（五四学制）数学教师教学用书9年级下册(1)_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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山东教育出版社 
山东教育出版社
出 版 说 明
为了更好地满足义务教育教学的需求，山东教育出版社等单位受
山东省教育厅委托，以教育部审查通过的义务教育教科书为基础，改
编出版了一套适合五四分段教学使用的义务教育教科书。本书依据
《义务教育数学课程标准（2011年版）》，配合山东教育出版社《义务
教育教科书（五四学制）·数学》（九年级下册）编写而成，供教师教
学时参考使用。
本书力求体现义务教育课程标准精神和教科书的编写意图；从教
师教学实际出发，既有利于教师更好地把握教科书的内容，解决备课
中的实际困难，又留给教师一定独立发挥、独立钻研教科书的个性空
间；根据素质教育的要求，在每一教学环节都注重体现对学生进行知
识与能力、思想与方法、情感态度与价值观的培养；注意吸收数学教
育教学的最新研究成果；符合五四分段教学实际，体现五四学制教育
特色。
本书是在北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学教
师教学用书》（九年级上、下册）的基础上改编而成的。参加本书改编
的人员是韩际清、陈杰、王德刚、云鹏、柳圣明、刘崇渭、赵水祥、
辛珍文，由马复、韩际清主编。  
欢迎广大教师在使用过程中提出修改意见和建议，以利于本书的
不断改进和完善。
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YIWU JIAOYU JIAOKESHU （WU·SI XUEZHI）
SHUXUE
JIAOSHI JIAOXUE YONG SHU
JIU NIANJI XIA CE
义务教育教科书（五·四学制）
数学
教师教学用书
九年级  下册
*
山东出版传媒股份有限公司
山东教育出版社出版
（济南市纬一路321号）
山东新华书店集团有限公司发行
山东华立印务有限公司印装
*
开本：787 毫米×1092 毫米  1/16
印张：11.25  字数：144 千
定价：17.00 元（上光）
ISBN 978-7-5328-8582-4 
2015 年 1 月第 1 版  2019 年 1 月第 2 版  2020 年 1 月第 6 次印刷
著作权所有· 请勿擅用本书制作各类出版物· 违者必究
  图书在版编目（CIP）数据
    数学教师教学用书.  五·四学制.  九年级.  下册 / 
马复等编.   —2版.   —济南：山东教育出版社，2019. 1
（2020. 1重印）
    义务教育教科书
    ISBN 978-7-5328-8582-4
    Ⅰ.   ①数…   Ⅱ.   ①马…   Ⅲ.   ①中学数学课 - 初
中 - 教学参考资料   Ⅳ.   ①G633.603
    中国版本图书馆CIP数据核字（2018）第297959号
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S H U X U E
义
务
教
育
教
科
书
Ⅰ
目   录
第五章 圆
1 圆 
5（2）
2 圆的对称性 
11（7）
3 垂径定理 
18（14）
4 圆周角和圆心角的关系 
22（18）
5 确定圆的条件 
29（25）
6 直线和圆的位置关系 
37（32）
7 切线长定理 
47（42）
8 正多边形和圆 
50（45）
9 弧长及扇形的面积 
58（53）
10 圆锥的侧面积 
61（56）
回顾与思考 
65（60）
复习题 
65（60）
第六章 对概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率 
86（68）
2 生活中的概率 
104（78）
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S H U X U E
义
务
教
育
教
科
书
Ⅱ
3 用频率估计概率 
106（80）
回顾与思考 
115（87）
复习题 
118（88）
综合与实践
 哪种方式更合算 
133（91）
综合与实践
 统计活动——视力的变化 
148（94）
综合与实践
 折纸与数学 
160（98）
总复习题 
165（101）
 注：括号内页码系教科书的页码.
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1
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九年级  下册
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ஔ学用书
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育出版社五四学制ǒ义务教育教科书·数学Ǔ（九年级  下册）编ᣤᏫੇ
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教
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ᅼគ，थ立ኀ合˔ʹᝣᅼྲ
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ᭊර  教科书ښδ᝽۳本᜶求的Տ௑，˷˞有更多数学学习ᭊ求
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ஔ学用书
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教学活动中，教师ऄಪ据学生ࠄᬅ，ѹᤵ性ڡΎ用教科书，积ౝ开发和Ѿ用Պ种教
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与ऄ用᣿ሮὙ᜶关
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生的ᝣᅼྲ
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ஔ学用书
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和᫈
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ǒಖюǓ的᜶求，଍制考តᬲए及次数，଍制ࠇ᜺题ی的උΓ，ᥘВ
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价Ի᧔用កឦ的形式，更多ڡ关ฌ学生ࣃፃଂଧ̤̀
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ᤉ൦，Цܬ̤̀
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ᤇᭊ᜶ښ哪̏
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习数学的Уᡚ，Ψᤉ学生的Л面发࡙
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ஔሙ书ʹΓ
本版教科书̿
学生的学习活动˞出发ག，ԁ࠲教科书ᯫЏ视˞学生学习的þ学ె
ÿ. 
教科书ʹΓ̿
þቦÿ˞一˔۳本ӭ位，ˀՏቦ˨ᫎ
的ʹΓࣳ
௄௚௭ӝѿ.  ඈ一ቦ的۳本ʹ
Γݠ下：
（1）ቦᯫᮆ.  ӊ઺：本ቦՐ称nj本ቦ˟题图nj本ቦळᝓ
nj本ቦ学习ᄬಖ.  
（2）ᔪࣰ
ᓬ.  ඈ一ᓬܸ
ᒱӊ઺：
——ᓬՐ称.  
——᫈
题ৱܒ：̿
学生ᒭᢶ和周ڊဗܒ中的ᒭཀྵဘ៶nj社͘
生活nj数学或Х̵
学科中
的᫈
题˞ᅼគ学习的切Кག，ቊ出数学与ဘࠄˇႍ
njХ̵
学科˨ᫎ
的ᐏ系，̿
及ᅼគ̗
生
的ႀ౏，ळ发学生的学习൘మ，ࣳ
ळ࠮̵̓
的思፥ૉՔ࠲᜶学习的新ᅼគ.  
山东教育出版社 
 
 
       山东教育出版社
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九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
——᫈
题˙：ႀู
Кງ，ଢ出一系ѵ有思፥ࡏ次或ˀՏ理ᝍງए的᫈
题，力图Ύඈ一
位学生ᦐᑟઆК҂学习活动中，ˀՏ的学生有ˀՏ的ஆᖍ.  
——数学活动：Κ据学生ࣃ有的ᅼគᑀఀ
和活动ፃᰎ，᧫对ᄱऄ学习˟题，Ք学生ଢ
Ι̿
ᒭ˟ଊጊnj合ͻ̔ื
等方式ᤉ行的˟动式学习活动，ӊ઺þϢ一Ϣÿþਇ一ਇÿþᝬ一
ᝬÿ等.  
——思考与ட理：ᝨ学生ፃԋॆ
ጪnj概઺等᣿ሮ，ଢང出上ᤘ活动中的数学学习对
៶，ࣳ
用ᒭࣂྀ
৙的方式njឦᝓ
及数学ኀ号ԝ表᣺.  
——௚ఁ：̿
ᣗ˞᜻ᔵ的形式表᣺˟᜶的数学对៶（ݠ重᜶的ፇ᝷njషឦnj概ঐnjข
ѷ等）.  
——Γ题：直ଌᐏ系ਫ਼学Яࠔ的۳ᆩ性᫈
题.  
——ᬤ۶ጷ习：与ЏҒ的数学活动或Γ题关ᐏ的۳本᫈
题.  
——឴
一឴
：与学习˟题ࠛ
切ᄱ关的数学Ծࠄnjဘࠄ中的数学ऄ用̮
ፁ஡ቦ或ᡚ֊性
࠵ֶ
஡.  ඈቦᒰ࠶有一ኽ.  
——习题.  ഷՔѬ˞：ᅼគ੿ᑟnj数学理ᝍnj᫈
题ᝍхnjᐏ系઩ࣹ
ὙጫՔѬ˞：一ᓊ
性᫈
题nj࠽ត性᫈
题（̿
þĄÿಖᝮ）.  
（3）ቦՑ࠵ፇ：回顾与思考.  ̿
᝺᫈
的方式，ᝨ学生ᤰ᣿思考与̔ื
，೛理ਫ਼学的ᅼ
គ，थ立ኀ合˔ʹᝣᅼྲ
ག的ᅼគፇ౞.  
（4）ቦ复习题.  复习题与习题ዝͫ
，˷̰
ഷՔnjጫՔː˔方面ᤉ行̀
Ѭዝ.  

ஔ࣎
ஔ学用书ʹΓ
教师教学用书௉ښळ࠮教师ࣟ
Ұ学生学习.    与教科书ᄱՏ，教师教学用书ʹΓ˷̿
þቦÿ˞一˔۳本ӭ位，Х۳本ʹΓښ̿
教科书的ʹΓ˞þጩÿ的Ғଢ下，ܙҫ̀
ᄱऄ
的教的᜶ጉ，̿
ʹဘþ教师টನϢ੦有Ұ̆
学生有஍ڡ学ÿ的ૉ࠮思ਇ.    教师教学用书
ඈ一ቦ的۳本ʹΓݠ下：
（1）ǒಖюǓ᜶求：̮
ፁǒಖюǓ对ᄱ关Яࠔ的Цʹ᜶求.  
（2）教学ᄬಖ：ᤰ᣿本ቦ教学活动࣏
మ᣺ੇ
的多፥课ሮᄬಖ.  
（3）᝺计思路：̮
ፁ本ቦ教科书的编иਓ图nj编и思路̿
及Яࠔ重心等，᫨ᤘ本ቦЯ
ࠔ与本册书或Лݓ书Х̵
ᄱ关Яࠔ˨ᫎ
的关系.  
（4）课௑߷ଆथᝬ：ଢ出本ቦЦʹ教学课௑߷ଆथᝬ.  
（5）教学थᝬ（঴ʹ）：᧫对本ቦ教学重心及᜶ག，ଢ出一̏
ښ教学活动中的ܫ理方
ขnjฌਓག，̿
及ᤥહХ̵
教学资ູ
等方面的୲ͻ性थᝬ.  
（6）ក价थᝬ（঴ʹ）：᧫对本ቦ教学Яࠔ及教学活动的重心nj᜶ག，ଢ出˟᜶的教
学ក价方面和方ข.  
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九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
（7）Պᓬ（ӊ઺þ回顾与思考ÿ）Цʹ教学ឭ௚：᧫对ඈ一ᓬ（ӊ઺þ回顾与思
考ÿ）Цʹ的活动或᫈
题等，ଢ出教学थᝬ，ଢΙᄱ关᫈
题的ንವ.  
（8）ᬄै
：ଢΙ一˔Чی教学ವΓ及Хក价.  有̏
ቦᤇଢΙ一̏
学科઩࡙
ᅼគ.  

Ύ用ឭ௚
（1）̰
Цʹ୲ͻࡏ面ᄺ，ˀՏ的教师᧫对Տನ的教学ЯࠔԻ̿
有ᒭࣂ的教学方式nj方
ข，ᤈࡃ௧教学ѹᤵ性的一种ʹဘ.  教师ᤉ行有஍教学ѹᤵ的Ғଢ௧ю确ં
ଧǒಖюǓ的
᜶求nj理ᝍ教科书的编иਓ图.  ڂ൥，教师教学௑Իښᥖ॰上ᤘԔѷ的۳ᆩ上，ಪ据学生
的ࠄᬅ状ц，ѹᤵ性ڡΎ用本书，ݠஈ变或ణ૱教科书中的Γ题或习题，ڂڡ制ࠂڡѹ᝺
一̏
学习ৱܒnj学习ጉె
和教学用Ц.
（2）教科书中ᭊ᜶学生߹ੇ
的͊
务，ӊ઺ॆ
ጪขѷ（方ข）njଡᤘ概ঐ（定义）nj঴
ፇਫ਼学Яࠔ的ᅼគፇ౞等.  ऄᯫЏᴂҵ学生ᤰ᣿࿘立思考与合ͻ̔ื
ፌ出Պᒭ的ንವ，教
师ѷښ学生ЍѬ活动的۳ᆩ˨上̮
ፁ᜻ᔵ的表ᤘ，ͮ
ˀࠂ᜶求学生఻೚ᝮॺ᜻ᔵ的表ᤘ，
ऄଢϏښ̀
ᝍˀՏንವ的۳ᆩ˨上，ඈ˔̡
ᤥહతᤠ
合ᒭࣂ的ንವ.
（3）教科书中的þ឴
一឴
ÿᄬ的ښ̆
ፌ对数学有Уᡚ的学生̿
更多̀
ᝍ数学njଊቃ数
学的఻͘
，௧教学中þु
性ÿ的一种表ဘ.  教学中ऄ௚确：有Уᡚ的学生Ի̿
ᤥહᄱ关ె
料ᤉ行᫞឴
和思考，教师ѷ有义务ፌ̵̓
ଢΙॹ᜶的ࣟ
Ұ.   习题中ࣜ
þĄÿ的Яࠔ̩̩
面
ՔᦊѬ学生，̿
໘ᡜ̵̓
ᤉ一൦理ᝍ和ᆑቃ有关ᅼគ与方ข的ᭊ求，௧ʹဘ教学þु
性ÿ
的Գ一˔方面，ˀऄे
᜶求Лʹ学生ᦐ࠽តԝ߹ੇ߲̓
.
（4）本书的ᄬ的ښ̆ࣟ
Ұ教师更ݞڡં
ଧ教科书，ӊ઺߲
的঴ʹᄬಖnj编и思路njЯ
ࠔፇ౞nj教学中ऄे́̿
关ฌ的重ག和ᬲག.  ਫ਼ଢ教学थᝬ̩
Ι教师ښ教学᣿ሮ中参考，࣏
మࣹܸ
教师ښΎ用᣿ሮ中对߲
ଢ出ࠃ᠜的ਓ᜹和थᝬ.  
៙៙Ἷ
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1
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ኄ̋
ቦ
 ړ
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. 理ᝍ圆nj弧njऺ
nj圆心角nj圆周角的概ঐ，̀
ᝍ等圆nj等弧的概ঐὙଊጊࣳ̀
ᝍག
与圆的位置关系Ὄ
2. 
*ଊጊࣳ
᝽௚垂径定理：垂直̆ऺ
的直径ࣱ
Ѭऺ̿
及ऺ
ਫ਼对的ː条弧Ὄ
3. ଊጊ圆周角与圆心角及Хਫ਼对弧的关系，̀
ᝍࣳ
᝽௚圆周角定理及Х଎᝷：圆周角
的ए数等߲̆
ਫ਼对弧上的圆心角ए数的一ӧὙ直径ਫ਼对的圆周角௧直角Ὑ90c的圆周角ਫ਼
对的ऺ
௧直径Ὑ圆Яଌ四边形的对角̉
ᛪὌ
4. ᅼ᥋ʼ角形的Я心和ܱ
心Ὄ
5. ̀
ᝍ直线和圆的位置关系，ଂଧ切线的概ঐ，ଊጊ切线与᣿切ག的ӧ径的关系，͘
用ʼ角ࡇ᣿圆上一གႇ圆的切线Ὄ
6. ଊጊࣳ
᝽௚切线长定理：᣿圆ܱ
一གਫ਼ႇ的圆的ː条切线长ᄱ等Ὄ
7. ͘
计算圆的弧长nj扇形的面积Ὄ
8. ̀
ᝍ正多边形的概ঐ及正多边形与圆的关系Ὄ
9. ͘
Ѿ用۳本ͻ图߹ੇ
：᣿ˀښՏ一直线上的ʼགͻ圆Ὑͻʼ角形的ܱ
ଌ圆njЯ切
圆Ὑͻ圆的Яଌ正方形和正О边形Ὄ
10. ښࡇ᜻ͻ图中，̀
ᝍͻ图的᥋理，δ႑ͻ图的჉ᤜ，ˀ᜶求и出ͻขὌ
11. ଊጊ圆的ᣉ对称性᠏
和中心对称性᠏
Ὄ̄
nj教ߦ目ಖ
1. ̀
ᝍ圆周角nj等圆nj等弧等概ঐὌ
2. ᝣគ圆的ᣉ对称性和中心对称性，ଊጊࣳ
᝽௚垂径定理Ὄ
3. ଊጊࣳ
᝽௚圆心角nj弧njऺ
˨ᫎ
ᄱ等关系的定理，ଊጊࣳ
᝽௚圆周角和圆心角的关
系定理，及圆周角定理的଎᝷Ὄ
4. ଊጊࣳ̀
ᝍག与圆nj直线与圆的位置关系Ὄ
5. ̀
ᝍ切线的概ঐ，ଊጊ切线与᣿切ག的直径˨ᫎ
的关系，ᑟѼ定一条直线௧ա˞圆
的切线，͘
᣿圆上一གႇ圆的切线Ὄ
6. ᅼ᥋ʼ角形的Я心和ܱ
心，ଊጊࣳ
᝽௚切线长定理Ὄ
7. ̀
ᝍ正多边形与圆的关系Ὄ
8. ͘
计算圆的弧长nj扇形的面积Ὄ
9. ̀
ᝍ圆锥的侧面࡙
开图，͘
计算圆锥的侧面积和Л面积Ὄ
10. ፃԋଊጊ圆及Хᄱ关ፇ᝷的᣿ሮ，ᤉ一൦ᝣគ和理ᝍᆑቃ图形性᠏
的Պ种方ข，发࡙
数学思፥Ὄ
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2
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ʼnj᝺ᝠন᡹
本ቦ௧ښ学习̀
直线ی图形的有关性᠏
和᝽௚的۳ᆩ上，౏ଊጊ一种ྲ
൴的జ线ی图
形——圆的有关性᠏
Ὄښ学习ᤈ一ቦ˨Ғ，学生ࣃፃᤰ᣿折纸nj对称njࣱ
ረnj஽ᣁnj଎理
᝽௚等方式ᝣគ̀
᝵多图形的性᠏
，积ግܸ̀
᧚的ቇᫎ
与图形的学习ፃᰎὌ本ቦ᝺计ЍѬ
ʹဘ̀
学生ࣃ有ፃᰎ的ͻ用ὌΓݠ，用折ԯnj஽ᣁ的方ขଊጊ圆的对称性Ὑ用஽ᣁ变૱的
方ขଊጊ圆心角nj弧njऺ
˨ᫎ
ᄱ等关系的定理，ཀྵՑҫ̿
᝽௚Ὑ用଎理᝽௚的方ขᆑቃ圆
周角和圆心角的关系Ὑ用对称变૱及Ԧ᝽ขᆑቃ切线的性᠏
Ὑ用图形ᤂ动的方ขᆑቃ直线
与圆的位置关系，等等Ὄ
第一ᓬþ圆ÿ，˟᜶௧ᝨ学生ᤰ᣿ࠄΓ౏ॆ
ጪ出圆的定义Ὄᙊཀྵ࠵学᫽඀及О年级௑
学生ࣃፃ对圆的有关ᅼគ有ਫ਼̀
ᝍ，ͮ
ᤇ෥有ચ៶出þࣱ
面上҂定ག的ᡰሏ等̆
定长的ਫ਼
有གጸੇ
的图形ԷϢ圆ÿ的概ঐὌ本ᓬ˟᜶Ύ学生ʹ͘
圆的概ঐ的形ੇ
᣿ሮὌ
圆௧一种ྲ
൴的图形，߲
௅௧中心对称图形ԡ௧ᣉ对称图形，ᤈ一གښҒї册学习对
称性௑，学生ࣃፃ有ਫ਼̀
ᝍὌՏ௑，圆ᤇЦ有஽ᣁˀ变性Ὄ本ቦώҰ圆的஽ᣁˀ变性ԝଊ
ጊ圆心角nj弧njऺ
˨ᫎ
的关系Ὄ
ښଊጊ圆周角和圆心角关系的᣿ሮ中，ᝨ学生形ੇ
Ѭዝᝧ᝷的ਓគ，௚确Ѭዝ的Κ据Ὄ
确定圆的条件ˀ̩̩
௧一˔ͻ圆的᫈
题，Ꮻ˅Ի̿
Ύ学生ʹ͘
ښᤈ一᣿ሮ中ਫ਼ʹဘ的ॆ
ጪ
思ਇὌ
ᤰ᣿直线与圆的ᄱ对ᤂ动方式，ᝣគ直线与圆的位置关系，Ύ学生௚确þ直线与圆的
位置关系ÿ的ᄱ̉
ᐏ系，ʹ͘
形与数的统一和ᣁ化.  教科书ᤇᤰ᣿切线的性᠏
定理njѼ定
定理nj切线长定理和ʼ角形的Я切圆概ঐ，重གᆑቃ̀
直线与圆ᄱ切的ৱц，ᤉ一൦发࡙
学生的଎理ᑟ力.  
正多边形௧þ图形与ї͵ÿᮗ۫
ਫ਼ᆑቃ的一ዝ重᜶的直线ی图形，Տ௑߲
与తእӭ的
జ线ی图形——圆有ᅌງ҉的Яښᐏ系. ښþ正多边形和圆ÿ一ᓬ中，ˀ̩
ᝨ学生ଊጊ߲̓
˨ᫎ
的ᤈ种ᐏ系，ࣳ
˅学习̀
ї种ྲ
൴正多边形的ͻ图方ข̿
及正多边形的边长nj边心ᡰ
和ӧ径的计算᫈
题，˞ፙ፞
学习ᰴ中ЯࠔϢݞюܬ.
弧长nj扇形的面积nj圆锥的侧面积和Л面积的计算公式ˀ௧直ଌፌ出的，Ꮻ௧᜶求
学生ᤉ行ଊጊ.  ڂ൥，þ弧长及扇形的面积ÿþ圆锥的侧面积ÿᤈːᓬˀ̩̩
᜶求学生͘
计
算，Ꮻ˅ऄសΎ̵̓
理ᝍ公式的ਓ义，理ᝍ算ข的ਓ义.  
ᭊ᜶ឭ௚的௧，଎理᝽௚௧本ቦ᧔用的ᆑቃ੤඀˨一. Տ௑，本ቦᤇʹဘ̀
ᤂ动nj变
૱njᣁ化njѬዝᝧ᝷等数学思ਇ方ข，ښ教学中ऄฌਓʹဘ.
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
  1 圆 
 
 
 
 
 
    
 
 
         1 课௑
  2 圆的对称性 
 
 
 
 
 
    
 
         2 课௑
*3 垂径定理 
 
 
 
 
 
    
 
         1 课௑
  4 圆周角和圆心角的关系 
 
 
 
 
 
   2 课௑
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3
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
  5 确定圆的条件  
 
 
 
 
    
 
         2 课௑
  6 直线和圆的位置关系  
 
 
 
 
    
         4 课௑
*7 切线长定理 
 
 
 
 
 
    
 
         1 课௑
  8 正多边形和圆  
 
 
 
 
 
    
         2 课௑
  9 弧长及扇形的面积 
 
 
 
 
 
 
   1 课௑
10 圆锥的侧面积  
 
 
 
 
 
    
         1 课௑
回顾与思考 
 
 
 
 
 
 
 
   2 课௑̋
nj教ߦथᝬ
1. 积ౝळ࠮学生̰̃
᜺ࠣ
nj฾᧚nj折ԯnjࣱ
ረnj஽ᣁnj଎理᝽௚等活动，ࣟ
Ұ̵̓
有
ਓគڡ积ግ活动ፃᰎ，ᖍ४ੇ
Ҫ的ʹᰎ. 教学中，ऄᴂҵ学生动੤nj动԰nj动ᑨ，ࣳ
ᤉ行Տͧ
˨ᫎ
的̔ื
Ὄ
2. ЍѬѾ用ဘࠄ生活和数学中的ጉె
，Ύ学生ଊጊ与圆有关的概ঐ和性᠏
，ࡊԻᑟڡ
᝺计Ц有્੍
性的ৱܒ，༏发学生求ᅼnjଊጊ的൘మὌ
3.  ᴂҵ学生用多种方ขԝᝣគ圆的有关性᠏
，有ਓគڡ໘ᡜ学生多ನ化的学习᜶求.
4. ښ᜺ࠣ
nj୲ͻ和଎理活动中，Ύ学生有ਓគڡԦ思Х中的数学思ਇ方ข，发࡙
学生
有条理的思考及表᣺ᑟ力Ὄ
Оnjក͉
थᝬ
1. 关ฌ学生思考方式的多ನ化，ฌ重对学生᜺ࠣ
nj୲ͻnj଎理᝽௚等活动ᤉ行ក价，
ӊ઺学生ښ活动中的˟动性nj参与ሮएnj与Տ学合ͻ̔ื
的ਓគnj思考与表᣺的条理性等.
2. 对有关概ঐ学习的ក价，ऄ˟᜶ᤰ᣿ࠄΓᤉ行Ὑ对有关性᠏
学习的ក价，ऄ更多考
ಊ学生௧աώҰЦʹ的思考方ขԝ理ᝍὙ对有关计算的ក价，ऄᅌ重考ಊ学生௧աਵ४̀
۳本的算理Ὄ
3. ښெ࣢教学中，ˀ̩
᜶关ฌ学生ᑟա计算或଎出౽˔ፇ᝷，Ꮻ˅᜶关ฌ学生ښՊ种
数学活动中的ৱਖ和গए，ྲ
ѿ௧ښ࠵ጸ活动中的表ဘ，对̆
学生ښ本ቦ学习njଊጊ᣿ሮ
中出ဘ的新方ข或新ͻֶ
，Ի̿
ᤰ᣿ੇ
长ᝮै
的形式ᤉ行ក价Ὄ
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4
஝ߦ
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ஔ学用书
ቦҒ஡字௉ښ༏发学生学
习的Уᡚ，Տ௑ૉ出本ቦ学习
的˟᜶Яࠔ. ᤈ᧗ଢ出的᫈
题ˀ
᜶求学生ፌ́
回ን.
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஝ߦ
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ஔ学用书
5
教ߦ目ಖ
1. ፃԋ形ੇ
圆的概ঐ的᣿
ሮ，ፃԋଊጊག与圆位置关系
的᣿ሮὌ
2. 理ᝍ圆的概ঐ，̀
ᝍ等
圆的概ঐ，̀
ᝍག与圆的位置
关系Ὄ
本ᓬ˟᜶用集合的᜺གᆑ
ቃ圆的概ঐ及ག与圆的位置关
系.
教学᫈
题（1）௑，Ի̿
ፌ学生໦ᇨ正方形或ᅾ形的ᢼ
ᣃښ行ᡌ௑ߛښ的᫈
题，ࣳ
ᝨ
学生ᤰ᣿计算ᝣគ҂正方形
或ᅾ形边上的Պག҂中心的ᡰ
ሏˀЛᄱ等，Ύ学生ਖԪ圆形
的ᢼᣃᤂᣁᡑ౏తࣱ
ሷ.  ᫈
题
（2）Џᝨ学生᜺ࠣ
ᢼᣃ边ᎆ上͊
ਓːག A，B҂ᢼᣃᣉ心O的
ᡰሏ，ႀ߲̆̓
的长ᦐ等̆
ᢼ
ᣃᣣ条的长，ਫ਼̿
 AO = BO，̰
ᏫΎ学生ᝣគ҂圆上͊
ਓ一
ག҂圆心的ᡰሏ௧一˔定ϙ，
˞ଫᇨ圆的本᠏࡛
性ѹ᝺生活
中的ৱܒ.  ᫈
题（3）ᝨ学生
ᤰ᣿ˡΓ，ਖԪ圆௧生活中త࣢᜹的一种ࣱ
面图形，̰ܸࣳ
᧚的ࠄΓ中概઺出圆的СՏྲ
ढ़.  ᫈
题
（4）ښ学生ਖԪ圆的生活ࠄΓ的۳ᆩ上，ႀ圆的发生᣿ሮळ出圆的ଡᤘ性定义.
ό1ύ学生ښҒ面的学习中ࣃፃ学᣿圆的概ঐὌ教科书ښ൥用集合的᜺གፌ出̀
圆的ଡᤘ性定义Ὄં
一˔ї͵图形ᄺੇ
௧໘ᡜ౽种条件的ག的集合的思ਇ，ښї͵中ӡѬ重᜶，ڂ˞ᤈࠄᬅ上
ࡃ௧关̆
ᢾᤜ的概ঐὌ线඀的垂直ࣱ
Ѭ线，ࠄᬅ上௧þ҂线඀的ː˔ቫགᡰሏᄱ等的གÿ的ᢾᤜὙ
角的ࣱ
Ѭ线，ࠄᬅ上௧þ（ښࣃᅼ角Яᦊ）҂角的ː边ᡰሏᄱ等的གÿ的ᢾᤜὌ圆，ࠄᬅ上௧þ҂
定ག的ᡰሏ等̆
定长的གÿ的ᢾᤜὌં
一˔图形ᄺੇ
௧໘ᡜ౽种条件的ག的集合，ॹᮌኀ合下ѵː
ག：① ښ图形上的ඈ一˔ག，ᦐ໘ᡜ౽种条件ὙŁ ໘ᡜᤈ种条件的ඈ一˔ག，ᦐښᤈ˔图形上. ᤈ
ː方面的᜶求Ꭵ一ˀԻὌ① δ᝽̀
图形上ག的ጦዲ性，ԁˀా
ὙŁ δ᝽̀
图形的߹ܬ性，ԁ෥有
ό1ύ

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஝ߦ
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ஔ学用书
໤଀໘ᡜᤈ种条件的གὌ① Ł Տ௑ኀ合，δ᝽̀
图形上的གþˀా
ˀ໤ÿ. ᔪԶኀ合 ①，
ѷ有Իᑟ图形上໤଀໘ᡜ条件的གὙᔪԶኀ合 Ł，ѷ图形上有Իᑟຉా
上ˀ໘ᡜ条件的ག. 
对̆
ᤈ̏
，̃
ࠄ上，教师ऄ心中有数，ˀॹՔ学生ᝯᝍὌ
确定一˔圆ᭊ᜶ː˔᜶ጉ，一௧位置，̄
௧ܸ
࠵Ὄ圆心确定Х位置，ӧ径确定Хܸ
࠵. 
Զ有圆心෥有ӧ径，ᙊཀྵ圆的位置ڍ定，ܸͮ
࠵ˀ定，ڂᏫ圆ˀ确定ὙԶ有ӧ径Ꮻ෥有圆
心，ᙊཀྵ圆的ܸ
࠵ڍ定，ͮ
圆心的位置ˀ定，ڂᏫ圆˷ˀ确定ὌԶ有圆心和ӧ径ᦐڍ定，圆
੦ᜂ׭一确定Ὄ௚确ː˔᜶ጉ的ͻ用，对̭
Ցͻ圆或ښᝍౢ
ї͵中求圆的方ሮᦐ௧ӡѬ重᜶
的ὌΓݠ，ͻʼ角形ܱ
ଌ圆的᫈
题，Իᣁ化˞求圆心位置的᫈
题Ὄ
ਇʷਇ
教学中ˀॹ᜶求学生ԝድ确ڡए᧚ᤈ̏
线඀的长ए，Զ᜶求有一˔ܸ
࠵估计ࡃԻ̿̀
. 
˞̀
Ύ学生ЍѬ理ᝍག与圆的位置关系，教学௑˷Ի̿
ᝨ学生ࣱ
ረ圆ܱ
一ག，᜺ࠣ
þག与
圆的位置关系ÿ和þག҂圆心的ᡰሏ与ӧ径˨ᫎ
的数᧚关系ÿ˨ᫎ
的关系. 
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஝ߦ
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7
ό1ύག与圆的位置关系Ի̿
ᣁ化˞ག҂圆心的ᡰሏ与ӧ径
˨ᫎ
的数᧚关系ὙԦ᣿౏，˷
Ի̿
ᤰ᣿ᤈ种数᧚关系Ѽலག
与圆的位置关系.  
ႀࣱ̆
面Я的ག҂圆心的
ᡰሏ有˅Զ有下ѵʼ种ৱц：ܸ̆
ӧ径，等̆
ӧ径，࠵̆
ӧ
径，ਫ਼ࣱ̿
面Я的ག与一˔圆
的位置关系ᑟ˅ԶᑟѬੇ̿
下
ʼዝ：圆ܱ
的ག，圆上的ག，
圆Я的ག. 圆ܱ
的ག౞ੇ
圆的ܱ
ᦊ，圆Я的གጸੇ
圆的Яᦊ. 与
用集合定义圆一ನ，圆的Яᦊ
和圆的ܱ
ᦊ˷Ի用集合定义：
圆的Яᦊ௧҂圆心的ᡰሏ࠵̆
ӧ径的ག的集合Ὑ圆的ܱ
ᦊ௧
҂圆心的ᡰሏܸ̆
ӧ径的ག的
集合.  本ᓬࣳ
෥有正式ळК圆
的Яᦊ和圆的ܱ
ᦊː˔概ঐ，
Ꮻ௧ᝨ学生ፇ合ЦʹࠄΓѼல
གښ圆Яnjགښ圆上或གښ圆ܱ
，ᤉᏫʹ͘
用集合的᜺ག对ࣱ
面Я的གᤉ行Ѭዝ，ʹ͘
Ѭ
ዝ̿
及集合等数学思ਇ.  教师
ऄᴂҵ学生ᤰ᣿þਇ一ਇÿ的
ࠄΓ̿
及ፇ合图形形៶ڡ理ᝍᤈː˔概ঐ的集合ਓ义.
ϢʷϢ
ᝨ学生г次ፃԋ用集合的᜺ག理ᝍ图形的᣿ሮ.  ϙ४ฌਓ的௧，ᤈ᧗ຖᤩ̀
一种࣢用的数学
方ข——̔
集ข. ਫ਼់̔
集ข，ࡃ௧ЏႀᦊѬ条件౞ੇ
一˔集合，ཀྵՑгႀҜ͸条件౞ੇ
Գ一˔集
合，ː˔集合的̔
集ࡃ௧᫈
题的ᝍ.  
（1）ݠ图 1，ਫ਼求图形ԁ P，Q ːག.
（2）ݠ图 2，ਫ਼求图形˞᫻ॖ
ᦊѬ（ˀӊ઺
᫻ॖ
的边ႍ
）.
图 1
图 2
ό1ύ

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教学௑，Ի̿
Џᝨ学生思
考：໘ᡜ条件的གѬѿ与ĽA，
ĽB有টನ的位置关系Ὕ
Γ 
Ѿ用ག҂圆心的ᡰሏ d 与
ӧ径 r 的数᧚关系，确定ག与
圆的位置关系.
ᬤ۶ጷ˸
1. ࠲፤ߕ的一ቫ A ڍ定，ཀྵՑ
ઢጋ፤ߕ的Գ一ቫ B，ࣳ
ፉ 
A ښڡ上ᣁ一圆，B ਫ਼ፃ᣿
的路径ࡃ௧ਫ਼࣏
మ的圆Ὄ
 
 
 
ᤰ᣿ᝍхᤈ一᫈
题，Ի̿
Ύ学生ਖԪ҂圆周上的ག
҂圆心的ᡰሏᦐ௧ 3 m
，或
҂圆心ᡰሏ等̆
 3 m
的གᦐ
ښ圆周上Ὄ
2. ག A ښ ĽA Я，ག B，D ښ
ĽA 上，ག C ښ ĽA ܱ
Ὄ
3. ႕Ὄ学生௅Ի̿
用஡字ଡ
ᤘ，˷Ի̿
ښ图中ಖᇨὌ

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˸ᮥ

1. ག A 的گಖ௧（4，0）Ὑ
    ག B 的گಖ௧（0，4）Ὑ
    ག C 的گಖ௧（-4，0）Ὑ
    ག D 的گಖ௧（0，-4）.
2. ႕.
3.（1）ĽO ܱ
Ὑ
   （2）ĽO ЯὙ
   （3）5.
4. ݠ图，ਫ਼求图形˞᫻ॖ
ᦊѬ
（ˀӊ઺᫻ॖ
的边ႍ
）.
5. ࠵௚Իᑟ，ݠ1 + 1 + 1 +1 + 
1 + 3 = 8（Ѭ）Ὑ࠵华ˀԻ
ᑟ，ڂ˞త多Զᑟ४҂9 × 6 = 
54（Ѭ）Ὑ࠵ጚԻᑟ，ݠ5 + 
5 + 5 + 5 + 7 + 1 = 28（Ѭ）.

ኄ̋
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11
教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊ圆的ᣉ对称性
和中心对称性及Хᄱ关性᠏
的
᣿ሮ，ᤉ一൦ʹ͘
和理ᝍᆑቃ
ї͵图形的Պ种方ขὌ
2. 理ᝍ圆的ᣉ对称性和中
心对称性及ᄱ关性᠏
Ὄ
3. ̀
ᝍ弧的ए数，ଊጊ圆
心角的ए数与߲
ਫ਼对弧的ए数˨ᫎ
的关系Ὄ
4. ̀
ᝍ等弧njऺ
nj直径ӧ
圆等概ঐὌ
本ᓬСѬ 2 课௑，第 1 课
௑˟᜶Ѿ用圆的஽ᣁˀ变性ᆑ
ቃ圆心角nj弧njऺ
˨ᫎ
ᄱ等关
系的定理Ὄ第 2 课௑˟᜶ଊጊ
圆心角的ए数与߲
ਫ਼对弧的ए
数˨ᫎ
的关系Ὄ
圆有᝵多性᠏
，Х中త۳本
˷௧త˟᜶的性᠏
௧圆的对称性
（ᣉ对称性和஽ᣁˀ变性），教
科书ښଊጊ和᝽௚圆的᝵多重᜶
性᠏
௑，ᦐᤂ用߲̀
的对称性. 
教学௑，ऄΎ学生对圆的对称性
有ᣗງ҉的ਖԪ.  ͮ
௧，ႀ̆
圆
的对称性௧Ѿ用ԯ合或஽ᣁՑː˔图形重合ፌ出的，ڂᏫ用ᤈ˔性᠏
᝽௚᫈
题උᣗڈᬲ.  教学௑，一方
面᜶重视Ѿ用圆的对称性，Գ一方面ˀ᜶求学生ˑ格ڡ用对称的定义和性᠏
и出᝽௚᣿ሮ，᜶্े
ڡં
ଧݞᤈː˔᜶求.  
ښଊጊ圆௧ᣉ对称图形௑，Ի̿
᧔用折ԯ的方ข，Ѿ用ᣉ对称图形的定义ឭ௚圆的ᣉ对称性.  ښ੽
对称ᣉ௑，学生Իᑟ͘
੽҂ 1 条nj2 条nj3 条……教师ˀ᜶᣿ொڡԝកѼ，ऄសં
఻͘
႑ፌ学生，ᝨ̵̓
ښᄱ̉̔ื
中，ᝣគ҂圆的对称ᣉ有௄数条.  ᜶ᴂҵ学生表᣺ᒭࣂ的ਇข.  
ό1ύ对̆
和圆有关的ᤈ̏
概ঐ，ऄᝨ学生ώҰ图形ᤉ行理ᝍ，ࣳ
बຍം߲̓
˨ᫎ
的ᐏ系和ӝѿ.  Γ
ݠ，直径௧ऺ
，ͮऺ
ˀ一定௧直径Ὑӧ圆௧弧，ͮ
弧ˀ一定௧ӧ圆Ὑӧ圆௅ˀ௧Ү弧，˷ˀ௧͖
弧.  
ό2ύ等弧௧Ѿ用þᑟܵ
重合ÿᤈ一本᠏࡛
性౏定义的.  ᤈ一࡛
性௧Ѽ定ː条弧௧աᄱ等的۳本
Κ据.  对൥，教师ऄे
௚确：þ等弧ÿ概ঐ௧ᄱ对̆
þՏ圆或等圆ÿᏫᝓ
的，ː条弧ᄱ等௧ૉ߲̓
ό1ύ
ό2ύ
ό3ύ

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12
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
的长ए和ए数ᦐѬѿᄱ等.  对ܸ̆
࠵ˀ等的ː˔圆上的弧౏
ឭ，ː条长एᄱ等的弧或ː条
ए数ᄱ等的弧ᦐˀ௧等弧.  ᒰ̆
等ऺ᫈
题，௧ૉ线඀的长ए
ᄱ等，与等圆或Տ圆௄关.
ό3ύ὆ʽᮆ὇ᤰ᣿ᤈ˔ࠄ
ᰎ，ᝨ学生̀
ᝍ圆的஽ᣁˀ变
性—— 一˔圆ፉᅌ߲
的圆心஽
ᣁ͊
ਓ一˔角ए，ᦐᑟ与Ԕ౏
的图形重合.  圆的中心对称性
௧Х஽ᣁˀ变性的ྲ
Γ.
ϢʷϢ
ᤰ᣿ࠄᰎଊጊ圆的Գ一˔ྲ
性：圆心角ᄱ等௑，߲̓
ਫ਼对的
弧ᄱ等，߲̓
ਫ਼对的ऺ
ᄱ等. 教
师ऄស௚确：圆心角௧与圆有
关的角的一种，Хྲ
ढ़௧ᮇགښ
圆心Ὑ圆心角ਫ਼对的弧௧ૉ圆心
角ː边ਫ਼݃
的圆弧.  ښႇĨAOB
与ĨAĂOĂB௑，᜶ฌਓΎ OB ᄱ
对̆
 OA 的方Ք与OĂBĂᄱ对̆
OĂAĂ的方Ք一ᒱ，աѷे
OA与
OĂAĂ重合௑，OB 与 OĂBĂˀᑟ
重合.  
教师ऄळ࠮学生发ဘ图 5-12中的᝵多等᧚关系，ݠĨAOB = ĨAĂOĂBĂ（ࣃᅼ），OA = OB = 
OĂAĂ= OĂBĂ（ӧ径），ĨOAB =ĨOBA =ĨOĂAĂBĂ =ĨOĂBĂAĂ，AB =AĂBĂ，AB = AĂBĂ.  
ښឭ௚理ႀ௑，有的学生Իᑟ͘
࠽តᤰ᣿᝽௚ ǁAOB≌ǁAĂOĂBĂ᝽௚ AB = AĂBĂ，ͮ
ᤈ௄ข଎出 
AB =AĂBĂ. ऄΎ学生ᝣគ҂，҂ᄬҒ˞ൣ
，᝽௚弧ᄱ等Զ有ː条᤭径，一௧ಪ据定义用ԯ合ข，̄
௧Ѿ
用垂径定理或߲
的଎᝷.  ᤰ᣿Ѭౢ
ࣃᅼ条件，Ύ学生ʹ͘
҂᝽௚本定理Զᑟಪ据定义，᧔用஽ᣁ的方ข. 
学᣿ᤈ一定理Ց，᝽௚弧ᄱ等ԡ多̀
一种方ข.  
ښ४出定理Ց，ऄΎ学生௚确þښՏ圆或等圆中ÿ的ե义.  Տ圆௧ૉՏ一˔圆，等圆௧ૉː˔ӧ径
ᄱ等的圆. ː˔等圆ᑟܵ
重合，߲̓
的ӝѿԶ௧圆心的位置ˀՏ.  ښ本定理中，þՏ圆或等圆ÿᤈ一Ғ
ଢ条件௧ˀԻᎥ࠶的.  教师Իᤰ᣿ˡ出ԦΓ的方式ҫງ学生的理ᝍ.  
对̆
本定理的᝽௚᣿ሮ，Զ᜶求学生理ᝍ，ˀ᜶求ਫ਼有学生ᦐଂଧ.

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13
ਇʷਇ
ᝨ学生思考上ᤘ定理的ᤤ֑
题௧աੇ
立.  上ᤘ定理的ᤤ֑
题有ː˔：（1）ښՏ圆或等圆
中，ᄱ等的弧ਫ਼对的圆心角ᄱ
等，ਫ਼对的ऺ
ᄱ等Ὑ（2）ښՏ
圆或等圆中，ᄱ等的ऺ
ਫ਼对的
圆心角ᄱ等，ਫ਼对的弧ᄱ等.  ᤈ
ː˔ᤤ֑
题ᦐԻ̿
Ѿ用஽ᣁข
४҂᝽௚.  ښ教学中，Զ᜶ᑟթ
发学生ឭ出᝽௚的思路ԁԻ.  ં
上面ː˔ᤤ定理和Ԕ定
理概઺ښ一ᡑ，̰
Ꮻ४҂圆心
角nj弧njऺ
˨ᫎ
ᄱ等关系的定
理.  教师ऄे
௚确：ښऄ用定
理௑，Իಪ据题ᄬ᜶求，Զ用
Х中的一ᦊѬ.  Γݠ，᝽௚Տ
圆或等圆中的ː条弧ᄱ等，Ի
ᣁ化˞᝽௚ː˔圆心角ᄱ等，
或ᣁ化˞᝽௚ː条ऺ
ᄱ等.  ቃ
ብ᧔用哪种方ข，ऄڂ题Ꮻप. 
有̀
ᤈ一定理，᝽௚ː弧ᄱ等
的᤭径ԡܙҫ̀
ː条，Ꮻ˅变
४እӭ௜行.
Γ 1
本Γ௧本ᓬ定理的፬合ऄ用.  Տ௑ᤰ᣿本Γ，࠲þ圆心角nj弧njऺ
˨ᫎ
ᄱ等关系定理ÿੱ
Ѝ˞
þ圆心角nj弧njऺ
njऺ
心ᡰ˨ᫎ
ᄱ等关系定理ÿ——ښՏ圆或等圆中，ݠ౧ː˔圆心角njː条弧nj
ː条ऺ
或ː条ऺ
的ऺ
心ᡰ中有一ጸ᧚ᄱ等，ᥧ˦߲̓
ਫ਼对ऄ的Х͸Պጸ᧚ᦐѬѿᄱ等.  
上面ਫ਼ឭ的ऺ
心ᡰ，௧ૉ圆心҂ऺ
的垂线඀的长.  ښ图 5-13 中，OE，OF Ѭѿ௧ऺ
 AB 和 CD 
的ऺ
心ᡰ.  ऺ
心ᡰ௧ऺ
ᄱ对̆
圆心位置的数᧚表ᇨ.  
教学中௧աଢ出ऺ
心ᡰ的概ঐ，教师Ի视学生的ࠄᬅৱц౏确定. 

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ᝬʷᝬ
ळ࠮学生有ਓគڡॆ
ጪnj
঴ፇਫ਼Ύ用的ᆑቃ图形的方ข. 
本ᓬ᧔用的方ข有多种，ݠ折
ԯnjᣉ对称nj஽ᣁnj᝽௚̿
及े֑
题的条件和ፇ᝷ˀൣ
一ᮊ
Яࠔ௑౞ᤵᤤ֑
题的方ข .
ᬤ۶ጷ˸
1. ݠᇂ԰nj圆ಸnj圆ಸ上的ᣁ
ᄨnj方Քᄨnj౽̏
ᩐ行或ු
ᢼ的ಖঃ等Ὄ
2. ႕Ὄ
3. 四边形 OACB ˞ᖦ形. ଢᇨ：ᤌ
ଌ OC，᝽௚ǁAOC 和 ǁBOC 
ᦐ௧等边ʼ角形Ὄ
˸ᮥ

1. ᄱ等. ଢᇨ：ႀAB = DC，BC 
= CB，Ի᝽ AC = DB ，ਫ਼̿
AC = DB. 
2. ᄱ等. ଢᇨ：ႀĨAOD =ĨBOE 
及ࣃᅼ条件，Ի᝽AD = BE= 
CE ，ਫ਼̿
 BE = CE.  

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15
3. ᄱ等. 
ଢᇨ：ᤌଌ OC. ႀOD//AC，
ᅼĨCAO =ĨDOB =ĨCOD. 
 
