Գʷ౎ᄰᝈ᣸ʽᄊ˗ጳᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎.  
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊD ௧ǁABC ᄊ᣸ BC ᄊ˗གὊDE ĭ!ACὊDF!ĭ!ABὊۇᡜѬѿ˞
ག EὊFὊ˅ DE!>!DF.  
 ර᝽὘ǁABC ௧኎ᒉʼᝈॎ.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
1. Ѽலʾѵ֑ᮥ
ᄊᄾϜὊࣳ
ឭ௚ေႀ὘
὆὇ː᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎Ὑ
὆὇ʷ˔ᩩ
ᝈ֗
ʷ౎᣸Ѭѿᄱ኎ᄊː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎.
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊAB!>!CDὊDE!ĭ!ACὊBF!ĭ!ACὊۇᡜѬѿ˞ག EὊFὊDE!>!BF.  
ර᝽὘὆὇AE!>!CFὙ὆὇ABĩCD.  
὆ኄ  ᮥ
὇
3. ݠڏὊːಪ᫂
ए˞  m ᄊ፤ߕὊʷቫጇښ௃ీ
ʽὊԳʷቫѬѿڍࠀښڡ᭧ᄊː˔
లೈʽὊː˔లೈሏ௃ీ
अᦊᄊᡰሏᄱ኎ՙὝឰឭ௚Ϳᄊေႀ.

第十章 三角形的有关证明
2 . ଢᇨ：证明R
t ǁ C D E
 ≌ 
R t ǁBDF，४∠C = ∠B. 
3. ᄱ等. Ѿ用 H L 定理判定ː直
角三角形全等. 
˸ᮥ

1 . （1 ）Ϝ . ݠښ 下图中的
R t ǁABC 和 R t ǁDEF
中，AC = DE，BC = 
EF，ͮ
ᤈː˔直角三
角形不全等.
C
B
A
D
E
F
（2）Ϝ. ݠښ下图中的 R t ǁABC 和 R t ǁDEF 中，∠A = ∠D，AC = DE，ͮ
ᤈː˔直角三角形不
全等. 
C
B
A
D
E
F
᝺ᝠ本题௧˞̀
ງӑࠫ
直角三角形全等的判定方ข的理解. 
ښ第（1）题中，ᔪᄱ等的௧ː直角᣸，ѷ可ႀ基本事实 S A S 判定ː˔直角三角形全等Ὑᔪப
᣸ᄱ等，一直角᣸ᄱ等，ѷ可ႀ H L 定理判定ː˔直角三角形全等Ὑᔪ一˔直角三角形的ப᣸等
（第 1（1）题）
（第 1（2）题）
山东教育出版社
版社
山东教
的
版
的
ǁ
出
ǁD
出版
DE
出版
EF
出版
F
EF
E
出版
EF
E
E
出
E，
出
，B
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出版
C =
出版
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ᤈ
育
ᤈː
育
ː˔
育出
˔直
育出
直角
育出
角三
出
三
不全等
教育
不全等.
教育
.
山东教
山东
山东
B
山东
B
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
育出
育出版
育出版
出
A
出版
A
B
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B
O
育出
὆ኄ
育
὆ኄ
           山

山
គ੿ᑟ
គ੿ᑟ
. Ѽலʾѵ֑ᮥ
ᄊ
 
Ѽலʾѵ֑ᮥ
ᄊ
὆὇ː᣸Ѭ
 
὇ː᣸Ѭ
὆὇ʷ˔
 
὇ʷ˔
2.2. ࣃᅼ
 
ࣃᅼ
ߕὊʷቫጇښ௃ీ
东教
ߕὊʷቫጇښ௃ీ
अᦊᄊᡰሏᄱ኎ՙ
东教
अᦊᄊᡰሏᄱ኎ՙ
（
教
（2
教
2）Ϝ
教育
）Ϝ. 
教育
. ݠښ
教育
ݠښ
全等
教
全等
山东教育
教育
教育出版社
育出ᮥ
὇
育ᮥ
὇
∠
东
∠D
东教
D，
东教
，AC 
东教
AC =
教
= D
教
D
山东
山东
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
169᫈ᮥ
ᝍх

4. ၹʼᝈࡇԻ̿
ႇᝈࣱ
Ѭጳ὘ݠڏਫ਼ᇨὊښࣃᅼ įAOB ᄊː᣸ʽѬѿԩག MὊNὊ
Ύ OM > ONὊг᣿ག M ႇ OA ᄊۇጳὊ᣿ག N ႇ OB ᄊۇጳὊːۇጳ̔̆
ག PὊ
ᥧ˦࠱ጳ OP ࡃ௧ įAOB ᄊࣱ
Ѭጳ.  ឰͿ᝽௚ OP ࣱ
ѬįAOB.

ጳ඀ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳੈ̓
ఢፃѾၹઉጮᄊҩข४҂὘ጳ඀ۇᄰࣱ
Ѭጳʽᄊག҂ᤈ౎ጳ඀ː˔ቫ
གᄊᡰሏᄱ኎.  Ϳᑟ᝽௚ᤈʷፇ᝷ՙὝតʷត.
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂᄰጳ MN!ĭ!ABὊۇᡜ௧ག CὊ˅ AC!>!BCὊP ௧ MN
ʽᄊ͊
ਓʷག.  
὆ኄ  ᮥ
὇
஝ߦေᝍ
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ֗
ǁAĂBĂCĂ˗ὊįACB!>įAĂCĂBĂ>!ŃὊCD!ĭ!ABὊ   
CĂDĂĭ!AĂBĂὊۇᡜѬѿ௧ག DὊDĂὊࣳ
˅ CD!>!CĂDĂὊAC!>!AĂCĂ.  
 ර᝽὘὆὇įA!>įAĂὙ὆὇AB!>!AĂBĂ.  
὆ኄ  ᮥ
὇
4   线段的垂直平分线
̆
Գ一˔直角三角形的一直
角᣸，ѷᤈː˔直角三角形
不全等. ښ第（2）题中，ႀ
一˔ᩩ
角ᄱ等可判定ᤈː˔
直角三角形的三˔角分ѿᄱ
等，൥௑ᔪᄱ等的᣸௧直角
᣸，ੋ
ᄱ等的᣸௧ப᣸，ѷ
ک可ႀA A S 定理判定ː˔直
角三角形全等Ὑᔪ一˔直角
三角形的ப᣸等̆
Գ一˔直
角三角形的一直角᣸，ѷᤈ
ː˔直角三角形不全等. 
2 . ଢᇨ：（1 ）可̿
证明 
R t ǁCDE ≌ R t ǁABF，४ CE 
= AFὙ
  （2）ႀ∠C = ∠A，४ AB ĩ   
            CD. 
3 . ଢᇨ：Џ 证R
t ǁ A D C ≌ 
R
t ǁ A ′ D ′ C ′（H
L
），४
∠A = ∠A ′，г 证ǁ A C B 
≌ǁA′C′B′（A S A ）. 
4. ଢᇨ： Ѿ用 H L 定理证明 
R t ǁOMP ≌ R t ǁONP. 
教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊnj࿯฾nj证明的᣿程，ᤉ一൦ʹ͘
证明的必要性，ܙू
证明ਓគ和能ҧ. 
2. 证明线段垂直平分线的性质定理，ଊጊࣳ
证明线段垂直平分线的判定定理，ᤉ一൦发࡙
଎理
能ҧ. 
3. 能ᤂ用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解х᫈
题. 
4. ࣃᅼअ᣸ԣअ᣸上的ᰴ，能用ࡇ᜻ͻ出等腰三角形Ὑ能用ࡇ᜻᣿一གͻࣃᅼ直线的垂线. 
ό1ύ应Џᝨ学生ᒭࣂ思考证明的思路和方ข，ࣳ
࠽តи出证明᣿程. 
ό2ύ教科书௧ښ线段垂直平分线上任ԩ一ག P 证明ᤈ一定理的. 要证明一˔图形上ඈ一གᦐЦ有
౽መ性质，Զᭊښ图形上任ԩ一གͻ̽
᛫. ݠ౧ਫ਼ԩག P 与ག C 重合，ᥧ˦௭ཀྵፇ᝷ੇ
ቡ，ڂ൥证
明᣿程中的ག P 与ག C 不重合. 
ό1ύ
ό2ύ
山东教育出版社
ݠڏਫ਼ᇨὊښࣃᅼ
出版
ݠڏਫ਼ᇨὊښࣃᅼ
ႇ
育
ႇOA
育
OA ᄊۇጳὊ᣿ག
育出
ᄊۇጳὊ᣿ག
AOB
育
AOB ᄊࣱ
Ѭጳ
教育出
ᄊࣱ
Ѭጳ.
育
. ឰͿ
育出
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东教育
版社
὇
版
὇
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
҂὘ጳ඀ۇᄰࣱ
Ѭ
版社
҂὘ጳ඀ۇᄰࣱ
Ѭ
ፇ᝷ՙὝតʷត
版社
ፇ᝷ՙὝតʷត
Ὂᄰጳ
出版
Ὂᄰጳ MN
出版
 MN ĭ
出版
ĭ
ႀ
社
ႀ
定
社
定ᤈ
社
ᤈː
社
ː˔
社
˔
˔
版
˔角
版社
角分
版社
分ѿ
版社
ѿᄱ
社
ᄱ
ᄱ
出
ᄱ等
出版
等的
出版
的᣸
出版社
᣸௧
版社
௧直
版社
直
等
出
等的
出
的᣸
出版
᣸௧
出版
௧ப
出版
ப᣸
版
᣸
ႀ
育
ႀA A S
育出
A A S 定
育出
定理
育出
理判
出
判
三
教育
三角
教育
角形
教育
形全
育
全等
育
等
三
教
三角
教
角形
教育
形的
教育
的ப
育
ப
角
东教
角三
东教
三角
教
角形
教
形
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东教
ː˔
2
东
2
目ಖ
教
目ಖ
1
东
1. 
东教
. ፃԋଊጊ
东教
ፃԋଊጊ
2
东
2.
东
. 证
东教
证明
东教
明
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山东
能ҧ.
山
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山东教育出版社
）
社
）
证
社
证ǁ
社
ǁ A
社
A C
社
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A ）
版
）.
版社
.
用
出版
用H L
版社
H L
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版社
定理
版社
理证
社
证
MP
出
MP ≌
出版
≌R t
出版
R t ǁ
出版
ǁON
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必要性，ܙू
证
山东教
必要性，ܙू
证
段
山
段垂
山
垂直
山东
直平
山东
平分
山东
分线
东
线
题
山
题
 
170
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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Ϳᑟиѣʽ᭧ᤈ˔ࠀေᄊᤤ֑ᮥ
ՙὝ߲
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Ѭጳʽ.
Γ
 ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂښ ǁABC ˗ὊAB!=!ACὊO ௧ ǁABC ЯʷགὊ
˅ OB!=!OC.  
ර᝽὘ᄰጳ AO ۇᄰࣱ
Ѭጳ඀ BC.
᝽௚Ὁı AB!=!ACὊ
İ ག A ښጳ඀ BC ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳʽ὆҂ጳ඀ː˔ቫག
ᡰሏᄱ኎ᄊགښᤈ౎ጳ඀ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳʽ὇.
ՏေὊག O ښጳ඀ BC ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳʽ.
İ ᄰጳ AO ௧ጳ඀ BC ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳ὆ː
གᆸࠀʷ౎ᄰጳ὇.
ڏ .
ݠ౧ག P ˁག C ᧘
ՌὊᥧ˦ፇ᝷௭ཀྵੇ
ቡ.
A
O
B
C
ڏ .
ͿᤇదХ̵
᝽௚வขՙὝ
ࠀေ
 ጳ඀ۇᄰࣱ
Ѭጳʽᄊག҂ᤈ౎ጳ඀ː˔ቫགᄊᡰሏᄱ኎.  
ර᝽὘PA!>!PB.  
Ѭౢ
Ὁ᜶ਇ᝽௚ PA!>!PBὊԶᭊ᝽௚
ǁPCA!ĭǁPCB.  
᝽௚ὉıMN!ĭ!ABὊ
İįPCA!>įPCB!>!Ń.  
ıAC!>!BCὊPC!>!PCὊ
İǁPCA!ĭǁPCB὆SAS὇.  
İPA!>!PB὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇.  

第十章 三角形的有关证明
ਇʷਇ
ळ࠮学生ࠫ
性质定理ᤉ行
ᤤՔ思考，ଢ出࿯ਇ，ཀྵՑҫ̿
证明. ᤈ௧ᖍ४新的ї͵ፇ
᝷的一መ࣢用方ข. ڂ˞ᤈ˔
性质定理不௧“ݠ౧ᥧ˦
”的形式，ਫ਼̿
学生ឭ出ੋ
и出߲
的ᤤ命题௑可能͘
有
一定的ڈᬲ. 教师可̿
ळ࠮学生
分ౢ߲
的౎件和ፇ᝷，ги出
Хᤤ命题，తՑ要ර学生࠲证
明᣿程书и出౏. 
下᭧证明᣿程Ι参考. 
ࣃᅼ：ݠ图，线段 AB，PA 
= PB. 
ර证：ག P ښ线段 AB 的
垂直平分线上. 
证明：᣿ག P ͻ直线 MNľAB，垂ᡜ˞ག C，ѷ PC ௧ǁPAB 的ᰴ. 
ı PA = PB，
İ ǁPAB ௧等腰三角形. 
İ PC ௧ǁPAB 的中线（三线合一）. 
İ AC = BC. 
İ 直线 MN ௧线段 AB 的垂直平分线. 
İ གP ښ线段 AB 的垂直平分线上. 
证明ᤈ一判定定理有ܳ
መ思路，ᬔ̀
上᭧的方ข，ᤇ可̿
ԩ AB 的中ག C，证明 PCľABὙੋ
ͻ∠APB 的平分线 PC，证明 PCľAB，˅ AC = BC. 
P
A
B
C
M
N
山东教育出版社
版社
版社
İ
社
İ
生
教
生ࠫ
教ࠫ
性
教育
性质
教育
质定
育
定理
育
理
考
东
考，
东
，ଢ
东教
ଢ出
东教
出࿯
教
࿯ਇ
教
ਇ
明
东
明.
东
. ᤈ
东教
ᤈ௧
东教
௧ᖍ
东教
ᖍ४
教
४
᝷
山
᝷的
山
的一
山东
一መ
山东
መ࣢
东
࣢用
东
用
性
山
性质
山
质定
山
定理
山
理不
”
山
”
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
东教育出
 山
ࠀေᄊᤤ֑ᮥ
ՙ
山东
ࠀေᄊᤤ֑ᮥ
ՙ
҂ጳ඀ː˔ቫག
山
҂ጳ඀ː˔ቫག
Γ
ࣃᅼ὘ݠ
 
ࣃᅼ὘ݠ
˅ OB
 OB=OC.  
OC.  
ර᝽὘
 
ර᝽὘
᝽
版社
ڏ
版
ڏ 
版
.
版
.
版

౎ጳ඀ː˔ቫགᄊ
育出
౎ጳ඀ː˔ቫགᄊ
и
社
и出
社
出
生
社
生࠲
社
࠲证
社
证
程Ι参考
出版社
程Ι参考. 
版
. 
ݠ图，线段
出版
ݠ图，线段AB
版
AB
ර
教
ර证
教育
证：
教育
：ག
教育
གP
育
P ښ
育
ښ
直平分线上
教育
直平分线上
证明：
东教
证明：
ı
东
ı
山东教育出版社
教育
ག
版
ག
版社
O
社
O
B
版社
B
ڏ
社
ڏ
出版
育出版
C 
C ௧ǁ
山东
௧ǁP
东教
PAB
东教
AB
PA
P
东教
PA
P
的ᰴ
东教
的ᰴ
171
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
证明߹ᤈ一定理˨Ց，可̿
ಪ据学生的实ᬅৱцښ൥ᤉ行适े
的঴ፇ：线段的垂直平
分线可̿
ᄺੇ
௧҂线段ːቫᡰሏᄱ等的ਫ਼有ག的集合Ὑ线段௧一˔ᣉࠫ
ሦ图形，线段的垂
直平分线௧߲
的一౎ࠫ
ሦᣉ. 
Γ 1
教学中，可能͘
有学生用全等三角形证明：᝺ AO ̔
 BC ̆
ག D，ЏΚ据基本事实 S S S 
证明ǁABO ≌ǁACO，४҂ ∠BAO = ∠CAO，г证明ǁABD ≌ǁACD，̰
ᏫΎ᫈
题४证. 
教师应ฌਓळ࠮学生ࠫ
උːመ证明方ข，ʹ͘
线段垂直平分线的判定定理的ͻ用. 
山东教育出版社
三角
社
三角
B
社
BA
社
A
BA
B
社
BA
B O
社
O =
社
= ∠
社
∠C
社
C
መ证明方ข，
版社
መ证明方ข，
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
本事实
版社
本事实S S S
版社
S S S
Ꮻ
出
ᏫΎ
出版
Ύ᫈
出版᫈
题
出版
题४
版
४证
版
证
理的ͻ用
育出
理的ͻ用. 
出
. 
山东教育出版社
 
172
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. ࣃᅼ὘MN ௧ጳ඀ AB ᄊۇᄰࣱ
ѬጳὊCὊD ௧ MN ʽᄊːག.  
ර᝽὘὆὇ǁABCὊǁABD ௧኎ᒉʼᝈॎὙ
὆὇įCAD!>įCBD.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ݠڏὊښ ǁABC ˗ὊAB!=!ACὊįBAC!=!ŃὊ
AB ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳ̔
 AB ̆
ག EὊ̔
 BC ̆
ག FὊᤌ
ଌ AFὊර įAFC ᄊए஝.
2. ښ̿
ጳ඀ AB ˞अ᣸ᄊਫ਼ద኎ᒉʼᝈॎ˗Ὂ߲̓
Գʷ˔ᮇགᄊͯ
Ꮆద̤
˦СՏྲ
ढ़Ὕ
B
F
C
A
E
὆ኄ  ᮥ
὇
ᬤ۶ጷ˸
1. ݠڏὊࣃᅼ AB ௧ጳ඀ CD ᄊۇᄰࣱ
ѬጳὊE ௧ AB ʽᄊʷག.  ݠ౧ EC!>! cmὊᥧ
˦ ED!>!_______cmὙݠ౧įECD!>!ŃὊᥧ˦įEDC!>!_______Ń.  
὆ኄ  ᮥ
὇
ϢʷϢ
὆὇ၹࡇ᜻ͻѣጳ඀ AB὆ڏ .὇ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳ.  
὆὇ឰͿࡃࡇ᜻ͻጳ඀ AB ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳவขᄊ
൤ᆸভፌѣ᝽௚Ὂࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
A
B
ڏ .

第十章 三角形的有关证明
ϢʷϢࠫ̆
用ࡇ᜻ͻ线段的垂直
平分线，学生ښ七年级上册ࣃ
学᣿，ᤈ᧗可ळ࠮学生回顾，ࣳ
ᝨ̵̓
能ܵ
证明ͻ图方ข的
൤ᆸ性. 
ښ证明ͻ图方ข௑，学生
可能͘
有ܳ
መ思路，උᣗእӭ
的方ข௧Ѿ用线段垂直平分线
的判定定理. 学生的证明Զ要合
理ࡃ应́̿
ᐰ定. 
ᬤ۶ጷ˸
1. 7Ὑ60. 
2. ଢᇨ：（1）Ѿ用线段垂直平
分线的性质定理Ὑ
   （2）证明ǁACD ≌ǁBCD
          （S S S ）. 
˸ᮥ

1. 60c. 
2. ᤈ̏
ᮇགᦐښ线段 AB 的垂
直平分线上. 
东教育出版社
版社
版社
版社
版社
ᬤ
社
ᬤ
山东
学
版
学生
版
生
ᣗ
出
ᣗእ
出版
እӭ
出版
ӭ
垂
育
垂直
育出
直平
育出
平分
育出
分线
出
线
生
育
生的
育
的证
育
证明
育出
明Զ
育出
Զ要
育出
要合
出
合
ᐰ定
教
ᐰ定. 
教
. 
ᬤ۶ጷ˸
山东教
ᬤ۶ጷ˸
1
山
1.
山
. 7
山
7Ὑ
山
Ὑ60
山东
60. 
山
. 
ଢ
山
ଢᇨ
山
ᇨ：
山
：
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
    
ጳ඀
ጳ඀AB
山
AB ᄊۇᄰࣱ
山
ᄊۇᄰࣱ
὇ǁ
὇ǁABC
ABCὊǁ
山
ὊǁABD
山
ABD
įCAD
CAD>į
>įCBD.  
CBD.  
˸ᮥ
 
˸ᮥ

 
ᅼ
出版
௧
育
௧AB
育出
AB ʽᄊʷག
育出
ʽᄊʷག.
出
.
ᥧ˦
育
ᥧ˦į
育
įEDC
育出
EDC>
育出
> _
育
_
山东教育
὆ኄ
东
὆ኄ

社

ᦐ
出
ᦐښ
出
ښ线
出版
线段
出版
段A
出版
AB
版
B
线上
育
线上. 
育出
. 
山东教育
教育
教育出版社
ᝈॎ˗Ὂ߲̓
Գʷ˔
育出
ᝈॎ˗Ὂ߲̓
Գʷ˔
版社
B
F
出版
B
F
A
社
A
E
版社
E
版社
版社
版社
版社
版社
版社
版社
版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
173᫈ᮥ
ᝍх
ᐏጇ઩ࣹ
3. ݠڏὊAὊB ᛫ᇨː˔̲
ःὊ᜶ښ AὊB ʷΟᄊෲࢀ᣸थᤵʷ˔ᆊ݀
ὊΎ߲
҂ː
˔̲
ःᄊᡰሏᄱ኎Ὂᆊ݀
ऄथᤵښ̤
˦ͯ
ᎶὝ
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
4. ݠڏὊښǁABC ˗Ὂࣃᅼ AC!>!ὊBC!>!ὊAB ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳ̔
 AB ̆
ག DὊ̔
 AC ̆
ག EὊරǁBCE ᄊև᫂
.  
5. ࣃᅼᄰጳ l ֗
 l ʽʷག PὊѾၹࡇ᜻ͻᄰጳ l ᄊۇጳὊΎ߲
ፃ᣿ག P.  
Γ
 ර᝽὘ ʼᝈॎʼ౎᣸ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳᄱ̔̆
ʷགὊࣳ
˅ᤈʷག҂ʼ˔
ᮇགᄊᡰሏᄱ኎.
ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂښ ǁABC ˗Ὂ᣸ ABὊBC ᄊ
ۇᄰࣱ
Ѭጳᄱ̔̆
ག P.
ර᝽὘ག P ښ ᣸ A C ᄊۇ ᄰࣱ
Ѭ ጳʽ Ὂ
˅ PA > PB > PC.
᜶ਇ᝽௚ʼ౎ᄰጳᄱ̔̆
ʷགὊԶ᜶ᑟ᝽௚Х˗ː౎ᄰ
ጳᄊ̔
གښԳʷ౎ᄰጳʽԁԻ. 
ڏ .
4   线段的垂直平分线

3. ଢᇨ：ᤌଌ AB，ͻ AB 的垂
直平分线，̔
ෲࢀ̆
ག P. ᆊ݀
应थښག P ܫ. 
4. 50. 
5. ଢᇨ：̿
ག P ˞ړॷnj̿
任
ਓ᫂
˞ӧय़ͻऻ，与直线 l 
ᄱ̔̆
ག A 和 B，ཀྵՑгͻ
线段 AB 的垂直平分线. 
Γ 2
本Γ௧线段垂直平分线的
性质定理和判定定理的应用. 三
角形三᣸的垂直平分线̔̆
一
ག，ᤈ一གሦ˞三角形的ܱ
ॷ. 
三角形的ܱ
ॷ҂三角形三˔ᮇ
ག的ᡰሏᄱ等，ڂ൥可ܱ̿̿
ॷ˞ړॷͻ三角形的ܱ
ଌړ. ᤈ
࠲ښ˵年级下册ᆑቃ. 
要ਇ证明三౎直线ᄱ̔̆
一ག，Զ要证明Х中ː౎直线
的̔
གښԳ一౎直线上ԁ可. ൥
ܫ证明三线Сག的方ขࠫ
学生౏ᝯ有̏
ચ៶，教师应ᤪ൦ळ࠮，不要୲˨᣿ফ，学生߲ࠫ
的ଌ受和
理解要有一˔᣿程. 
山东教育
教育出版社
版社
὆ኄ
版社
὆ኄ
὆ኄ
版社
὆ኄ
社
ᮥ
὇
社ᮥ
὇ᮥ
὇
社ᮥ
὇
BC
出版
BC>
出版
>
出版
Ὂ
版
ὊAB
版
AB ᄊ
版
ᄊ
. 
出
. 
ʷག
教
ʷག P
教育
 PὊѾၹࡇ᜻
教育
ὊѾၹࡇ᜻
ර᝽
山东
ර᝽὘
山东
὘ʼᝈॎ
东
ʼᝈॎ
ᄊᡰሏᄱ኎
山东
ᄊᡰሏᄱ኎.
山
.
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
ᤈʷག҂ʼ˔
山
ᤈʷག҂ʼ˔
社
BC
版
BC ˗Ὂ᣸
版社
˗Ὂ᣸AB
版社
AB
᣸
出
᣸A C
出版
A C ᄊۇ ᄰ
出版
ᄊۇ ᄰ
Ի.
   
ړ
版
ړॷ
版社
ॷnj
版社
nj̿
版社̿
任
社
任
ͻ
出
ͻऻ
出版
ऻ，
出版
，与
版社
与直
版社
直线
版社
线
A
出
A 和
出
和B
出版
B，
出版
，ཀྵ
出版
ཀྵՑ
版
Ց
B 
育
B 的垂直平分
育出
的垂直平分
证
东
证明
东教
明三
东教
三线
东教
线С
教育
Сག
教育
ག的
理解要有一˔
东教
理解要有一˔
山东教育出版社
形
社
形的
社
的ܱ
社ܱ
角
版社
角形
版社
形三
版社
三˔
社
˔ᮇ
社
ᮇ
ڂ
版
ڂ൥
版社
൥可
版社
可̿
版社̿̿
社̿
三
出
三角
出版
角形
出版
形的
出版
的ܱ
版ܱ
ଌ
版
ଌ
年级下册ᆑቃ
育出版
年级下册ᆑቃ
要
育
要ਇ
育
ਇ证
育出
证明
育出
明三
出
三౎
出
౎
一
教
一ག
教育
ག，
教育
，Զ
教育
Զ要
育
要证
育
证
的
东教
的̔
东教育̔
ག
教育
གښ
教育
ښԳ
育
Գ
࠮
东
࠮，
东
，不
东教
不要
东教
要୲
东教
୲˨
教
˨᣿
教
᣿
 
174
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ϢʷϢ
ࣃᅼअ᣸ԣअ᣸ʽᄊᰴὊරͻ኎ᒉʼᝈॎ.  
ࣃᅼ὘ጳ඀aὊh὆ݠڏ .὆὇὇.  
රͻ὘ǁABCὊΎ AB!>!ACὊ˅ BC!>!aὊᰴ AD!>!h.  
ͻข὘
὆὇ͻጳ඀ BC!>!a὆ݠڏ.὆὇὇.  
὆὇ͻ ጳ඀ B C ᄊۇ ᄰࣱ
Ѭ ጳ l Ὂ̔
 BC ̆
ག D.  
὆὇ښ l ʽ੕ԩ DA!>!h.  
὆὇ᤌଌ ABὊAC.  
ǁABC ࡃ௧ਫ਼රͻᄊ኎ᒉʼᝈॎ.  
ᝬʷᝬ
὆὇ࣃᅼʼᝈॎᄊʷ౎᣸ԣᤈ౎᣸ʽᄊᰴὊͿᑟͻѣʼᝈॎՙὝݠ౧ᑟὊ
ᑟͻї˔Ὕਫ਼ͻѣᄊʼᝈॎᦐЛ኎ՙὝ
὆὇ࣃᅼ኎ᒉʼᝈॎᄊअ᣸ԣअ᣸ʽᄊᰴὊͿᑟၹࡇ᜻ͻѣ኎ᒉʼᝈॎ
ՙὝᑟͻї˔Ὕ
᝽௚Ὁı ག P ښ᣸ AB ᄊۇᄰࣱ
ѬጳʽὊ
İ PA = PB὆ጳ඀ۇᄰࣱ
Ѭጳʽᄊག҂ᤈ౎ጳ඀ː˔ቫགᄊᡰሏᄱ኎὇.
ՏေὊPB = PC.
İ PA = PB = PC.
İ ག P ښ᣸ AC ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳʽ὆҂ጳ඀ː˔ቫགᡰሏᄱ኎ᄊགښᤈ౎ጳ
඀ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳʽ὇.
ڏ .
὆὇
a
h
὆὇
l
C
D
B
A

第十章 三角形的有关证明
ᝬʷᝬ
ᤈ᧗᝺Ꮆ的ː˔᫈
题˞学
生ᤉ行ࡇ᜻ͻ图的ଊጊଢῚ
思考ቇᫎ
，Տ௑˷˞下᭧“Ϣ
一Ϣ”的学习ݖ定̀
基ᆩ. 
（1）ᤈನ的三角形能ႇ
出௄数˔. ႀ̆
ᰴ的ͯ
Ꮆ可̿
不
Տ，ڂ൥ਫ਼ႇ出的三角形不ᦐ
全等. 
（2）能ͻ出ː˔三角形. 
ႀ̆
等腰三角形अ᣸上ᰴ的ͯ
ᎶԶ能ښअ᣸的垂直平分线
上，ڂ൥可̿
ښࣃᅼ᣸的ːΟ
ͻː˔三角形，ᤈː˔三角形
全等. 可̿
ᝨ学生ᒭࣂ࠽ត用ࡇ
᜻ͻ出ਫ਼රͻ的三角形. 
ᭊ要ឭ明的௧，ͻ 图分
“定ͯ
ͻ图”和“活ͯ
ͻ图”. 
ҒᏨਓ֊ᅌਫ਼රͻ的图形必ᮌ
ͻښૉ定的ͯ
Ꮆ，ᏫՑᏨѷࠫ
ਫ਼රͻ图形的ͯ
Ꮆ෥有ᆶ性
限制. Γݠ，“ͻࣃᅼ线段的垂
直平分线”࡛̆
定ͯ
ͻ图，
Ꮻ “ࣃᅼː᣸ԣХ݃
角ͻ三角
形”࡛̆
活ͯ
ͻ图. ࠫ̆
定ͯ
ͻ图，能ͻ出ܳ
࠶໘ᡜ౎件的图形，ࡃឭᤈ˔ͻ图题有ܳ
࠶˔“解”. ࠫ̆
活ͯ
ͻ
图，ݠ౧ਫ਼ͻ出的图形ज़൥全等，ᥧ˦不᝷能ͻ出ܳ
࠶˔图形ᦐឭᤈ˔ͻ图题有一˔“解”Ὑݠ౧
ਫ਼ͻ的图形不ᦐ全等，ᥧ˦不全等的੦ካ不Տ的“解”. 
“ࣃᅼअ᣸ԣअ᣸上的ᰴ，රͻ等腰三角形”࡛
活ͯ
ͻ图，ᙊཀྵ໘ᡜ౎件的三角形可ͻ出ː
˔，ͮ
ڂ˞߲̓
全等，஌Զ有一解. ̰
ᤈ一ਓ义上ឭ，໘ᡜᤈ一౎件的等腰三角形௧׭一ᆸ定的. 
ϢʷϢ
ښҒ᭧“ᝬ一ᝬ”的基ᆩ上，߹ੇ
ࡇ᜻ͻ图. Х中，用ࡇ᜻ͻ线段௧О年级下册学习的内ࠔ，
Ꮻͻ线段的垂直平分线௧七年级上册学习的内ࠔ，ڂ൥教学௑要ᝨ学生Џ回ॺᤈ̏
基本ࡇ᜻ͻ图的
Цʹͻข. 教师应ळ࠮学生ʹ͘
ඈ一ͻ图൦ᰡ的ͻ用ԣХ理᝷Κ据. 
     教科书նဘ̀
Цʹͻข，ͮࠫ
学生Զ要රδ႑ͻ图჉ᤜ，不要රи出ͻข. 
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
版社
ᝬ
社
ᝬ̿
版̿
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版
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形
出
形不
出版
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出版
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ː˔
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育出
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育出
角形
出
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角形
教育
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教育
᣸上
育
上ᰴ
育
ᰴ
ښ
东
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东教
अ᣸
东教
᣸的
教
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教
垂直
教
直
ڂ
东
ڂ൥
东
൥可
东教
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东教̿
ښ
东教
ښࣃ
教
ࣃ
ͻ
山
ͻː
山
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山东
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山东
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角形
东
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山
全等
山
等.
山
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山
可̿
山̿
ͻ出
山
ͻ出
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
山
अ᣸ԣअ᣸ʽᄊ
 
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ࣃᅼ὘ጳ඀
 
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出版
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教育出
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东教育
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出版
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出版
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出版
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山东教育出版社
教育
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山
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活
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山
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໘ᡜ
山
໘ᡜ
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
175
4   线段的垂直平分线

ᝬʷᝬ
教学௑，要ᴂҵ学生Џᒭ
˟思考，ཀྵՑ̔ื
. 
Цʹͻขݠ下：
1. 任ԩ一ག K，Ύག K 与
ག P ښ直线 l ːஸὙ
2. ̿
ག P ˞ړॷ，̿
 PK 
的᫂
˞ӧय़ͻऻ，̔
直线 l ̆
ག A 和ག BὙ
3. ͻ线段 AB 的垂直平分
线 m. 
直线 m 垂直̆
直线 l，˅
ፃ᣿ག P. 
˨ਫ਼̿
ښ直线 l 的Գ一Ο
ԩག K，௧˞̀
ͻऻ௑能与直
线 l ᄱ̔̆
ːག. ൥ܱ
，˞̤
˦
直线 m ፃ᣿ག P քὝᤈ௧ڂ˞
PA = PB，ಪ据线段垂直平分线
的判定定理，ག P ښ线段 AB 
的垂直平分线上. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ݠ౧᝺ AB 的中ག˞ D，AC 的中ག˞ G，ᥧ˦图中ᄱ等的线段有 AD = BD，AG = CG，AE 
= BE，AF = CFὙǁAEF 的և᫂
等̆
 2. 
ळ࠮学生关ฌ ∠BAC὜90cᤈ˔౎件的必要性. 
2.（1）（2）ଢᇨ：ͻǁP R ː᣸的垂直平分线，Х̔
གԁ˞ʹ育中ॷ G 的ͯ
Ꮆ. 
   （3）႕.  
 
 
 
 
 
 
第（3）题௉ښळ发学生ࠫ
ᤈ一ဘ实᫈
题的ᤉ一൦思考. 实ᬅ上，ࠫ
ᤈዝᤥڧ᫈
题，̰
不Տ角ए
考ᘽ͘
有不Տ的方ವ. ݠ౧考ᘽᤂүր̰
三˔ۢ
᪚҂ʹ育中ॷ的路程᫈
题，ᥧ˦ࡃ͘
要ර等ᡰὙݠ
౧考ᘽ̰
三˔ۢ
᪚҂ʹ育中ॷ的᥋路的थ᝺ੇ
本，ᥧ˦ࡃ͘
要ර三段ᡰሏ˨和త࠵. 学生的ንವԶ
要有᥋理ࡃ应́̿
ᐰ定与ᴂҵ. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
K
版
K，
版
，Ύ
版社
Ύག
版社
གK
版社
K 与
社
与
ːஸὙ
出版
ːஸὙ
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育
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育出
P ˞
育出
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出版
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出版
ॷ
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育
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育出
ͻऻ
育出
ऻ，
出
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出̔
A
教
A 和ག
教育
和གB
教育
BὙ
育
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3
东教
3.
教
. ͻ
教育
ͻ线
教育
线
线
东教
线m. 
东教
m. 
直
东
直
ፃ
ᬤ۶ጷ˸
东教育
ᬤ۶ጷ˸
1
东
1. 
东教
. ݠ౧᝺
东教
ݠ౧᝺
= BE
山东
= BE，
东
，AF
东
AF
ळ
山东教育出版社
线
社
线段
社
段
中ᄱ等的线段
山东
中ᄱ等的线段
 
176
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第十章 三角形的有关证明
˸ᮥ

1. ស三角形௧一˔等腰直角三
角形. 
2. ଢᇨ：Џ 证∠A = ∠C = 
30c，гᤌଌ DB，४ AD 
= DB，∠ABD = 30c，г
证 DB =  1
2
 DC（ښ直角三
角形中，ݠ౧一˔ᩩ
角等̆
 
30c，ᥧ˦߲
ਫ਼ࠫ
的直角᣸
等̆
ப᣸的一ӧ）. 
3. ଢᇨ：（1）ႀAE = DE，可
४∠EAD =∠EDAὙ
（2）Џႀ FD = FA，可४
∠FDA =∠FAD，г证
∠FDA =∠DACὙ
（3 ）∠E A C = ∠E A D - 
∠DAC，∠B =∠ADC - 
∠BAD. 
4. 应ᤥ方ವ（3）. 
ଢᇨ：᝺ǁABC 的᣸᫂
˞ 1. ښ R t ǁADC 中，Ѿ用Ӈ股定理可ර४ AD =  3
2 Ὑښ R t ǁODC 中， 
ႀ∠OCD = 30c，४ OC = 2OD，гѾ用Ӈ股定理可ර४ OD = 3
6 ，ڂᏫ OC = 3
3 . ̆
௧，AB 
+ BC = 1 + 1 = 2ὙAD + BC = 3
2 + 1 ≈ 1. 866ὙOA + OB + OC = 3
3 + 3
3 + 3
3 = 3 ≈ 1. 732. 
山东教育出版社
版社
版社
角
版
角三
版
三ᩩ
出ᩩ
角
出
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出版
等̆
出版̆ࠫ
育ࠫ
的
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直角
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教育
ӧ）
教育
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教育
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）ႀ
教育
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D
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D =
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=∠
东教
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教
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教
DA
D
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东
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东
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东教
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东教
FD
东教
D
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山东
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东
FD
东
D
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F
东
FD
F
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东
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山
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3
山
3
山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
应ᤥ方ವ（
教育
应ᤥ方ವ（3
育
3
ଢᇨ：᝺
东教
ଢᇨ：᝺
ႀ
东
ႀ
山东教育
教育
教育出版社
Ӈ股定理可ර४
山东
Ӈ股定理可ර४
山
可ර४
山
可ර४
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
177
ᝬʷᝬ
ᤇᝮ४ᝈࣱ
Ѭጳʽᄊགద̤
˦ভ᠏
ՙὝͿ௧টನ४҂ᄊὝͿᑟ᝽௚߲
ՙὝ
ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊOC ௧įAOB ᄊࣱ
ѬጳὊག P ښ OC ʽὊPD ĭ OAὊ
PE ĭ OBὊۇᡜѬѿ˞ག DὊE.  
ර᝽὘PD!>!PE.  
᝽௚Ὁıį!>įὊOP!>!OPὊ
įPDO!>įPEO!>!ŃὊ
İǁPDO!ĭǁPEO὆AAS὇.  
İPD!>!PE὆Л኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸ᄱ኎὇.  

ᝈࣱ
Ѭጳ
ࠀေ
 ᝈࣱ
Ѭጳʽᄊག҂ᤈ˔ᝈᄊː᣸ᄊᡰሏᄱ኎. 

Ϳᑟиѣᤈ˔ࠀေᄊᤤ֑ᮥ
ՙὝ߲
௧ᄾ֑ᮥ
ՙὝݠ౧௧ὊឰͿ᝽௚߲
.  
ࠀေ
 ښʷ˔ᝈᄊЯᦊὊࣳ
˅҂ᝈᄊː᣸ᡰሏᄱ኎ᄊགὊښᤈ˔ᝈᄊࣱ
Ѭጳʽ.


ࣃᅼ὘ݠڏ .Ὂག P ˞įAOB ЯʷགὊPD!ĭ!OAὊPE!ĭ!OBὊۇᡜѬ
ѿ˞ DὊEὊ˅ PD!>!PE.
ර᝽὘OP ࣱ
ѬįAOB.
᝽௚Ὁı PD!ĭ!OAὊPE!ĭ!OBὊۇᡜѬѿ˞ག DὊEὊ
İ įODP!>įOEP!>!Ń.
ڏ .


C
A
D
P
B
E
O
5   角平分线

教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊnj࿯฾nj证明
的᣿程，ᤉ一൦ʹ͘
证明的必
要性，ܙू
证明ਓគ和能ҧ. 
2. 证明角平分线的性质定
理，ଊጊࣳ
证明角平分线的判
定定理，ᤉ一൦发࡙
଎理能ҧ. 
3. 能ᤂ用角平分线的性质
定理和判定定理解х᫈
题. 
ό1ύ学生ښ七年级上册ఢ
ፃଊጊࣳ
ᝣគ̀
ᤈ一ፇ᝷，ᤈ
᧗应Џᝨ学生回ॺଊጊ᣿程，
ཀྵՑᒭ˟思考证明的思路和方
ข，ࣳ
࠽តи出证明᣿程. 
ό2ύ角平分线的性质定理与
线段垂直平分线的性质定理中
ᦐଢ҂“ᡰሏᄱ等”，ͮ
ᤈː
˔“ᡰሏ”有ӝѿ. 线段垂直平
分线性质定理中的“ᡰሏ”௧
ːག˨ᫎ
的ᡰሏ，Ꮻ角平分线
性质定理中的“ᡰሏ”௧ག҂
线（࠱线）的ᡰሏ. ښ教学中，
要ळ࠮学生ӝ分ᤈː˔“ᡰ
ሏ”的不Տ. 
ᝬʷᝬ
ښ上一ᓬ学习中，学生ࣃፃԋ̀
౞ᤵ线段垂直平分线性质定
理的ᤤ命题的᣿程，ڂ൥学生ࠔ௜用ዝඋ的方ข౞ᤵ角平分线性
质定理的ᤤ命题. ښԬᤘХᤤ命题௑，可不ҫ̤
˦౎件，ͮ
ᰎ证
ХᄾϜ௑，教师应ळ࠮学生ฌਓ角平分线௧ښ角的内ᦊ的࠱线，
ਫ਼̿
ࡃ要ᬄҫ“ښ角的内ᦊ”ᤈ˔౎件̀
. 
事实上，̰
Տ一ག出发的ː౎࠱线一ᓊ组ੇ
ː˔角，Ꮻ “角
的内ᦊ”ᤰ࣢௧ૉХ中࠵̆
 180c的角的内ᦊ，Х͸ᦊ分˞角的ܱ
ᦊ. ݠ图ਫ਼ᇨ，҂ ∠AOB 的ː᣸ᡰሏᄱ等的ག的集合应௧࠱线
OC，OD，OE 和 OF，ͮ
Х中Զ有࠱线 OC（ԁښ ∠AOB 内ᦊ的
ό1ύ
ό2ύ
D
C
E
F
O
G
B
A
H
ό3ύ
山东教育出版社
ʷᝬ
山
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४
社
४
ѬጳὊག
版社
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社
P ښ
社
ښ O
社
 O
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教育
AAS὇
教育
὇.  
教育
.  
኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸
教育
኎ʼᝈॎᄊࠫ
ऄ᣸
山东教
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东教
ᝈࣱ
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
山
社     
ݠ౧௧ὊឰͿ᝽
 
ݠ౧௧ὊឰͿ᝽
᣸ᡰሏᄱ኎ᄊག
 
᣸ᡰሏᄱ኎ᄊག
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版
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版社
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版社
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社
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育
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出版
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版社
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社
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出
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出版
角平
出版
平分
出版社
分线
版社
线的
版社
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一൦发࡙
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出版
一൦发࡙
଎理
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育
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ᤂ用
育出
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育出
角平
育出
平分
出
分
和判定定理解
教育
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东教
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教
学
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东教
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东教
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东教
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东
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东
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东教
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山东教
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东教
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东
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山东
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山东
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山东
ᤤ命
东
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山
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山
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山东教育出版社ͮ
社ͮ
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社
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社
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社
直平
社
平
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版社
“ᡰ
版社
ᡰሏ
版社
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社
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社
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ሏ，
出版
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版社
Ꮻ角
版社
角平
版社
平分
社
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中
出
中的
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出版
“ᡰ
出版
ᡰሏ
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育
࠱线
育
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育出
ᡰሏ
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ळ
教育
ळ࠮
教育
࠮学
教育出
学生
育出
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育出
ӝ
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教育
ሏ”的不Տ
线
山
线性
山
性质
山东
质定
山东
定
平
山
平分
山
分线
山
线性
山
性ͮ
山ͮ
ᰎ
山
ᰎ
178
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
࠱线）੦௧ ∠AOB 的平分线. ڂ൥，ᤤ命题必ᮌܙҫ“ښ角的内ᦊ”的౎件，੦能δ证߲
௧ᄾ命题. ࠫ
൥，教师不必Ք学生Ϣ更ܳ
解᧖，Զ要学生能̰
直᜺上ҫ̿
理解ԁ可. 
ό3ύ教师应ᴂҵ学生Џᒭ˟证明，ཀྵՑᤉ行̔ื
，ࣳ
᜻ᔵ书иಫ式. 
山东教育出版社
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
山东教育出版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
179
5   角平分线

Γ 1
学生ᤇ可能ᤂ用 H L 定理
证明 R t ǁAED ≌ R t ǁAFD，
४҂∠EAD = ∠ FAD. 教师可
ᤰ᣿ळ࠮学生ࠫ
උᤈːመ证明
方ข，ʹ͘
角平分线判定定理
解хᤈዝ᫈
题的እΧ性. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ADľAE. 
2. ં
公路njᨡ路ᄺੇ
ː౎ᄱ̔
直线，ͻ出Х̔
角的平分线
OB（O ˞ᮇག），ښ OB 上
ͻ OC，Ύ OC = 2. 5 c m ，ག
C ԁ˞ਫ਼ර. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
ᤂ
版
ᤂ用
版
用H L
版社
H L
定
版社
定理
社
理
D
出
D ≌ 
出版
≌R t
出版
R t ǁ
版
ǁA
版
AF
版
F
D
育
D =
育出
= ∠
育出
∠F
出
FA
出
A
FA
F
出
FA
F D
出
D
ळ
教
ळ࠮
教育
࠮学
教育
学生
育出
生ࠫ
育出ࠫ
උ
出
උ
ข
教
ข，
教
，ʹ
教育
ʹ͘
教育͘
角
育
角平
育
平
解хᤈዝ᫈
东教
解хᤈዝ᫈
山东教育出版社
平
社
平分
社
分
ښ
社
ښ O
社
OB
社
B
OB
O
社
OB
O
上
社
上
C
版
C =
版
= 2
版社
2.
版社
. 5
版社
5 c m
版社
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社
，ག
ර
出
ර.
出
.
 