ਫ਼̿
 CD= BD .
4. ᄱ等. 
ଢᇨ：ᤌଌ MA，MO，NO，
NB.  ႀ ME ௧ OA 的中垂线，
Իᅼ MA = MO，ਫ਼̿
 ǁOMA
௧等边ʼ角形，ĨMOA = 60c. 
Տ理 ĨNOB = 60c. ਫ਼̿
 ĨMOA 
=ĨNOB = ĨMON = 60c.
ਇʷਇ
关̆
弧的ए᧚，本ቦ中̮
ፁ̀
ː种方式，一௧ए数，̄
௧长ए.  弧的ए数的ӭ位与角
的ए᧚ӭ位௧一ᒱ的，ᦐ௧ए
（ښ弧ए制下ᦐ௧弧ए），̰
Ꮻ෤ᤰ̀
角与弧ᤈː种ˀՏї
͵图形˨ᫎ
的ᐏ系，Ύ४与圆
有关的角Տ弧˨ᫎ
Ի̿
ࠄဘᄱ̉
ᣁ化. 弧的长एӭ位与线඀的
长एӭ位௧一ᒱ的. 弧长的计算
࠲ښ本ቦ第 9 ᓬ中教学.
ᝬʷᝬ
弧的ए数௧ᤰ᣿߲
ਫ਼对的圆心角的ए数定义的.

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Γ

本Γ 的ᝍ题关᪄௧ં
ࣃ
ᅼ条件中弧的ए数化˞ਫ਼对圆
心角的ए数，ཀྵՑѾ用垂径定
理，Ύ᫈
题४҂ᝍх.
Γ

本Γ௧ં
求弧的ए数᫈
题
ᣁ化ੇ
求ᤈ条弧ਫ਼对圆心角的
ए数᫈
题.  教学௑，ऄΎ学生
ਖৢ
þᣁ化思ਇÿ的ऄ用.

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ᬤ۶ጷ˸
（1）ĥὙ（2）×Ὑ（3）ĥ. 
ଢᇨ：ː条弧ᄱ等௑，ᤈː条
弧ᑟܵ
重合，ѷ߲̓
的ए数ᄱ
等，长ए˷ᄱ等.  Ԧ˨˷ੇ
立.
˸ᮥ

1. 120c， 240c. 
2. 130c.
 
ଢᇨ：ᤌଌOE，ѷĨCOE 
= 80c. ႀOC = OE，Իᅼ
ĨOCE = 
180c- 80c
2
= 50c. 
ႀCEĩAB，ԻᅼĨBOD = 
ĨOCE = 50c，ਫ਼̿
ĨAOD 
= 180c- 50c= 130c.
3. 120c.
 
ଢᇨ：ᤌଌO D ，O E ，
ѷĨAOD = 40c. ႀCD = 
CO，ԻᅼĨODE =ĨAOD 
= 40c. ښǁODE中，OD = 
OE，ԻᅼĨOED =ĨODE 
= 40c，İĨDOE = 180c- 
40c- 40c= 100c. İĨAOE 
=ĨDOE -ĨAOD =100c- 
40c= 60c，İĨBOE = 180c-ĨAOE = 180c- 60c= 120c. İBE 的ए数௧ 120c.

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教ߦ目ಖ
1. ଊጊࣳ
᝽௚垂径定理Ὄ
2. ᤰ᣿对垂径定理的ଊጊ和
᝽௚发࡙
学生的଎理ᑟ力Ὄ
本ᓬ˟᜶Ѿ用圆的ᣉ对称性
ᆑቃ垂径定理及Хᄱ关ፇ᝷Ὄ
ϢʷϢ
௉ښᤰ᣿教科书图 5-17 
ᤈನ的复合图形的ᣉ对称性，
ଊጊ垂径定理Ὄښ൥᣿ሮ中४
҂的等᧚关系ˀ̩
限̆
垂径定
理，对̆
Х̵
正确的ፇ᝷ऄ́̿
ᐰ定Ὄ有的学生Իᑟ͘
用折
ԯ的ҩข४出࿯ਇ，ᤇ有的学生
Իᑟ͘
࠽ត用᝽௚的方ข४出ፇ
᝷. 教学௑，ऄᴂҵ学生ଊጊ方
式的多ನ性，ښ൥۳ᆩ上ᤰ᣿̔ื
Ύਫ਼有的学生ᦐᑟ有ਫ਼ஆᖍὌ
ό1ύᤈ一ፇ᝷称˞þ垂径定
理ÿ. 条件中的þऺ
ÿԻ̿
௧直
径，ፇ᝷中的þࣱ
Ѭ弧ÿ௅ਓ֊
ᅌࣱ
Ѭऺ
ਫ਼对的Ү弧，˷ਓ֊ᅌࣱ
Ѭऺ
ਫ਼对的͖
弧Ὄ
教科书࡙
ᇨ̀
垂径定理的一种᝽௚方ขὌ教师᜶ፇ合图形的ᣉ对称性ᝨ学生理ᝍ和ଂଧᤈ种᝽ข. 
˷Ի̿
ᤰ᣿ʼ角形Л等᝽௚.
᝽௚垂径定理的۳本思路௧：Џ౞ᤵ等ᒉʼ角形，ႀ垂直̆ऺ
४出ࣱ
Ѭऺ
ὙཀྵՑ࠲直径ᄺͻ圆的
对称ᣉ，Ѿ用ᣉ对称图形对ऄ元ጉᄱ等的性᠏
४出ࣱ
Ѭ弧的ፇ᝷Ὄ
ό1ύ

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19
ਇʷਇ
与Ғ面的᣿ሮዝͫ
，ଊጊ垂
径定理的一˔ᤤ定理Ὄ教学௑，
ऄᯫЏᴂҵ学生࿘立ଊጊ，ཀྵՑ
ᤰ᣿Տ学ᫎ
的̔ื
४出ፇ᝷，ࣳ
ښᤈ一᣿ሮ中г次ʹ͘
ᆑቃ图形
的多种方ขὌི͌
Ғ面᝽௚垂径定理的方
ข，有̏
学生Իᑟ͘
᝽௚垂径定
理的ᤈ一ᤤ定理Ὄ教学௑ऄे
ᴂ
ҵ有ᑟ力的学生书и᝽௚᣿ሮὌ
᝽௚ᤈ一ᤤ定理的۳本思
路：౞ᤵ等ᒉʼ角形，ႀࣱ
Ѭऺ
४出垂直̆ऺ
ὙཀྵՑѾ用圆的对
称性᝽௚ࣱ
Ѭऺ
ਫ਼对的弧Ὄ
ό1ύ ᤈ௧垂径定理ї˔ᤤ定
理中的一˔Ὄे֑
题的条件和ፇ
᝷ˀൣ
一ᮊ௑，Զ᜶̔
૱条件和
ፇ᝷中的一ᮊ，ࡃԻ४҂一˔ᤤ֑
题，Лᦊ̔
૱˷౞ੇ
一˔ᤤ֑
题ὌˀॹՔ学生ᝯᝍᤈ̏
ЯࠔὌ
考ᘽ҂ǒಖюǓ对ᤈᦊѬЯ
ࠔ的᜶求，教科书Զ̮
ፁ̀
垂径
定理的一˔ᤤ定理，教学௑ˀࠂ
ᤉ行᣿多ੱ
ЍὌ
Γ
本Γ௧垂径定理的ऄ用，ᝍ题᣿ሮ中Ύ用̀
ѵ方ሮ的方ขὌ用̽
数方ขᝍхї͵᫈
题，ᤈ种思ਇ
ऄសՔ学生ᤉ行ຖᤩὌ
ό1ύ

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ᬤ۶ጷ˸
1. ጞ27.9 m Ὄ
ଢᇨ：᣿གOͻAB的垂线，̔
 
AB̆
གC，̔
 AB ̆
གD.
2. ᄱ等Ὄ
ଢᇨ：ឭ理的۳本思路௧，ݠ
图，ͻ出垂直̆ऺ
的直径，Ѿ
用垂径定理४ːጸ弧Ѭѿᄱ
等，用þ等᧚ѓ等᧚ࣀᄱ等ÿ
ԁԻឭ௚ፇ᝷ੇ
立Ὄ
O
D
B
C
Aे
ཀྵ，ኀ合条件的图形有ʼ
种ৱц：圆心ښࣱ
行ऺܱ
，
圆心ښХ中一条ऺ
上，圆心
ښࣱ
行ऺ
Я，ͮ
ឭ理的思路
ᦐ௧一ನ的Ὄ
˸ᮥ

1. 直径CD = 26ࠪ
Ὄ

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21
2. ᡰሏ˞24 m m ，c os
ĨOAB =
 
0.6Ὄ
ଢᇨ：᣿ག O ͻ AB 的垂线，
垂ᡜ˞ག EὌ
3.  AC = BDὌ
 
ଢᇨ：᣿ག O ͻ AB 的垂线，
垂ᡜ˞ག EὌ
4 . ଢᇨ：（ 1 ） ͻ直线OMὙ
 
（2）᣿ག M ͻ OM 的垂线，
 ̔
 ĽO ̆
 A，BὌ
线඀ AB ԁ˞ਫ਼求的ऺ
.

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教ߦ目ಖ
1Ὄፃԋଊጊ圆周角和圆心角
的关系及Хᄱ关଎᝷的᣿ሮ，ʹ͘
Ѭዝnjॆጪ等数学思ਇ方ขὌ
2Ὄ理ᝍ圆周角的概ঐ及Х
ᄱ关性᠏
Ὄ
本ᓬ课СѬ 2 课௑，第 1 
课௑˟᜶ᆑቃ圆周角和圆心角
的关系（圆周角定理）及Хᄱ关
଎᝷.
ό1ύښ࠱᫃
຤੆中，ု
ր࠱
中ု᫃
的ᬲ௜与̵
ਫ਼ܫ的位置 
B 对ု᫃
 AC 的张角（ĨABC）
有关.
ৱܒळКਓښᤰ᣿࠱᫃᫈
题
ळ出圆周角的概ঐ. 教学௑Իळ࠮
学生理ᝍ张角的ྲ
ढ़，̰
Ꮻॆ
ጪ
出圆周角的ྲ
ढ़：角的ᮇགښ圆
上Ὑː边ښ圆Я的ᦊѬ௧圆的ː
条ऺ
. 对൥，教师Իˡ一̏
ԦΓᝨ
学生ᤉ行ᣲౢ
. 教学௑᜶ळ࠮学
生ᝣគ圆周角与圆心角的˟᜶ӝ
ѿ，ԁ角的ᮇག的位置ˀՏ.
ό2ύଢ出ᤈ一᫈
题ਓښळᡑ学生思考，˞本ᓬ的活动ۡ
下͒
ቸ.
ϢʷϢ
᝺置൥活动的ਓ图௧ᝨ学生ᤰ᣿动੤ႇ图，੽҂ྲ
定弧ਫ਼对的圆周角，ࣳ
ᤰ᣿฾᧚或උᣗ对ᄱ关
ፇ᝷ᤉ行࿯฾，Ύ学生ፃԋ发ဘ᫈
题的Л᣿ሮὌ
学生ਫ਼ႇ的圆周角͘
有ˀՏ的位置，教师Ի̿
ښိ
级中੽҂Чی的图形ᤉ行࡙
ᇨ，ࣳ
թ发学生思
考，˞̤
˦ˀՏ位置的圆周角ए数ᦐᄱՏὌ
ό1ύ
ό2ύ

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23
ᝬʷᝬ
ᤉ一൦࠲᫈
题一ᓊ化，ଊ
ᝧፇ᝷௧աΚཀྵੇ
立Ὄ
᝽௚圆周角和圆心角的关
系ᤈ一定理对学生౏ឭ௧有一
定ᬲए的Ὄࡊኮݠ൥，教学௑̯
ऄፌ学生႑有௑ᫎ
和ቇᫎ
，
ᝨ̵̓
ᤉ行思考Ὄፇ合þϢ一
Ϣÿ中学生४҂的ˀՏৱцᤉ
行Ѭዝ，ࣳ
ळ࠮学生̰ྲ
൴ৱ
цК੤ᤉ行᝽௚. ښ൥۳ᆩ上，
ᝨ学生思考：Х̵
ː种ৱцᑟ
աᣁ化˞第一种ৱцὝ ݠ͵ᣁ
化Ὕࠄᬅ上，ࠄဘᣁ化的方ข
௧ᤌଌ CO ࣳ
ण长，ᣁ化˞第
一种形式，४҂圆中的等ᒉʼ
角形ᝍх᫈
题Ὄे
ᝍх 一˔᫈
题有ڈ ᬲ
௑，ੈ̓
Ի̿
ᯫЏ考ᘽХྲ
൴ৱ
形，ཀྵՑг᝺ขᝍх一ᓊ᫈
题. 
ᤈ௧ᝍх᫈
题௑࣢用的ኖ႕. 教
学᣿ሮ中᜶有ਓគڡՔ学生ຖᤩ
ᝍх᫈
题的ኖ႕̿
及ᣁ化njѬ
ዝnjॆ
ጪ等数学思ਇ方ข. 

   ړևᝈ֗
ړॷᝈᄊТጇ
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24
஝ߦ
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ϢʷϢ
ᝨ学生ʹ ᰎ࠲Գܱ
ː 种
ৱцᣁ化˞第一种ৱцᤉ行᝽
௚，ᤉ一൦ਖৢ
ᣁ化思ਇ.
ਇʷਇ
ळ࠮学生᜺ࠣ
ĨABC,ĨADC
和ĨAEC௧Տ弧（AC ）ਫ਼对的
圆周角，ಪ据圆周角定理，߲̓
ᦐ等̆
圆心角ĨAOC的一ӧ，ਫ਼̿
ᤈї˔圆周角ᄱ等Ὄ
ᝬʷᝬ
௉ښळ࠮学生回顾nj঴ፇ，
ᤉ一൦ʹ͘
ଊቃ᣿ሮ中ਫ਼用҂的
Ѭዝnjॆ
ጪ等数学思ਇ方ข.
ᬤ۶ጷ˸
1. ĨBAC = 25cὌ

ኄ̋
ቦ ړ
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஝ߦ
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25
2. ĨOBC = 50cὌ
˸ᮥ

1. Ĩ1 =Ĩ4，Ĩ2 =Ĩ7，
 
Ĩ3 =Ĩ6，Ĩ5 =Ĩ8.
2. ĨACB =2ĨBAC.
3. ĨBOD = 160c，
 
ĨBAD = 80c. 
4. ࡊ᧚δ᝽Տଆ的̡
视角ᄱՏ.

   ړևᝈ֗
ړॷᝈᄊТጇ
第 2 课௑ᆑቃ圆周角定理的଎᝷̿
及圆Яଌ四边形的ᄱ关性᠏
Ὄ本课௑ᯫЏ̰
正Ԧː方面ळ࠮
学生思考一˔᫈
题，ᤉᏫ४҂圆周角定理的଎᝷，г对圆Яଌ四边形的性᠏
ᤉ行ᆑቃὌ教学௑ऄᝨ
学生Џ࿘立思考，ཀྵՑгᤉ行̔ื
Ὄ᜶ᴂҵ学生ឭ理方式的多ನ性Ὄ
ਇʷਇ
（1）图 5-25 ௧圆周角定理的一种ྲ
൴ৱц，ԁӧ圆ਫ਼对的圆周角௧直角Ὄښ教科书图 5-25 中，ӧ
圆ਫ਼对的圆心角ĨBOC = 180c，ਫ਼̿
ĨBAC = 90c. 
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26
஝ߦ
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（2 ）ښ 教科书图 5 - 2 6
中，ᤌଌ OB，OC，ڂ˞圆周
角ĨBAC = 90c，ਫ਼̿
圆心角
ĨBOC = 180c，ԁ BOC ௧一
条线඀，˷ࡃ௧ឭ BC ௧ ĽO 
的一条直径Ὄ
ό1ύ本课௑ਫ਼४҂的଎᝷
ࠄᬅ上௧ː˔̉
ᤤ的ᄾ֑
题. 教
学௑，ऄฌਓѬౢ߲̓
的̉
ᤤ
性，ឭ௚߲̓
的正确性.
ᤇԻ̿
ᝨ学生࠲ᤈ一଎
᝷与Ғ面ਫ਼学᣿的þ直角ʼ角
形ப边上的中线等̆
ப边的一
ӧÿᤈ一性᠏
ᄱඋᣗ，ʹ̄͘
Ꮸ˨ᫎ
的ᐏ系. 教学中ऄᤰ᣿Γ
题和习题，ᝨ学生ʹ͘
þ直径
ਫ਼对的圆周角௧直角ÿ௧圆Я
᝽௚垂直的重᜶᤭径.
Γ
本Γ௧þ直径ਫ਼对的圆周
角௧直角ÿ及等ᒉʼ角形þʼ
线合一ÿ定理的፬合ऄ用. 
ϢʷϢ
ᤈ௧一˔有ࠄᬅᑀఀ
的᫈
题，ᝍхᤈ一᫈
题ˀ̩
᜶用҂圆周角定理的଎᝷，Ꮻ˅ᤇ᜶ऄ用Ѭዝ
ᝧ᝷和Ԧ᝽ข的思ਇ.  
（1）ᣃᓕ位̆
఍ᇢӝ۫
Я（ԁ ĽO Я）. 理ႀ௧：Ϝ᝺ᣃᓕښ ĽO 上，ѷ有Ĩα=ĨC，ᤈ与
Ĩα>ĨC ᅸᄴ，ਫ਼̿
ᣃᓕˀԻᑟښ ĽO 上ὙϜ᝺ᣃᓕښ ĽO ܱ
，ѷ有Ĩα<ĨAEB，ԁĨα<ĨC，
ᤈ与Ĩα>ĨC ᅸᄴ，ਫ਼̿
ᣃᓕˀԻᑟښ ĽO ܱ
. ڂ൥，ᣃᓕԶᑟ位̆
 ĽO Я .  
（2）ᣃᓕ位̆
఍ᇢӝܱ۫
（ԁ ĽO ܱ
），ឭ理方式与（1）ዝͫ
 .
ό1ύ

ኄ̋
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஝ߦ
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27
ᬤ۶ጷ˸
1. AC = 5 c m Ὄ
2. 图（2）௧ӧ圆形，理ႀ௧：
90c的圆周角ਫ਼对的ऺ
௧直
径Ὄ

   ړևᝈ֗
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஝ߦ
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˸ᮥ

1. AD = 
3 ，CD=3Ὄ
2. ĨBAD=75cὌ
 
ଢᇨ：多种ᝍข，ݠᤌଌBD
或ᤌଌBCὌ
3ὌAB=AE，BD=ED=CDὌ
 
ଢᇨ：ᤌଌA D ，ѷ
ĨADB=90c，
 
İǁADB和ǁADEᦐ௧直角
ʼ角形.
 
İĨB与ĨBAD̉
͸，ĨE与
 
ĨEAD̉
͸.
 
ıBD = DC，
 
İĨBAD=ĨEAD.
 
İĨB=ĨE.
 
İAB=AE.
 
İBD=ED.
 
ıBD=CD，
 
İCD=ED.
4. BE=EC.
 
ଢᇨ：ᤌଌOC，᝽௚ĨBOE 
= ĨCOE.

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29
教ߦ目ಖ
1. ፃԋˀښՏ一条直线上的
ʼ˔ག确定一˔圆的ଊጊ᣿ሮ，
ᤉ一൦ʹ͘
ᝍх数学᫈
题的ኖ
႕Ὄ
2. ̀
ᝍˀښՏ一条直线上
的ʼ˔ག确定一˔圆，̿
及᣿
ˀښՏ一条直线上的ʼ˔གͻ
圆的方ข，̀
ᝍʼ角形的ܱ
ଌ
圆njʼ角形的ܱ
心等概ঐὌ
3. ̀
ᝍ圆Яଌ多边形的概
ঐ，̀
ᝍࣳ
᝽௚圆Яଌ四边形
的性᠏
.
本课௑̰
᣿一གႇ圆，᣿
ːགႇ圆，҂᣿ˀС线ʼགႇ
圆，ᝨ学生ፃԋᆑቃ᫈
题̰
እ
ӭ҂复ా
的᣿ሮ，ࣳ
对Чی的
᣿ˀС线ʼགͻ圆᫈
题ᤉ行系
统ᆑቃὌ
ό1ύ与ͻ直线ዝඋ，ळ出确
定圆的条件᫈
题Ὄ
ϢʷϢ
ႀ௜҂ᬲᝨ学生ፃԋႇ圆的᣿ሮ，̰
中ଊጊ确定圆的条件Ὄ
ႇ图Ғ，᜶ळ࠮学生ᤰ᣿思考௚确ᤈನ的۳本思ਇ：ͻ圆的᫈
题ࠄ᠏
上ࡃ௧确定圆心和ӧ径的᫈
题，确定̀
圆心和ӧ径，圆ࡃᬤ˨确定Ὄ
（1）̿
གAܱ̿
的͊
ਓ一ག˞圆心，̿
ᤈ一ག与གAਫ਼ᤌ的线඀˞ӧ径ࡃԻ̿
ͻ一˔圆Ὄႀ̆
圆心௧͊
ਓ的，ڂ൥ᤈನ的圆有௄数˔Ὄ
（2）ፃ᣿ A，B ːག的圆，Х圆心҂ A，B ːག的ᡰሏ一定ᄱ等，ਫ਼̿
圆心ऄښ线඀ AB 的垂直ࣱ
Ѭ线上ὌԳ一方面，线඀ AB 的垂直ࣱ
Ѭ线上的ག҂ A，B ːག的ᡰሏᄱ等，ਫ਼̿
ښ AB 的垂直ࣱ
Ѭ线上͊
ਓԩ一ག˞圆心，ᦐԻ̿
ႇ一˔ፃ᣿ A，B ːག的圆Ὄڂ൥ᤈನ的圆˷有௄数˔Ὄ
ό2ύ
ό1ύ

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஝ߦ
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（3）᜶ͻ一˔圆ፃ᣿ A，B，C ʼག，ࡃ᜶确定一˔གͻ˞圆心，Ύ߲
҂ʼག的ᡰሏ
ᄱ等Ὄ҂ A，B ːགᡰሏᄱ等的ག的集合௧线඀ AB 的垂直ࣱ
Ѭ线，҂ B，C ːགᡰሏᄱ等
的ག的集合௧线඀ BC 的垂直ࣱ
Ѭ线，ː集合的̔
集ࡃ௧҂ A，B，C ʼགᡰሏᄱ等的ག的
集合，ԁਫ਼ͻ圆的圆心，ᤈ种确定圆心的方ขࡃ௧̔
集ขὌ̔
集ข௧数学中࣢用的方ขὌ
教学௑ˀॹՔ学生̮
ፁ̔
集ข，ͮ
ऄፇ合ЦʹЯࠔᝨ学生ʹ͘
ᤈ种ᝍх᫈
题的ኖ႕Ὄ
ό2ύ᣿ˀښՏ一条直线上的ʼ˔གͻ圆௑，Զᭊႀː条线඀的垂直ࣱ
Ѭ线确定圆心ԁ
Ի，෥有ॹ᜶ͻ出ʼ条线඀的垂直ࣱ
Ѭ线Ὄ̃
ࠄ上，ʼ条垂直ࣱ
Ѭ线̔̆
Տ一གὌ
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31
ό1ύ教学௑，Ի̿
ᴂҵ学生
ᤰ᣿ႇ图理ᝍܱ
ଌ圆njܱ
心等
概ঐὌ
ਇʷਇ
有ॢ
多种方ข，ˡ Γ ݠ
下：
（1）对折ː次，折჉的̔
གԁ˞圆心Ὑ
（2 ）ښ 圆纸ྟ
上ႇː ˔
90c的圆周角，Ύ߲̓
ਫ਼对的ऺ
ᄱ̔
，ᤈ˔̔
གࡃ௧圆心Ὑ
（3）ښ圆中ႇː条ˀࣱ
行
的ऺ
，Ѭѿͻᤈː条ऺ
的垂直ࣱ
Ѭ线，Х̔
གԁ˞圆心Ὑ
（4 ）ښ 圆中͊
ਓႇ一条ऺ
，ཀྵՑͻᤈ条ऺ
的垂直ࣱ
Ѭ
线，̔
圆̆
A，Bːག，гͻAB 
的垂直ࣱ
Ѭ线，ː线的̔
གࡃ
௧圆心Ὄ
ό1ύ

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஝ߦ
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ᬤ۶ጷ˸
ͻ图႕Ὄᩩ
角ʼ角形的ܱ
心ښ
ʼ角形的Яᦊ，直角ʼ角形的ܱ
心ښப边上，᧽角ʼ角形的ܱ
心ښʼ角形的ܱ
ᦊὌ

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33
˸ᮥ

1. ͻ图႕，សࠄᬅ᫈
题ᣁ化˞
数学᫈
题ࡃ௧：确定一ག，
Ύᤈག҂ࣃᅼʼག的ᡰሏᄱ
等Ὄ
2. ᑟͻ出2˔.
 
ଢᇨ：
 （1）ͻ AB 的垂直ࣱ
Ѭ线 lὙ
（2）̿
ག A ˞圆心nj̿
 3 c m 
长˞ӧ径ͻ弧，̔
 l ̆
ག O1，O2Ὑ 
（3）Ѭѿ̿
ག O1，O2 ˞圆
心，̿
 OA ˞ӧ径ͻ圆.
 
ĽO1，ĽO2 ԁ˞ਫ਼求的圆.
3. ˀ一定，ڂ˞᜶ਇͻፃ᣿四
 
˔ག的圆，ऄЏͻፃ᣿Х中ʼ
˔ག（ˀښՏ一条直线上）的
圆，Ꮻ第四˔ག҂ស圆圆心的
ᡰሏˀ一定等̆
ӧ径Ὄ
4. త࠶用 2 次.
 
ଢᇨ：第一次ႇ出 A1B1 的垂直ࣱ
Ѭ线 M1N1，第̄
次ႇ出 A2B2
（A2B2 与 A1B1 ˀࣱ
行）的垂
直ࣱ
Ѭ线 M 2N 2，ː线的̔
གࡃ௧圆形ࢺ件的圆心. 理ႀ
௧：圆心҂ A1B1 ːག的ᡰሏᄱ等，ڂ൥圆心一定ښ A1B1 的垂直ࣱ
Ѭ线 M1N1 上，Տ理，圆心˷一定
ښ A2B2 的垂直ࣱ
Ѭ线 M2N2 上，直线 M1N1 与 M2N2 的̔
ག҂ག A1，B1，A2，B2 的ᡰሏᄱ等，ਫ਼߲̿
௧圆心Ὄ
本课௑的Яࠔ௧ښ学生学习̀
圆Яଌʼ角形的۳ᆩ上，ᤉ一൦学习圆Яଌ四边形的概ঐ和性᠏
：圆Яଌ四边形的对角̉
ᛪ.  ᤈ一性᠏
ЍѬଫᇨ̀
ͻ˞直线形的圆Яଌ四边形与圆的Яښᐏ系.

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ᝬʷᝬ
þᝬ一ᝬÿ௧ळ࠮学生᜺ࠣ
圆Яଌ四边形的ːጸ对角与
Хਫ਼对弧˨ᫎ
的关系，ᝨ学生
发ဘඈጸ对角ਫ਼对的弧ᦐ্
ݞ
ጸੇ
ட˔圆，̰
Ꮻಪ据圆周角
定理，४҂圆Яଌ四边形对角̉
ᛪ的ፇ᝷.  ߲
௧̭
Ց᝽௚与
圆有关的角̉
ᛪ的重᜶Κ据. 
教学௑ऄ᜶求学生͘
᝽௚ᤈ一
定理.
ਇʷਇ
圆Яଌ四边形ܱ
角的Я对
角௧与ᤈ˔ܱ
角ᄱ᥶的Я角的
对角，ڂ൥଎᝷ੇ
立的Κ据௧
Տ角的ᛪ角ᄱ等.  ᤈ˔଎᝷ښ
᝽௚与圆有关的角ᄱ等௑ፃ࣢
用҂.

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35
Γ
本Γ ᝽௚的൦ᰡࣳ
ˀ 复ా
，ͮ
፬合ऄ用̀
圆Яଌ四边
形性᠏
定理的଎᝷nj圆周角定
理的଎᝷nj等᧚̽
૱̿
及等ᒉ
ʼ角形的Ѽ定定理等多ᮊᅼគ. 
ᝍх᫈
题的关᪄௧ᝣᄾ᜺ࠣ
图
形，ಪ据ᝍх᫈
题的ᭊ᜶，发
ဘ图中的圆Яଌ四边形，੽出
对ᝍх᫈
题ᡑͻ用的圆Яଌ四
边形的ܱ
角及ХЯ对角，̿
及
Տ弧上的圆周角.
ᬤ۶ጷ˸
1. ĨBAD=40c，ĨBCD = 140c.
2. ĨA = 65c，ĨC = 115c.
ଢᇨ：ᤌଌ BD. ႀ AD = CD，
ĨB = 50c，Ի४ĨABD = 
ĨCBD = 25c，˅ĨADB = 
90c，ਫ਼̿
ĨA = 65c. ႀ圆
Я ଌ四边形的性᠏
，Ի ४
ĨC=180c-ĨA = 115c.
3. ଢᇨ：ႀ题᝺Ի᝽圆Яଌࣱ
行四边形的对角̉
ᛪ˅ ᄱ
等，஌一ጸ对角中的ඈ˔角
ᦐ˞直角.   ಪ据ᅾ形的定义，ΧԻ᝽४ፇ᝷ .
˸ᮥ

1. 90c.  
 
ଢᇨ：ښ圆Яଌ四边形ABCD中，ĨA与ĨC̉
ᛪ，ĨB与ĨD̉
ᛪ.

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2. ĨBAD = 100c，ĨABC = 
ĨADC = 90c.
3. ĨA=40c.
ଢᇨ：ĨDCB=ĨE+ĨEDF，
Ĩ E D F = Ĩ F + Ĩ A ，ਫ਼̿
ĨDCB = ĨA+ĨE+ĨF.
4. ĨFGC = ĨAGD. 
ଢᇨ：ᤌଌAD，ѷĨFGC= 
ĨADC.  ႀ垂径定理Իᅼ AC =
 
 AD，ڂ൥ĨADC =ĨAGD. ਫ਼̿
ĨFGC =ĨAGD.
5. BC =2 
3 -2.
ଢᇨ：ण长AD，BC，ᄱ̔̆
 
ག P. ႀĨB = 90c，ԻᅼAC
˞直径，ĨD = 90c. ᏫĨA 
= 60c，ਫ਼̿
ĨP = 30c. ښ
R t ǁABP中，ႀAB = 2，Ի४
BP = 2 
3 .  ښR t ǁCDP中，
ႀCD = 1，Ի४CP = 2. ਫ਼̿
BC = BP - CP = 2 
3 - 2.
6.（1）႕：
（2）ĨAPB，ĨACB，ĨBCP，
 ĨCBP ܸ
࠵ˀ变.

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37
教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊ直线与圆的位
置关系的᣿ሮ，理ᝍ直线与圆
有ᄱ̔
njᄱ切njᄱሏʼ种位置
关系Ὄ
2. ̀
ᝍ切线的概ঐ，ଊጊ
切线与᣿切ག的直径˨ᫎ
的关
系，ᑟѼ定一条直线௧ա˞圆
的切线，͘
᣿圆上一གႇ圆的
切线Ὄ
3. ̀
ᝍʼ角形的Я切圆nj
Я心等概ঐ，͘
ႇ一˔ʼ角形
的Я切圆，ࣳ
ᑟᝍх与Я心有
关的计算᫈
题.
本ᓬСѬ 4 课௑，第 1 课
௑˟᜶ᆑቃ直线和圆的ʼ种位
置关系Ὑ第 2 课௑ଊጊ圆的切
线的性᠏
定理，第 3 课௑ଊጊ
圆的切线的Ѽ定定理Ὑ第 4 课
௑ᤰ᣿ႇ出ʼ角形的Я切圆，
ᝣគʼ角形ᦐ有˅̩
有一˔Я
切圆，ࣳ
थ立Я心的概ঐ. 
ᯫЏᝨ学生ਖԪ生活中Ԧ
௢直线与圆位置关系的ဘ៶，
ཀྵՑᝨ学生动੤୲ͻਖԪ௄᝷直线与圆টನᄱ对ᤂ动，ԁ圆动线ˀ动，或线动圆ˀ动，或线动圆˷
动，̄
Ꮸ˨ᫎ
有˅Զ有ʼ种位置关系，Х本᠏࡛
性௧ႀ直线与圆有௄公Сག和有ї˔公Сག౏ႍ
定
的. ښᤈ一᣿ሮ中ळ࠮学生ॆ
ጪ出直线与圆的ʼ种位置关系.
ό1ύᤈ᧗对ᄱ̔
njᄱ切njᄱሏ等概ঐ᧔ԩ的௧图ᇨ定义，ਓښກ化概ঐὌ
ᝬʷᝬ
ႀ直线和圆的ʼ种位置关系ᤪ൦ᣁՔ对切线的ᤉ一൦ᆑቃὌ
ኡߕஊښᇂ上的位置关系ࡃ௧ᄱ̔
，༢ᢼᢼᣃ和ᨡᢾ的位置关系ࡃ௧ᄱ切，ఆᛨీ
ஊښᑵᄜஸ
边的位置关系ࡃ௧ᄱሏὌ
ό1ύ

   ᄰጳ֗
ړᄊͯ
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ਇʷਇ
ᤰ᣿᜺ࠣ
४出þ圆心҂直
线的ᡰሏ d 与ӧ径 r ˨ᫎ
的数
᧚关系ÿ和þ直线与圆的位置
关系ÿ的对ऄ与等价，̰
Ꮻࠄ
ဘ位置关系与数᧚关系的ᄱ̉
ᣁ化.  ᤈ种等价关系௧ᆑቃ切
线的理᝷۳ᆩ.  
Γ
本Γ௧ಪ据 d 与 r 的数᧚
关系Ѽல直线与圆的位置关
系，Տ௑ऄ用̀
ʼ角Ѧ数的ᅼ
គ.  教学௑ԻѬ൦ႇ图，ࣟ
Ұ
学生ᤉ行Ѭౢ
.  
Գܱ
，ਫ਼់
 AB 与圆的位
置关系，ૉ的௧AB ਫ਼ښ的直线
与圆的位置关系.  

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
39
ᬤ۶ጷ˸
r > 5. 
˸ᮥ

1.（1）a > 2 或 a < -2Ὑ
   （2）a = 2 或 a = -2Ὑ
   （3）-2 < a < 2.
2.（1）r > 
3
2 mὙ
   （2）r = 
3
2 mὙ
   （3）r < 
3
2 m. 
3. ଢᇨ：ݠ图，ฉጯѸݞખ᣺
对ࢀ，ԁ൥௑的 ĽO 与对ࢀ
ᄱ切，᝺切ག˞ A. ႀ̆
圆的
切线垂直̆
᣿切ག的直径，
ਫ਼̿
 OA 与对ࢀ垂直，ԁ OA 
˞ෲࠕ. Գ一方面，OA ˞ ĽO 
的ӧ径，ڂ൥ OA = OB，ਫ਼̿
Զ᜶฾出 OB ԁԻ.

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40
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
ႀ直线和圆的ʼ种位置关
系ᤪ൦ᣁՔ对切线的ᤉ一൦ᆑ
ቃ .  
（1）௧ᣉ对称图形Ὑ对称
ᣉ௧᣿圆心 O ˅与直线 l 垂直
的直线 .  
 （2）ᤈ一᫈
题ਓښळ出圆
的切线的性᠏
. ښឭ௚理ႀ௑，
Իळ࠮学生考ᘽ用Ԧ᝽ข . 
 
ό1ύᤈ௧对切线的性᠏
定理
的᝽௚，᧔用的௧Ԧ᝽ข.  ಪ
据ǒಖюǓ对Ԧ᝽ข的᜶求，
学生ऄᤰ᣿本定理的᝽௚，ʹ͘
对̆
一˔֑
题，ݠ౧直ଌ᝽
௚ڈᬲॢܸ
௑，Ի考ᘽ用Ԧ᝽
ข᝽௚.  教学௑，Џऄፇ合教
科书图5-37ᝨ学生ឭ出֑
题的
条件和ፇ᝷，г考ᘽΎ用Ԧ᝽
ขऄᯫЏϢটನ的Ϝ᝺，ཀྵՑ
ᝨ学生思考ښϜ᝺ੇ
立௑，ԁ
OA 与 CD ˀ垂直௑，ࡃԻ̿
гͻ OMľCD，垂ᡜ௧ག M，
OM ࡃ௧ག O ҂直线 CD 的ᡰ
ሏ. උᣗ OM 与 OA，Ի४ OM὚OA（ᝨ学生ឭ出理ႀ）.  ͮ
 OA ௧ӧ径，ᑟ४出 ĽO 与 CD 有টನ
的位置关系Ὕ߲
与ࣃᅼ条件ᅸᄴՙὝႀ上ᤘᅸᄴ，ͿԻ४҂টನ的ፇ᝷քὝႀ൥ᝨ学生г次ʹ͘
用
Ԧ᝽ข᝽௚的ࠄ᠏
௧：ա定ፇ᝷Ց，正确଎᝽，࠮ᒱᅸᄴ.
ό1ύ

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ஔ࣎
ஔ学用书
41
Γ
本Γ௧切线的性᠏
定理的
ऄ用.  ښ本Γ中，Я圆的切线
Տ௑ԡ௧ܱ
圆的一条ऺ
，̰
Ꮻ
࠲᫈
题ᣁ化˞垂径定理，гᣁ
化˞Ӈ股定理，తՑऄ用圆的
面积公式，Ύ᫈
题४҂ᝍх. 
教学௑，ऄฌਓᝨ学生ʹ͘
ᣁ
化的数学思ਇښᝍх数学᫈
题
௑的ऄ用.

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42
஝ߦ
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ᬤ۶ጷ˸
ĨABD = 45c.  
ଢᇨ：ႀ AB ௧直径Ի४BDľ 
AC. ԡAD = DC，İAB = BC. ႀ
切线的性᠏
定理Իᅼ ABľBC，
İĨA = 45c，ĨABD = 45c. 
˸ᮥ

1. ĨB = 30c.  
 
ଢᇨ：ᤌଌO C ，Ի ४ 
OCľBC，˅OC = OA = AB 
= 2
1OB，ਫ਼̿
ĨB = 30c.
2. ĨBAC =ĨDAC. 
ଢᇨ：ᤌଌ OC，ѷ OCľCD.
 
ԡADľCD，ԻᅼOCĩAD，
஌ĨDAC =ĨOCA.  ႀOC = 
OA，ԻᅼĨOAC =ĨOCA，
ਫ਼̿
ĨDAC =ĨOAC.
3. 21 c m Ὄ
 
ଢᇨ：᝺光ᄨ的圆心˞ O，
光ᄨ与ʼ角ࡇ的切ག˞ C. ಪ
据题ਓԻᅼĨCAB = 120c， 
ᤌଌ O A ，O B ，O C ，ѷ 
OBľAB，OCľAC. ਫ਼̿
 
R t ǁOAB≌R t ǁOAC，ਫ਼̿
ĨOAB =ĨOAC = 60c. ښ R t ǁOAB 中，OB = ABt a n 60cὌ

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43
4. （4，5）.
 
ଢᇨ：ᤌଌ PQ，᣿ག P ͻ 
M N 的垂线，४҂ 一˔ ᅾ
形.ႀག M，N 的ጫگಖ，Ի
ᅼ MN 的长˞ 6，ڂ൥ MN 
的中ག˞（0，5），ڂ൥ PQ 
的长˞ 5，ԁ圆的ӧ径˞ 5. 
ᤌଌ PM，Ի求४ག P ҂ y 
ᣉ的ᡰሏ˞ 4.
ᝬʷᝬ
ᤰ᣿஽ᣁࠄᰎଊጊ切线的
Ѽ定条件.  ښᤈ˔ࠄᰎ中，ᬤ
ᅌĨα ႀ࠵变ܸ
，ག O ҂ l 的ᡰ
ሏ d ˷ႀ࠵变ܸ
Ὑे
Ĩα = 90c
௑，d ᣺҂తܸ
，൥௑ d = rὙ
˨Ցे
Ĩα ፙ፞
ܙܸ
௑，d ᤪ
ຒ变࠵. ڂ൥े
Ĩα= 90c（ԁ 
lľOA）௑，d = r，ᤈ௑直线 l 
与 ĽO ᄱ切.  
ό1ύᤈ一Ѽ定定理௧切线
性᠏
定理的ᤤ定理，߲
ࠄᬅ上
௧圆心҂直线的ᡰሏ等̆
ӧ径
௑，直线与圆ᄱ切的Գ一种ឭ
ข. ڂ൥，教学௑ˀॹ᜶求学生и出᝽௚᣿ሮ.
ϢʷϢ
ᤈ௧切线Ѽ定定理的一˔直ଌऄ用. ᤈ᧗ˀ᜶求学生用ࡇ᜻ͻ图，Њ᝵用ʼ角ࡇႇ垂线.  
ႇข：ᤌଌ OPὙ᣿ག P ͻ OP 的垂线 l.  l ԁਫ਼᜶ႇ的切线 .
ᤰ᣿ႇ图，Ύ学生ʹ͘
҂ፃ᣿圆上͊
ਓ一ག，ᑟ˅Զᑟႇ一条圆的切线.
Γ
切线的Ѽ定定理的ͻ用௧：Ѿ用ᤈ一定理Իႀ垂直关系Ѽ定直线与圆ᄱ切. ᤈನ，᝽௚直线௧
ό1ύ

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44
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圆的切线Իᣁ化˞᝽௚垂直，
Ꮻ᝽௚垂直的᤭径ࣃ有ॢ
多. 
本Γ᝽௚的关᪄௧ͻ出直径Ց
᝽௚垂直.  教学௑，Իळ࠮学
生СՏଊጊ߲
的᝽௚思路：ᤌ
ଌOC，Զ᜶᝽௚OCľCD，ԁ
ĨOCD = 90cԁԻ. ႀĨOCD 
= Ĩ O C B + Ĩ B C D ，ࣃᅼ
ĨBCD =ĨBAC，஌Զ᜶᝽௚
ĨOCB + ĨBAC = 90cࡃԻ̿̀
. ͮ
ĨOCB与ĨBAC௅෥有
СՏ的ᮇག，ԡˀښՏ一˔ʼ
角形中，஌Իण长CO̔
ĽŎ
གE，ᤌଌEB，ႀ圆周角定理
的଎᝷，ԻᅼĨBAC =ĨBEC. 
ᏫĨBCE与ĨBECᦐ௧Տ一˔
ʼ角形的Я角，ڂ൥Զ᜶᝽௚
ĨCBE = 90cࡃ行̀
，ᤈ௧ॢ
ࠔ௜Ϣ҂的. ࠲上ᤘѬౢ
᣿ሮψ
᣿౏и，ԁ४教科书中的᝽௚
᣿ሮ.
ᬤ۶ጷ˸
1. Ք下ࣱ
ረ 2 c m
 或Ք上ࣱ
ረ 
8 c m .
2. 3，4，12
5 .
˸ᮥ

1. BC 与 ĽO ᄱ切. 
ଢᇨ：ᤌଌ OD，ѷ ODľAB. ͻ OFľBC，垂ᡜ˞ག F，Ի४ OD = OF，ԁ OF ˞ ĽO 的ӧ径. 
ਫ਼̿
 BC 与 ĽO ᄱ切.

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45
2. AB ௧ ĽO 的切线.
ଢᇨ：ᤌଌ OC，ႀ等ᒉʼ
角形的性᠏
Ի४ OCľAB. г
ႀ切线的Ѽ定定理，Ի᝽४
ፇ᝷.
3.（1）① EFľAB（或ĨEAB =
 
90c，或ĨFAB = 90c）Ὑ
 
Ł ĨEAB = ĨCὙ 
 
ł ĨBAC + ĨFAC = 90cὙ
 
Ń ĨFAC = ĨBὙ
 
ń ĨBAC + ĨFAC = ĨEAB
等.
 
（2）①ĨFAC = ĨBὙ
 
Ł ĨEAB = ĨC等.
4. ႕. 
ϢʷϢ
ᤈ᧗ͻ图的关᪄௧确定圆
心的位置.  确定圆心的方ข与
确定ʼ角形ܱ
心的方ขዝͫ
，
Џ考ᘽ圆心҂Х中ː边的ᡰሏ
ᄱ等，̰
Ꮻ߲
ښᤈː边݃
角的ࣱ
Ѭ线上，൥௑圆心的位置࠻
ళᜂ׭一确定Ὑг考ᘽ߲
ᤇ҂
ː边中的一边与第ʼ边的ᡰሏ
˷ᄱ等，ڂ൥圆心ԡښԳ一˔
角的ࣱ
Ѭ线上.  ڂ˞ː条角ࣱ
Ѭ线Զ有一˔̔
ག，ਫ਼̿
圆心位置ᜂ׭一确定.  े
ཀྵ，ᤈ᧗˷ˀ᜶求学生用ࡇ᜻ͻ垂线.  

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ό1ύऄΎ学生௚确ʼ角形
的Я心njܱ
心的ӝѿ，߲̓
Ѭ
ѿ௧ʼ条Я角ࣱ
Ѭ线的̔
གnj
ʼ条边垂直ࣱ
Ѭ线的̔
ག，߲̓
ՊᒭЦ有ˀՏ的性᠏
.  Я心
҂ʼ角形ʼ边的ᡰሏᄱሏ，Я
心与ᮇག的ᤌ线ࣱ
ѬЯ角Ὑܱ
心҂ʼ角形ʼ˔ᮇག的ᡰሏᄱ
等，᣿ܱ
心ͻ͊
͵一条边的垂
线ᦐࣱ
Ѭᤈ条边.  对̆
一ᓊʼ
角形౏ឭ，ʼ角形的Я心和ܱ
心ˀ重合，ͮे
ʼ角形௧正ʼ
角形௑，Я心和ܱ
心重合˞一
˔ག.  
Γ

本Γ ႀࣃᅼʼ 角形一˔
Я角的ए数，计算Գː˔角的ࣱ
Ѭ线݃
角的ए数. ߲
շងੈ̓
一˔ᤈನ的̃
ࠄ：ݠ౧ I ˞
ǁABC 的Я心，ᥧ˦
ĨBIC = 90c+ 1
2 ĨA，
ĨBIA = 90c+ 1
2 ĨC，
ĨAIC = 90c+ 1
2 ĨB.
ᬤ۶ጷ˸
ʼ角形的Я心ᦐښʼ角形的Яᦊ.  
ό1ύ

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47
˸ᮥ

1. ĨAIB = 125c，ĨBIC = 110c，
 
ĨAIC = 125c.
2. SǁABC = 1
2 pr. 
ଢᇨ：࠲ǁABC 的Я心与 
A，B，C ʼགѬѿᤌଌ，ѷ
ǁABC ᜂѬੇ̿
Ԕʼ角形Պ
边˞अ边njᰴᦐ௧ r 的ʼ˔
ʼ角形.
3. EB = EC = EI.
ଢᇨ：ᤌଌ BI.  ႀ I ˞Я
心，ԻᅼĨBAE = ĨCAE，
İEB = EC ，EB = EC. ԡႀ
ĨEBC =ĨEAC = ĨBAE，
ԻᅼĨBIE =ĨIBA + ĨIAB 
= ĨIBC + ĨEBC = ĨEBI，
İEB = EI .
教ߦ目ಖ
1. ଂଧ切线长的定义.
2. ଊጊࣳ
᝽௚切线长定理. 
本ᓬښळК切线长定义˨
Ց，ଊጊࣳ
᝽௚切线长定理Ὄ
ό1ύᤈ᧗ˀ᜶求学生用ࡇ᜻ͻ图Ὄ
ᝬʷᝬ
ᤈ᧗用ᣉ对称性౏ଊጊ切线长定理，̰
Ꮻळ出本ᓬ课᜶ᆑቃ的对៶. 图形的对称ᣉ௧直线 OP，
图中ᄱ等的线඀௧ PA 和 PBὌ
教师ᤇԻ̿
ࡃ学生ৱцښ图中຋ҫ线඀ OA，OB，OP，ࣳ
࠲᫈
题ஈ˞þͿᑟ੽҂ᄱ等的᧚
ՙὝÿ，ፌ学生更ࠕᜏ的ቇᫎ
ଊጊ图形Ὄ
ό1ύ

*   ѭጳ᫂
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48
஝ߦ
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ό1ύ对切线长的定义ˀॹ᣿̆ू
化，Զ᜶学生ᑟܵ
理ᝍХ
ե义ԁԻὌ
ό2ύښѾ用ᣉ对称ଊጊ̀
ᄱ
关ፇ᝷˨Ց，ᤉ一൦ळ࠮学生
用ʼ角形Л等的方ข对切线长
定理ᤉ行᝽௚Ὄ
ਇʷਇ
切线长定理的ऄ用Ὄ
AB + CD = BC + DA. 对
学生发ဘ的Х̵
ᄱ等关系˷ऄ
ᝣԻὌ
Γ
ऄ用切线长定理和Ӈ股定
理ᝍх᫈
题Ὄស题ᤇ有Х̵
ᝍ
х方ข：
ᤌଌOA，OB，OC，
SǁABC = SǁABO + SǁBCO + SǁACO 
   = 1
2 • AB • r + 1
2 • BC • r + 1
2 • AC • r 
   = 1
2×（10+24+26）• r 
   = 30r.
ԡıSǁABC = 1
2 • AC • BC
      = 1
2×10×24
      = 120. 
İr = 4.
ό1ύ
ό2ύ

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49
ᬤ۶ጷ˸
3 
3 c m Ὄ
˸ᮥ

1. 10 c m Ὄ
 
ଢᇨ：AD = CD，CE = BE.

  *   ѭጳ᫂
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2. 4 c m ，5 c m ，9 c m Ὄ
 
ଢᇨ：᝺ AF = x ，BD = y，
CE = z，
 
Ի४ 
x+y = 9，
y+z = 14，
x+z = 13.
3. 70cὌ
 
ଢᇨ：Κ题ਓԻ४ ǁADF≌ 
ǁBED，ਫ਼̿
ĨBDE=ĨAFD，
ԡĨADF+ĨFDE+ĨBDE = 
180c，ਫ਼̿
ĨEDF +ĨBED+ 
ĨBDE=180cὌ
4.（1）Џ࠲纸ྟ
෹ AC 折ԯ，
г᣿ B ག࠲纸ྟ
折ԯ，Ύ边 
AB，BC 重合，ː条折჉的̔
གԁ˞圆心Ὑ
  （2）24
7 c m Ὄ
 
ଢᇨ：1
2×6×8= 1
2（6+8）r.
教ߦ目ಖ
1. ͘
用᧚角٨和圆᜻ႇ出
圆的Яଌ正 n 边形，͘
用ࡇ᜻
ͻ图的方ขͻ圆Яଌ正方形和
正О边形.
2. ̀
ᝍ圆Яଌ正多边形的
概ঐ及ᣉ对称性，̀
ᝍ正多边形与圆的关系，̀
ᝍ正多边形的ӧ径nj边长和边心ᡰ˨ᫎ
的关系，ᑟં
正多边形的计算᫈
题ᣁ化˞ᝍ直角ʼ角形的᫈
题.
ᝬʷᝬ
ښ学生ࣃ学᣿的正多边形定义的۳ᆩ上，ႀ圆心角nj等ᒉʼ角形的性᠏
ळ出ႇ正 n 边形的方
ข，̰
Ꮻႇ出圆的Яଌ正 n 边形.  ႇ圆的Яଌ正 n 边形的关᪄ښ̆
࠲圆周 n 等Ѭ.  ᤈ௧一种እӭᏫ
˅࣢用的ႇ图方ข.  ͮ
௧，ऄΎ学生ฌਓ҂，ႀ̆
᧚角٨的限制，ᤈ种ႇ图方ขԶ௧ᤃͫ
ڡ࠲圆周 
n 等Ѭ，ਫ਼ႇ出的图形˷Զ௧一˔ᤃͫ
的正 n 边形.

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51
ϢʷϢ
Ύ学生ښ̀
ᝍ一ᓊ正 n 边
形ႇข的۳ᆩ上，ႀ一ᓊ҂ྲ
൴，ႇ一˔Цʹ的正五边形，
ښႇ图᣿ሮ中，ྀ
৙用᧚角٨
和圆᜻ႇ正多边形的方ข.
Γὀ
用ࡇ᜻等Ѭ圆，̰
理᝷上
ᝯᤈ௧一种ю确等Ѭ圆的方
ข.  ͮ
௧，ႀ̆ࣳ
ˀ௧͊
ਓ等
Ѭ圆周ᦐᑟ用ࡇ᜻ͻ图౏߹ੇ
，Ꮻ˅ͻ图൦ᰡᣗ˞复ా
，
ڂ൥教科书Զ对ї种ྲ
൴ৱц
ᤉ行ᆑቃ.
本ᓬ的教学Զ᜶求学生͘
用ࡇ᜻ͻ出正О边形nj正ʼ角
形nj正ӡ̄
边形nj正方形nj正
М边形. ͻ正方形的理᝷Κ据
௧：े
 n = 4௑，360°
n = 90c，
ڂ൥四等Ѭ圆Զᭊͻ̉
ᄱ垂直
的ː条直径ԁԻὙͻ正О边形
的理᝷Κ据௧：े
n = 6௑，
360°
n
 = 60c，൥௑圆心角ਫ਼对
的ऺ
长্
˞ӧ径的长，̿
ӧ径˞ऺ
ښ圆上੕ԩ等弧ࡃԻ࠲圆О等Ѭ.
ښ四等Ѭ圆的۳ᆩ上，࠲四等Ѭ圆的ඈ一඀弧г̄
等Ѭ，Ի४҂圆的М等Ѭག，г࠲ඈ඀弧̄
等Ѭ，ԡ४҂圆的ӡО等Ѭག……ᤈ一᣿ሮԻ̿
一直ፙ፞
下ԝ，ਫ਼̿
用ࡇ᜻Ի̿
ͻ出圆的Яଌ
正 4×2
n 边形. Տನڡ，࠲圆О等ѬՑ，ᒭཀྵ˷ࡃ࠲圆ʼ等Ѭ，Ꮻ˅ᤇԻ̿
࠲圆ӡ̄
等Ѭnj̄
ӡ四等
Ѭ……ਫ਼̿
用ࡇ᜻Ի̿
ͻ出圆的Яଌ正 3×2
n 边形.

   ൤ܳ
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ᝬʷᝬ
用ࡇ᜻ͻ图ͻ圆Яଌ正四
边形的方ขˀൣ
一种，教师ऄ
ᴂҵ学生᧔ԩ多种方式ᝍх᫈
题. ࠵ጸ合ͻ及࡙
ᇨԻ̿
Ψᤉ学
生的̔ื
Ὄ
ᬤ۶ጷ˸
࠵ᮣ
的ͻข௧正确的. 理ႀ௧：
Ѭѿ̿
 A，D ˞圆心，̿
 ĽO 
的ӧ径˞ӧ径ͻ圆，ਫ਼४҂
的圆心角ĨAOB，ĨAOF，
ĨDOC，ĨDOE ᦐ௧60c，ႀ
൥Ի଎出ĨEOF，ĨBOC˷ᦐ
௧60c，ڂ൥ A，B，C，D，
E，F ௧ ĽO 的О等Ѭག，ᮋ
次ᤌଌ߲̓
，ਫ਼४҂的О边形
ࡃ௧正О边形.

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53
˸ᮥ

1. ႕.
2. ͻข：① 用直ࡇͻĽO的一
条直径ABὙŁ 用直ࡇ和圆᜻
ͻAB的垂直ࣱ
Ѭ线，与ĽO̔̆
C，DːགὙł ᮋ次ᤌ
ଌA，C，B，D，Ի४҂ĽO
的Яଌ正方形ὙŃ 用圆᜻࠲
AC ，CB ，BD ，DA Ѭѿ̄
等Ѭ，ᮋ次ᤌଌ上ᤘМ˔Ѭ
ག，ਫ਼४҂的М边形ࡃ௧正
М边形.
3. ଢᇨ：用᧚角٨࠲圆周五等
Ѭ，̰
一˔Ѭག开ݽ，ඈᬦ
一˔Ѭགᮋ次ᤌଌ，ࡃ४҂
正五角௡形.
ϢʷϢ
ᝨ学生ᤰ᣿ႇ图（˷Ի̿
Ѿ用折ԯ的方ข），发ဘ正ʼ角形nj正方形nj正五边形nj正О边形Ѭ
ѿ有ʼ条nj四条nj五条njО条对称ᣉ，̰
Ꮻ࿯ਇ正 n 边形有 n 条对称ᣉ.̰
理᝷上，对正多边形的对称性ԻѬ̿
下ː种ৱцҫ̿
Ѭౢ
：
① े
边数˞Ϧ数（2k）௑，正多边形௅௧ᣉ对称图形，ԡ௧中心对称图形，ႀՊ对角ᮇག确
定的直线和Պ对边中ག确定的直线ᦐ௧߲
的对称ᣉ，൥௑，正 2k 边形С有 2k 条对称ᣉ.
Ł े
边数˞݉
数（2k+1）௑，正多边形௧ᣉ对称图形，ͮ
ˀ௧中心对称图形，ඈ˔ᮇག҂对
边ਫ਼ͻ的垂线ᦐ௧߲
的对称ᣉ，С有（2k+1）条. ൥௑，正（2k+1）边形有（2k+1）条对称ᣉ.
፬上Իᅼ，正 n 边形有 n 条对称ᣉ.

   ൤ܳ
᣸ॎ֗
ړ
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54
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
（1）正ʼ角形的中心角˞
120c，正方形的中心角˞90c，
正五边形的中心角˞72c，正О
边形的中心角˞60c. 一ᓊڡ，
正 n 边形的中心角˞360°
n .
（2）Իᝨ学生ᤰ᣿୲ͻnj
᜺ࠣ
njॆ
ጪnj࿯ਇnj̔ื
४出
ፇ᝷：࠲正 n 边形ፉХ中心
஽ᣁ 360°
n
，̯
与ᒭᢶ重合. ႀ
൥，ΧԻ४出正多边形Ц有஽
ᣁ对称性的ፇ᝷.
ώҰࣃ学᣿的஽ᣁᅼគ，ᝨ学生ʹ͘
҂正 n 边形ᦐԻ̿
ᤰ᣿ႀ一条边和ː条ӧ径ጸੇ
的ᮇ角
˞ 360°
n 的等ᒉʼ角形ͻ˞þ۳本图形ÿᤌ፞
஽ᣁ（n -1）次Ꮻ४҂. ಪ据等ᒉʼ角形的性᠏
，ඈ˔
þ۳本图形ÿԡᜂᄱऄ的边心ᡰѬ˞ː˔Л等的直角ʼ角形. ᤈ˔ፇ᝷ଫᇨ̀
正 n 边形的ӧ径nj边
长nj中心角及边心ᡰ˨ᫎ
的关系，௧有关正 n 边形计算的Κ据，ࣳ
࠲正 n 边形的有关计算ᣁ化˞ᝍ
直角ʼ角形的᫈
题.

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
55
ᬤ۶ጷ˸
1. 边长˞ 6 
3  c m ，边心ᡰ˞ 
3 c m .
2. a12 = 2Rs i n 180°
n = 2 × 10 × 
s i n 15c≈ 5.18（c m ）.

   ൤ܳ
᣸ॎ֗
ړ
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56
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书឴
ʷ឴
ᴂҵ学有͸力的学生ᤉ行
᫞឴
，̀
ᝍ圆的周长及面积公
式与圆周率的关系. 教师ऄଢΙ
ॹ᜶的ૉ࠮和ࣟ
Ұ.

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
57
˸ᮥ

1. 6 
3 Ὄ
2. 6 
2 c m ，3 
2 c m ，72 c m
2.

   ൤ܳ
᣸ॎ֗
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58
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
3. ௧Ὑˀ一定，ݠᅾ形. 教师
ᤇԻ̿
Κ据学生ৱцᤝ᫈
：
Պ边ᄱ等的圆Яଌ n 边形௧
正 n 边形ՙὝ
4. （1） 3 r， 2 r，rὙ
    （2）ᑟ౞ੇ
ʼ角形，௧直角
ʼ角形，ԻѾ用Ӈ股
定理ᤤ定理Ѽ定Ὄ
5. 五角௡Ὄ
6. b = 12 3 ≈ 20.8（m m ）.
 
ଢᇨ：b˞正О边形边心ᡰ
的 2 φ.
教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊ弧长计算公式
及扇形面积计算公式的᣿ሮὌ
2. ̀
ᝍ弧长计算公式及扇
形面积计算公式，ࣳ͘
ऄ用公
式ᝍх᫈
题Ὄ
本ᓬᤰ᣿ࠄᬅ᫈
题的ᝍх
ଊቃ圆中的弧长和扇形面积的
计算方ขὌ
ό1ύᐏ系࠵学数学学᣿的
圆的周长的计算公式，ଊጊ弧
长的计算公式. ݠ౧学生对传ਖࣜ
ਖ҂ᬋ生，ᥧ˦˷Ի̿
ஈ用þᢼᣃښࣱ
ڡ上໔动ÿ的ৱఀ
，ࣳ
ଢ
出ዝͫ᫈
题˙Ὄ
（1）20¯c m Ὑ
（2）18
¯ c m Ὑ
（3）18
n¯c m Ὄ
ό1ύ

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
59
ό1ύl = n
180¯RὌ
ऄ᜶求学生͘
଎࠮ᤈ˔公
式，ˀॹ൫ᝮ .  
Γ
˟᜶௧ᝨ学生ऄ用公式ᤉ
行计算. ښ计算௑，᜶ฌਓ公式
中 n 的ਓ义. n 表ᇨ1c的弧ए数
的φ数，ਫ਼̿
ˀиӭ位.  ᜶᫹ൣ
学生ښᝍ题௑出ဘዝͫ
1
180
×110c×40¯的书иᩲឨ.  
Գܱ
，本ቦښᤉ行ᤃͫ
计
算௑，ᤰ࣢¯ԩ 3.14.
ਇʷਇ
ᤰ᣿Цʹࠄᬅৱܒ，ଊጊ
扇形面积的计算公式. 扇形面
积公式̿
圆面积公式˞۳ᆩ. 
ښᝨ学生思考᫈
题௑，᜶ฌਓ
ːག：一௧తܸ
活动ӝ۫
的数
学ե义Ὑ̄
௧圆心角௧ 360c
的扇形面积等̆
圆面积，圆心
角˞ nc的扇形面积等̆
圆面积
的n
360Ὄ
（1）࿑的తܸ
活动ӝ۫
˞9¯m
2Ὑ
（2）࿑的తܸ
活动ӝ۫
˞ 
n
40¯m
2Ὄ
ό2ύS扇形 = n
360¯R
2.
ό3ύS扇形 = 1
2Rl.
Ի̿
ळ࠮学生ښᤈ一公式与ʼ角形的面积公式˨ᫎ
थ立ᐏ系Ὄ
ό1ύ
ό2ύ
ό3ύ

   ऻ᫂
ԣ੡ॎᄊ᭧ሥ
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60
஝ߦ
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Γ
Ѿ用扇形面积公式ᤉ行计
算. 计算௑，ಪ据题ᄬ᜶求的ድ
确ए，¯ԩ3.14.  
ᬤ۶ጷ˸
1. ጞ88.4 c m
2.  
本题ࠄᬅ上௧求ल形的面积. 
᭤ӧ圆的ल形面积ᦐԻ̿
化ॆ
˞扇形面积与ʼ角形面积
的ࣀ或和. 
2.（1）ጞ31.8 m Ὑ 
   （2）ጞ18.8 m . 
˸ᮥ

1. ӧ径˞7.2 c m Ὄ
2. ஽ᣁ̀
ጞ115cὌ

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ学用书
61
3. 长ጞ˞ 7.85 c m .  
4. ᒰ࠶᜶用 899.6 c m
2 的纸. 
ଢᇨ：᳧
᧛උԩ 0.618，Ի४ 
 ≈ 137.50c. ಪ据题ᄬ᜶求的
ድ确ए，¯ԩ 3.14.  
教ߦ目ಖ
1. ፃԋଊጊ圆锥侧面积计算公式的᣿ሮ.  
2. ̀
ᝍ圆锥的侧面࡙
开图和侧面积计算公式，ࣳ͘
ऄ用公式ᝍх᫈
题. 
3. ᤰ᣿圆锥的侧面Ի࡙̿
开ੇࣱ
面图形，̿
及用扇形Ի̿
Ԅੇ
圆锥侧面的̃
ࠄ，ʹᰎቇᫎ
图形
与ࣱ
面图形˨ᫎ
Ի̿
ᄱ̉
ᣁ化的数学思ਇ.  
ᯫЏᝨ学生ᤰ᣿᜺ࠣ
圆锥，ᝣគ҂߲
的表面௧ႀ一˔圆面和一˔జ面ڊੇ
的，ཀྵՑг思考：圆
锥的జ面࡙
开ښࣱ
面上௧̤
˦ನ的图形Ὕ

   ړ᩼
ᄊΟ᭧ሥ
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62
஝ߦ
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ஔ࣎
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ό1ύ扇形的ӧ径˞ l，扇形
的弧长˞ 2¯r，圆锥的侧面积
˞¯rl.  
ऄ᜶求学生理ᝍ圆锥侧面
积公式的ႀ౏，ˀॹ൫ᝮ.  
Γ
Ѿ用圆锥的侧面积公式ᤉ
行计算.  
ό1ύ

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
63
ϢʷϢ
（1）图႕.
（2）Ѭː种ৱц：अ面ӧ径˞ 
1 或 
2 .
ᬤ۶ጷ˸
1. 3
4¯r
2.  
2. ӧ径ጞ˞ 7.9 c m
，ᰴጞ˞ 
22.7 c m
.  
3. 12
π .
˸ᮥ

1. अ面ӧ径˞ 1.
2. 侧面积ጞ˞ 56.5 c m
2.

   ړ᩼
ᄊΟ᭧ሥ
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஝ߦ
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ஔ࣎
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3. 面积ጞ˞ 55.9 m
2.  
4. Л面积ጞ˞ 1 318.8 c m
2.
5. తᆁ路ሮ˞ 30 
3 c m .

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
65
ڀᮏˁনᏦ
þ回顾与思考ÿᤰ᣿᫈
题
的方式回顾本ቦ的˟᜶Яࠔ. 教
学௑，教师᜶ळ࠮学生对ਫ਼学
的数学ᅼគnj੿ᑟnj思ਇ方ข
ᤉ行೛理和Ԧ思，ᝨ学生ᒭࣂॆ
ጪnj঴ፇ，थ立ᡑ新ைᅼគ
˨ᫎ
的ᐏ系，ࣳ
用ᒭࣂ的ឦᝓ
ᤉ行表᣺. ښ঴ፇ௑，教师Իळ
࠮学生थ立ݠ下图ਫ਼ᇨ的ᅼគ
ፇ౞图.
教学௑，Ի̿
Џᝨ学生࿘
立ڡ对本ቦЯࠔᤉ行࠵ፇ. ࠵ፇ
中᜶ʹဘ˔性化的᜶求，᜶ᴂ
ҵ学生ЍѬѾ用Պ种ጉె
౏表
᣺对ᤈ一ቦ的ᝣគ，ࣳ
࠲学习
ᤈ一ቦ的ஆᖍ和᥅҂的ڈᬲ表
᣺出౏. 教师᜶ં
学生ښ本ቦ学
习中有ѹਓ的思考nj多种ᝍх᫈
题的方ขஆКХੇ
长ᝮै
中，̿
Ԧ௢学生学习的ᤉ൦ৱц. 
ܭ˸ᮥ
1. 图（4）Ὄ
2. 100 
3 c m
2Ὄ
 
ଢᇨ：᣿ག O ͻ AB 
的垂线，垂ᡜ˞ M. 
Ի求出OM=10 c m ，
AM = 10 
3 c m Ὄ
3. ӧ径ጞ˞ 0.384 m Ὄ

ܭ˸ᮥ
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
4. CD = CEὌ
 
ଢᇨ：ᤌଌOC，᝽௚ǁOCD≌ 
ǁOCEὌ
5. OD//ACὌ
 
ଢᇨ：ĨCAD =  1
2ĨCOD = 
30c，ਫ਼̿
ĨCAO = 60c，Ꮻ
ĨBOD = 2ĨDAB = 60c.
6. （1）ĨAEB = ĨADB = ĨACBὙ
 
（2）ĨBAC = ĨBEC =ĨBDCὙ
 
（3）ĨCAD = ĨCBD =ĨCEDὙ
 
（4）ĨDAE = ĨDBE =ĨDCEὙ
 
（5）ĨEBA = ĨECA =ĨEDA.
7. ਫ਼对的圆周角˞90c.
 
ଢᇨ：DAB 与 ABC ௧等弧.
8. AD = 4 c m Ὄ
 
ଢᇨ：ᝍขˀ׭一. Γݠ，Ի
ႀǁACD∽ǁCBD，४ CD
BD = 
AD
CD，ԁ CD
2 = BD × ADὙ˷
Ի̿
ᤌଌ OC，ښ R t ǁOCD 
中求४ OD，̰
Ꮻ AD = OA - 
ODὌ
9. ႕. 

ኄ̋
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஝ߦ
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ஔ学用书
67
10. ႕Ὄ
11. OA = 41 c m Ὄ
 
ଢᇨ：ᤌଌOC，Ի४OC 
 
= 4 c m ，AC = 5 c m .
12.
正多边形边数
Я角
中心角
ӧ径
边长
边心ᡰ
周长
面积
3
  60c
  120c
2
2 
3 
1
6 
3
3 
3
4
  90c
  90c
2
2
1
8
4
6
  120c
  60c
2
2
3
12
6 
3
13. 
2
27 
3  c m
2Ὄ
14. 30cὌ
15. ǁABC ˞等边ʼ角形. ଢᇨ：ᤌଌ OC，ѷ R t ǁOCD≌ R t ǁOCE，४ CD = CE，̰
Ꮻ BC = ACὌ

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16. 面积˞
2
 
3 
¯-
 .
 
ଢᇨ：ႀజ边ʼ角形的周
长˞¯Ի求४ǁABC 的边
长˞ 1.
17.（16¯
3
- 4 
3 ）c m
2.
18.（1）ག P ښ ĽO ܱ
Ὑ
 
 （2）ག P ښ ĽO ܱ
，或 ĽO 
    Я，或 ĽO 上.
19. ĽP ᤂ动一ڔ与ǁOBC 的
边ᄱ切 6 次ὙĽP 与ǁOBC 
的边ᄱ切௑，ག P 的位置
Ѭѿ௧ PO = 2（ག P ښ OB 
或 OC 上），PB = 2（ག P 
ښ OB 或 BC 上），PC=2
（ག P ښ BC 或 OC 上）Ὄ
20.（1）ଢᇨ：Ѭѿ̿
 A，C ˞
圆心，̿
 AP 的长˞ӧ径ͻ
弧，ː弧ᄱ̔̆
ག OὙ̿
ག
O ˞圆心，̿
 OA 的长˞ӧ
径ͻ弧. 
     （2）
2
3 2 ¯c m Ὄ
21.（1）1 ˔Ὑ（2）0˔Ὑ
 
 （3）௄数˔. 

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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
69
22. Ѭౢ
：ݠ图ਫ਼ᇨ，ᤌଌ OA，
OB，OC Ց，Իં
ǁABC Ѭੇ
ʼ˔࠵ʼ角形，Ꮻ࠵ʼ角 
形的ᰴᦐ௧Я切圆的ӧ径 
r，ǁABC 的面积ࡃ௧ʼ˔
࠵ʼ角形的面积˨和Ὄ
   求४ S = 1
2 lr.
     
23. ႕Ὄ
24. ጞ 1.3 m
2Ὄ
 
 ଢᇨ：ĨACD = 30cὌ
25. ጞ 1 674.7 c m
2Ὄ
26. ጞ 17.1 m
2Ὄ
ଢᇨ：ਫ਼求的ӝ۫
௧ӧ径˞ 
7 m nj圆心角˞ 40c的扇形.
27. 长एጞ 45.1 km
Ὄ
 
 ଢᇨ：ᤌଌ OA'，OB'.

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ஔ࣎
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28. ጞ 421 ̡
Ὄ
 
ଢᇨ：᣿ག O ͻ AB 的垂
线，垂ᡜ˞ག CὌ
29. ႕Ὄ
30. ႕Ὄ
31. ጞ 23 m
2.
32. ӧ径˞ 3 c m .
33. ႕.

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71
34. AD = d
2-a
2.
ଢᇨ：ᤌଌ AD，BC，ѷ AD 
= BC. 
35. AB = 2 
3 Ὄ
ଢᇨ：ᤌଌCD，ѷǁACE∽ 
ǁADC，४ AC
AD = AE
AC，ԁ 
AC 
2 = AD×AEὌ
36. ښ٪ܦᔵڊЯ，ጞ 20 s .
ଢᇨ：A 与᠎ᢼ行᯺线路的 
తᆁᡰሏ 200s i n 37c<130.
37. ଢᇨ：AH + AH
t a n 30° = 500，
 
 ४ AH = 500
 
3 
1
 < 300，ਫ਼̿
  
 ស公路͘
ቈ᣿公ڇὌ

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஝ߦ
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ᬄै
 ЧیವΓកౢ
ړևᝈ֗
ړॷᝈᄊТጇ
 
 
          ᝺ᝠ὘ᯫᦐ师ᔵܸ
学ᬄ࡛
˗学 स॑
ᖱ
 
 
          កౢ
὘ᯫᦐ师ᔵܸ
学 ဍ၌᭕
ʷnj教ߦ目ಖ
ᅼ识与੿ᑟ
1. 理ᝍ圆周角的概ঐ，ଂଧ圆周角的ː˔ྲ
ढ़Ὄ
2. ፃԋ圆周角和圆心角关系的ଊጊ᣿ሮ，发ဘ圆周角和圆心角的关系ࣳ
ᤉ行ᰎ᝽. ښ൥
᣿ሮ中发࡙
学生合ৱ଎理和໦ፂ଎理的ᑟ力Ὄ
3. ᑟ用圆周角和圆心角的关系ᤉ行计算及଎理，۲Щ学生的଎理ਓគὌ
数学নᏦ
1. ښଊጊ圆周角和圆心角关系的᣿ሮ中，学͘
ᤂ用Ѭዝᝧ᝷njᣁ化的数学思ਇᝍх᫈
题Ὄ
2. ښ教学᣿ሮ中ຖᤩ þႀྲ
൴҂一ᓊÿ和 þႀ一ᓊ҂ྲ
൴ÿ的数学思ਇ方ขὌ᫈
题ᝍх
ښ᜺ࠣ
njѬౢ
图形的᣿ሮ中ଢᰴ学生的គ图ᑟ力，合理ळ࠮学生ᤰ᣿຋ҫᣙҰ线ᝍх᫈
题Ὄ
ৱਖ与গए
ᤰ᣿୲ͻ̔ื
等活动，۲Щ学生̉
ᄱࣟ
Ұnj团ፇөͻnj̉
ᄱᝧ᝷的团᫳ድᇸ，۲Щ学
生的表᣺ᑟ力，ᝨ学生的˔性४҂ЍѬ的࡙
ᇨὌ
ळ࠮学生᜺ࠣ
图形，༏发学生的ݞ݉
心和求ᅼ൘，ࣳ
ښᤂ用数学ᅼគᝍን᫈
题的活动
中ʹᰎੇ
Ҫ，थ立学习的ᒭη心Ὄ̄
nj教ߦ᧘ᬲག
教学重ག：ଊጊ圆周角和圆心角的关系Ὄ
教学ᬲག：ʹ͘
圆周角的Ѭዝ方ข，用化ॆ
思路ᰎ᝽圆周角和圆心角的关系Ὄ
ʼnj教ߦவर
本ᓬ课˟᜶᧔用ଊቃ式教学ข：ښ教师的թ发ळ࠮下，学生Ѭጸᒭ˟ଊቃὌ
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஝ߦ
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پnj教ߦ᣿ሮ
教学
ဗᓬ
教师活动
学生活动
活动ឭ௚
ѹ
᝺
ৱ
ܒႍ
定
概
ঐ
ݠ图，ᤂ动րښု᫃
Ғѳ̀
一˔圆ڔᤉ行௄̡
᫹߶的࠱᫃
ᝫጷ. ښBག对ု᫃
AC的张
角与ښDག对ု᫃
的张角哪˔ܸ
քὝ
᜶ᆑቃᤈ˔᫈
题，ੈ̓
Џ
౏ᝣគᤈನ的角. ੈ̓
᜶ᆑቃ
的ĨABCnjĨADC与Ғ面ਫ਼学
的圆心角有̤
˦ӝѿὝ
ᤈನ的角ԷϢ圆周角，Ϳ
ᑟི͌
圆心角的定义ፌ圆周角
下˔定义ՙὝ
师生СՏ४出定义：ᮇག
ښ圆上，ː边Ѭѿ与圆ᤇ有Գ
一˔̔
ག，ϸᤈನ的角，ԷϢ
圆周角. 
角的ᮇགښ圆上.ॆ
ጪྲ
ढ़：
①角的ᮇགښ 圆
上Ὑ
Ł角的ː边ᦐ与圆
ᄱ̔
.
ᐏ系学生ਖУᡚ的ᡜု
࠱᫃
活动，ѹ᝺Ц有一
定્੍
性的᫈
题ৱܒ，࠮
К新课，༏发学生的ଊጊ
༏ৱ和求ᅼ൘మὌ
ᤥહ新ைᅼគ的切
Кག，௅复习上ᓬ课的Я
ࠔ，ԡ༏发学生学习新ᅼ
គ的Уᡚ，ҫू
Պᅼគག
˨ᫎ
的ᐏ系Ὄ
ᝨ学生ፌ圆周角下定
义，ଢᰴ学生的ચ៶概઺
ᑟ力Ὄ
活
动
ଊ
ቃ
ଢ
出
࿯
ਇ
ښ Ľ O 中ႇ出圆心角
ĨAOB = 80c. 
（1）ឰͿႇ出AB 对的圆
周角，Ϳᑟႇ出ї˔Ὕ
（2）ᤈ̏
圆周角有̤
˦
С性与ࣀѿքὝឰ与Տͧ̔ื
.
学生动੤ႇ图. 
త开ݽ学生ԻᑟԶ͘
ႇ出一˔圆周角，ͮ
思考˨Ց̵̓͘
发ဘ，
Ի̿
ႇ出௄数˔圆周角. 
࠵ጸ合ͻ࠭
੽С性
与ࣀप. ˀ࠶学生Ի̿
发
ဘ̵̓
的ए数௧ᄱՏ的. ͮ
学生࠻ˀЦܬ࠲ХѬ
ዝ的ਓគ. 
ᝨ学生ᤰ᣿动੤ႇ
图，੽҂ྲ
定弧ਫ਼对的圆
周角，ࣳ
ᤰ᣿฾᧚或උᣗ
对ᄱ关ፇ᝷ᤉ行࿯฾，ፃ
ԋ发ဘ᫈
题的Л᣿ሮ. 
学生ਫ਼ႇ的圆周角͘
有ˀՏ的位置，教师Ի̿
ښိ
级中੽҂Чی的图形
ᤉ行࡙
ᇨ，ࣳ
թ发学生思
考：Պ种位置有͵ˀՏὝ
ݠ͵࠲Хᤉ行ѬዝὝ
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活动ឭ௚
活
动
ଊ
ቃ
ଢ
出
࿯
ਇ
（3）ᤈ̏
圆周角和圆
心角ĨAOB的ܸ
࠵有̤
˦关
系ὝͿ用̤
˦方ข४҂的Ὕ
与Տͧ̔ื
Ὄ
ஈ变ĨAOB的ए数，上
面的ፇ᝷̯ੇ
立ՙὝႇ图ត
តᄺ.
ႀ൥Ϳ ४҂̤̀
˦ ࿯
ਇὝ
教师用ї͵ႇ౜໦ᇨ，
师生发ဘਫ਼४࿯ਇ௧正确的.
用฾᧚或重合的方ข
ᰎ᝽ፇ᝷，ࣳ
ᤉ行̔ื
Ὄ̔ื
ᝧ᝷Ց，学生̽
表ឭ
出本࠵ጸ的࿯ਇ.
学生ႇ图ࣳ
฾᧚Ὄ
࿯ਇ1：圆周角的ए数
等߲̆
ਫ਼对弧上的圆心角
ए数的一ӧὌ
࿯ਇ2：Տ弧ਫ਼对的圆
周角ᄱ等Ὄ
ᤉ一൦࠲᫈
题一ᓊ
化，ଊᝧፇ᝷௧աΚཀྵੇ
立. 
ᤈ᧗४出̀
ː˔࿯ਇ
ॠᰎ᝽，Х中第̄
˔࿯ਇ
࠻ళេ及þ等弧ਫ਼对的圆
周角ÿ，ښՑ面ᰎ᝽࿯ਇ
的௑ϋгᛪЍὌ
用多媒ʹ໦ᇨᣙҰ教
学，Ի̿
ፌ学生̿
更直᜺
的ᝣគὌ
Ѭ
ዝ
ᣁ
化
ᰎ
᝽
࿯
ਇੈ̓
ଢ出的࿯ਇᭊ᜶ፃ
᣿᝽௚੦ᑟੇ
˞定理ὌЏ᝽
௚哪一˔࿯ਇὝ
᜶᝽௚࿯ਇ1，ᭊ᜶对
௄数种ৱц的圆周角ᤉ行Ѭ
ዝ，ݠ͵ѬዝὝ
教师ळ࠮学生᜺ࠣ
Պ圆
周角ᄱ对̆
圆心角౏ឭ位置
有͵ˀՏὌ
（1）    （2）     （3）
哪一种ዝی తࠔ௜᝽
௚Ὕ˞̤
˦Ὕ
ښʼ种位置关系中，ੈ̓
Ի̿
ᤥહፌ出（1）的᝽
௚，Ի̿
࠲Х̵
ৱцᣁ化˞
（1）的ৱцᤉ行᝽௚Ὄ
ݠ͵иࣃᅼ求᝽Ὕ
学生ᝧ᝷Ցᝣ˞࿯ਇ1
௧۳ᆩ，ऄЏ᝽௚࿯ਇ1.
ಪ据圆周角和圆心
的位置关系Ѭʼ种ৱцᝧ
᝷：
（1）圆心OښĨACB
的一边上，ݠ图（1）Ὄ
（2）圆心OښĨ ACB 
的Яᦊ，ݠ图（2）.
（3）圆心OښĨ ACB 
的ܱ
ᦊ，ݠ图（3）.
第一ዝ，ڂ˞有ੈྀ̓
৙的等ᒉʼ角形，̿
及
ʼ角形的ܱ
角Ὄ
学生࠽ត回ን：
ࣃᅼ：ݠ图，ĨC௧
ABਫ਼对的圆周角，ĨAOB
௧ABਫ਼对的圆心角Ὄ
求᝽：ĨC = 1
2ĨAOB.
᝽௚圆周角和圆心角
的关系ᤈ一定理对学生౏
ឭ௧有一定ᬲए的Ὄ
教师࠲᫈
题ટᝍ，一
൦一൦ງК，ळ࠮学生理
ᝍї˔᫈
题˨ᫎ
的ᐏ系，ࣳ
ᤉ行ឭ理᝽௚Ὄ
ᤈ一᫽඀Ӵ用௑ᫎ
ᣗ
长，᜶ፌ学生႑有ᡜܵ
的
௑ᫎ
和ቇᫎ
，ᝨ̵̓
ᤉ行
思考Ὄ
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活动ឭ௚
Ѭ
ዝ
ᣁ
化
ᰎ
᝽
࿯
ਇ
ѸѸੈ̓
ᤥહᤈ一ዝ౏
᝽௚的Ԕڂ௧ᤈ一ዝత˞ྲ
൴Ὄ图中有ੈྀ̓
৙的等ᒉ
ʼ角形，ᤇᑟ੽҂ʼ角形的ܱ
角， ݠ͵Ѿ用ᤈːགᤉ行
᝽௚Ὕ
Х̵
ː种ݠ͵ᣁ化˞第
一种，̰
ᏫѾ用等ᒉʼ角形
的ܱ
角ᝍх᫈
题Ὕ与Տͧ̔ื
，ࣳ
思考：
图（2 ）中෥有ʼ 角
形，ऄݠ͵ѹथʼ角形Ὕ
ѹथ的ᄬಖ௧̤
˦Ὕ
与第一种ৱц࠭
求一
ᒱ，力图用Տನ的方ข౏ᝍ
хὌ
᝽௚第̄
ዝ：
第ʼ种ৱц的᝽௚ᄱ对
ᣗᬲ，教师թ发学生࠲Хᣁ
化˞第一种ৱц，ཀྵՑѾ用
等ᒉʼ角形的ܱ
角౏ᤉ行᝽
௚Ὄ
ᝧ᝷Ց学生̽
表回ን：
᝽௚：
ıĨAOB௧ǁAOC的ܱ
角，
İĨAOB = ĨA+ ĨC. 
ԡıOA = OC，
İĨA = ĨC.
İĨAOB = 2ĨC.
ԁĨC = 1
2ĨAOB.
学生࿘立ᆑቃᣗᬲ੽
҂᝽௚的᤭径，教师ᴂҵ
学生̔ื
ᝧ᝷，ᝣᄾ᜺ࠣ
第一ዝ图形，੽出ː˔图
形˨ᫎ
的ᐏ系Ὄ
᝽௚： ͻ直径CDὌ
ıOA = OC，
İĨA = ĨACD.
ԡıĨAOD = ĨA+ 
ĨACD，
İĨACD = 1
2ĨAOD.
Տ理：
ĨBCD = 1
2ĨBOD.
İĨACD + ĨBCD = 
1
2ĨAOD+ 1
2ĨBOD.
ԁĨACB = 1
2ĨAOB.े
ᝍх一˔᫈
题有ڈ
ᬲ௑，ੈ̓
Ի̿
ᯫЏ考ᘽ
Хྲ
൴ৱ形，ཀྵՑг᝺ข
ᝍх一ᓊ᫈
题Ὄᤈ௧ᝍх᫈
题௑࣢用的ኖ႕Ὄ
ᤈ种࠲一ᓊᣁ૱˞ྲ
൴的思ਇ௧数学᧗的化ॆ
思ਇ，̭
Ց的学习中࣢͘
用҂Ὄ
 