180
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
ᐏጇ઩ࣹ


1. ႇʷ˔኎ᒉᄰᝈʼᝈॎὊښ߲
ᄊப᣸ʽරͻʷགὊΎ߲
҂ː౎ᄰᝈ᣸ᄊᡰሏᄱ኎
὆ˀиႇข὇.  ᤈʷག҂ᄰᝈ᣸ᄊᡰሏˁᄰᝈ᣸᫂
ద̤
˦ТጇὝᤈʷག҂ʼ˔ᮇ
གᄊᡰሏ˨ᫎ
ద̤
˦ТጇὝ᝽௚Ϳᄊፇ᝷.
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ˗ὊAD ௧įBAC ᄊࣱ
ѬጳὊBD!>!CDὊDE!ĭ!ABὊ
DF!ĭ!ACὊۇᡜѬѿ˞ག EὊF.  ර᝽὘EB!>!FC.  
4. ݠڏὊරͻʷག PὊΎ PC!>!PDὊࣳ
˅ག P ҂ įAOB ː᣸ᄊᡰሏᄱ኎.
B
C
E
A
D
὆ኄ  ᮥ
὇
B
O
A
D
C
὆ኄ  ᮥ
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὆ኄ  ᮥ
὇
A
E
B
C
F
D
3. ݠڏὊښ ǁABC ˗ὊįC!>!ŃὊįA!>!ŃὊͻ AB ᄊۇᄰࣱ
ѬጳὊ̔
 AB ̆
ག DὊ̔
 AC ̆
ག EὊᤌଌ BEὊѷ BE ࣱ
Ѭ įABC.  ឰ᝽௚ᤈʷፇ᝷.  Ϳదїመ
᝽௚வขὝ

第十章 三角形的有关证明
˸ᮥ

1. ଢᇨ：ͻស直角三角形直角
的角平分线，ស平分线与ப
᣸的̔
གԁ˞ਫ਼ර. សག҂直
角᣸的ᡰሏ等̆
直角᣸᫂
的
一 ӧὙᤈ一ག҂三˔ᮇག的
ᡰሏᄱ等. 
2. ଢᇨ：可证明R t ǁBDE ≌ 
R t ǁCDF. 
3 . ଢᇨ：可̿
Џ 证明B D = 
BC，ᤉᏫ证明R t ǁBDE ≌ 
R t ǁBCEὙ˷可̿
Џ证 AE 
= BE，̰
Ꮻ∠ ABE = ∠ A = 
30c，ԁ∠ABE = 1
2 ∠ABC. 
4. ଢᇨ：ͻ线段 CD 的垂直平
分线， гͻ∠AOB 的平分
线，ː线的̔
གԁ˞ਫ਼ර. 
山东教育出版社
版社
版社
2
社
2
D
社
D
D
出
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出版
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出版
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Џ
育
Џ 证
育
证明
育出
明B
育出
B D
育出
D
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教
证明
教育
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教育
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教育
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BD
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E
E
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EὙ
教
Ὑ˷
教育
˷可
教育
可̿
教育̿
Џ
育
Џ
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，̰
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东教
∠AB
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AB
30
山
30c
山
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山东
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东
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山
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山
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山
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山
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山
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山东教育出版社       
山东教育出版社
山
      山东教育出版社
ᝈ᣸ᄊᡰሏᄱ
社
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ጇὝᤈʷག҂ʼ˔ᮇ
版社
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出版
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出版
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D
B
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东
὆ኄ
东
ᮥ
东ᮥ
东教育
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B
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山东教育出版社
教育
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版社
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A
社
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὇
版社ᮥ
὇
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
181
Γ
 ර᝽὘ʼᝈॎᄊʼ౎ᝈࣱ
Ѭጳᄱ̔̆
ʷགὊࣳ
˅ᤈʷག҂ʼ౎᣸ᄊ
ᡰሏᄱ኎.
ࣃᅼ὘ݠڏ .ὊǁABC ᄊᝈࣱ
Ѭጳ BMὊCN ᄱ̔̆
ག PὊ᣿ག P Ѭѿͻ ABὊBCὊAC ᄊۇጳὊۇᡜѬ
ѿ˞ག DὊEὊF .  
ර᝽὘ག P ښįA ᄊࣱ
ѬጳʽὊ˅ PD > PE > PF .  
᝽௚ὉıBM ௧ǁABC ᄊᝈࣱ
ѬጳὊག P ښ BM ʽὊ
İPD!>!PE὆ᝈࣱ
Ѭጳʽᄊག҂ᤈ˔ᝈᄊː᣸ᄊᡰሏᄱ኎὇.  
ՏေὊPE!>!PF.  
İPD!>!PE!>!PF.  
İག P ښįA ᄊࣱ
Ѭጳʽ὆ښʷ˔ᝈᄊЯᦊὊࣳ
˅҂ᝈᄊː᣸ᡰሏᄱ኎ᄊ
གὊښᤈ˔ᝈᄊࣱ
Ѭጳʽ὇.  
Γ
 ݠڏ .ὊښǁABC ˗ὊAC!>!BCὊįC!>!ŃὊAD ௧ǁABC ᄊᝈࣱ
ѬጳὊDE!ĭ!ABὊۇᡜ˞ག E.  
὆὇ࣃᅼ CD!>!
Ὂර AC ᄊ᫂
Ὑ
὆὇ර᝽὘AB!>!AC!,!CD.  
὆὇ᝍὉıAD ௧ǁABC ᄊᝈࣱ
ѬጳὊ
İDE!>!CD!>!
὆ᝈࣱ
Ѭጳʽᄊག҂ᤈ˔ᝈᄊː᣸
ᄊᡰሏᄱ኎὇.  
ıAC!>!BCὊ
İįB!>įBAC὆኎᣸ࠫ
኎ᝈ὇.  
ıįC!>!ŃὊ
İįB!>!
 ġ὆Ń.!Ń὇>!Ń.  
İįBDE!>!Ń.!Ń>!Ń.  
İBE!>!DE὆኎ᝈࠫ
኎᣸὇.  
ښ኎ᒉᄰᝈʼᝈॎ BDE ˗Ὂ
BD!>!
!>! ὆
὇
+὆
὇
 !>!὆Ӈᐧࠀေ὇Ὂ
İAC!>!BC!>!CD!,!BD!>!
!,!!.  
ڏ .
ڏ .
5   角平分线

Γ 2
本Γ௧角平分线的性质定
理和判定定理的应用. 三角形三
౎角平分线̔̆
一ག，ᤈ一ག
ሦ˞三角形的内ॷ. 三角形的内
ॷ҂三角形三᣸的ᡰሏᄱ等，
ڂ൥可̿̿
内ॷ˞ړॷͻ三角
形的内ѭړ. ᤈ࠲ښ˵年级下册
ᆑቃ. 
教学௑可̿
ळ࠮学生ዝඋ
上一ᓬΓ 2 的证明方ข，ᖍ४
证明ኖ႕. 
Γ 3
本Γᭊ要ᤂ用Ғ᭧ਫ਼学的ܳ
˔定理，Ꮻ˅࠲ᝠካ和证明
ᚸ合ښ一ᡑ，ᄬ的௧Ύ学生ᤉ
一൦理解njଂଧᤈ̏
ᅼគ和方
ข，ࣳ
能፬合ᤂ用߲̓
解х᫈
题. 
ό1ύᤈ᧗ಪ据等腰三角形的性质଎出：等腰直角三角形的अ角等̆
 45c. ᤈ一ፇ᝷̿
Ց可̿
直ଌ
Ύ用，଎࠮᣿程可̿
ᄵ႕. 
ό2ύ有一˔角等̆
 45c的直角三角形௧等腰直角三角形. ᤈ一ፇ᝷̿
Ց˷可̿
直ଌΎ用. 
ᤈː˔ፇ᝷ᄺͫ
እӭ，ͮ
ᤈ᧗̯
要证明. ڂ˞ښ本套教科书的ʹ系下，Ғ᭧෥有出ဘ᣿ᤈː˔
定理. 
ό1ύ
ό2ύ
山东教育出版社
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社
ʽὊ
᣸ᄊᡰሏᄱ
社
᣸ᄊᡰሏᄱ
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出版
˔ᝈᄊЯᦊὊࣳ
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教育
ښǁABC
教育
ABC ˗Ὂ
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教育
ۇᡜ˞ག E. 
教育
 E. 
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东教
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东教
ὊරAC 
教
AC ᄊ
教
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东
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东
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东教
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东教
AC,
东教
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山
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山东
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山东
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山东
CD>
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山东
኎὇
山
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山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
˗Ὂ
出版
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出版
὆
出
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出版
出版
὇
出版
὇

出版
+
出版
+὆
版
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,BD
育出
BD>
育出
>
育出
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出
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社
三
ᤈ
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社
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三
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版社
角形
版社
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版社
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社
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出
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出版
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出版
ᡰሏ
出版
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版
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版
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内ॷ
出
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˞ړ
出版
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出版
ॷͻ
版
ͻ
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育
ѭړ
育
ړ.
育
. ᤈ
育出
ᤈ࠲
育出
࠲ښ
出
ښ˵
出
˵
ቃ
教
ቃ. 
教
. 
教
东教育
教学
教育
学௑
教育
௑可
育
可
上
东教
上一
东教
一ᓬ
东教
ᓬΓ
教
Γ
证明ኖ
东
证明ኖ
ύ
教
ύᤈ
教
ᤈ᧗
教育
᧗ಪ
教育
ಪ据
教育
据等
育
等
用，଎࠮᣿程
东教
用，଎࠮᣿程
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东
ό2
东
2ύ
东
ύ
ύ
版
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山东教育出版社
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东
角等
东教
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东教̆
4
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45
教
5c
教
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形
山
形.
山
. ᤈ一ፇ
山
ᤈ一ፇ
 
182
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊįC!>!ŃὊįB!>!ŃὊAD ௧ RtǁABC ᄊᝈࣱ
Ѭጳ.  
ර᝽὘BD!>!CD.  
ᬤ۶ጷ˸
A
C
D
B
A
C
D
N
B
M
E
F
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ࣃᅼ὘ ݠڏὊښ Rt ǁABC  ˗ὊįACB = ŃὊįB = ŃὊADὊCE Ѭѿ௧ įBACὊ
įBCA ᄊࣱ
ѬጳὊAD ˁ CE ᄱ̔̆
ག FὊFM ĭ!ABὊFN ĭ!BCὊۇᡜѬѿ˞ག  MὊN.
   ර᝽὘FE > FD.
὆὇᝽௚Ὁښ RtǁACD ֗
 RtǁAED ˗Ὂ
ıCD!>!DEὊAD!>!ADὊ
İRtǁACD!ĭ!RtǁAED὆HL὇.  
İAC!>!AE.  
ıBE!>!DE!>!CDὊ
İAB!>!AE!,!BE!>!AC!,!CD.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
1. ࣃᅼ὘ݠڏὊǁABC ᄊܱ
ᝈįCBD ֗
įBCE ᄊࣱ
Ѭጳᄱ̔̆
ག F.  
 ර᝽὘ག F ښįDAE ᄊࣱ
Ѭጳʽ.  
὆ኄ  ᮥ
὇

第十章 三角形的有关证明
ᬤ۶ጷ˸
1. ଢᇨ：BD = AD，Ꮻ AD = 
2CD. 
2. ଢᇨ： ᣿ག F ͻ AC 的垂
线， 垂ᡜ˞ H， 可̿
证明
FM = FH = FNὙ ཀྵՑ证明
∠FDN = 75c，∠CFD = 
60c，∠FEM = 75c，ਫ਼̿
ǁFEM ≌
 ǁFDN，̰
Ꮻ FE 
= FD. 
˸ᮥ

1. ଢᇨ：᣿ག F 分ѿͻ BD，
BC，CE 的垂线段. 
山东教育出版社
版社
1
社
1
社
ᬤ
社
ᬤ
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版
=
ͻ
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ͻ A
出
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育出版
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出版
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H
育
H，
育
，可
育出
可̿
育出̿
证
育出
证明
出
明
=
教
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教育
FN
教育
N
FN
F
教育
FN
F Ὑ
教育
Ὑཀྵ
育
ཀྵՑ
育
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=
教
= 7
东教
75
教
5c
教育
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教
，∠
育
∠
，
东
，∠
东教
∠F
东教
FE
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FE
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东教
M =
教
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ǁ
山
ǁF
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FE
山东
E
FE
F
山东
FE
F M
山东
M
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山东
EM
E
≌
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≌ǁ
东
ǁ
= FD. 
山东
= FD. 
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
ǁ
育
ǁABC 
育出
ABC ᄊᝈࣱ
Ѭጳ
育出
ᄊᝈࣱ
Ѭጳ
出版
Rt
山
Rt ǁ
山
ǁABC
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ABC ˗Ὂ
山东
˗Ὂį
东
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ѬጳὊAD
山
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山
ˁ CE
山
 CEᄱ̔
山
ᄱ̔
E 
E > FD
 FD
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D.
D.
D
      
˸ᮥ
˸ᮥ

 

ᅼគ੿
 
ᅼគ੿
1.
 
1. ࣃ
山东教育
教育
教育出版社

育
ᮥ
὇
育ᮥ
὇
育出
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
183᫈ᮥ
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3. ݠڏὊʼ౎Н᡹Ѭѿᄱ̔̆
 AὊBὊC ʼགὊဘᝠѳξथʷ˔෴ः.
὆὇ݠ౧᜶ර෴ः҂ː౎Н᡹ ABὊAC ᄊᡰሏᦐᄱ኎Ὂᥧ˦ݠ͵ᤥહ෴ःᄊͯ
ᎶὝ
὆὇ݠ౧᜶ර෴ः҂ᤈʼ౎Н᡹ᄊᡰሏᦐᄱ኎Ὂᥧ˦ݠ͵ᤥહ෴ःᄊͯ
ᎶὝ
A
C
B
὆ኄ  ᮥ
὇
2. ࣃᅼ὘ݠڏὊP ௧įAOB ᄊࣱ
ѬጳʽᄊʷགὊPC!ĭ!OAὊPD!ĭ!OBὊۇᡜѬѿ˞
 
ག CὊD.  
 ර᝽὘὆὇OC!>!ODὙ
὆὇OP ௧ CD ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳ.  
὆ኄ  ᮥ
὇
5   角平分线

2. ଢᇨ：（1）可̿
证明 R t ǁOCP 
   
 ≌ R t ǁODPὙ（2）Ѿ用等腰
三角形“三线合一”定理. 
3.（1）෴ः应थښ公路 AB 和
AC ౞ੇ
的݃
角的角平
分线上Ὑ
（2）෴ः应थښ三౎公路 
AB，AC，BC ːːᄱ̔
ਫ਼౞ੇ
的角平分线的̔
གܫ. ݠ图，໘ᡜ౎件
的෴ःͯ
Ꮆ有 4 ˔，分
ѿ௧图中ག P 1，P 2，
P3，P4 ਫ਼ښ的ͯ
Ꮆ. 
P4
A
B
C
P1
P2
P3
（第 3 题）
山东教育出版社̔̆
育̔̆
A
育
AὊ
育
ὊB
育出
BὊ
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ὊC 
育出
C ʼག
出
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教育出
҂ː౎Н᡹AB
育
ABὊ
育
ὊA
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东教育
ර෴ः҂ᤈʼ౎Н᡹
版社ᮥ
὇
版ᮥ
὇
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
    山
理
社
理.
社
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社
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社
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版݃
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版社
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版社
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版社
角平
社
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出
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出版
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ښ三
出版
三౎
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B，
育
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C，
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教育
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教育
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教育
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教育
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教
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山东教育出版社
育出版社
C
社
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出
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育出
2
（第
育
（第
 
184
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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ᤤ֑ᮥ
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௧ᄾ֑ᮥ
Ὂᥧ˦߲
ᄊᤤ֑ᮥ
˷௧ᄾ֑ᮥ
ՙὝˡΓឭ௚.  
. Ѽࠀː˔ʼᝈॎЛ኎Ὂ࣢ၹᄊন᡹దד̏
ὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
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. ኎ᒉʼᝈॎ֗
ᄰᝈʼᝈॎᦐ௧ྲ
൴ᄊʼᝈॎὊ߲̓
ᬔЦదʷᓊʼᝈॎᄊভ᠏
 ܱ
Ὂᤇదʷ̏ྲ
൴ᄊভ᠏
.  Ϳଂଧ߲̀̓
ᄊד̏ྲ
൴ভ᠏
ὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
. Ѽࠀː˔኎ᒉʼᝈॎੋ
ː˔ᄰᝈʼᝈॎЛ኎ὊᬔၹѼࠀʷᓊʼᝈॎЛ኎ᄊ۳వ
 ̃
ࠄnjࠀေܱ
Ὂᤇదד̏
ѼࠀவขὝ
. ጳ඀ᄊۇᄰࣱ
Ѭጳᄊভ᠏
ࠀေԣᤤࠀေᄊЯࠔ௧̤
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Ѭጳᄊভ᠏
ࠀေԣ
 ᤤࠀေքὝ
. ၹᤠे
ᄊவर೛ေవቦᄊᅼគὊࣳ
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ᤉᛡ̔ื
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1. ࣃᅼ὘ݠڏὊག BὊEὊCὊF ښՏʷ౎ᄰጳʽὊABĩDEὊACĩDFὊBE!>!CF.  
ර᝽὘AC!>!DF.  
ܭ˸ᮥ
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὆ኄ  ᮥ
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2. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABD ˗ὊAC!ĭ!BDὊۇᡜ˞ག CὊBE ˁ AC ᄱ̔̆
ག FὊAC!>!
 
BCὊCD!>!CF.  
ර᝽὘὆὇įDBF!>įCADὙ὆὇BE!ĭ!AD.  

第十章 三角形的有关证明
ڀᮏˁনᏦ
ፃ᣿一˔᫽段的学习，有
必要ࠫ
有关ᅼគᤉ行回顾与Ԧ
思. “回顾与思考”᝺ቡ的ᄬ的
௧ळ࠮学生回顾nj঴ፇ本ቦ学
习的˟要内ࠔԣХᘔե的数学
思ਇ，ࣳ
思考ᖍ४ᤈ̏
内ࠔ的
方ข和᣿程，ࣟ
Ұ学生ᤪ൦౞
थᅼគ系ፒ，Щੇ
回顾Ԧ思的
学习习ਅ. ˞̀
实ဘ上ᤘᄬ的，
教科书中ፌ出̀
ї˔᫈
题ͻ˞
回顾的线ጊ. ̿
下教学थᝬΙ参考. 
1. ळ࠮学生回顾ࣃፃ学习
᣿的基本事实，࣏
మ学生能ࠫ
 
8 ౎基本事实有一˔டʹ的ᝣ
គ，ࣳ
能ૉ出ښ本ቦ中出ဘ的
ᥧ̏
基本事实. 
学生ښ“平行线的有关证
明”一ቦ中ࣃፃ学习̀
 8 ౎基
本事实，ࣳ
ᤂ用̀
Х中的一ᦊ
分基本事实证明̀
平行线的性
质定理与判定定理nj三角形的
内角和定理nj三角形的ܱ
角与
内角的关系定理. ࣏
మ教师ळ࠮
学生Ѿ用ࣃ有的学习ፃᰎʹ͘
ᤈ̏
基本事实ښ本ቦ中的ڡͯ
和ͻ用，ᝣគ҂߲̓
௧ᤈ一ቦ中证明定理nj଎᝷的基ᆩ. 
2. 判定ː˔三角形全等，࣢用的思路௧：
（1）ࣃᅼː角ࠫ
应ᄱ等௑，应᝺ข判定ᤈː角ਫ਼݃
的᣸ࠫ
应ᄱ等，ੋ
判定一角的ࠫ
᣸ࠫ
应
ᄱ等. 
（2）ࣃᅼː᣸ࠫ
应ᄱ等௑，应᝺ข判定ᤈː᣸的݃
角ࠫ
应ᄱ等，ੋ
判定第三౎᣸ࠫ
应ᄱ等. 
（3）ࣃᅼ一᣸和一角ࠫ
应ᄱ等௑，ᔪᤈ一᣸௧ࣃᅼ等角的ࠫ
᣸௑，应᝺ข判定Գ一角ࠫ
应ᄱ
等Ὑᔪᤈ一᣸௧ࣃᅼ等角的一᣸௑，应᝺ข判定݃
ᤈ᣸的Գ一角ࠫ
应ᄱ等，˷可判定݃
ᤈ角的Գ一
᣸ࠫ
应ᄱ等. 
ښ平᭧ї͵中，ॢܳ᫈
题࣢࣢ॆ
ፇ˞证明线段ੋ
角ᄱ等，ᏫѾ用三角形全等౏证明线段ੋ
角ᄱ
等，௧一መॢ
重要的方ข. 
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
版社

社
.
社
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社̃

社

的
版
的
൦
版
൦౞
版
౞
顾
出
顾Ԧ
出
Ԧ思
出版
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出版
的
上
育
上ᤘ
育出
ᤘᄬ
育出
ᄬ的
出
的，
出
，̀̀
ї
育
ї˔
育
˔᫈
育出᫈
题
育出
题ͻ
育出
ͻ
下教学थᝬΙ参
东教
下教学थᝬΙ参
1
东
1.
东
. ळ
东
ळ࠮
东教
࠮学
东教
学生
东教
生回
教
回
᣿
山
᣿的
山
的基
山东
基本
山东
本事
东
事实
东
实
8
山
8 ౎
山
౎基
山
基本
山
本事
山
事ࣳ
山ࣳ
山东教育出版社             山东教育
山东教育出版社
山
教育出版社
教育
教育
教育
ˡΓ
社
ˡΓ
ᓊʼᝈॎᄊভ᠏
版社
ᓊʼᝈॎᄊভ᠏
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
版社
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
ࠀʷᓊʼᝈॎЛ኎ᄊ
出版社
ࠀʷᓊʼᝈॎЛ኎ᄊ
௧̤
˦Ὕᝈࣱ
Ѭጳ
育出版
௧̤
˦Ὕᝈࣱ
Ѭጳͧ
ᤉᛡ̔ื
教育ͧ
ᤉᛡ̔ื
.
育
.
1.1. ࣃᅼ὘ݠڏὊ
 
ࣃᅼ὘ݠڏὊ
ර᝽὘
ර᝽὘AC
AC
ܭ
山
ܭ
山东
គ੿ᑟ
គ੿ᑟ
౎
社
౎基
社
基
的
社
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一ᦊ
社
ᦊ
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版
平行
版
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版社
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版社
的性
版社
性
理
出版
理nj
出版
nj三
出版
三角
版社
角形
版社
形的
版社
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三
出
三角
出版
角形
出版
形的
出版
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版ܱ
系
育
系定
育
定理
育出
理.
育出
.࣏
育出࣏
మ
出
మ教
出
教
Ѿ
教
Ѿ用
教育
用ࣃ
教育
ࣃ有
教育
有的
育
的学
育
学
ᤈ̏
基本事实ښ
教育
ᤈ̏
基本事实ښ
2
东教
2. 
东教
. 判定
教
判定
（
东教
（
ᄱ
山东
ᄱ等
东
等
山东教育出版社
教育出版社
὆ኄ
出版
὆ኄ
出版
ᮥ
὇
出版ᮥ
὇
ᡜ˞ག
育出
ᡜ˞གC
育出
CὊ
育出
ὊBE
出版
BE ˁ
出版
ˁ A
版
A
BE
教育
BEĭ!
教育
ĭ!AD.  
教育
AD.  
版
ቦ中证明定理nj
东教
ቦ中证明定理nj
角
山
角ਫ਼
山
ਫ਼݃
山东݃
的
山东
的᣸
山东
᣸ࠫ
东ࠫ
角
山
角
185
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
3. ᤰ᣿උᣗ一ᓊ三角形nj等腰三角形nj直角三角形nj等᣸三角形的性质和判定౎件，
ᤉ一൦ᝣគ等腰三角形nj等᣸三角形和直角三角形的ྲ
性，ࣳં߲̓
ጪК҂ࣃ有的三角形
ᅼគʹ系中，߹ؓ
ᅼគፇ౞Ὑʹ͘
౞ᤵᤤ命题的方ขښଊጊ图形判定౎件中的ͻ用，۲Щ
学生ᤤՔ思考的能ҧ. 
ښ分ౢ
图形性质௑，ฌਓळ࠮学生̰
᣸nj角njྲ
൴的线段（角平分线nj中线njᰴ）出
发分ѿ೛理，ࣳ
ଢᧈ学生不要ൣ
൦̆
ᤈ̏
ፇ᝷，ᤇ要思考ᤈ̏
ፇ᝷ᖍ४的方ข̿
ԣ证明思
路，发࡙
学生的଎理ਓគ. 
ښ೛理等腰三角形和直角三角形的ᄱ关ᅼគ௑，ळ࠮学生回ॺ三角形的分ዝ方ข，ࣳ
ʹ͘
分ዝಖю不Տ௑分ዝ的ፇ౧˷͘
不ՏὙ࣏
మ学生能关ฌ分ዝ思ਇښᆑቃ图形性质中的
应用，۲Щ学生的数学思考能ҧ. 
4. 关̆̉
ᤤ命题，࣏
మ学生不Զਇ҂ښ本ቦ学习的̉
ᤤ定理，ݠӇ股定理ԣХᤤ定
理，“等角ࠫ
等᣸”和“等᣸ࠫ
等角”等，ᤇ࣏
మ学生能感受҂̉
ᤤ命题的ࣹ
ฅ性Ὑฌਓ
ᝨ学生ʹ͘
任͵命题ᦐ有ᤤ命题，ͮ
Ԕ命题൤ᆸ，ᤤ命题不一定൤ᆸὙ࣏
మ学生能ᤰ᣿ࠫ᫈
题的思考ҫງࠫ̉
ᤤ命题nj̉
ᤤ定理等概ঐ的理解. 
5. 本ቦ中出ဘ的ॢܳ
命题௧学生ښО年级下册和七年级上册ࣃፃଊጊ᣿的，ࠫ̆
ᤈ̏
命题࣏
మ学生回ॺ߲̓
的证明思路和方ข，能用፬合ข证明ᤈ̏
命题Ὑᤇ有一̏
௧ښ本ቦ
中出ဘ的新命题，࣏
మ学生能全᭧回顾命题ଊጊ和证明的᣿程，ࣳ
ᤰ᣿学生ᫎ
的̉
ү与̔ื
ҫງࠫ
ᤈ̏
命题的ᝣគ，Տ௑感受证明的必要性，发࡙
学生的଎理能ҧ. 
回顾命题的证明᣿程不等̆
እӭ的重复，࣏
మ教师关ฌ学生˔性ӑ的证明思路和有౎
理的᛫᣺，ᴂҵ学生̔ื
命题的不Տ证明方ขὙळ࠮学生思考ᤈ̏
命题证明思路ᖍ४的᤭
य़，࠿Х௧ᣙҰ线的຋ҫ方ขὙ有ਓគڡळ࠮学生ʹ͘
证明中ᘔե的数学思ਇ方ข，ࣳ
ᤰ
᣿适े
的ጷ习ૉ࠮学生ᤂ用ᤈ̏
思ਇ方ข解х᫈
题Ὑ᜻ᔵ学生的证明᣿程，Ψᤉ学生的证
明能ҧ४҂ᤉ一൦的ଢᰴ. 
ښ本ቦ的命题证明中ᤇ๘ԣ̀
Ԧ证ข，学生ࠫ
ᤈመ方ข有一定的̀
解ԁ可，不必ଢ出
᣿ᰴ的要ර. 
6. ᴂҵ学生ᒭ˟೛理本ቦ内ࠔ，ᤰ᣿学生Ѝ分的思考和̔ื
౞थ本ቦᅼគ಴౶. උ
ݠ，可̿
ळ࠮学生̰
ᣉࠫ
ሦ角एடʹᝣគ本ቦ中ᆑቃ的ї͵图形：等腰三角形nj等᣸三角
形nj线段nj角ᦐ௧ᣉࠫ
ሦ图形Ὑ等腰三角形的性质定理nj线段垂直平分线的性质定理和角
平分线的性质定理，Х实质ᦐ௧ᣉࠫ
ሦ图形的性质ښ不Տї͵图形中Цʹӑ的ʹဘὙࠫ
උ
ᤈ̏
图形，г೛理不Цܬᣉࠫ
ሦ性的一ᓊ直角三角形的性质. ᤰ᣿ᤈನ的活ү，ᤉ一൦发࡙
学生的分ዝnjॆ
ጪnj঴ፇ的能ҧ，ሥግ数学活үፃᰎ. 
下ᮆ的ᅼគ系ፒፇ౞图̩
Ι参考. ̿
下Ч型Γ题可Ι参考. 
Γ  ࣃᅼ：ݠ图 1，ᩩ
角三角形 ABC 的ː౎ᰴ BD 与 CE ᄱ̔̆
ག O，˅ OBὛOC. 
ර证：ǁABC ௧等腰三角形. 
Ѭౢ
Ὁښ本题中，ǁABC ໘ᡜ哪̏
౎件ࡃ௧等腰三角形Ὕݠ͵证明∠ABC = ∠ACBὝ
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൦
社
൦̆
社̆
ᤈ
社
ᤈ̏
社̏
直
版
直角
版
角三
版社
三角
版社
角形
版社
形的
社
的
分
出
分ዝ
出
ዝ的
出版
的ፇ
出版
ፇ౧
出版
౧˷
版
˷
数学思考能ҧ
育出
数学思考能ҧ
ᤤ
育
ᤤ命
育
命题
育出
题，
育
，࣏
育出࣏
మ
出
మ
角
教
角ࠫ
教ࠫ
等
教育
等᣸
教育
᣸”
教育
”和
育
和
ʹ
东
ʹ͘
东教͘
任
东教
任͵
东教
͵命
教
命题
教
题
题的思考ҫງࠫ
东教
题的思考ҫງࠫ
5
山东
5.
山东
. 本
山东
本ቦ
东
ቦ中
东
中
命
山
命题
山
题࣏
山࣏
మ
山
మ
出
山
出ဘ
山
ဘ
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Щ
社
Щ
ᰴ
版社
ᰴ）
版社
）出
版社
出
ข
出
ข̿
出版̿
ԣ
出版
ԣ证
出版社
证明
版社
明思
版社
思
角
育
角形
育
形的
育出
的分
育出
分ዝ
育出
ዝ方
出
方ข
出
ข
ਇ
教育
ਇښ
教育
ښᆑ
教育
ᆑቃ
育
ቃ图
育
图形
育
形
ᤤ
东
ᤤ定
东教
定理
东教
理，
东教
，ݠ
教
ݠӇ
教
Ӈ
能
山
能感
山东
感受
山东
受҂
东教
҂̉
东教̉
ᤤ
东教
ᤤ
ᤤ
山
ᤤ命
山
命题
山
题不
山东
不一
山东
一定
东
定൤
东
൤
理解
理解.
山
.
级下册和七
 
七年
，能用፬合
 
合ข
顾命题ଊጊ
 
ጊ和
受证明的必要
 
受证明的必要̆̆
እӭ的重
 
重复
命
社
命题
社
题的
社
的不
社
不Տ
 
Տ证
ҫ
社
ҫ方
社
方ข
社
ขὙ
社
Ὑ有
社 
有ਓ
学
版
学生
版社
生ᤂ
版社
ᤂ用
版社
用ᤈ
版社
ᤈ̏
社̏
一൦的ଢᰴ
出版社
一൦的ଢᰴ.
版
.
的
出
的命
出
命题
出版
题证
出版
证明
出版
明中
版
中
要ර
育
要ර.
育
.
6
教
6.
教
. ᴂ
教育
ᴂҵ
教育
ҵ学
育
学生
育
生
ݠ
教
ݠ，
教
，可
教育
可̿
教育̿
ळ
教育
ळ࠮
育
࠮
形
东教
形nj
东教
nj线
东教
线段
教
段
平
东教
平分
东教
分线
东教
线
ᤈ̏
东
ᤈ̏
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有
社
有౎
社
౎
४
社
४的
社
的᤭
社
᤭
方
版
方ข
版社
ข，
版社
，ࣳ
版社ࣳ
ᤰ
社
ᤰ
Ψ
出版
Ψᤉ
版
ᤉ学
版社
学生
版社
生的
版社
的证
社
证
的
育
的̀
育̀
解
育出
解ԁ
育出
ԁ可
育出
可，
出
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出
不
和
教
和̔
教̔ื
教育ื
౞
教育
౞थ
教育
थ本
育
本
͵
东
͵图
东教
图形
东教
形：
教
：等
教
等腰
教
腰
理
山东
理nj
山东
nj线
山东
线段
东教
段垂
东教
垂直
东教
直
质
山
质ښ
山
ښ不
山东
不Տ
山东
Տї
山东
ї͵
东
͵图
东
图
形的性质
山
形的性质
186
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
Ϳ有哪̏
方ขὝ
证明Ὁı BD，CE ௧ǁABC 的ᰴ，
İ ∠AEC = ∠ADB = 90c. 
İ ∠A + ∠ABD = ∠A + ∠ACE = 90c（直角三角形的ː˔ᩩ
角̉
͸）. 
İ ∠ABD = ∠ACE. 
ı OB = OC，
İ ∠OBC = ∠OCB（等᣸ࠫ
等角）. 
İ ∠ABD + ∠OBC = ∠ACE + ∠OCB，
ԁ ∠ABC = ∠ACB. 
İ AB = AC（等角ࠫ
等᣸）. 
İ ǁABC ௧等腰三角形. 
D
C
B
A
E
O
图 1
ԫ式 ࣃᅼ：ݠ图 2，ښᩩ
角三角形ABC 中，AB = AC，ː౎ᰴ BD 与 CE ᄱ̔̆
ག O. 
ර证：OB = OC. 
证明Ὁı BD，CE ௧ǁABC 的ᰴ，
İ ∠AEC = ∠ADB = 90c. 
İ ∠A + ∠ABD = ∠A + ∠ACE = 90c（直角三角形的
ː˔ᩩ
角̉
͸）. 
İ ∠ABD = ∠ACE. 
ı AB = AC，
图 2
山东教育出版社
（等᣸ࠫ
等角
版社
（等᣸ࠫ
等角
OBC = 
出版
OBC = ∠
出版
∠ACE
版
ACE
∠
育
∠ACB. 
育出
ACB. 
AC
育
AC（等角ࠫ
等
育出
（等角ࠫ
等
ǁ
教
ǁABC 
教育
ABC ௧等腰三
教育
௧等腰三
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
育出版社
版社
版社
D
版社
D
O
版
O
图
育出
图1
出
1
出版社             山东
山东
出
社
育出
社
  山东
山
山东教育出版社
山东教育出版社
东教
东教
东教
山东
山东
山东
AB =
山
AB = A
山
A
187
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
İ ∠ABC = ∠ACB（等᣸ࠫ
等角）. 
İ ∠ABC - ∠ABD = ∠ACB - ∠ACE，
ԁ ∠OBC = ∠OCB. 
İ OB = OC（等角ࠫ
等᣸）. 
ᤇ可̿
ळ࠮学生思考下᭧的᫈
题：ښΓ 1 ԣХԫ式中用҂̀
哪̏
数学ᅼគ和方ขὝ߲̓
有̤
˦ᐏ系Ὕᤇ可̿
用̤
˦方ข证明上᭧的᫈
题Ὕ
Γ  （1）ݠ图 3，ښǁABC 中，AB = 3 2，D ˞ BC 上一ག，AD = BD = 3，ښ DA 
上੕ԩ DF = DC，ᤌଌ BF ࣳ
ण᫂̔
 AC ̆
ག E. 
（1）ឰ判லǁABD 的形࿄，ࣳ
ឭ明理ႀὙ
（2）ර证：ǁBDF ≌ǁADC. 
Ѭౢ
Ὁ（1）ώҰ直᜺可Џ࿯ਇǁABD 的形࿄，ཀྵՑг考
ᘽ用学᣿的ᅼគ判定. 
（2）思考判定ː˔直角三角形全等的౎件. 
（1）ᝍὉǁABD ௧等腰直角三角形. 理ႀݠ下：
ı AD
2 + BD
2 = 3
2 + 3
2 = 18，AB
2 =（ 3 2）
2 = 18，
İ AD
2 + BD
2 = AB
2. 
İ ǁABD ௧直角三角形，∠ADB = 90c（Ӈ股定理的ᤤ定理）. 
ı AD = BD，
İ ǁABD ௧等腰直角三角形. 
（2）证明Ὁႀ（1）可४ ∠ADB = ∠ADC = 90c. 
ı BD = AD，FD = CD，
İ ǁBDF ≌ ǁADC. 
ԫ式 ݠ图 4，ښǁABC 中，ADľBC，垂ᡜ˞ D，E ˞ AC 上一ག，BE ̔
 AD ̆
ག
F，˅ BF = AC，FD = CD，AD = 3，ර AB 的᫂
. 
ᝍὉı ADľBC，
İ ∠ADB = ∠ADC = 90c. 
ı BF = AC，FD = CD，
İ R t ǁBDF ≌ R t ǁADC（H L ）. 
İ BD = AD = 3（全等三角形的ࠫ
应᣸ᄱ等）. 
ښ R t ǁABD 中，ಪ据Ӈ股定理，४
AB = AD
2 + BD
2 = 
3
2 + 3
2 = 3 2. 
İ AB 的᫂
˞ 3 2. 
可̿
ळ࠮学生思考：ښΓ 2 ԣХԫ式中用҂̀
哪̏
数学ᅼគ和方ขὝ߲̓
有̤
˦ᐏ系Ὕ
Γ  ݠ图 5，ښǁABC 中，∠C = 90c，∠A = 30c，AB 的垂直平分线分ѿ̔
 AB 和 
AC ̆
ག D，E. 
图 3
图 4
山东教育出版社
ข证明上
社
ข证明上
ښǁ
版
ښǁABC 
版社
ABC 中，
版社
中，
ଌ
出
ଌBF
出版
BFࣳ
ण᫂̔
出版ࣳ
ण᫂̔
ǁ
育
ǁABD 
育出
ABD 的形࿄
育出
的形࿄
证：ǁ
育
证：ǁBDF
育出
BDF ≌
育出
≌
（
教
（1
教
1）
教育
）ώ
教育
ώҰ
育
Ұ直
育
直
᣿的ᅼគ判定
东教
᣿的ᅼគ判定
（
东
（2
东
2）思考判
东教
）思考判
（
山东
（1
山东
1）
东
）ᝍ
东
ᝍ
ı
山
ı A
山
A
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方
版
方ข
版社
ขὝ
版社
Ὕ߲
版社߲
D
育
D = 
育
= BD
育出
BD = 
育出
= 3
出
3
出
Ց
山
Ցг
山东
г考
山东
考
ႀݠ下：
ႀݠ下：
3 2）
2 = 18
18
DB =
DB = 90
90c（Ӈ
（Ӈ
三角形
社
三角形. 
社
. 
）可४
社
）可४∠
社
∠AD
社 
AD
FD = CD
版社
FD = CD，
社
，
≌
出
≌ǁ
出版
ǁADC.
出版社
ADC.
ݠ
出
ݠ图
出
图4
出版
4，
出版
，ښ
出版
ښǁ
版
ǁ
F =
育
F = AC
育出
AC，
育出
，FD 
出
FD 
ᝍὉ
教育
ᝍὉı
教育
ı AD
育
ADľ
育
ľ
İ
教
İ ∠
教育
∠ADB
教育
ADB
ı
东教
ı BF
教
 BF
İ
东
İ
山东教育出版社
一
育
一ག
育出
ག，
育出
，B
育出
BE
出
E̔
出̔
188
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
图 5
（1）ර证：AE = 2CEὙ
（2）ᤌଌ CD，ឰ判லǁBCD 的形࿄，ࣳ
ឭ明理ႀ. 
Ѭౢ
Ὁ（1）ਇҩขં
ᆑቃ的ː౎线段Ꮆ̆
Տ一˔直角三角形中. 
（2）Џ直᜺感ᝀ，г证明ᒭࣂ的࿯ਇ，ฌਓᤂ用 ∠B = 30c. 
（1）证明Ὁݠ图 6，ᤌଌ BE. 
ı DE 垂直˅平分AB，
İ AE = BE（线段垂直平分线上的ག҂ᤈ౎线段ː˔ቫག的ᡰሏᄱ等）. 
İ ∠DBE = ∠A = 30c（等᣸ࠫ
等角）. 
ښǁABC 中，∠C = 90c，∠A = 30c，
İ ∠ABC = 180c- 90c- 30c= 60c. 
İ ∠EBC = ∠ABC - ∠DBE = 30c. 
İ BE = 2CE（ښ直角三角形中，ݠ౧一˔ᩩ
角等̆
 30c，ᥧ˦߲
ਫ਼ࠫ
的直角᣸等̆
ப᣸的一ӧ）. 
İ AE = 2CE. 
（2）ᝍὉǁBCD ௧等᣸三角形. 理ႀݠ下：
ႀ（1）可४ ∠DBE = ∠CBE，∠BDE = ∠BCE = 90c. 
ı BE = BE，
İ ǁBDE ≌ǁBCE（A A S ）. 
İ BD = BC（全等三角形的ࠫ
应᣸ᄱ等）. 
ı ∠ABC = 60c，
İ ǁBCD ௧等᣸三角形（有一˔角等̆
 60c的等腰三角形௧等᣸三角形）. 
ܭ˸ᮥ
1. ଢᇨ：Џ证 BC = EF，∠B =∠DEF，∠F =∠ACB. г证ǁABC ≌ǁDEF. 
2. ଢᇨ：（1）证明ǁBFC ≌ǁADC（S A S ）.
   （2）证明∠EAF +∠AFE = 90c. 
图 6
山东教育出版社
平
版
平分
版社
分线
版社
线上
版社
上的
社
的ག
社
ག
30
版
30c
版
c（等᣸ࠫ
等
版社
（等᣸ࠫ
等
∠
出
∠C =
出版
C = 90
出版
90c
出版
c，
版
，∠
版
∠
180
育出
180c
育出
c- 
育出
- 90
出
90c
出
c-
出
-
C =
育
C = ∠
育
∠ABC 
育出
ABC -
E 
教
E = 
教
= 2
教育
2CE
教育
CE（ښ
育
（ښ
直角᣸等̆
ப
东教
直角᣸等̆
ப
İ
东
İ AE =
东教
AE = 2
教
2
（
山东
（2
东
2）
东
）ᝍ
东
ᝍ
ႀ
山
ႀ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
出版社
出
社
版社
图
出版
图
）
出
）.
出
.̆
山东̆
30
山东
30c
东
c，ᥧ˦
东教
，ᥧ˦
ݠ下：
ݠ下：
DE =
DE = ∠BCE 
 
BCE 
. . 
形的ࠫ
应᣸ᄱ等
 
形的ࠫ
应᣸ᄱ等
᣸三角形（有一
社 
᣸三角形（有一
Џ证
育出
Џ证BC = E
育出
BC = E
ᇨ：（
育出
ᇨ：（1
育出
1）证
育出
）证
（
教
（2
教育
2）证明
教育
）证明∠
育
∠
山东教育出版社
.
版
.
≌
育
≌ǁ
育
ǁDEF
育出
DEF. 
育出
. 
F.F
育出
F.F
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
189
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
3. ݠڏὊࣃᅼ AB!>!ACὊAD!>!AEὊBD!>!CE.  
  ὆὇ႀᮥ
᝺Ի଎ѣڏ˗דː˔ᝈᄱ኎Ὕតፌѣ᝽௚Ὑ
  ὆὇ݠ౧ AD ં
įBAC ࣱ
ѬὊᥧ˦ AC ˁ DE ᄊͯ
ᎶТጇটನὝ᝽௚Ϳᄊፇ᝷.  
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
A
D
C
B
E
὆ኄ  ᮥ
὇
5. ࣃᅼ὘ݠڏὊBDὊCE ௧ǁABC ᄊᰴὊ˅ BD!>!CE.  
 ර᝽὘ǁABC ௧኎ᒉʼᝈॎ.  
4. ࣃᅼ὘ݠڏὊښʷ˔᮳ኚ ABCD ˗ὊAB!>!ADὊBC!>!DCὊѬѿښ ABὊAD ᄊ˗
 ག EὊF ܫઢːಪ॑
ጳ ECὊFC.  
 ර᝽὘EC!>!FC.  
6. ݠڏὊښ኎ᒉʼᝈॎ ABC ˗ὊAB!>!AC.  
  ὆὇ݠ౧įABD!>įACEὊᥧ˦ BD!>!CE ՙὝ
  ὆὇ݠ౧ AD!>!AEὊᥧ˦ BD!>!CE ՙὝ
7. ښǁABC ˗ὊࣃᅼįAὊįBὊįC ᄊए஝˨උ௧ IJIJὊAB!>!  Ὂර AC ᄊ᫂
. 
8. ࣃᅼ὘ݠڏὊAN!ĭ!OBὊBM!ĭ!OAὊۇᡜѬѿ˞ NὊMὊOM!>!ONὊANὊBM ᄱ̔̆
ག P. 
 ර᝽὘PM!>!PN.  
复习题

4. ଢᇨ：ᤌଌAC. ႀǁABC ≌ǁADC（S S S ）， ४∠B =∠D，г证明ǁBCE ≌ǁDCF（S A S ）. 
5. ଢᇨ：证明 R t ǁBCD ≌
 R t ǁCBE（H L ）. 
6. ଢᇨ：（1）证明ǁABD ≌ǁACE（A S A ）Ὑ
   （2）证明ǁABD ≌ǁACE（S A S ）. 
7. AC = 3
2 . 
8. ଢᇨ：ᤌଌ OP，证明
    R t ǁOPM ≌
 R t ǁOPN. 
3.（1）本题ᄱ等的角ᣗܳ
，ݠ
౧ႀǁABD ≌ǁACE
（S S S ），可̿
४҂
ᄱ等的角：∠B A D 
= ∠C A E ，∠A B D 
= ∠A C E ，∠A D B 
= ∠A E C ，∠B A C 
=∠DAE（*）Ὑݠ౧ႀ
等腰三角形ԣ（*），
可४∠ABC =∠ACB 
=∠ADE =∠AED. 
   （2）AC ௧ DE 的垂直平分
线. 
山东教育出版社
山东教育
社
὆ኄ
版社
὆ኄ
社
ᮥ
὇
社ᮥ
὇
ABC 
育
ABC ᄊᰴὊ˅
育出
ᄊᰴὊ˅ BD
出
BD
ʼᝈॎ
育
ʼᝈॎ. 
育
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B
版
B >!
版
>!AD
版
ADὊ
版
ὊBC
版社
BC >
版社
> DC
版社
DC
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
὇
C
育出版社
˨උ௧
˨උ௧IJIJ
 
ὊA
ᡜѬѿ˞
社
ᡜѬѿ˞ N
社
NὊM
ᇨ：ᤌଌ
教育
ᇨ：ᤌଌAC.
教育
AC.
ଌA
ଌ
教育
ଌA
ଌ
ႀ
育
ႀ
ଢᇨ：证明
东教
ଢᇨ：证明R
教
R
6
山东
6.
山东
. ଢᇨ：（
山东教
ଢᇨ：（
山
（
山东
（2
山东
2）证
东
）证
7
山
7 A
山
A
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社
४҂
社
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社
B A
社
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社
D
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版
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版社
∠A
版社
A B
版社
B D
社
D
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出
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出版
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出版
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版社
∠A
版社
A D
版社
D
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出
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出版
C ，
出版
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∠
∠
育
∠D
育出
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A
DA
D
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DA
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出
（*
出
*）
出
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等
教育
等腰
教育
腰三
育
三角
育
角形
可
教育
可४
教育
४∠
育
∠
=
教
=∠
教
∠
（
东教
（2
东教
2）
教
）
山东教育出版社
г证明ǁ
东教
г证明ǁBCE
教
BCE
 
190
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
12. ࣃᅼ὘ݠڏὊǁABC ௧኎᣸ʼᝈॎὊDὊEὊF Ѭѿ௧ ABὊBCὊCA ʽᄊགὊ˅
  AD!>!BE!>!CF.  
  ර᝽὘ǁDEF ˞኎᣸ʼᝈॎ .  
஝ߦေᝍ
὆ኄ  ᮥ
὇
13. ݠڏὊښ ǁABC ˗ὊįC!>!ŃὊįA!>!ŃὊAB ᄊۇᄰࣱ
ѬጳѬѿ̔
 ABὊ
AC ̆
ག DὊE . 
  ර᝽὘AE!>!CE.
14. ර᝽὘኎ᒉʼᝈॎᄊअᝈॹ˞ᩩ
ᝈ.
15. ݠڏὊښ ǁABC ˗ὊįB!>!ŃὊįBAC!>!ŃὊD ˞ BC ʽʷགὊDE ̔
 AC ̆
ག FὊ˅ AB!>!AD!>!DEὊᤌଌ AEὊįE!>!Ń.  ឰѼல ǁAFD ᄊॎ࿄Ὂࣳ
ឭ௚
ေႀ.
὆ኄ  ᮥ
὇
9. ݠڏὊښǁABC ˗ὊįBAC!>!ŃὊAB!>!AC!>!aὊAD ௧ǁABC ᄊᰴὊර AD ᄊ᫂
.  
A
E
D
B
C
὆ኄ  ᮥ
὇
10. ͊
ਓͻʷ˔᧽ᝈὊරͻ߲
ᄊᝈࣱ
Ѭጳ.  
11. ࣃᅼጳ඀ aὊරͻ̿
 a ˞अnj̿
 a ˞ᰴᄊ኎ᒉʼᝈॎ.  
B
D
C
F
E
A
὆ኄ  ᮥ
὇

第十章 三角形的有关证明
9. AD = 2
2 a. 
10. ႕.
11. ႕.
12. ଢᇨ：证明ǁADF ≌ǁBED 
      ≌ǁCFE（S A S ）. 
13. ଢᇨ：ᤌଌ BE. ႀ DE ௧ AB 的垂直平分线，४ AE = BE，̰
Ꮻ∠ABE = ∠A = 30c.  ښ R t ǁBCE
中，∠CBE = 30c，ਫ਼̿
 BE = 2CE. 
14. ଢᇨ：本题应Џႇ出图形，и出“ࣃᅼ”“ර证”. ᝺等腰三角形˞ǁABC，Х中 AB = AC，
ѷ∠B =∠C.  Ϝ᝺∠B 和∠C ᦐ不௧ᩩ
角，ᥧ˦∠B =∠C ᦐ˞直角ੋ
᧽角，̆
௧∠B +∠C 
≥180c，ᤈ与三角形内角和定理ᅸᄴ. ڂ൥∠B 和∠C 必˞ᩩ
角. 
15. ǁAFD ˞直角三角形. 
ଢᇨ：ႀ AB = AD，∠B = 64c，可४∠BAD = 52c，ڂ˞∠BAC = 72c，ਫ਼̿
∠DAF = 20cὙႀ 
AD = DE，∠E = 55c，可४ ∠ADE = 70c. 
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
版社
1
社
1
教育出版社             山东教育出版社
社
D
教
DὊ
教
ὊE
教育
EὊ
教育
ὊF 
教育
F Ѭѿ௧
育
Ѭѿ௧
.  
东
.  
 山东
὆ኄ
὆ኄ
 
ᮥᮥ
3.
3. ݠڏὊښ
ݠڏὊښ ǁAB
AB
AC
AC̆
ག̆
ག D
 
 D
ර᝽὘
 
ර᝽὘A
14.
14. ර᝽
 
ර᝽
15.
15.
山东教育
山东
山
. 
教
. ଢᇨ：ᤌଌ
教育
ଢᇨ：ᤌଌ
中，
东教
中，∠
教
∠C
教
C
1
山东
14
东
4.
东
. ଢ
东教
ଢᇨ
东教
ᇨ
ѷ
东
ѷ
山东教育出版社
教育
གὊ
社
གὊD
社
D
AF
社
AFD 
社
D 
FD
F
社
FD
F
ᄊॎ࿄Ὂ
社
ᄊॎ࿄Ὂ
育
D
育
D
C
育出
C
F
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F
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出
E
ኄ
教
ኄ
教育
ᮥ
὇
教育ᮥ
὇
，̰
Ꮻ
东教
，̰
Ꮻ∠
东教
∠ABE
教
ABE
证
山
证”
山
”.
山
. ᝺
山东
᝺等
山东
等腰
东
腰三
东
三
˦
山
˦∠
山
∠B
山
B =
山
=
C
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
191
复习题