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Ѭ
ዝ
ᣁ
化
ᰎ
᝽
࿯
ਇ
᝽௚第ʼዝ：
ႀ൥ੈ̓
Ѭʼ种ৱц᝽
௚̀
࿯ਇ 1，࠲߲
ͻ˞圆周
角和圆心角关系的定理，˷
ԷϢ圆周角定理：
圆周角的ए数等߲̆
ਫ਼
对弧上的圆心角ए数的一ӧ.
ႀ上ᤘፇ᝷Ի̿ॢ
ᒭཀྵ
ڡᰎ᝽࿯ਇ 2：Տ弧ਫ਼对的
圆周角ᄱ等Ὄ
ݠ౧࠲࿯ਇ 2 中的þՏ
弧ÿ૱ੇ
þ等弧ÿ，ፇ᝷ݠ
͵քὝ
ፇ᝷˷௧ੇ
立的Ὄ߲
ͻ
˞圆周角定理的一˔଎᝷：
Տ弧或等弧ਫ਼对的圆周
角ᄱ等Ὄ
ښ ࠱᫃
຤੆中，ेု
րښ B，D，E ܫ࠱᫃
௑，
ਫ਼形ੇ
的ʼ˔张角ĨABC，
ĨADC，ĨAEC 的ܸ
࠵有̤
˦关系Ὕ
Ϳᑟ用圆周角定理ԝᝍ
х߲
ՙὝ
᝽௚：ͻ直径 CDὌ
ıOA = OC，
İĨA = ĨACDὌ
ԡıĨAOD = ĨA+ 
ĨACD，
İĨACD = 1
2ĨAODὌ
Տ理：
ĨBCD =1
2ĨBODὌ
İĨACD - ĨBCD 
= 1
2ĨAOD - 1
2ĨBOD
= 1
2（ĨAOD - ĨBOD）.
ԁĨACB = 1
2ĨAOBὌ
ळ࠮学生᜺ࠣု᫃
Ғ的
ĨABC，ĨADC 和ĨAEC ௧
Տ弧ਫ਼对的圆周角，ಪ据圆
周角定理，߲̓
ᦐ等̆
圆心
角的一ӧ，ਫ਼̿
ᤈї˔圆周
角ᄱ等Ὄ
߹ੇ
对˨ҒϢ出的
ː˔࿯ਇ的᝽௚，ࣳ
࠲
࿯ਇ 2 ᤉ一൦߹ؓ
. ښ൥
᣿ሮ中ू
化学生对ᅼគ
的理ᝍ，ΨΎХᒭ˟थ
౞圆周角nj圆心角nj弧
的ᅼគᎪፏ. 
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活动ឭ௚
ጷ
习
1. ݠ图，ښĽO中，
ĨBOC = 50c，求ĨBAC
的ए数Ὄ
2 . ݠ图，哪˔ 角与
ĨBACᄱ等ὝͿᤇᑟ੽҂
哪̏
ᄱ等的角Ὕ
第 1 题考ಊ学生对ਫ਼
学ᅼគ的理ᝍ. 第 2 题௧
对଎᝷的ऄ用. 教师ᤰ᣿
ጷ习，及௑发ဘ᫈
题，ក
价教学஍౧Ὄ
࠵
ፇ
1. 本ᓬ课学习̀
哪̏
ᅼគὝ
2. 本ᓬ课学习̀
哪̏
思ਇ方ขὝ
3. ᤈ̏
数学思ਇʹဘ
ښ̤
˦ڡ方Ὕ
4. ̿
Ғ的学习中有෥
有Ύ用᣿ዝͫ
的思ਇ方ข
քὝ
学生঴ፇ：
ᝣគ圆周角Ὑښ ᤂ动
变化中੽҂ˀՏዝی的圆周
角Ὑଊጊ圆周角的性᠏
.
学生঴ፇ：
Ѭዝ思ਇnjᣁ化思ਇnj
ዝඋ思ਇὌ
ፌ圆周角下定义௑用҂̀
ዝඋ思ਇὙ᝽௚௑用҂̀
Ѭዝ和ᣁ化的思ਇὌ
学生ˡΓ：
1. ዝඋ思ਇ.
᝽௚ᄱͫ
的Ѽ 定定理
௑ዝඋЛ 等Ѽ 定定理的思
路Ὑ学习一元一次ˀ等式的
性᠏
௑ዝඋ一元一次方ሮ的
性᠏
.
ᤰ᣿࠵ፇࣟ
Ұ学生೛
理本ᓬ课ਫ਼学的ᅼគ，थ
立ᒭࣂ的ᅼគʹ系Ὄᝨ学
生ˡΓឭ௚ਫ਼学数学思ਇ
方ข，Ի̿
ܙᤉ̵̓
对方
ข的理ᝍ，ʹ͘
新ைᅼគ
的ᐏ系，̿
更ᰴ的视角ᝣ
គ数学Ὄ
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活动ឭ௚
教师对学生ˡΓ́̿
ᤝ᫈
，࠭
求学生对ਫ਼ˡΓߕ与
数学思ਇ˨ᫎ
的ງКᝣគ. 
对ᦊѬˀ合ᤠ
的Γߕ˷ҫ̿
Ѭౢ
Ὄ
2. Ѭዝ思ਇ.
ག和圆的位置关系
ᭊ᜶Ѭዝᝧ᝷Ὑːʼ角形
ᄱͫ
，对ऄགᭊ᜶Ѭዝᝧ
᝷Ὑ等ᒉʼ角形的᫈
题ᭊ
᜶Ѭ˞ᩩ
角等ᒉʼ角形和
᧽角等ᒉʼ角形౏ᝧ᝷Ὄ
3Ὄᣁ化思ਇ.
四边形Я 角和Ի̿
ᣁ化˞ʼ角形Я角和ԝᆑ
ቃὙᰴ次方ሮԻ̿
ᣁ化˞
Ͱ次方ሮ౏ᝍὌ
ͻ
ˊ
۳本题：习题 5.5
ଢӤ题：ݠ图，OA，
OB，OC ᦐ௧ĽO的ӧ径，
ĨAOB = 2 ĨBOCὌ
求᝽：ĨACB = 2ĨBAC.
˞࠴重学生˔ʹࣀ
प，ࡊԻᑟڡᝨ学生˟动
参与，ΎˀՏ的学生ᖍ४
ˀՏሮए的发࡙
，ښͻˊ
中࣋
置̀
Ѭࡏጷ习Ὄ
౜
书
圆周角和圆心角的关系
定义：ᮇགښ圆上，˅ː边ᦐ和圆ᄱ̔
的
角Է圆周角Ὄ
᝽௚᣿ሮ
࿯ਇ 1：圆周角的ए数等߲̆
ਫ਼对弧上的
圆心角ए数的一ӧὌ
࿯ਇ 2：Տ弧或等弧ਫ਼对的圆周角ᄱ等Ὄ̋
njವΓកౢ
1. ښ教学中ݠ͵Ύ学生有஍ڡᮗৢ
数学思ਇὌ
ښ中学数学教学中ຖᤩ数学思ਇ的ॹ᜶性和重᜶性ொࣃੇ
˞̀
Сគ，߲
௧۲Щѹ新̡
੦njଢᰴ学生数学ጉЩ的关᪄ὌѬዝ思ਇ௧ಪ据数学对៶的本᠏࡛
性的С性或ࣀप，࠲数
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ஔ学用书
学对៶Ѭ˞ˀՏዝѿ的思ਇ方ขὌѬዝ的۳ᆩ௧ᝣគ数学对៶的Яښ᜻॥Ὄ化ॆ
௧ᣁ化njॆ
ፇ的ਓ思Ὄښ数学ᆑቃ中̡̓ં
ॠᝍх的᫈
题ᣁ化˞ࣃᝍх的᫈
题ὌѬዝ和化ॆ
௧数学
中重᜶的思ਇ方ขὌ࣢࣢有̡
थᝬ开᝺þ数学思ਇ方ขÿᤈನ一᫃
课，ͮੈ̓
ਇ一ਇ，
þ数学思ਇÿ҂अऄݠ͵教૿
Ὕతݞ的方ข্্
௧ښࣱ
௑的数学ᅼគ学习᣿ሮ中ຖᤩ数学
思ਇ，þ๧ྭ
ጺ௄ܦÿڡΎ学生ᤪ൦ᮗৢ
数学思ਇ方ขὌ
ǒ圆周角和圆心角的关系Ǔᤈᓬ课ᘔեᅌ˘ࠝ
的数学思ਇ，௧᭤࣢Чی的教学题ె
. ݠ
͵有஍ڡᝨ学生ᮗৢ
数学思ਇ௧ᭊ᜶思考的Ὄښᤈ۶课中，教师ᝨ学生参与ࣳ
߹ЛઆК҂
ଊጊ᣿ሮ中，ᤈӡѬ有Ұ̵̆̓
对数学思ਇ的ᮗৢ
. 本ᓬ课的教学重ག᭤࣢௚确，ࡃ௧ᝨ学
生ፃԋ᜺ࠣ
nj୲ͻnj࿯ਇnj᝽௚的一系ѵଊጊ活动Ὄᤈ௧一次þϢ数学ÿ的఻͘
，̰
ଢ出
࿯ਇ҂ᰎ᝽࿯ਇ的Л᣿ሮ中，教师ᦐݽጼ࠲ଊጊ发ဘ的ቇᫎ
႑ፌ学生Ὄਫ਼᝺计的᫈
题ႀู
Кງ，॰ऀ
ຒᤉ，学习͊
务̰
௜҂ᬲ，્੍
性ښᤪ൦ଢᰴ，ᤈ௧一种᭤࣢ᑟܵ
༏发学习У
ᡚ的᝺计Ὄੈ̓
Ի̿
ᄺ҂，动੤୲ͻnj࠵ጸ活动njᝧ᝷与ᇌୣ
ᦐᑟܵ
确δ学生ᣗᰴ的参与
ሮएὌ
ᅼគ的发生᣿ሮ˷௧数学思ਇ的发生᣿ሮ，ݠ形ੇ
概ঐnj଎࠮ፇ᝷njᤂ用方ขnj发
ဘ᫈
题njଊጊ思路njଫᇨ᜻॥等，ᦐᘔᘩᅌՔ学生ຖᤩ数学思ਇ方ข，ᝫጷ思፥的ౝݞ
఻͘
Ὄ
ᤈᓬ课中，概ঐ形ੇ
的᣿ሮᘔեᅌዝඋ的思ਇ，教师࠲圆周角与ࣃፃ学᣿的圆心角Ϣ
ዝඋ，ᴂҵ学生ᒭࣂፌ出新ᅼ的定义，Ψᤉ̀
学生ચ៶概઺ᑟ力的发࡙
Ὄ
ଢ出࿯ਇ˨Ց，教师ˀॹ᣿ொ下ፇ᝷ὌΓݠښ࿯ਇ2中，学生४出的࿯ਇ௧þՏ弧ਫ਼
对的圆周角ᄱ等ÿ，与圆周角定理的଎᝷௧有ࣀѿ的，ͮ
ᤈ正ݠࠄڡԦ௢̀
定理的形ੇ
᣿
ሮ，ښ发ဘ࿯ਇ的௑ϋ঴͘
有Պ种᥌໤或ˀᡜ，ښ᝽௚࿯ਇ的᣿ሮ中͘
ᤰ᣿᜺ࠣ
njඋᣗnjॆ
ጪ有஍ڡहᛪᤈ̏
ˀᡜὌЏ࿯Ց᝽的教学᝺计，有஍ڡ༏发学生的积ౝ性，רᡑ̵̓
ښ
课۶上˟动ଊጊ的学习ਓគὌ
ښ᝽௚࿯ਇ的᣿ሮ中，教师᧔用࠵ጸᝧ᝷的形式ᝨ学生ଢ出ᒭࣂ的ਇขὌᤈ˔定理的
᝽௚௧有ᬲए的，第̄
ዝ图形和第ʼዝ图形学生ॢ
ᬲ࿘立߹ੇ
，࠵ጸᝧ᝷ᑟܵࣟ
Ұ̵̓
ᝍ
х᫈
题，Տ௑ˀᑟও视教师的ૉ࠮ͻ用Ὄ教师᝺计̀
ї˔᫈
题ͻ˞࠵ጸᝧ᝷的ळ࠮，ᤈ种
৙心ळ࠮ᑟܵ
确δ学生的参与ए，ଢᰴ合ͻ߹ੇ͊
务的Իᑟ性Ὄ
ښᅼគଊጊ᣿ሮ中ຖᤩ数学思ਇ௧ᤈᓬ课的˟ʹ，Տ௑，ښ࠵ፇ᣿ሮ中ԡᤉ一൦߷ଆ̀
回顾ࣃ学ᅼគ的ဗᓬ，ᤈ对学生数学思ਇ的ଢӤ有௭ᗃͻ用Ὄᤈᓬ课ਫ਼ᤂ用҂的数学思
ਇ˟᜶有ዝඋnjѬዝnj化ॆ
等，Պ种数学思ਇښ学习᣿ሮ的ˀՏ᫽඀有多种ʹဘ，教师有
ਓڡᝨ学生ښ࠵ፇ௑回顾̿
Ғ的学习，੽҂数学思ਇ的Цʹʹဘ，Ի̿ࣟ
Ұ学生̰
ഷՔnj
ጫՔː˔方面ட理数学思ਇ方ขʹ系Ὄ学生的回顾与ˡΓ͘
᭤࣢˘ࠝ
，有̏
˷͘
Ϡሏ˟
题，ͮ
教师ᦐऄ́̿
ᐰ定，和学生一ᡑᝣគХ数学价ϙ，ᤪ൦ଢང概઺数学思ਇ的ऄ用Ὄे
ཀྵ，数学思ਇᤇᭊ᜶ښ数学学习中ˀல发࡙
ງ化，߲
ߛښ̆
ᝍх数学᫈
题的᣿
ሮ中，̿
ଊጊ—ऄ用—Ԧ思的വ式Ύ学生ᮗ͘
数学思ਇ，ᤪ൦形ੇ
ᒭᝀᤂ用数学思ਇ
的ਓគὌ
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九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
2. ښ教学中ݠ͵有஍࠵ፇὌ
ᤈᓬ课的Գ一˔̝
གࡃ௧උᣗ࿘ྲ
的࠵ፇဗᓬὌੈ̓
ᅼ᥋，࠵ፇ与Ԧ思ԋ౏௧教学中
ˀԻ或Ꭵ的ဗᓬ，Ԧ思Ի̿
ΨᤉፃᰎӤ华，ͮੈ̓
࣢᜹的࠵ፇࠔ௜ื̆
形式，学生҂̀
࠵
ፇဗᓬࣃፃЦܬ̀࠭
੽þንವ关᪄ឈÿ的ᑟ力，̩̩
回ን出ᤈᓬ课的概ঐnj定理等Րឈ，
Ԃࣳ
ళງК思考，ࣳ
ళᒭᝀᤂ用，更េˀ上ᝣគ上有ᄾ正的ଢӤὌ
ښ۲Щ正确的数学学科᜺ঐ的᣿ሮ中，ᝣគᅼគ的Яښnjܱ
ښᐏ系௧ӡѬ重᜶的Ὄ
教学中᜶重视ഷՔ和ጫՔᐏ系，Γݠ思考数与形的ፇ合nj思考Ѧ数对̽
数ї͵ᅼគ的ͻ用
等，ˀலଫᇨ数学的多ನ性和统一性Ὄښᤈ۶课᧗，教师ࡃ௧̿
数学方ข˞线ጊ，ᴂҵ学
生੽҂ᅼគᫎ
的ᐏ系，ښຖᤩ新᜺གnj新方ข的Տ௑，ԡᤂ用新᜺ག回顾复习ைᅼគ，઩
ࠕ̀
学生的思፥ᮗ۫
，ቊ௭̀
ଫᇨ数学的Яښᐏ系的ᒰ关重᜶的ͻ用Ὄ本ᓬ课ਫ਼᧔用的方
式ᑟܵូ
动学生的积ౝ性，ΎХઆК҂思考中，࠲ᒭࣂ的理ᝍጪК҂᫈
题中，थ立۳̆
ᒭ
ࣂ理ᝍ的ᅼគʹ系Ὄᤈನ的࠵ፇ的ஆ஍௭ᗃ，Ύ४ᤈ一教学ဗᓬˀื̆
形式，௧᭤࣢Իԩ
的ҩขὌ
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ኄОቦ
ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
ʷnjǒಖюǓ᜶ර
1. ̀
ᝍѾ用数据Ի̿
ᤉ行统计଎ல，发࡙
数据Ѭౢ
᜺ঐ，ਖԪᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག. 
2. ᑟᤰ᣿ѵ表njႇ树状图等方ขѵ出እӭᬤ఻̃
件ਫ਼有Իᑟ的ፇ౧，̿
及ૉ定̃
件发
生的ਫ਼有Իᑟ的ፇ౧，̀
ᝍ̃
件的概率. 
3. ᅼ᥋ᤰ᣿ܸ
᧚的重复តᰎ，Ի̿
用频率౏估计概率. ̄
nj教ߦ目ಖ
1. ፃԋតᰎnjஆ集与统计តᰎ数据njѬౢ
តᰎፇ౧等活动᣿ሮ，ᤉ一൦发࡙
数据Ѭౢ
᜺ঐ，ʹ͘
概率与统计的关系. 
2. ᤰ᣿តᰎᤉ一൦ਖԪᬤ఻̃
件发生的频率的ሷ定性，ਖԪᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག，理ᝍᬤ
఻̃
件发生的频率与概率的关系，ҫງ对概率ਓ义的理ᝍ. 
3. ᑟᤂ用ѵ表和ႇ树状图等方ข计算一̏
እӭ̃
件发生的概率Ὑᑟ用តᰎ频率估计一̏
ᣗ复ా
ᬤ఻̃
件发生的概率. 
4. ᑟᤂ用概率ᝍх一̏
እӭࠄᬅ᫈
题，ᤉ一൦发࡙
ऄ用ਓគ. 
5. ښ活动᣿ሮ中积ግ活动ፃᰎ，ʹᰎ与̵̡
合ͻ̔ื
的ਓ义和ͻ用. 
ʼnj᝺ᝠন᡹
ښᒭཀྵႍ
和̡
ዝ社͘
中，确定性ဘ៶ӡѬ有限，ˀ确定性ဘ៶（˷称˞ᬤ఻ဘ៶）Ԃ
௧ܸ
᧚ߛښ的，Ꮻ概率正௧对ᬤ఻ဘ៶的数学ଡᤘ，߲
ᑟࣟ
Ұ̡̓
更ݞڡં
ଧ఻͘
和理ᝍ
᮳ᬗ，ࣳࣟ
Ұ̡̓
ͻ出合理的хኖ. 
学生ᤰ᣿ʹ年级下册þ概率初൦ÿ一ቦ的学习，ࣃፃᝣគ҂ဘࠄ生活中ߛښᅌܸ
᧚的
ᬤ఻̃
件，ࣳ
ᆑቃ̀
一̏
እӭ的ᬤ఻̃
件发生的概率，对一̏
ဘ៶ͻ出̀
合理的ᝍ᧖，对
一̏
຤੆活动的公ࣱ
性ͻ出̀
ᒭࣂ的កѼ. ͮ
学生对ᬤ఻̃
件及Х发生的概率的ᝣគ௧一˔
ᣗ长的ᝣᅼ᣿ሮ，学生对概率的理ᝍ˷有ॹ᜶ᬤᅌХ数学活动ፃᰎ的ܙҫᏫˀலງК. Γ
ݠ，学生ႀ̆
Ԫ̿
ड़学习ፃᰎ的ॖ
־，ឨᝣ˞Ի̿
对ਫ਼有̃
件发生的概率ᤉ行理᝷计算，̰
Ꮻ४҂概率的ድ确ϙ. ͮ̃
ࠄ上，ࣳ
᭤ਫ਼有̃
件发生的概率ᦐᑟ理᝷ڡ计算出ድ确ϙ，概
率的计算有理᝷计算和តᰎ估算ː种方式. ಪ据ᖍ४概率的方式，ੈ̓
᥅҂的概率᫈
题ܸ
ᒱ
有ʼዝ：第一ዝ᫈
题，߲
෥有理᝷概率，Զᑟᤰ᣿多次តᰎ，用频率౏估计߲
Ὑ第̄
ዝ᫈
题，߲
有理᝷概率，ͮ
理᝷概率的计算ॢ
ڈᬲ，ᤈ௑˷Ի̿
ᤰ᣿多次តᰎ，用频率౏估计߲
Ὑ第ʼዝ᫈
题，߲
௧እӭ的ԱЧ概ی，有理᝷概率，˅理᝷概率的计算ᣗእӭ，ੈ̓
ࡃ
Ի̿
ᤰ᣿计算४҂߲
的概率. 
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
对̆
第ʼዝ᫈
题，Х复ా
ሮएԡ有ਫ਼ˀՏ. Γݠ，（1）ᬤਓଗ一౦کӉ的ᰥߕ，ଗ४
的ག数˞ 1 的概率Ὑ（2）ᬤਓଗ一౦کӉ的ᰥߕ，ଗ४的ག数௧݉
数的概率Ὑ（3）ᬤਓ
ଗː౦کӉ的ᰥߕ，ଗ४的ག数和˞ 7 的概率Ὑ……学生ᤰ᣿ʹ年级下册的学习，ࣃፃଂ
ଧ̀
ዝͫ̆
（1）（2）的᫈
题的ᝍх方ข，Ꮻ对̆
ዝͫ̆
（3）的᫈
题，学生࠻ళଌᝏ. ˞
൥，本ቦ第一ᓬᤰ᣿学生؞᫕˭᜹的຤੆活动，ᝨ学生ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集តᰎ数据nj
Ѭౢ
តᰎፇ౧等活动᣿ሮ，ཀྵՑ̮
ፁ计算ᤈዝ̃
件发生的概率的ː种方ข——ႇ树状图和
ѵ表ข. 
对̆
上ᤘ第一ዝ᫈
题，教科书ښʹ年级下册ࣃ有ਫ਼๘及（ݠଗ图᧬តᰎ），߲
ˀ௧义
务教育᫽඀概率学习的重ག. 对̆
上ᤘ第̄
ዝ᫈
题，本ቦ第ʼᓬᤥહ与学生ெ࣢生活ࠛ
切ᄱ
关的生ெ᫈
题˞۳本ጉె
，Ѿ用តᰎ频率౏估计̃
件发生的概率，ᝨ学生ᤉ一൦ਖԪ҂频
率的ሷ定性，ҫງ对概率ਓ义的理ᝍ. 
ښ教学ৱܒ的ᤥહ上，教科书ฌਓ҂ᤌ፞
性njဘࠄ性njᡚ֊性和Ի୲ͻ性，̿
༏发学
生的学习Уᡚ. ᯫЏ̿
๘及ː൦តᰎ的຤੆公ࣱ
性᫈
题˞切Кག，੾ҒթՑ，一方面ҫू
与
Ғ面ਫ਼学Яࠔ的ᐏ系，Գ一方面४出ː൦តᰎ的概率计算的ː种方ข——ႇ树状图和ѵ表
ขὙཀྵՑ̿
生ெ᫈
题˞۳本ጉె
，Ѿ用តᰎ频率౏估计̃
件发生的概率，ᤉ一൦ҫງ对概
率ਓ义的理ᝍ，ʹ͘
概率与统计的关系，ࣳ
ښ൥᣿ሮ中ଢᰴ学生发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题njѬౢ᫈
题njᝍх᫈
题的ᑟ力. 
پnjិ
௑߷ଆथᝬ
  1 用树状图或表格求概率 
 
 
 
 
 
    3 课௑
  2 生活中的概率  
 
 
 
 
 
 
    1 课௑
*3 用频率估计概率 
 
 
 
 
 
 
    3 课௑
回顾与思考 
 
 
 
 
 
 
 
    1 课௑̋
nj教ߦथᝬ
1. ฌ重发࡙
学生的数据Ѭౢ
᜺ঐ，ᝨ学生ਖԪᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག. 
۲Щ与发࡙
学生的数据Ѭౢ
᜺ঐ௧义务教育᫽඀统计与概率教学的త重᜶ᄬ的. ࡃ本ቦ
ЯࠔᏫᝓ
，教学᣿ሮ中᜶ᝨ学生̞
ᒭፃԋ对ᬤ఻ဘ៶的ଊጊ᣿ሮ，̞
ᒭፃԋ࿯฾njតᰎnj
ஆ集តᰎ数据njѬౢ
តᰎፇ౧等活动᣿ሮ，̰
中Ύ学生ʹᰎ数据的ᬤ఻性：一方面，对̆
重复的តᰎ，ඈ次តᰎ的ፇ౧ԻᑟˀՏὙԳ一方面，Զ᜶តᰎ次数ᡜܵ
多，ࡃԻ̰̿
中发
ဘ᜻॥. 
频率与概率௅有ࠛ
切的ᐏ系，ԡ有本᠏
的ࣀѿ. 概率௧ᬤ఻̃
件的本᠏࡛
性，Ꮻ频率௧
ᬤ఻̃
件ښតᰎ中的统计ፇ౧，ᙊཀྵܸ
᧚重复តᰎ的频率ຒᡖሷ定̆
Х概率，ͮ
˷ˀଆᬔ
௄᝷Ϣ多࠶次តᰎ，តᰎ频率̯
ཀྵ௧概率的一˔ᤃͫ
ϙ，Ꮻˀᑟ等Տ̆
概率，ːᏨߛښᅌ
一定的Ϡࣀ，Ꮻ˅Ϡࣀ的ߛښ௧正࣢的njፃ࣢的. ᤈ正௧ᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག. 
ਖԪ数据的ᬤ఻性，̀
ᝍᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག，理ᝍ概率的ਓ义，ᤈ௧本ቦ教学的重ག和
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᬲག. 
2. ฌ重发࡙
学生合ͻ̔ื
的ਓគ与ᑟ力. 
ښ教学中，ฌ重ळ࠮学生积ౝ参与តᰎ᣿ሮ，ᝨ学生̞
ᒭ动੤ᤉ行តᰎ，ፃԋ࿯
฾njតᰎnjஆ集តᰎ数据njѬౢ
តᰎፇ౧等活动᣿ሮ，ࣳ
ښ活动᣿ሮ中ʹᰎݠ͵与̵̡
合ͻ̔ื
. 
ښဘ̽
社͘
中，ӭ˔˔ʹښ社͘
中的ͻ用ᡕ౏ᡕ࠵，ܸ
ᦊѬ的̃
务᜶求̡̓
ᤉ行合ͻ
与̔ื
，ڂ൥，۲Щ学生合ͻ̔ื
的ਓគ与ᑟ力ࣃፃੇ
˞ဘ̽
教学活动的重᜶ᄬಖ˨一. 本
ᦊѬЯࠔ的学习˞൥ଢῚ
一˔ᣗݞ的఻͘
. តᰎ的频率ሷ定̆
概率，ॹᮌώҰܸ
᧚的重复
តᰎ，ښ有限的课۶教学௑ᫎ
Я，一˔学生߹ੇ
的តᰎ次数ˀܺ͘
多，ᬲ̿
४出频率的ሷ
定性的ፇ᝷，˷ᬲ̿
用តᰎ频率౏估计Х概率. ڂ൥，ښ教学中，ॹᮌฌ重学生的̔ื
与合
ͻ，ᝨ学生ʹ͘
҂与̵̡
合ͻ̔ื
的重᜶性，发࡙
学生合ͻ̔ื
的ਓគ与ᑟ力. 
3. ښ用តᰎ的方ข估计一̏̃
件发生的概率௑，ऄ˟᜶关ฌ学生តᰎ的᣿ሮ，Ꮻˀॹ
对概率估计ϙ的ድ确एଢ出᣿ᰴ᜶求. 
ᤈ一方面௧ڂ˞᜶᣺҂一定的ድ确ए，ᭊ᜶ᣗܸ
的តᰎ次数，有௑ښ有限的课۶௑ᫎ
Я௄ข߹ੇ
ὙԳ一方面௧ڂ˞对ੈ̓
౏ឭ，一˔估计ϙԶ᜶þܵ
用ÿԁԻ. Γݠ，þ௚ܹ
下
ᭁ的概率௧35%
ÿþ௚ܹ
下ᭁ的概率௧36%
ÿ，ၵᒰþ௚ܹ
下ᭁ的概率௧30%
ÿ，ᤈ̏
对ੈ̓
的ெ࣢хኖӝѿࣳ
ˀܸ
. 
4. ฌਓଫᇨ概率与统计˨ᫎ
的关系. ̰
数学的角ए౏ឭ，概率与统计௧ࠛ
切ᄱ关的ː᫃
学科，概率的概ঐࡃ௧थ立ښ频
率的ሷ定性ᤈ一统计᜻॥性的۳ᆩ上的，Ꮻ统计ԡሏˀ开概率的理᝷ஃ୞，统计଎லnj估
计njϜ᝺ೝᰎnj方ࣀѬౢ
等统计方ข的合理性和科学性ᦐ有ᠻ̆
概率理᝷. ښ本ቦ中，频率
的ሷ定性nj用តᰎ的频率估计̃
件发生的概率等活动，本ᢶࡃ௧一˔统计活动. ڂ൥，ښ教
学中᜶ฌਓଫᇨ概率与统计˨ᫎ
的关系. 
5. ᴂҵ学生用ဘ̽
ηৌ੿ష੤඀ᤉ行概率学习. 
ښ理ᝍតᰎ频率的ሷ定性和用តᰎ频率౏估计概率的᣿ሮ中，ऄសᯫЏᝨ学生ᤰ᣿Ц
ʹ的୲ͻ，ᖍ४一定的活动ፃᰎ，Ψᤉᅼគ的थ౞. ښ൥۳ᆩ上，ݠ౧条件Њ᝵，˷Ի̿
ᴂ
ҵ学生用ဘ̽
ηৌ੿ష੤඀（ݠ计算٨nj计算఻等）ᤉ行വલតᰎ，ᤰ᣿更ܸ
᧚nj更ፃ济
的വલតᰎ，ᤉ一൦ҫງ学生对概率ਓ义的理ᝍ，ᖍ४更ݞ的តᰎፇ౧. 
6. ळ࠮学生̰
ᢶ边的གགໟໟԝ᜺ࠣ
和ʹ͘
ᬤ఻ဘ៶及Х᜻॥性. 
ښ教学௑，ऄសЍѬ૎ଈ与学生生活ࠛ
切ᄱ关Ꮻԡ生动有ᡚ的教学ጉె
，̿
༏发学生
的学习Уᡚ，ᝨ学生ښྀ
৙的᫈
题ৱܒ中积ౝڡ学习. ᜶ฌ重ᝨ学生̀
ᝍ概率ښெ࣢生活和
生̗
ࠄ᡻中的ऄ用，ᤉ一൦ʹ͘
þ数学ࡃښੈ̓
ᢶ边ÿ，发࡙
þ用数学ÿ的ਓគ与ᑟ力. 
Оnjក͉
थᝬ
1. ฌ重ក价学生ᑟա积ౝڡ参与តᰎ活动. 
与˨Ғ的概率Яࠔ学习一ನ，តᰎ̯
ཀྵ௧本ቦ学习的۳ᆩ. ௄᝷௧ਖԪ频率的ሷ定
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
性，ᤇ௧用频率估计概率，ᦐᭊ᜶学生ᤰ᣿តᰎ౏ʹ͘
，ڂ൥᜶关ฌ学生参与តᰎ等活动
的积ౝ性，ښតᰎ中௧ա有科学的গए，ᑟա积ౝڡ思考，ᑟա与̵̡
ᓢݞڡ合ͻ̔ื
，
ᑟա̰
តᰎ数据中ᖍ४᜻॥……ᤈ̏
对̆
学生ᄾ正理ᝍ有关Яࠔ௧ӡѬ重᜶的，Տ௑˷௧
学生积ግ活动ፃᰎ的ॹፃ᤭径. 
2. ฌ重ក价学生对概率ਓ义的理ᝍ和ऄ用. 
ᤰ᣿本ቦ的学习，᜶求学生ښࣃ有的ᅼគ۳ᆩ上ᤉ一൦理ᝍ概率的ਓ义. þᤌ፞
ଗː౦
کӉ的ᆶࣉÿ和þᆃ݀
njҝѨnj࣋
ÿ等Яࠔ˞学生ງК理ᝍ概率的ਓ义ଢῚ
更˘ࠝ
的ጉె
. 一方面，࣏
మ学生ᑟܵ
ଂଧ求๘及ː൦តᰎ的̃
件的概率ὙԳ一方面，࣏
మ学生ښតᰎ
的᣿ሮ中ງК理ᝍ概率的ե义，ʹ͘
概率的ࠄ᠏
. 
ښ൥۳ᆩ上，᜶求学生ᤂ用概率ᝍх一̏
እӭ的᫈
题，更ݞڡ࠲ਫ਼学ᅼគऄ用҂ࠄᬅ
中ԝ. ਫ਼̿
，ក价௑ᤇऄស关ฌ学生ᤂ用有关概率ᝍхࠄᬅ᫈
题的ᑟ力. 
3. ্े
ក价学生对ᅼគ੿ᑟ的理ᝍ与ऄ用. 
˟᜶ӊ઺：ᑟա用តᰎ的方ข估计一̏
ᣗ复ా̃
件发生的概率，ᑟաώҰႇ树状图和
ѵ表的方ข计算一̏
እӭ̃
件的概率等. 
4. ฌਓក价方式的多ನ性. 
ᬔ̀
传统的ក价方式ܱ
，ಪ据本ቦ的Цʹ学习Яࠔ，˷Ի̿
᜶求学生୩иតᰎઑշ或
࠵᝷஡，̿
൥考ಊ学生对ᄱ关学习Яࠔ的ଂଧৱц. 
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஝ߦ
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ஔ࣎
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ቦҒ图ӊե有学生ྀ
৙的
ଗᆶࣉ和᣿生ெ的ڤఀ
，ࠔ௜
༏发学生的学习Уᡚ，˷ᮕᇨ
本ቦ的˟᜶学习Яࠔ：ᤉ一൦
ᝣគ概率，计算ː൦តᰎ的概
率，Ѿ用តᰎ频率估计一̏
复ా
ᬤ఻̃
件的概率. 
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ஔ࣎
ஔ学用书
教ߦ目ಖ
1. ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集
តᰎ数据njѬౢ
តᰎፇ౧等活
动᣿ሮ，ᤉ一൦ʹᰎ数据的ᬤ
఻性，积ግ数学活动ፃᰎ. 
2. ᤰ᣿តᰎᤉ一൦ਖԪᬤ
఻̃
件发生的频率的ሷ定性，
理ᝍ̃
件发生的频率与概率的
关系，ࣳ
ᑟ用តᰎ频率估计̃
件发生的概率，ҫງ对概率ਓ
义的理ᝍ. 
3. ᑟᤂ用ႇ树状图和ѵ表
的方ข计算一̏
እӭ̃
件的
概率.
4. ᑟѾ用概率ᝍх一̏
እӭ的ࠄᬅ᫈
题，理ᝍ概率对
ெ࣢生活和生̗
ࠄ᡻的ૉ࠮ͻ
用，ʹ͘
概率௧ଡᤘᬤ఻ဘ៶
的数学വی，发࡙
ऄ用ਓគ. 
5. ښតᰎ和ஆ集数据的活
动᣿ሮ中，发࡙
合ͻ̔ื
的ਓគ
和发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题的ᑟ力. 
ᤰ᣿ʹ年级下册þ概率初൦ÿ的学习，学生ࣃፃ对频率的ሷ定性nj用តᰎ频率估计̃
件发生的
概率有̀
一定的̀
ᝍ，˷͘
用等Իᑟ̃
件的概率计算公式计算Զ๘及一൦តᰎ的ԱЧ概ی及Ի化˞
ԱЧ概ی的ї͵概ی的概率. ښ൥۳ᆩ上，本ᓬᤉ一൦ᆑቃ๘及ː൦តᰎ的等Իᑟ̃
件的概率计算᫈
题. 本ᓬС 3 课௑，第 1 课௑ᤰ᣿一˔តᰎ活动ळ出求概率的树状图和ѵ表方ข，第 2 课௑和第 
3 课௑ѬѿᤥહˀՏ的ৱܒ，ᝨ学生ፃԋѾ用ႇ树状图和ѵ表ข求出概率ࣳ
ᝍх᫈
题的᣿ሮ. 
第 1 课௑，教科书ᯫЏնဘ̀
一˔有ᡚ的຤੆，̯
˞等Իᑟ概ی，ͮ
与ʹ年级下册学习的有ਫ਼
ˀՏ. ʹ年级下册þ概率初൦ÿ中Զ๘及一൦តᰎ，Ꮻᤈ᧗的等Իᑟ概ی๘及ː൦តᰎ. 教科书ᤰ᣿
ᤈ˔តᰎ一方面Ύ学生ʹ͘
҂ښ᥅҂ᣗ复ా
的̃
件，ᤇ௄ข理᝷ڡ计算߲
的概率௑，ੈ̓
঴Ի̿
用
តᰎ频率估计̃
件发生的概率，̰
Ꮻᤉ一൦ҫງ学生对概率ਓ义的理ᝍὙԳ一方面，ᤰ᣿对ᤈ˔ត

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
ό1ύ
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஝ߦ
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ᰎ᣿ሮ的Ѭౢ
，ळ出计算๘及ː൦តᰎ的等Իᑟ̃
件概率的ː种方ข——ႇ树状图和ѵ表. 
ό1ύតᰎ题ె
的᝺计ฌਓ̀
តᰎ的Ի୲ͻ性和Х理᝷概率计算的እӭ性. े
ཀྵ，ښЦʹ
教学௑，教师˷Ի̿
ಪ据Цʹৱц，ᤥહХ̵
的概率តᰎ，ݠୗː张ྡ
的ྡ
面数字˨和等. 
๘及ː൦តᰎ的等Իᑟ概ی，௧本ᓬᝧ᝷的重ག. 
ϢʷϢ
ᝨ学生̞
ᒭ动੤ᤉ行តᰎ，ፃԋ࿯฾njតᰎnjஆ集តᰎ数据njѬౢ
តᰎፇ౧等活动᣿
ሮ，ᤉ一൦ʹᰎ数据的ᬤ఻性. 一方面ඈ次តᰎ的ፇ౧Իᑟ௧ˀ一ನ的，̃
Џ௄ข确定Ὑ
Գ一方面，Զ᜶ᤉ行ᡜܵ
多次តᰎ，តᰎ的频率ࡃᡖ̆
ሷ定. ൥ܱ
，频率ሷ定̆
概率，ॹ
ᮌώҰܸ
᧚的重复តᰎ，ښ有限的课۶教学௑ᫎ
Я，一˔学生߹ੇ
的តᰎ次数ˀܺ͘
多，
ᬲ̿
४出频率的ሷ定性的ፇ᝷，˷ᬲ̿
用តᰎ频率౏估计Х概率. ڂ൥，ښ教学中，ॹᮌ
ฌ重学生的̔ื
与合ͻ，ᝨ学生ʹ͘
҂与̵̡
合ͻ̔ื
的重᜶性，发࡙
学生合ͻ̔ื
的ਓ
គ与ᑟ力. 
教学௑，教师Ի̿
ૉ࠮学生Џ˔̡
តᰎ，ཀྵՑግ计Պጸ的តᰎ数据. Γݠ：
（1）ඈ̡
ଗᆶࣉ 20 次，ࣳ
ᝮै
ඈ次តᰎ的ፇ౧. 
តᰎ
1
2
3
…
20
ଗᆶࣉ的ፇ౧
ښଗᆶࣉ௑，᜶ฌਓښ一定的ᰴए͊
ਓઋ出，̿
δ᝽ᬤ఻性. 
ښ一次តᰎ中，第 1 ౦ᆶࣉ正面య上nj第 2 ౦ᆶࣉ正面య上，ፇ౧Իᝮ˞（正，
正）Ὑ第 1 ౦ᆶࣉ正面య上nj第 2 ౦ᆶࣉԦ面య上，ፇ౧Իᝮ˞（正，Ԧ）Ὑ第 1 ౦ᆶࣉ
Ԧ面య上nj第 2 ౦ᆶࣉ正面య上，ፇ౧Իᝮ˞（Ԧ，正）Ὑ第 1 ౦ᆶࣉԦ面య上nj第 2 ౦
ᆶࣉԦ面య上，ፇ౧Իᝮ˞（Ԧ，Ԧ）. 
ட理 20 次តᰎᝮै
，४҂˔̡
តᰎ（20 次）ፇ౧. 
ଗᆶࣉ的ፇ౧
ː౦正面య上
ː౦Ԧ面య上
一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上
频数
频率
ᤈ̏
数据ښՑ面的ᝧ᝷中ᤇ͘
用҂. 
（2）5 ˔Տ学˞一˔࠵ጸ，ં
 5 ˔̡
的តᰎ数据ල঴，४҂࠵ጸតᰎ（100 次）ፇ౧. 
ଗᆶࣉ的ፇ౧
ː౦正面య上
ː౦Ԧ面య上
一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上
频数
频率
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88
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
（3）Κ次ግ计Պጸ的តᰎ数据，ᄱऄ४҂តᰎ 200 次nj300 次nj400 次nj500 次……
௑的តᰎፇ౧，܍и下表，ࣳ
ፋ制ᄱऄ的折线统计图. 
តᰎ次数
200
300
400
500
…
ː౦正面య上的频数
ː౦正面య上的频率
ː౦Ԧ面య上的频数
ː౦Ԧ面య上的频率
一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上的频数
一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上的频率
ಪ据上面的统计图表，ΧԻѬѿ估计þː౦正面య上ÿþː౦Ԧ面య上ÿþ一౦正面
య上nj一౦Ԧ面య上ÿᤈʼ˔̃
件的概率. ̰
上面的តᰎ中Ի̿
发ဘ，តᰎ次数ᣗܸ
௑，តᰎ频率۳本ሷ定，Ꮻ˅ښ一ᓊৱц
下，þ一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上ÿ发生的概率ܸ̆
Х͸ː˔̃
件发生的概率. ਫ਼̿
，ᤈ
˔຤੆௧ˀ公ࣱ
的，߲
对࠵јᣗ有Ѿ. 
ښ൥，学生ԡ一次ਖԪ҂频率的ሷ定性，ࣳ
用តᰎ频率估计̃
件发生的概率. 一ᓊᏫᝓ
，学生ᤰ᣿តᰎ及ᄱऄ的折线统计图，ᑟܵ
४出þ一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上ÿ发生
的概率ᤊܸ̆
Х͸ː˔̃
件发生的概率的ፇ᝷. ښ理᝷上，þː౦正面య上ÿþː౦Ԧ面య
上ÿ和þ一౦正面య上nj一౦Ԧ面య上ÿ的概率Ѭѿ˞ 
1
4 ，
1
4 ，
1
2 ，ݠ౧តᰎ次数ॢܸ
，
学生估计的ϙऄស与߲̓
උᣗଌᤃ. े
ཀྵ，ݠ౧តᰎ次数ܺ
࠶，ፇ᝷Իᑟ͘
有ᣗܸ
出К. 
ᝬʷᝬ
ᤰ᣿对ਫ਼Ϣតᰎ的Ѭౢ
，ʹ͘
ː൦តᰎ中þː൦ÿ˨ᫎ
的࿘立性，ᤉᏫࠔ௜४҂សː
൦តᰎਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧，ࣳ
˅ࠔ௜ᝣគ҂ඈ种ፇ౧出ဘ的等Իᑟ性，ᤈನ的ː൦តᰎ
˷௧等Իᑟ概ی，˷Ի̿
用等Իᑟ概ی的概率计算公式ᤉ行计算. ښ൥۳ᆩ上，ळ出计算Х
概率的ː种方ข——ႇ树状图和ѵ表. 
ښ概率᝷中，þ࿘立性ÿ˷௧一˔ॢ
重᜶的概ঐ. ݠ౧ː˔̃
件̉
ˀॖ
־，ੈ̓
ࡃ称ᤈ
ː˔̃
件࿘立. Х数学定义˞：᝺ A，B ˞ː˔̃
件，ݠ౧ P（AB）= P（A）·P（B），ᥧ
˦称̃
件 A 与 B ᄱ̉
࿘立. ښ൥，教师ˀॹूូ
þ࿘立性ÿ的概ঐ. 
ࠄᬅ上，ࡃː൦តᰎ的等Իᑟ概یᏫᝓ
，þ࿘立性ÿࣳ
ˀ௧一˔ॹ᜶条件. Γݠ，̰
有 
3 ˔ጚု
nj4 ˔ᄇု
的᛻ߕ中ᤌ፞
ڡᬤ఻ୗ出 2 ˔ု
（ˀஊ回），ᤈ˷௧一˔ː൦តᰎ的等
Իᑟ概ی，ͮ
តᰎ中þː൦ÿ˨ᫎ
௧ˀ࿘立的. ښᤈ᧗教科书˨ਫ਼̿
ᤥહþː൦ÿ˨ᫎ
ᄱ̉
࿘立的等Իᑟ概ی，˟᜶௧ڂ˞学生对൥更ࠔ௜理ᝍ，˷更ࠔ௜४出有关的ፇ᝷. 
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஝ߦ
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教学௑，ݠ有ॹ᜶，Ի̿
ᝨ学生ᤂ用តᰎ数据౏ឭ௚þː൦ÿ˨ᫎ
的࿘立性. Γݠ，Ի̿
࠲តᰎ数据ල঴Ց，܍и下面的表格：
ଗ第 1 ౦ᆶࣉ
ଗ第 2 ౦ᆶࣉ
正面య上的次数
正面య上的次数
Ԧ面య上的次数
Ԧ面య上的次数
正面య上的次数
Ԧ面య上的次数
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஝ߦ
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ό1ύ
[ 1] ښᤈ᧗，ऄសՔ学生ूូ
等Իᑟ性. 教师Ի̿
ळ࠮学生回ॺ一൦តᰎ௑Ѽல等Իᑟ性的方
ข，ཀྵՑᤰ᣿ዝඋ，Ք学生ૉ௚：ੈ̯̓
ཀྵԻ̿
ಪ据ᬤ఻តᰎፇ౧的对称性或کᛦ性౏Ѽலː൦ត
ᰎ的ፇ౧௧աЦ有等Իᑟ性. 

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
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91
ό1ύ
ό2ύ
[ 1 ] 等Իᑟ性௧关᪄，ښ教
学௑，教师ऄҫ̿ूូ
. ᜶ᝨ学
生௚ᄇ，Զ᜶ਇ用等Իᑟ概ی
的概率计算公式计算概率，ࡃ
ॹᮌᯫЏѼலតᰎ˞等Իᑟត
ᰎ， ԁЦ有等Իᑟ概ی（ԱЧ
概ی）的ː˔۳本ྲ
ག：有限
性和等Իᑟ性，ːᏨᎥ一ˀԻ. 
[ 2] ښ用等Իᑟ概ی的概率
计算公式计算概率௑，关᪄௧
计算តᰎ中ਫ਼有等Իᑟ的ፇ౧
঴数和ਫ਼求̃
件中Իᑟ出ဘ的
ፇ౧数，˞൥，ੈ̓
࣢用ѵˡ
ข. ͮे
Իᑟ的ፇ౧ॢ
多௑，
᜶࠲߲̓
ˀ重复njˀ᥌໤ڡѵ
出，有௑Իᑟˀܺ
ࠔ௜，൥
௑，ੈ̓
࣢用树状图或Ꮸ表格
౏ࣟ
Ұੈ̓
ѵ出ਫ਼有Իᑟ出ဘ
的ፇ౧. ̰
ᤈ˔ਓ义上ឭ，ႇ树
状图和ѵ表Զ௧ᣙҰ的方ข，
Хᄬ的௧˞̀
方ΧᏫԡˀ重
复njˀ᥌໤ڡѵ出ਫ਼有Իᑟ出
ဘ的ፇ౧. 
ݠ౧学生用Х̵
的方ขˀ
重复njˀ᥌໤ڡѵ出ਫ਼有的ፇ
౧，˷ऄፌ́
ᴂҵ，ͮ
Տ௑教师Ի̿
ळ࠮学生对ˀՏѵˡ方ขᤉ行උᣗ，̰
ᏫΎ学生ʹ͘
ႇ树状
图njѵ表ᤈː种方ข的͖
ᡕ性. 

   ၹಞ࿄图ੋ
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ᬤ۶ጷ˸὆ʾᮆ὇
1. 树状图ݠ下：
上ᛨ
ጚ
ᄇ
ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧
（ጚ，ᳬ）
（ጚ，ᄇ）
（ᄇ，ᳬ）
（ᄇ，ᄇ）
᜕ߕ
ᳬ
ᄇ
ᳬ
ᄇ
开ݽ
঴С有 4 种等Իᑟ的ፇ౧，্
ݞ௧ᄇᓤ上ᛨ和ᄇᓤ᜕ߕ的ፇ౧Զ有 1 种：（ᄇ，
ᄇ），ਫ਼̿
，ਫ਼求的概率˞ 
1
4 . 
2. 树状图ݠ下：
঴С有 4 种等Իᑟ的ፇ౧，ː张纸ࣉ的ᨑ数˨和˞ 15 元的ፇ౧有 2 种，ਫ਼̿
，ਫ਼求
的概率˞ 
2
4 = 
1
2 . 
一˔԰᛻
5元
10元
ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧
（10元）
（15元）
（15元）
（20元）
Գ一˔԰᛻
5元
10元
5元
10元
开ݽ
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஝ߦ
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93
˸ᮥ

1.（1）
1
3 Ὑ（2）
1
3 .
2.（1）一次តᰎ中，ː张ྡ
的ྡ
面数字˨和Իᑟ˞
2，3 和 4Ὑ
（2）ѵ表ݠ下：
   第 2 张ྡ
第 1 张ྡ
1
2
1
（1，1）（1，2）
2
（2，1）（2，2）
঴С有 4 种ፇ౧，ඈ种
ፇ౧出ဘ的Իᑟ性ᄱՏ. ː张ྡ
的ྡ
面数字˨和等̆
 2 的
ፇ౧有一种：（1，1）Ὑː张ྡ
的ྡ
面数字˨和等̆
 3 的
ፇ౧有ː种：（1，2）nj（2，
1）Ὑː张ྡ
的ྡ
面数字˨和
等̆
 4 的ፇ౧有一种：（2，
2）. ڂ൥，ː张ྡ
的ྡ
面数
字˨和等̆
 4 的概率˞ 
1
4 . 
3. （1）
1
4 Ὑ（2）
1
2 .
4. ႀ̆
ᆶࣉ᠏
ڡکӉ，ࣳ
˅௧þ෥有ᝮॺÿ的，ਫ਼̿
第ʼ次ଗᆶࣉ，þ正面య上ÿ的Իᑟ性和þԦ
 面య上ÿ的Իᑟ性一ನܸ
，ᦐ௧ 
1
2 . 

   ၹಞ࿄图ੋ
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஝ߦ
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ό1ύ
第 2 课௑ᤰ᣿ᝍхþᆃ݀
njҝѨnj࣋
ÿ຤੆的公ࣱ
性᫈
题及一˔࿯数຤੆的ኖ႕᫈
题，ࢾڍ计算概率的方ข. 
Γ 2
þᆃ݀
njҝѨnj࣋
ÿ௧ඟᫎ
؞᫕˭᜹的຤੆，˷௧学生؞
ൔ的一种຤੆. 本Γ̰
理᝷上求
出̀
ښနþᆃ݀
njҝѨnj࣋
ÿ
຤੆௑ԥ方ᑈnjࣱ
nj᠇的概
率，ᝨ学生ᤉ一൦ʹ͘
þ数学
ࡃښੈ̓
ᢶ边ÿ，发࡙
þ用数
学ÿ的ਓគ与ᑟ力. 
ࠄᬅ上，ښ ᄾ正နþ ᆃ݀
njҝѨnj࣋
ÿ຤੆௑，ԥ方
Ϣᤈʼ种੤ҹ的Իᑟ性ˀ一定
ᄱՏ，ඈ̡
ᦐ有ᒭࣂ的习ਅ与
Ϡݞ. 本Γ中，ੈ̓
Ϝ᝺࠵௚和
࠵ᮣ
ඈ次Ϣᤈʼ种੤ҹ的Իᑟ
性ᄱՏ，Ύ߲ੇ
˞一˔等Իᑟ
概ی的᫈
题. ݠ౧෥有ᤈ种Ϝ
᝺，Ց面的ᝍขࡃᎥˬΚ据Ὑ
Ꮻ˅，ݠ౧෥有ᤈ种Ϝ᝺，ᤈ
˔᫈
题ࡃ෥有理᝷ᝍ. ̃
ࠄ上，ੈ̓
ښ࠲一˔ࠄᬅ᫈
题数学化௑，ड़ड़ˀ̩
௧一˔ચ៶化的᣿ሮ，Ꮻ˅˷௧一˔理ਇ化的᣿ሮ. 
[ 1] ˷Ի̿
ѵ表ݠ下：
࠵ᮣ
 ࠵௚
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
（ᆃ݀
，ᆃ݀
） 
（ᆃ݀
，ҝѨ）
（ᆃ݀
，࣋
）
ҝѨ
（ҝѨ，ᆃ݀
）
 （ҝѨ，ҝѨ） 
（ҝѨ，࣋
）࣋
（࣋
，ᆃ݀
）
 （࣋
，ҝѨ）
 （࣋
，࣋
）
Ի̿
४҂ᄱՏ的ፇ౧. 

ኄОቦ ࠫ
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ஔ学用书
95
ϢʷϢ
ᤈ˔᫈
题ᄺ上ԝ 有̏
复ా
. ࠄᬅ上，߲
等Տ̆
下面的᫈
题：ː̡
Պଗ一次کӉ的ᰥ
ߕ，࠲ː̡
ଗ४的ག数ᄱҫ，
ག数˨和˞ї的概率తܸ
Ὕ
ᤰ᣿ᤈ˔᫈
题௧᜶ឭ௚，
ښˀ确定的ৱܒ中，概率Ի̿
˞ੈ̓
的хኖଢΙΚ据. 一ᓊ౏
ឭ，ଗ४的ག数˨和௧哪˔数
的概率తܸ
，ᤥહᤈ˔数Ցᖍ
ᑈ的概率ࡃܸ
. 
Ի̿
用ѵ表的方ข४҂，
ଗ४的ག数˨和௧ 7 的概率తܸ
，ਫ਼̿
一ᓊ౏ឭ，ᤥહ 7 ᤈ
˔数ᖍᑈ的Իᑟ性తܸ
. 
ᭊ᜶ૉ出的௧，ࡊኮ概率ࣳ
ˀଢΙ确切௄ឨ的ፇ᝷，˷
有ԻᑟͿᤥહ概率ܸ
的ᥧ一˔
数ᏫతՑԦᏫᣥ̀
，ͮ
ښଗᰥ
ߕ˨Ғ，ᤥહ概率ܸ
的ᥧ一˔
数௭ཀྵ௧௚అ的. 
ᬤ۶ጷ˸
࠲第 1 张ႇྟ
的上ӧᦊѬᝮ˞þ 1 上ÿ， 下ӧᦊѬᝮ˞þ 1 下ÿ， Κ൥ዝ଎，Իѵ表ݠ下：̰
第̄
˔ᄤߕୗ出的ፇ౧̰
第一˔ᄤߕୗ出的ፇ౧
1下
2下
3下
1上
（1上，1下）
 （1上，2下）
（1上，3下）
2上
（2上，1下）
（2上，2下）
（2上，3下）
3上
（3上，1下）
 （3上，2下）
（3上，3下）
঴С有 9 种等Իᑟ的ፇ౧，Х中ᑟૃੇ
Ԕ౏的一ࣨ
ႇ的ፇ౧有 3 种：（1 上，1 下）nj（2上，2
下）nj（3 上，3 下），ਫ਼̿
ਫ਼求的概率˞
3
9 = 
1
3 . 

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˸ᮥ

1.（1）0Ὑ（2）
1
9 Ὑ（3）ː张ྡ
的ྡ
面数字˨和˞ 4 的概率తܸ
，Х概率˞ 
1
3 Ὑ（4）
2
3 . 
2. ѵ表ݠ下：
第̄
˔̡
第一˔̡
直行
ࢻધ
Կધ
直行
（直，直）
（直，ࢻ）
（直，Կ）
ࢻધ
（ࢻ，直） 
（ࢻ，ࢻ）
（ࢻ，Կ）
Կધ
（Կ，直）
（Կ，ࢻ）
（Կ，Կ）
С有 9 种等Իᑟ的ፇ౧，Х中
（1）ː̡
ᦐࢻધ的ፇ౧Զ有 1 种：（ࢻ，ࢻ），ਫ਼̿
ː̡
ᦐࢻધ的概率˞ 
1
9 Ὑ
（2）্
ݞ有一̡
直行，Գ一̡
ࢻધ的ፇ౧有 2 种：（直，ࢻ）nj（ࢻ，直），ਫ਼্̿
ݞ有
    一̡
直行，Գ一̡
ࢻધ的概率˞ 
2
9 Ὑ
（3）ᒰ࠶有一̡
直行的ፇ౧有 5 种：（直，直）nj（直，ࢻ）nj（直，Կ）nj（ࢻ，直）nj（Կ，
    直），ਫ਼̿
ᒰ࠶有一̡
直行的概率˞ 
5
9 . 
3. ѵ表ݠ下：
第̄
౦
第一౦
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
С有 36 种等Իᑟ的ፇ౧，Х中
（1）ᒰ࠶有一౦ᰥߕ的ག数˞ 1 的ፇ౧有 11 种，ਫ਼̿
ᒰ࠶有一౦ᰥߕ的ག数˞ 1 的概
    率˞ 
11
36
Ὑ
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஝ߦ
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（2）ː౦ᰥߕ的ག数和˞݉
数的ፇ౧有18种，ਫ਼̿
ː౦ᰥߕ的ག数和˞݉
数的概率˞ 
    
18
36
 = 1
2
Ὑ
（3）ː౦ᰥߕ的ག数和ܸ̆
 9 的ፇ౧有 6 种，ਫ਼̿
ː౦ᰥߕ的ག数和ܸ̆
 9 的概率˞ 
   
6
36
 = 1
6
Ὑ
（4）第̄
౦ᰥߕ的ག数டᬔ第一౦ᰥߕ的ག数的ፇ౧有14 种，ਫ਼̿
第̄
౦ᰥߕ的ག数ட
   ᬔ第一౦ᰥߕ的ག数的概率˞ 
14
36
 = 
7
18
. 
4. ѵ表ݠ下：
ͻˊ
课本
ឦ஡
数学
ᔮឦ
ឦ஡
（ឦ஡，ឦ஡）
（ឦ஡，数学）
（ឦ஡，ᔮឦ）
数学
（数学，ឦ஡）
（数学，数学）
（数学，ᔮឦ）
ᔮឦ
（ᔮឦ，ឦ஡）
（ᔮឦ，数学）
（ᔮឦ，ᔮឦ）
С有 9 种等Իᑟ的ፇ౧：
课本和ͻˊ্
ݞ˞Տ一᫃
课的ፇ౧有 3 种，ਫ਼̿
课本和ͻˊ্
ݞ˞Տ一᫃
课的概率
˞ 
3
9
 = 
1
3
.
5.（1）ː̡
ଗ४的ག数˨和˞݉
数的概率˞ 
18
36
 = 1
2
，ག数˨和˞Ϧ数的概率˷௧ 
18
36
 = 1
2
，
    ਫ਼̿
ᤈ˔຤੆对ԥ方௧公ࣱ
的Ὑ
（2）ː̡
ଗ४的ག数˨积˞݉
数的概率˞ 
9
36
 = 1
4
，ག数˨积˞Ϧ数的概率˞ 
27
36
 = 3
4
，
    ਫ਼̿
ᤈ˔຤੆对ԥ方ˀ公ࣱ
. 
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98
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
6. ࠵௚的ೠߕဘښ第1格，ᡰሏ
þු
ᢼÿਫ਼ښ的位置ᤇ有7 
格，Ꮻᰥߕతܸ
的ག数˞ 6，
ଗ一次ᰥߕˀԻᑟ४҂数字
7，ਫ਼̿
࠵௚ˀԻᑟ一次ࡃ४
҂þු
ᢼÿ. Զ᜶࠵௚和࠵ጚ
ː̡
ଗᰥߕ的ག数和˞ 7，࠵
ጚࡃԻ̿
४҂þු
ᢼÿ，ਫ਼̿
࠵ጚ下一次ଗ有Իᑟ४҂
þු
ᢼÿ. ᤰ᣿ѵ表Իᅼ，С
有36 种等Իᑟ的ፇ౧，Ꮻག
数和˞ 7 的有 6 种，ڂ൥࠵
ጚ下一次४҂þු
ᢼÿ的概
率˞ 
6
36
 = 1
6
.

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
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99
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
7. ႇ树状图ݠ下：
ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧
（ᆃ݀
，ᆃ݀
，ᆃ݀
）
（ᆃ݀
，ᆃ݀
，ҝѨ）
（ᆃ݀
，ᆃ݀
，࣋
）
（ᆃ݀
，ҝѨ，ᆃ݀
）
（ᆃ݀
，ҝѨ，ҝѨ）
（ᆃ݀
，ҝѨ，࣋
）
（ᆃ݀
，࣋
，ᆃ݀
）
（ᆃ݀
，࣋
，ҝѨ）
（ᆃ݀
，࣋
，࣋
）
（ҝѨ，ᆃ݀
，ᆃ݀
）
（ҝѨ，ᆃ݀
，ҝѨ）
（ҝѨ，ᆃ݀
，࣋
）
（ҝѨ，ҝѨ，ᆃ݀
）
（ҝѨ，ҝѨ，ҝѨ）
（ҝѨ，ҝѨ，࣋
）
（ҝѨ，࣋
，ᆃ݀
）
（ҝѨ，࣋
，ҝѨ）
（ҝѨ，࣋
，࣋
）
（࣋
，ᆃ݀
，ᆃ݀
）
（࣋
，ᆃ݀
，ҝѨ）
（࣋
，ᆃ݀
，࣋
）
（࣋
，ҝѨ，ᆃ݀
）
（࣋
，ҝѨ，ҝѨ）
（࣋
，ҝѨ，࣋
）
（࣋
，࣋
，ᆃ݀
）
（࣋
，࣋
，ҝѨ）
（࣋
，࣋
，࣋
）
第ʼ̡
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
第̡̄
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
ᆃ݀
ҝѨ࣋
第一̡
ᆃ݀
ҝѨ࣋
开ݽ
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100
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
С有 27 种等Իᑟ的ፇ౧，Х中第一̡
ᖍᑈ的ፇ౧有 9 种，ਫ਼̿
第一̡
ᖍᑈ的概率˞ 
9
27
 = 1
3
，第̡̄
和第ʼ̡
ᖍᑈ的ፇ౧˷ᦐ有 9 种，ਫ਼̿
第̡̄
和第ʼ̡
ᖍᑈ的概率˷ᦐ
௧ 
9
27
 = 1
3
，ਫ਼̿
ᤈ˔຤੆对ʼ̡
௧公ࣱ
的. 
第 3 课௑̿
þᦡጌᓤÿ˞˟᜶ৱܒ，ᝨ学生ፃԋѾ用ႇ树状图或ѵ表的方ข求出概
率ࣳ
ᝍхࠄᬅ᫈
题的᣿ሮ，ଢᰴ学生ᤂ用ਫ਼学的概率ᅼគᝍх᫈
题的ᑟ力. े
ཀྵ，教学௑
教师˷Ի̿
ಪ据Цʹৱцᤥહ更ᤠ
合学生的ጉె
ᤉ行教学. 
（1）ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧С有6 种，树状图和表格Ի̿
௧：
B ᄨ  ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧
 ᳧
      （ጚ，᳧
）
 ᗰ      （ጚ，ᗰ）
 ፯      （ጚ，፯）
 ᳧
      （ᄇ，᳧
）
 ᗰ      （ᄇ，ᗰ）
 ፯      （ᄇ，፯）
A ᄨ
ጚ
ᄇ
开ݽ
B ᄨ
A ᄨ᳧
ᓤ
ᗰᓤ
፯ᓤ
ጚᓤ
（ጚ，᳧
）
（ጚ，ᗰ）
（ጚ，፯）
ᄇᓤ
（ᄇ，᳧
）
（ᄇ，ᗰ）
（ᄇ，፯）
（2）຤੆Ꮸᖍᑈ的概率˞ 
1
6
. 
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
101
ਇʷਇ
ښѾ用树状图或ѵ表的方
ข求概率௑，Պ种ፇ౧出ဘ的
Իᑟ性ॹᮌᄱՏ，ᔪં
Իᑟ性
ˀՏ的ৱцेੇ
Իᑟ性ᄱՏ的
ৱц౏ܫ理，ѷ௧ᩲឨ的. 
࠵ᮣ
的Ϣข௧ˀ正确的， 
ڂ˞ A ᄨ中ጚᓤӝ۫
和ᗰᓤӝ۫
的面积ˀՏ，ਫ਼̿
ૉ᧫ᗀښ
ᤈː˔ӝ۫
的Իᑟ性௧ˀՏ的. 
Ꮻ࠵̝
的Ϣข௧正确的，̵
࠲
A ᄨ的ጚᓤӝ۫
Ѭੇ
 2 份，ᤈ
ನՊ种ፇ౧出ဘ的Իᑟ性ࡃᄱ
Տ̀
，˷ࡃԻ̿
用等Իᑟ概ی
的概率计算公式计算概率̀
. 
࠵ᮣ
ਫ਼࿁的ᩲឨ˷௧一̏
学生ࠔ௜࿁的，Ꮻ࠵̝
的Ϣข
ѷ௧ᝍхᤈዝ᫈
题的一种࣢用
方ข. 

   ၹಞ࿄图ੋ
᛫ಫරഐဋ
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102
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
用树状图和ѵ表的方ข求
概率௑，ऄฌਓՊ种ፇ౧出ဘ
的Իᑟ性᜶ᄱՏ. 
Γ 3
本Γ 的ᝍขښ 本᠏
上和
上面࠵̝
的Ϣข௧一ನ的，Ի̿
࠲ 2 ˔ጚု
Ѭѿᝮ˞þጚ 
1ÿþጚ 2ÿ，2 ˔ᄇု
Ѭѿᝮ
˞þᄇ 1ÿþᄇ 2ÿ，ᤈನୗ҂
ඈ˔ု
的Իᑟ性ࡃᄱՏ̀
. 
教学௑ऄᴂҵ学生Ѭѿ用
树状图和ѵ表ขᤉ行ᝍን. 

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
103
ᬤ۶ጷ˸
2
9
. 
˸ᮥ

1. 
5
9
. 
2. 
13
25
. 
3. 
4
15
. 
4. ଢᇨ： ንವˀ׭一. ಪ据᜶求
 ᝺计຤੆，ЍѬʹဘ̀
概率
 的വی思ਇ. 

   ၹಞ࿄图ੋ
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
教ߦ目ಖ
1. ፃԋតᰎnj统计等活动
᣿ሮ，ښ活动中发࡙
学生合ͻ̔ื
的ਓគ和ᑟ力.
2. ᑟѾ用តᰎ频率估计一̏
ᬤ఻̃
件发生的概率.
3. ᤰ᣿ᬌඵ概率，ʹ͘
ᬤ
఻̃
件发生的ˀ确定性. 
ϢʷϢ
  教科书ښ൥Џնဘ̀
一˔
生活中的ࠄᬅ᫈
题：þચኤ的Џ
Ց͘ॖ
־ચኤ的公ࣱ
性ՙὝÿ
ཀྵՑնဘ̀
一种តᰎ方ವ.
教学中，᜶ฌ重学生的̔ื
与合ͻ，ᝨ学生ʹ͘
҂与̵̡
合ͻ̔ื
的重᜶性，发࡙
学生合ͻ̔ื
的ਓគ与ᑟ力.
（1）ඈጸតᰎ 20 次，ࣳ
ᝮै
ඈ次តᰎፇ౧.
（2）ட理ඈጸ 20 次តᰎᝮै
，४҂ඈጸតᰎፇ౧.
（3）ල঴Лိ
的តᰎፇ౧，Ѭѿ估计第一̡
nj第̡̄
nj第ʼ̡
nj第四̡
ચ҂þ᫃
ᇾÿ的概率.
 第一̡
ચ҂þ᫃
ᇾÿ
 第̡̄
ચ҂þ᫃
ᇾÿ
第ʼ̡
ચ҂þ᫃
ᇾÿ
第四̡
ચ҂þ᫃
ᇾÿ
出ဘ的次数
出ဘ的频率
概率 

ኄОቦ ࠫ
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
105
ό1ύ
ό1ύ ෥有ॖ
־.
ᝬʷᝬ
  ᬌඵ概率ૉ的௧౽˔௑ᫎ
或ᔵڊ下ᭁ的Իᑟ性௧ᄈѬ˨
多࠶，ښᮕઑ的௑ᫎ
和ӝ۫
ᔵ
ڊЯ，͘
ᬌඵ的概率˞ᤈ˔数.
ᬤ۶ጷ˸
（1）ˀ一定. 
（2）ႁԈ.

   ၷำ˗ᄊഐဋ
ό1ύ
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106
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
˸ᮥ

1. ႕.
2.（1）ᩲ，ඈ˔̡
ᦐ有 25%
 的
    概率४҂᫃
ᇾὙ
（2）ᩲὙ
（3）ᩲ.
3 . ႀ̆
þ ੤ష的ੇ
Ҫ 率௧
9 0 %
ÿ ，ਫ਼̿
þܿ᠌
率௧
10%
ÿ，ᤈឭ௚੤ష有一定
᮳ᬗ.þܿ᠌
率10%
ÿ或þੇ
Ҫ率90%
ÿԶ̽
表੤ష的ᬲ
ए，ˀᑟ̽
表̤
˦.
4. ႕.
教ߦ目ಖ
1. ፃԋតᰎnj统计等活动
᣿ሮ，ښ活动中ᤉ一൦发࡙
学
生合ͻ̔ื
的ਓគ和ᑟ力Ὑ
2. ᑟ用តᰎ的方ข估计一̏
复ా
的ᬤ఻̃
件发生的概率.
ᤰ᣿Ғ面的学习，学生ࣃ
ፃᝣគ҂े
តᰎ次数ᣗܸ
௑，
ᬤ఻̃
件发生的频率Ц有ሷ定
性，ࣳ
据൥Ի̿
估计౽一̃
件
发生的概率. 本ᓬᤥԩ̀
一˔
ԋԾ上ᣗ˞ᗃՐ的આ᧫តᰎ和与学生ெ࣢生活ࠛ
切ᄱ关的生ெ᫈
题˞题ె
，力图ᝨ学生г次ਖԪ
҂频率的ሷ定性，ᤉ一൦ҫງ对概率ਓ义的理ᝍ. े
ཀྵ，Цʹ教学௑教师˷Ի̿
ಪ据学生的ࠄᬅৱ
ц，ᤥહХ̵
题ె
开࡙
教学.
ݠҒਫ਼ᤘ，概率的计算有理᝷计算和តᰎ估算ː种方式. ಪ据ᖍ४概率的方式，ੈ̓
᥅҂的
概率᫈
题ܸ
ᒱ有ʼዝ：第一ዝ᫈
题，߲
෥有理᝷概率，Զᑟᤰ᣿多次តᰎ，用频率౏估计߲
Ὑ第̄
ዝ᫈
题，߲
有理᝷概率，ͮ
理᝷概率的计算ॢ
ڈᬲ，ᤈ௑˷Ի̿
ᤰ᣿多次តᰎ，用频率౏估计߲
Ὑ第ʼዝ᫈
题，߲
௧እӭ的ԱЧ概ی，有理᝷概率，˅理᝷概率的计算උᣗእӭ，ੈ̓
ࡃԻ̿
ᤰ᣿计算४҂߲
的概率.
对̆
本ᓬ中的આ᧫᫈
题，教科书ᯫЏଢ出᫈
题，ࣳ
ळ࠮学生思考ᑟաώҰႇ树状图或ѵ表求
出ស᧫与ࣱ
行线ᄱ̔
的概率，力图ळᡑ学生的ᝣᅼфቊ，̗
生តᰎ估计的ਝమ，ཀྵՑᤰ᣿þϢ一
ϢÿЦʹ估计Х概率.

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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
107
ϢʷϢ
  ᯫЏ᜶求ඈጸ学生ᦐ确定
ᄱՏ的 l 和 a 的ϙ，ᤈ௧ڂ˞
ˀՏ的 l 和 a 的ϙ，តᰎ的ፇ
౧௧ˀՏ的，ᥧನࡃˀᑟ࠲Պ
ጸ的តᰎፇ౧ල঴，˷ࡃ௄ข
δ᝽តᰎ的次数.
ښЦʹ的តᰎ᣿ሮ中，ฌ
ਓ᜶求学生᜶̰
一定ᰴएᬤਓ
ઋ᧫，̿
δ᝽આ᧫的ᬤ఻性Ὑ
ጸЯՏ学˷Իᤉ行ᤠे
的Ѭ
ࢺ，ऄសឭ，ᤈᓬ课۳本上௧
一ᓬ学生活动课，ڂᏫ᜶ฌਓ
ʹဘ学生的ᒭ˟性，តᰎ活动̿
及តᰎ数据的ල঴等ᦐԻ̿
ႀ学生ᒭ行ጸጻ߹ੇ
. 正ڂ˞ᤈ
ᓬ课中学生活动ᣗ多，߲
˷˞
教师ក价学生合ͻ̔ื
的ਓ
គ和ᑟ力nj学生的思፥ඵࣱ
和动੤ᑟ力等ଢῚ
一˔ॢ
ݞ
的఻͘
. 
൥ܱ
，ښតᰎ᣿ሮ中，有
௑᧫与线௧աᄱ̔
ᣗᬲѼல，
学生Իᑟ˞൥发生一̏̂ੰ
，
教师ऄᤉ行ᤠे
的ૉ࠮（ݠथ
ᝬ学生ও႕ᤈ次តᰎ或Ꮸᝣ˞ᄱ̔
njˀᄱ̔
Պ计ӧ次，等等），ᥘВ学生᣿多ڡϣ႑̆
൥. 
ᬤ۶ጷ˸
႕.

*   ၹᮠဋͥ
ᝠഐဋ
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108
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书឴
ʷ឴̮
ፁ̀
આ᧫តᰎ的一̏
ԋ
Ծ资料̿
及Х概率与¯˨ᫎ
的
关系，据൥ᖍ४̀
一种估计¯
的ϙ的方ข，ࣳ
࠲Хळႂ
˞ဘ
ښࣹ
ฅΎ用的ᗜྲ
ӵᎭ方ข，
௉ښፌ学生一定的઩࡙
ቇᫎ
，
ᝨ学生ʹ͘
҂有̏
ᰴງ的数学
中ᘔե的思ਇХࠄౝ˞హጉ，̰
Ꮻ༏发学生的数学学习Уᡚ.
ᗜྲ
ӵᎭ方ข௧̿
概率和
统计的理᝷nj方ข˞۳ᆩ的一
种计算方ข，߲
࠲ਫ਼求ᝍ的᫈
题与一定的概率വیᄱᐏ系，
用计算఻ࠄဘ统计വલ或ચ
ನ，̿
ᖍ४᫈
题的ᤃͫ
ᝍ，ڂ
൥ԡ称˞统计വલข或统计ត
ᰎข.
ᗜྲ
ӵᎭ௧୕
ጪ׎的一˔ۢ
市，̿
ᠳӰ᫕Ր̆
ˇ. ᗜྲ
ӵ
Ꭽ方ขώ用ᤈ一ۢ
市的Ր称௧
˞̀
៶ढ़性ڡ表௚ស方ข的概
率统计ྲ
ག.
ͻ ˞ 一种计算方ข，ᗜྲ
ӵᎭ方ข௧ႀ˩ઢݻ（S .M
. 
U l a m ，1909—1984）和с·ឳ͏
డ（J .v o n N e u m a n n ，1903—1957）ښ20ˇጢ40年̽
˞ᆑ制核൧٨
的ᭊ᜶ᏫᯫЏଢ出౏的. ښ൥˨Ғ，ស方ข的۳本思ਇࠄᬅ上ொࣃᜂ统计学ࠒਫ਼᧔用̀
. 
ό1ύХ理᝷概率˞ 
¯-2
4
. ̃
ࠄ上，ˀݱ᝺ਫ਼ԩ的ʼ˔数˞a，b，c （0< aĹbĹc ），ᔪᑟܵ
ጸੇ
᧽角ʼ角形，ѷa，b，c
ऄ໘ᡜ：a+ b> c ，a2+ b2< c 2，ԁ 
a
c + 
b
c > 1，
a2
c 2 + 
b2
c 2 < 1.
᝺ 
a
c = x，
b
c = y，ѷ有x+ y> 1，x2+ y2< 1，Х中0< xĹ1，0 < yĹ1. 

ኄОቦ ࠫ
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ښ直角گಖ系中（ݠ图），͊
ਓ a，b，c ਫ਼对ऄ的图形˞正方形 OABC 及ХЯᦊ（ˀ
ӊ઺ x ᣉnjy ᣉ上的ག），Ꮻᑟ౞ੇ
᧽角ʼ角形的 a，b，c 对ऄ的图形௧图中的᫻ॖ
ᦊѬ.
ڂ൥，ਫ਼求概率˞ 
1
4
¯- 
1
2
1
 = ¯-2
4
.े
ཀྵ，本题的理᝷概率ˀऄ᜶求学生ଂଧ.
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110
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ό1ύ
˸ᮥ

႕. 
生ெ᫈
题࡛̆
第̄
ዝ᫈
题，߲
有理᝷概率，ͮ
理᝷概
率的计算对ဘ᫽඀的学生౏ឭॢ
ڈᬲ，ਫ਼̿
教科书̯
ཀྵᤰ᣿
多次តᰎ，用频率౏估计概率. 
ႀ̆
生ெ᫈
题᠛ᤃ生活，
数据ᬤ੤Ի४，ਫ਼̿
Ц有一定
的Ի୲ͻ性. Գ一方面，ស᫈
题
的理᝷概率˞（一年ો365ܹ
计
算）：1-
A
50
365
365
50ĵ0.97，Իᑟ有
ᤋ学生的þ࣢គÿ，ਫ਼̿
˷有
一定的ᡚ֊性. 
ό1ύᯫЏଢ᫈
：þ400 ˔Տ学
中，一定有 2 ˔Տ学的生ெᄱ
Տ（Ի̿
ˀՏ年）ՙὝÿ学生
Ѿ用ચࡒԔ理（࠲多̆
 n 件的ྭֶ͊
ਓஊ҂ n ˔ચࡒ中，ᥧ
˦ᒰ࠶有一˔ચࡒ中的ྭֶ
ˀ
࠶̆
 2 件）ࠔ௜发ဘፇ᝷௧ᐰ
定的. ᬤՑଢឰ学生思考：þ 300 
˔Տ学քὝÿ൥௑ࡃˀᑟδ᝽̀
. ښ൥۳ᆩ上гଢ出Ꮵ师的᜺
ག：50 ˔Տ学中，ࡃॢ
Իᑟ有 2 ˔Տ学的生ெᄱՏ. ᤈҹॹ与学生的ᝣគ̗
生ᣗܸ
的Ԧࣀ，ౝܸ
ڡ
༏发学生ᆑቃ的Уᡚ. े
ཀྵ，本᫈
题的理᝷ᆑቃࣃፃᡔ出̀
学生的学ԋඵࣱ
，Տ௑ಪ据ࣃ有学习ፃ
ᰎ，学生͘
ਇ҂用តᰎ频率ᤉ行估计，̰
ᏫᣁК下面þᝬ一ᝬÿဗᓬ. 
ฌਓ：本᫈
题Զ᜶有 2 ˔Տ学的生ெᄱՏԁԻ，ݠ有 3 ˔Տ学的生ெᄱՏे
ཀྵ˷ॹཀྵ有 2 ˔Տ
学的生ெᄱՏ̀
，Ց面的ї˔᫈
题˷ዝͫ
. 
ᝬʷᝬ
ښ௚确用តᰎ频率估计概率的۳ᆩ上，ᤰ᣿思考与ᝧ᝷᝺计出ЦʹԻ行的តᰎ方ವ. 
教学௑，ऄᯫЏᴂҵ学生࿘立思考，ଢ出ᒭࣂ的方ವὙཀྵՑᤰ᣿ᄱ̉̔ื
，᝺计出ᄱ对߹ؓ
˅
ࠔ௜୲ͻ的តᰎ方ವ. උݠ，ඈ˔Տ学课ܱូ
ಊ一定数᧚̡
的生ெΙតᰎΎ用，˷Ի̿
ᬤ఻ڡ̗
生
出1~ 365 ˨ᫎ
的౽一˔ᒭཀྵ数̽
表生ெ（ᤈࠄᬅ上ࡃ௧വલតᰎ）. 

ኄОቦ ࠫ
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ஔ学用书
111
ϢʷϢ
教科书ښ൥նဘ̀
一种ត
ᰎ方ವ. ښЦʹតᰎ௑，Ի̿
࠲
学生ਫ਼ូ
ಊ的生ெиښ纸条上ࣳ
ஊ҂౽˔ኸߕ中ᬤ఻ચԩὙ
˷Ի̿
࠲ඈ˔Տ学ਫ਼ូ
ಊ的生
ெᬤ఻ଆѵੇ
౽一ᤠे
形式
（ݠ方᫼），ཀྵՑгોི
౽种
᜻ѷ̰
中ᤥԩ 50 ˔ᤉ行តᰎὙ
ᤇԻ̿
᜶求学生ᬤ఻ڡи下ᒭ
ࣂਫ਼ូ
ಊ的一˔生ெ，гල঴. 
и生ெ௑，˞̀
ᓬጞ௑ᫎ
，Ի̿
ᤉ行一定的እ化，ݠԻ࠲þ2
月 16 ெÿᝮ˞þ0216ÿ等. 
ݠ౧一年ો 365 ܹ
计算，
ᥧ˦ស᫈
题的理᝷概率ጞ˞
0.97. ᭊ᜶ឭ௚的௧，൥ܫ重ག
௧ᝨ学生ፃԋ用តᰎ频率估计
概率的᣿ሮ，ࣳ
ښᤈ一᣿ሮ中
ᤉ一൦ʹᰎᬤ఻ဘ៶的ྲ
ག. 
ᒰ̆
ፇ౧，Զ᜶ᑟᝨ学生ਖԪ
҂本᫈
题的概率ᣗܸ
ԁԻ，ˀ
᜶求学生估计出多˦ю确的概
率ϙ. 
ਇʷਇ
ᤰ᣿ܸ
᧚重复តᰎ，Ի̿
用频率౏估计概率. 对൥，学生ࣃፃ有̀
一定的ᝣគ. 本ဗᓬ௉ښळ࠮
学生思考ݠ͵Ѿ用频率与概率˨ᫎ
的ᤈ种关系ᝍх一̏᫈
题，ਖԪ概率与统计˨ᫎ
的ᐏ系. 
（1）
3
10
. ᤈ˔᫈
题උᣗእӭ，ᄬ的௧˞ᝍх下一˔᫈
题Ϣᩔۙ
. 教学௑，ಪ据学生的ৱц˷Ի̿
᡺᣿ᤈ一᫈
题，直ଌ思考下面的᫈
题. 
（2）Ի̿
Џ࠲԰᛻中的ု
ଵતکӉ，̰
中ᬤ఻ୗ出一˔，ᝮ下ᮨ
ᓤՑஊ回. ˀல重复ᤈ˔᣿
ሮ，Сୗ n 次（n ᜶ᡜܸܵ
，Γݠ nĺ100），Х中 m 次ୗ҂ጚု
. ႀ൥Ի̿
估计出：̰
԰᛻中ᬤ఻
ୗ出一ု
，߲
௧ጚု
的概率˞ 
m
n . Գ一方面，Ϝ᝺԰᛻中有 x ˔ጚု
，̰
԰᛻中ᬤ఻ୗ出一ု
，߲

*   ၹᮠဋͥ
ᝠഐဋ
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112
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
௧ጚု
的概率ऄស等̆
 
x
10
. ႀ 
x
10
 = 
m
n ，४x= 
10m
n Ὑᄇု
数᧚˞10-x = 
10（n-m）
n
（˔）. 
ڂ൥，԰᛻中ጚု
和ᄇု
的数᧚උጞ˞ 
m
n-m. 
（3）ንವˀ׭一. උݠ，一˔԰᛻中有 8 ˔ጚု
和ᔪࣰ
˔ᄇု
，ݠ౧ˀ࠲ု
ψ出౏
数，ᥧ˦Ϳᑟ估计出Х中的ᄇု
数ՙὝԡݠ，ݠ౧԰᛻中Զ有ᔪࣰ
˔ᄇု
，෥有Х̵ᮨ
ᓤ
的ု
，Ꮻ˅ˀ࠲ု
ψ出౏数，ᥧ˦Ϳݠ͵估计出Х中的ᄇု
数Ὕ……教学௑，ऄЍѬᴂҵ
学生ܸ
ᐿଢ出᫈
题，ࣳ
思考ᝍх᫈
题的方ವ，ܙू
学生发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题的ਓគ和ᑟ力. 
ᬤ۶ጷ˸
1. ܸ
ጞ有 7 ˔ጚု
，3 ˔ᄇု
.
2. 本᫈
题与生ெ᫈
题ዝͫ
，௉ښᝨ学生ώҰ课ܱូ
ಊ的数据г次ᤉ行有关᫈
题的概率估计. 
 6 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ᐟᄱՏ的理᝷概率˞1- A
6
12
12
6 ĵ0.78. े
ཀྵ，ᤈ᧗ˀ᜶求学生ᤉ行理᝷
 计算. 
˸ᮥ

1. ࠵௚的ਇขˀ对.ڂ˞有ਓគڡᥘ开第一次ஊᤉԝ的ု
，正ݞᆡڮ̀
þඈ˔ု
ᜂୗ҂的Ի
ᑟ性ᦐᄱՏÿ的条件.
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஝ߦ
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113
ό1ύ
2. 本题的题ی与ᬤ۶ጷ习第 2 
题߹Л一ನ，Х理᝷概率˞
1- A
6
12
12
6 ĵ0.78. 
第3课௑੾第2课௑的生ᐟ᫈
题，考ᘽᑟաˀώҰܸ
᧚ូ
ಊ估计Х概率，̰
ᏫळКവલតᰎ. 
教科书ᯫЏፌ出̀
一种വલ方ವ（有ஊ回ڡୗ编号˞1_12的ု
），ᤈ௧˞̀
行஡的方Χ和ळКവ
લតᰎ的ᭊ᜶. ښЦʹ教学௑，教师Ի̿
Џଢ出᫈
题，ळ࠮学生思考Цʹ方ವ，ښ学生̔ื
的۳ᆩ
上г᫞឴
教科书上的方ವ. े
ཀྵ，学生的方ವԻᑟ௧多种多ನ的，Զ᜶学生的方ವ合理（ฌਓ௧有
ஊ回的），ࡃऄፌ́
ᐰ定和ᴂҵ. 
ό1ύ教学中Ի̿
ळ࠮学生Ѿ用ᒭࣂਫ਼Ύ用的计算٨ଊጊ̗
生ᬤ఻数的Цʹ൦ᰡ. 

*   ၹᮠဋͥ
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஝ߦ
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ϢʷϢ
᜶求学生Ѿ用计算٨ࠄᬅ
ᤉ行വલតᰎ. ݠ౧学生的计算
٨ˀЦ有̗
生ᬤ఻数的Ҫᑟ，
ᥧ˦Ի̿
ळ࠮学生用Х̵
方ข
ᤉ行വલតᰎ，ݠ有ஊ回ڡચ
ኤ等. े
ཀྵ，តᰎፇ౧ళॹЦ有ॢ
ݞ的ድ确ए，Զ᜶ᝨ学生ʹ͘
҂តᰎ次数ॢܸ
௑ፇ౧࠲ᣗ
˞ድ确ԁԻ. ᤈ᧗的ፇ౧ళॹ和
上一课௑的估计ፇ౧一ᒱ，ͮ
᜶ᝨ学生ʹ͘
҂ːᏨ的ࣀपԶ
௧ႀតᰎ次数的ࣀपᤵੇ
的，े
តᰎ次数ॢܸ
௑，ːᏨऄ௧
ᣗ˞ᄱᤃ的. 

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
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ᬤ۶ጷ˸
1. Ѿ用计算٨വલតᰎᝍх上
一课௑的生ெ᫈
题，̿
ҫू
ҒՑᐏ系. 
2. ݠိ
级有 45 ̡
，Ի̿
Ѿ用计
算٨̗
生 5 ˔ 1_45 ˨ᫎ
的
ᬤ఻ட数，学号与ᤈ 5 ˔ᬤ
఻数ᄱՏ的Տ学࠲ᖍ४ႃॖ
ᇾ. े
ཀྵ，ᤈ 5 ˔数中Իᑟ有
重复的，൥௑Ի̿
Ѿ用计算
٨г̗
生ї˔ᬤ఻数，Զ᜶
తጼ̗
生 5 ˔ˀՏ的数ԁԻ. 
˸ᮥ

1. Ի̿
Ѿ用计算٨ᤉ行വલត
ᰎ，ݠԻ࠲̗
生的ᬤ఻数1，
2Ѭѿ对ऄᆶࣉ的正面njԦ
面. ݠ౧计算٨Զ有̗
生0_1
˨ᫎ
ᬤ఻࠵数的Ҫᑟ，ᥧ˦
Ի࠲0_0.5˨ᫎ
的ᬤ఻数对ऄ
ᆶࣉ的正面，Ꮻ࠲0.5_1˨ᫎ
的ᬤ఻数对ऄᆶࣉ的Ԧ面. 
2. ԻѾ用计算٨̗
生1_15˨ᫎ
的ᬤ఻ட数ᤉ行വલតᰎ.
3. ႕. 
ڀᮏˁনᏦ
᝺计þ 回顾与思考ÿ的ᄬ的௧ᝨ学生ᤰ᣿回ን᫈
题೛理本ቦ的学习Яࠔ，ҫງ对ਫ਼学Яࠔ的
理ᝍ，ࣳ
Ύ˨系统化. 教师ऄळ࠮学生ᤉ行࿘立思考，ཀྵՑᤉ行ЍѬ̔ื
，ࣳ
用ᒭࣂ的ឦᝓ
回ንඈ
一˔᫈
题. 
教学中ऄᴂҵ学生ᒭ˟ڡ೛理本ቦЯࠔ，ݠ౧学生ښፃᰎ和ᑟ力上有ڈᬲ，教师Ի̿ᤠे
ڡҫ̿
ळ࠮. 下面的教学थᝬΙ参考. 
ᯫЏ，教师Ի̿
ळ࠮学生̿
ᅼគ的ЏՑᮋऀ
˞线ጊ，回顾本ቦ学习的ᅼគЯࠔὙХ次，ळ࠮
学生࠲ᤈ̏
ᅼគЯࠔᤉ行Ѭዝnjҫࢺnjᤥહnjጸ合，Ύਫ਼学Яࠔ条理化nj有ऀ
化njፇ౞化. ښ൥᣿
ሮ中，教师Ի̿
对本ቦЯࠔᤉ行ଢ᫈
，ښ学生回ን的۳ᆩ上，教师Ի̿
ښᳬ౜的ᤠे
位置и下ᄱऄ
的Яࠔ. 对ᤈ̏
Яࠔ，教师Ի̿
ᝨ学生ᤉ行一定的ᝍ᧖或ᏨˡΓឭ௚. ཀྵՑ，教师Ի̿
ᤉ一൦ଢ᫈
：

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ᤈ̏
Яࠔ˨ᫎ
有̤
˦关系Ὕᑟա࠲ᤈ种关系用ᤠे
的方式表ᇨ出౏ὝՏ௑ښᳬ౜上ᤉ行ಖ
ฌ，ښ൥۳ᆩ上形ੇ
Лቦ的ᅼគፇ౞图. 
҂本ቦ˞ൣ
，学生۳本߹ੇ̀
义务教育᫽඀有关概率ᅼគ的学习，ڂ൥，ښ学生ЍѬ̔ื
的۳ᆩ上，教师Իळ࠮学生थ立有关义务教育᫽඀概率Яࠔ的ᅼគፇ౞图. 教师Ի̿
ᴂ
ҵ学生ښ课ܱ
߹ੇ
一份࠵ፇ，េេ学习本ቦ或Ꮸட˔义务教育᫽඀概率Ց的ஆᖍ和ʹ͘
，
˷Ի̿
េេᒭࣂښ概率学习中的ڈ৵及ᤇਇᤉ一൦ᆑቃ的᫈
题，教师ᤇऄសᴂҵ和ૉ࠮学
生ᤂ用ਫ਼学的概率ᅼគԝᝍх౽̏
ࠄᬅ᫈
题，ཀྵՑښိ
级中ᤉ行̔ื
和ලઑ. 
下面௧一˔ԻΙ参考的初中᫽඀概率ᅼគፇ౞图. 
下面的Γ题ԻΙ参考. 
Γ ݠ图，࠲一౦ೠߕΚ次෹正方形 ABCD 的四˔ᮇག A，
B，C，D，A，B，C，…ረ动. 开ݽ௑，ೠߕ位̆
ག A ܫὙཀྵՑ，
ಪ据ଗᰥߕଗ४的ག数ረ动ೠߕ（ݠଗ४ 1 གࡃረ动 1 ൦҂ག B 
ܫ，ݠଗ४ 3 གࡃረ动 3 ൦҂ག D ܫ，ݠଗ४ 6 གࡃረ动 6 ൦҂ག 
C ܫ……）Ὑଌᅌ，̿
ረ动Ցೠߕਫ਼ښ的位置˞新的ᡑག，гᤉ行
Տನ的୲ͻ. ښ第̄
次ଗᰥߕՑ，ೠߕ回҂ག A ܫ的概率௧多࠶Ὕ
Ѭౢ
Ὁᤈ௧一˔等Իᑟ̃
件的概率计算᫈
题. ښ用等Իᑟ概ی的概率计算公式计算概率
௑，关᪄௧计算តᰎ中ਫ਼有等Իᑟ的ፇ౧঴数和ਫ਼求̃
件中Իᑟ出ဘ的ፇ౧数. े
Իᑟ的ፇ
౧ॢ
多௑，᜶࠲߲̓
ˀ重复njˀ᥌໤ڡѵ出. ൥௑，࣢用ႇ树状图或Ꮸѵ表的方ข౏ࣟ
Ұੈ̓
ѵ出ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧. 
ဘࠄ生活中的ᬤ఻ဘ៶
概率的估算
Զ๘及一൦តᰎ的ᬤ
఻̃
件发生的概率
๘及ː൦（或ː൦̿
上）ត
ᰎ的ᬤ఻̃
件发生的概率
ᬤ఻̃
件发生的
Իᑟ性的ܸ
࠵
ᬤ఻̃
件的概率
概率与频率的关系
概率的计算
ѵ表
ႇ树状图
概率的定义
概率的ऄ用
A
B
D
C
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஝ߦ
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ࡃ本题Ꮻᝓ
，᜶Ύೠߕ回҂ག A ܫ，Ғː次ଗ४的ག数˨和ॹᮌ˞ 4，8 或 12. ڂ൥，
ਫ਼求̃
件中Իᑟ出ဘ的ፇ౧数ऄស等̆
：ː次ଗ४的ག数˨和˞ 4 的ፇ౧数+ ː次ଗ४的
ག数˨和˞ 8 的ፇ౧数+ ː次ଗ४的ག数˨和˞ 12 的ፇ౧数. 
ᝍὉᬤ఻ڡଗ一౦᠏
ڡکӉ的ᰥߕː次，ਫ਼有Իᑟ出ဘ的ፇ౧ݠ下：
第̄
次
第一次
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
঴С有 36 种Իᑟ的ፇ౧，ඈ种ፇ౧出ဘ的Իᑟ性ᄱՏ. 
᜶Ύೠߕ回҂ག A ܫ，ː次ଗ४的ག数˨和ॹᮌ˞ 4，8 或 12. ː次ଗ४的ག数˨和
˞ 4 的ፇ౧有 3 种：（1，3）nj（2，2）nj（3，1）Ὑː次ଗ४的ག数˨和˞ 8 的ፇ౧有 5 种：
（2，6）nj（3，5）nj（4，4）nj（5，3）nj（6，2）Ὑː次ଗ४的ག数˨和˞ 12 的ፇ౧有 1 
种：（6，6）. ਫ਼̿
，Ύೠߕ回҂ག A ܫ的Իᑟፇ౧঴С有 3 + 5 + 1 = 9（种）. ڂ൥，ೠߕ
回҂ག A ܫ的概率˞ 
9
36
 = 1
4
. 
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   A2
 
   B1
A1 
   B2
 
   C1
 
   C2
 
   A1
 
   B1
A2 
   B2
 
   C1
 
   C2
 
   A1
 
   A2
B1 
   B2
 
   C1
 
   C2
 
   A1
 
   A2
B2 
   B1
 
   C1
 
   C2
 
   A1
 
   A2
C1 
   B1
 
   B2
 
   C2
 
   A1
 
   A2
C2 
   B1
 
   B2
 
   C1
ܭ˸ᮥ
1. 概率ܸ
ጞ˞ 
250
2 000
 = 0.125. 
2.（1）
1
6
Ὑ（2）
1
6
Ὑ（3）
1
6
Ὑ
 Ą（4）
1
6
.
࠵௚的ឭข௧有᥋理的，
ᤈї ˔ 题Ц 有ᄱՏ 的概率
വی，ݠ第（2）题Զ௧࠲
第（1）题的 1，2，3，4，
5，6 ૱ੇ
ጚnjᗰnjᳬnj᳧
nj
፯njᄇО˔ӝ۫
Ꮻࣃ. ࠲ᤈʼ
题ஊښ一ᡑ，௉ښᤰ᣿多题
一ᝍ，ᝨ学生ʹ߲̓͘
௧Տ
一˔数学വی，۲Щ学生的
ચ៶概઺ᑟ力. 
3. 
1
100
. 
4. 
1
5
. 
ଢᇨ：࠲第 1 张ႇྟ
的ːᦊ
ѬѬѿᝮ˞ A1，A2，࠲第 
2 张ႇྟ
的ːᦊѬѬѿᝮ˞ 
B1，B2，࠲第3 张ႇྟ
的ː
ᦊѬѬѿᝮ˞ C1，C2，树状
图ݠ下：

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
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঴С有 30 种等Իᑟ的ፇ౧，Х中ᑟૃੇ
Ԕ౏的一ࣨ
ႇ的ፇ౧有 6 种：（A1，A2）nj（A2，
A1）nj（B1，B2）nj（B2，B1）nj（C1，C2）nj（C2，C1），ਫ਼̿
ਫ਼求的概率˞：
6
30
 = 1
5
.
5. 
1
6
. 
6.（1） 
4
25
ὙĄ（2）1
5
. 
ଢᇨ：对̆
第（1）题，С有 25 种等Իᑟ的ፇ౧， Х中ᑟᦡੇ
ጌᓤ的ፇ౧有 4 种Ὑ
对̆
第（2）题，С有 20 种等Իᑟ的ፇ౧，Х中ᑟᦡੇ
ጌᓤ的ፇ౧有 4 种. 
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7. ࠵ј的ឭข௧正确的. 
8.（1）ឭขˀ正确. ڂ˞ᤥ数
字6和ᤥХ̵
数字中ݒ
的Իᑟ性ᄱՏ.
（2）ឭขˀ正确. 数字5出ဘ
的Իᑟ性和Х̵
数字出
ဘ的Իᑟ性一ನ.
9. ࠵௚的ឭขˀ正确. ڂ˞ଗː
౦کӉ的ᰥߕ，С有36种等
Իᑟ的ፇ౧，ଗ४ː˔ག数6
的ፇ౧Զ有一种ৱц，஌概
率˞ 
1
36
.
10. 
2
7
.
11.（1）࠵௚ᖍᑈ的概率˞ 
13
25
，࠵̝
ᖍᑈ的概率˞ 
12
25
，຤੆ˀ公ࣱ
Ὑ
  （2）࠵௚ᖍᑈ的概率˞ 
13
25
，࠵̝
ᖍᑈ的概率˞ 
12
25
，຤੆˷ˀ公ࣱ
. 

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஝ߦ
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12. ѵ表：
ᳬ 1
ᳬ 2
ᳬ 3
ᳬ 4
ᳬ 5
ᳬ 6
ᄇ 1
ᄇ 2
ᳬ 1
ᳬ 2
ᳬ 3
ᳬ 4
ᳬ 5
ᳬ 6
ᄇ 1
ᄇ 2
ᒭࣂ܍表，ਫ਼有Իᑟ的ፇ౧˞ 56 种，ᔪˀѬࢻԿ，ᑟᦡੇ
一ԥ的有 32 种，ਫ਼̿
概率 
P =
32
56
=
4
7
ὙᔪѬࢻԿ，ᑟᦡੇ
一ԥ的有 20 种，ਫ਼̿
 P =
5
14
.
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13. 本题̩
᜶求有Уᡚ的学生ᤰ
᣿Цʹតᰎᖍ४ፇ᝷，ត
ᰎ௑᜶ฌਓᬤਓઋଗ. ̃
ࠄ
上，本题˷Ի计算出Х理᝷
概率. ݠ图，े
ਫ਼ઋ圆ᇇ的
圆心ښ图中᫻ॖ
ᦊѬ௑，圆
ᇇ࠲与ڡᆒᫎ
的ᫎ
ᬩᄱ̔
，
ڂ൥ਫ਼求概率等̆
一ڱ正方
形ڡᆒЯ的᫻ॖ
ᦊѬ和ស正
方形的面积උ，ፇ౧˞ 
7
16
. 
40 c m
40 c m
14. （1）
1
8
Ὑ（2）树状图. 
15. ଗː౦᠏
ڡکӉ的ᰥߕ，ଗ४的ག数和˞ 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 的概率Ѭ
ѿ˞ 0，
1
36
，
2
36
，
3
36
，
4
36
，
5
36
，
6
36
，
5
36
，
4
36
，
3
36
，
2
36
，
1
36
，ڂ൥理᝷上，ښ 1，2，3，
4，5，6，7，8，9，10，11，12 号ᄤߕ中Ѭѿஊ 0，1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1 ˔ု
௧తݞ的ஊข. े
ཀྵ，学生˷Ի̿
ᤰ᣿വલតᰎ౏ʹ͘
ᤈ一ག. 