1 6 . ଢᇨ：Џ ႀD E ĩ A C ԣ
A D 平分∠B A C ，证明
∠EDA=∠EAD，४҂AE 
= DE. гႀ∠BAD +∠ABD 
= 90c，∠ADE +∠EDB = 
90c，证明∠ABD =∠EDB，
४ BE = DE. 
17. ଢᇨ：ᤌଌAC，AD，Џ
证明ǁABC ≌ǁAED，४
∠BCA = ∠EDA，AC = AD. 
г证明∠ACD = ∠ADC. 
18. AB = 5，BC = 3. 
ଢᇨ：证明 AC = BE + 
EC，४
AC - BC = 2，
AC + BC = 8. 
19. ଢᇨ：Џͻ一˔ 90c的角，г平分߲
Ὑ˷可̿
ͻ一˔等腰直角三角形. 
20. ႕.
21. ଢᇨ：证明ǁBDF ≌ǁCDE（A A S ），४ FD = ED. 
山东教育出版社
教育出版社             山东教育出版社
教育
山东教育出版社
育出版社             山
҂
社
҂A
社
A
+
社
+∠
社
∠A
社
AB
社
BD
社
D
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版
+∠
版社
∠E
版社
ED
版社
D
ED
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版社
ED
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版社
B =
社
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A
出
AB
出版
BD
出版
D
BD
B
出版
BD
B
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版
=∠
版社
∠E
版社
ED
版社
D
ED
E
版社
ED
E B
版社
B
DB
D
版社
DB
D
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出
DE
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E
DE
D
出
DE
D .
出
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E.
E
出
E.
E
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育
ᇨ：
育
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育出
ᤌଌ
育出
ଌA
育出
AC
出
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证
教
证明
教育
明ǁ
教育
ǁA
教育
AB
育
BC
育
C ≌
育
≌
∠
教
∠BCA
教育
BCA = 
教育
= ∠
育
∠
г证明
东教
г证明
18
东教
18. 
东
. AB 
东教
AB 
山东教
山
ᇨ：Џͻ一˔
教育
ᇨ：Џͻ一˔
.
东
. ႕
东
႕.
东教
.
21
山东
21.
山东
. ଢᇨ：证
山东教
ଢᇨ：证
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角三角形
东教
角三角形.
教
.
192
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै
一 ЧیವΓកౢ
ᄰᝈʼᝈॎ὆ኄ  ិ
௑὇
 
 
          ᝺ᝠ὘ෲӒᄵδࠀ࣊
ኄʹ˗学 ᔵߵ
កౢ
὘ෲӒᄵᆃࠒࣻ࣊
教育ሙ学ᆑቃਫ਼ सৼᔮ
ʷnjߦৱѬౢ
学生ࣃፃ学习̀
图形的全等nj一ᓊ三角形全等的౎件njӇ股定理̿
ԣ用ࡇ᜻ͻ三角
形，˅ښ一系ѵ的实᡻活ү中，ሥግ̀
一定的ଊጊ与଎理ፃᰎ，ࣃፃЦܬ̀
ᤉ一൦ଊጊࣳ
证明判定直角三角形全等定理的基ᆩ. 
ښᄱ关ᅼគ的学习᣿程中，学生ࣃፃፃԋ̀
᜺ࠣ
nj฾᧚njႇ图njඋᣗnj଎理nj̔ื
等
活ү，ሥግ̀
一定数学活үፃᰎὙՏ௑ᤇښଊጊ图形全等的᣿程中，发࡙̀
଎理能ҧ和有
౎理的᛫᣺能ҧ，Цܬ̀
一定的ᒭ˟ଊጊ与合ͻ̔ื
能ҧ. ̄
nj͊
务Ѭౢ
本课௑ښ学生ဘ有ᅼគ和活үፃᰎ的基ᆩ上，ଢ出Цʹ教学ԣ学习任务：ፃԋଊጊ直角
三角形全等౎件的᣿程，用ࡇ᜻߹ੇ
ࣃᅼ一౎直角᣸和ப᣸ͻ直角三角形，ଂଧ判定直角三
角形全等的౎件，能ྀ
ጷᤥહ判定方ข判定ː˔直角三角形全等，ࣳ
解х一̏
实ᬅ᫈
题. 
ʼnj教ߦ目ಖ
1. ଊጊࣳ
ଂଧ判定直角三角形全等的“ப᣸nj直角᣸”（H L ）定理. 
2. 能用ࡇ᜻߹ੇ
ࣃᅼ一౎直角᣸和ப᣸ͻ直角三角形. 
3. ፃԋଊጊ判定直角三角形全等的“ப᣸nj直角᣸”（H L ）定理的᣿程，˘ࠝ
数学活
үፃᰎ，ʹ͘
证明的必要性. 
4. ᤰ᣿ଊቃ判定直角三角形全等的౎件，ᤉ一൦发࡙
ቇᫎ
᜺ঐnj଎理能ҧ和ү੤能
ҧ，̿
ԣ有౎理的᛫᣺能ҧ. 
پnj教ߦ᧘ག֗
ᬲག
重ག：ଂଧ判定直角三角形全等的౎件Ὑᤂ用直角三角形全等解х实ᬅ᫈
题. 
ᬲག：H L 定理的ᖍ४与证明. ̋
nj教ߦ᣿ሮ
1. ພ஌ᅼழ
ݠ图 1，ࣃᅼ∠CAB = ∠DBA，要ΎǁACB ≌ǁBDA，ᤇᭊ要຋ҫ̤
˦౎件Ὕឰឭ明
理ႀ. 
山东教育出版社
Ӓᄵᆃࠒ
社
Ӓᄵᆃࠒ̀
出̀
图
出
图形
出版
形的
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的全
出版
全等
版
等
的
育
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育出
实᡻
育出
᡻活
育出版
活ү
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ү中
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中
角三角形全等定
育出
角三角形全等定
关
教
关ᅼ
教育
ᅼគ
教育
គ的
教育
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育
学习
育
习
ሥ
东教
ሥግ
东教
ግ̀
东教育̀
一
教
一定
教育
定数
育
数
理的᛫᣺能ҧ
东教
理的᛫᣺能ҧ̄
nj͊
务
山̄
nj͊
务
山东
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山东
山东
股
教
股定
教育
定理
教育
理̿
教育出̿
ԣ
育出
ԣ用
育出
用ࡇ
出
ࡇ
，
教
，ࣃ
教
ࣃፃ
教育
ፃЦ
教育
Цܬ
教育
ܬ̀
育̀
฾
山东
฾᧚
山东
᧚nj
东
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东教
ႇ图
东教
图
形
山
形全
山
全等
山东
等的
山东
的᣿
山东
᣿程
东
程
ͻ̔ื
能ҧ
山
ͻ̔ื
能ҧ. 
山
. 
ᰎ的基ᆩ上
߹ੇੇ
ࣃᅼ一౎
 
౎直
判定方ข判
 
判定
ଧ判定直角三角
版社
ଧ判定直角三角
᜻߹ੇ
ࣃᅼ一
出版社
᜻߹ੇ
ࣃᅼ一
ԋ
出
ԋଊ
出
ଊጊ
出版
ጊ判
出版
判定
出版
定直
版
直角
版
角
，ʹ͘
证明的
育出
，ʹ͘
证明的
4
教育
4.
教育
. ᤰ
教育
ᤰ᣿
育出
᣿ଊ
育出
ଊቃ
育出
ቃ
ҧ，̿
ԣ有౎
教育
ҧ，̿
ԣ有౎
پnj教
东教
پnj教
山东教育出版社
理
育
理的
育出
的᣿
育出
᣿程
育出
程，
出
，˘
出
˘
ቇ
教
ቇᫎ
教ᫎ
᜺
教育
᜺ঐ
教育
ঐnj
育
nj଎
育
଎
用直角三角
山
用直角三角
193
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᄬ的：本活үЦ有一定的开ஊ性，学生ښ຋ҫ౎件的᣿程中，回顾一ᓊ三角形全等的
౎件，˞ଊጊH L 定理活ү的࡙
开Ϣᩔۙ
. Տ௑，与第四ဗᓬࢾڍ与应用中的ጷ习 2 ᄱ֐应. 
ᮕర：学生解х᫈
题的方ขܳ
መܳ
ನ. 可̿
ᤰ᣿຋ҫ AC = BD，Ѿ用三角形全等౎件
S A S ឭ明ː˔三角形全等Ὑ˷可̿
຋ҫ ∠C = ∠D，Ѿ用三角形全等౎件 A A S ឭ明ː˔三
角形全等Ὑᤇ可̿
຋ҫ ∠CBA = ∠DAB，Κ据 A S A ឭ明ː˔三角形全等. ښ学生解ን᫈
题
௑，教师ᴂҵ学生思考ᤇ有哪̏
方ข，ࣳ
ႀ学生࡙
ᇨ不Տ的解х方ವ，ឭ明Κ据. 
ݠ౧有学生ଢ出຋ҫ౎件 BC = AD，ᥧ˦教师可ळ࠮学生᜺ࠣ
ᤈː᣸与∠CAB 和 
∠DBA 的ͯ
Ꮆ关系，分ౢ
ᤈመ方ข௧ա可行，̰
ᏫᣁК下一ဗᓬὙݠ౧෥有学生ଢ出ᤈመ
຋ҫ方ข，教师˷可̿
˟үଢ出. 
2. ଊጊ与ԧဘ
ଢ᫈
：ː᣸分ѿᄱ等˅Х中一组等᣸的ࠫ
角分ѿᄱ等的ː˔三角形全等ՙὝݠ౧ᤈ˔
角௧直角քὝឰត一ត. 
Ϣ一Ϣ：ݠ图 2，ࣃᅼ线段 a = 2 c m ，c = 3 c m ，直角 α. 
图 2
图 1
（1）රͻ：R t ǁABC，Ύ ∠C = ∠α，BC = a，AB = c. 
（2）Ϳ̓
ͻ出的三角形全等ՙὝͿ௧ݠ͵判ல的Ὕ
ᄬ的：本ဗᓬᤰ᣿ͻ图nj᜺ࠣ
njඋᣗnj̔ื
等活үଊጊ直角三角形全等的ྲ
൴౎件，
ፌ学生Ѝ分实᡻和ଊጊ的ቇᫎ
. 
“ଢ᫈
”的᝺ᝠᄬ的௧ࠫ
උ一ᓊ三角形全等的౎件，ळ出直角三角形全等的ྲ
൴判定
方ข，Տ௑˞分ౢ
直角三角形的ྲ
性与全等౎件的关系ۡ
下͒
ቸ. ښ“Ϣ一Ϣ”中，学生用
ࡇ᜻߹ੇ
ͻ直角三角形，ᤰ᣿ͻ图感受ፇ౧的׭一性. 
ᮕర：教师ଢ出᫈
题Ց，学生ಪ据ࠫ
一ᓊ三角形全等的ᝣគͻ出判ல. 
ښ“Ϣ一Ϣ”中，学生用ࡇ᜻ͻ图. ࠫ
ͻ图有ڈᬲ的学生教师ᤉ行适े
的ଢᇨ，ࣳ
ᴂҵ
Տಸ̉
Ұ. 学生᜺ࠣࠫ
උਫ਼ͻ出的直角三角形，发ဘᤈ̏
三角形全等. 学生可能͘ં
ᤈ̏
三
角形ҝ下౏重ԯښ一ᡑ，发ဘ߲̓
重合，̰
Ꮻឭ明߲̓
全等Ὑ˷可能ಪ据Ӈ股定理४出 AC 
= 5 c m ，̰
Ꮻಪ据 S S S ឭ明三角形全等. 
山东教育出版社
开
社
开ஊ
社
ஊ性
社
性，
社
，学
社
学࡙
开Ϣᩔۙ
版社࡙
开Ϣᩔۙ
Տ
社
Տ
题
出
题的
出版
的方
出版
方ข
出版社
ขܳ
版社ܳ
መ
版社
መܳ
社ܳ
全等Ὑ˷可̿
出版
全等Ὑ˷可̿̿
຋ҫ
育出̿
຋ҫ ∠
育出
∠CBA
出
CBA
ҵ学生思考ᤇ有
教育出
ҵ学生思考ᤇ有
有
教
有学
教
学生
教育
生ଢ
教育
ଢ出
教育
出຋
育
຋
A
东
A 的
东教
的ͯ
东教ͯ
Ꮆ
东教
Ꮆ关
教
关系
教
系
ҫ方ข，教师
山东教
ҫ方ข，教师
2.
山东
2. ଊጊ
山东
ଊጊ
ଢ
山
ଢ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
三
出
三角
出版
角形
出版
形全
出版
全等
版
等的
版
的
的ጷ习
育出
的ጷ习2
出版
2 ᄱ֐应
出版
ᄱ֐应
Ѿ
育
Ѿ用
育
用三
育出
三角
育出
角形
育出
形全
出
全
等౎件
教育
等౎件A A S
教育
A A S
ឭ
育
ឭ
三角形全等
东教育
三角形全等. 
教
. ښ
育
ښ
的解х方ವ，ឭ
东教
的解х方ವ，ឭ
可
山
可ळ
山东
ळ࠮
山东
࠮学
山东
学生
东
生᜺
东
᜺
ᣁ
山
ᣁК
山
К下
山
下一
山
一ဗ
山东
ဗᓬ
东
ᓬ
等᣸的ࠫࠫ
角分
 
分ѿ
段a =
a = 2 c mc m ，c
社
版社  
1
育
1）රͻ：
育出
）රͻ：R t
出
R t ǁ
出
ǁ
（
教
（2
教育
2）Ϳ̓
ͻ
教育
）Ϳ̓
ͻ
ᄬ
东教
ᄬ的
教育
的：
教
：本
育
本
ፌ学生Ѝ
东教
ፌ学生Ѝ
方
东
方
山东教育出版社
ଊ
东
ଊጊ
东
ጊ直
东教
直角
东教
角三
东教
三角
教
角
的
山
的౎
山
౎件
山东
件，
山
，ळ
山东
ळ出
东
出
关系ۡ
下
山
关系ۡ
下
194
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
3. ࿯ਇ与ᰎ证
ଢ᫈
：ښ上᭧的“Ϣ一Ϣ”中，ݠ౧ a，c 分ѿԩХ̵᫂
ए，˅໘ᡜ c὜a，ᥧ˦ੈ̓
Ѹᖍ४的ፇ᝷ᤇੇ
ቡՙὝႀ൥Ϳ௧ա能发ဘ判定直角三角形全等的一መ“ྲ
有”方ขὝ
ឰ࠽ត用᜻ᔵ的数学ឦᝓ
概઺Ϳ的发ဘ，ࣳ
证明߲
的൤ᆸ性. 
学生ᤰ᣿࠵组ᝧ᝷ੋ
Տ学ᫎ̔ืॆ
ጪ直角三角形ྲ
有的全等判定方ข. 教师གក，᜻
ᔵ学生ឦᝓ
. ښ证明定理௑，ଢᇨ学生ᯫЏ要ႇ出图形，и出ࣃᅼnjර证，гᤉ行证明. 
ࠀေ ப᣸֗
一౎ᄰ角᣸Ѭѿᄱ等的ː˔ᄰ角三角形Л等. 
ࣃᅼ：ݠ图 3，ښǁABC 与ǁA′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90c，AB = A′B′，AC = A′C′. 
ර证：ǁABC ≌ǁA′B′C′. 
证明ὉښǁABC 中，
ı ∠C = 90c，
İ BC
2 = AB
2 - AC
2（Ӈ股定理）. 
Տ理，B′C′2 = A′B′2 - A′C′2 . 
ı AB = A′B′，AC = A′C′，
İ BC = B′C′. 
İ ǁABC ≌ǁA′B′C′（S S S ）. 
ᄬ的：ᤰ᣿ࠫ
 H L 定理的证明，Ύ学生ፃԋ定理ᖍ४的᣿程：ښ图形中ચԩηৌ—ॆ
ጪ概઺—ଢ出࿯ਇ—证明，ښᤈ一᣿程中ᤉ一൦感受证明的必要性. 
ᮕర：教师ळ࠮学生ښԬᤘ௑关ฌ“ப᣸”“直角᣸”“直角三角形”ᤈ三˔关᪄
ឈ，ࣳ
շង学生ᤈ一定理እᤘ˞“ப᣸nj直角᣸”定理ੋ
“H L ”. ࠫ̆
ស定理的证明，ႀ̆
有上一ဗᓬ的ᩔۙ
，ܳ
数学生基本可̿
߹ੇ
Ὑ教师ࠫ
学生的证明ᤉ行កౢ
，᜻ᔵ书и方
式. 
4. ࢾڍ与ऄ用
Γ ݠ图 4，有ː˔᫂
एᄱՏ的໏೙，ࢻ᣸໏೙的ᰴए AC 与Կ᣸໏೙ඵ平方Ք的᫂
ए
DFᄱ等，ː˔໏೙的Ϛப角 ∠ABC 和∠DFE 的ܸ
࠵有̤
˦关系Ὕ
分ౢ
：ळ࠮学生̰
下᭧角ए᜺ࠣ
nj思考，分ౢ
直角三角形的ྲ
性和 H L 定理Ύ用的౎
件. 
（1）∠ABC 和 ∠DFE 分ѿښ哪ː˔三角形中Ὕᤈː˔三角形࡛̆
哪ዝ三角形Ὕ
（2）ښ R t ǁABC 和 R t ǁDEF 中有哪̏
分ѿᄱ等的᧚Ὕ
（3）∠ABC 和 ∠DFE 的ܸ
࠵有̤
˦关系Ὕ˞̤
˦Ὕ
ᝍὉı ໏೙的ஃ୞ీ
 AC，DE ᦐ与ڡ᭧垂直，
İ ∠BAC = ∠EDF = 90c. 
ႀ题ਓ，४ BC = EF，AC = DF. 
İ R t ǁABC ≌ R t ǁDEF（H L ）. 
İ ∠ABC =∠DEF（全等三角形的ࠫ
应角ᄱ等）. 
ı ∠DEF + ∠DFE = 90c，
图 3
图 4
山东教育出版社̔
社̔ื
社ื
ଢᇨ学生ᯫ
社
ଢᇨ学生ᯫ
角᣸Ѭѿᄱ等的
版社
角᣸Ѭѿᄱ等的
ǁ
出版
ǁABC 
出版
ABC 与ǁ
版社
与ǁA
版社
A
≌
出
≌ǁ
出
ǁA
出版
A′
出版
′B
出版
B′B′
出版
′B′ ′
出版
′C
出版
C′
出版
′.
版
.
育
ABC 
育出
ABC 中，
育出
中，
=
教育
= 90
教育
90c
育
c，
育
，
BC
教
BC
2
教
2
C
2
C
教
C
2
C =
教
= AB
教育
AB
2
教育
2 -
教育
- A
育
A
Տ理，
东教
Տ理，B
东教
B′
教
′C
教
C′
教
′2
教
2
教
ı
山东
ı AB =
东教
AB = A
教
A
İ
山东
İ BC
东
BC
İ
山
İ
山东教育出版社
师
版
师ག
版
གក
版社
ក，
版社
，᜻
版社
᜻
гᤉ行证明
出版
гᤉ行证明.
版
.
育
A
育
A′
育
′B
育
B′B′
育
′B′ ′
育出
′，
育出
，AC = 
育出
AC = 
山东教
山东
山东教育出版社             山东
山东
山东
，Ύ学生ፃ
 
ፃԋ
ᤈ一᣿程中ᤉ一
 
ᤈ一᣿程中ᤉ一
ښԬᤘ௑关ฌ
 
ฌ
理
社
理እ
社
እᤘ
社
ᤘ˞
社
˞“பۙ
版ۙ
，
版社
，ܳ
版社ܳ
数
版社
数学
社
学生
社 
生基
与ऄ用
出版
与ऄ用
ݠ图
育出
ݠ图4
育出
4，有
出
，有
ᄱ等，ː˔໏
教育出
ᄱ等，ː˔໏
分
教育
分ౢ
教育ౢ
：
育
：ळ
育
ळ
件
东教
件. 
东教
. 
山东教
山
山东教育出版社
˔
社
˔关
社
关
证
社
证明
社
明，
社
，ႀ
社
ႀ
᜻
版社
᜻ᔵ
版社
ᔵ书
版社
书и
社
и方
社
方
与
育
与Կ᣸໏
育出
Կ᣸໏೙ඵ平
育出
೙ඵ平
关系Ὕ
教育
关系Ὕ
三
东
三角
东教
角形
东教
形的
东教
的ྲ
教ྲ
性
教
性
中Ὕᤈː˔三角
山东
中Ὕᤈː˔三角
ѿ
山
ѿᄱ等的᧚Ὕ
山
ᄱ等的᧚Ὕ̤
˦
山̤
˦
195
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
İ ∠ABC + ∠DFE = 90c. 
下ѵጷ习ႀ学生࿘ቡ߹ੇ
. 
ጷ习 1：判ல下ѵ命题的ᄾϜ，ࣳ
ឭ明理ႀ. 
（1）ː˔ᩩ
角分ѿᄱ等的ː˔直角三角形全等Ὑ
（2）ப᣸ԣ一ᩩ
角分ѿᄱ等的ː˔直角三角形全等Ὑ
（3）ː౎直角᣸分ѿᄱ等的ː˔直角三角形全等Ὑ
（4）一౎直角᣸ᄱ等˅Գ一౎直角᣸上的中线˷ᄱ等的ː˔直角三角形全等. 
ጷ习 2：ݠ图 5，ࣃᅼ ∠ACB = ∠BDA = 90c，要ΎǁACB ≌ǁBDA，ᤇᭊ要຋ҫ̤
˦౎件ὝឰͿᤥહХ中一˔ҫ̿
证明. 
图 5
图 6
ጷ习 3：ݠ图 6，ː౎᫂
ए˞ 12 m 的፤ߕ，一ቫ系ښ௃ీ
上，Գ一ቫ分ѿڍ定ښڡ᭧
的ː˔లೈ上，ː˔లೈሏ௃ీ
अᦊ的ᡰሏᄱ等ՙὝឰឭ明Ϳ的理ႀ. 
ᄬ的：ᤰ᣿适े
的Γnj习题，ҫງ学生ࠫ
定理的理解，明ᆸ定理的Ύ用ဗܒ和应用ಫ
式，࠲新ᅼគ内ӑ˞ᒭࣂ的能ҧ. H L 定理௧判定直角三角形全等的ྲ
有方ข，ͮ
不௧׭一
的方ข. ᤰ᣿ጷ习1njጷ习2，学生全᭧分ౢ
直角三角形全等的౎件，有Ұ̆
ଢᰴ分ౢ
能ҧ与
፬合能ҧ. 
ᮕర：教师ᇨᔵ，ࣳ
᜻ᔵ学生定理的Ύ用ಫ式，ूូ
ស定理௧直角三角形ྲ
有的，ښ
应用௑要ಖ明直角三角形ኀ号（ԁ R t ǁ）. 
学生ི͌
Γ题ಫ式࿘ቡ解ን习题中᫈
题，࡙ࣳ
ᇨፇ᝷，教师གក. 
ጷ习 1 Ғ 3 ᫈
学生能᣾ᤴͻ出判ல，第（4）᫈
ፃႇ图分ౢ
Ց发ဘ，可̿
ᤰ᣿证明ː
次全等判定ស命题˞ᄾ命题. ጷ习 2 有ܳ
መ方ข，教师ळ࠮学生思考有可能̰
哪̏
角ए出
发຋ҫ౎件，Ύᤈː˔直角三角形全等. ࠫ
උ“ພ஌ᅼ新”ဗᓬ中的᫈
题，ळ࠮学生关ฌ 
∠ACB = ∠BDA = 90cᤈ˔౎件的ͻ用，ʹ͘
 H L 定理的ྲ
൴性. ႀ学生任ᤥ一መ方ขᤉ行
证明，教师᜻ᔵ学生的书иಫ式. ጷ习3 ႀ学生౜书解ን᣿程，师生СՏགក. 
5. ڀᮏ与Ԧন
（1）判定ː˔直角三角形全等的౎件有哪̏
Ὕ
（2）ښ分ౢ
ː˔直角三角形全等௑，Х̵
方ขᦐᭊ要三˔౎件，Ꮻ“H L ”Զ有ː˔
౎件，Ϳট˦ᄺὝ
（3）ښ课۶上，ੈ̓
ଊቃH L 定理ፃԋ̀
টನ的᣿程Ὕᤰ᣿ᤈ˔᣿程，Ϳ有̤
˦感受
山东教育出版社
的ː˔直
社
的ː˔直
Գ一౎直角᣸
版社
Գ一౎直角᣸
ᅼ
版
ᅼ∠
版
∠A
版
AC
版社
CB
版社
B
CB
C
版社
CB
C
=
版社
= ∠
社
∠
中一˔ҫ̿
证明
出版
中一˔ҫ̿
证明
教育
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
形全等
出版
形全等. 
出版
. 
D
育
DA
育
A
DA
D
育
DA
D ，
育出
，ᤇ
育出
ᤇᭊ
育出
ᭊ要
出
要຋
出
຋
山东教育
教
东教
2 m
的፤ߕ
 
ߕీ
अᦊ的ᡰሏᄱ
 ీ
अᦊ的ᡰሏᄱ
习题，ҫງ
 
ງ学
ࣂ
社
ࣂ的
社
的能
社
能ҧ
社
ҧ.
社
. H L
 
H L 定
ጷ习
版社
ጷ习2
版社
2，学生全
版社
，学生全
教
出
教师
出
师ᇨ
出版
ᇨᔵ
出版
ᔵ，
出版
，ࣳ
版ࣳ
᜻
版
᜻
ಖ明直角三角
育出
ಖ明直角三角
学生ི͌
Γ题ಫ
育出
学生ི͌
Γ题ಫ
ጷ
教育
ጷ习
教育
习1
教育
1 Ғ
育
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次
东教
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东教
全等
东教
等判
教
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教
定
发
东教
发຋
东教
຋ҫ
东教
ҫ౎
教
౎
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东
∠A
东
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证
山东教育出版社
应
社
应用
社
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社
ಫ
不
版社
不௧
版社
௧׭
版社
׭一
社
一
ᰴ分ౢ
能ҧ与
版社
ᰴ分ౢ
能ҧ与
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角三
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三角
育出
角形
出版
形ྲ
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有
出版
有
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教育
师གក.
教育
.
图
东
图分
东教
分ౢ
东教ౢ
Ց
东教育
Ց发
教育
发ဘ
教育
ဘ
ळ
东
ळ࠮
东
࠮学
东教
学生
东教
生思
东教
思考
教
考
஌
山
஌ᅼ
山
ᅼ新
山东
新”
山东
”ဗ
东
ဗᓬ
东
ᓬ
定理的ྲ
൴
山东
定理的ྲ
൴
解ን᣿
山
解ን᣿
196
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
和ʹ͘
Ὕ
ᄬ的：̰
ᅼគ੿能nj数学思考nj᫈
题解хnjৱ感গए四˔፥एࠫ
本ᓬ课ᤉ行系ፒ的回
顾，ࣟ
Ұ学生ሥግ࡛̆
ᒭࣂ的数学活үፃᰎ. 
ᮕర：学生̔ื
ᝧ᝷，঴ፇ本ᓬ课ஆᖍ. 
（1）判定直角三角形全等的౎件有：S S S ，A S A ，S A S ，A A S ，H L . 
（2）“H L ”的Ғଢ௧直角三角形，ਫ਼̿
˷ᭊ要三˔౎件. ڂ൥，“H L ”Զ适合判定直
角三角形全等. 
Оnj᫈ᮥ
ᆑᝧ
ݠ͵᝺ᝠଊጊ直角三角形全等౎件的教学活үὝ
ښ实ᬅ教学中，࣢᜹的᝺ᝠ方ข有̿
下三መ. 
第一መ方ข：开ஊ的ͻ图ଊቃ. 学生ࣃፃ学习̀
一ᓊ三角形全等的判定方ข，ࣳ
˅Ц
ܬ̀
一定的ଊጊፃᰎ，ښ൥基ᆩ上，ᤰ᣿开ஊ性的ͻ图活ү，ଊጊ判定直角三角形全等的
౎件. 基本᝺ᝠ思路ݠ下. 
ৱܒ᝺ᝠ：ݠ图 7，ࣃᅼ R t ǁABC. රͻ R t ǁDEF，ΎǁDEF ≌ǁABC. 
Ϳ有哪̏
ͻ图方ขὝឰ߹ੇ
ͻ图，ࣳ
与Տͧ̔ื
. 
师生活ү：（1）学生࿘ቡ思考ࣳ
ࡇ᜻ͻ图，教师ᴂҵ学生࠽ត不
Տ的方ข. ᤰ᣿࠵组ੋ
Տಸᝧ᝷，学生˨ᫎ
ᤉ行ͻ图方ข的̔ื
. 
（2）学生ͻ图方ข的࡙
ᇨ与ල঴. ᤰ᣿教师ᤥԩੋ
࠵组଎ᕛ，ႀ
学生̽
᛫࡙
ᇨͻ图的方ข. 教师ळ࠮学生思考nj分ౢ
ͻ图方ข的科学性
（ԁͻ图Κ据）. 
ৱܒ᝺ᝠ：ᤰ᣿Ғ᭧的୲ͻ，ឰ分ౢ
Цܬ哪̏
౎件可̿
判定直角三角形全等，ࣳ
እᤘ
理ႀ. 
师生活ү：（1）学生࿘ቡ思考Ց，঴ፇ方ข. 
（2）教师ळ࠮学生证明 H L 定理，ࣳ
᜻ᔵ证明᣿程. Х͸႕. 
ᤈመ᝺ᝠ方ข的తܸྲ
གࡃ௧教学活үЦ有开ஊ性，˞学生的ଊጊᮕ႑̀
ᡜܵ
的ቇᫎ
. 
ښ学习活ү中，学生ᤰ᣿ᒭ˟ଊቃnj̉
ү̔ื
ፃԋ定理发ဘnjᰎ证̿
ԣ应用的᣿程，有Ѿ̆
学生ѹᤵ性思፥的开发与۲Щ. ͮ
ᤈመ教学活ү᝺ᝠࠫ
学生能ҧ和数学活үፃᰎ的要රᣗ
ᰴ. 
第二መ方ข：̰
Ӈ股定理出发. ࠫ̆
直角三角形，े
ࣃᅼː᣸௑，可̿
ᆸ定第三᣸. ̰
直角三角形的ྲ
性出发，可̿
᝺ᝠ下᭧的方ವ. 
ৱܒ᝺ᝠ：（1）ࣃᅼ三角形的ː᣸᫂
分ѿ˞ 3，4，ර第三᣸的ԩϙᔵڊ. ឰ任и出一
组໘ᡜ౎件的三角形᣸᫂
.
（2）ࣃᅼ直角三角形的一౎直角᣸᫂
˞ 3，ப᣸᫂
˞ 4，ᤈನ的直角三角形有ї˔Ὕ
ݠ౧直角᣸᫂
˞ 4，ப᣸᫂
˞ 7 քὝ
（3）ݠ౧ː˔直角三角形的ப᣸ᄱ等，一౎直角᣸˷ᄱ等，ᥧ˦ᤈː˔直角三角形
图 7
山东教育出版社
三
社
三角
社
角形
社
形
ጊ直角三角形
育出
ጊ直角三角形
教学中，࣢᜹
育出
教学中，࣢᜹
መ
教
መ方
教育
方ข
教育
ข：
教育
：开
育
开ஊ
育
ஊ
一
东
一定
东教
定的
东教
的ଊ
东教
ଊጊ
教
ጊፃ
教
ፃ
౎件
东
౎件.
东
. 基本᝺ᝠ
东教
基本᝺ᝠ
ৱܒ᝺
山东
ৱܒ᝺
Ϳ
山
Ϳ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
Զ
出版
Զ适
出版
适合
出版
合判
版社
判定
版社
定直
版社
直
ᓊ
山东
ᓊ三
山东
三角
山东教
角形
东教
形全
东教
全等
教
等
ͻ
山
ͻ图
山
图活
山东
活ү
山东
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东
，ଊ
东
ଊ
ͻ R tR t ǁDEF
 
DEF，Ύ
，Ύࣳ
与Տͧ̔ื
 ࣳ
与Տͧ̔ืࣳ
ࡇ᜻ͻ图，
 ࣳ
ࡇ᜻ͻ图，
学生˨ᫎ
ᤉ行
 
学生˨ᫎ
ᤉ行࡙࡙
ᇨ与ල঴. ᤰ
ข
社
ข.
社
. 教师ळ࠮学
社 
教师ळ࠮学
ᤰ
版
ᤰ᣿
版
᣿Ғ
版社
Ғ᭧
版社
᭧的
版社
的୲
社
୲ͻ
社
ͻ
活ү：（
出版
活ү：（1
出版
1）学
版
）学
2
育
2）教师ळ࠮
育出
）教师ळ࠮
ᤈ
教育
ᤈመ
教育
መ᝺
教育
᝺ᝠ
育
ᝠ方
育
方
ښ
教
ښ学
教
学习
教育
习活
教育
活ү
教育
ү̆
学生ѹ
东教̆
学生ѹ
ᰴ
东教
ᰴ.
东
.
山东教育出版社
形
版
形全
版
全等
出版社
等，
版
，ࣳ
版社ࣳ
እ
版社
እ
႕
教
႕. 
教
. 
学
教
学生
教
生的
教育
的ଊ
教育
ଊጊ
教育
ጊᮕ
育
ᮕ
发
东
发ဘ
东教
ဘnj
东教
njᰎ
东教
ᰎ证
教
证̿
教̿
ᝠࠫ
学生能ҧ
山东教
ᝠࠫ
学生能ҧ
角
山
角形
山
形，
山
，े
山े
ࣃ
山
ࣃ
社
图
版社
图7
版社
7
197
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
全等ՙὝ与Տͧ̔ื
. 
师生活ү：学生ᤰ᣿ᝠካnj分ౢ
，发ဘ H L 定理，教师ळ࠮学生ॆ
ጪnj证明. 
与Ғ᭧的方ขᄱඋ，ᤈመ᝺ᝠ方ข˞学生ଢΙ的ଊጊቇᫎ
ᣗ࠵. 学生ښ学习活ү中ᤰ᣿
应用Ӈ股定理，ႀ直角三角形中᣸的ྲ
൴关系ॢ
ࠔ௜ଌ受H L 定理ԣХ证明方ข，ࠫ
学生的
ᝣᅼඵ平要රᣗͰ. 
第三መ方式：ႀ一ᓊ三角形全等的౎件出发，гፇ合直角三角形᣸的性质，̰
Ꮻᖍ४
直角三角形全等的౎件. ݠ本课的᝺ᝠ. 
教学᝺ᝠ要఩务̆
学生的实ᬅ，ښ教学中可̿
ಪ据学生的Цʹৱцᤥહ্े
的方ข，ੋ
ώ᧝ᤈ三መ方ข的一ᦊ分. 
ʹnjವΓកౢ
ᔵᏥ师᝺ᝠ的ᤈᓬ课，᫈
题᝺ᎶҒՑ֐应，ፇ౞合理njᒭཀྵὙድॷ᝺ᝠ̀
学生活ү，
Γ题nj习题有̽
᛫性. 
1. 直角三角形௧ྲ
൴的三角形，࠭
੽ː˔直角三角形全等的౎件，学生తࠔ௜ਇ҂的
௧ώҰ判定一ᓊ三角形全等的౎件. 本教学᝺ᝠጋጋઅͱ̀
ᤈ一ག，᝺Ꮆ̀
一˔ᣗ˞开ஊ的᫈
题ळК本ᓬ课的教学，ᝨ学生຋ҫ౎件Ύː˔三角形全等. ᤈ˔᫈
题௅能ࣟ
Ұ学生回顾一
ᓊ三角形全等的判定౎件，˷˞本ᓬ课学习“ப᣸nj直角᣸”定理ۡ
下͒
ቸ. ᬤᅌ三角形的ྲ
൴ӑ，判定三角形全等的౎件௧ա发生ஈԫὝᤈੇ
˞学生关ฌ的ཥག. Κ据̿
ड़的学习ፃ
ᰎ，学生͘
ਇ҂图形ྲ
൴ӑՑ，判定全等的౎件可能͘
发生ஈԫ. ႀ൥可̿
۲Щ学生发ဘ和
ଢ出᫈
题的能ҧ. 
2. ښ第二ဗᓬ中，教师ԣ௑ळ࠮学生思考：ː᣸分ѿᄱ等˅Х中一组等᣸的ࠫ
角分ѿ
ᄱ等ː˔三角形全等ՙὝݠ౧ᤈ˔角௧直角քὝឰត一ត. ଌᅌ，ᤰ᣿ࡇ᜻ͻ图ᤉ行ᰎ证，
ᤰ᣿଎理ᤉ行证明. ᤈ一᝺ᝠՔ学生ຖᤩ̀
ႀ一ᓊ҂ྲ
൴ڡᆑቃ᫈
题的方ข，有Ұ̆
学生ሥ
ግ数学思考的ፃᰎ. 
3. 教௄定ข，᠜ښ४ข. ᤈᓬ课的ळК方式可̿
௧ܳ
ನ的，教师可̿
ಪ据ᒭࣂ学生的学
ৱ༧活ᤥહ教学方ವ. ௄᝷᧔ԩ哪መ方ವ࡙
开教学，教师ᦐ要关ฌ学生的ை有ᝣᅼ，Ѝ分考
ᘽ学生学习᣿程中的ڈᬲ，ݠࣟ
Ұ学生用数学的ឦᝓ
ଢ出和᛫᣺᫈
题，ώҰ图形直᜺ቊᆡ
ᬲག，᜻ᔵڡΎ用ኀ号ឦᝓ
，ूូ
全等概ঐnjӇ股定理等核ॷ数学ᅼគ的重要ͻ用，ʹ͘
一ᓊ҂ྲ
൴ԣ合ৱ଎理与໦ፂ଎理的ᄱ̉
ͻ用等. 
山东教育出版社
全
社
全等
社
等的
社
的౎
社
౎
课的᝺ᝠ
版社
课的᝺ᝠ. 
社
. 
生
版
生的
版
的实
版社
实ᬅ
版社
ᬅ，
版社
，ښ
社
ښ
一ᦊ分
出版
一ᦊ分. 
出版
. 
师
教
师᝺
教
᝺ᝠ
教育
ᝠ的
教育
的ᤈ
教育
ᤈᓬ
育
ᓬ课
育
课
习题有̽
᛫性
东教
习题有̽
᛫性
1
东
1.
东
. 直
东教
直角
东教
角三
东教
三角
教
角
௧ώҰ判定一
山东
௧ώҰ判定一᫈
题ळК
山᫈
题ळК
三角
山
三角
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
᣿
社
᣿
生
社
生的
社
的
质
出
质，
出
，̰
出版̰
Ꮻ
出版社
Ꮻᖍ
版社
ᖍ४
版社
४
ц
育
цᤥ
育
ᤥહ
育出
હ্
育出্े
育出े
的
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方
理
山
理nj
山东
njᒭ
山东
ᒭཀྵ
东教
ཀྵὙ
东
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东教
ድ
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山
三角
山
角形
山
形全
山
全等
山
等
ᝠጋጋઅͱ̀
 
ᝠጋጋઅͱ̀
Ύː˔三角形
 
Ύː˔三角形
课学习“ப᣸nj
 
课学习“ப᣸nj
௧ա发生ஈԫὝ
 
௧ա发生ஈԫὝ
，判定全等的
 
，判定全等的
教
社
教师
社
师ԣ
社
ԣ௑
社
௑ळ
社 
ळ࠮
等ՙὝݠ౧ᤈ˔
版社
等ՙὝݠ౧ᤈ˔
证明
出版
证明.
出版
. ᤈ一᝺ᝠ
出版社
ᤈ一᝺ᝠ
的ፃᰎ
出版
的ፃᰎ.
出版
.
教௄定ข，᠜ښ
育出
教௄定ข，᠜ښ
活ᤥહ教学方
教育
活ᤥહ教学方
ᘽ
教
ᘽ学
教
学生
教育
生学
教育
学习
教育
习᣿
育
᣿
ᬲ
东教
ᬲག
东教
ག，
东教
，᜻
教
᜻ᔵ
教
ᔵ
一ᓊ҂
东教
一ᓊ҂
山东教育出版社
ဘ和
社
ဘ和
的
版
的ࠫ
版社ࠫ
角
版社
角分
版社
分ѿ
社
ѿ
ͻ图ᤉ行ᰎ证，
出版社
ͻ图ᤉ行ᰎ证，
ข，有Ұ̆
学
出版
ข，有Ұ̆
学
教师可̿
ಪ据ᒭ
教育出
教师可̿
ಪ据ᒭ
关ฌ学生的ை
教育
关ฌ学生的ை
和
东
和᛫
东教
᛫᣺
东教
᣺᫈
东教᫈
题
教
题
理
山东
理等
山东
等核
山东
核ॷ
东教
ॷ数
东教
数学
东教
学
198
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै
二 学ሙᅼគ઩࡙
ї͵ˁ଎ေ
“ї͵”ᤈ˔ឈ的ឈ义౏ູ࣏̆
ᑹ஡，Ԕਓ௧ژڡ฾᧚，ੋ
Է฾ڡష，௧数学中తԱ
Ꮵ的分ஃ˨一. Ա̽
中国njԱࣅඋ͠
njԱ۠
ԣnjԱ印एnjԱ࣏
ᑹᦐ௧ї͵学的重要发ູ
ڡ. 
ї͵˨ਫ਼̿
能ੇ
˞一᫃
系ፒ的学科，Ա࣏
ᑹ学Ꮸ的ࢺͻఢᡑ̀
ӡ分关᪄的ͻ用. Ա۠
ԣnjԱࣅඋ͠
的ፃᰎї͵҂࣏̀
ᑹ̡
的੤中，ҫ上࣏
ᑹ̡
本ᢶྲ
有的理性与ݞᣳ᮳ಫ，ї
͵学˷̰
“实ᰎї͵”ᤀК҂“଎理ї͵”，ᤈ௧数学Ծ上一次ܸ͛
的అҧ᭩命. 
౼ઢ图ં
᤿ᣤ学的思ਇ方ขळК̀
ї͵，ΎԔݽ的ї͵ᅼគ受᤿ᣤ学的ૉ࠮ᤪ൦ᡖՔ̆
系ፒ，ࣳ
Քˑࠛ
的方Ք发࡙
. ̎
᧗ܣܳ
ॴᜂ公ᝣ௧᤿ᣤ学的ѹݽ̡
，̵
ਫ਼ଢ出的“三段
᝷”的໦ፂ଎理的方ข，ౝܸ
ڡॖ
־̀
ї͵学的发࡙
. 直҂̭ܹ
，ښ初等ї͵学中，˟要̯
௧ᤂ用三段᝷的形式౏ᤉ行଎理. 
三段᝷ႀ三ᦊ分组ੇ
，ː˔እӭ判லͻҒଢ：一˔ܸ
Ғଢ，一˔࠵ҒଢὙ一˔እӭ判
லͻፇ᝷. Γݠܸ
Ғଢ——等腰三角形ːअ角ᄱ等，
࠵Ғଢ——ǁABC ௧等腰三角形，˅∠B 和∠C ௧߲
的ːअ角，
ፇ᝷—— ∠B =∠C. 
用三段᝷ᤉ行଎理௑，ХҒଢ一ᓊ应௧ᄾ实的，ኀ合ࠇ᜺实ᬅ的，աѷࡃ଎不出൤ᆸ
的ፇ᝷. 
山东教育出版社
උ͠
njԱ
社
උ͠
njԱ
系
版社
系ፒ
版社
ፒ的
版社
的学
社
学科
社
科
͵
版
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版
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版社࣏̀
版社࣏
ᑹ
版社
ᑹ̡
社̡
”ᤀК҂“଎
出版
”ᤀК҂“଎
ᣤ
育
ᣤ学
育出
学的
育出
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育出版
思ਇ
出版
ਇ方
出版
方
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育
Քˑ
育
ˑࠛ
育ࠛ
的
育出
的方
育出
方Ք
出
Ք发
出
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ፂ଎理的方ข
教育
ፂ଎理的方ข
用三段᝷的形式
东教育
用三段᝷的形式
三
东
三段
东教
段᝷
东教
᝷ႀ
东教
ႀ三
教
三
லͻፇ᝷
山东
லͻፇ᝷.
东
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东
Γܸ
Ғ
山ܸ
Ғ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
学
版
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版社
中త
版社
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版社
Ա
重要发ູ
ڡ
出版社
重要发ູ
ڡ.
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关
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出版
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出版
ͻ用
出版
用.
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育
理性
育出
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教
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教育
᤿ᣤ
教育
ᣤ学
教育
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东
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东教
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教̡
，
教
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山东教
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山
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山
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山
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形，˅
形，˅∠B 
B 和
 
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ХҒଢ一ᓊ应
 
应௧
山东教育出版社
199
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ኄӡʷቦ
 ʷЋʷ൓ˀ኎रˁʷЋʷ൓ˀ኎रጸ
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. ʹᰎ̰
Цʹৱܒ中ચ៶出数学ኀ号的᣿程，理解不等式Ὑଂଧ必要的ᤂካ੿能Ὑଊ
ጊЦʹ᫈
题中的数᧚关系和ԫӑ᜻॥，ଂଧ用不等式ᤉ行᛫ᤘ的方ข. 
2. ᤰ᣿用不等式᛫ᤘ数᧚关系的᣿程，ʹ͘
模型思ਇ，थቡኀ号ਓគ. 
3. 初൦学͘
ښЦʹ的ৱܒ中̰
数学的角ए发ဘ᫈
题和ଢ出᫈
题，ࣳ
፬合ᤂ用数学ᅼគ
和方ข等解хእӭ的实ᬅ᫈
题，ܙू
应用ਓគ，ଢᰴ实᡻能ҧ. 
4. ፇ合Цʹ᫈
题，̀
解不等式的ਓ义，ଊጊ不等式的基本性质. 
5. 能解数字系数的一元一次不等式，ࣳ
能ښ数ᣉ上᛫ᇨ出解集Ὑ͘
用数ᣉᆸ定ႀː˔
一元一次不等式组ੇ
的不等式组的解集. 
6. 能ಪ据Цʹ᫈
题中的数᧚关系，ѵ出一元一次不等式，解хእӭ的᫈
题. ̄
nj教ߦ目ಖ
1. ፃԋ࠲一̏
实ᬅ᫈
题ચ៶˞不等式的᣿程，ᤉ一൦ʹ͘
模型思ਇ，थቡኀ号ਓគ. 
2. ፇ合Цʹ᫈
题，̀
解不等式的ਓ义. 
3. ଊጊࣳ
ଂଧ不等式的基本性质. 
4. 理解不等式（组）的解ԣ解集的ե义Ὑ͘
解እӭ的一元一次不等式，ࣳ
能ښ数ᣉ上
᛫ᇨ一元一次不等式的解集Ὑ͘
解一元一次不等式组，ࣳ͘
用数ᣉᆸ定Х解集. 
5. ᤰ᣿用数ᣉ᛫ᇨ不等式（组）的解的᣿程，发࡙
ї͵直᜺. 
6. 能ಪ据Цʹ᫈
题中的数᧚关系，ѵ出一元一次不等式，解хእӭ的实ᬅ᫈
题，ࣳ
能
ಪ据Цʹ᫈
题的实ᬅਓ义，ೝᰎፇ౧௧ա合理，发࡙
应用ਓគ. 
7. 初൦ʹ͘
不等式nj方程nj函数˨ᫎ
的内ښᐏ系与ӝѿ. 
8. ᤉ一൦感受数学和生活的ᐏ系，ʹ͘
数学的价ϙ. 
ʼnj᝺ᝠন᡹
不等式௧ဘ实ˇႍ
中不等关系的一መ数学᛫ᇨ形式，߲
不̩
௧ဘ᫽段学生学习的重ག
内ࠔ，Ꮻ˅˷௧学生Ց፞
学习的重要基ᆩ. 本ቦښ学生学习̀
一元一次方程nj二元一次方程
组和一次函数的基ᆩ上，开ݽᆑቃእӭ的不等关系. ᤰ᣿Ғ᭧的学习，学生ࣃ初൦ʹ͘
҂生
活中᧚与᧚˨ᫎ
的关系௧͕ܳ
Ꮻ˅复ా
的，᭧ܸࠫ
᧚的Տዝ᧚，తࠔ௜Ύ̡
ਇ҂的ࡃ௧߲̓
有ܸ
࠵˨分. ښ൥˨Ғ，学生ࣃ初൦ፃԋ̀
थቡ方程模型和函数关系解х一̏
实ᬅ᫈
题的
“数学ӑ”᣿程，˞分ౢ
᧚与᧚˨ᫎ
的关系ሥግ̀
一定的ፃᰎ，̿
൥˞基ᆩ࡙
开不等式的
学习，ᮋ理ੇ
ቦ. 
本ቦᯫЏᤰ᣿Цʹ实Γथቡ不等式，ଊጊ不等式的基本性质，̀
解一ᓊ不等式的解nj
解集̿
ԣ解不等式的概ঐ. ཀྵՑЦʹᆑቃ一元一次不等式的解nj解集nj解集的数ᣉ᛫ᇨ，一
元一次不等式的解ข，̿
ԣ一元一次不等式的እӭ应用Ὑᤰ᣿Цʹ实Γຖᤩ一元一次不等
山东教育出版社
॥
社
॥
系的᣿程
社
系的᣿程
ܒ
版
ܒ中
版社
中̰
版社̰
数
版社
数学
社
学的
社
的᫈
题，ܙू
应
版社᫈
题，ܙू
应
，̀
解不等式
出版
，̀
解不等式
系
育
系数
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数的
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的一
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一元
出
元一
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一
式组ੇ
的不等
教育出
式组ੇ
的不等
ಪ据Цʹ᫈
题
教育
ಪ据Цʹ᫈
题
nj教ߦ目ಖ
山东教
nj教ߦ目ಖ
1
山东
1. 
山东
. ፃԋ࠲
山东
ፃԋ࠲
2
山
2. 
山
. ፇ
山
ፇ
山东教育出版社             山东教育出版社
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能
社
能Ὑ
社
Ὑଊ
社
ଊ
合
出
合ᤂ
出
ᤂ用
出版
用数
出版
数学
出版
学ᅼ
版
ᅼ
解
教
解集
教
集Ὑ
教
Ὑ͘
教育͘
用
教育
用数
育
数
等式，解хእ
山东
等式，解хእ
᣿程，ᤉ一൦ʹ
 