ኄОቦ ࠫ
ഐဋᄊᤉʷ൦ᝣគ
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123
஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै
 ЧیವΓកౢ
ၹᮠဋͥ
ᝠഐဋ὆ኄ  ិ
௑὇
᝺ᝠ὘山东ᄵ᭟ࡴ࣊
ኄ̄
ࠄᰎѺጟ˗学 ᗆᲳᔄ
កౢ
὘山东ᄵ᭟ࡴ࣊࣊
Ӓӝ教育ᆑቃԧ࡙
˗ॷ ᬈ প
ʷnjߦৱѬౢ
学生的ᅼគ੿ᑟ۳ᆩ：ښʹ年级学生ࣃፃ初൦ᝣគ̀
频率与概率˨ᫎ
的关系，ࣳ
ଂଧ̀
求እӭ的ᬤ఻̃
件概率的一ዝ方ข. ښ本ቦ第 1 ᓬ，学生ԡᤉ一൦学习̀
求๘及ː൦តᰎ
ᬤ఻̃
件概率的方ข——ႇ树状图和ѵ表，学生对频率与概率的理ᝍᬤᅌ数学活动ፃᰎ的
ˀல积ግࣃᤪ൦४҂发࡙
，߹ЛЦܬᤉ一൦学习ᣗ˞复ా
ᬤ఻̃
件的ᑟ力和ᅼគ۳ᆩ. 
学生的活动ፃᰎ۳ᆩ：ښ˨Ғ的学习中，学生ࣃፃፃԋ̀
一̏
统计活动，用频率估计
እӭ̃
件的概率，ښᤈ一᣿ሮ中ᖍ४̀
本ᓬ课ਫ਼ᭊ᜶的一̏
数学活动ፃᰎ. Տ௑，̵̓
˷积
ግ̀
一定的合ͻ学习ፃᰎ，Цܬ̀
一定的合ͻ̔ื
ᑟ力. ̄
nj͊
务Ѭౢ
本ᓬ课௧ᝨ学生ፃԋតᰎnj统计等活动᣿ሮ，ᤉ一൦˘ࠝ
活动ፃᰎ，ࣳ
ງ҉ʹ͘
统计
与概率的ᐏ系. 本ᓬ课的Цʹ学习͊
务：估计 50 ̡
中有 2 ˔̡
生ெᄱՏ的概率，用តᰎ频
率౏估计复ా̃
件发生的概率. 
ʼnj教ߦ目ಖ
1. ፃԋតᰎnj统计等活动᣿ሮ，积ግ活动ፃᰎ，ʹ͘
概率与统计的关系，ᤉ一൦发࡙
合ͻ̔ื
的ਓគ和ᑟ力. 
2. ᤉ一൦ᝣគ频率与概率的关系，ҫງ对概率的理ᝍὙᑟ用តᰎ的方ข估计一̏
ᬤ఻̃
件发生的概率. 
3. ᤰ᣿有ᡚ的生ெ᫈
题的តᰎnj统计，ଢᰴ学习Уᡚ，形ੇ
ˑ៟的科学গए. 
پnj教ߦ᧘njᬲག
本ᓬ课的重ག௧用តᰎ的方ข估计一̏
复ా
ᬤ఻̃
件发生的概率. 
本ᓬ课的ᬲག௧តᰎ方ವ的᝺计. ̋
nj教ߦ᣿ሮ
ǘ第一ဗᓬǙិ
ҒюܬἻஆᬷ
数૶ἷଢҒ࣋
ᎶἸ
1. Яࠔ
（1）̿
࠵ጸ˞ӭ位，ඈጸូ
ಊ 50 ˔ˀՏ̡
的生ெ，ႀጸ长Ѭࢺ. 
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஝ߦ
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ᬔ̀ូ
ಊᒭࣂ周ڊ的̡
，ඈ˔࠵ጸԻ̿
ಪ据ᒭࣂጸЯՏ学的Уᡚྖ
ݞ，ូ
ಊᦊѬˀ
Տᮗ۫
njˀՏ年ᴔ඀njˀՏ国ዚ的Ր̡
. Γݠ，第一ጸ的 50 ˔数据中，有 10 ˔౏ᒭʹ育
Ր̡
，Ի֑
Ր˞þʹ育ጸÿὙ第̄
ጸ的 50 ˔数据中，有 10 ˔౏ᒭᓨషࠒ，֑
Ր˞þᓨష
ጸÿὙ第ʼጸ的 50 ˔数据中，有 8 ˔౏ᒭ஋෵Ր̡
，֑
Ր˞þ஋෵Ր̡
ጸÿὙݠ൥等等. 
（2）ඈጸጸ长᠇᠊ල঴njᝮै
本ጸ数据，数学课̽
表̿
方ΧଢԩΎ用˞Ԕѷ对Лိ
的
数据ᤉ行统计. 
（3）̿
࠵ጸ˞ӭ位，课Ғ初൦ᝧ᝷对þ50 ˔̡
中，ࡃॢ
Իᑟ有 2 ˔̡
的生ெᄱՏÿᤈ
一ឭข的ᄺข. 
2. ᄬ的
ஆ集数据，˞本ᓬ课的学习ଢΙጉె
. ᝨ学生ូ
ಊˀՏᮗ۫
njˀՏ年ᴔ඀njˀՏ国ዚ
的Ր̡
的生ெ，௅Ի̿
۲Щ学生ᓢݞ的价ϙ᜺，Տ௑ښ௑ቇቈᡕ中，࠲ᒭࣂ的生ெ与Ր̡
的උᣗ，ԡԻ̿
ܙҫ本课的ᡚ֊性，ॹᑟౝܸ
ڡូ
动Лʹ学生的参与བྷৱ. 对̆᫈
题（2）
（3），Ի̿
թ发学生思考：টನϢԻ̿
Ύ数据的统计更有஍率Ὕ统计ፇ౧更Χ̆
Ύ用Ὕ̿
൥ቊ出课۶教学的重ག，切ࠄଢᰴ课۶஍率. 
3. ᮕర
ښ课۶中ᤂ用ູ̆
学生ࠄᬅូ
ಊ的ᄾࠄ数据࡙
开教学，ॹ࠲ౝܸ
ڡ༏发学生学习数学
的Уᡚ，ូ
动̵̓
学习的积ౝ性与˟动性. 学生课ܱ
ஆ集的数据有Իᑟ౏ᒭᄱՏ的̡
，ڂ൥ូ
ಊ௑ऄ᜶求и上ᜂូ
ಊ̡
的ށՐ，᫹ൣ
重复. 教师ᤇऄ关ฌ学生ូ
ಊ数据౏ູ
的ࣹ
ฅ性，
ݠ学生͘ូ
ಊ周ڊ的̞
Ԥ，或Ꮸښ马路nj׸ڤ等ˀՏڤਫ਼ូ
ಊ，或Ꮸᤂ用Ꭺፏ੿ష，˷ˀ
ଆᬔ有的学生͘
ᒭࣂᬤਓи一˔生ெ. 课上ឰጸ长࡙
ᇨ数据的Տ௑，᜶求ឭ௚数据的౏ູ
ৱц，൥௑教师ऄፌ́
正面Цʹក价，ݠþͿ的数据౏ູॢ
˘ࠝ
ÿþͿᑟЍѬѾ用ηৌ੿
షÿ，ၵᒰþͿᬤਓи的一˔生ெឭ௚Ϳਓគ҂生ெ的ᬤ఻性ÿ等. 
ǘ第̄
ဗᓬǙଢ出᫈
题Ἳ认ᅼфቊ
1. Яࠔ
教师ଢ出᫈
题˙：
（1）400 ˔̡
中，一定有生ெᄱՏ（Ի̿
ˀՏ年）的̡
ՙὝ
（2）300˔̡
中，一定有生ெᄱՏ（Ի̿
ˀՏ年）的̡
ՙὝ
（3）有̡
ឭ：þ50 ˔̡
中，ࡃॢ
Իᑟ有2˔̡
的生ெᄱՏ. ÿͿՏਓᤈ种ឭขՙὝ
2. ᄬ的
生ெ᫈
题ጋጋ᠛ᤃ学生生活，᣾ᤴծळ学生的ฌਓ力，ౝܸ
ڡូ
动̀
学生的积ౝ性和
参与ਓគ. ᫈
题（3）的ଢ出与学生的直ᝀ形ੇू
ཊᝣᅼфቊ，༏发学生ଊቃ的൘మ. 
3. ᮕర
对̆᫈
题（1），学生͘
ᐰ定ڡ回ንþ一定ߛښÿ. ᑟ力උᣗू
的学生͘
用þચࡒԔ
理ÿҫ̿
ᝍ᧖. Γݠ，有的学生͘
ፌ出ݠ下的ᝍ᧖：þ一年త多 366 ܹ
，400 ˔̡
中一定͘
出
ဘᒰ࠶ 2 ˔̡
出生ښՏ一ܹ
，ᄱे̆
 400 ˔ྭֶ
ஊ҂ 366 ˔ચࡒ᧗，一定ᒰ࠶有 2 ˔ྭֶ
ஊ
ښՏ一ચࡒ᧗. ચࡒԔ理：ં
 m ˔ྭֶ͊
ਓஊᤉ n ˔ቇચࡒ᧗（m὜n），ᥧ˦一定有一˔ચ
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ࡒ中ஊᤉ̀
ᒰ࠶ 2 ˔ྭֶ
. ÿ对̆
ᑟ用þચࡒԔ理ÿᝍ᧖的学生，教师ऄፌ́
ЍѬ的表ੴ. 
对̆᫈
题（2），学生͘
ፌ出þˀ一定ÿ的ንವ，൥௑学生ћ直ᝀ͘
ல定Իᑟ性ᣗܸ
. 
对̆᫈
题（3），学生ћ直ᝀ͘
ᝣ˞þˀܺ
Իᑟÿ，与᫈
题中的᜺ག形ੇू
ཊ的Ԧࣀ. 
ႀ̆
学生ˀ理ᝍᤈ一̃
件的ਓ义，ڂ൥͘
出ဘː种思፥的Ϡࣀ：① ݠ౧有 2 ˔̡
ښ 1 月 1 
ெ出生，3 ˔̡
ښ 1 月 2 ெ出生，ᥧ˦有的学生͘
ᝣ˞̃
件的概率˞ 
5
366
 或Ꮸ 
5
50
ὙŁ ᤇ
有学生͘
ᝣ˞̃
件的概率˞ 
50
366
. 对̆
᜺ག ①，教师ऄ௚确þ50 ˔̡
中，有 2 ˔̡
的生ெ
ᄱՏÿᤈ一̃
件，重གښþ生ெ௧աᄱՏÿ，Ꮻˀښþ有多࠶̡
生ெᄱՏÿὙᒰ̆ે
᜺ག 
Ł 的学生，Х໸ਓគ中ឨᝣ˞ਫ਼有Իᑟ的ፇ౧௧ 366 种，Ꮻ生ெᄱՏ的ፇ౧௧ 50 种. ۳̆
课ҒጸЯ的初൦̔ื
与ᝧ᝷，൥௑教师ˀ᜶ফ̆
ա定学生中的ᩲឨ᜺ག，Ꮻऄፌ́
Х̵
学
生表᣺ᒭࣂᄺข的఻͘
，ᝨ学生ښ᠏
Ⴁ与ᣳ᝷中ҫງ对ᤈ一̃
件的理ᝍ. ݠ౧෥有学生᠏
Ⴁ，教师ऄᤝ᫈
：þᤈ一᫈
题中，ඈ˔̡
的生ெ有多࠶种等Իᑟ的ፇ౧Ὕ50 ˔̡
的生ெС
有多࠶种等Իᑟፇ౧Ὕ௧ 366 种ՙὝÿᤰ᣿教师的གસ与ळ࠮，ጘ正学生对ᤈ一̃
件理ᝍ
上的Ϡࣀ，初൦ਖৢ
ᤈ一̃
件的复ా
性，ښ学生ڈᮐ与ᤚᕈ中，ᮋҹळ出下一ဗᓬ. 
ǘ第ʼဗᓬǙ̔ื
ᇌୣ
Ἳ௚ᆸவข
1. Яࠔ
þ50 ˔̡
中，有2 ˔̡
的生ெᄱՏÿ的Իᑟ性ܸ
ՙὝটನឭ௚Ϳ的᜺ག௧ա正确Ὕ与
Տͧ̔ื
. 
2. ᄬ的
ᤰ᣿Ғ面ဗᓬ的ᩔۙ
，ښ൥̿
开ஊ性的᫈
题Ψᤉ学生的ᤉ一൦思考，ښ̔ื
与ᇌୣ
中，ඵ҂ນੇ
ڡΎ学生ਖৢ
҂þ用តᰎ的方ข估计ᤈ一复ా
ᬤ఻̃
件的概率ÿ的ॹ᜶性. 
3. ᮕర
学生ښ̔ื
中，͘
回顾ਫ਼学᣿的求概率的方ข，出ဘː种Իᑟৱц：（1）有的学生͘
ត图用ႇ树状图或Ꮸѵ表的方式求概率的理᝷ϙ，ͮॢ
ঌΧਖԪ҂Х复ా
性Ꮻጼൣ
࠽ត. 
（2）ᤇ有的学生͘
Џ̰
ᢶ边࠭
੽᝽据：ᒭࣂࠒ̡
中௧ա有生ெᄱՏ的Ὕᒭࣂဘښਫ਼ښိ
级
中௧ա有生ெᄱՏ的Ὕᒭࣂ࠵学ਫ਼ښိ
级中௧ա有生ெᄱՏ的Ὕ教师ऄፌ́
学生Ѝᡜ的௑ᫎ
ᤉ行̔ื
和࡙
ᇨ. 对̆
ᤈː种ˀՏ的思路，教师ᦐऄፌ́
积ౝ的ळ࠮性ក价. Γݠ，þː
ዝՏ学ᦐᑟ积ౝ思考，ᐏ系̿
Ғ的ᅼគ，第一ዝՏ学࿘Цਦᅋ发ဘ̀
ᤈ一̃
件的本᠏
௧等
Իᑟ̃
件，第̄
ዝՏ学ᝣគ҂概率与统计˨ᫎ
的关系ÿ. ښ൥۳ᆩ上，教师ᤇऄፙ፞
ᤝ᫈
：
ᤰ᣿对ࠒ̡
和࠵学Տ学的ូ
ಊ，Ϳᑟႀ൥确定þ50˔̡
中有2˔̡
生ெᄱՏÿ的概率ՙὝݠ
͵४҂ᣗ˞ю确的ፇ᝷Ὕښ教师的ळ࠮下，学生ᮋ理ੇ
ቦڡਇ҂ᭊ᜶ᤰ᣿ܸ
᧚重复តᰎ，
用频率౏估计þ50 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ெᄱՏÿ的概率，ᮋѾᤉК下一ဗᓬ. 
ǘ第پဗᓬǙ合作̔ื
Ἳ᝺ᝠவವ
1. Яࠔ
ឰͿ࠽ត᝺计តᰎ方ವ，估计þ50 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ெᄱՏÿ的概率，ࣳ
与Տͧ̔ื
. 
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2. ᄬ的
ᤰ᣿᝺计方ವ，࠲上一ဗᓬ的ᝧ᝷ᤉ一൦ງ化，ҫງ学生对用តᰎ频率估计þ50 ˔̡
中有2˔̡
生ெᄱՏÿ的概率的理ᝍ. 
3. ᮕర
ښᤈ一ဗᓬ中，教师᜶ᴂҵ学生ᤉ行᝺计和表᣺，ښ̔ื
与ᝧ᝷中߹ؓ
តᰎ方ವ. ۳̆
课Ғ学生的ូ
ಊnjᝧ᝷和̔ื
，̿
及Ғї˔ဗᓬ的学习，学生ࣃፃ理ᝍ̀
ᤈ一̃
件的本᠏
，តᰎ方ವ˷ࣃ形ੇ
，表ဘ的௑҉ጼ̆
҂౏，ڂ൥学生积ౝ性͘ॢ
ᰴ. 教师᜶ळ࠮学生Ԧ
思ඈ种方ವ的ฌਓ̃
ᮊ及Х͖
Ү，ҫງ学生对᝺计方ವ的理ᝍ，ቊᆡᬲག. 
学生Իᑟଢ出̿
下᝺计方ವ（学生࡙
ᇨᒭࣂ᝺计的方ವ௑，े
ԁ୲ͻ一ጸតᰎ，௅Ի̿
发ဘ᫈
题，ԡԻ̿
ਖԪ方ข的͖
Ү）：
方ವ一：ښိ
级课۶᧗࡙
开ဘڤូ
ಊ，ଢ᫈
࠵学ˀښՏ一˔ိ
级的Տ学，ᄺ̵
࠵学ਫ਼
ښ的ိ
级中௧ա有生ெᄱՏ的Տ学，̵
ࠒ᧗̞
Ԥ௧ա有生ெᄱՏ的̡
. （͖
ག：Χ̆
୲ͻὙ
Ꭵག：有的学生ˀᅼ᥋࠵学Տ学的生ெ）
方ವ̄
：ូ
ಊЛಣՊ˔ိ
级（或ᏨԋࡓՊ˔ိ
级）௧ա有生ெᄱՏ的ৱц，ࣳ
ᝮै
. 
（教师ऄښ课ҒюܬЛಣՊ˔ိ
级及ԋࡓՊ˔ိ
级的数据，ଢᰴ课۶஍率，ҫܸ
តᰎ
数据，ଢᰴю确ए）
方ವʼ：̰
50 ˔Տ学੤᧗ᬤ఻ચԩ一˔ូ
ಊ数据，ጸੇ
50 ˔数据. 
方ವ四：Лိ
Ѭੇ
10 ˔࠵ጸ，ં
ඈ˔࠵ጸ的ូ
ಊ数据ஊښ一ᡑ，੪˽次ऀ
，ᬤ఻ચԩ
5 ˔，ཀྵՑ10 ˔࠵ጸ的ፇ౧ஊښ一ᡑጸੇ
50 ˔数据. 
方ವ五：࠲ඈ˔Տ学ូ
ಊ的生ெᬤ఻ଆѵੇ
一数᫼，ཀྵՑો౽一᜻ѷ̰
中ᤥԩ50 ˔数据
ᤉ行តᰎ（ݠଆੇ
25×20 的数᫼，̰
౽行౽ѵ开ݽ，ᒭࢻᏫԿnjᒭ上Ꮻ下，ᤥ出50˔数）. 
方ವО：ં
Лိ
ඈ˔Տ学ਫ਼ូ
ಊ的数据иښ纸条上，ஊښኸߕ᧗ᬤ఻ચԩ. 
方ವʹ：࠲ඈ˔Տ学ូ
ಊ的10 ˔生ெѬѿиښ10 张纸条上，ஊښኸߕ᧗ᬤ఻ચԩ. 
方ವМ：ં
一年366 ܹ
用366 ˔数字̽
ణ，иښ366 张纸条上，ஊښኸߕ᧗ᬤ఻ચԩ. 
方ವ九：ඈ˔Տ学ᬤਓи一˔生ெ. 
方ವʼᒰ方ವʹک௧ЍѬѾ用学生的ូ
ಊ数据，学生的理ᝍᬤᅌˀՏ方ವ᝺计的࡙
ᇨ
Ꮻᤪຒҫງ，ݠ用频率估计概率ᭊ᜶ښܸ
᧚តᰎ的ৱц下，ਫ਼̿
ᭊ᜶ᣗ多数据. ࡙
ᇨ方ವ̄
௑，学生Իᑟ͘
ᝣ˞ᜂᤥ᣿的Տ学੤中的数据ښ下一ጸតᰎ中ˀᑟгᜂᤥ用，ᤈನ数据ࡃ͘ॢ
有限. ൥௑，教师᜶ळ࠮学生ЍѬ表᣺ᒭࣂ的᜹ᝍ. ˀଆᬔᬤᅌՊ种ˀՏ方ವ的࡙
ᇨ与̔ื
，学生˷Իᑟ͘
ਇ҂方ವМ和方ವ九. ݠ౧有学生ଢ出̀
ᤈː种方ವ，ᥧ˦教师ऄፌ́
࠮Ք性ក价，ݠþ思፥ॢ
ງ҉，发ဘ̀
ᤈ一̃
件的本᠏
，୲ͻእӭÿ等Ὑݠ౧෥有学生ଢ
出ᤈː种方ವ，ᥧ˦教师Ի̿
ښ下一ဗᓬፙ፞
ळ࠮学生思考. 
ǘ第五ဗᓬǙѬጸ合作Ἳፒᝠ数૶
1. Яࠔ
（1）ඈ˔ጸ长҂ᝯԼ上࡙
ᇨᒭࣂ࠵ጸូ
ಊ的数据，ᝮै
Х中有௄2 ˔̡
的生ெᄱՏ，
有ѷᝮ˞þ1ÿ，௄ѷᝮ˞þ0ÿὙඈ统计50 ˔ᜂូ
ಊ̡
的生ெ˞一次តᰎ，重复多次តᰎ. 
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஝ߦ
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（2）教师࡙
ᇨଢҒ统计的本ಣԋࡓՊ˔ိ
级的学生生ெ的ηৌ. 
（3）统计តᰎ的঴次数 m，及ᝮ˞þ1ÿ的次数 n，据൥估计þ50 ˔̡
中有 2 ˔̡
生
ெᄱՏÿ的概率. 
（4）Ϳᤇ有Х̵
උᣗእΧ的方ข౏估计þ50 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ெᄱՏÿ的概率ՙ?
2. ᄬ的
ፌ࠵ጸୄ
थ࡙
ᇨ的ࣱ
Լ，࡙
ဘ学生ˀՏ的ᝮै
方式，ښ对උ中ଢӤ统计的ඵࣱ
和࠵ጸ
合ͻ的ඵࣱ
. ᤰ᣿Цʹஆ集数据njតᰎnj统计ፇ౧等᣿ሮ，˘ࠝ
学生的数学活动ፃᰎ，Ύ学
生对用频率估计概率ᤈ一方ข有更直᜺的ਖᅼ，ҫງ对概率的理ᝍ. Տ௑Ύ学生ਖԪ҂生ெ
ᄱՏ的概率උਇ៶的᜶ܸ
४多. ᫈
题（4）௉ښळ࠮学生ᤉ一൦思考更ҫእΧ的୲ͻ方ข，
ຖᤩവલតᰎ的ਇข. 
3. ᮕర
有̀
Ғ面的ᩔۙ
，本ဗᓬ的教学ᄱ对උᣗᮋѾ，学生的参与བྷৱᰴ๩. 对̆
࠵ጸ࡙
ᇨ的
ˀՏᝮै
数据的方式，学生͘
ᒭᝀڡښ对උ中Ѽல͖
Ү，໸ረᳮ化ڡଢӤᒭࣂ的统计ඵࣱ
. 
Տ௑，教师ڊፉ教学重ག᧫对ˀՏৱцթ发学生СՏਇҩขଢᰴ஍率. උݠ，˞̀
ᓬጞ௑ᫎ
，生ெ表ᇨ方式እ化ੇ
四位数（ݠþ0217ÿ），࠲ᄱՏ月份иښՏ一行或Տ一ѵὙ课̽
表Ի̿ં
数据ଢҒ统计ښ E X C E L 表中. 教师ऄᤠ
௑ក价学生的参与ሮएnj与Տ学合ͻ̔ื
的ৱцnj对概率的理ᝍ௧աЛ面等，ࣳ
对活动᣿ሮ中学生的思፥方式ᤉ行及௑ૉ࠮. 
教师ଢҒ统计本ಣԋࡓՊ˔ိ
级学生的生ெηৌ，ᤰ᣿ᄾࠄ数据，Ύ学生有更ҫ直᜺
的ਖᅼ，Տ௑˷Ի̿
ܙҫតᰎ的次数，ଢᰴ课۶஍率. ᬤᅌតᰎ次数的ܙҫ，学生ू
ཊਖԪ
҂តᰎፇ౧与Ԕ౏ਇ៶的ࢽܸ
Ԧࣀ. 教师˷Ի࠲តᰎ数据ᣥК E X C E L 表格，ᣁ化ੇ
频率折
线统计图，࡙
ᇨ频率的ܸ
࠵ᬤតᰎ次数的ܙҫᏫ变化的ৱц，发ဘ频率的ሷ定性，Տ௑估
算出概率. 
对̆᫈
题（4），有̀
Ғ面的ࡏࡏᩔۙ
，学生Իᑟ͘
ਇ҂ዝͫ
上一ဗᓬ中的方ವМ或Ꮸ
方ವ九. 教师ऄЍѬᐰ定学生的വیਓគ，ં
ࠄᬅូ
ಊᣁ化ੇ̀
വલតᰎ. 对ᤈ˔᫈
题的思
考˷˞下一ဗᓬ̰
生活中发ဘ᫈
题ᤉ行̀
方ข上的ᩔۙ
. 
ǘ第六ဗᓬǙவขଢངἻԫरଊ究
1. Яࠔ
（1）Տ学̓
᝺计的តᰎ方ವԻ̿
Ѭ˞їዝὝ˞̤
˦ὝេេͿ的ᄺข. 
（2）ښ˨Ғ的概率学习中，用᣿ዝͫ
的方ขՙὝ
（3）ឰͿ᝺计一˔方ವ，估计 6 ˔̡
中有 2 ˔̡
௡ऐᄱՏ的概率. 
2. ᄬ的
ᤈ一ဗᓬᡑ҂੾上թ下的ͻ用. ᫈
题（1）和᫈
题（2）ᤪ൦ळ࠮学生ਖৢ
വی思ਇ. ᫈
题（3）࠲生ெ᫈
题ణ૱ੇ
௡ऐ᫈
题，௅Ի̿
ࢾڍ对方ವ᝺计的ᝣគ和理ᝍ，ԡᑟງ҉ʹ͘
方ข的᣻ረ，˞下一ဗᓬϢݞᩔۙ
. 
3. ᮕర
对̆᫈
题（1），学生ᑟᣗ˞ᮋѾڡ࠲᝺计的方ವѬੇ
ːܸ
ዝ：一ዝ௧ᄾࠄូ
ಊ，一ዝ
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128
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
௧വલតᰎ. 
对̆᫈
题（2），学生ऄᑟᐏਇ҂ଗᰥߕnjᣁᣁᄨnjୗု
njୗ纸ྡ
等຤੆，ᝣគᤈ̏
຤
੆的СՏ˨ܫ. 
对̆᫈
题（3），教师ऄᴂҵ学生һ̆
表᣺，ݠ有ˀ߹ؓ
˨ܫ，ˀऄফ̆
շᅼንವ，Ꮻ
ऄឰХ̵
Տ学ᛪЍ߹ؓ
. 
ǘ第ʹဗᓬǙவข᣻ረἻ类උऄ用
1. Яࠔ
（1）一˔԰᛻中有 3 ˔ጚု
nj7 ˔ᄇု
，ᤈ̏ု
ᬔᮨ
ᓤܱ
ᦐᄱՏ. ̰
԰᛻中ᬤ఻ୗ出一
˔ု
，ᤈ˔ု
௧ጚု
的概率௧多࠶Ὕ
（2）࠲᫈
题（1）԰᛻中的ု
ଵતکӉ，̰
中ᬤ఻ୗ出一˔ု
，ᝮ下ᮨ
ᓤࣳ
ஊ回. ˀல
重复ᤈ一᣿ሮ，Сୗ̀
 100 次ု
，ܸ
ጞ͘
有多࠶次௧ጚု
Ὕ多࠶次௧ᄇု
Ὕ
（3）Ꮵ师有一˔ˀᤩ௚的ᄤߕ，ᄤ中有ጚု
njᄇု
С 10 ˔，ᤈ̏ု
ᬔᮨ
ᓤܱ
ᦐᄱՏ. 
ݠ౧ˀ࠲ု
ψ出౏数，ݠ͵估计Х中ጚု
和ᄇု
的උΓքὝឰͿࣟ
ҰᏥ师᝺计一˔方ವ. 
（4）Ϳᤇᑟଢ出ࣳ
ᝍх哪̏
与᫈
题（3）ዝͫ
的᫈
题Ὕ与Տͧ̔ื
. 
2. ᄬ的
ᤈ一ဗᓬ࠲复ా
的生ெ᫈
题૱ੇ
一˔እӭ的ୗု
តᰎ，նဘ 4 ˔ˀՏ೙ए的᫈
题，ᤪ
ࡏ᤬ᤉ. ᫈
题（1）和᫈
题（2）ळ࠮学生г次ʹ͘
概率与频率˨ᫎ
的关系，ᤉ一൦ਖԪ统计
଎ல的合理性. ᫈
题（3）ᤰ᣿þୗု
តᰎÿ与þ生ெᄱՏ的តᰎÿዝඋ，ʹ͘
ːᏨ˨ᫎ
方
ข的ᐏ系，ऄ用频率与概率的关系求ᝍඋΓ或Ꮸ数᧚᫈
题，۲Щ学生ᅼគ和方ข的᣻ረᑟ
力. ᫈
题（4）ळ࠮学生࠲൥ዝ方ขᤉ行णͩ
，ᤉ一൦发࡙
学生发ဘ᫈
题njଢ出᫈
题的ਓគ
和ᑟ力，̿
及用统计概率ᝍх᫈
题的ᑟ力. 
3. ᮕర
对̆᫈
题（1）和᫈
题（2），学生ᑟᮋѾ४出正确ፇ᝷，̰
Ꮻ˞᫈
题（3）的ᝍхੳຍ
ᬪᆾ，ݖ定۳ᆩ. ݠ有௑ᫎ
，᫈
题（2）ऄᝨ学生े
۶តᰎᰎ᝽，ښតᰎ中ᤉ一൦ʹᰎ统计
଎ல的合理性. 对̆᫈
题（3），学生͘
用字ඇ表ᇨඋΓ，Տ௑ԪҒ面ဗᓬ的ॖ
־，学生͘
ᒭཀྵᏫཀྵڡਇ҂用统计的方ข估计ጚု
和ᄇု
的උΓ. 对̆᫈
题（4），学生一ᓊᑟਇ҂Ի̿
估计数᧚. උݠ，一˔԰᛻中有 8 ˔ጚု
和ᔪࣰ
˔ᄇု
，ݠ౧ˀ࠲ု
ψ出౏数，ᥧ˦Ϳᑟ
估计出Х中的ᄇု
数ՙὝԡݠ，ݠ౧԰᛻中Զ有ᔪࣰ
˔ᄇု
，෥有Х̵ᮨ
ᓤ的ု
，Ꮻ˅ˀ
࠲ု
ψ出౏数，ᥧ˦Ϳݠ͵估计出Х中的ᄇု
数Ὕ……ݠ౧学生Ꭵˬ思路，教师Իᤠे
ᤉ
行གસ. 
ǘ第МဗᓬǙॆ
ጪ࠵ፇἻন፥ӤӨ
1. Яࠔ
师生СՏ঴ፇ本ᓬЯࠔ：
（1）ឰ̰
ᅼគnj方ข角एេេͿ的ஆᖍ. 
（2）Ϳ的ڈ৵௧̤
˦ὝͿᤇਇፙ፞
ᆑቃ̤
˦᫈
题Ὕ
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
（3）哪位Տ学的表ဘϙ४Ϳ学习或ᝨͿ৳؞Ὕ
2. ᄬ的ࣟ
Ұ学生Щੇॆ
ጪ঴ፇ的ᓢݞ习ਅ，۲ЩԦ思ਓគ，ښॆ
ጪ঴ፇ中ҫງ对ᅼគ和方ข
的理ᝍ与ਖৢ
. ᫈
题（2）ፌ学有͸力的学生ୄ
थࣱ
Լ，༏发学生ፙ፞
思考，ܸ
ᐿଊጊ. ᫈
题
（3）ᴂҵ学生ؓ̆
学习̵̡
的͖
ག，һ̆
表᣺ᒭࣂ的᜺ག. 
3. ᮕర
学生̰
ᅼគnj方ขnj学习ֶ᠏
等ˀՏ角एႊេᒭࣂ的ஆᖍ和ਖਇ. 
对̆᫈
题（1），学生͘
঴ፇݠ下：① 本ᓬ课ፃԋ̀
࿯ਇnjូ
ಊnjតᰎnj统计ፇ౧nj
合ͻ̔ื
的᣿ሮ，ᅼ᥋̀
用ܸ
᧚重复តᰎ的频率౏估计一̏
复ా
ᬤ఻̃
件的概率. Ł े
ត
ᰎ次数ᣗ多௑，តᰎ频率ሷ定̆
理᝷概率. ł ᅼ᥋̀
þ直ᝀࣳ
ˀԻ᭥ÿ，本ᓬþ50 ̡
中有
2 ̡
生ெᄱՏÿ的概率ብᰴ᣺ 0.97，ᤈ有ᤋੈ̓
的þ࣢គÿ. Ń 生活中有ॢ
多ᄺͫ
ࢼ合ࠄѷࣱ
ј的ဘ៶，ݠ౧ੈ̓
用科学的方ขᆑቃ一下Х概率，ࡃ͘
þᤩ᣿ဘ៶ᄺ҂本᠏
ÿ. 
对̆᫈
题（2），ᦊѬ学有͸力的学生͘
ፙ፞
ᆑቃവલតᰎ，或ᏨþϜݠˀᅼ᥋঴᧚，
ݠ͵用តᰎ的方ข估计঴᧚Ὕÿ. 对̆
学生的表ဘ，教师ऄ̰
ˀՏ角ए́̿
Цʹ的ळ࠮性ក价. 
ǘ第˵ဗᓬǙ࣋
Ꮆ作ˊἻិ
Ցࢾڍ
1. 教科书习题. 
*2. Ꮵ师有一˔ˀᤩ௚的ᄤߕ，ᄤ中有一̏ု
，ᤈ̏ု
ᬔᮨ
ᓤܱ
ᦐᄱՏ. ݠ౧ˀ࠲ု
ψ
出౏数，ݠ͵估计ᄤߕ中ု
的˔数ὝឰͿࣟ
ҰᏥ师᝺计一˔方ವ. （长ర）
**3. и一ኽ有关生ெᄱՏ概率的࠵஡ቦ，េេͿ的ʹ͘
和发ဘ. （长ర）
**4. Ѿ用树状图求 6 ˔̡
中有ː˔̡
生ᐟᄱՏ的概率. （长ర）
ǘ第ӡဗᓬǙិ
Ցଊ究Ἳ઩࡙
णͩ
本ဗᓬ对学生的思፥᜶求ᣗᰴ，̩
ΙᦊѬ学有͸力的学生᫞឴
，ࣳ
᭤对Лʹ学生的᜶求. 
1. Яࠔ
（1）求 6 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ᐟᄱՏ的概率. 
Џ求出þ6 ˔̡
生ᐟᦐˀᄱՏÿ的概率 P（A）：᜶Ύ 6 ˔̡
的生ᐟᦐˀᄱՏ，ѷ第一
˔̡
的生ᐟ有 12 种Իᑟ，第̄
˔̡
的生ᐟ有 11 种Իᑟ……第О˔̡
的生ᐟ有 7 种Իᑟ. 
P（A）= 
12×11×10×9×8×7
12×12×12×12×12×12
ĵ0.22. 
ڂ൥，þ6 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ᐟᄱՏÿ的概率˞：P = 1-P（A）§ 1- 0.22 = 0.78. 
（2）求 60 ˔̡
中有 2 ˔̡
生ெᄱՏ的概率（一年ો 365 ܹ
计算）. 
Џ求出þ60 ˔̡
中生ெᦐˀᄱՏÿ的概率P（A）：᜶Ύ 60 ˔̡
的生ெᦐˀᄱՏ，ѷ
第一˔̡
的生ெ有 365 种Իᑟ，第̄
˔̡
的生ெ有 364 种Իᑟ……第60 ˔̡
的生ெ有 306 
种Իᑟ. 
P（A）= 
365×364×363×…×306
365×365×365×…×365
60 ˔
ĵ 0.005 9. 
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ڂ൥，þ60 ˔̡
中有2˔̡
生ெᄱՏÿ的概率˞：P = 1-P（A）ĵ1-0.005 9= 0.994 1. 
2. ᄬ的
ࢾڍ学生ऄ用ᅼគ的ᑟ力，ଢᰴଊቃᑟ力，۲Щ思፥的ງ҉性.
3. ᮕర
学生͘
᧫对൥᫈
题࡙
开多种࠽ត，教师ˀॹ̮
К，Ի̿
ښ学生ᭊ᜶௑ᤠ
௑གસळ࠮，
۲Щ学生һ̆
ଊቃ的൘మ和ᑟ力. 
ОnjವΓកౢ
本教学᝺计对教学Яࠔ的ં
ଧ和ܫ理，۳本ኀ合教科书的编иਓ图. ᗆᏥ师۳̆
ᒭᢶ的
教学ࠄ᡻，ଢῚ
˘ࠝ
的学ৱ资ູ
，̰
Ꮻδ᝽̀
本᝺计的Ի୲ͻ性. ̿
下ʼ˔方面Իώ᧝价
ϙඋᣗू
，有Ѿ̆
Ύ用Ꮸ҂ᒭࣂ的课۶中ᤉ行更ݞ的ѹ新ረೲ. 
1. 立ᡜǒಖюǓ᜶求，ૉ࠮方ข，ଢӤᑟ力. 概率ᤈ一概ঐ௧थ立ښ频率ᤈ一统计᧚ሷ
定性۳ᆩ˨上的，টನᝨ学生ښ有限的教学௑ቇ中，ʹ͘
҂ᬤ఻ဘ៶的ˀ确定性，̿
及ਫ਼
նဘ的᜻॥性ὝԶ有ᤰ᣿ܸ
᧚重复តᰎ，੦ᑟ发ဘតᰎ频率的ሷ定性. ੈ̓
ᄺ҂，ᗆᏥ师一
方面ฌਓ对统计的方ข和նဘ方式ᤉ行ૉ࠮，ˀՏᮗ۫
njˀՏ年ᴔ඀，ၵᒰˀՏ国ዚ̡
的
生ெូ
ಊᦐښ教师的᝺计考᧚˨中ὙԳ一方面，ᗆᏥ师ώҰ࠲᝺计方ವѬዝ，ᤠ
௑ڡଢང
方ขnj变式ଊቃnjവیዝඋ，Ύ教学ဗᓬ᣿ບᒭཀྵnjᛣଌࢼݬ，ࣟ
Ұ学生ਖৢ
概率的വی
思ਇ，ᤇ˞学有͸力的学生课ՑଊቃϢݞᮕ᝺，࠲ᆑቃणͩ
҂课下更ࣹ
᫫的ܹ
ڡ中. ட˔᝺
计重视教科书的编иਓ图，ԡˀભซ̆
教科书的௅定Яࠔ. 
2. ̿
学ৱ˞Џ࠮，଎行开ஊ的ᆑቃ性教学. 本᝺计ळ࠮学生ਇ方ขnj定ಖюnjϢត
ᰎnjॆ
ጪፇ᝷，教师ฌ重ૉ࠮ˀՏࡏ次学生积ౝ参与តᰎ活动，႑有ᡜܵ
的௑ᫎ
ᝨ学生ᒭ
˟学习nj思考Ὑ教师঴௧ᝨ学生ښ开ஊ的ৱܒ下Џ思考njЏ表ဘ，ཀྵՑгಪ据学ৱᤉ行动
গ的ូ
ட，̰
Ꮻࣟ
Ұ学生学͘
思考，积ግ数学活动ፃᰎ. ᗃՐ数学教育ࠒฉѾ̎
ૉ出：þ学
习͊
͵东᜵，తݞ的᤭径௧ᒭࣂԝ发ဘ. ÿᤈ正௧本ᓬ课ᗆᏥ师教学的ᅌ力ག. 
3. ̿
ក价Ψᤉ学生发࡙
. ᗆᏥ师的教学ក价ฌ重᧫对性nj༏ҵ性nj发࡙
性，ᑟ࠲ក价与
学习গएnj学习方ข等有఻ፇ合，ᝨ学生对ᒭ˟ଊቃ有η心nj有方Քnj有方ข. 
本ᓬ课Яࠔᣗ多，ݠ͵௅δ᝽学生有ЍѬ的思考nj活动௑ᫎ
，ԡᑟ务ࠄᰴ஍ڡ߹ੇ
教
学͊
务，௑ᫎ
Ѭᦡ௧˔ᬲ题，ᭊ᜶Ꮵ师ښᆑቃ学生和Яࠔԩᒼ上ᤉ行更多的思考. 
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
፬Ռˁࠄ᡻
 דመவरఞՌካ
ʷnj教ߦ目ಖ
1. ښЦʹ᫈
题中ਖԪ学రమ的ਓ义，初൦ʹ͘
ݠ͵កѼ౽件̃
ৱ௧ա合算.
2. ᤉ一൦ʹ͘
概率与统计的ᐏ系.
3. ፃԋ᫈
题ᝍх的活动᣿ሮ，ࣳ
ښ活动中ᤉ一൦发࡙
合ͻ̔ื
的ਓគ与ᑟ力，ܙू
数
学ऄ用ਓគ和ᑟ力.̄
nj᝺ᝠন᡹
ፃ᣿Ғ面的学习，学生ࣃፃᆑቃ̀
ᬤ఻̃
件及Х概率的概ঐ，ଂଧ̀
ᬤ఻̃
件发生的
概率的一̏
计算方ข（ӊ઺理᝷计算和តᰎ估算等），ࣳ
ᤰ᣿Цʹ的᫈
题ৱܒ和ࠄ᡻活动
等，ʹ̀͘
概率的ऄ用，Ꮻ˅ࣃፃ۳本߹ੇ̀
初中᫽඀概率有关ᅼគག的学习，ਖԪ҂概
率ښဘࠄ生活中的ࣹ
ฅऄ用. 
概率与统计௧ጋࠛ
ᐏ系的，߲̓̉
˞۳ᆩ. 概率ᤈ一概ঐ௧थ立ښ频率ᤈ一统计᧚的ሷ
定性的۳ᆩ˨上ὙᏫ统计ԡሏˀ开概率的理᝷ஃ୞，统计଎லnj估计njϜ᝺ೝᰎ等统计方
ข的合理性nj科学性ᦐΚᠻ̆
概率理᝷的ˑࠛ
性. ˞൥，ښ本፬合与ࠄ᡻的᝺计中，ੈ̓
力
图ʹဘːᏨ的ᐏ系. ൥ܱ
，ښ初中᫽඀，ႀ̆
学生ਫ਼学ᅼគ的ࡍ限，፬合ᤂ用统计与概率的
ᅼគ和方ขਫ਼ᑟܵ
ᝍх的ࠄᬅ᫈
题ࣳ
ˀ复ా
，ڂ൥ੈ̓̿
ெ࣢生活中ᣗ˞࣢᜹的活动（ဘ
៶）ͻ˞学习的ጉె
，ώҰ数学రమ的ᄱ关思ਇ和ጉె
᝺计统计与概率的፬合ऄ用Яࠔ，̿ࣟ
Ұ学生更ݞڡ理ᝍ统计与概率的思ਇ，ࣳ
切ࠄਖԪ߲̓
ښ生活中的ࣹ
ฅऄ用. ˷᝵有̡͘
ઞ心数学రమᡔ出̀
初中学生的学力，ͮੈ̓
ᝣ˞，数学రమ̰
思፥᜶求上౏ᝯࣳ
ళᡔ出
初中学生的学力ඵࣱ
，ॢ
多国ࠒ的初中᫽඀学习ᦐӊե数学రమᤈ一概ঐ. े
ཀྵ，˞̀
Ψᤉ
学生的理ᝍ，ੈ̓
ऄសᤉ行্े
的定位，᧔用初中生ᑟ理ᝍ的方式࠲ХЯࠔᤉ行ូ
ட和变ᤰ. 
۳̆̿
上思考，教科书中Цʹ᝺计̀̿
下Яࠔ：ᤰ᣿តᰎ初൦ʹ͘
数学రమ的ਓ义，ࣳ
Ѿ用数学రమᝍхࠄᬅ᫈
题. ښ本፬合与ࠄ᡻的学习中，学生ˀ̩
ᑟ初൦ʹ͘
数学రమ的ਓ
义，፬合ᤂ用统计概率的Яࠔᝍхࠄᬅ᫈
题，ᤇᑟ复习统计与概率的ᄱ关ᅼគ，ᤉ一൦ʹ͘
频率与概率˨ᫎ
的关系，ࣳ
初൦ʹ͘
数据的ᬤ఻性，ҫງ对概率ਓ义及统计思፥的理ᝍ. 
ʼnj教ߦथᝬ
1. ฌ重学生对概率ਓ义的理ᝍ. 
教科书的ᣁᄨតᰎᝨ学生ፃԋ࠵ጸតᰎnj数据ල঴njѬౢ
等活动᣿ሮ，ᖍ४ඈ种ፇ౧
出ဘ的频数nj频率，̿
及ඈᣁ动一次ᣁᄨਫ਼ᖍ४᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数，ࣳ
ळ࠮学生̰
频率
ሷ定̆
概率的角ए४҂ࣱ
کஆᄞ的计算公式，̰
Ꮻ初൦理ᝍ数学రమ的ե义. Ꮻ学生ᑟա对
数学రమ的ե义有正确的理ᝍ，ԩх̆
对概率的统计定义（ԁ用频率估计概率）的ଂଧሮ
ए. 教学௑थᝬ教师ࣟ
Ұ学生回顾频率的ሷ定性与概率的关系，ҫງ对概率ਓ义的理ᝍ，ᤈ
˷࠲有Ұ̆
学生对数学రమե义的正确理ᝍ. 
2. ฌ重学生的活动，ྲ
ѿ௧࠵ጸ合ͻ的活动. 
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本፬合与ࠄ᡻中，ښଊጊୗݒ的ࣱ
کஆᄞ的᣿ሮ中，学生ᦐॹᮌ࡙
开一定的ࠄᬅ୲ͻ
活动或ᆑᝧ活动. ᤈ̏
活动的࡙
开ड़ड़᭤一̡
˨力ਫ਼ᑟ߹ੇ
，ᭊ᜶࠵ጸ的合ͻὙᏫ对活动ፇ
౧的ក价˷௧ڂ̡
Ꮻप的. ᤰ᣿ЍѬ的ᆑᝧnjࣹ
ฅ的̔ื
，ॹᑟੱܸ
学生的思፥视角，ງ化
学生对ᅼគ的理ᝍ. ڂ൥，教师ऄࡊ᧚ፌ学生ଢΙࠄ᡻活动的఻͘
，᝺计一̏
活动或ᤥહ
౽̏
ವΓ，᜶求学生̞
ᒭࠄ᡻，ࣳ
ښ活动的᣿ሮ中ळ࠮学生ᤪ൦ʹ͘
统计与概率的۳本思
ਇ，Տ௑ᤂ用ਫ਼学ᅼគnj方ขᝍхࠄᬅ᫈
题. Գܱ
，ᤇ᜶ྲ
ѿҫू
࠵ጸ˨ᫎ
合ͻ活动的ጸጻ
与教学，ښ合ͻ̔ื
中，ᤰ᣿ᄱ̉ࣟ
Ұ，ᝨਫ਼有学生ᦐ४҂发࡙
. 
پnjក͉
थᝬ
1. 关ฌ学生对统计概率ᅼគਓ义的理ᝍ与ऄ用. 
本፬合与ࠄ᡻˟᜶௧೛理初中᫽඀统计与概率的ᄱ关Яࠔ，新的ᅼគԶ有数学రమ，ͮ
教科书ಪ本෥有出ဘ有关数学రమ的概ঐ，Ꮻ௧̿᫈
题和ವΓ的形式ᤪຒຖᤩ数学రమ
的ե义，̿
൥ࣟ
Ұ学生更ݞڡ理ᝍ统计与概率的思ਇ，Տ௑፬合ᤂ用统计概率ᝍхࠄᬅ᫈
题. ڂ൥，对学生ក价௑，ऄ更˞关ฌ学生对数学రమਓ义的理ᝍ̿
及ᤂ用߲
ᝍхࠄᬅ᫈
题
的ᑟ力. උݠ，对̆
ဘࠄ生活中的౽一ᛤ݀
ᰕష，ᑟաᤂ用ਫ਼学ᅼគᤉ行ଫ᭛. ڂ൥，教学
中Ի᜶求学生ˡΓឭ௚ᒭࣂ对᫈
题的理ᝍ. 
2. ଢϏᤂ用定性的方ข对学生ᤉ行ក价. 
᧝̆
本፬合与ࠄ᡻的ྲ
ག，ښក价௑更ऄฌ重定性的方ข. 教师ښெ࣢教学中ऄ多᜺ࠣ
学生，ྲ
ѿ௧̵̓
ښ࠵ጸ中的表ဘ，及௑ᝮै
学生的࿘ྲ
ਇข，ᤈˀ̩
有Ѿ̆
教师Л面ڡ
ក价学生，Ꮻ˅Ύ४ក价与教学ੇ
˞一˔有఻的டʹ. 教师ᤇऄᴂҵ学生थ立ᒭࣂ的ੇ
长ᝮै
，ᝮै
印៶త˞ງ҉的一次活动，ښ学习中᥅҂的ڈᬲ，ᭊ᜶ஈᤉ的ڡ方等. 
对学生活动ፇ౧的ក价Ի᧔用四˔等级：A ，B ，C ，D . ХѬѿ对ऄ：͖
ሒnjᓢݞnj中
等nj۳本合格. 一ᓊৱц下，教学中ࡊ᧚ˀ᜶ፌ́
学生ˀ合格的ក价，ᬔ᭤学生的ੇ
፛与 D
级ඵࣱ
有௚௭ࣀप. Цʹ等级表ဘଡᤘݠ下，Ι参考. 
D 等级：̩̩
௧ોི
Ꮵ师的᜶求ԝϢ，४҂一̏
数据njᖍ४一̏
ፇ᝷Ὑ෥有ᒭࣂᝍх᫈
题的方ข，ˀᑟᄾ正参与҂Տͧ
的活动᣿ሮ中Ὑල঴数据njѬౢ
঴ፇ௑̩̩
ϣ႑ښ对ፇ
౧的表面ᝣគ，۳本ˀᑟ理ᝍ数学రమ的ե义. 
C 等级：ᑟܵ
උᣗю确ڡ߹ੇ
᜻定的តᰎ൦ᰡ，උᣗ˟动ڡ和Տͧ
一ᡑѬࢺ合ͻ，ᑟܵ
߹ੇ
۳本的数据ஆ集njල঴͊
务Ὑ活动积ౝ性ᣗᰴὙᖍ४的活动ፇ౧۳本正确ὙଢῚ
ᝍ᧖ፇ౧正确性的一̏
Κ据，ᑟܵ
۳本理ᝍ数学రమ的ե义. 
B 等级：对តᰎ及ᝧ᝷的᫈
题有උᣗю确nj߹ட的理ᝍ，有ᒭࣂ的ਇข和᜹ᝍ，积ౝ
˟动ڡ̰̃
Պᮊ活动，ᑟಪ据តᰎ的᣿ሮ与ፇ౧४出计算数学రమ的方ข，ᤇᑟܵ
ՔՏͧ
ᝍ᧖ᒭࣂ的ਇข，զԩѿ̡
的थᝬ和ਓ᜹等Ὑᖍ४正确的តᰎፇ౧ὙଢῚ
ᝍ᧖ፇ౧正确
性的᝷ᤘ᣿ሮ，ݠ对概率ਓ义的正确理ᝍ等. 
A 等级：ښ B 级۳ᆩ上，્੍ؓ̆
ᒭੈ
，˟动࠭
求ᝍх᫈
题的͖
化方ವὙᑟܵ
ૉ出̵̡
方ข中的ˀ合理˨ܫ，ࣳ
˟动ࣟ
ҰՏ学，ፌ出ஈᤉथᝬὙᑟܵ
ښ对数学రమ的理ᝍ和ᝍ
᧖上有࿘ྲ
的ਇขὙᑟܵ
对តᰎ的᣿ሮnjፇ౧ᤉ行ᣗ˞ງ҉的Ԧ思，ࣳ
ᑟଢ出新的᫈
题和
थᝬ等. 
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
133
ښ初中᫽඀，ႀ̆
学生
ਫ਼学ᅼគ的ࡍ限，፬合ᤂ用
统计与概率的ᅼគ和方ขਫ਼
ᑟܵ
ᝍх的ࠄᬅ᫈
题ࣳ
ˀ复ా
，ڂ൥ऄे̿
ெ࣢生活中
ᣗ˞࣢᜹的活动（ဘ៶）ͻ
˞学习的ጉె
，උݠՊ种ୗ
ݒ活动. ᤰ᣿̿
Ғ的学习，
学生Իᑟࣃፃᝣគ҂ᤈ̏
活
动中ᖍᑈ或ᖍݒ的Իᑟ性，ͮ
ᤇళॹЦ有正确的កѼᑟ
力和хኖᑟ力，ऄសፌ́
学
生一定的ࢺЦ，ᝨ学生កѼ
౽ᮊ活动௧աþ合算ÿ. ڂ
൥，ੈ̓
ώҰ数学రమ的ᄱ
关Яࠔ౏᝺计本፬合与ࠄ᡻
的Яࠔ. ᤰ᣿ᣁᄨ等ৱܒ，
力图Ύ学生ښЦʹৱܒ中ਖ
Ԫþ合算ÿ，ࣳ
ଂଧ一定的
Ѽல方ข，ଢᰴхኖᑟ力，̰
Ꮻ对ဘࠄ生活中的一̏
ዝͫ
的ဘ៶ᤉ行កѼ. ښ൥᣿
ሮ中ᤉ一൦ࢾڍ学生对统计
概率ᄱ关Яࠔ的理ᝍ，ʹ͘
统计与概率的ᐏ系，ҫງ对
数学ࠄ用价ϙ的ᝣគ，Տ௑༏发学习Уᡚ. 
ښጉె
ᤥԩ௑，教科书ฌਓ̀
ᅼគ的ҒՑᐏ系，ᤥહ̀
一˔学生̿
Ғᆑቃ的ᣁᄨৱܒ，̿
ᬌͰ
学生᫈
题ᝍх的ᬲए. ښ᫈
题ᝍх的᣿ሮ中，考ᘽ҂学生的۳ᆩ，൥ܫЏᝨ学生Ѭౢ
哪种方式更合
算，гᤰ᣿តᰎᤉ行ᰎ᝽. ̰
一次ᣁᣁᄨ的ৱц౏ᄺ，͘
出ဘ四种ˀՏ的ፇ౧：४҂ 100 元nj50 元nj20 元nj0 元，˅四
种ৱц出ဘ的概率Ѭѿ˞ 5%
nj10%
nj20%
nj65%
. ௧ᠾᤇ௧ᠹ，ᤈࡃᭊ᜶ᄺ多次ᣁᣁᄨ˨Ց的ࣱ
ک
ஆᄞ̀
. 
ϢʷϢ̰
ᣁᄨৱܒК੤，ᝨ学生ፃԋ࠵ጸតᰎnj数据ල঴njѬౢ
等统计活动᣿ሮ，ᖍ४ඈ种ፇ౧出ဘ