᣿程，ᤉ一൦ʹ
义. . 
解集的ե义
 
义Ὑ͘
解一元一次
 ͘
解一元一次
等式（组）的
社 
等式（组）的
题
社
题中
社
中的
社
的数
社
数᧚
社
᧚关
社 
关系
ᬅਓ义，ೝᰎ
版社
ᬅਓ义，ೝᰎ͘
不等式nj方程
出版社͘
不等式nj方程
一൦感受数学和
出版
一൦感受数学和
᝺ᝠন᡹
教育
᝺ᝠন᡹
不
教育
不等
教育
等式
教育
式௧
育
௧
内ࠔ，Ꮻ˅
东教
内ࠔ，Ꮻ˅
组和一
东
组和一
活
东
活
山东教育出版社᫈
版᫈
题
版社
题，
版社
，ࣳ
版社ࣳ
能
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能߲
东߲
不
东教
不̩
东教̩
௧
东教
௧ဘ
教
ဘ᫽
教
᫽
生学习̀
一元一
山东教
生学习̀
一元一
系
山
系.
山
. ᤰ᣿Ғ᭧的
山东
ᤰ᣿Ғ᭧的
᧚
山
᧚的
山
的Տ
山
Տዝ
山
ዝ
模
200
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
式nj一元一次方程和一次函数的内ښᐏ系. తՑᆑቃ一元一次不等式组的解nj解集和一元一
次不等式组的解ข. 
ಪ据学生ဘ有的ᝣᅼ基ᆩ和ᝣᅼྲ
ག，本ቦ的᝺ᝠ˟要有下ѵྲ
ག：
1. ଢΙ˘ࠝ
的实ᬅᑀఀ
. ݠ等և᫈
题nj฾ಞڊᆑቃಞᴔ᫈
题nj੪ઉᩙ
׬᫈
题等，ᤈ̏
ᦐ˞学生ଊጊ实ᬅ᫈
题中的不等关系ଢῚ
生үnj˘ࠝ
的ᑀఀ
. ᤰ᣿ᆑቃᤈ̏᫈
题，可̿
ᤉ
一൦发࡙
学生的ኀ号ਓគ，ଢᰴ学生发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题nj分ౢ᫈
题nj解х᫈
题的能ҧ，
发࡙
模型思ਇ. 
2. ቊ出ᅼគ˨ᫎ
的内ښᐏ系. 不等式与方程nj函数一ನ，ᦐ௧Ԧ௢ࠇ᜺事ྭ
ԫӑ᜻॥
ԣХ关系的模型. 函数能ܵ
҉ႇ事ྭ
˨ᫎࠫ
应ԫӑ的᣿程，方程能ܵ
҉ႇ౽˔ԫӑ᣿程的一
ᅯᫎ
，Ꮻ不等式ѷ҉ႇԫӑ᣿程中Տዝ᧚˨ᫎ
的一˔௿᥆ဘ៶. 本ቦ教科书Ѝ分ฌਓ̀
ᤈ三
Ꮸ˨ᫎ
的ᐏ系，ࣳ
˄᝺一ᓬ“一元一次不等式与一次函数”，ਓښळ࠮学生初൦ʹ̰͘
ட
ʹ中ં
ଧᦊ分的思፥方ข，ຖᤩ函数nj方程nj不等式等重要的数学思ਇ，发࡙
ї͵直᜺. 
Цʹ౏ᝯ，第 1 ᓬ“不等关系”用实ΓळК，Ύ学生ښॆ
ጪ的᣿程中ᝣគ不等式模
型，ʹ͘
҂生活中的不等关系ܸ
᧚ߛښ，ࣳ
初൦थቡ用不等式模型解хእӭ实ᬅ᫈
题的应
用ਓគ. 第 2 ᓬ“不等式的基本性质”ዝඋ等式的基本性质ᆑቃ不等式的基本性质，ᝨ学生
ፃԋዝඋ࿯ਇnj࠽តnjॆ
ጪnj४出ፇ᝷的合ৱ଎理᣿程，ଊጊ不等式的三౎基本性质，Ύ
学生能ܵ
࠲不等式ᤉ行እӭᣁӑ. 第 3 ᓬ“不等式的解集”用ཏᔉळ༢线的实ΓळК，ښ
थቡ不等式˨ՑᆑቃХ解集ԣ数ᣉ᛫ᇨ，ᝨ学生ፇ合实ᬅਓ义౏理解不等式的解集，ࣳ
ळ
࠮学生感受不等式的解与方程的解的पՏ. 第 4 ᓬ“一元一次不等式”ፃԋᝣគ一元一次不
等式的概ঐnjර解一元一次不等式，̿
ԣ应用一元一次不等式的᣿程，ᤪ൦ሥግ数学活ү
ፃᰎ. 本ᓬ᝺ᝠܸ̀
᧚实ᬅ᫈
题，ݠ੪ઉᩙ
׬njᅼគቤᠿ等，ਓ图௧ᤉ一൦۲Щ学生的数学
应用ਓគ. 第 5 ᓬ“一元一次不等式与一次函数”ᆑቃ一元一次不等式与一次函数的ᐏ系，
发࡙
学生ࠫ
数学的፬合ᝣគ，थቡ数学学科内ᦊᅼគ˨ᫎ
的ᐏ系，߹ؓ
学生的ᝣᅼፇ౞，ࣳ
ᤂ用ᤈመᐏ系解х一̏
እӭ的实ᬅ᫈
题，发࡙
学生的应用ਓគ. 第 6 ᓬ“一元一次不等式
组”࠲解一元一次不等式组的᫈
题ᣁӑ˞解一元一次不等式的᫈
题，гώҰ数ᣉᆸ定Х解
集. 
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
1 不等关系  
 
 
 
 
 
 
 
   1 课௑
2 不等式的基本性质  
 
 
 
 
 
 
   1 课௑
3 不等式的解集   
 
 
 
 
 
 
   1 课௑
4 一元一次不等式  
 
 
 
 
 
 
   2 课௑
5 一元一次不等式与一次函数  
 
 
 
 
 
   2 课௑
6 一元一次不等式组  
 
 
 
 
 
 
   3 课௑
  回顾与思考  
 
 
 
 
 
 
 
   2 课௑
山东教育出版社
ᰴ
社
ᰴ学
社
学生
社
生发
社
发
内
版
内ښ
版
ښᐏ
版社
ᐏ系
版社
系.
版社
. 不
版社
不
数能ܵ
҉ႇ事
出版
数能ܵ
҉ႇ事
ѷ҉ႇԫӑ᣿
育出
ѷ҉ႇԫӑ᣿
系
育
系，
育
，ࣳ
育ࣳ
˄
育出
˄᝺
育出
᝺一
育出
一
ଧᦊ分的思፥方
教育
ଧᦊ分的思፥方
Ц
东
Цʹ
东教
ʹ౏
东教
౏ᝯ
东教
ᝯ，
教
，第
教
第
型，
东
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东
ʹ͘
东教͘
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东教
҂生
东教
生活
教
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用ਓគ
山东
用ਓគ. 
东
. 第
东
第
ፃ
山
ፃԋ
山
ԋዝ
山
ዝ
学
山
学生
山
生
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
ᤈ
社
ᤈ̏
社̏
题，可̿
ᤉ
版社
题，可̿
ᤉ᫈
出版᫈
题
出版
题的
出版
的能
版社
能ҧ
版社
ҧ
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育
௢ࠇ
育出
ࠇ᜺
育出
᜺事
育出
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出ྭ
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出
ԫܵ
҉ႇ౽˔ԫ
教育ܵ
҉ႇ౽˔ԫ
 
教
 本ቦ教科书Ѝ
教育
本ቦ教科书Ѝ
，
东
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东教
ਓښ
东教
ښळ
教
ळ࠮
教
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等重要的数学思
山东教
等重要的数学思
，Ύ
山
Ύ学
山东
学生
山东
生ښ
山东
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东ॆ
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山
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山
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山
不等
山
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等式的基本性质
 
等式的基本性质
的合ৱ଎理
 
理᣿
第3 ᓬ“不
 
不等式
ᣉ᛫ᇨ，ᝨ
 
ᝨ学
程的解的पՏ
 
程的解的पՏ
次
社
次不
社
不等
社
等式，̿̿
᧚实ᬅ᫈
题，ݠ
社 
᧚实ᬅ᫈
题，ݠ
“一元一次不
版社
“一元一次不
学
出版
学的
出版
的፬
出版
፬合
版社
合ᝣ
版社
ᝣគ
版社
គ
መᐏ系解х一
出版
መᐏ系解х一
࠲
育
࠲解
育
解一
育出
一元
育出
元一
育出
一次
出
次不
出
不
پnjិ
௑
东教
پnjិ
௑
山东教育出版社
次
社
次
数
社
数学
社
学活
社
活ү
社
ү
Щ学生的数学
版社
Щ学生的数学
次函数的ᐏ系
出版社
次函数的ᐏ系ؓ
出ؓ
学
出
学生
出版
生的
出版
的ᝣ
出版
ᝣᅼ
版
ᅼ
第
育
第6
育
6 ᓬ“一元一
育出
ᓬ“一元一᫈
教育᫈
题
教育
题，
教育
，г
育出
гώ
育出
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育出
Ұ
201
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书̋
nj教ߦथᝬ
数学教学௧数学活ү的教学，௧师生̔
ड़nj̉
ү和СՏ发࡙
的᣿程. 教学中，要࠲学生
଎҂学习的Ғ෹，ฌ重发૙学生的学习˟ʹ性和˟᜺能ү性. 
1. 关ฌ与ࣃ有ᅼគ的ᐏ系，ଢᰴ学生的思፥能ҧ. 
“有஍的教学一定要̰
学生ᅼ᥋̤̀
˦开ݽ. ”不等关系与ᄱ等关系有ᅌᣳ证的ᐏ
系，ڂ൥要ዝඋ等式（方程）ᤉ行不等式的教学，ᤈನ不̩
有Ѿ̆
学生ᝣគ不等式，Ꮻ˅
可̿
Ύ学生ʹ͘
ᅼគ˨ᫎ
的内ښᐏ系，டʹ上ં
ଧᅼគ，发࡙
学生的ᣳ证思፥. Γݠ，ᆑቃ
不等式的基本性质௑，可̿
ዝඋ等式的基本性质，ࣳ
උᣗХपՏ. ښ教学᣿程中，ᤇ要关ฌ
不等式nj函数nj方程的内ښᐏ系，̰
式nj形ܳ
角एʹ͘
ХपՏ，发࡙
ї͵直᜺. 
2. ᝺Ꮆ˘ࠝ
的᫈
题ৱܒ，ʹ͘
ᅼគ的发生nj发࡙
᣿程. 
教学中，要Ѝ分Ѿ用教科书中“Ϣ一Ϣ”“ਇ一ਇ”“ᝬ一ᝬ”等ಝᄬଢΙ的᫈
题ৱ
ܒ，组ጻ学生࡙
开ଊቃ性学习. Γݠ，ښ“不等关系”一ᓬ的教学中，要ᝨ学生ፃԋଊጊ不
等式模型的形ੇ
᣿程，要ፌ学生႑有Ѝ分的思考与活ү௑ᫎ
，Ύ̵̓
初൦ʹ͘
学习不等式
的价ϙὙ应े
ᝨ学生Ѝ分ፃԋ᜺ࠣ
nj实ᰎnjॆ
ጪnjዝඋnjચ៶nj概઺和数学᛫ᇨ的᣿程，̰
Ꮻᒭཀྵڡચ៶出数学模型. 教师不要ফ̆
රੇ
，ࠫ
学生的活ү不可ӊҩ̽
ణ，ᙊཀྵ初中᫽
段的学习重ག௧一元一次不等式，ͮ
学生ଢ出的ܳ
元njᰴ次不等式ᦐ࡛̆
不等式模型，教
师要́̿
ᴂҵ，ࣳ
适௑ፌ্́े
的ळ࠮，发࡙
学生发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题nj分ౢ᫈
题和解х᫈
题的能ҧ. 
3. ̿
基ᆩᅼគ˞ᣒʹ发࡙
ᤂካ能ҧ. 
不等式的基本性质nj不等式（组）的解ขԣ不等式解集的数ᣉ᛫ᇨ௧学生Ցፙ学习的
重要基ᆩ和必ܬ੿能，一定᧚的ጷ习௧߹全必要的，ͮ
不ࠂϣ႑ښእӭ的模͌
ᝫጷ与఻೚
ᝮॺ的ࡏ次上，更不必ूូ
解不等式（组）的൦ᰡ. 要ळ࠮学生能ܵ
ឭ出一˔不等式˞̤
˦
可̰̿
一መ形式ԫ形˞Գ一መ形式，理解Х中的ካ理. ᝨ学生思考不等式的解集˞̤
˦能
ښ数ᣉ上᛫ᇨ，˞̤
˦ᤰ᣿数ᣉ能ܵ
᣾ᤴюᆸڡᆸ定不等式组的解集，发࡙
Х̽
数ԫ形能
ҧnjឭ理能ҧ和数形ፇ合能ҧ，Щੇ
൦൦有据njюᆸ᛫᣺的ᓢݞ的数学学习习ਅ. 
ښ教学᣿程中，ࠫ
学生ර解不等式（组）的基本ᝫጷ要ᒭݽᒰጼҫ̿
关ฌ，Ꮻ不ࠂ一
൦҂ͯ
ቊѤᝫጷ. ݠ解х一̏
实ᬅ᫈
题௑，थቡ不等式模型˨Ց，Տನ要关ฌХර解᣿程nj
解的юᆸ性ԣ解的合理性，ښᤈ˔᣿程中，Ύ学生ᤉ一൦ʹ͘
解不等式（组）与解方程
（组）的पՏ. 
4. ্ेં
ଧ实ᬅᑀఀ
题ᄬ的ᬲए，关ฌ学生ܳ
角ए的思考. 
ᤂ用一元一次不等式解х实ᬅ᫈
题的ᬲག௧थቡ不等式模型. 教学௑，教师要ᴂҵ学生
ᒭ˟ଊጊ与合ͻ̔ื
，ळ࠮学生ܸ
ᐿ࠽តර解，ࣳ
ᤪ൦Щੇ
ᰎ证与Ԧ思的习ਅ，Տ௑要ᴂ
ҵ解ข的ܳ
ನ性. Γݠ，ࠫ
౽̏
实ᬅ᫈
题，学生可能用方程nj函数ᅼគܫ理，Զ要学生的解
ข合理，ࡃ应े́̿
ᴂҵ，不必ू
රፒ一. 重要的௧发࡙
学生的思፥ኖ႕，Ψᤉ学生一ᓊ数
学᜺的थቡ，发࡙
学生的数学应用ਓគ. 教学要ቡᡜ̆
学生ᒭᢶ的ᝣᅼඵ平，实ᬅᑀఀ
的题
ᄬᬲए要଍制ښ教科书Γ题nj习题的ඵ平上，不要̡
˞ҫܸ
ᬲए. 
山东教育出版社
行
社
行不
社
不等
社
等式
社
式
内ښᐏ系，டʹ
版社
内ښᐏ系，டʹ̿
ዝඋ等式的
版社̿
ዝඋ等式的
的内ښᐏ系，̰
出版
的内ښᐏ系，̰
的᫈
题ৱܒ，ʹ
育出
的᫈
题ৱܒ，ʹ
要
育
要Ѝ
育
Ѝ分
育
分Ѿ
育出
Ѿ用
育出
用教
出
教
学生࡙
开ଊቃ性
教育
学生࡙
开ଊቃ性
型
东
型的
东教
的形
东教
形ੇ
东教ੇ
᣿
教
᣿程
教
程
价
东
价ϙ
东
ϙὙ
东
Ὑ应
东教
应े
东教े
ᝨ
东教
ᝨ̰
Ꮻᒭཀྵڡચ
山东̰
Ꮻᒭཀྵڡચ
段
山
段的
山
的学
山
学习
山
习
要
山
要́
山́
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
ᣳ
版
ᣳ证
版社
证的
版社
的ᐏ
版社
ᐏ
不
出
不等
出版
等式
出版
式，
出版
，Ꮻ
版社
Ꮻ˅
版社
˅
思፥
出
思፥.
出
. Γݠ，ᆑ
出版
Γݠ，ᆑ
学᣿程中，ᤇ要
育出
学᣿程中，ᤇ要࡙
ї͵直᜺
教育࡙
ї͵直᜺.
育
.
ᝬ
东
ᝬ一
东教
一ᝬ
东教
ᝬ”
东教
”等
教
等ಝ
教
ಝ
ᓬ的教学中，
山东教
ᓬ的教学中，
活
山
活ү
山
ү௑
山
௑ᫎ
山东ᫎ
，
山东
，Ύ
东
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山
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山
උnj
山
njચ
山
ચ៶
山
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，ࠫ
学生的
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元
 
元
࠮，发࡙࡙
学
 
学生
ᤂካ能ҧ
ᤂካ能ҧ.
不
社
不等
社
等式
社
式（组
 
组）
一
社
一定
社
定᧚
社
᧚的
社
的ጷ
社 
ጷ习
不必ूូ
解不等
版社
不必ूូ
解不等
式
出
式ԫ
出版
ԫ形
出版
形˞
出版社
˞Գ
版社
Գ一
版
一መ
社
መ
ᇨ
出
ᇨ，
出
，˞
出版
˞̤
出版̤
˦
出版
˦ᤰ
版
ᤰ
理能ҧ和数形ፇ
育出
理能ҧ和数形ፇ
ښ
教育
ښ教
教育
教学
教育
学᣿
育
᣿程
育
程中
育
中
൦҂ͯ
ቊѤᝫ
教育
൦҂ͯ
ቊѤᝫ
解
东教
解的
东教
的ю
东教
юᆸ
教
ᆸ性
教
性
（组）
东教
（组）
山东教育出版社
学
社
学习
社
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社
的
ᝫ
版
ᝫጷ
版社
ጷ与
版社
与఻
版社
఻೚
社
೚
˔不等式˞̤
˦
出版社
˔不等式˞̤
˦
式
出
式的
出
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出版
解集
出版
集˞
出版
˞̤
版̤
集
育
集，
育
，发
育出
发࡙
育出࡙
Х
出
Х̽
出̽
数
出
数
的数学学习习ਅ
教育出
的数学学习习ਅ
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教
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教
ݽᒰ
教育
ᒰጼ
教育
ጼҫ
教育
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型˨Ց，Տನ要
东教
型˨Ց，Տನ要
ᤉ
山
ᤉ一
东
一൦
山东
൦ʹ
东教
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东教͘
解
东教
解
角ए的思
山
角ए的思
不等
山
不等
202
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
5. 关ฌ学生的˔ʹࣀप，ଢᰴ学生的学习ሥౝ性. 
教学᣿程中，要࠴重学生的˔ʹࣀप，关ฌ学生的学习ৱ感和ᒭηॷ的थቡ. 本ቦ教
学要ଢϏ解х᫈
题ኖ႕的ܳ
ನӑ，发࡙
学生的学习˔性，Њ᝵出ᩲ，ᴂҵѹ新. ྲ
ѿ௧ࠫ
学
习有ڈᬲ的学生，教师要ᏭॷϚզ̵̓
的ᄺข，适௑ळ࠮，ܙू
Х学习的Уᡚ和ᒭηॷ. ࠫ̆
学有͸ҧ的学生，要ܳ
ଢΙ一̏ె
料，ळ࠮̵̓
ᒭ学，发̵࡙̓
的数学੦能.
Оnjក͉
थᝬ
1. 关ฌ学生的学习᣿程. 
ǒಖюǓૉ出：“ក价不̩
要关ฌ学生的学习ፇ౧，更要关ฌ学生ښ学习᣿程中的发࡙
和ԫӑ.”“数学思考和᫈
题解х的ក价要Κ据঴ᄬಖ和学段ᄬಖ的要ර，ʹဘښட˔数
学学习᣿程中. ”本ቦ的教学要ྲ
ѿ关ฌ学生ښथቡ不等式模型᣿程中的᛫ဘ. Γݠ，௧Х
࿘ቡ思考ᤇ௧合ͻ̔ื
ᖍ४的Ὕ௧ա有౎理ڡ思考Ὕ᫞឴
理解njኀ号᛫᣺njර解不等式
（组）等基本能ҧᣗ̿
Ғ௧ա有ਫ਼发࡙
Ὕ要发ဘ学生的གໟᤉ൦，ԣ௑ᴂҵ. 
2. ্े
ក价学生᫈
题解х的ᄱ关能ҧ. ࠫ̆
学生ښ发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题nj分ౢ᫈
题nj解х᫈
题等方᭧的能ҧ要ර，要ฌਓ॰ऀ
ຒᤉ，ᛃ஽上Ӥ，্े
ळ࠮，不可要ර᣿ᰴ. Γݠ，ᤂ用不等式解хእӭ的实ᬅ᫈
题，学
生不一定能一次߹ੇ
ݞ，ͮ
Զ要有合理的ڡ方（උݠ，能ܵ
ώҰѵ᛫njႇᄱ应的函数图៶
等方ข౏分ౢ
），ࡃ要ፌ́
ᴂҵ. 
3. 关ฌ学生ࠫ
不等式内ࠔ的实质性ᝣគ. ࠫ
学生ଂଧ不等式（组）的有关性质和解ข的ក价，要关ฌ学生ࠫ᫈
题的实质性ᝣគ
和ࠫ
ካ理的理解，不ଢϏӭጦᝮॺ和఻೚模͌
. ݠࠫ
不等式的三౎基本性质，可̿
考ಊ学生
能ա用有关的实Γᤉ行ឭ明，能աຍఁڡឭ明ښ不等式的ᄱ关ԫ形᣿程中ᤂ用̀
哪౎基本
性质等. 
山东教育出版社
᣿程
版
᣿程.
版
.
“
出
“ក
出版
ក价
出版
价不
出版
不̩
版̩
要
版
要
学
育
学思
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思考
育出
考和
育出
和᫈
出᫈
题
出
题
中
育
中.
育
. ”
育
”本
育出
本ቦ
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ቦ的
育出
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出
教
考
教
考ᤇ
教
ᤇ௧
教育
௧合
教育
合ͻ
教育
ͻ̔
育̔ื
育ื
）等基本能ҧ
东教
）等基本能ҧ
2
东
2. 
东
. ্े
ក价
东教্े
ក价ࠫ
山东ࠫ̆
东̆
学
东
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ຒᤉ
山ऀ
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山
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山
不
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东ࠫ
学
社ࠫ
学
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社
ηॷ.
社
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教
ฌ学
教育
学生
教育
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ښ学
育
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育
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段ᄬ
教
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教
ಖ的
教育
的要
教育
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教育
ර
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东
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东
模型
东教
型᣿
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东教
程中
教
中的
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᫞
山东
᫞឴
山东឴
理
山东教
理解
东教
解nj
东
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教
ኀ
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山东
生的གໟᤉ൦ౢౢ᫈᫈
题nj解х᫈᫈
ර᣿ᰴ
ර᣿ᰴ. Γݠ，
 
Γݠ，
合理的ڡ方
 
方（
ࠔ的实质性ᝣគ
 
ࠔ的实质性ᝣគ
组
社
组）
社
）的
社
的有关性
ଢϏӭጦᝮॺ
社 
ଢϏӭጦᝮॺ
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版
Γᤉ
版
ᤉ行
版社
行ឭ
版社
ឭ明
版社
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社
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社
能
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质
社
质性
社
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社
ᝣគ
社
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可̿
考ಊ学生
版社
可̿
考ಊ学生
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ᤂ用
版
用̀
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哪
版社
哪౎
版社
౎基
版社
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஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
203

ˀ኎Тጇ

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၄փڪ࠲ဣڦࡗײLj৊ᅃօ༹ࣷ
ఇ႙າၙ
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ૌԲڦາၙ
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!ࣷ঴ᅃᇮᅃْ
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ቛबࢆ኱࠵
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 ʷЋʷ൓ˀ኎रˁ


ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ
x .! ? .x

 x = 
x,
 ļx.

x .! ? .
x .! = x ,!
x ,! ? x ,!
ཏᔉፌᓬெܙ຋̀
؞ࣼ
ᄊඡටὊͿ௧աਇ᣿Ὂཏᔉळ༢ጳᄊ߷Л᫂
ए͘
ˁ
౽መþˀ኎ТጇÿదТՙὝ˷᝵ὊͿࠫ
੤఻ᤰភᠠ̿
ԣ੪ઉ᠔ྭ
኎๗ᠠவವᄊ
ᤥહࣳ
ˀᬋၷὊͮ
Ϳᅼ᥋߲̓
Տನ͘
๘ԣʷ̏
þˀ኎ТጇÿՙὝХࠄὊˁᄱ኎
ТጇᄱඋὊˀ኎Тጇఞ˞௿᥆. 
ˁʷЋʷ൓வሮᄊߦ˸ዝͫ
Ὂవቦ࠲ᆑቃˀ኎रᄊভ᠏
njʷЋʷ൓ˀ኎र
὆ጸ὇ᄊᝍขὊࣳ
ᤰ᣿ᝍхʷ̏
እӭᄊࠄᬅ᫈ᮥ
Ὂʹ͘
ˀ኎रᄊവیনਇԣʷ
Ћʷ൓ˀ኎रnjʷ൓Ѧ஝njʷЋʷ൓வሮ˨ᫎ
ᄊЯښᐏጇ. 
˟ 题图ܹ̿
ቇ中፭ஊ的
ᇪᔉnjᏗᏗ౜nj不等式（组）
˞ᑀఀ
，ࣳ
ᦡ̿
ᄱ应的ឦᝓ
஡字，ਓښ༏发学生的学习൘
మ，఍ᇨ本ቦ˟要学习内ࠔ. 
山东教育出版社
育出

育

育
x 
育出
x x
育出
x
育出
.
育出
.
育出
.
育出

育出

育出

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教育
教育

教育

教育

教育

教育

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育
x 
育
x x
育
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育
=
育
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育

育

育

教育
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社
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ТጇÿՙὝ
社
ТጇÿՙὝ
ˀ኎रᄊভ᠏
njʷ
版社
ˀ኎रᄊভ᠏
njʷ
ᬅ᫈ᮥ
Ὂʹ͘
ˀ኎
出版社
ᬅ᫈ᮥ
Ὂʹ͘
ˀ኎
வሮ˨ᫎ
ᄊЯښᐏጇ
出版
வሮ˨ᫎ
ᄊЯښᐏጇ
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山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
版社      
版社      
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ఇ႙າ
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ఇ႙າ
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社 
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社 
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փڪ๕঴ਦᅃၵ०ڇڦ
社
փڪ๕঴ਦᅃၵ०ڇڦ
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版社
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˟
教育
˟ 题
教育
题图
教育
图̿
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教育
ᏗᏗ
教育
Ꮧ౜
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东教
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东教
ᑀఀ
东教ఀ
，
教
，
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东
஡字
东
字
మ
东
మ
山东教育出版社
 
204
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ݠڏ .Ὂၹːಪ᫂
एک˞ l cm ᄊ፤ߕѬѿڊੇ
ʷ˔൤வॎ֗
ʷ˔ړ.  

ˀ኎Тጇ
὆὇ݠ౧᜶Ύ൤வॎᄊ᭧ሥˀܸ̆
  cmὊᥧ˦፤᫂
 l ऄ໘ᡜটನᄊТ
ጇरὝ
὆὇ݠ౧᜶Ύړᄊ᭧ሥˀ࠵̆
  cmὊᥧ˦፤᫂
 l ऄ໘ᡜটನᄊТጇरὝ
὆὇े
 l !>!! ௑Ὂ൤வॎ֗
ړᄊ᭧ሥד˔ܸ
Ὕl >! ௑քὝஈԫ l ᄊԩϙг
តʷតὊႀ൥Ϳᑟ४҂̤
˦࿯ਇὝ
ڏ .
ϢʷϢ
὆὇ᨡ᡹ᦊ᫃ࠫ
஻ࠇᬤᢶ୆ࣜ
ᄊᛡౄదݠʾ᜻ࠀ὘ඈ͈
ᛡౄᄊ᫂
njࠕnjᰴ
ʼ᣸˨֗
ˀ४ᡔ᣿  cm.  ᝺ᛡౄᄊ᫂
njࠕnjᰴѬѿ˞ a cmὊb cmὊc cmὊឰ
Ϳѵѣᛡౄᄊ᫂
njࠕnjᰴ໘ᡜᄊТጇर.  
὆὇ᤰ᣿฾᧚ʷ೫ಞᄊಞڊ὆ಞࣰ
ᄊև᫂
὇Ի̿ͥ
ᝠѣ߲
ᄊಞᴔ. ᤰ࣢
᜻ࠀ̿
ಞࣰ
ሏڡ᭧ . m ᄊڡவ˞฾᧚ᦊͯ
. ౽೫ಞಬመ௑ᄊಞڊ˞  cmὊ̿
Ց  ࣲ
Яඈࣲ
ܙҫጞ  cmὊ᝺ፃ᣿ x ࣲ
Ցᤈ೫ಞᄊಞڊᡔ᣿  cmὊឰͿѵ
ѣ x ໘ᡜᄊТጇर.
 þˀܸ̆
ÿૉᄊ௧þ࠵̆ੋ
኎̆
ÿὊᤰ࣢ၹኀՂþļÿ᛫ᇨ.  ΓݠὊx ˀܸ̆
  Ի̿
᛫ᇨ
˞ x ļ὆឴
ͻþ x ࠵̆ੋ
኎̆
  ÿ὇.  ዝͫ
ڡὊþˀ࠵̆
ÿૉᄊ௧þܸ̆ੋ
኎̆
ÿὊᤰ࣢ၹኀՂþĽÿ᛫
ᇨ὆឴
ͻþܸ̆ੋ
኎̆
ÿ὇.  

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
教ߦ目ಖ
1. 感受生活中ߛښᅌܸ
᧚
的不等关系，̀
解不等式的ਓ
义，初൦ʹ͘
不等式௧҉ႇ᧚
与᧚˨ᫎ
关系的一መ重要模型. 
2. ፃԋႀЦʹ实Γथቡ不
等式模型的᣿程，ᤉ一൦发࡙
ኀ号ਓគ. 
3. ͘
用不等号᛫ᇨእӭ的
不等关系Ὑ能用实ᬅ生活ᑀఀ
和数学ᑀఀ
解᧖እӭ不等式的
ਓ义. 
本ᓬᤰ᣿有一定ଊጊ性的᫈
题，ᝨ学生Ѝ分感受生活中
ߛښܸ
᧚的不等关系，ႀ൥ឭ
明不等式ښ实ᬅ生活中௄ܫ不
ښ. 初൦ʹ͘
不等式௧҉ႇ᧚与
᧚˨ᫎ
关系的一መ重要模型. Տ
௑，初൦ຖᤩಪ据数᧚关系ѵ
不等式的方ข. 
ᭊ要ฌਓ的௧，本ᓬ教学
的关ฌག应ஊښ学生௧ա͘
分ౢ᫈
题中的数᧚关系，௧ա͘
थቡ合理的不等关系. 本ᓬ出ဘ
的不等式不̩̩
ࡍ限̆
一元一
次不等式，Хਓ图௧ᝨ学生ʹ͘
ဘ实生活中不等关系的ܳ
ನ性，更ݞڡ感受模型思ਇ. 
ό1ύ᝺Ꮆᤈ˔᫈
题的ਓ图௧：ᤰ᣿᫈
题（1）（2）直ଌथቡ不等关系Ὑᤰ᣿᫈
题（3）ʹ͘
Տዝ
᧚˨ᫎ
త࣢᜹的௧උܸ
࠵᫈
题，ࣳ
发࡙
学生的ॆ
ጪ࿯ਇ能ҧ. ښ解хᤈ一˙᫈
题的᣿程中，ᝨ学生
ʹ͘
不等式与方程nj函数一ನ，˷௧҉ႇ事ྭ
ԫӑ᜻॥的重要模型，ࣳ
初൦感ᅼత͖
ӑ思ਇ. ᫈
题（1）（2）๘ԣ“不ܸ̆
”“不࠵̆
”，ࠫ
൥教科书̿
ᑮฌ的形式ᤉ行̀
解᧖. 教学௑，教
师可ښଢ出ស᫈
题˨Ғ，Џᝨ学生ˡΓឭ明̵̓ࠫ
ᤈː˔ឈ的ᝣគ，ښ൥基ᆩ上，教师г明ᆸᤈː
˔ឈ的ե义ԣХኀ号᛫ᇨ. ࠫ̆᫈
题（3），可̿
ᝨ४҂࿯ਇ的学生ᤉ一൦解᧖Х合理性，̿
Χ˞ᆑቃ不等式的性质ۡ
下͒
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ό1ύ
山东教育出版社
版社࡙
版࡙
ᇨ
出
ᇨእ
出
እӭ
出版
ӭ的
出版
的
ᬅ
育
ᬅ生
育出
生活
育出
活ᑀ
育出
ᑀఀ
出ఀ
᧖
育
᧖እ
育
እӭ
育
ӭ不
育出
不等
育出
等式
育出
式
本
东
本ᓬ
东
ᓬᤰ
东教
ᤰ᣿
东教
᣿有
东教
有᫈
山᫈
题
山
题，
山东
，ᝨ
山东
ᝨ学
东
学生
东
生
ߛ
山
ߛښ
山
ښܸ
山ܸ
᧚
山
᧚的
不
山
不等
山
等
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
˔൤வॎ֗
ʷ˔ړ
版社
˔൤வॎ֗
ʷ˔ړ
ሥˀܸ̆
东教
ሥˀܸ̆
东教
东教

教
 cm
教
cm
教

᭧ሥˀ࠵̆
山东
᭧ሥˀ࠵̆

东
 c
东
 c
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山东
Ὂ൤வॎ֗
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˦࿯ਇ
山
ᑟ४҂̤
˦࿯ਇ
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ڏ
教
ڏ 
教
.
教
.
教育

ϢʷϢ
ϢʷϢ
὆὇ᨡ᡹ᦊ᫃
 
὇ᨡ᡹ᦊ᫃
ʼ᣸˨֗
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ʼ᣸˨֗
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Ϳѵѣᛡౄ
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社
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社
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本
版
本ᓬ
版社
ᓬ教
版社
教学
版社
学
学
出版
学生
出版
生௧
出版
௧ա
版社
ա͘
版社͘
分
版社
分
数
出
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出
᧚关
出版
关系
出版
系，
出版
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版
௧
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不等
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出
本
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教育
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不̩
教育̩̩
育̩
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ࡍ
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教育
次不等式，Хਓ
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ό1
东教
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教
ύ
᧚
山东
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东
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山
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教育
ѣ߲
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社
ѣ߲
ᄊಞ
௑ᄊಞڊ˞
版社
௑ᄊಞڊ˞ 
社
 cm
社
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ಞڊᡔ᣿
版社
ಞڊᡔ᣿
版社
 cm
社
cm
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育
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ÿ᛫ᇨ
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ನ性，更ݞڡ感
东教
ನ性，更ݞڡ感
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山
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山
直ଌ
山东
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山东
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山东
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东
不
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山
࿯ਇ
山
ਇ能
山
能ҧ
山
ҧ
的
山
的
205
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
（1）要Ύ൤方形的᭧ሥ不ܸ̆
 25 c m
2，ࡃ௧
（l
4 ）
2≤25，
ԁ
l
2
16≤25. 
（2）要Ύړ的᭧ሥ不࠵̆
 100 c m
2，ࡃ௧
π（l
2π ）
2≥100，
ԁ
l
2
4π ≥100. 
（3）े
 l = 8 ௑，൤方形的᭧ሥ˞ 8
2
16 = 4（c m
2），ړ的᭧ሥ˞ 8
2
4π = 16
π （c m
2），4 
὚16
π ，൥௑ړ的᭧ሥܸ
. े
 l = 12 ௑，൤方形的᭧ሥ˞ 12
2
16 = 9（c m
2），ړ的᭧ሥ˞ 12
2
4π = 36
π （c m
2），9὚ 
36
π ，൥௑ᤇ௧ړ的᭧ሥܸ
. 
ஈԫ l 的ԩϙ，̯
能४҂ᄱՏ的ፇ᝷. ੈ̓
可̿
࿯ਇ，用᫂
एک˞ l c m 的ːಪ፤ߕ分ѿڊੇ
一˔൤方形和一˔ړ，௄᝷ l ԩ
͵ϙ，ړ的᭧ሥ঴ܸ̆
൤方形的᭧ሥ，ԁ
l
2
4π ὜l
2
16. 
ϢʷϢ
ᤉ一൦ᝨ学生ፃԋႀ实ᬅ᫈
题थቡ不等式的᣿程，˞Ց᭧४出不等式的概ঐሥግጉె
. 
（1）ᤈ௧一˔用三元一次不等式౏҉ႇ不等关系的᫈
题. 学生ܸܳࠫ
گ༢ᢼ有一定的
ᝣគ，൥ܫ教科书ࣃፃ用字ඇ᛫ᇨ出᫂
njࠕnjᰴ，ᄱη学生能ܵॢ
ࠔ௜ڡѵ出不等式. 
a + b + c ≤160. 
（2）ᤈ௧一˔用一元一次不等式౏҉ႇ不等关系的᫈
题. 分ౢ᫈
题ৱܒᭊ要一定的生
活ᅼគሥግ，ᄱη学生能ܵ
ѵ出൤ᆸ的不等式. ݠ౧有̏
学生受方程ॖ
־Ꮻѵ方程，ཀྵՑг
用不等式и出ንವ，教师˷不要ফࣰ̆
๘，ᤈ্্
Ԧ௢̀
方程与不等式的内ښᐏ系. 教师可̿
发ү学生一ᡑᝧ᝷nj̔ื
，తጼፒ一˞直ଌѵ出不等式. 
6 + 3 x὜30. ࠫ
学生ѵ出的不等式，要ᝨ̵̓
តᅌឭ明理ႀ，Զ要合理，ࡃ应े
ᴂҵ，不必ूូ
形
式的ፐࠫ
ፒ一. 
山东教育出版社
100
社
100 c m
社
c m
2
社
2，ࡃ
社
，ࡃ
π
社
π
）
教
）े
教े
l
教
l =
教育
= 8
教育
8 ௑
教育
௑
东
6
东
6
π
山东
π ，൥௑ړ的
山东教
，൥௑ړ的े
山े
l
山
l
山东教育出版社             山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
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，
山
，ړ
山东
ړ的
山东
的᭧
山东
᭧ሥ
东
ሥ˞
东
˞
9（c mc m
2），
ᄱՏ的ፇ᝷
 
ᄱՏ的ፇ᝷.
ए
社
एک
社
ک˞
社
˞ l
社
l c m
 
c m
的̆
൤方形的᭧ሥ
社 ̆
൤方形的᭧ሥ
ʷϢ
育出
ʷϢ
ᤉ一൦ᝨ学
教育
ᤉ一൦ᝨ学
（
教
（1
教育
1）
教育
）ᤈ
教育
ᤈ
ᝣគ，൥
东教
ᝣគ，൥
山东教育出版社
௄
社
௄᝷
社
᝷l
社
l ԩ
社
ԩ
᭧४出不等式
东教育
᭧४出不等式
的
东
的᫈
东᫈
题
东教
题.
东教
. 学
东教
学生
东教
生ܸ
教ܸ
η学生能ܵॢ
山东
η学生能ܵॢ
160
山
160.
山
.
系
山
系的
山
的᫈
山᫈
 
206
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
᜺ࠣ
ႀʽᤘ᫈ᮥ
४҂ᄊТጇर὘l 
 ǚ!l 
Ὂa ,!b!,!c ļὊ ,!x ǚ Ὂ߲̓
ద̤
˦СՏྲ
གὝ
ʷᓊڡὊၹˀ኎Ղþǘÿ὆ੋ
þļÿ὇Ὂþǚÿ὆ੋ
þĽÿ὇ᤌଌᄊरߕԷϢˀ
኎र὆inequality὇.  
Γ ၹᤠे
ᄊˀ኎Ղ᛫ᇨʾѵТጇ὘
὆὇a ௧൤஝Ὑ
὆὇x ᄊ  φˁ  ᄊ֗
࠵̆
 Ὑ
὆὇x ᄊʷӧˁ  ᄊܸ֗̆
 x ᄊ  φὙ
὆὇x ᄊ  φˀܸ̆
 x ˁ  ᄊࣀ.
ᝍὉ὆὇a ?!Ὑ
὆὇x ,! =!Ὑ
὆὇ 
 x ,  ? xὙ
὆὇x ļ x .!.
ᝬʷᝬ
ᬤ۶ጷ˸
1. តˡї˔ၹˀ኎र᛫ᇨᄊΓߕ.  
2. ၹᤠे
ᄊˀ኎Ղ᛫ᇨʾѵТጇ὘
὆὇a ௧᭤᠇஝Ὑ
὆὇ᄰᝈʼᝈॎᄊʷ౎ᄰᝈ᣸ a උப᣸ c ᆁὙ
὆὇x ˁ  ᄊ֗
උ߲
ᄊ  φ࠵Ὑ
὆὇ː஝ᄊࣱ
வ֗
ˀ࠵̆
ᤈː஝ሥᄊ  φ.  
ᅼគ੿ᑟ
1. ၹᤠे
ᄊˀ኎Ղ᛫ᇨʾѵТጇ὘
὆὇x ᄊ  φˁ  ᄊ֗
උ x ᄊ  φܸ
Ὑ
˸ᮥ



第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
ᝬʷᝬ
ਓښᝨ学生ચ៶概઺不等
式的概ঐ. 教学௑，ݠ౧学生
ߛښڈᬲ，ᥧ˦可̿
ᝨ学生࠲
ਫ਼ѵ出的不等式与等式ᤉ行ࠫ
උ，ཀྵՑዝඋ等式的概ঐ४出
不等式的概ঐ，发࡙
学生的ዝ
උ思ਇ和ឦᝓ
᛫᣺能ҧ. 
ό1ύࠫ̆
不等号“὚”（ ੋ
“≤”），“὜”（ੋ
“≥”），
教师要组ጻ学生ឭ出߲̓
Պᒭ
的ե义，Ύ学生理解ኀ号的ਓ
义，发࡙
学生஡字ឦᝓ
与ኀ号
ឦᝓ
ᄱ̉
ᣁ૱的能ҧ. 
ᭊ要ឭ明的௧， 用“ķ”
ᤌଌ的式ߕ˷௧不等式. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ႕. 
2.（1）a≥0Ὑ
（2）a὚cὙ
（3）x + 17὚5xὙ
（4）a
2 + b
2≥2ab. 
ό1ύ
˸ᮥ

1.（1）3x + 8 > 5xὙ
山东教育出版社
版社
Γ
社
Γ
὆
社
὆
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版
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版
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等
育
等号
育
号“
育
“὚
育出
὚”
育出
”（
育出
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὜
教
὜”
教
”（
教育
（ੋ
教育ੋ
“
育
“≥
育
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育
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东
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东教
ጻ学
东教
学生
东教
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教
ឭ出
教
出
义
东
义，
东
，Ύ
东教
Ύ学
东教
学生
东教
生理
教
理
义
山
义，
山
，发
山东
发࡙
山东࡙
学
东
学生
东
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ឦᝓ
ᄱ̉
ᣁ
山
ឦᝓ
ᄱ̉
ᣁ
ᭊ
山
ᭊ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
ଌᄊरߕԷϢ
社
ଌᄊरߕԷϢ
φὙ
教
φὙ
ࣀ
教
ࣀ.
教
.
.
ᬤ۶ጷ˸
ᬤ۶ጷ˸
1.1. តˡї˔ၹˀ኎
 
តˡї˔ၹˀ኎
2.2. ၹᤠे
ᄊˀ
 
ၹᤠे
ᄊˀ
὆὇a ௧
὆
὚
育
὚5
育出
5x
育出
xὙ
育出
Ὑ
+ b
育
+ b
2
育
2≥
育出
≥2
育出
2ab. 
育出
ab. 
东教
东教
东教
东教
东教
˸ᮥ

东教
˸ᮥ

1
山东
1.
东
.（
东教
（1
东教
1）
东教
）
山东教育出版社
教育
教育出版
φܸ
Ὑ
教育
φܸ
Ὑ
版
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
207
1   不等关系

（2）x
2≥0Ὑ
（3）S1 > S2（S1 ᛫ᇨڡု
上的
๒ภ᭧ሥ，S2 ᛫ᇨᬆڡ᭧
ሥ）Ὑ
（4）x > 2y（x ᛫ᇨᏥ师的年
ᴔ，y ᛫ᇨ࠵明的年ᴔ）Ὑ
（5）m1 > m2（m1 ᛫ᇨᨥု
的
质᧚，m2 ᛫ᇨወု
的质
᧚）. ࠫ̆
第（3）（4）（5）题，
可能͘
有学生Ꭵˬ用字ඇ᛫
ᇨ的ਓគ，ࠫ
൥教师要ฌਓ
ळ࠮. 
2. ႕. 教师可թ发学生开઩思
路，૎ଈ不等式与实ᬅ生活
的ࣹ
ฅᐏ系. 
3. 600x + 100（10 - x）≥
  4 200Ὑ
4. 8x + 4（10 - x）≤72. 
5. x≤5，y≤10. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
ڡ
社
ڡ᭧
社
᭧
ᇨ
版
ᇨᏥ
版社
Ꮵ师
版社
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版社
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年
࠵
出版
࠵明
出版
明的
出版
的年
版社
年ᴔ
版社
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版社
）
m
出
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出版
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出版
1 ᛫
出版
᛫ᇨ
出版
ᇨᨥ
版
ᨥ
᧚
育
᧚，
育
，m
育出
m2
育出
2 ᛫
育出
᛫ᇨ
出
ᇨ
᧚）
教育
᧚）.
教育
.ࠫ
教ࠫ̆
教育̆
第
教育
第（
教育
（3
育
3
可
东教
可能
东教
能͘
教͘
有
教
有
ᇨ
东教
ᇨ的
东教
的
ळ
东
ळ
山东教育出版社
 
208
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᤇᝮ४኎रᄊ۳వভ᠏
ՙὝ
ݠ౧ښˀ኎रᄊː᣸ᦐҫʽੋ
ᦐѓԝՏʷ˔டरὊᥧ˦ፇ౧͘
টನὝឰˡ
їΓតʷតὊࣳ
ˁՏͧ̔ื
. 
 ˀ኎रᄊ۳వভ᠏
ˀ኎रᄊ۳వভ᠏
 ˀ኎रᄊː᣸ᦐҫ὆ੋ
ѓ὇Տʷ˔டरὊˀ
኎ՂᄊவՔˀԫ. 
߹ੇ
ʾѵ܍ቇ὘
  
 
 ǘ Ὑ
  
 
ġ _________ ġὙ
  
 
ġ!
 _________ ġ 
 Ὑ
  
 
ġ὆.!὇_________ ġ὆.!὇Ὑ
  
 
ġ὆.!὇_________ ġ὆.!὇Ὑ
  
 
ġ὆.!
 ὇_________ ġ὆.!
 ὇. 
Ϳԧဘ̤̀
˦ὝឰгˡїΓតʷតὊᤇదዝͫ
ᄊፇ᝷ՙὝˁՏͧ̔ื
.  
ϢʷϢ
 ஝ߦʽԻ̿
᝽௚Ὂవᓬਫ਼ᤘˀ኎रᄊʼ˔۳వভ᠏
ᦐ௧൤ᆸᄊ. 
ˀ኎रᄊ۳వভ᠏

 ˀ኎रᄊː᣸ᦐ˲὆ੋ
ᬔ̿
὇Տʷ˔൤஝Ὂˀ
኎ՂᄊவՔ _______ .  
ˀ኎रᄊ۳వভ᠏

 ˀ኎रᄊː᣸ᦐ˲὆ੋ
ᬔ̿
὇Տʷ˔᠇஝Ὂˀ
኎ՂᄊவՔ _______ . 
ˁ኎रᄊ۳
వভ᠏
ዝͫ
. 


第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
教ߦ目ಖ
1. ፃԋ不等式基本性质的
ଊጊ᣿程，初൦ʹ͘
不等式与
等式的पՏ. 
2. ଂଧ不等式的基本性质，ࣳ
能初൦ᤂ用不等式的基本性质ં
උᣗእӭ的不等式ᣁӑ˞“x 
> a”ੋ
“x < a”的形式. 
本ᓬ课分ː˔᫽段ଊጊ不
等式的三౎基本性质. ᯫЏ，
基̆
学生ࠫ
等式基本性质的
ᝣគ，᧔用ዝඋ的方式ᤉ行教
学. Х次，考ᘽ҂学生理解不等
式的基本性质 2 和基本性质 3
（ྲ
ѿ௧基本性质3）可能͘
有
一定的ڈᬲ，教科书᝺ᝠ̀
一
˔“Ϣ一Ϣ”，ᝨ学生ᤰ᣿Цʹ
ᤂካ感受不等号方Ք的ԫӑ. ࠫ̆
不等式的基本性质 
1，教师可̿
ᯫЏᤰ᣿ܹ
平实
ᰎnjՏಸː̡
ՏᄆԼ᫽njՏਖ਼ࣥ
ߕ等一̏
生ү形៶的生活实
Γթ发学生思考，ཀྵՑዝඋ等
式的基本性质४出࿯ਇ，гˡ
ї˔Цʹ的Γߕҫ̿
ᰎ证. ݠ
3 < 7，
3 + 1 = 4，7 + 1 = 8，
4 < 8，
ਫ਼̿
  
 
 
 
     3 + 1 < 7 + 1Ὑ
3 - 5 = -2，7 - 5 = 2，
-2 < 2，
ਫ਼̿
  
 
 
 
     3 - 5 < 7 - 5Ὑ
3 < 7，
3 + a < 7 + a. 
ό1ύ
山东教育出版社
版社
їΓត
社
їΓត
版社
x
版
x
᫽
育
᫽段
育出
段ଊ
育出
ଊጊ
育出
ጊ不
出
不
本
育
本性
育
性质
育
质.
育
. ᯫ
育出
ᯫЏ
育出
Џࠫ
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等
教
等式
教育
式基
教育
基本
教育
本性
育
性
᧔
东
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东教
用ዝ
东教
ዝඋ
东教
උ的
教
的方
教
方
Х
东
Х次
东
次，
东
，考
东教
考ᘽ
东教
ᘽ҂
东教
҂学
教
学
式
山
式的
山
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山东
基本
山东
本性
山东
性质
东
质
（
山
（ྲ
山ྲ
ѿ
山
ѿ௧
山
௧基
山
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山
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山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
˦ፇ౧͘
টನὝ
版社
˦ፇ౧͘
টನὝ
教育出版
ᦐҫ὆ੋ
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育出
ᦐҫ὆ੋ
ѓ὇Տ
ǘ
山
ǘ
山
Ὑ
山
Ὑ
ġ
山
ġ
山
 _____
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 _____
ġ 
山

 
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东教
 
教育出
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教育
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社
性质
社
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平
社
平实
社
实
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版
Լ᫽
版
᫽nj
版社
njՏ
版社
Տਖ਼
版社
ਖ਼
形
出版
形៶
出版
៶的
出版
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版社
生活
版社
活实
版社
实
思
出
思考
出
考，
出
，ཀྵ
出版
ཀྵՑ
出版
Ցዝ
版
ዝ
性
育
性质
育出
质४
育出
४出
育出
出࿯
出
࿯ਇ
出
ਇ
Цʹ的Γߕҫ̿
教育
Цʹ的Γߕҫ̿
山东教育出版社
教育
˔۳వভ᠏
ᦐ௧൤ᆸᄊ
教育
˔۳వভ᠏
ᦐ௧൤ᆸᄊ
育出版社̿
὇Տʷ˔൤஝Ὂ
版社̿
὇Տʷ˔൤஝Ὂ
὆ੋ
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὇Տʷ
出版
὆ੋ
ᬔ̿
὇Տʷ
= 8
东
8，
山东
，
山
1
山
1Ὑ
山
Ὑ
209
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
要ฌਓळ࠮学生理解不等式的基本性质 1 中“Տ一˔ட式”的ե义. ښ学生理解̀
不等
式的基本性质 1 ˨Ց，ᤇ可̿
ಪ据学生的实ᬅৱц，ᝨ̵̓
࠽ត用式ߕ౏᛫ᤘᤈ一性质：
ݠ౧ a > b，ᥧ˦ a±c > b±cὙݠ౧ a < b，ᥧ˦ a±c <b±c. 
ϢʷϢ
ᤰ᣿ЦʹΓߕଊጊ不等式的Գܱ
ː౎基本性质. 
Ғː˔ቇ܍“<”，Ց三˔ቇ܍“>”. 
学生回ንᤈ᧗ଢ出的᫈
题可能有一定ᬲए（ྲ
ѿ௧ࠫ̆
基本性质 3 的४出），要ፌ学
生႑出Ѝ分的ᒭ˟ଊቃ与合ͻ̔ื
的௑ᫎ
，ࣳ
ฌਓळ࠮学生与等式的基本性质ᤉ行උᣗ. 
ښ实ᬅ教学中ᤇ可̿ܳ
ˡї˔Γߕ. Γݠ，ᬔ̀
教科书上“2 < 3”的ৱ形ܱ
，ᤇ可̿
ܙҫ“-2 > -3”的ৱ形. ˷可̿
ळ࠮学生гˡ一̏
实Γ，ݠ׸ڤ A መ఩装的ಖ价ᰴ̆
 B መ
఩装的ಖ价，ݠ౧ᦐ੪Мઉ出׬，ᥧ˦ᤇ௧ A መ఩装价ಫᰴ. 
Գܱ
，ᤇ应े
ᝨ学生ࡊ可能用ឦᝓ
ଡᤘ不等关系与不等号方Ք的ԫӑৱц，̿
ҫूࠫ
不等式的基本性质 2 和基本性质 3 的ᮗ͘
与理解. 
ό1ύࠫ̆
不等式的基本性质 2 和基本性质 3，Տನ可̿
ᝨ学生࠽ត用式ߕ౏᛫ᤘ：
ݠ౧ a > b，˅ c > 0，ᥧ˦ ac > bc，a
c > b
c Ὑ
ݠ౧ a < b，˅ c > 0，ᥧ˦ ac < bc，a
c < b
c Ὑ
ݠ౧ a > b，˅ c <0，ᥧ˦ ac < bc，a
c < b
c Ὑ
ݠ౧ a < b，˅ c < 0，ᥧ˦ ac > bc，a
c > b
c . 
山东教育出版社
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ː౎基
社
的Գܱ
ː౎基
三˔ቇ܍“
版社
三˔ቇ܍“>
社
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出版᫈
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有
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出版
ଊቃ与合ͻ̔ื
中
育
中ᤇ
育
ᤇ可
育出
可̿
育出̿ܳ
出ܳ
ˡ
出
ˡ
-
教
-3
教
3”
教育
”的
教育
的ৱ
教育
ৱ形
育
形˷
育
˷
ಖ价，ݠ౧ᦐ੪
东教育
ಖ价，ݠ౧ᦐ੪
Գ
东
Գܱ
东ܱ
，
东教
，ᤇ
东教
ᤇ应
东教
应े
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不等式的基本性
山东
不等式的基本性
ό
山
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山
1ύ
山
ύ
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3
育
3 的
育
的४
育出
४出
育出
出）
出
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式的基本性质ᤉ
教育
式的基本性质ᤉ
“
教
“2
东教
2 <
东教
< 3
教
3”
教育
”的
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ৱ
ݠ
东
ݠ׸
东
׸ڤ
东教
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东教
A መ
东教
መ఩
教
఩
价ಫᰴ
山东
价ಫᰴ.
山东
.
关系
山
系与
山
与不
山
不等
山
等号
山
号方
解. . 
本性质
本性质3，Տನ
 
，Տನ
> bc
> bc，a
c >
 
> b
ᥧ˦
ᥧ˦ ac < bc
 
ac < bc
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出版
˅ c < 
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c < 0
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0，ᥧ
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山东教育出版社
 
210
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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˗Ὂੈ̓
࿯ਇὊ௄᝷፤᫂
 l ԩ͵ϙὊړᄊ᭧ሥ঴ܸ̆
൤வॎᄊ
᭧ሥὊԁ l 
  ǚ !l 
 .  
Ϳᄱηᤈ˔ፇ᝷ՙὝͿᑟѾၹˀ኎रᄊ۳వভ᠏
ᝍ᧖ᤈʷፇ᝷ՙὝ
Γ ࠲ʾѵˀ኎रӑੇ
þx ǚ aÿੋ
þx ǘ aÿᄊॎर὘
὆὇x!.! ǚ!.!Ὑ 
 
὆὇.!x ǚ .  
ᝍὉ὆὇ಪ૶ˀ኎रᄊ۳వভ᠏
 Ὂː᣸ᦐҫ Ὂ४
  
 
 
 
x ǚ!.!!,!Ὂ
ԁ
  
 
 
 
 x ǚ Ὑ
὆὇ಪ૶ˀ኎रᄊ۳వভ᠏
 Ὂː᣸ᦐᬔ̿
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  x  ǘ!.!
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ᬤ۶ጷ˸
1. ࠲ʾѵˀ኎रӑੇ
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὆὇!.!x ǘ 
 Ὑ 
὆὇
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2. ࣃᅼ!x ǚ yὊʾѵˀ኎र˗ד̏
ʷࠀੇ
ቡὝ
὆὇x!.! ǘ y!.!Ὑ 
὆὇x ǘ yὙ
὆὇.!x ǘ!.!yὙ 
὆὇x!,! ǚ y!,!.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
1. ࣃᅼ a ǘ bὊၹþǘÿੋ
þǚÿ܍ቇ὘
὆὇a!.! _________ b!.!Ὑ  
὆὇a _________ bὙ
὆὇!.!a _________!.!bὙ 
 
὆὇a!.!b _________ .  
2. ࠲ʾѵˀ኎रӑੇ
þxǚaÿੋ
þxǘaÿᄊॎर὘
὆὇x!,! ǘ .!Ὑ 
 
 
὆὇x ǚ Ὑ
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 ǚ Ὑ 
 
 
὆὇x ǘ x!.!. 

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
ό1ύᤈ˔ፇ᝷௧൤ᆸ的. 事
实上，ڂ˞ 4l
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2
16. े
ཀྵ，ႀ߲̆̓
的分ߕᄱՏ，ڂ൥˷可̿
Џඋᣗ߲̓
分ඇ的ܸ
࠵，ᤉ
Ꮻឭ明ፇ᝷的൤ᆸ性. 学生的回
ንԶ要有᥋理ࡃ应́̿
ᐰ定和
ᴂҵ. 
Γ
ᤈ௧本ቦ第一次ᤂ用不等
式的基本性质࠲不等式ᤉ行ԫ
形，要ฌਓᝨ学生ឭ出ඈ一൦
ԫ形的Κ据，ҫूࠫ
不等式基
本性质的理解. 
ᬤ۶ጷ˸
1.（1）x > 3Ὑ（2）x > - 5
6 Ὑ
   （3）x≤6. 
2.（1）不ੇ
ቡὙ（2）不ੇ
ቡὙ
   （3）ੇ
ቡὙ  （4）ੇ
ቡ. 
ό1ύ
˸ᮥ

1.（1）<Ὑ 
 
（2）<Ὑ 
（3）>Ὑ 
 
（4）<. 
    ࠫ̆
第 1（4）题，ᤇ可̿
ळႂ
҂
    a > b ௑，a - b _______ 0Ὑ
    a = b ௑，a - b _______ 0. 
2.（1）x < -4Ὑ 
（2）x > 9Ὑ 
（3）x < -15Ὑ  
（4）x < -6. 
山东教育出版社
版社
ᝍ
社
ᝍ
社
山
回
版
回
ᐰ
出
ᐰ定
出版
定和
出版
和
ቦ
教
ቦ第
教
第一
教育
一次
教育
次ᤂ
育
ᤂ用
育
用
本
东
本性
东教
性质
东教
质࠲
东教
࠲不
教
不等
教
等
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东
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东
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东教
ਓᝨ
东教
ᝨ学
东教
学生
教
生
ԫ
山
ԫ形
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形的
山东
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山东
Κ据
东
据
本性质的理
山
本性质的理
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
४
出
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ː᣸ᦐᬔ̿
教育
ː᣸ᦐᬔ̿
.
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.
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x ǘ!
东教
ǘ!.!
东教
.!
教

教育


教
 .
教
.
山东ੇ
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山ੇ
þx
山
xǚ
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ǚa
山
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þ
山东
ÿੋ
þx
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山
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山
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ǚyὊʾѵˀ኎र˗
 
Ὂʾѵˀ኎र˗
὇x.ǘy.Ὑ
὆὇.xǘ.
 
.y
y
y

   
˸ᮥ
 
˸ᮥ
 
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版社
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出版
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东教
东教
东教
东教
东教
˸ᮥ

东教育
˸ᮥ

1
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1.
东
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东教
（1
东教
1）
东教
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山ࠫ东ࠫ
山
山东教育出版
教育出版社
_______
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版社
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版社
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版社
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出版
_________ 
版

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出
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育
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育
὇
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x
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xǚ
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ǚ
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教育
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育
x
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xǘ
育
ǘ
育

（
东
（
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
211
3. ὆὇උᣗ a ˁ a!,! ᄊܸ
࠵Ὑ  
὆὇උᣗ  ˁ !,!a ᄊܸ
࠵.
4. ˡΓឭ௚ˀ኎रᄊ۳వভ᠏
ˁ኎रᄊ۳వভ᠏
ᄊӝѿ. 
஝ߦေᝍ
ˀ኎रᄊᝍᬷ
ˀ
྇
ஊ౽መཏᔉ௑Ὂ˞̀
ᆸδ߷ЛὊ྇
ஊᏨښག྇
ळ༢ጳՑ᜶ښ྇
ஊҒᣁረ
҂  m ܱ̿
ᄊ߷Лӝ۫
.  ࣃᅼळ༢ጳᄊ྇
དྷᤴए˞ . m/sὊ྇
ஊᏨሏनᄊᤴ
ए˞  m/sὊᥧ˦ळ༢ጳᄊ᫂
एᒰ࠶௧ܳ
࠶ԑዛὝ
᝺ळ༢ጳᄊ᫂
एऄ˞ x cmὊಪ૶ᮥ
ਓὊ४
x
.f ǚ 
 . 
ಪ૶ˀ኎रᄊ۳వভ᠏
Ὂ४
x ǚ .  
ਫ਼̿
Ὂळ༢ጳᄊ᫂
एऄܸ̆
  cm.  
ਇʷਇ
὆὇x!>!ὊὊὊ. ᑟΎˀ኎र x ǚ  ੇ
ቡՙὝ
὆὇Ϳᤇᑟ੽ѣʷ̏
Ύˀ኎र x ǚ  ੇ
ቡᄊ x ᄊϙՙὝ
ᑟΎˀ኎रੇ
ቡᄊళᅼ஝ᄊϙὊԷϢˀ኎रᄊᝍ.  ʷ˔եదళᅼ஝ᄊ
ˀ኎रᄊਫ਼దᝍὊጸੇ
ᤈ˔ˀ኎रᄊᝍᬷ
὆solution set὇.  ΓݠὊ ௧ˀ኎
र x!,! ǚ  ᄊʷ˔ᝍὊ.ὊὊὊὊĀ˷௧߲
ᄊᝍὊˀ኎र x!,! ?  ᄊᝍᬷ
௧ x ? Ὑˀ኎र x ǚ  ᄊᝍᬷ
௧ਫ਼ద᭤ᭆࠄ஝.  
3   不等式的解集

3.（1）a < a + 2.
  （2）े
 a > 0 ௑，2 < 2 + aὙ
            े
 a = 0 ௑，2 = 2 + aὙ
            े
 a < 0 ௑，2 > 2 + a.
4. ႕. 
教ߦ目ಖ
1. 理解不等式的解与解集
的ਓ义. 
2. ̀
解不等式解集的数ᣉ
᛫ᇨ. 
本ᓬ课˟要ᆑቃ不等式的
解与解集的ਓ义，̿
ԣ不等式
解集的数ᣉ᛫ᇨ. ᯫЏ，教科书
ႀཏᔉळ༢线的安全᫂
एᤈ一᫈
题ৱܒथቡ不等式，४҂不
等式的解集. 一方᭧可̿
ᝨ学
生г次ʹᰎ不等式௧҉ႇ᧚与
᧚˨ᫎ
关系的有஍模型，Գ一
方᭧˷可ᝨ学生感受҂不等式
的解集ښဘ实生活中的ਓ义. ཀྵ
Ց，ᤰ᣿“ਇ一ਇ”ಝᄬ，ᝨ
学生感受不等式的解与方程的
解的不Տ˨ܫ，ʹ͘
不等式的
解与不等式的解集的ਓ义. తՑ，学习不等式解集的数ᣉ᛫ᇨ，发࡙
学生的数形ፇ合ਓគ. 
ό1ύښथቡ不等式˨Ғ，应Џᝨ学生分ᣲຍം᫈
题中᧚与᧚˨ᫎ
的关系. 
˞̀
Ύ྇
ஊᏨ有ᡜܵ
的௑ᫎ
҂᣺安全ӝ۫
，ळ༢线྇
དྷ的௑ᫎ
应ܸ̆྇
ஊᏨ҂᣺安全ӝ۫
ਫ਼用
的௑ᫎ
. 
ښ解хᤈ˔᫈
题௑，学生可能͘
有不Տ的方ข. Γݠ，有的学生͘
用方程౏解：
᝺ळ༢线的᫂
ए˞ x c m ௑，྇
ஊᏨښ྇
ஊҒѸݞ可̿
ᣁረ҂ 10 m ܫ，ѷ
x
0.02 × 100 = 10
4 ，
x = 5. 
ό1ύ
ό2ύ
山东教育出版社
版社
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ஊᏨ
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ᆸδ߷ЛὊ྇
ஊᏨ
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教育
ࣃᅼळ༢ጳᄊ྇
༢ጳᄊ᫂
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教育
༢ጳᄊ᫂
एᒰ࠶௧᫂
एऄ˞
东教᫂
एऄ˞ x
东教
 x cm
教
cmὊ
教
Ὂ
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山东
૶ˀ኎रᄊ۳వ
ळ༢
山
ळ༢
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
ǚ
社
ǚ
社
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ቡՙὝ
社ੇ
ቡՙὝ
ǚ
社
ǚ
社
ੇ
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社ੇ
ቡᄊx 
社
x ᄊϙ
ᄊϙ
஝ᄊϙὊԷϢ
版社
஝ᄊϙὊԷϢˀ
社
ˀ
ᤈ˔ˀ኎रᄊ
出版
ᤈ˔ˀ኎रᄊᝍᬷ
版
ᝍᬷ

出
.
出
.
出
Ὂ
出
Ὂ
出版
Ὂ
出
Ὂ
出版
Ὂ
出
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版

版
ǚ
育
ǚ
育
 ᄊᝍᬷ
௧ਫ਼
育出
ᄊᝍᬷ
௧ਫ਼
a
社
aὙ
社
Ὑ
2
社
2 + a.
社
 + a.
ಖ
育
ಖ
1
教
1.
教
. 理
教育
理解
教育
解不
育
不等
育
等式
育
式
的ਓ义
教
的ਓ义.
教育
.
2
东教
2.
教
.̀
教̀
解
教
解
᛫ᇨ
东教
᛫ᇨ.
东
.
不等式的解集的
教育
不等式的解集的
ό
东
ό1
东教
1ύ
东教
ύښथ
东教
ښथ
˞
东
˞̀
东̀
的௑
山
的௑
山东教育出版社̿
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社
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社
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社
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社
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版
஍模
版社
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版社
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版社
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社
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社
一
学生
版
生感
版
感受
版社
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版社
҂不
版社
不等
社
等
ဘ
出
ဘ实
出
实生
出版
生活
出版
活中
出版
中的
版
的
ᤰ
育
ᤰ᣿
育
᣿“
育出
“ਇ
育出
ਇ一
出
一ਇ
出
ਇ
生
教育
生感
教育
感受
教育
受不
育出
不等
育出
等式
出
式
解
教
解的
教育
的不
教育
不Տ
教育
Տ˨
育
˨
发࡙
学生的数
东教
发࡙
学生的数
中᧚与᧚˨ᫎ
的
山东
中᧚与᧚˨ᫎ
的྇
山྇
དྷ
山
དྷ的
山
的௑
山
௑
212
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ڂ˞要҂᣺安全ӝ۫
，ਫ਼̿
ळ༢线的᫂
ए要ܸ̆
 5 c m . 
˷有的学生͘
用ካష方ข౏解：
ڂ˞྇
ஊᏨሏ开的௑ᫎ
要ܳ̆
 10
4 = 2. 5（s ），ਫ਼̿
ळ༢线的᫂
ए要ܸ̆
 0.02×2. 5 = 
0.05（m ），ԁ 5 c m . ࠫ̆
学生的不Տ方ข，教师应े
ፌ́
ᴂҵ. Տ௑，教师ᤇ要ळ࠮学生࡙
开ᝧ᝷nj̔ื
，ᝨਫ਼有学生ᦐ能理解ѵ不等式解х᫈
题的方ข，̰
Ꮻ˞下一˔教学ဗᓬϢݞюܬ. े
ཀྵ，实ᬅ生活中的ळ༢线不͘
௄限᫂
，ڂ൥可能͘
有学生ࠫ
ᤈ᧗的ፇ᝷ଢ出质Ⴁ. ࠫ
൥，教师Զᭊឭ明ܸ̆
 5 c m ௧ळ༢线᫂
ए必ᮌ໘ᡜ的౎件，ᒰ̆
Цʹܳ᫂
合适，ᤇ要考
ᘽХ̵
ဘ实ڂጉ. 
ਇʷਇ
ᤰ᣿ࠫ
一˔ЦʹΓߕ的思考，˞ळК不等式的解ԣ解集的概ঐϢюܬ. 
字ඇ可̿
᛫ᇨ任͵数，ͮࠫ̆
໘ᡜ x > 5 中的字ඇ x，߲
能ܵ
ԩ任͵数ՙὝݠ౧不能，߲
能ԩ哪̏
数քὝթ发学生үᑨ思考njү੤ᰎ证，̰ࣳ
中初൦ʹ͘
不等式的解的ਓ义ԣ不
等式的解与方程的解的不Տ˨ܫ. 
ό2ύ可̿
ᝨ学生ˡΓឭ明̤
˦௧一˔不等式的解，̤
˦௧一˔不等式的解集，不必要ර
学生൫ᝮᤈ̏
概ঐ. 
山东教育出版社
师
社
师应
社
应े
社े
不等式解х᫈
版社
不等式解х᫈
的
版
的ळ
版
ळ༢
版社
༢线
版社
线不
版社
不͘
社ܸ̆͘
出版ܸ̆
5
出版
5 c m
出版
c m
௧ळ
版
௧ळ
ʷਇ
教育
ʷਇ
ᤰ᣿ࠫ
一˔Ц
东教
ᤰ᣿ࠫ
一˔Ц
字ඇ可̿
山东教
字ඇ可߲̿
山߲
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山东
能ԩ
山东
ԩ哪
东
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东̏
等式的
山
等式的
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
5
社
5 =
社
=࡙࡙
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版
开ᝧ
版
ᝧ᝷
版社
᝷nj
版社
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版社̔
ᓬϢݞюܬ
出版
ᓬϢݞюܬ.
版
.
ᤈ
育
ᤈ᧗
育
᧗的
育出
的ፇ
育出
ፇ᝷
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᝷ଢ
出
ଢ̆
Цʹܳ᫂
合适
教育出̆
Цʹܳ᫂
合适
的解ԣ解集的概
山东
的解ԣ解集的概
中的字ඇ
山
中的字ඇx
山
x，߲
山
，߲
੤ᰎ证，ࣳ
 ̰̰ࣳ
˦௧一˔不等
 
˦௧一˔不等
山东教育出版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
213
.                                                    
ڏ .
ˀ኎र x!.! ļ .! ᄊᝍᬷ
 x ļ  Ի̿
ၹ஝ᣉʽ᛫ᇨ  ᄊགԣХࢻ᣸ᦊѬ౏
᛫ᇨ὆ݠڏ .὇Ὂښ஝ᣉʽ᛫ᇨ  ᄊགᄊͯ
ᎶʽႇࠄॷړགὊ᛫ᇨ  ښᤈ˔
ᝍᬷ
Я.  
.  .  .  .                            
ڏ .
ᬤ۶ጷ˸
1. Ѽல൤ឨ὘
὆὇ˀ኎र x!.!ǚ ద௄஝˔ᝍὙ 
 
 
 
     ὆  ὇
὆὇ˀ኎र x!.! ļ  ᄊᝍᬷ
˞ x Ľ 
 .   
 
 
 
 ὆  ὇
2. ࠲ʾѵˀ኎रᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
὆὇x ǚ Ὑ 
 
 
 
὆὇x ǘ!.!Ὑ
὆὇x Ľ .!Ὑ  
 
 
὆὇x ļ .  
ឰͿၹᒭࣂᄊவर࠲ˀ኎र x ǚ  ᄊᝍᬷ֗
ˀ኎र x!.!!ļ .! ᄊᝍᬷ
Ѭѿ
᛫ᇨښ஝ᣉʽὊࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
ˀ኎र xǚ ᄊᝍᬷ
Ի̿
ၹ஝ᣉʽ᛫ᇨ  ᄊགᄊԿ᣸ᦊѬ౏᛫ᇨ὆ݠڏ
.὇Ὂښ஝ᣉʽ᛫ᇨ  ᄊགᄊͯ
ᎶʽႇቇॷړڔὊ᛫ᇨ  ˀښᤈ˔ᝍᬷ
Я.  
ᝬʷᝬ
රˀ኎रᄊᝍᬷ
ᄊ᣿ሮԷϢᝍˀ኎र.
3   不等式的解集

ᝬʷᝬ
ᴂҵ学生用ᒭࣂ的方式ં
不等式的解集᛫ᇨښ数ᣉ上，
发࡙
学生的数形ፇ合ਓគ. 
教学௑，要ฌਓळ࠮学
生回ॺ实数与数ᣉ上ག的ࠫ
应
关系，ᝣគ数ᣉ上的ག௧有ऀ
的，实数௧可̿
උᣗܸ
࠵的
（要ᝨ学生用Цʹ实数ࠫ
应的
གҫ̿
ឭ明），ڂ൥，不等式
的解集˷可̿
用数ᣉ᛫ᇨ. Տ
௑，ᤇ要ळ࠮学生ʹᰎ用数ᣉ
᛫ᇨ不等式解集Ц有直᜺的͖
ᡕ性，̿
ܙू
学生数形ፇ合的
ਓគ. 
学生ଢ出的方式可能与教
科书̮
ፁ的方ข不Տ，ࠫ
൥教
师不要እӭڡա定，Ꮻ应要ර
学生᫨ᤘᒭࣂਇข，ᤰ᣿උᣗ
不Տ᛫ᇨ方式，ҫງ学生ࠫ
不
等式的解集ԣХ数ᣉ᛫ᇨ的理
解. 
ᬤ۶ጷ˸
1.（1）ĥὙ 
（2）×. 
2. ႕. 
山东教育出版社
出版
出版
出
育

育出

育出
育出

育出

育出
育出

育出

出

出

出

出

出
ڏ
育出
ڏ 
育出
.
出
.
出

ᄊᝍᬷ
教育
ᄊᝍᬷ
 x
教育
 x ļ
育
ļ 
育
 Ի
育
Ի
Ὂښ஝ᣉʽ᛫ᇨ
东教育
Ὂښ஝ᣉʽ᛫ᇨ
ᄊགᄊԿ᣸
社
ᄊགᄊԿ᣸
ॷړڔὊ᛫ᇨ
版社
ॷړڔὊ᛫ᇨ
社
 ˀ
社
ˀ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
ᤈ˔
山
ᤈ˔
社
x 
版
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版社
Ľ
版社

版社


版社
 . 
版社
. 
版社
᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
版社
᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
式
社
式ં
社ં
ᣉ
社
ᣉ上
社
上，
社
，
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版社
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版社
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出版
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出版
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版社
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版社
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社
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ᣉ上
出版
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出版
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育
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育出
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数ᣉ
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ᣉ上
出
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出
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，
教
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教育
实数
教育
数௧
育出
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育出
可̿
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要
教
要ᝨ
教育
ᝨ学
教育
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东教
གҫ
东教
ҫ̿
东教̿
ឭ
教
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教
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东教
解集
东教
集
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东教育
ᬤ۶ጷ˸
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山东
1.
山东
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山东
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山东
1）ĥὙ
东教
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山东
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山东
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山东
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山东教育出版社
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社
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社
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社
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社
ᣗ
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版社
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版社
学生
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不
社
不
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版
Х数
版
数ᣉ
版社
ᣉ᛫
版社
᛫ᇨ
版社
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社
的
 
214
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
1. ښ Ὂ.!ὊὊ.!Ὂ
 Ὂ.!ὊὊ.! ˗Ὂ_______ ௧வሮ x!,!!>! ᄊᝍὙ
_______ ௧ˀ኎र x!,! Ľ  ᄊᝍὙ_______ ௧ˀ኎र x!,!ǘ ᄊᝍ. 
2. ࠲ʾѵˀ኎रᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
὆὇x ļ Ὑ 
 
 
 
὆὇x ǚ!.!.Ὑ
὆὇x ǘ 
 Ὑ  
 
 
὆὇x Ľ .  
3.὆὇ˀ኎र x ǘ 
 దܳ
࠶˔ᝍὝឰ੽ѣї˔Ὑ
὆὇ˀ኎र x ǘ 
 దܳ
࠶˔൤ட஝ᝍὝឰʷʷиѣ౏.  
஝ߦေᝍ᫈ᮥ
ᝍх
4. ౽ु
ዔሟᄊሦ᧚ᔵڊ௧  _
 NὊ࠵௚ళฌਓु
ዔሟᄊሦ᧚ᔵڊὊၹ߲
ሦ᧚̀
ʷ
˔ྭ
ʹὊԩʾྭ
ʹՑὊԧဘु
ዔ෥దূ
ܭԔ࿄. Ϳᅼ᥋ᤈ˔ྭ
ʹᄊ᧘ҧښ̤
˦ᔵ
ڊՙὝ
ʷЋʷ൓ˀ኎र
ʷ

᜺ࠣ
ʾѵˀ኎र὘
!,!x!ǚ!Ὂx!,!!ļ!xὊx!ǚ!Ὂ
x
.f !ǚ!
 . 
ᤈ̏
ˀ኎रదד̏
СՏྲ
གὝ
ᤈ̏
ˀ኎रᄊࢻԿː᣸ᦐ௧டरὊԶեదʷ˔ళᅼ஝Ὂࣳ
˅ళᅼ஝ᄊతᰴ
൓஝௧ Ὂϸᤈನᄊˀ኎रὊԷϢʷЋʷ൓ˀ኎र὆linear inequality with one 
unknown὇.  

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
˸ᮥ

1. -4Ὑ0，-4，3，-3，1
5 ，
4Ὑ-5，-10. 
2. ႕. 
3.（1）有௄数˔解，ݠ x = 3，
             5
2 ，0，-8 等ᦐ௧߲
的
             解Ὑ
   （2）有 3 ˔，x = 1，2，3. 
4. ܸ̆
 50 N . 
教ߦ目ಖ
1. ፃԋ一元一次不等式概ঐ的形ੇ
᣿程. 
2. 能解数字系数的一元一次不等式，ࣳ
能ښ数ᣉ上᛫ᇨ出解集. 
3. 初൦ᝣគ一元一次不等式的应用价ϙ，发࡙
学生分ౢ᫈
题nj解х᫈
题的能ҧὙ初൦感ᅼ实ᬅ᫈
题ࠫ
不等式解集的ॖ
־，ሥግѾ用一元一次不等式解хእӭ实ᬅ᫈
题的ፃᰎ. 
本ᓬС 2 课௑，˟要ᆑቃ一元一次不等式的概ঐnj一元一次不等式的解ข和一元一次不等式的
应用. 
第 1 课௑˟要ळК一元一次不等式的概ঐ，学͘
用不等式的基本性质解一元一次不等式. 
ό1ύ
山东教育出版社
版社
版社
὆
社
὆
社߲
的
版߲
的
= 
育
= 1
育
1，
育
，2
育出
2，
育出
，3
出
3.
出
.
山东教育出版社             
山东教育出版社
山
山东教育出版社
,
社
, 
社
 >
社
> 
社
 ᄊᝍ
社
ᄊᝍ
ᄊᝍ
版社
ᄊᝍ.
版社
.
Ὑ
出
Ὑ

出
. 
出
. 
ឰ੽ѣї˔Ὑ
教育
ឰ੽ѣї˔Ὑ
൤ட஝ᝍὝឰʷʷ
东教
൤ட஝ᝍὝឰʷʷ
ᔵڊ௧
山
ᔵڊ௧
山东
_

山东
_

山东
 N
山东
NὊ
东
Ὂ
ʾྭ
ʹՑὊԧဘु
山
ʾྭ
ʹՑὊԧဘु
ʷЋʷ
  
ʷЋʷ
ʷ

᜺
教ߦ目ಖ
教育
教ߦ目ಖ
1
东教
1.
东教
. ፃԋ
教
ፃԋ
2
东
2.
东
. 能
教
能
山
ό1ύ
山东教育出版社
教育

版
 ǚ!
版社
ǚ!
版社

社


版社
 .
版社
.
దʷ˔ళᅼ஝Ὂࣳ
出版
దʷ˔ళᅼ஝Ὂࣳ
൓ˀ኎र
育出
൓ˀ኎र὆
出
὆linea
出
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ᣉ上᛫ᇨ出解集
山东
ᣉ上᛫ᇨ出解集
学
山
学生
山
生分
山
分ౢ
山ౢ᫈
山᫈
х
山
х
215
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ό1ύ൤ݠथቡ一元一次方程nj一次函数的概ঐ一ನ，一元一次不等式的概ঐ˷௧ᤰ᣿᜺͕ࠣܳ
Цʹ的一元一次不等式，ᤉᏫॆ
ጪХСՏྲ
གᏫ形ੇ
的. ښ实ᬅ教学中，可̿
ळ࠮学
生Џ回顾一元一次方程nj一次函数的概ঐԣХ形ੇ
᣿程，ᤈ有Ұ̆
一元一次不等式概ঐ的
थቡ，有Ѿ̆
ҫງࠫ
一元一次方程nj一次函数nj一元一次不等式ᤈ三˔概ঐ的理解，̿
ԣ߲ࠫ̓
ᄱ̉
ᐏ系的ᝣគ. 
山东教育出版社
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社
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社̿
ԣ
社
ԣ
山东教育出版社
 
216
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ਇʷਇ
ښҒ᭧їᓬិ
˗ὊͿѵѣ̀
ד̏
ʷЋʷ൓ˀ኎रὝតˡːΓὊࣳ
ˁՏͧ̔ื
.
Γ
 ᝍˀ኎र !.!xǘx!,!Ὂࣳં߲
ᄊᝍᬷ
᛫ᇨښ஝ᣉʽ.  
ᝍὉː᣸ᦐҫ!.!xὊ४
!.!x!.!x!ǘ!x!,!!.!x. 
Ռࣳ
ՏዝᮊὊ४
!.!x!ǘ!. 
ː᣸ᦐҫ!.!Ὂ४
!.!x!.! ǘ!!.!. 
Ռࣳ
ՏዝᮊὊ४
!.!x ǘ!. 
ː᣸ᦐᬔ̿
!.!Ὂ४
x ǚ!.!. 
ᤈ˔ˀ኎रᄊᝍᬷ
ښ஝ᣉʽ᛫ᇨݠڏ . ਫ਼ᇨ὘
ᝍவሮᄊረᮊ
ԫॎࠫ̆
ᝍˀ኎र
Տನᤠ
ၹ. 
.  .  .  .                            
ڏ .
Γ
 ᝍˀ኎र x!.!

Ľ!.!x

Ὂࣳં߲
ᄊᝍᬷ
᛫ᇨښ஝ᣉʽ.  
ᝍὉԝѬඇὊ४
὆x!.!὇Ľ!὆!.!x὇.  
ԝ઺ՂὊ४
x!.! Ľ!!.!x.  
ረᮊnjՌࣳ
ՏዝᮊὊ४
x Ľ!.  

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
ਇʷਇ
ᄬ的不̩
௧ᝨ学生គѿ̤
˦௧一元一次不等式，Ꮻ˅ᤇ
要ᝨ学生回֊४҂不等式的थ
模᣿程，ʹ͘
一元一次不等式
௧త基本njత重要的不等式. े
ཀྵ，˞̀
ҫງࠫ
一元一次不等
式概ঐ的理解，˷可̿
ᝨ学生̰
Ғ᭧їᓬ课中੽出ї˔不௧
一元一次不等式的不等式. 
Γ 1
ळК一元一次不等式的概
ঐ˨Ց，教科书ᤰ᣿ː˔Γ题̮
ፁ一元一次不等式的解ข. ࠫ̆
ර解一元一次不等式
的解集，学生ࣃ有ːܸ
基ᆩ：
① ͘
解一元一次方程ὙŁ ଂଧ̀
不等式的基本性质，ࣳ͘
用
不等式的基本性质ં
不等式ӑ
˞“x > a”ੋ
“x < a”的形式. 
ښ൥基ᆩ上，教科书ዝඋ解一
元一次方程的方ข，ᤂ用不等
式的基本性质解一元一次不等
式. 教学௑要关ฌ一元一次不等
式ර解᣿程的书и᜻ᔵ，关ฌ
学生ࠫ
解一元一次不等式基本൦ᰡ的感ৢ
. 
Γ 1 උᣗእӭ，˟要௧̮
ፁ解一元一次不等式的基本൦ᰡ. 教学௑，应ᯫЏᴂҵ学生ᒭ˟࠽ត
ර解，ࣳ̔ื
解ን᣿程，ښ൥基ᆩ上гᤉ行适े
的ॆ
ጪ঴ፇ. 解不等式的ረᮊ᜻॥与解方程的ረᮊ
᜻॥一ᒱ，要ᝨ学生明Х中的᥋理（ݠ有必要，可ዝඋ方程的ረᮊᤉ行ឭ明）. ښ学习不等式解ข
的ᡑݽ᫽段，ረᮊԫ形的᣿程不可ᣐ௜እӑ. 
Γ2
与Γ 1 ᄱඋ，本Γ要复ా
一̏
，ᭊ要ፃԋԝ分ඇnjԝ઺号njረᮊnj࠲ళᅼ数的系数ӑ˞ 1（ԁ
ӑ˞“x > a”ੋ
“x < a”的形式）等᣿程. 教学௑，̯
应ᯫЏᴂҵ学生ᒭ˟࠽តර解，ࣳ̔ื
解ን
᣿程，ښ൥基ᆩ上гᤉ行适े
的ॆ
ጪ঴ፇ. 
山东教育出版社
版社
Ռࣳ
社
Ռࣳ
等
版
等
ᝨ
出
ᝨ学
出版
学生
出版
生
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出
ї˔
出
˔不
出版
不௧
出版
௧
的不等式
育出
的不等式. 
育出
. 
К
东
К一
东教
一元
东教
元一
东教
一次
教
次不
教
不
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东
Ց，
东
，教
东教
教科
东教
科书
东教
书ᤰ
教
ᤰ̮
ፁ一元一次不
山东̮
ፁ一元一次不ࠫ
山ࠫ̆
山̆
ර
山
ර
解
山
解集
山
集
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
ʽ
版
ʽ. 
版社
. 
.
教
.
教
ǘ!
教
ǘ!
教育
.
教育
.
教育
. 
教育
. 
.
东教
.
东教
x
东教
xǘ
东教
ǘ
教

रᄊᝍᬷ
ښ஝ᣉ
山
रᄊᝍᬷ
ښ஝ᣉ
Γ 
ᝍ
式
社
式ӑ
社
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的形式
社
的形式. 
社
. 
书
版
书ዝ
版
ዝඋ
版社
උ解
版社
解一
版社
一
ข
出版
ข，
出版
，ᤂ
出版
ᤂ用
版社
用不
版社
不等
版社
等
质
出
质解
出
解一
出版
一元
出版
元一
出版
一次
版
次
௑
育
௑要
育
要关
育出
关ฌ
育出
ฌ一
育出
一元
出
元
解
教
解᣿
教育
᣿程
教育
程的
教育
的书
育
书и
育
и
生ࠫ
解一元一
教育
生ࠫ
解一元一
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东教
Γ 1
教
1 උ
教
උ
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山东教
ර解
东教
解，
东
，ࣳ
教ࣳ
᜻
山东
᜻॥
东
॥
山
山东教育出版社
教育

育
.  
育
.  
基
山
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山东
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山东
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山东教
ᰡ.
东
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东教
教学
东教
学ॆ
山ॆ
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山
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山东
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山东
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山东
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东
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东
不
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山
ዝඋ
山
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山
方程
山
程的
山
的
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
217
ː᣸ᦐᬔ̿
 Ὂ४
x Ľ!.
ᤈ˔ˀ኎रᄊᝍᬷ
ښ஝ᣉʽ᛫ᇨݠڏ . ਫ਼ᇨ὘
.                                           
ڏ .
ᬤ۶ጷ˸
1. ᝍʾѵˀ኎रὊࣳં߲̓
ᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
὆὇x ǘ Ὑ  
 
 
὆὇!.!x ,!

 ǘ Ὑ
὆὇x!.! Ľ ὆x!,!὇Ὑ  
 
὆὇x .!

 ǘ x .!

. 
2. රˀ኎र ὆x!,!὇ļ ᄊ൤ட஝ᝍ.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ
஝ߦေᝍ
1. ᝍʾѵˀ኎रὊࣳં߲̓
ᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
὆὇!.!x!,! ǚ!x!.!Ὑ  
 
὆὇ .!x

!Ľ! .!x

Ὑ
὆὇x
 !,! ǘ!xὙ 
 
 
὆὇x ,!

 ǚ!x!.!Ὑ
὆὇x
 !,! ļ!x
 !.!Ὑ 
 
 
὆὇὆x!.!὇Ľ!!,!x. 
2. ʼ˔ᤌ፞
൤Ϧ஝ᄊ֗
࠵̆
 Ὂᤈನᄊ൤Ϧ஝ጸСదܳ
࠶ጸὝં߲̓
ᦐиѣ౏.  
3. ʾ᭧௧࠵௚Տߦᝍˀ኎र x ,!

!.! ǘ!x ,!

!ᄊ᣿ሮ὘
ԝѬඇὊ४ x!,!!.! ǘ!x!,!. 
ረᮊnjՌࣳ
ՏዝᮊὊ४!.!x ǘ!.!. 
ː᣸ᦐᬔ̿
!.!Ὂ४ x ǘ!. ̵
ᄊᝍขదᩲឨՙὝݠ౧దᩲឨὊឰͿૉѣᩲښד᧗. 
4   一元一次不等式

ᬤ۶ጷ˸
1.（1）x < 40Ὑ
   （2）x > - 7Ὑ
   （3）x ≤- 8Ὑ
   （4）x > 7
5 . 
    数ᣉ᛫ᇨ႕. 
2. x = 1，2，3，4，5. 
˸ᮥ

1.（1）x < 1
2 Ὑ
   （2）x≤-2Ὑ
   （3）x > 5
4 Ὑ
   （4）x < 19
3 Ὑ
   （5）x≤-18Ὑ
   （6）x≥9
2 . 
2. С有ː组：2，4，6Ὑ4，6，
8. 
ଢᇨ：᝺三˔ᤌ፞
Ϧ数的中ᫎ
一˔˞ x，ѷԳܱ
ː˔分
ѿ˞ x - 2，x + 2. 
3. 有ᩲ，ᩲឨ˨ܫ：（1）ԝ分ඇ௑， 公分ඇ 2 ໤˲“-1”ᮊὙ（2）ː᣸ᦐᬔ̿
 -2 Ց，不等
号方Ք෥有ஈԫ. ൤ᆸ的解ข௧：ԝ分ඇ， ४ x + 5 -2 < 3x + 2. ረᮊnj合ࣳ
Տዝᮊ，४ -2x < -1. ː
᣸ᦐᬔ̿
 -2，४ x > 1
2 . 
东教育出版社
ښ஝ᣉʽ὘
版社
ښ஝ᣉʽ὘
὆
版
὆
版
὇
版
὇.
版社
.
版社
x
版社
x,
版社
,
版社


版

ǘ
版社
ǘ
὆
出版
὆
出版
὇
出版
὇
版
x 
版
x .!
版
.!
版


版

൤ட஝ᝍ
育出
൤ட஝ᝍ.  
育出
.  
山东教育
੿ᑟ
东
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ᝍʾѵˀ኎रὊࣳં
山东
ᝍʾѵˀ኎रὊࣳં
὆
山
὆
山
὇
山
὇.
山
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山
x,
山
,
山
ǚ
山
ǚ
山
x
山
x
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山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
Ὑ
὇Ľ,!
,!x. 
x. 
ጸСదܳ
࠶ጸὝં߲
ጸСదܳ
࠶ጸὝં߲
.
版
.
版社
ǘ!
版社
ǘ!
版社

版社
x
版社
x,
版社
,
社


版社

ᄊ᣿ሮ
社
ᄊ᣿ሮ
版

版
.
版
.
४
出
४.
出
.
出版
x 
出版
x ǘ
出版
ǘ.
出版
.
版
.
版
.
४
出
४ x
出
 xǘ!
出
ǘ!
出
. 
出
. 
ឨՙὝݠ౧దᩲឨ
育出
ឨՙὝݠ౧దᩲឨ
႕
育出
႕. 
出
. 
，
育
，2
育
2，
育
，3
育出
3，
育出
，4
育出
4，
出
，5
出
5
东教
东教
东教
东教
东教
东教
东教
˸ᮥ

东教育
˸ᮥ

1
东
1.
东
.（
东
（1
东
1）
东
）
 
教
 有ᩲ，ᩲឨ˨
教育
有ᩲ，ᩲឨ˨
方Ք෥有ஈԫ
东教
方Ք෥有ஈԫ
᣸ᦐᬔ̿
山东
᣸ᦐᬔ̿
山东教育出版社
，
版
，6
版社
6Ὑ
版社
Ὑ4
版社
4，
社
，6
社
6，
社
，
᝺
出
᝺三
出
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出版
˔ᤌ
出版
ᤌ፞
版፞
Ϧ
版
Ϧ
˔
育
˔˞
育出
˞ x
育出
x，
出
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出
ѷԳ
出
Գ
ѿ˞
育
ѿ˞ x 
育
x -
育
- 2
育出
2，
育
，x
出
x
ᮊὙ（
东教
ᮊὙ（2
教
2）ː
教
）ː
+
东
+ 2
东
2. 
东
. ረᮊnj合
山东教
ረᮊnj合
 
218
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
第 2 课௑的重ག௧一元一
次不等式的应用. 
ϢʷϢ
తܳ
可ો七ઉᩙ
׬. 
教师可̿
ळ࠮学生回ॺᤉ
价njಖ价nj੪ઉnjѾ๧njѾ๧
率等ឈឦ的ե义，४出Х中的
˟要不等关系：
੪ઉՑ的ᩙ
׬价-ᤉ价
ᤉ价
≥5%. 
ښ解х᫈
题的᣿程中，教师应
关ฌ学生的ᝣᅼඵ平，发ဘ̵̓
ߛښ的᫈
题，̀
解学生௧ա
ࣃፃЦܬ用不等式解х᫈
题的
ਓគ. 
Γ 3
本Γ ௧不等式थ模的ፙ፞
. 教学௑，教师一方᭧要关ฌ
学生分ౢ᫈
题中不等关系，ᤉ
Ꮻथቡ不等式的᣿程ὙԳ一方
᭧ᤇ要ፙ፞
关ฌ解一元一次不
等式的੿能ᝫጷ，ࠫ̆
学生解
一元一次不等式᣿程中的௜ᩲ
ག，要与学生СՏ分ౢ
出ᩲԔ
ڂ，ࣳ
有᧫ࠫ
性ڡଢ出解х的ࠫ
ኖ. ൥ܱ
，ᤰ᣿本Γ，要ᝨ学生ʹ͘
实ᬅ᫈
题ࠫ
不等式解集的ॖ
־
（ಪ据᫈
题的实ᬅਓ义，本Γ应ԩ൤ட数解）. 
Γ 4̯
௧不等式的थ模᫈
题，ᝨ学生分ౢ᫈
题中的不等关系，ᤉᏫथቡ不等式.
山东教育出版社
版社
版社
๧
版
๧
Х
出
Х中
出版
中的
出版
的
育出
-ᤉ价
育出
-ᤉ价≥
育出
≥5
育出
5%
出
%
题
教
题的
教
的᣿
教育
᣿程
教育
程中
教育
中，
育
，
生
东
生的
东教
的ᝣ
东教
ᝣᅼ
东教
ᅼඵ
教
ඵ平
教
平
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山
ߛښ
山东
ښ的
山东
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东教᫈
题
东教
题，
东
，
ࣃ
山
ࣃፃ
山
ፃЦ
山东
Цܬ
山东
ܬ用
东
用不
东
不
ਓគ
山
ਓគ. 
山
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山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
关
社
关ฌ
社
ฌ
系
社
系，
社
，ᤉ
社
ᤉ
程
版
程Ὑ
版
ὙԳ
版社
Գ一
版社
一方
版社
方
解
出版
解一
版
一元
出版
元一
版
一次
版社
次不
版社
不
ᝫ
出
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出
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出
，ࠫ
出版ࠫ̆
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学
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学
不
育
不等
育出
等式
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育出
᣿程
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出
中
要
教
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教育
与学
教育
学生
教育
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育
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教ࣳ
有
教育
有᧫
教育
᧫ࠫ
教育ࠫ
性
育
性
（ಪ据᫈
题
东教
（ಪ据᫈
题
Γ
东
Γ
山东教育
教育
教育出版社
ᝨ
东
ᝨ学
东
学生
东教
生ʹ
东教
ʹ͘
东教͘
实
教
实ᬅ
教
ᬅ
等关系
山
等关系
219
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬤ۶ጷ˸
1.  ᝺ોಖ价的 x % 出׬，ಪ据题ਓ，४
500·x % - 400
400
≥10%. 
解ᤈ˔不等式，४
x≥88. 
ਫ਼̿
ᒰܳ
可̿
੪ММઉ. 
2.  ᝺̵
ᤇ可˼ x ಪ༢ᒒᐦ，ಪ据题ਓ，४
2x + 3×5≤26. 
解ᤈ˔不等式，४
x≤11
2 . 
ਫ̵਼̿
తܳ
ᤇ能˼ 5 ಪ༢ᒒᐦ. 
山东教育出版社
ᒒᐦ，ಪ据题ਓ
出版
ᒒᐦ，ಪ据题ਓ
४
育
४̵
తܳ
ᤇ能˼
东教̵
తܳ
ᤇ能˼
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
 
220
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
Ѧ஝ y!>!x!.!ᄊڏ៶ݠڏ . ਫ਼ᇨὊ᜺ࠣ
ڏ៶
ڀንʾѵ᫈ᮥ
὘
὆὇x ԩ͵ϙ௑Ὂy!>!Ὕ
὆὇x ԩד̏
ϙ௑Ὂy ǚ!Ὕ
὆὇x ԩד̏
ϙ௑Ὂy ǘ!Ὕ
὆὇x ԩד̏
ϙ௑Ὂy ǚ!Ὕ
Ϳ௧টನনᏦᄊὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ᫈ᮥ
ᝍх
1. ᝍʾѵˀ኎र὘
὆὇x .!