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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
的频数nj频率，̿
及ඈᣁ动一次ᣁᄨ的ࣱ
کஆᄞ，ࣳ
ळ࠮学生̰
频率ሷ定̆
概率的角ए४
҂ࣱ
کஆᄞ的计算公式，̰
Ꮻ初൦理ᝍ数学రమ的ե义. ̃
件
频数
频率
ᣁ҂ጚᓤ（४҂100 元）
n1
f 1
ᣁ҂᳧
ᓤ（४҂50 元）
n2
f 2
ᣁ҂፯ᓤ（४҂20元）
n3
f 3
ᣁ҂ᄇᓤ（४҂0 元）
n4
f 4
ឭ௚：ښ教学᣿ሮ中，上表中的字ඇԻ用តᰎ中的Цʹ数字̽
ణ，ፇ合Цʹ数字౏ᤉ
行下面的ឭ௚.
ඈ次ᣁᣁᄨ的ࣱ
کஆᄞ：
100×n1+ 50×n2+ 20×n3+ 0×n4
n1+ n2+ n3+ n4
 = 100×f 1+ 50×f 2+ 20×f 3+ 0×f 4（元）.
ಪ据̿
上的តᰎ及Ѭౢ
，学生Ի̿
४出ፇ᝷：ᬤᅌᣁᣁᄨ次数的ܙҫ，ࣱ
کඈ次Ի̿
ᖍ४ 14 元ࢻԿ，උ直ଌᖍ४ 10 元᠔ྭ҆
更合算. Տ௑，˷ᝨ学生初൦ʹ͘
：రమϙˀ௧
þښ一次តᰎ中४҂的ஆᄞÿ，Ꮻ௧þښᄱՏ条件下多次តᰎ的ࣱ
کஆᄞÿ.
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ஔ࣎
ஔ学用书
135
ਇʷਇ
（1）学生ፃ᣿þϢ一Ϣÿ
的តᰎ及Ѭౢ
，ˀᬲ४҂ॖ
־
ඈᣁ动一次ᣁᄨਫ਼ᖍ४᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数的ڂጉ˟᜶有ː
˔：ᣁ҂ጚᓤnj᳧
ᓤnj፯ᓤnj
ᄇᓤӝ۫
的概率Ὑᣁ҂ඈ种ᮨ
ᓤਫ਼४的᠔ྭ҆
的᧛ᮩ
. ᴂҵ学
生ښតᰎ的۳ᆩ上࿘立思考，ࣳ
与Տͧ
ᤉ行̔ื
.
（2 ）ᤰ᣿ᣁᄨ的þ 变
式ÿ，ᝨ学生ᤉ一൦思考ॖ
־
ਫ਼ᖍ᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数的ڂ
ጉ，Տ௑˞学生४出理᝷计算
方ข੪下۳ᆩ. ႀ̆
ᣁ҂ጚᓤnj᳧
ᓤnj፯ᓤnjᄇᓤӝ۫
的概率
及ᣁ҂ඈ种ᮨ
ᓤਫ਼४的᠔ྭ҆
的᧛ᮩ
ک෥有变化，ڂ൥用图
2 的ᣁᄨ和图1 的ᣁᄨ，对顾ࠇ
Ꮻᝓ
ፇ౧ऄ௧一ನ的. 
（3）े
ᣁ动ᣁᄨ次数ॢ
多
௑，ᣁ҂ጚᓤnj᳧
ᓤnj፯ᓤnj
ᄇᓤӝ۫
的频率࠲Ѭѿሷ定̆
5%
，10%
，20%
，65%
. ˷ࡃ௧
ឭ，ᬤᅌតᰎ次数的ܙҫ，ᣁ
动一次ᣁᄨਫ਼ᖍ४的ࣱ
کஆᄞ࠲ሷ定̆
 100×5%
+ 50×10%
+ 20×20%
+ 0×65%
= 14（元）. ඈᣁ动
一次图2的ᣁᄨ，ਫ਼४的ࣱ
کஆᄞ与图1的ᣁᄨ௧一ᒱ的. 
ښ学生用តᰎ和̿
上的Ѭౢ
方ขᖍ४̀
ፇ᝷Ց，ᤇԻ̿
ळ࠮学生ᤈನ思考᫈
题：ᣁ动一次ᣁ
ᄨ，ᣁ҂ጚᓤnj᳧
ᓤnj፯ᓤnjᄇᓤӝ۫
的概率Ѭѿ˞ 5%
，10%
，20%
，65%
. ݠ౧ᣁ动ॢ
多次的
ភ，ᥧ˦ࣱ
کඈ 100 次有 5 次ᣁ҂ጚᓤӝ۫
nj10 次ᣁ҂᳧
ᓤӝ۫
nj20 次ᣁ҂፯ᓤӝ۫
nj65 次ᣁ҂
ᄇᓤӝ۫
. ڂ൥，ඈᣁ一次ᣁᄨ的ࣱ
کஆᄞ˞：
100×5+ 50×10+ 20×20+ 0×65
100
 = 14（元）. 
ᤈ种理ᝍ方式ˀ̩
ᑟܵ
直᜺nj方Χڡ४҂数学రమϙ，Ꮻ˅ᑟࣟ
Ұ学生更ݞڡ理ᝍ概率的
ਓ义. 

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஝ߦ
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ϢʷϢ
ᤈ˔຤੆Ц有ॢܸ
的൛ᰕ性，ࠄᬅ上ᤈ˔຤੆对຤੆ᏨˀѾ. ௭ཀྵ，຤੆Ꮸ一ᓊ௧ˀ͘
ઙþ0ÿ的Ὑ᝺຤੆Ꮸਫ਼下ᠳฌ˞ 1 元，ݠ౧ઙ的௧݉
数格ߕ（ᗰᓤ格ߕ），ᥧ˦̵
ඈ次的ࣱ
کஆᄞ௧（2-1）×18
37
-1×18
37
- 0.5× 1
37
= - 1
74
（元）Ὑݠ౧ઙ的௧᭤ 0 Ϧ数格ߕ（ጚ
ᓤ格ߕ），ᥧ˦̵
ඈ次的ࣱ
کஆᄞ˷௧ - 1
74
元. 
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ϢʷϢ
（1）ेੈ̓
ឭ౽˔хኖ
的ݞڮ௑，௧用ਫ਼ᖍ的ࣱ
کஆ
ᄞᏫˀ௧౽一次的ஆᄞ౏ᛦ᧚
的. ᔪᤥહ̀
ᣁᣁᄨ，ႀ̆
ᬤ
఻性，ඈ次តᰎ的ፇ౧ᦐ௧ˀ
确定的，߹ЛԻᑟ̤
˦ᦐ४ˀ
҂，උ直ଌᖍ४10 元᠔ྭ҆
᜶
ࣀ. ̃
ࠄ上，ښᬤ఻ဘ៶中，͊
͵的хኖᦐˀᑟδ᝽ੈ̓
一定
ᡅ，ᤈ௧ᬤ఻ဘ៶本ᢶх定的. े
ཀྵ，˷有Իᑟ४҂100 元nj
50 元或20 元᠔ྭ҆
. ݠ౧有ܸ
᧚̡
౏ᤥહ，ᤥહᣁᣁᄨ的̡
的ࣱ
کஆᄞ᜶උᤥહ直ଌᖍ४
10 元᠔ྭ҆
的̡
的ࣱ
کஆᄞᰴ. 
ڂ൥，ੈ̓
ᤥહᣁᣁᄨ的хኖ
௧有ਓ义的. 
（2）ႀ̆
ᬤ఻性，ඈ次ត
ᰎ的ፇ౧ᦐ௧ˀ确定的，ԁΎ
តᰎ的次数ᄱՏ，తՑ४҂的
ፇ౧˷Իᑟ̉
ˀᄱՏ. ͮ
ႀ̆
ᬤ఻̃
件频率的ሷ定性，ᬤᅌ
តᰎ次数的ܙҫ，ࣱ
کஆᄞ࠲
ሷ定̆
14 元. Գܱ
，े
Ϳᣁᣁ
ᄨ௑，ࠄᬅஆᄞԶԻᑟ௧100 
元nj50 元nj20元nj0 元中的一种，ˀ͘
出ဘ14 元，14 ᤈ一数字Զښхኖ中ᡑͻ用. 
˸ᮥ
ፃ᣿计算ᅼ，ᤈ五种ৱц出ဘ的概率ݠ下：P（4˔Лጚ）= 
1
70
，P（3ጚ1፯）= 
16
70
，P（2ጚ2
፯）= 
36
70
，P（1ጚ3፯）= 
16
70
，P（4˔Л፯）= 
1
70
. ࣱ
کஆᄞ= 5×
1
70
+ 2×
16
70
- 3×
36
70
+ 2×
16
70
+ 5×
1
70
 = - 17
35
（元）.
本题௉ښᝨ学生ᤰ᣿一定次数的តᰎ，ਖԪ҂ស活动的൛ᰕ性，Ꮻˀਝਓ参与ᤈ一þВᠠÿ活动.

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ᬄै
一 ЧیವΓកౢ
דመவरఞՌካ
᝺ᝠ὘ࣹ
东ᄵຍᤊ࣊
ͺаԞۢ
Ӓ˗学 స ၄
កౢ
὘Ӓ̛
师ᔵܸ
学出版ᬷ
ڄ ဍथฉ
ʷnjߦၷᅼគ࿄цѬౢ
学ၷᅼ识੿ᑟ۳ᆩ
学生ࣃፃ学习̀
ᬤ఻̃
件及Х概率的概ঐ，及ᄱ关的统计ᅼគ，ଂଧ̀
一̏
求ᬤ఻̃
件概率的方ข（ӊ઺理᝷计算和តᰎ估算等），对ᖍᑈ或ᖍݒ的Իᑟ性有̀
一定的̀
ᝍ. 
学ၷำүፃᰎ۳ᆩ
学生ښ有关ᅼគ的学习中，ፃԋ̀
活动᣿ሮ，ࣳ
ᤰ᣿Цʹ᫈
题ৱܒ和ࠄ᡻活动ʹ̀͘
统计与概率的初൦ऄ用，Цܬ̀
一̏
ᝍхእӭ᫈
题的ፃᰎ及合ͻ̔ื
的ᑟ力. ̄
nj教ߦ͊
务Ѭౢੈ̓
ښெ࣢生活中ፃ࣢͘
᥅҂Պ种୍
ݒ活动，ᤰ᣿̿
Ғ的学习，学生ࣃፃᝣគ҂̀
ᤈ̏
活动中ᖍᑈ或ᖍݒ的Իᑟ性，ͮ
ళॹЦ有正确的កѼᑟ力和хኖᑟ力. 本፬合与ࠄ᡻᝺计̀
一˔Цʹ的ৱܒ，力图ᝨ学生ښЦʹৱܒ中ਖԪþ合算ÿ，ࣳ
ଂଧ一定的Ѽல方ข，ଢ
ᰴХхኖᑟ力，̰
Ꮻ对ဘࠄ生活中的一̏
ዝͫ
ဘ៶ᤉ行កѼ. សЯࠔ对学生Ц有一定的思፥
᜶求，ښᤥԩጉె
௑教科书ฌਓ̀
ᅼគ的ҒՑᐏ系，ᤥહ̀
一˔学生̿
Ғᆑቃ᣿的᫈
题ৱ
ܒ，̿
ᬌͰ学生ᝍх᫈
题的ᬲए. ښᝍх᫈
题的᣿ሮ中，ᝨ学生ᯫЏᤰ᣿តᰎᖍ४初൦的ਖ
Ԫ，гᤰ᣿与Տͧᫎ
的̔ื
njᝧ᝷和Ѭౢ
思考，ᤪ൦ᖍ४对᫈
题的理᝷ᝍ᧖. ˞൥，本ᓬ课
的教学ᄬಖ：
ᅼ识与੿ᑟ
1. ᝨ学生初൦ʹ͘
ݠ͵កѼ౽̃
件௧աþ合算ÿ，ࣳ
Ѿ用߲
对ဘࠄ生活中的一̏
ဘ៶
ᤉ行កѼ. 
2. ᤉ一൦ʹ͘
概率与统计˨ᫎ
的ᐏ系. 
᣿ሮ与வข
ᤰ᣿Цʹ᫈
题ৱܒ，ᝨ学生初൦ʹ͘
ݠ͵កѼ౽̃
件௧աþ合算ÿ，ࣳ
Ѿ用߲
对ဘࠄ
生活中的一̏
ဘ៶ᤉ行កѼ. 
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ৱਖ与গए
1. ፃԋᝍх᫈
题的活动᣿ሮ，发࡙
学生的合ͻ̔ื
ਓគ与ᑟ力，ܙू
学生的数学ऄ用
ਓគ和ᑟ力. 
2. ፃԋᝍх᫈
题的活动᣿ሮ，᪐ང学生Б఩ڈᬲ的һඡ和η心，ᤰ᣿对ဘࠄ᫈
题的理
᝷ᝍ᧖ᖍ४学习数学的ੇ
ࡃਖ.
ʼnj教ߦ᣿ሮѬౢ
本ᓬ课᝺计̀
ʹ˔教学ဗᓬ：课Ғюܬ——ৱܒळК——តᰎଊᝧ——合ͻ̔ื
——ጷ
习ࢾڍ——课۶࠵ፇ——࣋
置ͻˊ.
ǘ第一ဗᓬǙ ិ
Ғюܬ
活动Яࠔ：
社͘ូ
ಊ，ඈ࠵ጸϢݞ一˔课本上图1 的ᣁᄨ，юܬݞ计算٨（ଢҒ一周࣋
置）. ̿
4 ̡
˞一˔合ͻ࠵ጸ开࡙̿
下活动. 
活动1：Ѭࢺ合ͻஆ集有关॑
ᇾnjᛤ݀
þୗݒÿ຤੆̿
及Պ种ՊನӰ॑
行े
的资料njࣹ
շ等. 
活动 2：࠵ጸ合ͻ制ͻ课本上图 2nj图 3 的ᣁᄨ.
活动ᄬ的：ᤰ᣿第1 ˔活动ծळ学生关ฌ生活中的一̏
数学᫈
题，用生活中的౽件̃
ৱ௧աþ合算ÿͻ˞ဘࠄᑀఀ
和生活ጉె
，ʹဘ̀
数学౏ູ̆
生活的思ਇ. 
ᤰ᣿第 2 ˔活动，ˀͮ
ଢᰴ̀
学生的合ͻᑟ力，动੤制ͻᑟ力，ᤇ˘ࠝ̀
学生的课͸
生活，Ύ̵̓
积ౝڡ参与҂数学的学习中ԝ. ᤈನ，ॹ定ᑟ༏发学生学习的Уᡚ及学习的˟
动性. 
ࠄᬅ教学஍౧：学生ஆ集҂的资料Яࠔ˘ࠝ
多॑
，有ᛤ݀
的þୗݒÿ活动ࣹ
շ，׸ڤ୍
ݒΨᩙ
活动ࣹ
շ, ሉѾ॑
ᇾࣹ
շ等. 资料的౏ູ
多种多ನ，学生Ϣ的ᣁᄨ形式˷多种多ನ. 
ᤈː˔活动ˀͮ
ᝨ学生ਖԪ҂数学౏ູ̆
生活，Ꮻ˅Ψᤉ̀
学生学习数学的བྷৱ，᪐ང̵̀̓
社͘
活动的ᑟ力和动੤制ͻ的ᑟ力. 
ᬄᦊѬ学生ஆ集的资料：
ພतՏ学થ҂的ሉѾ॑
ᇾࠈ传ࣹ
շ：
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஝ߦ
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ᔵ΄ޛՏ学ᤰ᣿Ꭺ上下ᣒ的౽׸ڤᣁᄨ຤੆图ྟ
：
լ൧෈等Տ学制ͻ的ᣁᄨ：
ǘ第̄
ဗᓬǙৱܒळК
活动Яࠔ：Ք学生࡙
ᇨ˔ѿՏ学ஆ集҂的资料——中国ሉѾ॑
ᇾࣹ
շnj୍
ݒΨᩙ
活动ࣹ
շnj一̏
ᛤ݀
的᝺୏þୗ॑
ÿ活动，ࣳ
ፌܸ
ࠒᝯ一˔集市上的þୗ॑
ÿ஌̃
（ᤰ᣿ᤈ˔
஌̃
ᒭཀྵڡळ出课题）. 
஌ܸ̃
ਓ：ཿཿ୿୿的集市上，౽̡
ښ᝺୏þୗ॑
ÿ，Զ᜹̵
੤૆一᛻，Я装ܸ
࠵nj
形状nj᠏
᧚߹ЛᄱՏ的 4 ˔፯ု
和 4 ˔ጚု
，ඈ次ᝨ顾ࠇþВᠠÿ̰
᛻中ୗ出 4 ˔ု
，ᣥ
ᡅ的᜻ѷ௧：
ਫ਼ୗု
的ᮨ
ᓤ
顾ࠇ的ஆᄞ
4 ˔Лጚ
४ 5 元
3 ጚ 1 ፯
४ 2 元
2 ጚ 2 ፯ܿ
 3 元
1 ጚ 3 ፯
४ 2 元
4 ˔Л፯
४ 5 元
Զ᜹ॢ
多顾ࠇڊ上ҒԝþВᠠÿୗု
，ᙊཀྵԶ有ୗ҂þ2 ጚ 2 ፯ÿ的ৱц੦ᠹᨑ，Х
͸ৱцᦐ४ᨑ，ͮੈ
ښஸ边᜺ࠣ
的ፇ౧௧一ӧ̿
上顾ࠇᦐᠹ̀
ᨑ，ᤈ种活动的൛ᰕ性҂अ
ʹဘښ̤
˦ڡ方քὝᄱηՏ学̓
ፃ᣿ᤈᓬ课的学习，一定ᑟଫ开Х中的þݘሜÿ，Ꮻˀਝ
参ҫᤈዝþВᠠ活动ÿ. 
活动ᄬ的：̿
学生ਖУᡚ的ភ题ळ出本课，ˀ̩
ծळ学生的ฌਓ力，Ꮻ˅˞本ᓬ学习
កѼ౽件̃
ৱ௧աþ合算ÿଢῚ
ဘࠄᑀఀ
和生活ጉె
，ʹဘ̀
数学౏ູ̆
生活的思ਇ. 
ࠄᬅ教学஍౧：࡙
ᇨ学生ஆ集҂的一̏
Ӱࣹ॑
շ，学生ʹᰎ҂数学౏ູ̆
生活. ᤰ᣿集
山东教育出版社 
 
 
       山东教育出版社
141
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
市上一˔þୗ॑
ÿ஌̃
ळК课题，ծळ̀
学生的ฌਓ力，༏发̵̀̓
的ݞ݉
心和学习Уᡚ. 
ǘ第ʼဗᓬǙតᰎଊᝧ
活动Яࠔ：参ི
课本þϢ一Ϣÿᤉ行តᰎ，ଢ出᫈
题. 
1. ಪ据តᰎৱц计算ඈᣁ动一次ᣁᄨਫ਼ᖍ᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数，ᄺᄺᣁᣁᄨ和直ଌᖍ
४10 元᠔ྭ҆
，哪种更合算. 
2. Лိ̔ื
，ᄺᄺՊ࠵ጸ的ፇ᝷௧ա一ᒱ，ࣳ
࠲Պጸ数据ල঴，计算ඈᣁ动一次ᣁᄨ
ਫ਼ᖍ४᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数，ᄺᄺ哪种方式更合算. 
活动ᄬ的：学生ᒭࣂ动੤统计୍
ݒ的ፇ౧，ࣳ
Ϣ出正确Ѽல，˞下面̰
理᝷上计算௧
աþ合算ÿଢῚ
ဘࠄΚ据. 
ࠄᬅ教学஍౧：学生ᒭࣂ动੤统计୍
ݒ的ፇ౧，ࣳ
ಪ据୍
ݒፇ౧，计算ඈᣁ动一次ᣁ
ᄨਫ਼ᖍ᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数，Ѽல哪种方式对顾ࠇ更合算. 教师ጸጻ学生ල঴ᝮै
ፇ౧，ࣳ
ळ࠮学生ಪ据ᝮै
ፇ౧Ѽல哪种方式对顾ࠇ更合算. 学生ښ动੤୲ͻ中，ଢᰴ̀
合ͻਓគ，
ʹᰎ҂ੇ
Ҫਖ，更༏发̀
学习的˟动性. 
ǘ第پဗᓬǙ合作̔ื
活动Яࠔ：课本中的þਇ一ਇÿ和þᝬ一ᝬÿ. 
þਇ一ਇÿଢ出ʼ˔᫈
题：
（1）ॖ
־ඈᣁ动一次ᣁᄨਫ਼ᖍ४᠔ྭ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数的ڂጉ有哪̏
Ὕ
（2）图 1 与图 2 的ᣁᄨᄱඋ，用哪˔ᣁᄨ对顾ࠇ更合算Ὕ
（3）ˀ用តᰎ的方ข，求出ඈᣁ动一次ᣁᄨ 1 和ᣁᄨ 2 ਫ਼ᖍ४的ݒ҆
᧛ᮩ
的ࣱ
ک数. 
活动ᄬ的：᝺置ᤈʼ˔᫈
题的˟᜶ᄬ的௧ᝨ学生࠽តᅌ̰
概率角ए౏ᝍ᧖ࠄᬅ᫈
题，
˞᣿ບ҂理᝷计算ਫ਼ᖍ᧛ᮩ
的ࣱ
ک数੪ݞ۳ᆩ，ᤈನΧԻႀู
Кງ，ᤪ൦ቊᆡ本ᓬ的ᬲག.
þᝬ一ᝬÿ௉ښឭ௚：ښᬤ఻ဘ៶中，͊
͵的хኖᦐˀᑟδ᝽ੈ̓
一定ᡅ. ႀ̆
ᬤ఻
性，ඈ次តᰎ的ፇ౧Իᑟ௧ˀ一ನ的，̃
Џ௄ข确定，ԁΎតᰎ的次数ᄱՏ，తՑ४҂的
ፇ౧˷Իᑟ̉
ˀᄱՏὙԳ一方面，ႀ̆
ᬤ఻̃
件频率的ሷ定性，ᬤᅌតᰎ次数的ܙҫ，ࡃ
ᑟ̰
中发ဘ᜻॥，ԁࣱ
کஆᄞ࠲ሷ定̆
 14 元. 
ࠄᬅ教学஍౧：学生积ౝ思考᫈
题，࠽ត̰
概率角एҫ̿
ᝍ᧖. 学生̿
࠵ጸ˞ӭ位ᝧ
᝷ࣳ
ᤉ行计算，回ን教ె
中的᫈
题. ಪ据学生的回ን，教师ळ࠮学生计算ඈᣁ动一次ᣁᄨਫ਼
ᖍ४᧛ᮩ
的ࣱ
ک数，̰
理᝷上ᝍ᧖上ᤘ᫈
题. ᤰ᣿ງК的ᝧ᝷ᝨ学生௚ᄇࣱ
کஆᄞ的ᄾ正
ե义，Տ௑˷ᤉ一൦理ᝍे
តᰎ次数ॢ
多௑，តᰎፇ౧ऄស和理᝷ϙᄱᤃ，ͮ
តᰎ次数г
多，˷ॢ
ᬲδ᝽តᰎፇ౧与理᝷ϙᄱ等，̰
Ꮻᝨ学生थ立ᓢݞ的数据Ѭౢ
᜺ঐ. 
ǘ第五ဗᓬǙጷ习ࢾڍ
活动Яࠔ：课本þϢ一Ϣÿ.
活动ᄬ的：ᝨ学生ಪ据ਫ਼学的ᅼគᝍхࠄᬅ᫈
题，有Ѿ̆
ᤉ一൦ࢾڍ和ҫງਫ਼学ᅼ
គ，Տ௑˷Щੇ
用数学思፥和方ขᝍх生活中᥅҂的ࠄᬅ᫈
题的习ਅ. 
ࠄᬅ教学஍౧：学生ᒭࣂᝍх教ె
中的᫈
题，Ꮵ师ጸጻ学生ᤂ用学᣿的方ขᝍх᥅҂
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
的᫈
题，学生۳本上ᦐᑟѾ用ਫ਼学ᅼគᝍхࠄᬅ᫈
题，ஆ҂̀
ᣗݞ的教学஍౧. 
ǘ第六ဗᓬǙិ
۶࠵ፇ
活动Яࠔ：঴ፇ本ᓬ课的ஆᖍ及ᖍ४的թᇨ，Ԧ思ښ学习中ߛښ的᫈
题. 
活动ᄬ的：ᤈ一ဗᓬ有Ѿ̆
学生঴ፇ᫈
题nj理ຍ思路，۲Щ学习Ցᒭੈ
Ԧ思的ᓢݞ
习ਅ. 
ࠄᬅ教学஍౧：学生঴ፇ本ᓬ课的ஆᖍ及४҂的թᇨ，Ԧ思ښ学习中ߛښ的᫈
题. 教师
ૉ࠮学生঴ፇ本ᓬ的ஆᖍ，ࣳ
ᝍх学生ߛښ的᫈
题. 
ǘ第ʹဗᓬǙ࣋
Ꮆ作ˊ
ᤥહ生活中的౽一活动（ݠ॑
ᇾnj୍
ݒ或ᛤ݀
ୗု
຤੆等）或本ᓬ课开ݽ௑ਫ਼ᝯ的஌̃
，Ѿ用统计与概率的ᅼគଫᇨХ中的᜻॥，ࣳ
୩и一份ᆑቃઑշ，ښЛိ
ᤉ行̔ื
. 
پnj教ߦԦন
本፬合与ࠄ᡻活动课੪ᆡ̀
传统教学വ式，௧ᣗݞڡ᠖ग़新课ሮ理ঐ的一ᓬ数学课，
ХԔڂ有̿
下ї˔方面：
1. ᤈᓬ课ᄾ正ʹဘ̀
ଊ求ᅼគ与۲Щ学生的ৱਖnjগएnj价ϙ᜺的有఻ፇ合，ฌ重̀
᣿ሮ教学，௧对新课ሮಖю的Цʹࠄஷ. 
2. ᤰ᣿ஆ集资料nj动੤制ͻnj动੤តᰎ౏ᝍх᫈
题，ᑟܵូ
动学生的积ౝ性，ښଊጊ
的᣿ሮ中，ฌ重̀
对学生ৱਖ的۲Щ. ̿
ड़ښ数学课上，教师ᣗᬲ与学生ښৱਖ上ᤉ行෤
ᤰ，ͮ
ښᤈᓬ课上，学生与教师СՏਖԪ̀
数学的᱋力，师生СՏ۲Щᡑ̀
对数学的ৱਖ.
3. ੈ̓
ဘښଢϏଊቃ性学习njᆑቃ性学习，ͮ
௧ᤈ种学习ऄសஊښ课Яᤇ௧课ܱ
的᫈
题，ݽጼ͕
ឭጭጥ. ဘښੈ̓
੽҂̀
一˔ԻΙώ᧝的ವΓ. ˷ࡃ௧ឭ，ͻ˞一种学习方式，
ښ课Яଊ求新ᅼគ，௭४更有ࠄᬅ价ϙ和ਓ义. ̋
njವΓកౢ
1. 本፬合ࠄ᡻活动ͻ˞九年级下册统计与概率፬合ऄ用的Яࠔ，స၄Ꮵ师ЍѬ考ᘽ
҂学生ࣃፃЦܬ的ᄱ关ᅼគnjᑟ力和活动ፃᰎ，ᝨ学生࠵ጸ合ͻஆ集有关॑
ᇾnjᛤ݀
þୗ
ݒÿ຤੆̿
及Պ种ՊನӰ॑
行े
的资料njࣹ
շ等，ᤰ᣿对ᄱ关᫈
题的ᝍх༏发学生的学习
Уᡚ，Տ௑ҫງ对统计与概率ᄱ关Яࠔ的理ᝍ. 
2. 本᝺计ᝨ学生ፃԋ̀
፬合与ࠄ᡻的᣿ሮ，̰᫈
题的ଢ出，҂数据的ஆ集njட理njѬౢ
及хኖ的᣿ሮ，ᦐฌ重̿
学生˞˟ʹ，ፌ学生ଢῚ
ЍѬᒭ˟ଊቃ的ቇᫎ
，ᴂҵ学生动
੤୲ͻnj积ౝ思考，̰
តᰎ和理᝷计算的角एѬѿ理ᝍþ数学రమÿ的ե义，ࣳ
ଊጊ߲̓
˨ᫎ
的ᐏ系. ᤰ᣿对ᤈ̏
活动的参与njᝧ᝷及思考，ᝨ学生ˀலʹ͘
频率与概率˨ᫎ
的关
系，ҫງ对概率ਓ义及统计思፥的理ᝍ，Տ௑ᤉ一൦积ግ学生的数学活动ፃᰎ. 
3. 本᝺计స၄Ꮵ师ᤇ对教ె
ᤉ行̀
ѹᤵ性Ύ用，᝺计中多ܫڡ方ᦐʹဘ̀
ᤈ一ག. ݠ࠲
教ె
的习题Яࠔͻ˞஌̃
ᤉ行ৱܒळКὙ࠲教ె
中的þਇ一ਇÿ和þᝬ一ᝬÿ有఻ڡፇ合
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ښ一ᡑ，̰
តᰎ计算҂理᝷Ѭౢ
г҂对តᰎፇ౧的ᝍ᧖，̰
Ꮻᝨ学生ښᝍх᫈
题的Տ௑थ
立ᡑᓢݞ的数据Ѭౢ
᜺ঐὙ࠲教ె
中的తՑ一˔þϢ一Ϣÿ与对ৱܒळК஌̃
的ᝍхͻ˞
ͻˊ႑ፌ学生，˞学生的活动ଢῚ
ᤥહ性. 上ᤘ对教ె
的ܫ理Ύ४ட˔教学᣿ሮ᧫对性更ू
，ᑟܵ
有஍ڡଢᰴ፬合与ࠄ᡻活动课的教学஍率. 
4. 本፬合与ࠄ᡻活动的ᬲགښ̆
学生对数学రమե义的理ᝍ，ᙊཀྵ数学రమ的形式化
定义Իᑟᡔ出̀
初中学生的学力，ͮ̃
ࠄ上数学రమ̰
思፥᜶求上౏ᝯ学生௧Ի̿
ଌԪ的. े
ཀྵ，ႀ̆
学生˔ʹ的ࣀप，ˀՏ学生Իᑟ͘
对数学రమ有ˀՏ角ए的理ᝍ. थᝬ教师Ի̿
多关ฌˀՏ学生ښˀՏ理ᝍሮए上的ࣀप，对̆
学有͸力的学生，ᴂҵ̵̓
用ˀՏ方式
ᤉ行理ᝍ，ᤈನˀ̩
ᑟܵ
直᜺nj方Χڡ४҂数学రమϙ，Ꮻ˅ᑟࣟ
Ұ̵̓
更ݞڡ理ᝍ概
率的ਓ义. 
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᬄै̄
 学ሙᅼ识઩࡙
þ஝ߦరమÿᄊե义ԣऄၹ
᝺ሏஙیᬤ఻变᧚ X 的Իᑟԩϙ˞ a1，a2，…，ar，ԩ ai 的概率˞ pi （i = 1，2，…，
r），ԁ X 的Ѭ࣋
˞
P（X = ai ）= pi ，i = 1，2，…，r. 
ѷ定义 X 的数学రమ˞
a1P（X = a1）+ a2P（X = a2）+ … + arP（X = ar）= a1p1+ a2p2+ …+ arpr. 
ԁᬤ఻变᧚ X 的ਫ਼有ԩϙ ai ˲̿
对ऄ的概率 P（X = ai ）的和. 
ᬤ఻变᧚ X 的数学రమ˷称ͻ X 的రమ或کϙ，߲
௧一˔数，ᝮ˞ EX . ߲
҉ႇ的௧ᬤ
఻变᧚ X ԩϙᔵڊ的þ中心位置ÿ，Ԧ௢̀
 X ԩϙ的ࣱ
کඵࣱ
，௧ᬤ఻变᧚ો概率的ҫిࣱ
ک，௧እӭ算షࣱ
ک的一种଎ࣹ
. 
数学రమԦ௢̀
ᬤ఻变᧚的重᜶ηৌ，ࣳ
˅ښॢ
多௑ϋ，̡̓
ड़ड़Զᭊ᜶ᅼ᥋ᬤ఻变
᧚的کϙԁԻ，ڂᏫဘࠄ生活中的᝵多᫈
题ᦐԻ̿
Ѿ用数学రమ౏ᝍх. Գܱ
，ښᤂ用数学
రమᝍх᫈
题的᣿ሮ中，ˀ̩
ᑟࢾڍ学生对统计概率ᄱ关Яࠔ的理ᝍ，ᤇᑟҫງ对数学ࠄ
用价ϙ的ᝣគ，Տ௑༏发学生的学习Уᡚ. 
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ஔ࣎
ஔ学用书
፬Ռˁࠄ᡻
 ፒᝠำүúú᜽ҧᄊԫӑ
ʷnj教ߦ目ಖ
1. ፃԋþஆ集数据—ட理数据—Ѭౢ
数据—ͻ出଎லÿ的统计活动，ʹᰎ统计活动的
Л᣿ሮ，积ግ统计活动ፃᰎ.
2. ᑟᤰ᣿对数据的Ѭౢ
˞合理的хኖଢΙ一̏
Κ据，ᝣគ统计的ͻ用，ʹ͘
数据的ᬤ
఻性，发࡙
数据Ѭౢ
的᜺ঐ. 
3. 形ੇ
对数据ܫ理᣿ሮᤉ行初൦ក价的ਓគ，ʹ͘
数学与ဘࠄ生活的ࠛ
切ᐏ系，ܙू
ऄ用ਓគ. ̄
nj᝺ᝠন᡹
ፃ᣿Ғ面ї˔学ర的学习，学生ࣃፃ۳本࿘立ڡፃԋ̀
统计的Պ˔᣿ሮ，ஆ集᣿一̏
数据，ଂଧ̀
数据表ᇨ和数据ܫ理的一̏
方ข，对一̏
ဘࠄ᫈
题ͻ出̀
ᒭࣂ的កѼ，Ꮻ˅
۳本߹ੇ̀
初中᫽඀统计有关ᅼគག的学习，ਖԪ҂̀
统计ښဘࠄ生活中的ࣹ
ฅऄ用. ͮ
ښҒ面的学习中，Ԫ学生ਫ਼学ᅼគ的限制，统计活动的Պ˔᣿ሮѬஙښˀՏ的᫽඀Κ次ᤉ
行，学生ᤇళᄾ正ፃԋ̰
Цʹ᫈
题出发，ଢ出有价ϙ的统计᫈
题，ࣳ
ᤰ᣿ஆ集njட理njѬౢ
数据，̰
Ꮻͻ出合理的଎லᤈ一߹ட᣿ሮ. ڂ൥，ښ本፬合与ࠄ᡻活动中，ੈ̓
᝺计̀
ᄱ
关活动，ᝨ学生ፃԋ统计活动Л᣿ሮ，ࣳ
对统计᣿ሮᤉ行Ԧ思，ԁ对数据的౏ູ
njܫ理数
据的方ข̿
及ႀ൥४҂的ፇ᝷ᤉ行合理的᠏
Ⴁ，ᤉ一൦发࡙
学生的数据Ѭౢ
᜺ঐ，切ࠄଢ
ᰴ学生的统计хኖᑟ力. 
教科书᝺计൥፬合与ࠄ᡻活动，一方面௧ښ初中᫽඀学习̀
统计的۳ᆩᅼគ和方ข˨
Ց，ښ൥ܫ对ᤈ̏
Яࠔͻ一˔঴ፇ，ࣳ
ᤂ用ਫ਼学的ᅼគ和方ขԝᝍхࠄᬅ᫈
题，ᝨ学生ʹ͘
数学与ဘࠄ生活的ࠛ
切ᐏ系，ܙू
ऄ用ਓគὙԳ一方面˷௧对统计活动的᣿ሮͻ一˔概
઺ឭ௚，ᝨ学生ᤉ一൦௚确̰̃
统计活动的ї˔۳本൦ᰡ，ࣳ
ښ活动的᣿ሮ中ᝣគ҂统计
对хኖ的ͻ用，发̵࡙̓
的数据Ѭౢ
᜺ঐ.
۳̆̿
上思考，教科书中Цʹ᝺计̀̿
下ː课௑Яࠔ：第 1 课௑Џଢ出᫈
题þښ中
学᫽඀，视力௧աᬤᅌ年ᴔ的ܙҫᏫᤪຒ变ࣀÿ，ᝨ学生ፃԋ̰
ࠄᬅ᫈
题出发，ஆ集njட
理njѬౢ
数据，ᤉᏫᝍх᫈
题的᣿ሮ，Տ௑对统计活动的᣿ሮͻ一˔概઺ឭ௚，ᝨ学生ᤉ
一൦௚确̰̃
统计活动的ї˔۳本൦ᰡ，ࣳ
ᝣគ统计对хኖ的ͻ用Ὑ第 2 课௑̿᫈
题的形
式ळ࠮学生对统计活动的᣿ሮᤉ行Ԧ思，ࣳ
г次ፃԋ一˔ᬲए和્੍
性更ᰴ的活动᣿ሮ，
ᝍх新的᫈
题.
ښЦʹ教学ጉె
的ᤥԩ上，ᤉ一൦ʹဘࠄ᡻性和Ի୲ͻ性Ԕѷ，δ᝽ጉె
的ᄾࠄ性nj
科学性和活动的Ի୲ͻ性. ݠ学生的视力ৱцऄស௧උᣗࠔ௜ᖍ४的，̰
Ꮻδ᝽̀
数据的ᄾ
ࠄ性和活动的Ի୲ͻ性.
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ஔ学用书
ʼnj教ߦथᝬ
1. ฌ重教学ጉె
及Хնဘ方式的多ನ化̿
及数据的ᄾࠄ性和科学性.
本፬合与ࠄ᡻活动的教学ጉె
——学生的视力，౏ᒭ学生的ဘࠄ生活，教师Ի̿
ᝨ学
生课Ғូ
ಊᒭࣂိ
级或学ಣ的ᄱ关数据，˷Ի̿
上Ꭺ或҂有关఻౞ಊវᄱ关资料. ښնဘ统
计数据௑，௅Ի̿
௧ళፃҫࢺ的数据，˷Ի̿
௧ፃ᣿ҫࢺܫ理的Պ种统计图表等. े
ཀྵ，教
师ᤇԻ̿
ፇ合学生的Цʹᝣᅼ和生活ࠄᬅ，ጸጻ学生开࡙
一̏ូ
ಊ或஡࿹ೝጊ活动，ᒭࣂ
ஆ集一̏
ᄱ关教学ጉె
，˷Ի̿
ႀ教师ଢΙ一定的ጉె
，ᝨ学生Ѭౢ
njកѼ. Տ௑，统计
ͻ˞ܫ理ဘࠄˇႍ
数据ηৌ的一˔重᜶数学Ѭஃ，ॹཀྵ᜶求教学ጉె
本ᢶ的ᄾࠄ性和科学
性，ԁ᜶求统计数据与ࠇ᜺ࠄᬅৱцᄱኀ合，˷᜶求数据的ᖍԩ及ܫ理᣿ሮ科学合理，̿
۲Щ学生求ᄾ的科学গए.
2. ฌ重学生的活动，ྲ
ѿ௧࠵ጸ合ͻ的活动. 
本፬合与ࠄ᡻活动中，学生ᭊ᜶࡙
开一定的ࠄᬅ୲ͻ活动或ᆑᝧ活动. ᤈ̏
活动的࡙
开
ड़ड़᭤一̡
˨力ਫ਼ᑟ߹ੇ
，ᭊ᜶࠵ጸ的合ͻ，Զ有ᤰ᣿ЍѬڡᆑᝧ，ࣹ
ฅڡ̔ื
，੦ᑟੱܸ
学生的思፥视角，ງ化学生对ᅼគ的理ᝍ. ڂ൥，教师ऄࡊ᧚ፌ学生ଢΙ一定的ࠄ᡻活动
఻͘
，᜶求学生̞
ᒭࠄ᡻，ࣳ
ښ活动的᣿ሮ中ळ࠮学生ᤪ൦ʹ͘
统计的۳本思ਇ，Տ௑ᤂ
用ਫ਼学ᅼគnj方ขԝᝍхࠄᬅ᫈
题. Գܱ
，ᤇ᜶ྲ
ѿҫू
࠵ጸ合ͻ活动的ጸጻ与教学，ښ合
ͻ̔ื
中，ᤰ᣿ᄱ̉ࣟ
Ұ，ᝨਫ਼有学生ᦐ४҂发࡙
，᣺҂СՏᤉ൦. 
3. ᴂҵ学生Ύ用计算٨ܫ理复ా
的数据，ฌ重Х̵
课ሮ资ູ
（ݠηৌ੿షnj多媒ʹ）
的开发与Ѿ用. 
ᄾࠄ的统计数据ड़ड़උᣗ复ా
，ڂᏫ计算᧚ᣗܸ
. 教学中，ऄ关ฌ学生对ᅼគ的理
ᝍ，Ꮻˀ᜶࠲学生的ድ力Ᏺᠠ̆
ጓా
的计算中. ˞൥，ऄᴂҵ学生Ύ用计算٨. 有条件的ڡ
ӝ或学ಣԻ࠽ត用计算఻等ဘ̽
化੤඀ᤉ行数据的ܫ理和教学，ݠ᜶求学生Ѿ用计算఻的
ᄱ关ऄ用ᣄ件ፋ制图表. 
4. ळ࠮学生初൦形ੇ
对统计᣿ሮᤉ行ក价与Ԧ思的ਓគ. 
ښ统计活动的教学᣿ሮ中，थᝬ教师᜶ˀலळ࠮学生ښѾ用统计ᝍх᫈
题njͻ出хኖ
˨Ғ，ऄ̰᫈
题出发思考ᭊ᜶ஆ集哪̏
ηৌnjݠ͵ஆ集ηৌnjݠ͵表᣺ηৌ等，ᝨ学生ᤪ
ຒʹ͘
˞̤
˦᜶用统计nj统计҂अᑟፌੈ̓ࣜ
౏̤
˦，Տ௑ळ࠮学生对统计᣿ሮᤉ行ក价
与Ԧ思：ូ
ಊፇ౧和ᮕਇ的ፇ᝷一ᒱՙὝͿᑟ对统计ፇ᝷ᤉ行ᝍ᧖ՙὝˀ一ᒱ的Ԕڂ௧̤
˦Ὕ௧ᆑቃ᝺计的᫈
题，统计方ข的᫈
题，ᤇ௧数据ܫ理的᫈
题Ὕ
ᒭੈ
ក价与Ԧ思ਓគ的形ੇ
有Ұ̆
ஈᤉ学生的学习方ข，ଢᰴ学生的学习ᑟ力. ښ统计
Яࠔ的学习中，᜶求学生形ੇ
对数据ܫ理᣿ሮ初൦ក价与Ԧ思的ਓគ，࠲有Ұ̆
学生对统
计思፥与确定性思፥的理ᝍ. Գܱ
，数据ܫ理的᣿ሮߛښᅌ统计思ਇ与统计方ข的ࣀप，ᤈ
ನԻᑟ࠮ᒱ统计Ѭౢ
ፇ౧的ࣀѿ，学生的初൦ក价与Ԧ思的ਓគ，࠲有Ұ̆
ஈؓ
统计Ѭౢ
᣿ሮ中Իᑟ出ဘ的Պ种᫈
题. 更重᜶的一条௧，ក价与Ԧ思的ਓគ࠲有Ұ̆
学生ࠇ᜺ڡᝣគ
统计的᣿ሮ. 统计Ѭౢ
的方ข，有Ұ̆
理性思፥的۲Щ. 
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147
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
پnjក͉
थᝬ
1. ฌ重对学生活动的ក价，˟᜶ក价学生的参与ሮए，̿
及ښ活动᣿ሮ中表ဘ出౏的
思፥方式，与Տ学合ͻ与̔ื
的ৱц等. 
ښѬౢ
学生视力变化ৱц的᣿ሮ中，学生ॹᮌ࡙
开一定的ࠄᬅ୲ͻ活动或ᆑᝧ活动，
ڂᏫ对学生活动的考ಊऄੇ
˞教学ក价的˟᜶方面. ᤈ方面的ក价˟᜶̿
学生ښ̰̃
活动௑
的表ဘͻ˞对៶，Ի̰̿
ː˔方面౏ᤉ行：一௧学生ښ活动中的આКሮए——ᑟա积ౝnj
˟动ڡ̰̃
Պᮊ活动，ՔՏͧ
ᝍ᧖ᒭࣂ的ਇข，զԩѿ̡
的थᝬ和ਓ᜹Ὑ̄
௧学生ښ活动
中表ဘ出౏的思፥ඵࣱ
nj表ᤘඵࣱ
等. 
对学生活动ፇ౧的ក价Ի᧔用四˔等级：A ，B ，C ，D . ХѬѿ对ऄ：͖
ሒnjᓢݞnj中
等nj۳本合格. 一ᓊৱц下，教学中ࡊ᧚ˀ᜶ፌ́
学生ˀ合格的ក价，ᬔ᭤学生的ੇ
፛与 D
级ඵࣱ
有௚௭ࣀप. Цʹ等级表ဘଡᤘݠ下，Ι参考. 
D 等级：̩̩
௧ોི
教师的᜶求ԝϢ，४҂一̏
数据njᖍ४一̏
ፇ᝷Ὑ෥有ᒭࣂᝍх
 ፬合与ࠄ᡻᫈
题的方ข，ˀᑟᄾ正参与҂Տͧ
的活动᣿ሮ中Ὑஆ集数据njඋᣗѼல௑̩
ᑟܵ
ࠄஷ一̏
ᮕЏ᝺计的活动，对͊
务෥有߹ட的求ᝍ思路nj಴౶nj൦ᰡ. 
C 等级：ᑟܵ
උᣗю确ڡ߹ੇ
᜻定的活动൦ᰡ，උᣗ˟动ڡ和Տͧ
一ᡑ制ᝡ方ವnjѬ
ࢺ合ͻ，ᑟܵ
߹ੇ
۳本的数据ஆ集njܫ理͊
务Ὑ活动积ౝ性ᣗᰴὙᖍ४的活动ፇ౧۳本正
确ὙଢῚ
ᝍ᧖ፇ౧正确性的一̏
Κ据，ݠЦʹವΓnj数据ᝍ᧖nj᤿ᣤ᝷据等. 
B 等级：对本活动的Яࠔ有උᣗю确nj߹ட的理ᝍ，有ᒭࣂ的ਇข和᜹ᝍ，积ౝ˟动
ڡ̰̃
Պᮊ活动，ᑟಪ据数据ܫ理ፇ౧४出合理的统计଎ல，ᤇᑟܵ
ՔՏͧ
ᝍ᧖ᒭࣂ的ਇ
ข，զԩѿ̡
的थᝬ和ਓ᜹等Ὑᑟ্ܵे
ڡܫ理活动᣿ሮ中出ဘ的ਓܱ
ৱц，ᤠ
௑ូ
ட方
ವ或ஈ变方ขὙᖍ४正确的活动ፇ౧ὙଢῚ
ᝍ᧖ፇ౧正确性的᝷ᤘ᣿ሮ，ݠᰎ᝽nj数据
ᝍ᧖等. 
A 等级：ښB 级۳ᆩ上，્੍ؓ̆
ᒭੈ
，˟动࠭
求ᝍх᫈
题的͖
化方ವὙᑟܵ
ૉ出̵̡
方ข中的ˀ合理˨ܫ，ࣳ
˟动ࣟ
ҰՏ学，ፌ出ஈᤉथᝬὙᑟܵ
ښ表᣺ូ
ಊ对៶的ηৌ及ܫ
理数据中有新ᮣ
࿘ྲ
的ਇข，或ښ数据的଎ல上有ᒭࣂ࿘ྲ
的थᝬὙᑟܵ
对活动的᣿ሮnj
ፇ౧ᤉ行ᣗ˞ງ҉的Ԧ思，ࣳ
ᑟଢ出新的᫈
题和थᝬ等. े
ཀྵ，Цʹក价ಖю௧˔性化的，教师Ի̿
ಪ据活动的ᭊ᜶和学生的ࠄᬅৱц制ᝡ更
ҫጺ化的njᤠ
合的ក价ಖю. ݠ对̆
制ᝡՊ学习ဗᓬ的等级ក价ಖю，ཀྵՑгಪ据学生或Ꮸ
࠵ጸՊဗᓬ的等级状цᤉ行঴ʹក价. 
2. 关ฌ学生的ᒭក与̉
ក.
Ի̿
制ᝡᤠे
的ಖюᝨ学生ᤉ行ᒭក与̉
ក. ݠԻ̰̿
ಖю的科学性nj数据ஆ集的̽
表性nj数据ܫ理的正确性nj课۶̔ื
的ื
ႊ性nj课۶កౢ
的积ౝ性等方面，ႀХ̵
ጸ学生
对౽ጸ学生的表ဘᤉ行ក价，̰
Ꮻ形ੇ
对សጸ的঴ʹក价. े
ཀྵ，˷Ի̿
ښ学生ႂ
ឰ的۳ᆩ
上，形ੇ
˄᫃
的ក价࠵ጸ，ᤉ行࠵ጸក价. 
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
教科书̰
þ 中学生的视
力ÿᤈ˔生活中࣢᜹的ဘ៶出
发，ଢ出̀
þښ中学᫽඀，视
力௧աᬤᅌ年ᴔ的ܙҫᏫᤪຒ
变ࣀÿᤈನ一˔᫈
题，ᝨ学生
ፃԋ̰
ࠄᬅ᫈
题出发，ஆ集ࣳ
Ѭౢ
数据，ᤉᏫᝍх᫈
题的᣿
ሮ. ښ̰̃
统计活动˨Ғ，教师
Ի̿
ᴂҵ学生ಪ据ᒭࣂ的生活
ፃᰎ对上ᤘ᫈
题的ፇ᝷ᤉ行࿯
฾，̿
ܙू
学生参与统计活动
的Уᡚ. 
ϢʷϢ
本课௑的˟ ᜶ᄬ的௧对
统计活动的᣿ሮͻ一˔概઺ឭ
௚，ᝨ学生ᤉ一൦௚确̰̃
统
计活动的ї˔۳本൦ᰡ. ˞̀
Χ̆
统计活动的开࡙
，ੈ̓
Џ̰ូ
ಊЛိ
Տ学的视力ৱцК
੤，ࣳ
˅Զஆ集ᤃర和上一年
ए的视力数据. 
ښட理数据的᣿ሮ中，Ի̿
ોི
教科书ፌ出的方式，Џ
࠵ጸල঴，гો࠵ጸᤉ行Лိ
ල঴，˷Ի̿
ોི
Х̵
的方式
ᤉ行ட理. ˀኮ᧔用̤
˦ನ的方式，教师ᦐऄសᝨ学生௚确：ட理数据的ᄬ的௧˞̀
Ց面更方Χڡ
表ᇨ和Ѭౢ
数据.
对̆
ட理ݞ的数据，教师ऄᴂҵ学生Џ用ᤠे
的统计图表Ѭѿ࠲ᤃర和上一年एࢻԿᅋ的视
力ৱц表ᇨ出౏，ࣳ
ࡊԻᑟڡ̰
ᤈ̏
统计图表中ᖍԩ更多的ηৌ，ݠ̰
中估计ࣱ
ک数nj中位数nj͕
数njౝࣀ等. ཀྵՑгѬѿ计算ᤃర和上一年एࢻԿᅋ视力的ࣱ
ک数nj中位数nj͕
数njౝࣀ和方ࣀ，
ᄺᄺ与ᒭࣂ的估计ፇ౧௧աܸ
ᒱᄱՏ. 
教师ऄᴂҵ学生̰
上面的数据̿
及Ѭౢ
的ፇ౧中ᖍԩࡊԻᑟ多的ፇ᝷，ࣳ
ႀ൥ͻ出଎ல. 学生
Իᑟ४出ᤃరࢻᅋnjԿᅋ的ࣱ
ک数ᦐඋ上年ࢻᅋnjԿᅋ的ࣱ
ک数ܸ
. Ꮻႀ学生४҂的ᤈ̏
ፇ᝷，ˀ
ᬲͻ出଎ல：本ိ
Տ学的视力ᬤᅌ年ᴔ的ܙҫښᤪຒ变ࣀ.
教师ऄࣟ
Ұ学生ᤪຒ形ੇ
对数据ܫ理᣿ሮᤉ行初൦ក价的ਓគ. ᒭੈ
ក价ਓគ的形ੇ
有Ұ̆
ஈ