!,!ǚx!.!Ὑ  
 
὆὇!.!x
 !,!x
!ļ!.!Ὑ
὆὇
 x!.! ǘ!!.!
 xὙ 
 
὆὇x!.὆x!.!὇ļ!x!,!. 
ʷЋʷ൓ˀ኎रˁʷ൓Ѧ஝
ʷ

2. ࠵ᮣ
юܬၹ  Ћ˼ቸ֗
ቸᝮవ.  ࣃᅼඈஃቸ  ЋὊඈ˔ቸᝮవ . ЋὊݝ˼̀
  ˔ቸᝮవ.  ឰͿࣟ
ݝካʷካὊݝᤇԻᑟ˼їஃቸὝ
3. ౽ಣߦၷ͘
ጸጻʹnjМࣲ
ጟС  ՐՏߦԠҫဗδำүὊʹࣲ
ጟߦၷࣱ
کඈ̡
ஆᬷ
  ˔ऌफ܈நၫὊМࣲ
ጟߦၷࣱ
کඈ̡
ஆᬷ
  ˔ऌफ܈நၫ.  ᔪਫ਼ஆᬷ
ᄊ܈
நၫ঴஝ˀ࠶̆
   ˔Ὂᒰ࠶దܳ
࠶ՐМࣲ
ጟߦၷԠҫำүὝ
4. ౽˔ࣹ
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շ  ЋὊඈӿʷ͋
 . Ћ.  ࠇਗ਼Ꮵဍښᤈ˔ࣹ
շНՃ᝺ᝠ̀
ʷࣹ͋
շὊࣳ
ӿ̀
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Ὂࣱ
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ᄊੇ
వˀᰴ̆
 . Ћ.  Ꮵဍᒰ
࠶ӿ̀ܳ
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Ὕ
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. O                           x
y
y >!x .!
A὆.Ὂ὇
.
.
.
.
.





第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
˸ᮥ

1.（1）x὚3Ὑ
   （2）x≥15
2 Ὑ
   （3）x὚45
8 Ὑ
   （4）x≥- 1
3 . 
2. ᝺ݝᤇ可˼ x ஃቸ，ಪ据题
ਓ，४
3 x + 2.2×2≤21. 
解ᤈ˔不等式，४
x≤83
15
 . 
ਫ਼̿
ݝᤇ可能˼ 1 ஃnj2ஃnj
3 ஃnj4 ஃੋ
 5 ஃቸ. 
3. ᝺ᭊ要 x ՐМ年级学生参ҫ
活ү，ಪ据题ਓ，४
15（60 - x）+ 20x≥1 000. 
解ᤈ˔不等式，४
x≥20. 
ਫ਼̿
ᒰ࠶ᭊ要 20 ՐМ年级学
生参ҫ活ү. 
4. ᝺Ꮵဍ印̀
 x 份ࣹ
շ，ಪ据
题ਓ，४
200 + 0.4x≤0.5x.
解ᤈ˔不等式，४
                  x≥2 000.
ਫ਼̿
Ꮵဍᒰ࠶印̀
 2 000 份.
教ߦ目ಖ
1. ᤰ᣿᜺ࠣ
函数图៶njර方程的解和不等式的解集，̰
中ʹ͘
一元一次方程nj一元一次不等式
与一次函数的内ښᐏ系. 
2. ᤰ᣿Цʹ᫈
题初൦ʹ͘
一次函数的ԫӑ᜻॥与一元一次不等式解集的ᐏ系. 
3. 感ᅼ不等式nj方程nj函数的不Տͻ用与内ښᐏ系. 
山东教育出版社
版社
版社
山东
ಪ
出
ಪ据
出版
据题
出版
题
×
教育
×2
教育
2≤
教育
≤21
育
21. 
育
. 
等式，४
教育
等式，४
x
东教
x≤
东教
≤
东教
83
教
83
15
教
15
ਫ਼̿
ݝᤇ可
山东
ਫ਼̿
ݝᤇ可
3
山
3 ஃnj
山
ஃnj4
山
4
᝺
山
᝺ᭊ
山
ᭊ
教育出版社             山
社
Ѧ஝
Ѧ஝
ڀን
 
ڀን
山东教育出版社
Ὑ
版
Ὑ
὇
版
὇ļ
版
ļx
版
x,
版
,
版
. 
版
. 
ʷЋʷ
  
ʷЋʷ
ʷ
ඈஃቸ
育
ඈஃቸ
育出
 ЋὊඈ˔
育出
ЋὊඈ˔
ᤇԻᑟ˼їஃቸὝ
教育
ᤇԻᑟ˼їஃቸὝ
ՐՏߦԠҫဗδ
教育
ՐՏߦԠҫဗδ
ߦၷࣱ
کඈ̡
ஆᬷ
东教
ߦၷࣱ
کඈ̡
ஆᬷ
Ὂᒰ࠶దܳ
࠶ՐМ
东教
Ὂᒰ࠶దܳ
࠶ՐМ
᝺ᝠʷࣹ͋
շ
山东
᝺ᝠʷࣹ͋
շ 
东
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շὊࣳ
ӿ̀
ᔪ
山东ࣹ͋
շὊࣳ
ӿ̀
ᔪ͋
Ὕ͋
Ὕ
山东教
山东
山
ՐМ年级学
版社
ՐМ年级学̀
出̀
x
出
x 份
出版
份ࣹ
出版ࣹ
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出版
շ，
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，
४
育
४
200
教育
200 +
教育
+ 0
育
0.
育
.4
育
4x
育
x≤
育
≤
解ᤈ˔不等式
教育
解ᤈ˔不等式
                 x
东教
                 x
ਫ਼̿
Ꮵ
东教
ਫ਼̿
Ꮵ
教
山
教
山东教育出版社
教育
版社
.
版社
.
版社
 O 
版社
 O 
版社
版社

版社

社
.
版
.
版

.
版
.
版


社


版社

版社
版社
版社
版社
221
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
本ᓬ˟要ᆑቃ一元一次不等式与一次函数的ᐏ系，ᤂ用一次函数图៶ර解一元一次不
等式，ʹ͘
方程nj不等式nj函数˨ᫎ
的内ښᐏ系，ࣳ
能ᤂ用߲̓
˨ᫎ
的ᐏ系解х实ᬅ᫈
题. 
本ᓬӊ઺ 2 课௑. 第 1 课௑ᯫЏᤰ᣿᜺ࠣ
一次函数的图៶ර出ᄱ应的一元一次方程的
解nj一元一次不等式的解集，ᝨ学生̰
டʹ上感受Ѿ用一次函数可̿ࣟ
Ұ解х一元一次不
等式nj一元一次方程的᫈
题. Х次ᤰ᣿“Ϣ一Ϣ”ಝᄬ，ᝨ学生感受可̿
ᤂ用解不等式ࣟ
Ұ
ᆑቃ函数᫈
题，ឭ明一次函数与一元一次不等式ᄱ̉
ຖᤩnjᄱ̉
ͻ用. 感受函数nj方程nj不
等式˨ᫎ
的ᐏ系. 
山东教育出版社
一元一次
社
一元一次
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
的
社
的
次
社
次不
社
不
等式ࣟ
Ұ
版社
等式ࣟ
Ұ
数nj方程nj不
出版社
数nj方程nj不
山东教育出版社
 
222
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ϢʷϢ
Ѧ஝ y!>!x!.!!֗ y!>!x!.! ᄊڏ៶ݠڏ . ਫ਼
ᇨὊ᜺ࠣ
ڏ៶ڀንʾѵ᫈ᮥ
὘
὆὇x ԩ͵ϙ௑Ὂy!>!yὝ
὆὇x ԩ͵ϙ௑Ὂy!?!yὝ
὆὇x ԩ͵ϙ௑Ὂy!=!yὝ̰
ڏ៶ʽᄺὊ y!>!y!้Ljଇ߲
ᅃْ
ࡧຕڦ཮ၡ
঍ᇀᅃۅLjُ
ۅڦ࢙
ፖՔ৽๟ݛײ!x!.!!>!x!.! ᄊ
ᝍὙʷ൓Ѧ஝ y!>!x!.! ᄊڏ៶ښ y !>!x!.! ᄊ
ڏ៶ʽவᄊᦊѬࠫ
ऄགᄊഷگಖࡃ௧ˀ኎र !x!.! ?!x .!!ڦ঴Ǘᅃْ
ࡧ
ຕ y!>!x!.! ᄊڏ៶ښ y!>!x!.! ᄊڏ៶ʾவᄊᦊѬࠫ
ऄགᄊഷگಖࡃ௧ˀ኎
र !x!.! <!x .!!ڦ঴/
ᬤ۶ጷ˸
˸ᮥ


ᅼគ੿ᑟ᫈ᮥ
ᝍх
ࣃᅼ y!>!.!x!,!Ὂy!>!x!.!Ὂे
 x ԩ͵ϙ௑Ὂy ǚ!yὝͿ௧টನϢᄊὝˁՏͧ̔ื
.  
1. ᔪ y!>!!x!,!Ὂy!>!x!.!Ὂे
 x ԩ͵ϙ௑Ὂy ǘ!yὝ
ڏ .
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.
.
.





y >!x .!
2. ݠڏὊl Ԧ௢̀
౽ֶ̗
ᄊᩙ
׬ஆКˁᩙ
׬᧚
˨ᫎ
ᄊТጇὊl Ԧ௢̀
សֶ̗
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׬ੇ
వˁᩙ
׬᧚˨ᫎ
ᄊТጇὊेᩙ
׬ஆКܸ̆ᩙ
׬ੇ
వ௑Ὂសֶ̗
੦नݽᡅѾ.  សֶ̗
ᄊᩙ
׬
᧚᣺҂ܳ
࠶գ௑Ὂၷ̗
សֶ̗
੦ᑟᡅѾὝ
                               x/ գ
 
 
O
l
l
y/ Ћ
὆ኄ  ᮥ
὇

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
ϢʷϢ
ಪ据图៶可ᅼ，
（1）x = 3 ௑，y1 = y2Ὑ
（2）x὜3 ௑，y1὜y2Ὑ
（3）x὚3 ௑，y1὚y2.
ᬤ۶ጷ˸
x὚7
4 . 
解хᤈ一᫈
题，学生௅可̿
用
解方程的方ข，˷可̿
用解不
等式的方ข，ᤇ可̿
用函数图
៶的方ข. 要ᴂҵ学生用不Տ的
方ข解х᫈
题，Տ௑要ᝨ学生࡙
ᇨՊᒭ与͕
不Տ的解ข，ࣳ
重᜽ࠫ
不Տ解ข的分ౢ
与ក价. 
˸ᮥ

1. x὜4 ௑ y1὚y2.
2. ᩙ
׬᧚ᡔ᣿ 4 t ௑，生̗
សֶ̗
੦能ᡅѾ.
3. ႕. 
山东教育出版社
版社̰
社̰
঍ᇀ
版社
঍ᇀ
۶ጷ˸
东教
۶ጷ˸
὚
山
὚
山
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山
7
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山
4 . 
山东
. 
解
山
解х
山
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山
ᤈ一
山
一
程
山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
཮ၡ
出
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x
育
x .
育
. 
育
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ᄊ

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教育
>!x
教育
x .
教育
. 
教育
 ᄊ
育
ᄊ
ࡃ௧ˀ኎र
教育
ࡃ௧ˀ኎र
育
x
育
x

东
 ᄊڏ៶ʾவᄊ
东教
ᄊڏ៶ʾவᄊ
山
       
˸ᮥ


˸ᮥ


 

ᅼគ੿ᑟ
 
ᅼគ੿ᑟ
,Ὂy>!
山
>!
山
x
山
x.
山
.
山
Ὂ
山
Ὂ
1.1. ᔪ
版社
.
版
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版
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版
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版

版社

版社
版社

版社

版社
版社

版社

社

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出版
.
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出版
出版社
版社
版社
版社
版社
版社
版社
版社
版社
出版社
版社

版社

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出版
.
出版
出版社
版社
版社
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学
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版社
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版社
，ࣳ
版社ࣳ
分ౢ
与ក价
版社
分ౢ
与ក价. 
社
. 
东教
东教
东教
东教
东教
˸ᮥ

东教
˸ᮥ

1
山东
1. x
东
. x὜
东
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东
4 ௑
教
௑
2
山东
2. . ᩙ
东ᩙ
山东教育出
教育出版社
׬
育
׬
ѾὝ
育
ѾὝ
育
版社
出版

出版


出
 
出版

出版
出版
出版
O
出
O
l
社
l
出版
出版
出版
出版
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
223
3. ࠵௚֗
ݾݾښՏʷߦಣʽߦὊ̰
ࠒ҂ߦಣᄊᡰሏ௧  kmὊ̵̓
ᡌ᡹ᄊᤴए
˞  km/hὊᡫ൦ᄊᤴए˞  km/h.  ឰͿಪ૶̿
ʽηৌὊ᝺ᝠʷ˔Ի̿
ၹʷЋʷ
൓ˀ኎रᝍхᄊ᫈ᮥ
Ὂࣳ
ፌѣᝍхவವ.  
ϢʷϢ
ЌषλᠿᡫὊ׎׎Џᝨषषᡫ  mὊཀྵՑᒭࣂनݽᡫ.  ࣃᅼषषඈሚᡫ  mὊ
׎׎ඈሚᡫ  mὊ͵௑षषᡫښҒ᭧Ὕ͵௑׎׎ᡫښҒ᭧Ὕ
὆὇᝺׎׎ᡫᄊ௑ᫎ
˞ xὊͿᑟѬѿѵѣ׎׎njषषᡫᄊ᡹ሮ y὆m὇ˁ௑ᫎ
 x὆s὇˨ᫎ
ᄊѦ஝ТጇरՙὝ
὆὇តႇѣᤈː˔Ѧ஝ᄊڏ៶Ὂಪ૶ڏ៶Ѽல͵௑׎׎ᡫښҒ᭧Ὂ͵௑ष
षᡫښҒ᭧.
ᝬʷᝬ
ښʽ᭧᫈ᮥ
˗ὊѵѣѦ஝ТጇरՑὊˀႇڏ៶ὊͿᑟѼல͵௑׎׎ᡫښҒ
᭧ՙὝ
࠵௚௧ᤈನਇᄊ὘
׎׎njषषਫ਼ᡫᄊ᡹ሮ y὆m὇ˁ௑ᫎ
 x὆s὇ᄊѦ஝ТጇरѬѿ௧ y >!!x ֗
 y >!!,!!x.  े̵
λࣳ
ѵ௑Ὂ!x >! , !xὊ൥௑ x >!Ὂᥧ˦े
 x ?! ௑Ὂ
!x ?!!,!4!xὊ׎׎ᡫښҒ᭧Ὑे
 x =! ௑Ὂ!x =!!,!4!xὊषषᡫښҒ᭧.
ͿՏਓ̵
ᄊਇขՙὝ
Γ ౽ӭͯ
ᝠѳښழࣲ
రᫎ
ጸጻրࢺ҂౽ڡ஻຤ὊԠҫ஻຤ᄊ̡
஝ͥ
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˞  ᒰ  ̡
Ὂႁnj˳ːࠒ஻ᛡᇫᄊ఩Ҭ᠏
᧚ᄱՏὊ˅ઑ͉
ᦐ௧ඈ̡
  Ћ. 
ፃ᣿ө׸Ὂႁ஻ᛡᇫ᛫ᇨԻፌ́
ඈͯ
຤ࠇʹ̋
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ৼὙ˳஻ᛡᇫ᛫ᇨԻЏВԝ
ʷͯ
຤ࠇᄊ஻຤ᠠၹὊХ͸຤ࠇМઉ͖
ৼ.  សӭͯ
ᤥહדʷࠒ஻ᛡᇫஃ̷
ᄊ஻
຤ᠠၹᣗ࠶Ὕ
ᝍὉ᝺សӭͯ
Ԡҫᤈ൓஻຤ᄊ̡
஝௧ x ̡
Ὂᤥહႁ஻ᛡᇫ௑Ὂਫ਼ᭊᄊᠠၹ
˞ y ЋὊᤥહ˳஻ᛡᇫ௑Ὂਫ਼ᭊᄊᠠၹ˞ y ЋὊѷ
y!>!ġ.!xὊԁ y!>!!xὙ
5   一元一次不等式与一次函数

ϢʷϢ
分ѿѵ出׎׎njषषᠿᡫ
௑ਫ਼ᡫ的ᡰሏ y1（m ），y2（m ）
与׎׎ᡫ的௑ᫎ
 x（s ）˨ᫎ
的
关系式：y1 = 4x，y2 = 9 + 3x，
ႇ出图៶（႕），᜺ࠣ
可४：
（1）׎׎开ݽᡫ௑，9 s Ғ
षषᡫښ׎׎Ғ. 
（2）9 s Ց׎׎ᡫښषषҒ. 
ᝬʷᝬࠫ̆᫈
题，要ᝨ学生ࣹ
ฅ
发᛫ᒭࣂ的᜹解，学生的Ϣข
可能௧ܳ
መܳ
ನ的，Զ要合理
ࡃ应́̿
ᴂҵ. 教学௑可ळ࠮学
生ᝧ᝷：׎λឺ
ᡫښҒ，关᪄
௧要ᅼ᥋׎׎͵௑ᤝ上षष. 学
生可能直ଌ解不等式（应े
ᝨ
Х解᧖Х中的᥋理）. 
函数nj方程nj不等式ᦐ௧
҉ႇဘ实ˇႍ
中᧚与᧚˨ᫎ
ԫ
ӑ᜻॥的重要模型. 本ᓬ的ᄬ的
௧ᤰ᣿ЦʹΓߕຖᤩ三Ꮸ˨ᫎ
的内ښᐏ系，ࣟ
Ұ学生̰
டʹ
上ᝣគ不等式，感受函数nj方
程nj不等式的ͻ用. 教学中不要ҫܸ
ᬲए. 
Γ
要ፙ፞
关ฌ学生的ኀ号᛫ᇨ，̿
ԣ分ౢ᫈
题nj解х᫈
题等能ҧ的۲Щ，ᤇ要关ฌ学生解ข的ܳ
ನ性. 
Գܱ
，“a ᒰ b”᛫ᇨ一˔数ϙᔵڊ，ᒰ̆
ᤈ˔ᔵڊ௧աӊե a，b，要ಪ据实ᬅৱц౏ᆸ定. 
ښ本Γ中，参ҫ஻຤的̡
数˞ 10 ̡ੋ
 25 ̡
௑，᫈
题̯
有ਓ义，Ꮻ˅ોི̡̓
的ெ࣢ឦᝓ
习ਅ，
“̡
数ͥ
ᝠ˞ 10 ᒰ 25 ̡
”ᤰ࣢˷ਓ֊ᅌӊե 10 ̡
和 25 ̡
. 
教学௑学生可能ࠫ͘
ᤈዝ᫈
题有不Տ理解，൥௑教师可ळ࠮学生ᤉ行适े
的ᝧ᝷，ͮ
不必᣿分
ጘᎍ. े
ཀྵ，˞̀
ᥘВ̗
生不必要的᳤
ད，ښᤉ行有关฾ត௑，可ͻ出明ᆸ᜻定，ݠ“̡
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ᝠ˞
10 ᒰ 25 ̡
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和 25̡
）”. 
山东教育出版社
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社
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版社
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出版社
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教育
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东教
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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山东教育出版社
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山᫈
题
山
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山
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山
ҧ
 
224
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᬤ۶ጷ˸
౽НՃ  Րրࢺ҂ʷఀ
གᬷ
ʹԠ᜺Ὂសఀ
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᠔˼ڄʹᇾὊᇾ͉
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ᤷݤݙᓬὊសఀ
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ˀᑟՏ௑̚
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ৼ.  ឰͿࣟ
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ᤥહ᠔ᇾவವ.  
y!>!ġ.὆x!.!὇Ὂԁ y!>!x!.!. 
ႀ y!>!yὊ४ x!>!x!.!Ὂᝍ४ x!>!.े
 x =!௑Ὂx ǚ!x!.!Ὑे
 x ?!௑Ὂx ǘ!x!.!.  
ڂ˞Ԡҫ஻຤ᄊ̡
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 x!>! ௑Ὂႁnj˳ːࠒ஻
ᛡᇫᄊஆᠠᄱՏὙे
  ļ!x ļ! ௑Ὂᤥહႁ஻ᛡᇫᠠၹᣗ࠶Ὑे
  ļ!x ļ!
௑Ὂᤥહ˳஻ᛡᇫᠠၹᣗ࠶.  
˸ᮥ

᫈ᮥ
ᝍх
1. ౽ӭͯ
᜶҄
ͻʷ੻ࠈ͜ె
ந.  ႁНՃଢѣ὘ඈ͋ె
நஆᠠ  ЋὊԳஆ   Ћ᝺
ᝠᠠὙ˳НՃଢѣ὘ඈ͋ె
நஆᠠ  ЋὊˀஆ᝺ᝠᠠ.  
὆὇̤
˦ৱцʾᤥહႁНՃඋᣗՌካὝ
὆὇̤
˦ৱцʾᤥહ˳НՃඋᣗՌካὝ
὆὇̤
˦ৱцʾːНՃᄊஆᠠᄱՏὝ
2. ౽ߦಣᝠѳ᠔˼ᔪࣰ
ԼႃᑨὊဘ̰
ːࠒ׸ڤ̀
ᝍ҂ՏʷیՂႃᑨඈԼઑ͉
ک
˞   ЋὊࣳ
˅ܳ
˼ᦐదʷࠀᄊ͖
ৼ. ႁ׸ڤᄊ͖
ৼ౎͈
௧὘ኄʷԼોԔઑ͉
ஆᠠὊХ͸ඈԼ͖
ৼ Ὑ˳׸ڤᄊ͖
ৼ౎͈
௧὘ඈԼ͖
ৼ . 
὆὇̤
˦ৱцʾ҂ႁ׸ڤ᠔˼ఞ͖
ৼὝ
὆὇̤
˦ৱцʾ҂˳׸ڤ᠔˼ఞ͖
ৼὝ
὆὇̤
˦ৱцʾːࠒ׸ڤᄊஆᠠᄱՏὝ
3. ౽ႃηНՃదႁnj˳ːመ੤఻ஆᠠˊҬ.  ႁመˊҬ᜻ࠀథምᠠ  ЋὊඈᤰ
ភ  min ஆᠠ . ЋὙ˳መˊҬˀஆథምᠠὊͮ
ඈᤰភ  min ஆᠠ . Ћ.  Ϳᝣ
˞͵௑ᤥહႁመˊҬఞՌካὝ͵௑ᤥહ˳መˊҬఞՌካὝ

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组ࠫ̆
一元一次不等式与一
次函数的关系，教学中要ᅌᅋ̆
学生ࠫ
关系的理解，ࡊ可能
ᤰ᣿图៶nj᛫᣺式和஡字等ܳ
መ方式ᝨ学生ᤪ൦ᝣគ҂二Ꮸ
的内ښᐏ系. 教学中ѭॼᝮॺ
ፇ᝷，Ꮻ௧要̰
டʹ上ં
ଧ᫈
题，ຖᤩ௿᥆ᐏ系的思ਇ. 
ᬤ۶ጷ˸
᝺ស公司参᜺Ꮸ中有ݙܣx ̡
，ᤥહ᠔˼ݙܣ五ઉᇾ௑ਫ਼
ᭊᠠ用˞ y1 元，ᤥહ᠔˼团ʹ
ᇾ௑ਫ਼ᭊᠠ用˞ y2 元，ѷ （ᤈ
᧗一张ᇾ的Ԕ价᝺˞ 1 元，˷
可̿
᝺˞ a 元）
y1 = 0.5 x + 40 - x，
          y2 = 40×0.8. े
ݙܣ不ᡜ 16 ̡
௑，᠔˼团᫳
ᇾ合ካὙे
ݙܣ্
ݞ௧ 16 ̡
௑，ːመ方ವਫ਼ᭊᠠ用ᄱՏὙे
ݙܣܳ̆
 16 ̡
௑，᠔˼ݙܣ
五ઉᇾ合ካ. 
˸ᮥ

1. े
制ͻె
料ᡔ᣿ 300 份௑，ᤥહႁ公司උᣗ合ካὙ े
制ͻె
料࠶̆
 300 份௑，ᤥહ˳公司උᣗ
合ካὙे
制ͻె
料˞ 300 份௑，ː公司ஆᠠᄱՏ，ᤥ哪ࠒ公司ᒭࣂ可ᦠৱ考ᘽ. 
ଢᇨ：᝺制ͻ x 份ె
料௑，ႁ公司ஆᠠ y1 元，˳公司ஆᠠ y2 元，ѷ
y1 = 20 x + 3 000，
 
 
 
 
 
 
  y2 = 30 x. 
ښក价学生ͻˊ௑，要关ฌ学生ፇ合实ᬅ᫈
题༧活思考的能ҧ. 
山东教育出版社
版社
版社
版社
版社
ᬤ
社
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版᫈
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教育
Ꮸ中
教育
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育
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教
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教育
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东教
元，
东教
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ᤥ
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山东
௑ਫ਼ᭊᠠ用˞
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山
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山东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
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社
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ͻʷ੻ࠈ͜ె
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Ὑ˳НՃଢѣ὘ඈ
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௑，᠔˼ݙܣ
东教
东教
东教
˸ᮥ

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东
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社
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出版
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山东
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225
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2.（1） ᠔˼ႃᑨᡔ᣿ 5 Լ௑， ႁ׸ڤ更͖
ৼὙ
   （2） ᠔˼ႃᑨ࠶̆
 5 Լ௑， ˳׸ڤ更͖
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   （3） ᠔˼ 5 Լႃᑨ௑，ːࠒ׸ڤஆᠠᄱՏ. 
3. े
ᤰភ௑᫂
ᡔ᣿ 100 分᧿௑，ᤥ用ႁመˊ务合ካὙे
ᤰភ௑᫂
不ᡜ 100 分᧿௑，ᤥ用˳
መˊ务合ካ.
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
用
社
用˳
社
˳
山东教育出版社
 
226
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ
౽ಣࣲ̭
рߣདྷ཰ԩఌ௑ᫎ
˞  ˔థ. ݠ౧ඈథඋᝠѳܳ
དྷ  գ཰Ὂᥧ˦
ԩఌၹ཰঴᧚࠲ᡔ᣿  գὙݠ౧ඈథඋᝠѳ࠶དྷ  գ཰Ὂᥧ˦ԩఌၹ཰঴᧚
ˀᡜ  գ.  សಣᝠѳඈథདྷ཰ܳ
࠶գὝ
᝺សಣᝠѳඈథདྷ཰ x գὊಪ૶ᮥ
ਓὊ४
 
 
 
 
 
὆x!,!὇ǚ!Ὂ 
        
ŀ
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὆x!.!὇ǘ!. 
 
     
 Ł
ళᅼ஝ x Տ௑໘ᡜ ŀ Ł ː˔౎͈
.  ં
 ŀ Ł ː˔ˀ኎रՌښʷᡑὊࡃጸੇ
ʷ˔ʷЋʷ൓ˀ኎रጸὊᝮͻ
 
 
 
 
  
὆x!,!὇ǚ!Ὂ
὆x!.!὇ǘ!. 
              
     ὆*὇
ʷᓊڡὊТ̆
Տʷళᅼ஝ᄊї˔ʷЋʷ൓ˀ኎रՌښʷᡑὊࡃጸੇ
ʷ˔
ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ὆system of linear inequalities with one unknown὇. 
ਇʷਇ
Ϳᑟ࠽ត੽ѣኀՌʽ᭧ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ὆*὇ᄊళᅼ஝ᄊϙՙὝˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
. 
ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ˗Պ˔ˀ኎रᄊᝍᬷ
ᄊНСᦊѬὊԷϢᤈ˔ʷЋʷ൓ˀ
኎रጸᄊᝍᬷ
.  රˀ኎रጸᄊᝍᬷ
ᄊ᣿ሮὊԷϢᝍˀ኎रጸ. 

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
教ߦ目ಖ
1. ፃԋᤰ᣿Цʹ᫈
题ચ៶
出不等式组的᣿程. 
2. 理解一元一次不等式组
ԣХ解的ਓ义，初൦感ᅼѾ用
一元一次不等式解集的数ᣉ᛫
ᇨර不等式组的解和解集的方
ข. 
本ᓬ˟要ᆑቃ一元一次不
等式组的概ঐԣ一元一次不等
式组的解ข. 本ᓬС分 3 课௑. 
第 1 课௑，教科书ᯫЏᤰ
᣿“ԩఌ用཰”的ৱܒ，ᝨ学
生感受҂不等式组必ᮌՏ௑໘
ᡜː˔ੋܳ
˔不等式的要ර，̿ࣟ
Ұ学生ᮗ͘
不等式组的ե
义. ࠫ̆
不等式组的解与解集，
一方᭧要关ฌ与方程组解的प
Տ，Գ一方᭧要重᜽用一元一
次不等式解集的数ᣉ᛫ᇨර不
等式组的解与解集. 教科书෥有
ፌ出解不等式组的԰᝼，˟要
௧ᅌᅋ̆ࠫ
解不等式组的实质
理解，不ܙҫ学生的ᝮॺ᠇ઞ. 
ό1ύ学生ښᆑቃᤈ一Цʹ᫈
题௑，ᒭཀྵ感ᅼ҂要解х的᫈
题Տ௑໘ᡜː˔ጞౌ
౎件，Ꮻᤈː˔
ጞౌ
౎件ᦐ௧不等式. ᤈನळК不等式组උᣗᒭཀྵ. 
ᆑቃ不等式组一定要ጋࠛ
ᐏ系不等式，要ᝨ学生理解组ੇ
一元一次不等式组的ඈ一˔一元一次
不等式的ڡͯ
ᦐ要ᄱՏ. 
ਇʷਇ
学生可̿
ᤰ᣿ѵ᛫njႇ数ᣉ图等方ข，࠭
ර不等式组的解集. 要ᝨ学生ښЍ分̔ื
的基ᆩ上ʹ࠭͘
੽组ੇ
不等式组的Պ˔不等式的公С解的方ข. 
ό1ύ
山东教育出版社
版社
ԩఌၹ
社
ԩఌၹ
ˀᡜ
版社
ˀᡜ
社

方
版
方
一
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一元
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育出
一次
育出
次不
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不
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育
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育
一元
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元一
育出
一次
育出
次不
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教育
本ᓬС分3
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育
课
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课௑
东教
௑，
东教
，教
教
教科
教
科
ԩ
东
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东
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东教
用཰
东教
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东教
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山
感受
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山东
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不等
东
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
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版社
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գ཰Ὂᥧ˦ԩఌၹ
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教育
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山东
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
227
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Γ 1
要ᝨ学生ᝣគ҂юᆸnjྀ
ጷڡ解不等式௧解不等式组的
基ᆩ，Ꮻᤂ用数ᣉᆸ定不等式
组的解集（੽公Сᦊ分）௧关
᪄. ᝨ学生г次ʹ͘
数形ፇ合思
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6   一元一次不等式组

山东教育出版社
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山东教育出版社
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山东教育出版社

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228
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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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x .!y!>!a! ᄊᝍ xὊy ᦐ௧൤஝Ὂᥧ˦Ϳᑟරѣ a ᄊԩϙᔵڊՙὝ
4. ʷԼᜉᣒ఻ඈ࠵௑Իᜉᣒᆃந  t.  ʷ۷ᆃநᄊ᠏
᧚ښ   t ҂   t ˨ᫎ
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第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
   （3）2὚x὚3Ὑ
   （4）0὚x≤-1Ὑ
   （5）-
  5
3 ≤x≤0Ὑ
   （6）-4὚x὚1. 
2. 不等式组的解ᦐ௧组ੇ
ស不
等式组的ඈ一˔ 不等式的
解Ὑͮ
Ԧ᣿౏，ඈ一˔不等
式的解不一定௧Х组ੇ
的不
等式组的解. 
3. -2὚ a὚2. 
4. 36 h ҂ 44 h . 
ଢᇨ：᝺要用 x h ੦能装
߹，ಪ据题ਓ，४
1 800≤50x≤2 200 ੋ
Ꮸ 
50x≥1 800，
50x≤2 200.
第 2 课௑，教科书ᯫЏᤰ᣿“Ϣ一Ϣ”ಝᄬ，ᝨ学生̿
ᒭ˟ଊቃ与合ͻ̔ื
的方式ᤉ一൦感受
不等式组的解的ਓ义，ཀྵՑ̿
ЦʹΓ题̮
ፁ一元一次不等式组的解ข. ښ教学中，要ྲ
ѿฌਓ൤ᆸ
ර४不等式解集的重要性，̿
ԣ用数ᣉᆸ定不等式组解集的᣿程与ྀ
ጷ程ए，要有Ѝ分的௑ᫎ
ᝨ学
生理解nj᛫ᤘnj̔ื
用数ᣉᆸ定一元一次不等式组解集的᣿程与ፇ౧. 
山东教育出版社
版社
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山东教育出版社             山东教
山东教育出版社
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山东教育出版社
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东
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229
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ஔ学用书
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ڂ˞三角形任ਓː᣸˨和ܸ̆
第三᣸，任ਓː᣸˨ࣀ࠵̆
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3 + x὜7，
x - 3὚7.
 
解ᤈ˔不等式组，४ 4὚x὚10. 
ਫ਼̿
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໘ᡜ：4὚x὚10. 
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一̏
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௄解. ڂ൥教学௑
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山东教育出版社
0
社
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社
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版社
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版社
中，不等式可能
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出版
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社̏
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山东教育出版社
 
230
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
Γ 2njΓ 3
教学௑要ฌਓːག：①关
ฌ学生解不等式的ඵ平ὙŁᤂ
用数ᣉᆸ定不等式组的解集的
᣿程要ࡊ可能ᝨ学生ᒭࣂϢ. 
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1.（1）x὚-1Ὑ
   （2）x≥2.
山东教育出版社
版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山

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七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
231
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2. ʼ˔஝ Ὂ!.!aὊ!.!a ښ஝ᣉʽ̰
ࢻ҂ԿΚ൓ଆѵὊͿᑟᆸࠀ a ᄊԩϙᔵڊ
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ښʷᡑᝧ᝷ʷ˔ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ.  
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ᄊਫ਼దᝍ˞᭤᠇஝Ὑ
࠵Ө὘Х˗ʷ˔ˀ኎रᄊᝍᬷ
˞ x ļ!Ὑ
࠵Ѹ὘Х˗దʷ˔ˀ኎रښරᝍᄊ᣿ሮ˗ᭊ᜶ஈԫˀ኎ՂᄊவՔ.  
ឰͿតᅌиѣኀՌʽᤘ౎͈
ᄊˀ኎रጸὊࣳ
ᝍᤈ˔ˀ኎रጸ.  
Ą4. ࣃᅼˀ኎रጸ
x!.!a ǘ!Ὂ
x!.!b ǚ!
ᄊᝍᬷ
˞!.! ǘ!x ǘ!Ὂѷ὆a!,!὇὆b!.!὇ᄊϙ኎̆ܳ
࠶Ὕ
6   一元一次不等式组

4. -6. 
ଢᇨ：ႀ
2 x - a὚1，
x - 2b὜3
४
x὚a + 1
2
，
x὜3 + 2b.
 ڂХ解集˞ -1὚x὚1，ਫ਼̿
a + 1
2
 = 1，
3 + 2b὜= -1.
解४ a = 1，b = -2. 
2.（1）x὚2Ὑ
   （2）x὜3.
˸ᮥ

1. （1）x὚-10Ὑ
    （2）x὜3Ὑ
    （3）x὚-10Ὑ
    （4）x≥3
4 . 
2. a ὚-2. 
3. ᤈನ的不等式组ॢܳ
，ݠ
2x + 1≥1，
-3x + 24≥0，
Х解集˞ 
0≤x≤8. 
山东教育出版社
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版
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版
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版社

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山东教育
山东教育出版社
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出版社

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山东
1，ਫ਼
东
，ਫ਼
教
 
232
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
ϢʷϢ
本不等式组௧௄解的ৱ
ц，ᝨ学生明ᄇ，有的不等式
组௄解.
Γ 4
本题ᤌ用̀
不等式，实ᬅ
上߲
等Տ̆
一˔不等式组，ட
数解௧解集中的一ᦊ分.
山东教育出版社
版社
版社
Γ
山东
Γ 4
山东
 4
本
山
本题
山
题ᤌ
山
ᤌ߲
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等
山
等
山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
山东教育
教育
教育出版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
233
1. ݠ౧ˀ኎रጸ
x ǚ!aὊ
x! ǘ!b
௄ᝍὊᥧ˦ aὊb ᄊܸ
࠵Тጇ௧ _______ .
2. ᝍʾѵˀ኎रጸ὘
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3. රˀ኎र .! ļ! . x

 ǘ! ᄊட஝ᝍ.
ᬤ۶ጷ˸
˸ᮥ


ᅼគࢾڍ
1. ܍᛫὘
ˀ኎रጸ
  
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x!.! ?!Ὂ
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2. ᝍʾѵˀ኎रጸ὘
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3. ᝍʾѵˀ኎र὘
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 x!.! ǘ!Ὑ 
 
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 ļ! .!.x
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ᐏጇ઩ࣹ
4. ʷ˔ʼᝈॎʼ᣸ᄊ᫂
ए˞ʼ˔ᤌ፞
ᄊᒭཀྵ஝Ὂᔪևܸ᫂̆
  cm Ꮻ࠵̆
  cmὊ
රᤈ˔ʼᝈॎత᫂
᣸ᄊ᫂
.
Ą5. ݠ౧ʷЋʷ൓ˀ኎रጸ
x!.! Ľ!xὊ
x ļ!m
௄ᝍὊර m ᄊԩϙᔵڊ.
6   一元一次不等式组

ᬤ۶ጷ˸
1. a≥b.
2.（1）௄解Ὑ（2）௄解.
3. -2，-1，0，1，2.
˸ᮥ

1. -1὚ x὚2Ὑx὚-1Ὑx὜2Ὑ
    ௄解. 
2.（1）௄解Ὑ（2）௄解.
3.（1）8὚ x὚10Ὑ
   （2）25
6 ≤ x≤5.
4. ᝺త᫂
᣸˞ x c m ，ѷԳː᣸
分ѿ˞（x - 1）c m
nj（x - 
2）c m ，ಪ据题ਓ，४
    24὚x + x - 1 + x -2὚30.
    解४ 9὚ x὚11.
ڂ˞ x ௧ᒭཀྵ数，ਫ਼̿
త᫂
᣸˞ 10 c m .
5. 不等式组ӑ˞
x≥3，
x≤m，
ݠ౧
不等式组௄解，ѷ m὚3.
山东教育出版社
,
社
,
社


社

ǘ
社
ǘ
山东教育出版
出版
山东教育
教育
教育
山东
山东
山东教育
东教
东教
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教育
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教育
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教育
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山东
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山
ᝍʾѵˀ኎र
山

山

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山东教育出版社             山东教育
山东教育
山东
 山
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὇Ὂ
x x .Ľ. 
 x.x.
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版社
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ᄊᒭཀྵ஝
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出版
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育出
ˀ኎रጸ
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出版
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东教
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东教
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育出版社
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3
山东教育出版
不等式组௄解
教育出
不等式组௄解
 
234
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᅼគ੿ᑟ
ܭ˸ᮥ
ڀᮏˁনᏦ
. ˀ኎रదד̏
۳వভ᠏
Ὕ߲
ˁ኎रᄊ۳వভ᠏
ద̤
˦पՏὝ
. ᝍʷЋʷ൓ˀ኎र֗
ᝍʷЋʷ൓வሮద̤
˦पՏὝ
. ˡΓឭ௚ښ஝ᣉʽݠ͵᛫ᇨʷЋʷ൓ˀ኎र὆ጸ὇ᄊᝍᬷ
.  
. ឭʷឭᤂၹʷЋʷ൓ˀ኎रᝍхࠄᬅ᫈ᮥ
ᄊ۳వ᣿ሮ̿
ԣͿᄊॷ४ʹ͘
.  
. ˡΓឭ௚ʷЋʷ൓ˀ኎रnjʷ൓Ѧ஝njʷЋʷ൓வሮᄊᐏጇ.  
. ၹᤠे
ᄊவर೛ေవቦᄊᅼគὊࣳ
ˁՏͧ
ᤉᛡ̔ื
.  
1. ѵˀ኎र὆ጸ὇὘
὆὇x!,! ௧᠇஝Ὑ 
 
   ὆὇x ௧᭤᠇஝Ὑ
὆὇x ᄊ  φˁ  ᄊࣀ࠵̆
ᭆὙ    ὆὇a ᄊ  φˁ  ᄊࣀˀ࠵̆
 Ὂ˅ˀܸ̆
 . 
2. ښˀ኎र ax!,!bǚ ˗ὊaὊb ௧࣢஝Ὂ˅ aķ. े
 __________ ௑Ὂˀ኎रᄊᝍᬷ
௧ 
xǚ!.!b
a Ὑे
  __________ ௑Ὂˀ኎रᄊᝍᬷ
௧ x ǘ!.!b
a .  
3. ᝍʾѵˀ኎रὊࣳં߲̓
ᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
὆὇x!,! ǘ!.!Ὑ 
 
 
὆὇!.!x!,! ǘ!x!,!Ὑ
὆὇὆.!!,!x὇ǚ!὆x!,!὇Ὑ 
 
὆὇x
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὆὇ ,!x

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 ǚ!!.!
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4. ᝍʾѵˀ኎रጸὊࣳં߲̓
ᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
὆὇!.! ǘ!x!,!ǘὙ  
 
὆὇.! ǘ!!.!
 x ǘ!
 Ὑ
὆὇
x!,! ǚ!x ,!Ὂ
x .!ǘ!Ὑ
 
 
὆὇
x!,! ļ!Ὂ
x .!Ľ!.
5. ᝍʾѵˀ኎रጸ὘
὆὇
x .!

 . x ,!

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x!.! ǘ!὆x!,!὇Ὑ
    ὆὇
x!.! ǘ ὆x!.!὇Ὂ 

 !x ,!Ľ  .!
 !x.

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
ڀᮏˁনᏦ
᝺Ꮆ“ 回顾与思考”的˟
要ᄬ的௧：（1）ᤰ᣿一系ѵ的᫈
题ळ࠮学生঴ፇ೛理本ቦᅼ
គ，ં
ଧ和分ౢ
重ᬲག，Ψᤉ
学生ࠫ
本ቦᅼគ内ࠔ有更全᭧
的理解，Տ௑系ፒӑ回顾本ቦ
ᅼគ发生nj发࡙
的᣿程，ʹ͘
数学的基本思ਇ与方ข. （2）
ᤰ᣿回顾与思考，ଢᰴ学生঴
ፇnj概઺和Ԧ思的能ҧ，ሥግ
学习不等式的ፃᰎ. 
ᤰ᣿Ғ᭧的学习，学生ࣃ
ፃሥግ̀
与本ቦ内ࠔዝͫ
的回
顾与思考的ፃᰎ，ݠ一元一次
方程nj一次函数等内ࠔ的回顾
与思考. ڂ൥，教学௑应ᯫЏᴂ
ҵ学生࿘ቡ೛理本ቦ内ࠔ，形ੇ
一˔ᣗ˞߹ட的ᅼគʹ系. 教
师可̿
ଢҒ࣋
Ꮆͻˊ，ݠᝨ学
生̿
࠵组˞ӭͯ
回顾本ቦՊᓬ
的学习内ࠔԣ思ਇ方ข，思考
ᤈ̏
内ࠔ˨ᫎ
的ᐏ系，用适े
的方式೛理本ቦ的ᅼគᎪፏ，ࣳ
要ර̵̓
ૉ出本ቦ的学习重
གnjᬲགੋ
௜ᩲག，̿
ԣ重要
的思ਇ方ข. 不̩
ݠ൥，教师ᤇ可̿
ښ൥基ᆩ上，要ර学生ᦡᎶᄱ应的Γ题̿
ࢾڍᤈ̏
内ࠔ，ࣳࠫ
ᒭࣂᦡᎶ的ඈ᥋题ᄬ，ፌ出分ౢ
和解ን. 
课۶教学௑，教师可ᤥહ有̽
᛫性的学生ͻֶ
，要ර࠵组̽
᛫ᤉ行࡙
ᇨ，全ိ
师生СՏកᝬ. 
កᝬ௑应关ฌ：（1）ቦᅼគፇ౞图᝺ᝠ的ࡏ次௧աຍఁ，内ࠔ௧ա߹ட，௧աቊ出̀
核ॷᅼគ. 
（2）学习重གnjᬲགԣ௜ᩲགnj思ਇ方ข的ં
ଧ௧աюᆸ，题ᄬᤥԩ௧աЧ型nj解ን௧ա᜻ᔵእ
ฝ等. 要ྲ
ѿ关ฌ学生解一元一次不等式（组）௑出ᩲ的ಪູ
，᧫ࠫ
学生的ᩲឨ，一方᭧̰
解不等
式的基本Ԕ理出发ҫ̿
ळ࠮，Գ一方᭧要ጋጋΚ᭥数ᣉᤈ一直᜺ࢺЦࣟ
Ұ学生ᝣគᒭࣂ的ᩲឨ，ю
ᆸ᛫᣺一元一次不等式（组） 的解. （3）ښ复习一元一次不等式的应用௑，要ྲ
ѿ关ฌ学生௧ա
有与一次函数ੋ
一元一次方程ᤉ行ᐏ系的ਓគ，ฌਓळ࠮学生ં
函数nj方程nj不等式ᐏ系˞一˔ட
ʹҫ̿
ᝣគ，ʹ͘
ᅼគ˨ᫎ
的内ښᐏ系. 
山东教育出版社
版社
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出版
2）
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教育
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教育
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山
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山东
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山
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山东教育出版社             山东教育出版
山东教育出版社
山ᮥ
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版社
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山东
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山东
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ˀ኎रὊࣳં߲̓
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὆὇὆.,!
,!x὇ǚ
὆὇x,

 

὆὇x
4.4. ᝍ
ᝨ
社
ᝨ学
社
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社
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社
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社
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方
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方ข
版
ข，
版社
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版社
思考
版社
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出版
ᐏ系
出版
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出版
，用
版社
用适
版社
适े
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出
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出版
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出版
ᅼគ
出版
គᎪ
版
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育出
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育出
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教育
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教育
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东教
ᒭࣂᦡᎶ的
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东教
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山东教育出版社
教育
社

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Ľ!
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ǘ
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育出


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东教
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东教
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东教
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山东
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山东
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山
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山
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山
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235
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
下᭧௧一˔可Ι参考的本ቦᅼគፇ౞图. 
下᭧的Ч型Γ题Ι参考. 
Γ 一˔不等式的解集ݠ图ਫ਼ᇨ，ѷᤈ˔不等式的൤ட数解௧ ____________ . 
ᝍὉ不等式的解集˞ x < 3，஌Х൤ட数解˞ x = 1，2. 
Γ 解不等式：1 - 7x - 1
8
὜3x - 2
4
，ࣳࠫ
ඈ一൦ԫ形ҫ̿
ឭ明. 
ᝍὉ8 -（7x - 1）὜2（3x - 2）（ː᣸Տ˲ 8，不等号方Ք不ԫ），
        8 - 7x + 1὜6x - 4（ԝ઺号），
        -7x + 9὜6x - 4（合ࣳ
Տዝᮊ），
        -7x - 6x ὜-4 - 9（ረᮊ），
        -13x὜-13（合ࣳ
Տዝᮊ），
        x὚1（ː᣸Տᬔ̿
 -13，不等号ஈԫ方Ք）. 
Γ ౽׸ֶ
Ԕ价 50 元，ݠ౧ᬌ价 x% Ց̯
不Ͱ̆
 40 元，ᥧ˦ x 的ԩϙᔵڊ˞_____. 
ᝍὉಪ据题ਓ，४ 50（1 - x%）≥40. 解४ x≤20. 
ԡڂ˞ x὜0，ਫ਼̿
 0὚x≤20. 
Γ ࣃᅼ三角形三᣸᫂
分ѿ˞ 3，1 - 2a，8，តර a 的ԩϙᔵڊ. 
ᝍὉಪ据题ਓ，४ 8 - 3὚1- 2a὚8 + 3. 
解४ -5὚a ὚-2. 
Γ ݠ౧ 2m，m，1 - m ᤈ三˔实数ښ数ᣉ上ਫ਼ࠫ
应的ག̰
ࢻ҂ԿΚ次ଆѵ，ᥧ˦ m
-1       0        1        2       
 3        4
山东教育出版社
教育出
东教
东教
东教
东教育出版
育出版
育出
育出
育出版
出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
教育
教育
东教
东教
山东
山东
  山
  山东教
山东
山东
版社
版社
出版
出版
出版
出版
出版
ਫ਼ᇨ，ѷᤈ˔
 
ਫ਼ᇨ，ѷᤈ˔
集˞
版社
集˞ x < 
版社
x < 3
社
3，஌
社
，஌
等式：
出版
等式：1
版社
1 -
版
-
版
7
版社
7x 
版社
x 
-（
育出
-（7
育出
7x
育出
x -
出
- 1
出版
1）὜
出版
）὜
育
8
育
8 -
育
- 7
育出
7x +
育出
x + 1
出
1὜
出
὜
教育
-
教育
-7
教育
7x +
育
x + 9
育
9
东教
-
教
-7
教育
7x
育
x
东教
社
 
社
-1   
1   
山东教育出版社
），
育
），
）
山
）. 
山
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Ͱ̆
山
Ͱ̆
40
山
40 元
山
元
236
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
的ԩϙᔵڊ௧（ ） . 
ᝍὉಪ据题ਓ，४ 2m὚m὚ 1 - m. 
解४ m὚ 0，
m὚1
2 . 
ਫ਼̿
 m 的ԩϙᔵڊ௧ m὚0.
ܭ˸ᮥ
1.（1）x + 1὚0Ὑ 
（2）x
2≥0Ὑ 
 （3）2 x - 3὚ 0Ὑ 
 （4）10≤5a - 3≤20.
2. a὜0，a὚0. 
3.（1）x ὚-2Ὑ 
（2）x ὜-1 
 （3）x ὚-12Ὑ 
 （4）x≥4Ὑ
   （5）x≤- 2Ὑ 
（6）x὜6Ὑ 
 （7）x ὚- 2Ὑ 
 （8）x ὜- 7
16. 
    数ᣉ᛫ᇨ႕.  
4.（1）-3὚x ὚5
2 Ὑ 
（2）2὚ x὚15  （3）x ὚-1Ὑ 
 （4）௄解. 
5.（1）-1≤x὚2Ὑ 
（2）x≥-1. 
山东教育出版社
（
出版
（2
出版
2）
出版
）x
版
x
2
版
2≥
版
≥
教
2
教育
2Ὑ
教育
Ὑ
x
东教
x≤
东教
≤-
教
- 2
教育
2Ὑ
教育
Ὑ
数ᣉ᛫ᇨ႕
东教
数ᣉ᛫ᇨ႕
4
山
4.
山
.（
山东
（1
山东
1）-
山东
）-3
东
3
5
山
5 （
山
（
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
（
教
（4
教育
4）
教育
）10
教育
10≤
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≤5
育
5a
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a
（
东教
（4
教
4）
教
）
2
山
2Ὑ
山
Ὑ
（3）x x ὚-
὚-1
山东教育出版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
237
6. ࣃᅼѦ஝ y >!x!,!. 
὆὇े
 x ԩ͵ϙ௑Ὂy ǚ!Ὕ 
 
὆὇े
 x ԩ͵ϙ௑Ὂy!>!Ὕ
὆὇े
 x ԩ͵ϙ௑Ὂy ǘ!Ὕ
7. රˀ኎र ὆x!.!὇ļ!!,!x ᄊ൤ட஝ᝍ. 
8. Ѽல൤ឨ὘
὆὇ႀ a ǚ Ὂ४ a ǚ 
 Ὑ 
 
 
 
 
 
   ὆  ὇
὆὇ႀ !.!a ǘ Ὂ४  ǘ aὙ 
 
 
 
 
 
   ὆  ὇
὆὇ႀ a ǘ bὊ४ a ǘ bὙ 
 
 
 
 
 
   ὆  ὇
὆὇ႀ a ǚ bὊ४ a!,!m ǚ b!,!mὙ 
 
 
 
 
   ὆  ὇
὆὇ႀ a ǚ bὊ४!.!a ǚ!.!bὙ  
 
 
 
 
   ὆  ὇
὆὇ႀ!.!
 ǚ !.!Ὂ४!.!a
 ǚ!.!a.  
 