፬Ռˁࠄ᡻ ፒᝠำүúú᜽ҧᄊԫӑ
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ஔ࣎
ஔ学用书
ᤉ学生的学习方ข，ଢᰴ学生的学习ᑟ力. ښ统计Яࠔ的学习中，᜶求学生形ੇ
对数据ܫ理
᣿ሮ初൦ក价的ਓគ，࠲有Ұ̆
学生对统计思፥与确定性思፥的理ᝍ. Գܱ
，数据ܫ理的᣿
ሮߛښᅌ统计思ਇ与统计方ข的ࣀप，ᤈನԻᑟ࠮ᒱ统计Ѭౢ
ፇ౧的ࣀѿ，学生的初൦ក
价的ਓគ࠲有Ұ̆
ஈؓ
统计Ѭౢ
᣿ሮ中Իᑟ出ဘ的Պ种᫈
题. 更重᜶的一条௧，ក价的ਓគ
࠲有Ұ̆
学生ࠇ᜺ڡᝣគ统计的᣿ሮnj统计Ѭౢ
的方ข，有Ұ̆
理性思፥的۲Щ. 
教师用书中ፌ出̿
下ᄾࠄ的数据，一方面ᔪ学生ਫ਼ښ的ိ
级௄ขஆ集҂ᄱ关的视力ᝮै
௑，教师Ի̿
࠲൥数据ଢΙፌ学生ᤉ行Ѭౢ
ὙԳ一方面Ի̿̿
൥数据˞۳ᆩնဘѬౢ
数
据和ͻ出଎ல的᣿ሮ，Ι教师教学௑参考. 
౽学ಣ九年级Оိ
ᤃర和上一年ए视力数据ட理ݠ下：
ᤃర视力ৱц
上一年ए视力ৱц
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
4.6
4.7
4.7
4.9
4.5
4.6
4.6
4.2
5.2
5.3
5.2
5.3
4.8
4.9
4.9
4.4
4.4
4.4
4.7
4.7
5
4.9
5
5.1
5.2
5.2
5.2
5.2
4.5
4.5
4.8
4.5
4.5
4.4
4.8
4.6
5.1
5
5.1
5.1
4.2
4.1
4.3
4.3
4.6
4.6
4.5
4.7
4.6
4.8
4.9
4.9
4.8
5.1
4.8
4.8
5.3
5.3
5.1
5.2
4.7
4.7
4.6
4.7
4.9
4.8
5
5
5
4.8
4.8
4.8
4.9
4.7
5.2
5.3
4.3
4.4
4.8
4.6
4.5
4.4
4.5
4.5
5.1
5
5.1
4.9
5.2
5.2
5.1
5.1
5.2
4.7
5.2
4.9
4.6
4.8
5
4.9
ᤃర视力ৱц
上一年ए视力ৱц
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
4.7
4.7
4.7
4.6
4.7
4.7
4.8
4.9
4.4
4.4
4.6
4.6
4.5
4.6
4.9
4.9
4.3
4.4
4.2
4.6
4.1
4.2
4.6
4.6
4.8
4.7
5
5
4.7
5
4.8
5.2
5
4.9
4.8
4.5
5
4.9
5.2
5.2
4.5
4.6
5
4.9
4.5
4.5
4.9
4.9
4.5
4.4
4.5
4.5
5
5.2
5.2
5.1
4.5
4.4
4.6
4.6
4.5
4.8
4.8
4.8
4.5
4.5
4.7
4.5
5.1
5
5.2
5.3
5
4.6
4.9
5
4.6
4.5
4.6
4.7
4.2
4.4
4.5
4.5
4.9
4.9
5.2
5.2
4.5
4.6
4.6
4.7
5.1
5.1
5.2
5
4.9
4.6
4.9
4.8
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150
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
对ਫ਼有的数据ᤉ行ල঴：
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
ᤃరࢻᅋ
1
2
2
2
12
5
4
3
4
6
4
4
1
ᤃరԿᅋ
1
1
0
9
4
7
7
5
5
4
2
3
2
上年ࢻᅋ
0
1
1
0
4
7
4
9
6
5
4
9
0
上年Կᅋ
0
1
1
1
6
7
5
4
9
4
4
5
3
对̆
ᤃరࢻᅋ的视力ৱц，Ի̿
用̿
下统计图౏表ᇨ：
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151
஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
࠲上表的数据ᤉ行Ѭጸ：
4.1_4.3
4.3_4.5
4.5_4.7
4.7_4.9
4.9_5.1
5.1_5.3
5.3_5.5
ᤃరࢻᅋ
3
4
17
7
10
8
1
ᤃరԿᅋ
2
9
11
12
9
5
2
上年ࢻᅋ
1
1
11
13
11
13
0
上年Կᅋ
1
2
13
9
13
9
3
对̆
ᤃరࢻᅋ的视力ৱц，ᤇԻ̿
用̿
下频数Ѭ࣋
直方图表ᇨ：
（1）ᤃర和上一年एࢻԿᅋ视力的ࣱ
ک数nj中位数nj͕
数njౝࣀ和方ࣀݠ下表：
ᤃరࢻᅋ
ᤃరԿᅋ
上年ࢻᅋ
上年Կᅋࣱ
ک数
4.724
4.718
4.846
4.824
中位数
4.7
4.7
4.8
4.85͕
 数
4.5
4.4
5.2
4.9
ౝ ࣀ
1.2
1.2
1
1.1
方 ࣀ
0.091 824
0.080 676
0.064 884
0.075 424
（2）ᤃర和上一年ए的视力ˀᓢ率Ѭѿ˞ 82%
，72%
.̰
上表ˀᬲᄺ出，ᬤᅌ年ᴔ的ܙҫ，视力的ࣱ
ک数nj中位数nj͕
数ᦐښ变࠵，Ꮻౝࣀ
和方ࣀᦐښ变ܸ
，视力ˀᓢ率ښ变ܸ
.̰
上面的数据Ѭౢ
ˀᬲͻ出଎ல：本ိ
Տ学的视力ᬤᅌ年ᴔ的ܙҫښᤪຒ变ࣀ.
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ᝬʷᝬ
关᪄௧᜶ᝨ学生ฌਓನ本
的ᤥԩ一定᜶有̽
表性，උݠ
Ի̿
考ᘽඈ˔年级ᬤ఻ચԩᔪࣰိ
级，г̰
ඈ˔ိ
级中ᬤ఻
ચԩᔪࣰ
学生. 

፬Ռˁࠄ᡻ ፒᝠำүúú᜽ҧᄊԫӑ
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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
153
ਇʷਇ
ښ 上一课௑活动的۳ ᆩ
上，̿᫈
题的形式঴ፇ统计活
动的۳本൦ᰡ. 教师Ի̿
ᴂҵ学
生Џ回顾上一课௑统计活动的
᣿ሮ，ࣳ
ፇ合ស活动ࡊԻᑟڡ
用ᒭࣂ的方式౏回ን，ښ൥۳
ᆩ上ᝨ̵̓
ЍѬ̔ื
，ࣳ
ळ࠮
学生СՏ४出ፇ᝷. 
教师ښ教学中˷Ի̿
ಪ据
ᭊ᜶ં᫈
题Ѭங҂下面统计活
动的Պဗᓬ中，ښ活动的᣿ሮ
中ˀலᝨ学生ʹ͘
. 
ϢʷϢ
ᤰ᣿上一课௑的统计活
动，ࣃፃ४出̀
ፇ᝷：ښ中学
᫽඀，视力确ࠄښᬤᅌ年ᴔ的
ܙҫᏫᤪຒ变ࣀ. ͮ
௧ᤈ˔ፇ᝷
Ԧ௢的Զ௧Տ一੻̡
ښˀՏ年
ᴔ᫽඀视力的变化ᡖҹ，Ꮻ˅
ፇ᝷ᄱ对උᣗ௚௭. ˞൥，教科
书ԡ˄᫃
᝺计̀
Գ一˔活动，
Ѭౢ
ښ中学᫽඀，ˀՏ年级学
生的视力状ц௧աᬤᅌ年级的ӤᰴᏫᤪຒ变ࣀ，ࣳ
ᤉ一൦Ѭౢ
学生的视力状ц௧̰
ʹ年级҂М年级
的变化更௭ᗃ，ᤇ௧̰
М年级҂九年级的变化更௭ᗃ. े
ཀྵ，᝺计ᤈ˔ࠄ᡻活动，ᤇ有Գܱ
一˔ᄬ的，ࡃ௧᜶ᝨ学生ښ上面回顾঴ፇ̀
统计活动的
۳本൦ᰡ˨Ց，г次ፃԋ一˔ᬲए和્੍
性更ᰴ的活动᣿ሮ. ࡊኮ上一课௑ࣃፃᝨ学生ូ
ಊ̀
ʹnj
М年级Տ学ᤃర及上一年एࢻԿᅋ的视力ৱц，ੈ̯࣏̓
మᝨ学生ಪ据ូ
ಊ᫈
题的ᄬ的，ᒭ˟确
定ូ
ಊ对៶和ஆ集数据的方ข. ᔪѬౢ
中学᫽඀ႄ生和ݙ生的视力௧աᦐ௧ᬤᅌ年级的ӤᰴᏫᤪຒ
变ࣀ，ஆ集数据௑ࡃऄӊ઺ᜂូ
ಊᏨ的性ѿ. ᒰ̆
ட理nj表ᇨnjѬౢ
数据及ಪ据数据ͻ出଎ல的Я
ࠔ，与上一课௑۳本௧ᄱͫ
的.
ႀ̆
ನ本ᤥԩ的̽
表性njѬౢ
数据方ข的多ನ性̿
及统计ፇ౧的ᬤ఻性等多方面的ڂጉ，̰
学
生ូ
ಊ的数据Ѭౢ
४҂的ፇ౧Իᑟˀܺ
ࠔ௜ᄺ出学生的视力状ц҂अ௧̰
ʹ年级҂М年级的变化更

፬Ռˁࠄ᡻ ፒᝠำүúú᜽ҧᄊԫӑ
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௭ᗃ，ᤇ௧̰
М年级҂九年级的变化更௭ᗃ. ݠ౧学生४出的ፇ᝷ߛښϠࣀ，教师Ի̿
ᤰ᣿᫈
题的方式ळ࠮学生ᤉ行Ԧ思：ನ本的ᤥԩ௧աЦ有̽
表性Ὕ表᣺和Ѭౢ
数据的方ข௧ա
合理Ὕ等等. ԁΧ学生̰
数据Ѭౢ
的ፇ౧中४҂̀
正确的଎ல，教师̯
Ի̿
ᝨ学生思考：哪̏
ဗᓬԻ̿
ͻᤉ一൦的ஈᤉὝটನ੦ᑟΎ४ፇ౧更ድ确ԻηὝ等等. ᝨ学生ښᤈ˔Цʹ的᫈
题ৱܒ中，ᤰ᣿统计活动的᣿ሮ̿
及˨Ց的Ԧ思，ᄾ正ʹ͘
统计思፥与确定性思፥的ࣀप.
教师用书ፌ出౽学ಣ九年级̄ိ
njМ年级九ိ
和ʹ年级一ိ
学生ᤃర视力的数据，教
师Ի̿
ᴂҵ学生对൥数据ᤉ行Ѭౢ
和଎ல，ࣳ
与ᒭࣂ的ፇ᝷ᤉ行උᣗ.
౽学ಣښՏ一௑ᫎ
ᤉ行ʹೝ，Х中九年级̄ိ
njМ年级九ိ
和ʹ年级一ိ
的视力数据
ৱцݠ下：
ށՐ
九年级̄ိ
学生
ᤃర视力ৱц
ށՐ
М年级九ိ
学生
ᤃర视力ৱц
ށՐ
ʹ年级一ိ
学生
ᤃర视力ৱц
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
4.9
5
4.7
4.7
5.1
5.2
4.1
4
4.7
4.7
5.2
5.2
4.1
4
4.4
4.8
5
5
5
4.2
4.9
4.6
5.1
4.8
5.2
5.1
4.8
4.8
5
5
4.6
4.3
5.1
5.1
4.9
4.9
5.1
5.2
4.4
4.5
5.1
5.2
4.8
4.8
4.6
4.8
4.9
4.8
5.2
5.2
4.8
4.7
5.2
5.2
5
4.6
4.1
4.2
5
5.1
4.7
4.7
5
5
4.7
4.6
4.3
4.3
5
5
4.1
4.6
5
5
4.3
4.3
4
4
5.2
5.1
5
4.9
5
5.1
4
4
4.4
4.3
4.7
4.9
4.5
4.6
5
5
4.9
4.8
4.4
4.3
5
4.9
4.9
4.7
5.2
5.2
5.1
5
5
4.8
5.1
4.9
4.8
4.8
5.2
5.2
5.2
5.1
5
5
4.8
4.5
4.6
4.7
5
5.1
4.9
5.1
4.9
5.2
4.2
4.3
5
5
5.1
5
5
5
5.2
5.2
山东教育出版社 
 
 
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ށՐ
九年级̄ိ
学生
ᤃర视力ৱц
ށՐ
М年级九ိ
学生
ᤃర视力ৱц
ށՐ
ʹ年级一ိ
学生
ᤃర视力ৱц
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
ࢻᅋ视力
Կᅋ视力
4.7
4.7
5
4.6
4.7
4.5
5.1
5
5
4.9
4.3
4.5
4.4
4.4
5.1
5.1
4.9
4.8
4.7
4.4
4.5
4.3
5
5
4.8
4.8
4.4
4.2
4.8
4.7
5.2
5
5
5.1
4.9
4.9
4.5
4.3
5
5
4.3
4.2
5.2
5.1
5.1
5.1
5
4.8
4.9
5.1
5
5
4.3
5.2
4.3
4.1
4.4
4.9
5.1
5
4.2
4
4.9
4.9
4.8
4.8
5
4.8
4.8
4.8
5.1
5.2
4.5
4.6
5.1
4.6
4
4.2
4.9
4.7
4.6
4.6
4.8
4.7
4.3
4.2
5
5
5.1
5
4.1
4
5.3
4.6
4.2
4.1
4.3
4.1
4.5
4.6
5.1
4.9
4.7
4.9
5
4.9
5
4.9
4.8
4.8
4.9
5
4.9
4.7
4.4
4.2
4.8
4.7
4.7
4.7
4
4.1
4.3
4.5
5
4.8
4.6
4.7
4.8
4.8
4.6
4.6
4.9
5
4.2
4.6
5.1
5
4.8
4.8
4.8
4.8
4.9
4.9
4.2
4.2
4.1
4.1
4.3
4.3
4.9
4.9
5
5
5
5
4
4.2
4.8
4.7
5
5
4.2
4.2
4.8
5
4.9
4.7
4.9
4
4.1
4.1
5
5.1
4.9
4.6
4.3
4.4፞
᛫
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
九年级njМ年级njʹ年级ࢻԿᅋ视力的ࣱ
ک数nj中位数nj͕
数njౝࣀ和方ࣀݠ下表：
九年级ࢻᅋ
九年级Կᅋ
М年级ࢻᅋ
М年级Կᅋ
ʹ年级ࢻᅋ
ʹ年级Կᅋࣱ
ک数
4.672 727
4.610 909 1
4.781 132
4.754 717
4.836
4.826
中位数
4.7
4.7
4.9
4.8
4.9
4.9͕
 数
4.9
5
5
5
5
5
ౝ ࣀ
1.2
1.2
1.2
1.1
1.2
1.2
方 ࣀ
0.144 529
0.152 971 9
0.088 323
0.081 723
0.101 504
0.089 524
九年级njМ年级njʹ年级的视力ˀᓢ率Ѭѿ˞ 80%
，69.8%
，64%
.̰
上表ˀᬲᄺ出，ᬤᅌ年级的ܙҫ，视力的ࣱ
ک数ښ变࠵，˅̰
М年级҂九年级的变
化更௭ᗃὙ方ࣀ̰
ʹ年级҂М年级的变化ˀܸ
，̰
М年级҂九年级௚௭变ܸ
Ὑ中位数nj͕
数和ౝࣀ的变化ˀ௭ᗃὙ视力ˀᓢ率ښ变ܸ
，˅̰
М年级҂九年级的变化更௭ᗃ.̰
上面的数据Ѭౢ
ˀᬲͻ出଎ல：ˀՏ年级学生的视力状цᬤᅌ年级的ӤᰴᏫᤪຒ变
ࣀ，ࣳ
˅̰
М年级҂九年级的变化更௭ᗃ. 
ᝬʷᝬ
（1）性ѿnjऐ位nj学习ੇ
፛等对视力的ॖ
־.
（2）ݠ视力̰
М年级҂九年级的变化更௭ᗃ，Ի̿
ଢᧈฌਓ面对中考的ԍ力.
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
157
˸ᮥ
1. ႕.
2. ๘及ચನូ
ಊ，ऄ关ฌನ本
的̽
表性. 教师Ի̿
ळ࠮学生
ᒭ˟ಊវЛ市及Л国有关初
中生视力ৱц的资料，̿
൥
˞۳ᆩᤉ行统计Ѭౢ
.

፬Ռˁࠄ᡻ ፒᝠำүúú᜽ҧᄊԫӑ
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
፬Ռˁࠄ᡻
 ઉጮˁ஝ߦ
ʷnj教ߦ目ಖ
1. ଊጊ折纸中ᘔե的数学ᅼគ，ʹ͘
折纸的Ԕ理，理ᝍ折纸与ࡇ᜻ͻ图Ԕ理njᣉ对称
变૱等有关ᅼគ˨ᫎ
的ᐏ系. 
2. ͘
ಪ据折纸۳本୲ͻ方ข折ԯ出一̏
᜻定的图形，发࡙
学生的动੤ᑟ力.
3. ፃԋଊጊ折纸Ԕ理的᣿ሮ，ᤉ一൦积ግ数学活动ፃᰎ，发࡙
፬合ᤂ用数学ᅼគѬౢ᫈
题njᝍх᫈
题的ᑟ力. 
4. ᤰ᣿折纸༏发学生的ݞ݉
心与求ᅼ൘，发࡙
学生的ଊጊᑟ力. ̄
nj᝺ᝠন᡹
ښ̿
Ғ的数学课中，ፃ࣢᥅҂折纸的᫈
题，ͮ
折纸的数学Ԕ理๘及ᣗ࠶. 本፬合与ࠄ᡻
௉ښፇ合第ʼ学඀学᣿的ࡇ᜻ͻ图Ԕ理njᣉ对称变૱等ᅼគ，ᝨ学生ᤰ᣿ࠄᬅ୲ͻ，ଊጊ
折纸中ᘔե的数学ᅼគ，ᤉ一൦发࡙
学生፬合ᤂ用数学ᅼគѬౢ
和ᝍх᫈
题的ᑟ力，ʹ͘
数学ᤂ用的ࣹ
ฅ性，ࣳ
ᤉ一൦形ੇ
学数学nj用数学的ᑟ力. 
Цʹ౏ឭ，本፬合与ࠄ᡻᝺计的۳本಴౶௧：折一折njਇ一ਇnjϢ一Ϣ. 
第一൦：折一折. 教ె
ѵˡ̀
折纸的 6 种۳本୲ͻ方ข. 学生ፃԋᤈ̏
୲ͻ᣿ሮ，初൦ྀ
৙̀
折纸的۳本方ข，۲育̀
对折纸的Уᡚ. 
ᤈ 6 种۳本୲ͻ方ขݠ下. 
折纸 1：ːག折线. ԁ᣿ːག折一条折჉，折჉௧᣿ᤈːག的直线. 
折纸 2：ːག对折. ԁ折ᡑ一གΎХ与Գ一ག重合，折჉௧ᤈːག的对称ᣉ，˷௧ᤈː
གᤌ线的垂直ࣱ
Ѭ线. 
折纸 3：ࣱ
行对折. ԁ折ᡑː条ࣱ
行线中的一条，ΎХ与Գ一条重合，折჉௧ᤈː条ࣱ
行线的中ࣱ
Ѭ线（位̆
ː条ࣱ
行线˨ᫎ
，˅与ᤈː条ࣱ
行线ᡰሏᄱ等的直线ԷϢᤈː条ࣱ
行线的中ࣱ
Ѭ线）. 
折纸 4：̔
线对折. ԁ折ᡑ角的一边ΎХ与Գ一边重合，折჉௧角的ࣱ
Ѭ线. 
折纸 5：᣿ག折线. ԁ᣿一ག࠲一条线඀折ԯ（ˀ一定௧对折），折჉௧ᤈ条线඀᣿ᤈ
ག的垂线. Ѭགښ线上和གښ线ܱ
ː种ৱц. 
折纸 6：折ག҂线. 一条线඀的一ቫˀ动，࠲Գ一ቫᏢ折҂Գ一条线上，折჉௧Ꮲ折的
线඀ҒՑ形ੇ
的݃
角的ࣱ
Ѭ线. 
۳本୲ͻ方ขᤇ有 2 种，ႀ̆
ᣗ复ా
，教科书ˀᠼᤘ. 
第̄
൦：ਇ一ਇ. ൥൦ᰡ௧ࣟ
Ұ学生थ立折纸୲ͻ与数学ᅼគᐏ系的重᜶ဗᓬ. 教ె
ᤰ
᣿þᝬ一ᝬÿ，ᝨ学生ЍѬᝧ᝷ː˔᫈
题. 
学生ˀᬲ发ဘ，折纸௧ᤰ᣿折ԯࠄဘ的，͊
͵一次折ԯᦐ௧ᣉ对称变૱的Цʹ୲ͻ. 
折纸的 6 种۳本୲ͻ方ขѬѿᄱे̆
ࡇ᜻ͻ图中的̿
下୲ͻ. 
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
（1）þːག折线ÿ的୲ͻ，ᄱे̆
᣿ːགͻ一条直线. 
（2）þːག对折ÿ的୲ͻ，ᄱे̆
ͻːགᤌ线的垂直ࣱ
Ѭ线. 
（3）þࣱ
行对折ÿ的୲ͻ，ᄱे̆
ͻː条ࣱ
行线的中ࣱ
Ѭ线. 
（4）þ̔
线对折ÿ的୲ͻ，ᄱे̆
ͻ角的ࣱ
Ѭ线. 
（5）þ᣿ག折线ÿ的୲ͻ，ᄱे̆
᣿一གͻࣃᅼ直线的垂线. 
（6）þ折ག҂线ÿ的୲ͻ，ᄱे̆̿
ࣃᅼག˞圆心，̿
ࣃᅼ长ए˞ӧ径ႇ圆，ΎХ与
ࣃᅼ直线ᄱ̔
. 
第ʼ൦：Ϣ一Ϣ. ો᜶求折ԯї˔Цʹ图形. ൥൦ᰡ௧折纸的 6 种۳本୲ͻ方ข的Цʹ
ऄ用，˷௧数学ᅼគ的፬合ऄ用. 
图形折出Ց，᜶ळ࠮学生ឭ出用̀
哪̏
۳本୲ͻ方ข折ੇ
的. ᤰ᣿൥൦ᰡᤉ一൦发࡙
学
生፬合ᤂ用数学ᅼគѬౢ
和ᝍх᫈
题的ᑟ力. 
ʼnj教ߦथᝬ
1. 课Ғඈ位Տ学᜶юܬݞ 10 张 A 4（或 B 5nj16 开）੪印纸nj4 张ʼ角形纸ྟ
njҝѨnj
ᨥቸ等. 
2. ̿
࠵ጸ合ͻ方式࡙
开折纸ࠄ᡻活动，ᴂҵඈ一Ր学生（ྲ
ѿ௧学习有ڈᬲ的学生）
ښ活动᣿ሮ中ᝣᄾ思考nj积ౝ动੤njབྷৱ̔ื
nj̉
ᄱ学习，ᤉ一൦积ግ数学活动ፃᰎ. 
3. ௅᜶关ฌ学生折纸活动的᜻ᔵ性（折჉ːቫ௧关᪄，位置᜶ю确，关᪄གԻ̿
用ᨥ
ቸͻᝮ号），ԡ᜶ᴂҵ学生积ౝ表ᤘ活动中ଊጊ发ဘ的ፇ᝷与Ԧ思的ፇ౧. 图形折出Ց，᜶
ळ࠮学生ឭ出用̀
哪̏
۳本୲ͻ方ข. 
4. 有条件的学ಣԻ̿ં
折纸᣿ሮ制ੇ
课件，ښ课۶上࡙
ᇨ. ͮ
课件࡙
ᇨˀᑟణ̽
学生的
折纸୲ͻ. 
5. 活动ፇౌ
Ց，Ի̿
ᤉ一൦թ发学生，Ύ̵̓
ᝣគ҂数学ऄ用的ࣹ
ฅ性，۲Щ̵̓
用
数学的ᅋ光᜺ࠣ
ဘࠄˇႍ
的ਓគ. 
6. 本活动थᝬ߷ଆ 2 课௑. 
پnjក͉
थᝬ
1.þ፬合与ࠄ᡻ÿ௧一ዝ̿᫈
题˞ᣒʹnj̿
学生ᒭ˟参与˞˟的学习活动，ڂ൥课۶
ᯫЏ᜶关ฌ学生˔ʹ参与活动的བྷৱ和ሮए，Տ௑᜶关ฌ学生的表ᤘ和Ԧ思ᑟ力. 
2. 关ฌ学生的合ͻਓគnjөͻ̔ื
ᑟ力. 
3. 关ฌ学生对折纸的۳本୲ͻ方ข与ਫ਼学数学ᅼគ˨ᫎ
的关系理ᝍሮए. 
4. 关ฌ学生的动੤୲ͻᑟ力，关ฌ折纸的᠏
᧚与ᤴए. 
5. 关ฌ学生ଊጊ新ᅼគ的ਓគ和ᑟ力. 
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
ϢʷϢ
教ె
ѵˡ̀
折纸的 6 种۳
本୲ͻ方ข. ፃԋᤈ̏
୲ͻ᣿
ሮ，Ύ学生初൦ྀ
৙折纸的۳本
方ข，༏发̵̓
对折纸的Уᡚ. 
折纸 1：ᄱे̆
᣿ A，C ː
གႇ一条线඀，ʹဘ̀
þːག
确定一条直线ÿ的۳本̃
ࠄ. 
折纸 2：ᄱे̆
ႇ出 A，C 
ːག的对称ᣉ EF（ڂ˞͊
͵ː
གᦐԻ̿
ᄺੇ
ᣉ对称）. ᔪЏ折
出线඀ AC，г折出 EF，ࡃᄱे̆
ͻ̀
线඀ AC 的垂直ࣱ
Ѭ
线（ݠ下图）. ᜶折出一条线඀
的中ག，˷Ի̿
用ᤈ种方ข. 
折纸3：ᄱे̆
ႇ出ࣱ̀
行线 AB，CD 的中ࣱ
行线 EF. 
EFĩABĩCD，˅ EF 与 AB，
CD ᡰሏᄱ等. 
折纸 4 ：ᄱे̆
ႇ出̀
ĨADC 的ࣱ
Ѭ线 DE. 

፬Ռˁࠄ᡻ ઉጮˁ数ߦ
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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
161
折纸 5：ᄱे̆
᣿一ག P 
ႇࣃᅼ直线 AB 的垂线（ԁ折
჉ PQ）. ག P Ի̿
ښࣃᅼ直线 
AB 上，˷Ի̿
ښࣃᅼ直线 AB ܱ
（图中的ག R）. 用ᤈ种方ข
Ի̿
折出ʼ角形的ᰴ. 
折纸 6：ᄱे̆̿
ག B ˞
圆心，̿
 AB 的长ए˞ӧ径ႇ
弧，ͻ出弧与直线 CD 的̔
ག 
AĂ（ݠ下图）. ႀ̆
ӧ径 AB 的
长एܸ̆
圆心 B ҂直线 CD 的
ᡰሏ，ਫ਼̿̔
ག AĂ௧ߛښ的. 
ႀ̆
BC὚AB，ਫ਼̿
ᔪ̿
ག
B˞圆心，̿
BC的长ए˞ӧ径
ႇ弧௧ˀᑟ与ADᄱ̔
的（ݠ
下图）. 
ᝬʷᝬ
ඈ一次折ԯ，ᦐԻ̿
ᄺੇ
Ϣ̀
一次ᣉ对称变૱. Ꮲ折ҒՑ的ː˔图形关̆
折჉ੇ
ᣉ对称. Γݠ，
图 1 中的ǁACB 与ǁACBĂ关̆
折჉ AC ੇ
ᣉ对称Ὑ图 2 中的四边形 AEFD 与四边形 AĂEFDĂ关̆
折჉ EF ੇ
ᣉ对称，等等.  
ਇʷਇ
ଢᇨ：方ข 1，Ի̿
Џ用折纸 2 的方ข折出ʼ角形ː边的中ག，г用折纸 1 的方ข᣿ː˔中ག
折出ʼ角形的一条中位线. 
方ข 2，Џ用折纸 5 的方ข折出ʼ角形的一条ᰴ，г用折纸 2 的方ข折出ᤈ条ᰴ的垂直ࣱ
Ѭ
线，ԁ४ʼ角形的一条中位线. 

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஝ߦ
九年级  下册
ஔ࣎
ஔ学用书
方ข 2. Џ用折纸 1 折出ᅾ形 ABCD 的对角线 AC，൥௑，ག B 折҂ BĂܫ，ABĂ与 CD 的̔
ག
Ѭѿ௧ E，EĂ（ݠ图（1），ག E ښ CD 上，ག EĂښ ABĂ上）. г用折纸 1 Ѭѿ折出折჉ AEĂ和 CE
（ݠ图（2））. ߹Л࡙
开Ց४҂图（3），四边形 AEĂCE ԁ௧ਫ਼求ᖦ形. 
ϢʷϢ
1. ଢᇨ：Ի̿
Џ用折纸 4，
折出ᅾ形 ABCD 的ĨD 的ࣱ
Ѭ
线 DE，ѷᅾ形的ࠕ AD 与折
჉ DE 的长˨උ˞ 1IJ 2 . г用
折纸 4 折出ĨDCE 的ࣱ
Ѭ线 
DF，උᣗ DC 与 DE 的长௧ա
ᄱ等ԁԻ（ݠ下图）. 
2. ଢᇨ：ᑟ折出，折ขᣗ
多，̩
ˡїΓ. 
方ข 1. Џ用折纸 2 折出ᅾ
形 ABCD 的ᮇག A，C 的对称
ᣉ EF，г用折纸 1 折出折჉ 
AF，CE. 四边形 AECF ԁ௧ਫ਼
求ᖦ形（ݠ下图）. 
（1）
（2）
（1）
（2）
（3）

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஝ߦ
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ஔ࣎
ஔ学用书
方ข 3. Џː次用折纸 3 折出ᅾ形 
ABCD 的ː条对称ᣉ EF，GH，（ݠ图
（1）），г用折纸 1 折出折჉ EG，GF，
FH，HE ԁԻ（ݠ图（2））.
方ข 4. Ի用折纸 4 和折纸 1 折出一
˔ྲ
൴的ᖦ形——正方形（图形႕）. 
3. ࠵௚ឭ的对. 
图（1）nj（2）表ᇨЏ用折纸 3 折出 AB，CD 的中ࣱ
行线 EF，г用折纸 6 ࠲ག D 
折҂ EF 上，४҂ག DĂ和折჉ AG. ੈ̓
Ի̿
ण长 GDĂ̔ AB ̆
ག H（ݠ图（3）），
ႀࣱ
行线Ѭ线඀ੇ
උΓ性᠏
ᅼ，GDĂὛHDĂ. ԡıĨADĂGὛĨADĂH，ADĂὛADĂ，
İǁADĂG≌ǁADĂH. ԡİǁADG≌ǁADĂG，İĨDAGὛĨGADĂὛĨDĂAHὛ90cp3Ὓ30c. 
图（3）中的ǁAGH ԁ௧一˔等边ʼ角形. 
（1）
（2）
（1）
（2）
（3）
˸ᮥ
1. ଢᇨ：Џ用折纸 1 折出ᅾ形 ABCD 的对角线 BD，г用折纸 2 折
出 CD 的的中ག E，తՑ用折纸1折出折჉ AE，AE 与 BD 的̔
ག 
F ԁ௧对角线 BD 的一˔ʼ等Ѭག. 
ႀ̆
ǁDEF∽ǁBAF，İDFIJFBὛDEIJABὛ1IJ2. 
2. ଢᇨ：Џ用折纸 3 折出正方形 ABCD 的边 AD，BC 的中ࣱ
行线 EF（ݠ图（1））Ὑг用折
纸 6，Ύག A ˀ动，࠲ག D 折҂ EF 上，४҂ག DĂ（ݠ图（2））ὙతՑ用折纸 1 折出折჉ 
BDĂ（ݠ图（3））. ႀ̆
 ADĂὛADὛ2AE，EDĂľAB，İĨEADĂὛ60c. 
ǁABDĂࡃ௧໘ᡜ条件的等边ʼ角形. 
（1）
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3. Ѭౢ
：̰
ፌ出的图形Ի̿
ᄺ出，关᪄௧折出 15c的角（ݠԿ图）. 上面
的第 2 题的图（2）中，ĨDADĂὛ30c，ڂᏫĨDAGὛ15c. ᤈ˔图形ፌੈ̓̿
թ发.
ଢᇨ：Џː次用折纸 3 折出正方形 ABCD ː条与边ࣱ
行的对称ᣉ 
EF，GH（ݠ图（1）），ಖᝮ出ག F，H. г用折纸 6，Ύག A ˀ动，࠲
ག D 折҂ EF 上，४҂ག DĂ（ݠ图（2）），折჉ AM ࡃ௧ਫ਼求ʼ角形的一条边. 折߹Ց
࠲ǁAMDĂ࡙开，用Տನ的方ขԻ̿
折出ਫ਼求ʼ角形的Գ一条边 AN（ݠ图（3））. తՑ
用折纸 1 折出折჉ MN（ݠ图（4）），ǁAMN ԁ௧ਫ਼求的ʼ角形. 
（1）
（2）
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঴ܭ˸ᮥ
教师ᯫЏᴂҵ学生ᒭࣂ回
顾本册的学习Яࠔ，ࣳ
与Տͧ
合ͻ߹ੇ
本册Яࠔ಴౶图，ඈ
˔࠵ጸ制ੇ
的಴౶图Ի̿
Պ有ྲ
ᓤ，ͮ
ऄӊ઺ਫ਼有的学习重
ག. 
教师ᤇऄጸጻ学生̔ื
ښ
本册学习中的ஆᖍ和ˀᡜ，۲
Щ̵̓
的Ԧ思ਓគ.
1. OE = OF.
 
ଢᇨ：᣿ག O ͻ AB 的垂线，
（垂ᡜ˞ག G，ѷ AG = BG，
ڂ൥ EG = FG. R t ǁOEG≌ 
R t ǁOFG.
2.  AB = CD.
 
ଢᇨ：ᤌଌ OA，OB，OC，
OD. ႀĨAPB=ĨCPD，४
ĨAOB=ĨCOD. ̰
Ꮻ AB = 
CD.
3. ႕. 本题ᭊ᜶᣿ག A ͻ l 的垂
线，ͻ垂线௑Ի̿
用ʼ角ࡇ.
4. ĨBAC = ĨBAD = ĨCDB = ĨBCDὙ
 
ĨABC = ĨABD = ĨADC = ĨACDὙ
 
ĨACB = ĨADBὙ
 
AC = AD，BC = BD，CE = EDὙ
 
AC = AD ，BC = BD ，ACB = ADB .

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5. ĨABC = 15c.
 
ଢᇨ：ᤌଌ ODὌ
6. AB = 2
3 c m .
7. ᄱሏ.
8. ᤌଌ BD，
 
ѷ有ĨCFD = ĨDBC.
 
ڂ˞ĨDBC = 36° ，
 
ਫ਼̿
ĨCFD = 36° .
9. 概率˞ 1
16.
10.（1）ᤈ˔຤੆ˀ公ࣱ
，࠵௚
ᖍᑈ的概率˞ 2
9 ，࠵̝
ᖍᑈ的概率˞ 7
9Ὑ
（2）຤੆̯
ˀ公ࣱ
，ͮ 对࠵
௚有Ѿ，ڂ˞̵
ᖍᑈ的
概率௧ 5
9，࠵̝
ᖍᑈ的
概率௧ 4
9Ὑξஈ᜻ѷ的
方ขˀ׭一，ݠᔪː˔
ᣁᄨᣁ出的ᮨ
ᓤᄱՏ或
ᏨԻ̿
ᦡੇ
ጌᓤ，ѷ࠵
௚४ 4 Ѭ，աѷ࠵̝
४ 
5 Ѭ. 
11. 本题的理᝷概率˞ 1
5 ，Ի̿
用ѵ表ข.
12. ႕.

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13. 3 c m ĹOPĹ5 c m .
14. ᄱ̔
或Ꮸᄱ切.
15. ௧. 
ଢᇨ：ᤌଌ OA，௜ᅼǁAOC 
˞等边ʼ角形，ਫ਼̿
ĨOAC 
= ĨOCA = 60° . ႀAC = OC 
= BC，ԻᅼĨCAB = 30° . ਫ਼̿
ĨOAC + ĨCAB = 90° ，
ԁ OAľAB.
16. PE = PF.
ଢᇨ：ᤌଌ OE，ԁ OEľ 
PE，ਫ਼̿
ĨPEF + ĨOEA 
= 90° ，ĨA = ĨOEA. ႀࣃ
ᅼ条件Ի४ ABľCD，ĨA 
+ ĨAFM = 90° ，ႀ൥Ի४
ĨPEF = ĨAFM = ĨPFE，
ਫ਼̿
 PE = PF.
17. ௧.
ଢᇨ：ႀ DEľBE，Իᅼ DB 
௧直径. ᤌଌ OE，ѷĨOBE = 
ĨOEB，ႀĨCBE = ĨOBE，
ਫ਼̿
ĨOEB = ĨCBE，̰
Ꮻ 
OE//BC，ԻᅼĨOEA = ĨC = 
90° . ਫ਼̿
 AC ௧ ĽO 的切线.

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18. ௧.
ଢᇨ：ᤌଌ OC，௜ᅼ OCľ 
CD. ႀ AC//OD，OA=OC，
ԻᅼĨDOC = ĨOCA = 
ĨOAC，ĨDOB = ĨOAC. 
ਫ਼̿
ĨDOC = ĨDOB. ਫ਼̿
ǁOCD≌ǁOBD. ਫ਼̿
ĨOBD = ĨOCD = 90c. 
19. 面积˞ 
6
¯+
3
6
 c m
2.
20.（1）27¯ c m
2Ὑ
 
 （2）180c.
21.（1）ళॹ௧ 1
6，ڂ˞សᄤߕ
௧长方ʹ，Պ面ᗀڡ的
Իᑟ性ళॹᄱ等Ὑ
（2）Ѿ用តᰎ数据Ի̿
估计ॢ
多̃
件发生的概率，
学生的ፇ᝷࠲ˀ一Ꮻ
ᡜ，ݠ学生Ի̿
估计ᗀ
ڡ一面数字ܸ̆
 3 的概
率等.
22. ଢᇨ：ݠ图，᫻ॖ
ᦊѬ的面
积 = 扇形 ABAĂ的面积 - 扇形 
CBCĂ的面积 = 9¯ c m
2.
     
23. ଢᇨ：Ѭѿ̰
正ʼ角形ల౜的ʼ˔角ܫ੕ԝ一˔࠵正ʼ角形，४҂的正О边形ల౜的面积తܸ
，
Х边长˞ 20 c m . 面积˞ 600 3 c m
2.
24. 长ए௧ 5¯.
25.（1）႕Ὑ（2）1
4.

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26.（1）͘
Ԫ҂Լ᮳的ॖ
־Ὑ
 
 （2）ጞښ 3.9 ࠵௑Я.
27. ĽB 与 AC ᄱ切，与 FG ᄱ̔
，与 DC ᄱሏ.

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