 
 
 
   ὆  ὇
9. aὊb ː˔ࠄ஝ښ஝ᣉʽᄊࠫ
ऄགݠڏਫ਼ᇨ὘
஝ߦေᝍ
b                                               a
὆ኄ  ᮥ
὇᫈ᮥ
ᝍх
11. ఋϜరᫎ
ὊːՐࠒ᫂
ᝠѳࣜ
ᮗᔪࣰ
Րߦၷԝ஻຤Ὂ̵̓
ᐏጇ̀
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  Ћ
ᄊːࠒ஻ᛡᇫ.  ፃө׸Ὂႁ஻ᛡᇫᄊ͖
ৼ౎͈
௧὘ːՐࠒ᫂
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ৼ౎͈
௧὘ࠒ᫂
njߦၷᦐોМઉஆᠠ. Ϝ᝺ᤈːͯ
ࠒ᫂ࣜ
ᮗ x Րߦၷԝ஻຤Ὂ̵̓
ᤥહדࠒ஻ᛡᇫఞ͖
ৼὝ
12. ౽ܸ
یᡔ̰࣊
ၷ̗
۳ڡ᠔ᤉʷ੻ඵ౧Ὂᤂᣥ᣿ሮ˗᠏
᧚૯ܿ
 ὊϜ᝺ˀᝠᡔ࣊
Х̵
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 ၹþǘÿੋ
þǚÿ܍ቇ὘
὆὇a _____ bὙ 
 
 
὆὇}!a }!_____ }!b }Ὑ
὆὇a!,!b _____ Ὑ 
 
 
὆὇a!.!b _____ Ὑ
὆὇a!,!b _____ a!.!bὙ  
 
὆὇ab _____ a. 
Ą10. ݠ౧ˀ኎रጸ
x!,! ǘ!x .!Ὂ
x ǚ!m
ᄊᝍᬷ
௧ x ǚ!Ὂᥧ˦ m ᄊԩϙᔵڊ௧὆  ὇. 
὆A὇m Ľ! 
 ὆B὇m ļ!    ὆C὇m!>! 
 ὆D὇m ǘ!
复习题

6.（1）x ὜- 5
3 Ὑ
   （2）x = - 5
3 Ὑ
   （3）x ὚- 5
3 . 
7. x = 1，2，3，，12. 
8.（1）ĥὙ 
（2）ĥὙ
   （3）ĥὙ 
（4）ĥὙ
   （5）×Ὑ 
（6）×.
9.（1）὜Ὑ 
（2）὚Ὑ
   （3）὚Ὑ 
（4）὜Ὑ
   （5）὚Ὑ 
（6）὚. 
10. B . 
11.  े
Զ有 4 Ր学生௑，ႁnj˳ːࠒ஻行社ஆᠠ一ನ，ᤥહ哪一ࠒᦐ可̿
Ὑेܳ̆
 4 Ր学生௑，ᤥ
હႁ஻行社Ὑे
࠶̆
 4 Ր学生௑，ᤥહ˳஻行社. 
ଢᇨ：᝺ႁ஻行社ஆᠠ y1 元，˳஻行社ஆᠠ y2 元，ಪ据题ਓ，४
y1 = 500
 ×
 2 +（500
 ×
 70
100）x，ԁ
y1 = 350 x + 1 000Ὑ
y2 =（500
 ×
 80
100）·（x + 2），ԁ
y2 = 400x + 800. 
山东教育出版社
版社
版社
版
出版
.
育
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教育
教育
教育ੋ
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东教
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山东
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山
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山东
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东


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山
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山东教育
山东教育出版社ࣰ
Րߦၷԝ஻຤Ὂ̵
社 ࣰ
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版社
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版社
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۳ڡ᠔ᤉʷ੻ඵ౧
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9.
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3）
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东
10े
Զ有
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Զ有4
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教育
Ր学生
હႁ஻行社
东教
હႁ஻行社
ଢᇨ：᝺
山东教
ଢᇨ：᝺
y
山
y1
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一ࠒᦐ可̿
Ὑ
东教
一ࠒᦐ可̿
Ὑ
ಪ据题ਓ，४
山东
ಪ据题ਓ，४
 
238
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
὆὇ݠ౧ᡔ࣊
ښᤉ͉
ᄊ۳ᆩʽଢᰴ 
ͻ˞׬͉
Ὂᥧ˦ឰͿᤰ᣿ᝠካឭ௚ᡔ࣊
௧
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὆὇ݠ౧ᡔ࣊
ᒰ࠶᜶ᖍ४ 
ᄊѾ๧Ὂᥧ˦ᤈመඵ౧ᄊ׬͉
తͰऄଢᰴᄈѬ˨
їὝ὆ፇ౧ድᆸ҂ .὇
13. ࣃᅼТ̆
 x ᄊவሮ x!,!a!>!x!.! ᄊಪ௧൤஝Ὂරࠄ஝ a ᄊԩϙᔵڊ. 
14. ౽ࢺԈ᜶રᐐ AὊB ː˔ࢺመᄊࢺ̡
  ̡
ὊAὊB ː˔ࢺመᄊࢺ̡
ᄊథࢺᠫѬѿ
˞   Ћ֗
   Ћ.  ဘ᜶ර B ࢺመᄊ̡
஝ˀ࠶̆
 A ࢺመ̡
஝ᄊ  φὊᥧ˦ર
ᐐ A ࢺመࢺ̡ܳ
࠶̡
௑ὊԻΎඈథਫ̷਼
ᄊࢺᠫత࠶Ὕ
ᐏጇ઩ࣹ
15.὆὇ၹþǚÿþǘÿੋ
þ!>!ÿ܍ቇ὘
 
   !,! _______ ġġὙ
 
   !,! _______ ġġὙ
 
  ὆.!὇!,! _______ ġ὆.!὇ġὙ
 
  ὆.!὇!,὆.!὇ _______ ġ὆.!὇ġ὆.!὇. 
὆὇᜺ࠣ̿
ʽՊरὊͿԧဘ߲̓
ద̤
˦᜻॥ՙὝͿᑟၹʷ˔եదߚඇ aὊb ᄊर
ߕ᛫ᇨʽᤘ᜻॥ՙὝг૱ї˔஝តʷត. 
Ą὆὇ᤂၹͿਫ਼ߦᄊᅼគឭ௚Ϳԧဘᄊ᜻॥ᄊ൤ᆸভ.

第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
12.（1）᝺ᡔ市᠔ᤉᤈ੻ඵ౧
的঴᧚˞ p k g ，ඈ千Бᤉ
价˞ q 元，ѷతጼᩙ
׬ᮩ
˞
p（1 - 5 %）·q（1 + 5%）
= pqό1 -（5%）
2ύ（元）. 
ڂ˞ pqό1 -（5%）
2ύ὚ 
pq，ਫ਼̿
ᡔ市̇
本. 
    （2）᝺ඵ౧的׬价应ଢᰴ
x%，ಪ据题ਓ，४
p（1 - 5%）·q（1 + x %）
≥pq（1 + 20%）. 
解४ x≥26.4. 
ฌਓ：第（2）题ښԩᤃͫ
数௑应᧔用ஆࡋข，ԁಪ
据ድᆸए的要ර，ԝ଀ܳ
͸ᦊ分的数字Ց，ښδ႑
ᦊ分的తՑ一ͯ
数上ҫ 1. 
13. a ὚-7. 
ଢᇨ：解方程 3x + a = x - 7，४ x = -a - 7
2
. 
ಪ据题ਓ，४ -a - 7
2
὜ 0. 
14. े
રᐐ A ࢺመࢺ̡
 50 ̡
௑，可Ύඈ月ਫ̷਼
ࢺ资త࠶. 
ଢᇨ：᝺રᐐ A ࢺመࢺ̡
 x ̡
，ѷરᐐ B ࢺመࢺ̡
（150 - x）̡
，ಪ据题ਓ，४150 - x≥2x. 
15.（1）὜，=，὜，=Ὑ
     （2）任ਓː˔数的平方和ܸ̆ੋ
等̆
ᤈː˔数˲ሥ的 2 φ，ԁ a
2 + b
2≥2abὙ
     （3）ڂ˞（a - b）
2≥0，ԁ a
2 + b
2 - 2ab≥0，ਫ਼̿
 a
2 + b
2≥2ab. 
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版社
版社
版社
版社
ᐏጇ
社
ᐏጇ
价
出
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出
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出版
ଢᰴ
出版
ᰴ
४
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४
·
育
·q
教育
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育
（1
育
1 + 
育出
+ x
育出
x %
出
%
+
教
+ 20
教育
20%
教育
%）
教育
）.
育
.
४
东
४ x
东
 x≥
东教
≥26
东教
26.
东教
.4
教
4.
教
.
ฌ
东
ฌਓ
东
ਓ：
东
：第
东教
第（
东教
（2
教
2
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山东
数௑
山东
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山东
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东
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山
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山
ድᆸ
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山
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山东教育出版社             山东教育出版社
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山̡
ᄊథࢺᠫ
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஝ᄊ
版社
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版社
φὊᥧ˦
社
Ὂᥧ˦

教
὇
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὇ġ
教
ġ
教
Ὑ
教
Ὑ
___
东
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东教
ġ
东教
ġ὆
东教
὆.
东教
.
东教
὇
教
὇ġ
教
ġ὆
教
὆
ԧဘ߲̓
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˦᜻
东教
ԧဘ߲̓
ద̤
˦᜻
॥ՙὝг૱ї˔஝ត
山东
॥ՙὝг૱ї˔஝ត
ߦᄊᅼគឭ௚Ϳԧဘ
山东
ߦᄊᅼគឭ௚Ϳԧဘ
. a 
教
. a ὚-
教育
὚-7
教育
7.
教育
.
ଢᇨ：
东教
ଢᇨ：
ಪ
东
ಪ
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教育
239
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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      កౢ
὘ᯫᦐ师ᔵܸ
学 ဍ၌᭕
ʷnj教ߦ目ಖ
1. 理解一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数的关系，ଂଧ用函数的᜺གᄺ方程
与不等式的方ข. 
2. 能用ႇ函数图៶的方ข解᧖一元一次方程的解与一元一次不等式解集. 
3. ښ数学活ү中，初൦थቡ函数与方程的ᐏ系，Ϣ҂“үॷ”Ὑ能ࠫ
ਫ਼发ဘ的数学ፇ
᝷ͻ出合理解᧖，Ϣ҂“үᑨ”ὙѾ用函数᜺ག൤ᆸ解᧖̽
数᫈
题的ї͵ᑀఀ
，Ϣ҂“ү
੤”Ὑ感ᅼ数形ፇ合的思ਇ，发࡙
ચ៶思፥，Ϣ҂“үৱ”. 
4. ̰
不Տ角ए࠭
ර解х᫈
题的方ข，࠽តក价不Տ方ข˨ᫎ
的ࣀप. 
5. ښ࿘ቡ思考的基ᆩ上，஘̆
发᛫ᒭࣂ的᜺ག，࠴重与理解̵̡
的᜹解，能̰̔ื
中
ᖍᄞ. ̄
nj教ߦ᧘ག֗
ᬲག
教学重ག：一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数˨ᫎ
的内ښᐏ系. 
教学ᬲག：用函数᜺གᄺ一元一次方程与一元一次不等式. 
ʼnj教ߦ᣿ሮ
1. ଊጊழᅼ
活ү内ࠔ：ଊቃ一次函数与一元一次方程nj一元一次不
等式˨ᫎ
的关系. 
活ү᣿程：教师ଢ出᫈
题，学生思考ͻን. ᫈
题：ႀ y = 2x - 5 ਇ҂̤̀
˦Ὕ
图៶与 x ᣉ̔
ག（ 5
2 ，0）的ਓ义௧̤
˦Ὕ
͵௑ 2x - 5 = 0Ὕ͵௑ 2x - 5 > 0Ὕ͵௑ 2x - 5 < 0Ὕ
教师೛理学生ንವ，ࣳ
ፇ合ᤈ一ЦʹΓߕຖᤩ一次函数
与一元一次方程nj一元一次不等式的关系. 
活үᄬ的：̰
学生ྀ
৙的᫈
题К੤，༏活学生ࣃ有ᅼគ，थቡ不等式nj方程与函数˨ᫎ
的ᐏ系. 
4
3
2
1
-1
-2
-3
-5
-4
-1
4
3
2
1
 y = 2x - 5
（ 2.5，0）
山东教育出版社
ᯫᦐ师
社
ᯫᦐ师
不
出
不等
出
等式
出版
式nj
出版
nj一
版
一元
版
元
函数图៶的方ข
育出
函数图៶的方ข
数
教
数学
教
学活
教育
活ү
教育
ү中
教育
中，
育
，初
育
初
合
东
合理
东教
理解
东教
解᧖
教育
᧖，
教
，Ϣ
教育
Ϣ
Ὑ感ᅼ数形ፇ
东教
Ὑ感ᅼ数形ፇ
4
山东
4. 
山东
. ̰
不Տ
山东̰
不Տ
5
山
5.
山
. ښ
山
ښ
ᄞ
山
ᄞ
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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ଧ
教育
ଧ用
教育
用函
教育
函数
育出
数的
育出
的᜺
育出
᜺
一次不等式解集
东教
一次不等式解集
҂
山
҂“
东
“ү
山东
үॷ
东教
ॷ”
东教
”Ὑ
东
Ὑ
解
山
解᧖
山
᧖̽
山东̽
数
山东
数᫈
东᫈
题
东
题
҂“үৱ”
山
҂“үৱ”. 
山
. 
ក价不Տ方ข
山
ក价不Տ方ข
ࣂ的᜺ག，࠴
不等式nj一元一
社  
不等式nj一元一
᜺གᄺ一元一
社  
᜺གᄺ一元一
ழᅼ
出
ழᅼ
ү
育
ү内
育
内ࠔ
育出
ࠔ：
育出
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式˨ᫎ
的关系
教育
式˨ᫎ
的关系
活ү᣿程
东教育
活ү᣿程᫈
题
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题
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育出
育出
4
教育
4
3
教育
3
240
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
活ү内ࠔ：ᤉ一൦ፇ合 y = -2x - 5 ଊቃ一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数的
关系. 
活ү᣿程：教师ଢ出᫈
题，学生思考̔ื
. ᫈
题：ݠ౧ y = -2 x - 5，ᥧ˦े
 x ԩ͵ϙ௑，y὚0Ὕे
 x ԩ͵ϙ௑，y > 0ὝͿ௧টನ
ර解的Ὕ与Տͧ̔ื
. 
学生࿘ቡ࠽ត解х᫈
题，ፙᏫᝧ᝷̔ื
. 
活үᄬ的：ፃԋ̰
一次函数҂一元一次不等式的ԫӑ᣿程. 
活ү内ࠔ：ଢ出新的᫈
题. 
活ү᣿程：ࠫ̆
 y = -2x - 5，͵௑ y = 1ὝͿ可̿
用ܳ
መ方ข解᧖ᤈ˔᫈
题ՙὝ͵௑ y 
>1Ὕ͵௑ y < 1Ὕ与Տͧ̔ื
. 
活үᄬ的：ᝨ学生感受҂一次函数与一元一次方程˨ᫎ
ښ“数”与“形”ː˔方᭧的
关系，ᤉ一൦ᝣគ一次函数与一元一次方程˨ᫎ
的关系. ᤂ用̰ྲ
൴҂一ᓊ的思ਇ方ข，۲
Щ学生ଊቃ᫈
题的能ҧ. 
2. ˡ一Ԧ三
活ү内ࠔ：ឰ学生̿
࠵组˞ӭͯ
，ᒭࣂଢ出一组᫈
题，ᒭࣂᤉ行解ን. 
活ү᣿程：̿
࠵组˞ӭͯ
，ː˔学生合ͻ᝺Ꮆ一次方程ੋ
一次不等式，ࣳ
ଢ出᫈
题，
Х̵
学生੽҂ࠫ
应的一次函数，ႇ出图៶解х᫈
题. 
学生࿘ቡ思考Ց，̿
࠵组˞ӭͯ̔ื
ଊጊ，集ʹ解х᫈
题. 学生ˡ出Цʹ的一元一次方
程的Γߕ，师生СՏଊቃ߲̓
௧ա可̰̿
函数的᜺གҫ̿
ᆑቃ. 教师可᧔用ї͵ႇ౜ႇ函数
图៶ᤉ行ᰎ证. 
学生ښᝧ᝷中᛫ဘ४ӡ分活ᡤ，᝺ᝠ的方程ੋ
不等式ᦐॢ
有̽
᛫性，有不࠶可̿
用ܳ
መ方式ҫ̿
理解. ݠ解不等式 2x - 4≥0，௅可̿
ႇ出一次函数 y = 2x - 4 的图៶，˷可̿
ώ
Ұ一次函数 y = 2x 与直线 y = 4 的̔
ག౏ᆑቃ. ॆ
ጪᤈ̏
解ข，分ѿ̰
“数”与“形”ː方
᭧४出ᄱՏ的ፇ౧. 
活үᄬ的：̿
ӧ开ஊ性任务的形式ᝨ不Տࡏ次的学生ᦐ可̿
ᖍ४ࠫ
数学思ਇ的理解，
࠵组合ͻ的᣿程可̿
ܙᤉ学生的̔ื
能ҧ和өͻ能ҧ，ࠫ
༏发学生的学习ሥౝ性有௭ᗃ஍
౧. 
3. ॆ
ጪழᅼ
活ү内ࠔ：ॆ
ጪ一次函数 y = kx + b 与一元一次方程 kx + b = 0（k，b ˞࣢数，k ķ 
0）ԣ一元一次不等式 k + b὜0（k，b ˞࣢数，k ķ 0）˨ᫎ
的关系. 
活ү᣿程：ښҒ᭧ї˔ဗᓬ的基ᆩ上，࠲ї˔᫈
题ଊቃ४҂的ፇ᝷଎ࣹ
˞一ᓊ性ፇ᝷. 
解方程 kx + b = 0（不ݱ᝺ k ˞൤
数），˷ࡃ௧රे
 x ˞͵ϙ௑函
数 y = kx + b 的ϙ˞ 0
ᆸ定直线 y = kx + b 与 x ᣉ̔
ག的
ഷگಖ x0，ᤈ௑不等式 kx + b὜0 
的解集˞x὜x0
山东教育出版社
ፙᏫᝧ᝷
社
ፙᏫᝧ᝷
函数҂一元一
版社
函数҂一元一
的᫈
题
版社
的᫈
题.
版社
.̆
出̆
y 
出
y = 
出版
= -
出版
-2
出版
2x 
出版
x -
版
- 5
版
5
与Տͧ̔ื
育出
与Տͧ̔ื
的
育
的：
育
：ᝨ
育
ᝨ学
育出
学生
育出
生感
育出
感
ᤉ一൦ᝣគ一次
教育
ᤉ一൦ᝣគ一次
生ଊቃ᫈
题的
东教
生ଊቃ᫈
题的
2.
山东
2. ˡ一Ԧ
东教
ˡ一Ԧ
活ү
山东
活ү
活
山
活
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
௧টನ
社
௧টನ
ข解᧖ᤈ˔᫈
题
教育
ข解᧖ᤈ˔᫈
题ᫎ
东ᫎ
ښ
东教
ښ“
东教
“数
东教
数”
教
”与
教
与
系
山
系.
山
. ᤂ用̰ྲ
൴
山东教
ᤂ用̰ྲ
൴
ࣂଢ出一组᫈
 
ࣂଢ出一组᫈
学生合ͻ᝺
 
᝺Ꮆ
出图៶解х᫈
 
出图៶解х᫈
˞ӭͯ̔ื
ଊ
 
˞ӭͯ̔ื
ଊ߲̓
௧ա可̰̿
 ߲̓
௧ա可̰̿
᛫
版
᛫ဘ
版社
ဘ४
版社
४ӡ
版社
ӡ分
社
分活
社
活
解
版
解.
版
. ݠ解不等式
版社
ݠ解不等式
y
出
y =
出
= 2
出版
2x
出版
x 与直线
出版
与直线
ᄱՏ的ፇ౧
育出版
ᄱՏ的ፇ౧. 
出
. 
活
育
活ү
育
үᄬ
育出
ᄬ的
育出
的：
育出
：̿
出̿
࠵
教
࠵组
教
组合
教育
合ͻ
教育
ͻ的
育
的᣿
育
᣿
౧
东教
౧.
东教
.
3
教
3
山东教育出版社
ႇ函数
社
ႇ函数
有
版
有不
版
不࠶
版社
࠶可
版社
可̿
版社̿
用
社
用ܳ
社ܳ
的图៶，˷可
出版
的图៶，˷可̰
“数”与“形
育出版̰
“数”与“形
可
教
可̿
教育̿
ᖍ
教育
ᖍ४
教育
४ࠫ
育ࠫ
数
育
数
༏
东教
༏发
东教
发学
东教育
学生
教育
生的
教育
的学
育
学
一
山
一次
山
次方
山
方程
山
程
）
山
）
241
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
活үᄬ的：ଫᇨ函数ਫ਼Ц有的一ᓊ性，ʹ͘
函数ࠫ
方程和不等式的ፒᮗͻ用. 
4. ऄ用ࢾڍ
活ү内ࠔ：
1. 用图៶解х᫈
题
Ќषλᠿᡫ，׎׎Џᝨषषᡫ 9 m ，ཀྵՑᒭࣂ੦开ݽᡫ. ࣃᅼषषඈሚᡫ 3 m ，׎׎ඈ
ሚᡫ 4 m . ឰಪ据ࣃᅼ౎件ѵ出函数关系式，ႇ出函数图៶，᜺ࠣ
图៶回ን下ѵ᫈
题：
（1）͵௑׎׎ᤝ上षषὝ
（2）͵௑षषᡫښ׎׎Ғ᭧Ὕ
（3）͵௑׎׎ᡫښषषҒ᭧Ὕ
（4）ឺ
Џᡫ᣿ 20 m Ὕឺ
Џᡫ᣿ 100 m Ὕ
（5）Ϳᤇ能ଢ出Х̵᫈
题ՙὝ与Տͧ̔ื
. 
活ү᣿程：նဘ᫈
题，教师ଢ᫈
，౜໦用一元一次方程解х的解题᣿程. թ发学生用
函数方ข౏解хᤈ˔᫈
题，学生ښ学ವ上ͻን. 
活үᄬ的：ښ᫈
题解х᣿程中，教师要ᡑ҂ळ࠮ͻ用，适௑ૉ出学生ଊቃ᣿程中ߛښ
的᫈
题，ࠫܳ
ನ的解ข要Ѝ分ᴂҵ，ࣳ
ळ࠮学生用图៶分ౢ᫈
题. 学生ࠫ
第（5）题可̿
ଢ
出ॢ
˘ࠝ
的ਇข，课۶上要ᤰ᣿师生̔ื
nj生生̔ื
ҫງࠫ
Պመ方ข的理解. 
2. ጷ习：ࣃᅼ不等式 ax + b < 0 的解集௧ x < -2，下ѵ哪˔图៶有可能௧直线 y = ax + 
bὝ
（1）
（2）
（3）
（4）
-2
-2
y
x
O
-2
y
x
O
-2
y
x
O
-2
y
x
O
5. ࠵ፇ
ᤰ᣿ᤈᓬ课的学习，Ϳࠫ
一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数的关系有̤̀
˦
新的̀
解Ὕ
6. ࣋
Ꮆ作ˊ
႕. 
پnjವΓកౢ
本课௧一元一次不等式与一次函数关系的第 1 课௑，教科书中安ଆ̀᫈
题ৱܒnjਇ一
ਇ和Ϣ一Ϣ，张Ꮵ师࠲త开ݽ学生ଊቃ一元一次方程nj一元一次不等式与一次函数的关系
山东教育出版社
9
社
9 m
社
m
函数关系式
社
函数关系式
षὝ
版
षὝ
ښ׎׎Ғ᭧Ὕ
出版社
ښ׎׎Ғ᭧Ὕ
ᡫښषषҒ᭧
出版
ᡫښषषҒ᭧
ᡫ᣿
育
ᡫ᣿20
育出
20 m
育出
m Ὕឺ
育出
Ὕឺ
Ϳᤇ能ଢ出Х̵
教育
Ϳᤇ能ଢ出Х̵
ү᣿
教
᣿程
教
程：
教
：ն
教育
նဘ
教育
ဘ᫈
育᫈
方ข౏解хᤈ
东教
方ข౏解хᤈ
活
山东
活ү
山东
үᄬ
东
ᄬ的
东
的
的
山
的᫈
山东᫈
题
山东
题，
山
，ࠫ
东ࠫ
出ॢ
˘
山
出ॢ
˘
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
m
版
m ，׎׎ඈ
版社
，׎׎ඈ
ѵ᫈
题：
出版
ѵ᫈
题：
次
山
次方
山东
方程
山东
程解
山东
解х
东
х的
东
的
҂ळ࠮
山
࠮ͻ
山
ͻ用
山
用
࠮学生用图៶分ื
nj生生̔ื
 ื
nj生生̔ื
的解集௧
的解集௧x <
（
教育
（1
教育
1）
育
）
版
育
版
育出
x
版
x
版社
版社 
版社
y
社
y
5. 
东教
5. ࠵ፇ
教
࠵ፇ
ᤰ
东教
ᤰ
新的
东
新的
山东教育出版社
出版
出版
出版
出版社
出版
出版
出版社
版
出版
-
出
-2
出
2
O
出版
O
元
山
元一
山东
一次
山东
次方
山东
方程
东
程与
东
与
242
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᦊ分Ѝ分ஊܸ
，ፌ学生ᡜܵ
的ቇᫎ
思考和分ౢ᫈
题. ੈ̓
可̿
ࡃ൥内ࠔͻ一̏
ଊᝧ. 
1. 一元一次方程nj一元一次不等式与一次函数的关系ښ数与̽
数ᮗ۫
中ܫ̤̆
˦ನ的
ڡͯ
Ὕ
函数nj方程nj不等式ᦐ௧҉ႇဘ实ˇႍ
中᧚与᧚˨ᫎ
关系的重要模型，߲̓
可̰̿
数
与形等不Տ角ए解᧖事ྭ
发࡙
ԫӑ的᜻॥. ̰
டʹ上ᝣគ不等式，感受函数nj方程nj不等式
的ͻ用ࠫ
学生ښ数与̽
数ᦊ分的学习有重要ਓ义. 
ښ学习̀
一元一次方程nj二元一次方程组nj一次函数˨Ց，本ቦԡ学习̀
一元一次不
等式，学生ࠫ
ᤈ̏̿
线性ᤂካ˞基ᆩ的数学模型有̀
ᣗ˞߹ட的ᝣគ，̵̓
有ᡜܵ
的ᅼគ
ϲܬ和ᝣᅼ能ҧ౏ଊᝧᤈ̏
模型˨ᫎ
的关系. ൥ᦊ分内ࠔ的ܫ理，更ܳ
的௧ᚸ合数与形˨ᫎ
的ᐏ系，෥有必要ښ方程nj不等式的数᧚ੋ
形式上᝺Ꮆ᣿ܳ
的ᬲए. 用图៶ขර一元一次不
等式的解集的᫈
题，更ܳ
的关ฌག不ښ̆
解௧̤
˦，重要的௧ᝨ学生ᝣគ҂一次函数图៶
与 x ᣉ̔
ག的ਓ义，ʹ͘
模型ᣁӑ的᣿程. थᝬ教师ښ教学中᝺Ꮆ᠛ᤃ学生生活的实Γ，̿
Χࣟ
Ұ学生੽҂᫈
题的ቊᆡ԰，थቡ合理的数学模型，理解函数图៶̔
ག的实ᬅਓ义，͖
ᤥ方ข解х᫈
题. 
2. 一元一次方程nj一元一次不等式与一次函数的关系ࠫ̆
学生౏ᝯᬲښ哪᧗Ὕ
ᤰ᣿函数图៶੽҂ࠫ
应方程的解njࠫ
应不等式的解集，ᤈࠫ
学生౏ឭ不ߛښॢܸ
ڈᬲ. 
ᤈᦊ分内ࠔతܸ
的ᬲགښ̆
学生能աባښ一定的ᰴएᝣគ一元一次方程nj一元一次不等式
与一次函数˨ᫎ
的ᐏ系，̰
டʹ上ᝣគ᫈
题的本质. थᝬ教师ښ教学中ᯫЏ̰
理解一次函数
图៶与 x ᣉ̔
ག的ਓ义К੤，不ல生ੇࠫ̆
 x ᣉ上方ᦊ分njx ᣉ下方ᦊ分ਓ义的ᝣគ，ࢾ
ڍ̀
ᤈᦊ分的理解˨Ցгᤉ一൦ᝧ᝷图៶与直线 y = 1 ᄱ̔
的᫈
题. 教师ਫ਼ˡᇨΓ可̿
ᥖ॰
Џྲ
൴ӑnjእӭӑ，г一ᓊӑnj复ా
ӑ的方式，ᤪ൦ງКҫ̿ॆ
ጪ. 
3. 本ᓬ课的教学̝
གࠫ̆
数与̽
数ᮗ۫
的ᄱ关内ࠔ有͵ώ᧝Ὕ
第二˔活ү“ˡ一Ԧ三”௧本ᓬ课᝺ᝠ的̝
ག˨一. ښ全ိ
一ᡑᆑቃ̀
 y = 2 x - 5 与 y 
= -2 x - 5 的图៶与ᄱ应方程nj不等式˨ᫎ
的关系Ց，教师ஊ੤ᝨ学生ᒭࣂᤉ行ଊቃ，᧔用
分组ᝧ᝷的方式，一ͯ
学生出题，全组学生一ᡑͻን. 
学生᭧ࠫ
出题ᤈ一任务，一定要ࠫ
ᄱ关᫈
题有ᣗ全᭧的ᝣគ，੦能δ证ਫ਼出题ᄬ的൤
ᆸ性. ᝨ学生出题ᆸ实௧ࠫ
学生᭤࣢ݞ的᪐ངὙ全组学生СՏᆑᝧ不Տ解ขԣХ͖
ᤥ௧ॢ
有
ਓ义的. 分组˨Ց，Պ组ਫ਼出题ᄬ一定ࣳ
不ᄱՏ，解х᫈
题௑ਫ਼用的方ข˷不ࡊᄱՏ，教师
可̿
උᣗᤥહ，࠲有̽
᛫性的Ч型᫈
题ښ全ိ̔ื
分ౢ
. 
ښ数与̽
数ᮗ۫
的ᄱ关内ࠔ教学中，教师可̿
Κ据ৱцᤥહዝͫ
的方式ᤉ行教学，ፌ
学生一定౎件限制下的ᒭ˟ቇᫎ
，ښࠫ᫈
题的Ѝ分理解基ᆩ上ᒭࣂ出题njᒭࣂ解х. ᤈ一᣿
程可̿
有஍ڡ发࡙
学生ଢ出᫈
题nj分ౢ᫈
题ԣ合ͻ̔ื
的能ҧ，不ܿ
˞一መ有ᄞ的࠽ត. 
山东教育出版社
的学习有
社
的学习有
程
版
程nj
版
nj二
版社
二元
版社
元一
社
一次
社
次方
社
方
性
版
性ᤂ
版
ᤂካ
版社
ካ˞
版社
˞基
版社
基ᆩ
社
ᆩ
ଊᝧᤈ̏
模型˨
出版
ଊᝧᤈ̏
模型˨
要ښ方程nj不
育出
要ښ方程nj不
的
育
的᫈
育᫈
题
育
题，
育
，更
育出
更ܳ
育出ܳ
ག的ਓ义，ʹ
教育
ག的ਓ义，ʹ
Ұ
东
Ұ学
东教
学生
东教
生੽
东教
੽҂
教
҂᫈
教᫈
ᤥ方ข解х᫈
题
东教
ᤥ方ข解х᫈
题
2
山东
2. 
山东
. 一元
东
一元
ᤰ
山
ᤰ
ᤈ
山
ᤈᦊ
山
ᦊ
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东̿
社̰̿
社̰
数
社
数
程nj不等式
版社
程nj不等式
学
出
学习
出
习̀
出版̀
一
出版
一元
出版
元一
版
一次
版
次
，
育
，̵
育出̵̓
育出̓
有
育出
有ᡜ
出
ᡜܵ
出ܵ
更ܳ
的௧ᚸ合
教育
更ܳ
的௧ᚸ合
ᬲए
教
ᬲए.
教
. 用图៶ข
教育
用图៶ข
的
东
的௧
东教
௧ᝨ
东教
ᝨ学
东教
学生
教
生ᝣ
教
ᝣ
教学中᝺Ꮆ᠛
山东教
教学中᝺Ꮆ᠛
型
山
型，
山
，理
山东
理解
山东
解函
山东
函数
东
数
次函数的关系
 
次函数的关系ࠫࠫ
应不等式
 
式的
աባښ一定
 
定的ᰴ
上ᝣគ᫈
题的
 
上ᝣគ᫈
题的
，不ல生ੇ
 ੇࠫࠫ
гᤉ一൦ᝧ᝷图
社 
гᤉ一൦ᝧ᝷图
г一ᓊӑnj复
社 
г一ᓊӑnj复
教学̝
གࠫ̆
数
版社
教学̝
གࠫ̆
数
ү“ˡ一Ԧ三
出版社
ү“ˡ一Ԧ三
的图៶与ᄱ应
出版
的图៶与ᄱ应
ᝧ᝷的方式，一
育出
ᝧ᝷的方式，一
学
教育
学生
教育
生᭧
育
᭧ࠫ
育ࠫ
出
育
出
ᆸ性
教
ᆸ性. 
教育
. ᝨ学生
教育
ᝨ学生
ਓ义的
东教
ਓ义的
可̿
东教
可̿
山东教育出版社
，
社
，
可̿
ᥖ॰
社
可̿
ᥖ॰
ቃ̀
出
ቃ̀
y
出版
y = 
出版
= 2
出版
2 x 
版
x 
学生ᒭࣂᤉ行ଊ
育出
学生ᒭࣂᤉ行ଊ
的
教
的ᝣ
教
ᝣគ
教育
គ，
教育
，੦
教育
੦能
育
能δ
育
δ
СՏᆑᝧ不Տ
东教
СՏᆑᝧ不Տ
х᫈
题௑ਫ਼用
山东教
х᫈
题௑ਫ਼用ื
分ౢ
山东ื
分ౢ
. 
山东
. ̿
山̿
Κ
山
Κ据
山
据ৱ
山
ৱ
解
山
解
243
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
፬Ռˁࠄ᡻
 ၷำ˗ᄊþʷ൓വیÿ
ʷnj教ߦ目ಖ
1. ፃԋ用数学的ᅋ光发ဘဘ实生活中的数学᫈
题，࠽តଢ出᫈
题，ࣳ
ҫ̿
解х的全᣿
程，ʹ͘
模型思ਇ，发࡙
应用ਓគ，ଢᰴ实᡻能ҧ，̀
解数学的价ϙ. 
2. ፬合ᤂ用一元一次不等式与一元一次方程nj一次函数的ᄱ关ᅼគ解х᫈
题，ʹ͘
三
Ꮸ˨ᫎ
的内ښᐏ系. 
3. ͘
Ԧ思参与活ү的全᣿程，࠲ᆑቃ的᣿程和ፇ౧形ੇ
ઑշ，ࣳ
能ᤉ行̔ื
，ᤉ一൦
ሥግ数学活үፃᰎ. ̄
nj᝺ᝠন᡹
҂ᄬҒ˞ൣ
，学生ࣃፃ学习̀
一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数，ሥግ̀
一定的ᅼគ基ᆩ和活үፃᰎ，˷发ဘ߲̀̓
ज़൥˨ᫎ
的ᐏ系，初൦感受҂ᤈ三˔“一次模
型”的ࣹ
ฅ应用. 本፬合与实᡻௧̿
ଊጊ一元一次不等式与一元一次方程nj一次函数的፬合
应用˞˟题的实᡻活ү，Х˟要价ϙʹဘښː˔方᭧：第一，可̿
Ύ学生ʹ͘
一元一次不
等式与一元一次方程nj一次函数˨ᫎ
的内ښᐏ系，初൦形ੇࠫ
数学ᅼគ系ፒ性的ᝣគὙ第
二，ᤰ᣿ូ
ಊ活үΎ学生Ѝ分ᝣគ数学ᅼគښဘ实生活中的ࣹ
ฅ应用，ܙू
学生的应用ਓ
គ，ࣳ
ښᤈ一᣿程中发࡙
学生的ચ៶能ҧ和应用能ҧ. 
考ᘽ҂学生ࣃᤉК七年级下学ర的学习，̵̓
ښ˨Ғࣃፃፃԋ̀
一定的፬合与实᡻活
ү，ሥግ̀
不࠶፬合与实᡻活ү的ፃᰎ，ڂ൥本፬合与实᡻̿
一መ新的形式նဘ. Цʹ౏
ឭ，教科书ፌ出的任务උᣗࠕฅ，෥有ፌ定的ᑀఀ
，෥有Цʹ的安ଆ，Զ௧ፌ出̀
一˔Ԕ
ݽ的᫈
题，᜻定̀
一˔ܸ
的方Ք：要ර࠲一元一次方程nj一元一次不等式和一次函数集中
ᚸК一˔᫈
题ৱܒ，ᒰ̆
Цʹᆑቃ哪̏᫈
题njݠ͵ᆑቃ等߹全ႀ学生ᒭ˟ᤥહ. ᤈನ᝺ᝠ，
可̿
δ证学生学习的ᒭ˟性njᤥહ性和学习ፇ᝷的开ஊ性，ፌ学生ଢῚ
发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题的఻͘
，有Ұ̆
发࡙
学生的应用ਓគ和ѹ新ਓគ. े
ཀྵ，ࠫܳ
数学生౏ឭ，̰
事ᤈನ开ஊ性උᣗू
的፬合与实᡻活ү的ፃᰎ可能ᤇ有̏
不ᡜ，˞൥教科书ᯫЏࠫ
લ定方ವဗᓬᤉ行̀
方Ք性的ૉ࠮，ཀྵՑࠫ
ᆑቃઑշଢ出̀
必要
的内ࠔ要ර. 教学௑，教师可ಪ据学生̰
事፬合与实᡻活ү的ፃᰎ与ඵ平࿄цᤉ行更有᧫ࠫ
性的ૉ࠮. 
ʼnj教ߦथᝬ
Цʹ教学௑，थᝬ安ଆ 2 课௑. 第 1 课௑ळᮗ学生回顾঴ፇ，发ဘᤂ用一元一次不等
式nj一元一次方程与一次函数解х的一̏
实ᬅ᫈
题. ښ൥基ᆩ上，学生Κ据不Տ的学习ᑀఀ
ᤥહ᫈
题ৱܒ，࠵组ᝧ᝷ᆸ定ᆑቃ˟题，લ定解х᫈
题的方ವ，ᆑቃ分ౢ
ᭊ要ᖍԩ的有஍
数据. 第 2 课௑ᤉ行̔ื
កౢ
. 
ښ᫈
题的ර解᣿程中，教师要ळ࠮学生ѭᢶʹࣳ͘
ଊቃ三Ꮸ˨ᫎ
的内ښᐏ系，थቡ数
山东教育出版社
ଢ
社
ଢ
与
社
与一
社
一元
社
元一
社
一
的全
版
全᣿
版
᣿程
版社
程，
版
，࠲
版社
࠲ᆑ
社
ᆑ
᡹
教
᡹
Ғ
教
Ғ˞
教
˞ൣ
教育ൣ
，
教育
，学
教育
学生
育
生
ᅼ
东
ᅼគ
东教
គ基
东教
基ᆩ
东教
ᆩ和
教
和活
教
活
”的ࣹ
ฅ应用
山东教
”的ࣹ
ฅ应用
应
山
应用
山东
用˞
山东
˞˟
山东
˟题
东
题的
东
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等
山
等式
山
式与
山
与一
山
一
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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的
社
的全
社
全᣿
社
᣿᫈
出᫈
题
出版
题，
出版
，ʹ
出版社
ʹ͘
版社͘
三
版社
三
能
育
能ᤉ
育
ᤉ行
育出
行̔
育出̔ื
育出ื
，
出
，
一
山
一元
山东
元一
山东
一次
山东
次方
东
方程
东
程ᫎ
山ᫎ
的
山
的ᐏ
山
ᐏ系
山东
系，
山
，初
东
初
次不等式与一元
山
次不等式与一元
ː˔方᭧：第
内ښᐏ系，初
 
初൦
学ᅼគښဘ
 
ဘ实
ચ៶能ҧ和应用
 
ચ៶能ҧ和应用
下学ర的学
 
学习
᡻
社
᡻活
社
活ү
社
ү的
社
的ፃ
 
ፃᰎ
务
社
务උ
社
උᣗ
社
ᣗࠕ
社
ࠕฅ
社
ฅ，
社
，෥
一
版
一˔
版社
˔ܸ
版社ܸ
的
版社
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社
方Ք
社
Ք
ৱܒ，ᒰ̆
Цʹ
出版社
ৱܒ，ᒰ̆
Цʹ
生
出
生学
出
学习
出版
习的
出版
的ᒭ
出版
ᒭ˟
版
˟
఻͘
，有Ұ̆
育出
఻͘
，有Ұ̆े
教育े
ཀྵ
教育
ཀྵ，
教育
，ࠫ
育ࠫܳ
育ܳ
数
育
数
不
教
不ᡜ
教
ᡜ，
教
，˞
教育
˞൥
教育
൥教
育
教
的内ࠔ要ර
东教
的内ࠔ要ර
性的ૉ
东
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山东教育出版社
᡻
社
᡻活
社
活
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社
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社
ʹ౏
社
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出
版
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版社̀
一
版社
一˔
版社
˔Ԕ
社
Ԕ
和
出
和一
版
一次
出版
次函
出版社
函数
版社
数集
版社
集中
社
中
˟ᤥહ
出版
˟ᤥહ.
出版
. ᤈನ᝺
出版
ᤈನ᝺
ଢ
育
ଢΙ
育
Ὶ
育出̀
发
育出
发ဘ
出
ဘ᫈
出᫈
与
教
与实
教
实᡻
教育
᡻活
教育
活ү
教育
ү的
育
的
ૉ
东
ૉ࠮
东
࠮，
东教
，ཀྵ
东教
ཀྵՑ
东教
Ցࠫ
教ࠫ
ᆑ
教
ᆑ
᡻活ү的ፃᰎ与
山东教
᡻活ү的ፃᰎ与
244
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
学模型ࣳ
ර解Ὑᤰ᣿࠵组ලઑԣ师生的̔ื
与កౢ
，ळ࠮学生Ԧ思ᒭࣂ的ូ
ಊ᣿程与ᆑቃ
ፇ౧，要ර学生ଢ出ᤉ一൦ξ൤与߹ؓ
的ਓ᜹，ࣳ
ଢ̔
ᆑቃઑշ. 
ښ实ᬅ教学᣿程中，可能͘
有学生᭧ࠫ
ᤈನ一˔ᣗ˞ࠕฅ的课题，௄ขᆸ定ਫ਼要ᆑቃ
的ࠫ
៶，ੋ
Ꮸᙊཀྵᆸ定̀᫈
题ৱܒ，ͮ
Պ˔᧚˨ᫎ
的关系ᣗ˞复ా
，ڂ൥不能ોི
课题的
要රଢ出解х方ವ. ᤈ௑，ᭊ要教师Κ据学生的学习ඵ平，ፌ্́े
的ࣟ
Ұ，ښ数学模型的
थቡ，方程nj不等式nj函数关系的౞ᤵ等方᭧，可̿
ᝨ不Տᝣᅼඵ平ԣ能ҧࡏ次的学生ᦐ
ፃԋ“᫈
题ৱܒ—थቡ模型—ර解—解᧖与应用”的ᆑቃ᣿程. ښງए上，不Տᝣᅼࡏ次的
学生可̿
ᤥહ不Տ的᫈
题ৱܒ，可̿
不Տ程एڡᚸ合数学ᅼគ，ᝨ不Տ的学生ښ数学上४
҂不Տ的发࡙
. 学生ᤰ᣿ፃԋᤈನ的数学活ү，ʹ͘
数学学习不̩̩
௧Ϣ习题，Ꮻ˅要学͘
用数学的᜽角᜺ࠣ
ဘ实生活中的有关ဘ៶，ଢ出ᄱ应的数学᫈
题，分ౢࣳ
解х一定的ဘ实᫈
题. 必要௑，教师可̿
ଢΙ一̏
ᑀఀ
，ଢ出ᆑቃ方Ք，ፌ出一̏
Цʹ的᫈
题等. 
پnjក͉
थᝬ
ᯫЏ，本፬合与实᡻活ү௉ښᝨ学生ፃԋ发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题nj分ౢ᫈
题和解х᫈
题
的全᣿程，ܙू̵̓
发ဘ和ଢ出᫈
题nj分ౢ
和解х᫈
题的能ҧ，ڂ൥学生ښᤈ一᣿程中的
᛫ဘ࿄ц应ੇ
˞ក价的重ॷ. Γݠ，要关ฌ学生ݠ͵发ဘ᫈
题，ݠ͵ᤥહ适合ᒭࣂ߹ੇ
的᫈
题，ݠ͵ં
实ᬅ᫈
题ԫੇ
数学᫈
题，ݠ͵᝺ᝠ解х᫈
题的方ವ，ݠ͵ᤥહ合ͻ͗ͧ
，ݠ͵
有஍ڡնဘᆑቃੇ
౧̿
Χᝨѿ̡
ʹ͘
ᒭࣂੇ
౧的价ϙ等. 
Х次，本፬合与实᡻活үᭊ要学生̰
ဘ实生活ੋ
Цʹৱܒ中ચ៶出数学᫈
题，用数学
ኀ号थቡ方程nj不等式nj函数等᛫ᇨ数学᫈
题中的数᧚关系和ԫӑ᜻॥，ර出ፇ౧ࣳ
ᝧ᝷
ፇ౧的ਓ义. ᤈ̏
൤௧模型思ਇ的Цʹʹဘ. 教学௑应关ฌ学生ښᄱ关ဗᓬ中的᛫ဘ，ࣳ
据
൥ក价学生ࠫ
模型思ਇ的ᮗৢ
ඵ平. 
ႀ̆
本፬合与实᡻උᣗ开ஊ，ڂ൥教学ក价͘
有一定ᬲए. थᝬក价ፇ౧᧔用四˔等
级：A ，B ，C ，D ，Х分ѿࠫ
应：͖
ሒnjᓢݞnj中等nj基本合ಫ. 一ᓊৱц，ࡊ᧚不ፌ́
不
合ಫ的ក价，ᬔ᭤Х与 D 级ඵ平有明௭ࣀप. ̿
下௧ក价等级ಖюଡᤘ，Ι参考. 
D ——̩̩
ᤥ定̀
一˔ᣗ˞እӭ的课题开࡙
ᆑቃ，ࣳ
ፌ出̀
൤ᆸnj合理ӑ解ን，᫈
题
本ᢶnjර解᣿程෥有፬合ᤂ用三˔“一次模型”Ὑੋ
Ꮸᙊཀྵଢ出̀
一˔ᣗ˞合适的ᆑቃ᫈
题，ͮ
෥有ଢΙ߹ட的ර解思路nj಴౶nj൦ᰡ，̿
ԣᆸ定的୲ͻ程ऀ
和明ᆸ分ࢺ. 
ଢ̔
的ᆑቃઑշ中̩̩
᫨ᤘ̀
ᦊ分课题活ү᣿程，ͮ
ߛښ一̏
明௭的᛫ᤘ᫈
题，ݠፇ
౞不߹டnj一̏
ឦᝓ
᛫ᤘ不юᆸnjΎ用̀
不े
的数学ឦᝓੋ
ኀ号等Ὑ෥有ࠫ
课题活үᤉ行
Ԧ思的ਓគ. 
C ——能ܵ
基本юᆸڡଢ出与一元一次不等式nj一元一次方程nj一次函数ᄱ关的ᆑቃ
课题，能࠲一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数集中ᚸК一˔实ᬅ᫈
题，̰ࣳ
中ଢ
ԩ有用的ηৌ，౞थ൤ᆸ的数学模型，፬合ᤂ用一元一次不等式nj一元一次方程与一次函
数的ᅼគර解Ὑ࠵组合ͻ制ᝡ൤ᆸnj可行的ᆑቃ方ವ，ӊ઺解х᫈
题的基本思路nj基本ኖ
႕nj活ү಴౶njЦʹ୲ͻ和实ஷ的൦ᰡnj必要的̡
ր分ࢺ和ᭊ要ஆ集的资料等，Ꮻ˅能ܵ
山东教育出版社
系
社
系的
社
的౞
社
౞ᤵ
社
ᤵ
—ර解—解᧖
版社
—ර解—解᧖
题
版
题ৱ
版
ৱܒ
版社
ܒ，
版社
，可
版社
可̿
社̿
ᤰ᣿ፃԋᤈನ
出版
ᤰ᣿ፃԋᤈನࠣ
育ࠣ
ဘ
育出
ဘ实
育出
实生
育出
生活
出
活中
出
中
，教师可̿
ଢ
育出
，教师可̿
ଢ
ក͉
थᝬ
东教
ក͉
थᝬ
ᯫ
东
ᯫЏ
东教
Џ，
东
，本
东教
本፬
教
፬
的
山
的全
山东
全᣿
山东
᣿程
东
程
᛫ဘ࿄ц
山
᛫ဘ࿄ц
题
山
题
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
ቃ
社
ቃ
课
社
课题
社
题的
社
的
数学模型的
版社
数学模型的
ࡏ
出版
ࡏ次
出版
次的
出版
的学
版社
学生
版社
生ᦐ
版社
ᦐ
不Տᝣᅼࡏ次
出版
不Տᝣᅼࡏ次
Տ
育
Տ的
育出
的学
育出
学生
育出
生ښ
出
ښ数
出
数̩
௧Ϣ习题，
教育̩
௧Ϣ习题，᫈
教᫈
题
教
题，
教
，分
教育
分ౢ
教育ౢࣳ
教育ࣳ
解
育
解
出一̏
Цʹ的
东教
出一̏
Цʹ的
发ဘ᫈
山᫈
题
山
题nj
山
njଢ
山
ଢౢౢ
和解х᫈᫈
题的
关ฌ学生ݠ͵发
 
关ฌ学生ݠ͵发
ݠ͵᝺ᝠ
 
ᝠ解х
ʹ͘
ᒭࣂੇ
౧
 
ʹ͘
ᒭࣂੇ
౧
үᭊ要学生
 
生̰̰
函
社
函数
社
数等
社
等᛫ᇨ
 
ᇨ数
௧
社
௧模
社
模型
社
型思
社
思ਇ
社
ਇ的
社
的Ц
型思ਇ的ᮗৢ
ඵ
版社
型思ਇ的ᮗৢ
ඵ
合
出版
合与
出版
与实
出版
实᡻
版社
᡻උ
版社
උᣗ
版社
ᣗ
，
出
，C
出
C ，
出
，D
出版
D ，
出版
，Х
版
Х分
版
分
的ក价，ᬔ᭤Х
育出
的ក价，ᬔ᭤Х
D 
教育
D ——
教育
——̩
育̩̩
育̩
本
教
本ᢶ
教
ᢶnj
教育
njර
教育
ර解
教育
解᣿
育
᣿
题，ͮ
෥
东教
题，ͮ
෥
౞
东
౞
山东教育出版社
数
社
数
౧
社
౧ࣳ
社ࣳ
ᝧ
社
ᝧ᝷
社
᝷
的
版
的᛫
版社
᛫ဘ
版社
ဘ，
版社
，ࣳ
版社ࣳ
据
社
据
ក
出
ក价
出
价ፇ
出版
ፇ౧
出版
౧᧔
出版
᧔用
版
用
ᓊ
育
ᓊৱ
育出
ৱц
育出
ц，
育出
，ࡊ
出
ࡊ᧚
出
᧚
юଡᤘ，Ι参
教育出
юଡᤘ，Ι参
ፌ
教
ፌ出
教
出̀
教育̀
൤
教育
൤ᆸ
教育
ᆸnj
育
nj合
育
合
ᙊ
东
ᙊཀྵ
东教
ཀྵଢ
东教
ଢ出
东教
出̀
教̀
一
教
一
ԣᆸ定的୲ͻ程
山东教
ԣᆸ定的୲ͻ程
᣿
山
᣿程
山
程，
山东
，ͮ
山东ͮ
ߛ
东
ߛښ
东
ښ
数
山
数学
山
学ឦ
山
ឦᝓ
山ᝓ
245
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书ࠫ
方ವښ数学方᭧的൤ᆸ性ͻ必要的ឭ明. 
ଢ̔
的ᆑቃઑշፇ౞基本合理，ࠫ
活ү᣿程的ଡᤘ基本൤ᆸ，可឴
性一ᓊὙͮ
内ࠔᒰ
࠶ӊ઺：ᤥહ的᫈
题ৱܒnjᖍ४数据的᣿程njथቡ的数学模型njර解᣿程nj解᧖与应用等
ї方᭧Ὑፇ合实ᬅ᫈
题ৱܒ，分ዝи出ܳ
˔函数关系，ࣳ
ᤂ用不等式ੋ
方程ᆸ定函数关系ੇ
ቡ的౎件，г࠲ਫ਼有可能的解用图៶᛫ᇨὙ能ᣗ˞൤ᆸڡΎ用一̏
数学ឦᝓ
njኀ号nj图
៶等ᤉ行解᧖和ᰎ证Ὑ有ࠫ
ᆑቃ活ү的᣿程nj方ขnjፇ౧ᤉ行Ԧ思的ਓគ，ࠫ
活ү᣿程中
出ဘ的ਓܱ
ৱцͻ必要的ܫ理，ӊ઺ஈԫ方ขnjូ
ட方ವ等. 
B ——能࠲一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数集中ᚸК一˔实ᬅ᫈
题，̰ࣳ
中ଢԩ有用的ηৌ，౞थ൤ᆸ的数学模型，፬合ᤂ用一元一次不等式nj一元一次方程与一
次函数的ᅼគර解Ὑ࠵组合ͻ制ᝡ൤ᆸnj可行的ᆑቃ方ವ，ӊ઺解х᫈
题的基本思路nj基
本ኖ႕nj活ү಴౶njЦʹ୲ͻ和实ஷ的൦ᰡnj必要的̡
ր分ࢺ和ᭊ要ஆ集的资料等，Ꮻ˅
能ܵࠫ
方ವښ数学方᭧的൤ᆸ性ͻ必要的ឭ明. 
ଢ̔
的ᆑቃઑշፇ౞合理，ࠫ
活ү᣿程的ଡᤘຍఁnjюᆸ，Цܬᓢݞ的可឴
性和可̔ื
性Ὑ内ࠔ应ӊ઺：ᑀఀ᫈
题௧ݠ͵ᤥԩ的，᫈
题的哪̏
方᭧๘ԣ三˔“一次模型”的ᅼ
គ，࠵组中Պ˔ੇ
ր分ѿ੾ઞ的Цʹᐌ责，߹ੇ̀
方ವ的基本൦ᰡ，ᣗ˞明ᆸnjງ҉ڡᤂ
用一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数的ᅼគࠫ
ࣃᤥ定的实ᬅ᫈
题ᤉ行分ౢ
，൤ᆸ
ڡΎ用̀
必要Ꮻ্े
的数学ឦᝓ
njኀ号nj图៶等ᤉ行解᧖和ᰎ证，方ขእฝnj合理njܳ
ನ
ӑ，๘ԣॆ
ጪnjዝඋnj数学ӑnj଎理等数学思ਇ方ข. 
能ܵ
߹ੇ
ᮕ᝺方ವ中的基本൦ᰡ，ݠ能ܵ
ᖍ४解х᫈
题ਫ਼ᭊ的数据，ࠫ
数据Ϣ必要的
ܫ理，合理ᤂ用与थቡ三˔“一次模型”，ࣳ
ᖍ४൤ᆸ的ᆑቃፇ౧ὙଢΙ解᧖ፇ౧൤ᆸ性
的᝷ᤘ᣿程. 
能ࠫ
ட˔课题活ү的᣿程nj方ขnjፇ౧ᤉ行Ԧ思，能ܵࠫ
活ү᣿程中出ဘ的ਓܱ
ৱц
ͻ合适的ܫ理，ӊ઺ஈԫ方ขnjូ
ட方ವ等. 
A ——ښ B 级基ᆩ上，Цܬ下ѵ᛫ဘ中的 2 ˔方᭧：
ᬔ能ܵ
፬合ᤂ用一元一次不等式nj一元一次方程与一次函数的ᅼគܱ
，ᤇ能ѹᤵ性༧
活应用Х̵
ᄱ关ᅼគੋ
方ข̆
解х᫈
题的᣿程中Ὑ
能ܵ
ଢ出ࠝ
有ѹਓ的解х᫈
题的思路Ὑ
能ܵࠫ
ᆑቃ的᣿程nj方ขnjፇ౧ᤉ行ᣗ˞ງ҉的Ԧ思Ὑښ൥基ᆩ上ᤉ一൦发ဘ一元一
次不等式nj一元一次方程与一次函数ښՏ一᫈
题中ߛښ的关系和不Տਓ义，࠲ਫ਼ᖍ४的ፇ
᝷ᤉ行实质性଎ࣹੋ
උᣗюᆸڡଡᤘ不Տ方ข的͖
Ү等Ὑ
能ܵ
ᤉ一൦ଢ出更一ᓊ的三˔“一次模型”的ᄱ关᫈
题. 
山东教育出版社
活
社
活ү
社
ү的
社
的᣿
社
᣿
理，ӊ઺ஈԫ方
版社
理，ӊ઺ஈԫ方
不
版
不等
版
等式
版社
式nj
版社
nj一
版社
一元
社
元
౞
出
౞थ
出
थ൤
出版
൤ᆸ
出版
ᆸ的
出版
的数
版
数
Ὑ
育
Ὑ࠵
育出
࠵组
育出
组合
出
合ͻ
出
ͻ制
出
制
಴
育
಴౶
育
౶nj
育
njЦ
育出
Цʹ
育出
ʹ୲
出
୲
ವ
教
ವښ数学方᭧的
教育
ښ数学方᭧的̔
东̔
的
东教
的ᆑ
东教
ᆑቃ
东教
ቃઑ
教
ઑշ
教
շ
性
东
性Ὑ
东
Ὑ内
东
内ࠔ
东教
ࠔ应
东教
应ӊ
东教
ӊ
គ
山
គ，
山
，࠵
山东
࠵组
山东
组中
东
中Պ
东
Պ
用
山
用一
山
一元
山
元一
山
一
Ύ
山
Ύ用
山
用
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
等
社
等
关
社
关系
社
系
ኀ
版
ኀ号
版社
号nj
版社
nj图
版社
图ࠫ
出ࠫ
活
出版
活ү
出版
ү᣿
出版社
᣿程
版社
程中
版社
中
˔
育
˔实
育出
实ᬅ
育出
ᬅ᫈
育出᫈
题
出
题
式
教育
式nj
教育
nj一
教育
一元
育
元一
育
一次
育
次
઺
教
઺解
教
解х
教育
х᫈
教育᫈
题
教育
题的
育
的
分
东
分ࢺ
东
ࢺ和
东教
和ᭊ
东教
ᭊ要
东教
要ஆ
教
ஆ集
教
集
ຍ
山
ຍఁ
山
ఁnj
山
njю
山东
юᆸ
山东
ᆸ，
东
，Ц
东
Ц
题的
山
的哪
山
哪̏
山̏
方
山
方᭧
山
᭧
߹ੇੇ̀̀
方ವ
 
ವ的
函数的ᅼគ
 
គࠫࠫ
号nj图៶等
 
等ᤉ
理等数学思ਇ
 
理等数学思ਇ
本൦ᰡ，ݠ
 
ݠ能
˔
社
˔“一
社
一次
社
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模型
活
版
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版社
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版社
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版社
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ӊ઺ஈԫ方ข
出版社
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ښ
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级基ᆩ上
出版
级基ᆩ上
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ᄱ关ᅼ
教育
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ᄱ关ᅼ
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教育
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东教
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教ࠫ
次
东教
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东
᝷ᤉ
山东教育出版社
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版社ܱ
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育出ܱ
，
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，ᤇ
出
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山东
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山东
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山东
Ὑښ
东教
ښ൥
东教
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东教
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山
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山
ߛښ
山东
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山东
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山东
关系
东
系和
东
和
Ү等Ὑ
山
Ү等Ὑ
关᫈
山
关᫈
 
246
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ၷำ˗ᄊþʷ൓വیÿ
Ϳ̀
ᝍʷЋʷ൓ˀ኎रnjʷЋʷ൓வሮ֗
ʷ൓Ѧ஝ښဘࠄৱܒ˗ᄊऄၹ
ՙὝᤥહͿਖУᡚᄊភᮥ
Ὂ࠵ጸՌͻ࡙
नូ
ಊὊѾၹ४҂ᄊ஝૶౞ᤵʷ˔Ի̿
፬Ռᤂၹᤈ̏
ᅼគᝍхᄊ᫈ᮥ
Ὂࣳ
࠽តᝍх߲
. 
ᝬʷᝬ
ᝬʷᝬ
ϢʷϢ
Ϳ̓
юܬᆑቃᄊ˟ᮥ
௧̤
˦Ὕᆑቃᄊ
Цʹ᫈ᮥ
௧̤
˦Ὕᆑቃᄊவವ௧̤
˦Ὕ
ӊ઺὘࠵ጸੇ
րᄊ
ѬࢺὊஆᬷ
஝૶ᄊவरὊ̿
ԣԻᑟ᥅҂ᄊڈᬲ኎.
὆὇ಪ૶࠵ጸᆑቃᄊ᫈ᮥ֗
ਫ਼४҂ᄊ஝૶Ὂ౞ᤵᄱऄᄊʷЋʷ൓வሮnjʷ
Ћʷ൓ˀ኎रੋ
ʷ൓Ѧ஝࠽តᝍхᤈ̏᫈ᮥ
.
὆὇୩иᆑቃઑշ.  Х˗ᒰ࠶᜶ӊ઺὘ਫ਼ᤥહᄊ᫈ᮥ
ৱܒnjᖍ४஝૶ᄊ᣿
ሮnjथቡᄊ஝ߦവیnjරᝍ᣿ሮnjᝍ᧖ˁऄၹ኎.̔ื
ՊጸᄊᆑቃઑշὊѬ̚
ज़൥ᄊᆑቃፃᰎὊࣳ
ଢѣ࣏
మᤉʷ൦ᆑቃᄊ᫈ᮥ
.
˸ᮥ
1. ಪ૶࠵ጸ˨ᫎ
ᄊ̔ื
ำүὊᤉʷ൦न࡙
ᆑቃὊ߹ؓ
࠵ጸᄊᆑቃઑշ.
2. иʷኽᆁ஡ὊេេͿښవ൓ำү˗ᄊਖԪ֗
ʹ͘
.

综合与实践 生活中的“一次模型”
ό1ύ
本፬合与实᡻活ү的一˔
重要ਓ图௧۲Щ学生的模型思
ਇ. 模型思ਇ的थቡ௧学生ʹ͘
和理解数学与ܱ
ᦊˇႍ
ᐏ系的
基本᤭य़. थቡ和ර解模型的᣿
程ӊ઺：̰
ဘ实生活ੋ
Цʹৱ
ܒ中ચ៶出数学᫈
题，用数学
ኀ号थቡ方程nj不等式nj函数
等᛫ᇨ数学᫈
题中的数᧚关系
和ԫӑ᜻॥，ර出ፇ౧ࣳ
ᝧ᝷
ፇ౧的ਓ义. 
数学थ模ࡃ௧ᤰ᣿थቡ模
型的方ข౏ර४᫈
题解х的数
学活ү᣿程. ᤈ一᣿程可̿
用下
ѵ಴图᛫ᇨ：
ό1ύ教科书ᯫЏଢ出̀
本፬合与实᡻活ү的ᆑቃ任务，ᤈ一任务උᣗࠕฅ. 教学௑，可̿
ႀ学生
ፃ࠵组ᝧ᝷形ੇ
ᭊ要解х的Цʹ᫈
题，ᤈ൤௧下᭧“ᝬ一ᝬ”的᝺ᝠਓ图. 
ᝬʷᝬ
ᴂҵ学生分组ᝧ᝷Պᒭᭊ要ᆑቃ的Цʹ᫈
题. थᝬ教师ᯫЏ̔
ॠຍം活үᄬ的，ଢ出活ү要
රὙཀྵՑႀ学生ᒭႀ组ੇ
ᆑቃ࠵组（46 ̡
˞一组），ᒭᕛ组᫂
ὙతՑႀ࠵组ᆸ定ᆑቃ˟题，લ
定ᆑቃ方ವ，ӊ઺࠵组ੇ
ր的分ࢺnjஆ集数据的方式，̿
ԣ可能᥅҂的ڈᬲ等. 
山东教育出版社
版社
ՙὝᤥ
社
ՙὝᤥ
፬Ռᤂၹ
版社
፬Ռᤂၹ
版社
版社
版社
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版
学
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出版
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育出ࣳ
ᝧ
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ᝧ᝷
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教育
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教育
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教育
ᤰ᣿
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东
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东教
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东教
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东教
४᫈
教᫈
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教
题
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东
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东
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东教
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东
. ᤈ
东教
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山东
ѵ಴图᛫ᇨ：
山
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
山
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版社
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出版社
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ᝬʷᝬ
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ʷ൓Ѧ஝࠽ត
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୩иᆑቃઑշ. . Х
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थቡᄊ஝ߦവیnj̔ื̔ื᫈ᮥ
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教育出
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出版
出版社
出版
教育
教育
教育
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教育
教育
教育
教育出版社
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东教
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东教
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教
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教
教
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山东
ፃ࠵组
山东教育出版社
教育
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社
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出版
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山
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山
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山东
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山东
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山东
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任务
东
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“ᝬ一ᝬ”的
山东
“ᝬ一ᝬ”的
247
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ႀ̆
教科书ଢ出的ᆑቃ任务උᣗࠕฅ，ڂ൥学生ښᤥહᆑቃ˟题௑可能͘
᥅҂ڈᬲ，
ԁΎᆸ定̀
˟题，˷可能͘
感҂ဘ实᫈
题උᣗ复ా
，௄̰
下੤. ਫ਼̿
，ښЦʹ教学᣿程中，
教师应ಪ据学生的实ᬅৱцፌ́
必要的ૉ࠮与ࣟ
Ұ. ࠫ̆
ᆑቃ˟题，教师可̿
ፇ合े
ڡ实ᬅ
ፌ学生一̏
ଢᇨ，ݠӂ૬᫈
题nj学ಣ用ႃ᧚的合理分ᦡ᫈
题njࠒऑ理᠉᫈
题ૉ࠮学生
不要ᤥહ๘ԣڂጉ᣿ܳ
njԫ᧚关系᭤“一次”的复ా᫈
题ৱܒ. 
ᆸ定˟题Ց，ᤇᭊ要લ定ᆑቃ的Цʹ᫈
题和ᆑቃ的Цʹ方ವ. ̿
下ѵ出一̏
ᆑቃ˟题和ᆑቃ᫈
题，Ι参考. 
˟题一：ଊጊ出ምᢼݠ͵ᝠ价
1. ெᫎ
出ምᢼ价与᧗程数˨ᫎ
的函数关系. 
2. ܴᫎ
出ምᢼ价与᧗程数˨ᫎ
的函数关系. 
3. े
᥅҂ጚ༥ੋ
܄ᢼ௑的ᝠ价ৱц. 
˟题二：ଊጊ׸ڤ的Ψᩙ
ဘ៶
ᓬϜெ׸ڤፃ࣢੪出੪ઉ的ྡ
ߕ，ښՊመ̿
੪ઉՐ义ᤉ行的Ψᩙ
活ү中，ݠ͵ᤥહత
实ৼ的׸ֶ
௧ܸܳ
数̡
࣢࣢᭧˚的᫈
题. ូ
ಊ学ಣੋ
ࡐͱ࠵ӝᬄᤃ౽一׸ڤ的Ψᩙ
方式，ѵ
出ᄱ应的方程nj函数ੋ
不等关系ࣳ
ͻ出分ౢ
，用Ϳ४҂的ፇ᝷ૉ࠮ևڊ的̡
理性๗ᠠ. 
˟题三：关̆
教育ஃ出的ូ
ಊ
1. ᝠካ一下ᒭࣂ̰
ဘښᡑ҂参ҫࢺͻ，঴Сᭊ要ܳ
࠶教育资᧛. 
2. 考ᘽͿݠ͵ஃ̷
ᤈ̏
ᠠ用，ࣟ
ࠒ᫂
и一˔ϲᗨᝠѳ. 
3. 用不等式౏᛫ᇨͿ̰
Պመນ᥋ਫ਼能ϲᗨ的ᨑ的తͰ数᧚. 
4. ࠲Ϳ的ូ
ಊ与Տ学̔ื
一下，ᝨܸ
ࠒᄺᄺͿ的ូ
ಊ௧ա可行. ݠ౧可能，ឰ̵̓
ଢΙ
ஈᤉ的थᝬ. 
ϢʷϢ
实ᬅ教学௑，本ဗᓬ可̿̿
“᫂
ͻˊ”的形式出ဘ. ࠲课۶内的数学活үणͩ
҂课۶ܱ
，ᝨ学生ፃԋ数据ஆ集njಊ᫞资料nj࿘ቡ思考nj合ͻ̔ื
nj实᡻ೝᰎnj଎理᝷证等ܳ
መ
形式的活ү. 
（1）ᆸ定ᆑቃ˟题和ᆑቃ的Цʹ᫈
题Ց，࠵组ੇ
ր分ࢺ᧔᝻有关̡
րੋ
ᤉ行ូ
ಊ，ஆ
集ਫ਼ᭊ数据，ᆸ定数᧚关系Ὑښ൥基ᆩ上࠵组合ͻ，用ਫ਼ஆ集的数据和ࣃᆸ定的数᧚关系
౞ᤵ一˔ੋ
ї˔用一元一次方程nj一元一次不等式nj一次函数解х的᫈
题，ԁં
ဘ实᫈
题
ᣁӑ˞数学᫈
题，ර解ࣳࠫ
ර४的解ͻ出合理解᧖. 
（2）ࠫ̆
学生的ᆑቃઑշ，不̩
要关ฌፇ౧，Ꮻ˅更要关ฌ̵̓
ሥግ活үፃᰎnj࡙
ဘ
思考ԋ程nj̔ื
ஆᖍʹ͘
nj༏发ѹᤵ໸能的᣿程. ࠫ̆
ᆑቃઑշ的内ࠔ，教师可ଢ出适े
的
要ර，ݠ要ӊ઺ᤥહ的᫈
题ৱܒnjᖍ४数据的᣿程njथቡ的数学模型njර解᣿程nj解᧖与
应用等Ὑፇ合实ᬅৱܒ，分ዝи出ܳ
˔函数关系，ࣳ
ᤂ用不等式ੋ
方程ᆸ定函数关系ੇ
ቡ
的౎件，г࠲ਫ਼有可能的解用图៶᛫ᇨ等. 
山东教育出版社
ቃ的Цʹ
社
ቃ的Цʹ
和ᆑቃ᫈
题，Ι
版社
和ᆑቃ᫈
题，Ι
ݠ͵ᝠ价
版社
ݠ͵ᝠ价
与᧗程数˨ᫎ
的
出版
与᧗程数˨ᫎ
的
价与᧗程数˨
育出
价与᧗程数˨
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܄ᢼ௑
育出
ጚ༥ੋ
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教育
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ெ׸
东教
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东教
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东教ܸܳ
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出ᄱ应的方程
山东
出ᄱ应的方程
˟题
山
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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社
ᬅ
学
社
学生
社
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山
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山
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山东
ᤉ行
山东
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东
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山
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用Ϳ४҂的ፇ
ࢺͻ，঴Сᭊ要
 
ࢺͻ，঴Сᭊ要ࣟ
ࠒ᫂
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መນ᥋ਫ਼能ϲ
 
መນ᥋ਫ਼能ϲ̔ื
一下，ᝨܸ
社 ̔ื
一下，ᝨܸ
教
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育出
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育出
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出版
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出版
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ᝨ学
育
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育
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教育
式的活ү.
育
.
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教
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教
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教育
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东教
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山东教育出版社̓
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山东
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山东
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山东
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东
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东
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山
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山
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山
一次
山东
次函
山东
函数
东
数
248
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
ښՊ࠵组߹ੇ
ᆑቃઑշՑ，ᤉ行ိ
级ලઑ与̔ื
. 教学௑，可要රඈ˔࠵组ڊፉ一˔˟
题ᤉ行ලઑ̔ื
，ښ൥᣿程中教师要ฌਓϚզ和思考，关ฌ学生ࠫ
ட˔活ү᣿程的Ԧ思，ࣳ
ԣ௑Κ据̔ื
内ࠔଢ出ᄱ关᫈
题ळ࠮学生ᝧ᝷. Γݠ，可̿
ळ࠮学生分ౢ
哪̏
ವΓ̰
数学
角एᄺ௧ᄱՏ的，哪̏
ವΓ̰
数学角एᄺ௧不Տ的，ᝨ学生ʹ͘
数学模型的内๰Ὑԡݠ，
可̿
ळ࠮学生关ฌՊ࠵组ਫ਼ᆑቃ的内ࠔ，̵̓
˞̤
˦͘
ਇ҂ᤈ̏᫈
题，௧ট˦解х的，ښ
解х᣿程中௧ݠ͵ᤂ用一元一次方程nj一元一次不等式和一次函数ᅼគ的，ᤈ̏᫈
题ᤇ能
Ϣ哪̏
଎ࣹ
和ஈᤉ˸ᮥ
Ԧ思௧学生ሥግ数学活үፃᰎ和ଢӤ解х᫈
题能ҧ的重要方式，ᤰ᣿ࠫ
Х̵
࠵组ੇ
౧
的ώ᧝和ࠫ
ᒭࣂ࠵组ੇ
౧的Ԧ思，࠲本࠵组的ᆑቃઑշᤉ行ξஈட理. 教学௑，可̿̿
ܗઑੋ
࠵᝷஡集等形式࡙
ᇨ学生的ᆑቃੇ
౧，̿
ԣ学生˔̡
的活ү感ਇ. 
东教育出版社
数
社
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社
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社
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社
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版社
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版社
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版社
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社
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一次
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社
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教
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教
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教育
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教育
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教育
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育
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东教
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山东ੋ
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山东教育出版社
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版社
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出版
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出版
๰Ὑ
出版
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出版
˦解
出版
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出版
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山东
山东教育出版社             
山东
山东
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山东
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东
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山东
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学生˔̡
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山东教育出版社
249
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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὘ෲӒᄵᆃࠒࣻ࣊
教育ሙ学ᆑቃਫ਼ सৼᔮ
ᆑቃ˟题：ࠒऑ用ႃੇ
本᫈
题. 
ವΓឭ明：本ವΓ̿
ᤝරࠒऑతͰ用ႃੇ
本˞˟线，̰
ࠒऑ࢏៮用ႃ᧚的实ᬅ数据nj
࢏៮ႃ价的ࣀप，҂ࠒ用ႃ٨Ҫ率̿
ԣ用ႃ௑ᫎ
的ូ
ಊnjட理分ౢ
，࡙
ᇨ࠵组ᆑቃ课题的
ਓ义njᆑቃ方Ք的൤ᆸ性njᆑቃ方ข的合理性，̿
ԣᆑቃፇ᝷的实用性. े
ཀྵ，教师ᤇ可̿
ૉ࠮学生ዝͫ
ڡᆑቃඵ᛫ᠠ用和཰ඡ᛫ᠠ用的᫈
题. 
࠵组ੇ
ր：ˑ௞njᐟంnjᔚဖݑnjсᓥᘘnjੀፁႄnj路ᄑ. 
ळᝓ̭ܹ
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࠵组൤ښ路ᄑࠒᝧ᝷数学活ү.  ቊཀྵ，一᫼ஞ᫃
ܦ੪ல̀ੈ̓
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౏௧࠵ӝ的ྭ
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ր౏ಊႃ᛫. 一ͯ
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分௑ႃ᛫௿ᤰႃ᛫
࢏௑（8：0021：00）
៮௑（21：00 ҂次ெ 8：00）
ႃ价 0.55 元／千ၧ·௑
ႃ价 0.35 元／千ၧ·௑
ႃ价 0.52 元／千ၧ·௑
路ᄑࠒਫ਼ښ的࠵ӝ用的ႃ᛫ᦐ૱ੇ̀
分௑ႃ᛫. ᫈
题：ࠒऑΎ用分௑ႃ᛫௧不௧一定උ௿ᤰႃ᛫合ካքὝ
ᝍх᫈
题
᝺౽ࠒऑ౽月用ႃ঴᧚˞ a kW
·h （a ˞࣢数），Х中៮௑用ႃ x kW
·h ，ѷ࢏௑用ႃ
（a - x）kW
·h ，分௑ᝠ价௑঴价˞ y1 元，௿ᤰᝠ价௑঴价˞ y2 元. 
函数关系式˞：y1 = 0.35x + 0.55（a - x），y2 = 0.52a. 
1. े
 0.35x + 0.55（a - x）= 0.52a ௑，解४ x = 0.15a.  ൥௑，y1 = y2 . 
ឭ明：ݠ౧一˔ࠒऑં
ඈ月的用ႃ᧚的 15% ஊښ៮௑Ύ用，ᥧ˦ːመ方ขᠠ用ᄱ等. 
2. े
 0.35 x + 0.55（a - x）὜0.52a ௑，解不等式，४ x὚0.15a.  ൥௑，y1὜y2 . 
ឭ明：ݠ౧一˔ࠒऑඈ月ښ៮௑的用ႃ᧚࠵̆
ඈ月঴用ႃ᧚的 15%，ᥧ˦Ύ用௿ᤰႃ
᛫合ካ. 
山东教育出版社
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山东教育
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山
价௑঴价
250
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
3. े
 0.35x + 0.55（a - x）὚0.52a ௑，解不等式，४ x὜0.15a.  ൥௑，y1὚ y2 . 
ឭ明：ݠ౧一˔ࠒऑඈ月ښ៮௑的用ႃ᧚ܸ̆
ඈ月঴用ႃ᧚的 15%，ᥧ˦Ύ用分௑ႃ
᛫合ካ. 
路ᄑࠒతᤃː˔月用ႃ的数据：
៮௑用ႃ᧚／kW
·h
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·h
合ᝠᠠ用／元
181
239
0.35×181 + 0.55×239 = 194.80
ಪ据上᛫，ੈ̓
ᤉ行̀
ᝠካ:
x = 181，a = 181 + 239 = 420. 
xpa = 181p420 ≈ 0. 43. 
0.43὜0.15，
ਫ਼̿
用分௑ႃ᛫௧合ካ的. े
ཀྵ，̩̩
ಪ据一˔月的数据౏判ல௧ᤊᤊ不ܵ
的，ᭊஆ集ܳ
˔月的数据౏判ல. ᤈ
᧗ႀ̆
௑ᫎ
ᣗᆁ，௄ขஆ集ᴏ全. 
ງКଊ究
ಪ据分௑ႃ᛫的ྲ
ག，ᬔ̀
ெ࣢必ᮌો௑ᤉ行的一̏
用ႃܱ
，ݠ౧能࠲可ូ
用ႃ௑ᫎ
଍制ښ 21：00 ҂次ெ 8：00（៮௑），Ύ x
a 的ϙࡊ可能ܸ
，ࡃ可̿
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限एڡᓬᄵႃᠠ. ࠫ
൥，ੈ̓
ᤉ行̀ॆ
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࢏௑ႃᠠ / 元ࣀᮩ
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294
1.5
13.23
4.63
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ႃ༥
40
5.0
6.00
2.10
3.30
1.20
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ႃඵܨ
1 800
0.5
27.00
9.45
14.85
5.40
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500
0.5
7.50
2.63
4.13
1.50
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140
10.0
42.00
14.70
23.10
8.40
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6.0
14.40
5.04
7.92
2.88
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༥
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2.16
0.76
1.19
0.43
ա
合ᝠ
2 857
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112.29
39.31
61.77
22.46
ฌ：1 kW
·h = 1 000 W
×1 h
月用ႃ঴᧚（kW
·h ）= Ҫ率×௑ᫎ
×30p1 000
山东教育出版社
版社
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山东
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山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
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山东教育出版社
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教育
东教
东教
东教
东教
山东
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14.
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山东
14.
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山东
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5.
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山
04
251
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ಪ据上᛫，ੈ̓
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៮௑ࢺͻ，ᤈನࡃ可̿
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ᓬᄵ一ቸ不࠵的开ஃ. 
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育出版社
 
252
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
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的಴౶图可̿
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ག.
教师ᤇ应组ጻ学生̔ื
ښ
本册学习中的ஆᖍ和不ᡜ，۲
Щ̵̓
的Ԧ思ਓគ.
1.（1）
x = 2，
y = 5Ὑ
 
（2）
x = -4，
y = -1Ὑ
 
（3）
x = 1
2 ，
y = 5.
 
（4）
m = 1，
n = -2Ὑ
   （5）
x = 10，
y = 10Ὑ 
（6）
x = 370，
y = 110Ὑ
 
（7）
x = 6，
y = 4Ὑ  
（8）
x = -3，
y = -1Ὑ
   （9）
x = 1，
y = 1，
z = 2.
 
（10）
x = 2，
y = -1，
z = 1.
2. ଢᇨ：ण᫂
 c，Ύ˨与 b ᄱ̔
.  Џ证 a ĩ b，ཀྵՑг证 c ĩ d.

总复习题
山东教育出版社
版社
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山东
.
山
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山
x = 6
山
6
山
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
253
3. ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ ABĩCDὊࣳ
˅ᜂᄰጳ EF ਫ਼੕ὊEF Ѭѿ̔
 AB ֗
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 QS Ѭѿࣱ
ѬįBPF ֗
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 ර᝽὘įBPR!>įDQS. 
὆ኄ  ᮥ
὇
὆ኄ  ᮥ
὇
4. ࣃᅼ὘ݠڏὊᄰጳ ABĩCDὊįAEP!>įCFQ. 
 ර᝽὘įEPM!>įFQM. 
5. ݠڏὊࣃᅼ AB!>!ABὊAC!>!AAὊAD!>!AAὊ
AE!>!AAὊįB!>!ŃὊරįA ᄊए஝. 
6. ښǁABC ˗ὊࣃᅼįAὊįBὊįC ᄊए஝˨උ௧
   IJIJὊAB ᣸ʽᄊ˗ጳ᫂
˞ Ὂර AB ᄊ᫂
. 
7. ࣃᅼ὘ݠڏὊBD!ĭ!ACὊCE!ĭ!ABὊۇᡜѬѿ˞ག DὊEὊBD ˁ CE ᄱ̔̆
ག OὊAO
    ࣱ
ѬįBAC.  
    ර᝽὘OB!>!OC. 
὆ኄ  ᮥ
὇




὆ኄ  ᮥ
὇
8. ݠڏὊDE ௧ǁABC ᄊ᣸ AB ᄊۇᄰࣱ
ѬጳὊѬѿ̔
 AB ֗
 BC ̆
ག DὊEὊAE ࣱ
Ѭ
įBAC.  ࣃᅼįB!>!ŃὊරįC ᄊए஝. 
9. ᝍʾѵˀ኎रὊࣳં߲̓
ᄊᝍᬷ
Ѭѿ᛫ᇨښ஝ᣉʽ὘
 ὆὇x!.!x!=!Ὑ 
  
὆὇x!.!!?!xὙ 
 
  ὆὇x
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 Ὑ  
 
 
὆὇x!.!!?!!.!xὙ  
  ὆὇!.!x

!?!!.!xὙ 
 
὆὇x!.!
὆x!.!὇ļ!Ὑ
 ὆὇x .!
 !,!Ľ x
 Ὑ 
  
὆὇.x!.!ļ.x. 
A
E
B
C
D
O
B
E
C
A
D
὆ኄ  ᮥ
὇
总复习题

3. ଢᇨ：ႀ ABĩCD ४∠BPF 
=∠D
F，̆
௧∠BPR = 
1
2 ∠B P F = 1
2 ∠D
F = 
∠D
S.
4 . ଢᇨ：ႀ A B ĩ C D ४
∠AEF = ∠CFM，гፇ合
∠AEP=∠CF ，可४∠PEF 
= ∠FM，̰
Ꮻ PE ĩ F.
5.∠A4 = 10c.
6. AB = 8.
7. ଢᇨ：Џ证ǁAEO≌ǁADO
（A A S ），४ EO = DO，г
证ǁBEO ≌ǁCDO（A S A ）.
8.∠C = 90c.
9.（1）x ὚5Ὑ  
（2）x ὚-6Ὑ  
（3）x὜0Ὑ 
 
（4）x὜3Ὑ
   （5）x὜1Ὑ  
（6）x≥-
  3
2 Ὑ  
（7）x≥-2Ὑ  
（8）x≥-100.
    数ᣉ᛫ᇨ႕.
山东教育出版社
὆ኄ
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C ᄊए஝˨
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Ὂර
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AB
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山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
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Ꮻ
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 = 10
教育
10c
教育
c.
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.
6
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东教
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教
8.
教
.
7
东
7.
东教
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东教
ଢᇨ
东教
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x ὚
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东
5）
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东教
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1Ὑ
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山东
数ᣉ᛫
山东
数ᣉ᛫
山东教育出版社
（
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教
4）
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）
2
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2Ὑ
山
Ὑ
 
254
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书

总复习题
10.（1）௄解Ὑ
     （2）x὜4Ὑ
     （3）-1 ὚x ὚- 5
7 Ὑ
     （4）x ὚-1Ὑ
     （5）0 ὚x ὚1Ὑ
     （6）x≤1.
11. ̔
ག௧（1，3
2 ）Ὑ方程组
的解௧
x = 1，
y = 3
2 .
12. 证明：ı∠E= 90c，
      İ∠1 +∠3 = 90c.
      ԡı∠1 =∠2，∠3 =∠4，
      İ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 
          = 180c.
      İ AB // CD.
13. 证明：ıGE // AD，
      İ∠CAD =∠G，∠BAD
          =∠BFE.
      ı∠BFE =∠G，
      İ∠CAD =∠BAD.
14. ንವ不௧׭一，Զ要合理ᦐ要ፌ́
ᴂҵ. Γݠ：
15. Զ要ቡ方ʹ有ː˔᭧上и有数字“6”ԁ可.
16.（1）分ѿ᣿ག A 与 B ښ AB 的ՏΟͻ AB 的垂线，AE 和 BF.
     （2）分ѿͻ∠EAB 和∠FBA 的平分线 AM 和 BN，AM 与 BN 的̔
གΧ௧ਫ਼要੽的ག C.
ጚ
ጚ
὆ᣁᄨᜂ኎Ѭੇ
 5 ˔੡ॎ὇
（第 14 题）
山东教育出版社
版社
版社
程
版
程组
版
组
2
育
2 .
育
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∠
教
∠E=
教育
E= 90
教育
90c
教育
c，
育
，
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东教
+∠
东教
∠3
东教
3 =
东教
= 90
教
90c
教
c
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东
ԡı∠
东
∠1
东教
1 =
东教
=∠
东教
∠2
教
2
山
İ
山
İ∠
山东
∠1
山东
1 +
山东
+∠
东
∠
       =
山
       = 18
山
18
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山
İ A
山
A
山东教育出版社 
山东教育出版社
山
            山东教育出版社
D.
版
D.
4
东
4.
东教
. ንವ不௧׭
东教育
ንವ不௧׭
15
东
15.
东教
. Զ要ቡ方
东教
Զ要ቡ方
16
山东
16.
东
.（
东
（1
东
1
山东教育
教育
教育出版社
，
山
，AE 
山
AE 和
山东
和 BF
山东
 BF
AM
山
AM 与
山
与
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
255᫈ᮥ
ᝍх
17. ࣃᅼ὘ݠڏὊ኎᣸ʼᝈॎ DEF ᄊᮇགѬѿښ኎᣸ʼᝈॎ
  ABC ᄊ᣸ʽ. 
  ර᝽὘AD!>!BE!>!CF. 
὆ኄ  ᮥ
὇
18. ౽ಣదːመዝیᄊߦၷࠗ
ᒼ  ᫎ
Ὂܸ
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ᒼ.  ܸ
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19. ႁnj˳ːመ׸ֶ
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 ὃ.  ႁnj˳ːመ
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ՑὊ࠵௚ݥݥᄊࣲ
ᴔ௧࠵௚ᄊ  φ.
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ݥݥဘښᄊࣲ
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21. ʼ˔ᤌ፞
ᒭཀྵ஝ᄊ֗
࠵̆
 Ὂᤈನᄊᒭཀྵ஝ጸСదܳ
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Ѭѿиѣ౏. 
22. ႁnj˳ːࠒ஻ᛡᇫ˞̀
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ᡎ౽ڡ஻຤ᄊڄʹ͖
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  ႁ஻ᛡᇫᄊ͖
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  ௧὘ʷ॥ોԔ͉
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  ЋὊᥧ˦ᬤᅌ
  ڄʹ̡
஝ᄊԫӑὊדࠒ஻ᛡᇫᄊஆᠠఞ͖
ৼὝ
23. ౽ڡ˞ΨᤉກඵЩ൹ˊᄊԧ࡙
Ὂхࠀࠫ
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Ύກඵ᱓
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  ஋ऊᛪ᠛˞ t Ћ/ӢБὊᥧ˦᜶Ύඈெ࣊
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  t ˁ a ऄ໘ᡜТጇर ὆a!,!t!.!὇>!!.!a.  ˞Ύ࣊
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  Ћ/ӢБὊ
  ஋ऊᛪ᠛ᒰ࠶ऄ˞ܳ
࠶Ὕ
24. ౽ಣጸጻ࣎
ၷ௣຤Ὂᔪӭ࿘ምၹ  ऐࠇᢼᔪࣰ
ᣚὊѷѸݞگ໘Ὑᔪӭ࿘ምၹ  ऐ
  ࠇᢼὊѷԻ̿
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஝Ὑ
  ὆὇សಣхࠀᤈ൓௣຤Տ௑ምၹᤈːመᢼὊХ˗  ऐࠇᢼඋ  ऐࠇᢼܳ
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 ᤈನ᜶උӭ࿘ምၹʷመᢼᣚᓬᄵም᧛.  ࣃᅼ  ऐࠇᢼᄊም᧛˞ඈᣚ  ЋὊ
        ऐࠇᢼᄊም᧛˞ඈᣚ  ЋὊឰͿࣟ
Ұᝠካవ൓௣຤ਫ਼ᭊᢼᣚᄊም᧛. 
ᐏጇ઩ࣹ
25. ࣃᅼ὘ݠڏὊښǁABC ˗ὊAB Ὓ ACὊįA Ὓ ŃὊįACB ᄊࣱ
Ѭጳ CD ̔
 AB ̆
ག EὊįBDC Ὓ Ń.  
      ර᝽὘CE Ὓ BD.
总复习题

17. ଢᇨ：证明ǁADF ≌ǁBED 
≌ǁCFE.
18. 有ܸࠗ
ᒼ 16 ᫎ
，࠵ࠗ
ᒼ 14 ᫎ
.
ଢᇨ：可᝺有ܸࠗ
ᒼ x ᫎ
，
࠵ࠗ
ᒼ y ᫎ
，ѷ有方程组
x  y = 30，
8x  5y = 198.
19. ႁ׸ֶ
Ԕ价 40 元，˳׸ֶ
Ԕ价 60 元.
ଢᇨ：可᝺ႁ׸ֶ
Ԕ价 x 元， ˳׸ֶ
Ԕ价 y 元，ѷ有方程组
x + y = 100，
（1 - 10％）x + （1 + 40％）y =（1 + 20％）×100.
20. ࠵明和ݥݥဘښ的年ᴔ分ѿ௧ 15 ࡧ和 40 ࡧ.
ଢᇨ：可᝺࠵明和ݥݥဘښ的年ᴔ分ѿ௧ x ࡧ和 y ࡧ，ѷ有方程组
y - 10 = 6（x - 10），
y + 10 = 2（x + 10）.
21. С 4 组：0，1，2Ὑ1，2，3Ὑ2，3，4Ὑ3，4，5.
山东教育出版社
ԫӑὊႁ
社
ԫӑὊႁ
౏ᄊӭ͉֗
ଢᰴ
版社
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ଢᰴ̀
社̀
φὙ
版
φὙ
版
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ՑὊ࠵௚
版社ࣲ
ՑὊ࠵௚ܳ
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出ܳ
࠶Ὕ
Ὂᤈನᄊᒭཀྵ஝ጸ
育出版
Ὂᤈನᄊᒭཀྵ஝ጸ
ծळఞܳ
ᄊᮏࠇὊѬ
育出
ծळఞܳ
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ข௧὘˼
教育
ข௧὘˼ 
教育
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育
सЛᇾ͉
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教͉
ᄊ
教

教


教
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ৼ
教育͖
ৼ.
教育
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教育
ࣃᅼᤈ
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东教
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山东͉
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ښ 
东
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东
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东
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东
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山东
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山东
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东
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山
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山
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山
ऄ໘ᡜ
ᛪ᠛
山
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版社
东教育出版社             山东教育出版
教育
山东
ᅌ
山
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山
Ύກඵ᱓
ಫ˞
ಫ˞ a a Ћ/
Ћ/
Ћ/
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山
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/Ӣ
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ᭊර᧚൤ݞᄱ኎Ὂ
 
ᭊර᧚൤ݞᄱ኎Ὂ
ಫˀᰴ̆
ಫˀᰴ̆

 Ћ/
 
/Ӣ
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/Ӣ
/
ѷѸݞگ໘Ὑᔪӭ
 
ѷѸݞگ໘Ὑᔪӭ
መᢼὊХ˗
社
መᢼὊХ˗ 
社
 ऐࠇᢼ
 
ऐࠇᢼ
ᓬᄵም᧛
社
ᓬᄵም᧛. 
社
. ࣃᅼ
社 
ࣃᅼ
 ऐ

版
 ЋὊឰͿࣟ
Ұᝠ
版社
ЋὊឰͿࣟ
Ұᝠ
ABC
出
ABC ˗Ὂ
出版
˗ὊAB
出版
ABὛ
出版
ὛAC
版
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育
Ὓ
育出
Ń
育出
Ń. 
育出
. 
Ὓ
育
Ὓ
育
BD.
育
BD.
ᒼ
社
ᒼࠗ
ᒼ
版社ࠗ
ᒼx 
版社
x ᫎ
，
版社ᫎ
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ѷ有方程组
出版社
ѷ有方程组
30
出
30，
出
，

育
 5
育
5y = 
育出
y = 
5y
5
育
5y
5
198
育出
198.
出
.
山东教
山
׸ֶ
Ԕ价
教育
׸ֶ
Ԕ价40
教育
40 元
育
元
ଢᇨ：可᝺
东教
ଢᇨ：可᝺
x + y
东
x + y
（
东
（
山东
20
山
20
山东教育出版社
程组
山东
程组
256
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
22. े̡
数࠶̆
 8 ̡
௑，˳஻行社的ஆᠠ更͖
ৼὙे̡
数等̆
 8 ̡
௑，ːࠒ஻行社的ஆᠠ一
ನὙे̡
数ܳ̆
 8 ̡
௑，ႁ஻行社的ஆᠠ更͖
ৼ.
23. ᒰ࠶应˞ 0.4 元.
      ଢᇨ：ႀ题᝺，解४ a = 1 070 - 100t
103
，ಪ据题ਓ，४
      6≤1 070 - 100t
103
≤10.
      解४ 0.4≤t≤4.52. ൥௑，஋ऊᛪ᠛ t ᒰ࠶应˞ 0.4 元.
24.（1）270 ̡
Ὑ
     （2）1 400 元.
      ଢᇨ：᝺本次௣຤ᭊም 45 ऐࠇᢼ x ᣚ，ಪ据题ਓ，४
      
45x + 60（x + 1）≥270，
250x + 300（x + 1）≤1 500.
25. ଢᇨ：ण᫂
 CA，BD ̔̆
ག F，证明ǁACE ≌ǁABF.
山东教育出版社
6
社
6≤
社
≤
൥௑，஋ऊᛪ᠛
出版社
൥௑，஋ऊᛪ᠛
元
育
元.
育
.
᝺本次௣຤ᭊም
教育出
᝺本次௣຤ᭊም
x +
教
x + 60
教育
60（
教育
（x + 
教育
x + 1
育
1
250
东教
250x +
东教
x + 300
教
300
东
25
山
25. 
山东
. ଢᇨ：ण
山东
ଢᇨ：ण
山东
山东教育出版社             山东教育出版社
山东
山东
E 
E ≌ǁ
山
ǁABF
山
ABF.F.F.F
山东教育出版社
஝ߦ
七年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
257
总复习题

26.
  ଢᇨ：∠ECB =∠F = 1
2 ∠AGC
       = 1
2 ∠ACG.
27.（1）AE = EB，∠BED = 
              ∠AED，∠BDE =∠ADE 
          BD = AD，∠B =∠DAE
 
（2）ଢᇨ：Ѿ用 A A S 证明
          ǁACD ≌ǁAEDὙ
（3）不能.
28. 180c.  
      ଢᇨ：ݠ图，
      ∠AFB =∠1 +∠2 +∠4，
      ∠AFB =∠EFC，
      ∠EFC +∠3 +∠5 =180c，
      ਫ਼̿
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5 =180c.
1
2
3
4
5
C
D
B
E
A
F
（第 28 题）
山东教育出版社
山东教育出版社             山东教育出版社
山东教育
山东教育出版社
育出版社             山
ED =
社
ED =
D
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DE
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E
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D =
版社
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社
E
DE
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社
DE
D
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出
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出
，∠
出版
∠B
出版
B =
版
=∠
版
∠D
版
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版
A
DA
D
版
DA
D
ᇨ：Ѿ用
出版
ᇨ：Ѿ用A A S
出版
A A S
ǁ
育
ǁACD 
育出
ACD ≌
育出
≌ǁ
出
ǁA
出
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3
教
3）不能
教育
）不能.
育
.
0
教
0c
教
c. 
教
. 
东
ଢᇨ：ݠ图
东教
ଢᇨ：ݠ图
山东
∠
山东
∠AFB =
东
AFB =
山
∠
山东
∠AF
东
AF
山
山东教育出版社
山东教
东
1
山东
1
2
山
2
山
2
F
山
F