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初中数学:孩子说这道绝对值方程无解,我用了两种方法让他恍然大悟

发布时间：2026-09-22 03:24:18 最近访问：2026-09-22 03:24:17

今天有个初一的孩子问我一道题，题目如下图所示：

“老师，这道题明显是无解啊。这怎么解？是不是题目印错了？”

我一看，哦，好问题！

于是我给他讲了两种常规解法。尤其是解法二，针对此种类型题是既快又准。

下面讲解解法一：完全平方法

到了初中阶段，数的范围扩大了。学生不仅学习有理数（整数和分数），还会引入无理数，从而将数系扩充到实数。

因此，解题时就不能依然停留在小学的思维。

方程两边都是绝对值，相当于都是非负数。对于非负数可以通过平方来去掉绝对值符号。

（当然，有同学可能会说这里可以通过分类讨论的方式进行求解，方法是可行的，但是书写的时候比较繁琐，一般不推荐。）

一旦绝对值符号消失了就变成常规的一元二次方程，进行逐步移项→合并同类项（合并，销项）→将ｘ的系数化为1即可得到所求方程的解。

解法一的具体解题过程如下图所示：（请忽略我潦草的书写）

讲到这里，这个孩子说，懂了。于是我提了个问题，我说：如果绝对值符号不止两个时，这个方法就失灵了。

我们知道，一个数的绝对值，就是这个数在数轴上对应的点到原点的距离。因此，距离不可能为负。

因此，丨ｘ＋３丨代表的意思就是：数轴上，ｘ这个点到数字（－3）这个点的距离。

丨ｘ＋4丨代表的意思就是：数轴上，ｘ这个点到数字（－4）这个点的距离

因此，从数轴上很容易看出来ｘ必定在点（－4）和（－3）之间。而且必定在两个点的中点处。

再根据中点公式就很容易得到ｘ具体的值是多少。

解法二的具体解题过程如下图所示：

当然，最终得到的结果必须代入原方程进行检验。具体如下图所示：

现实中，更常以类似的变形题的方式出现在考卷上。

如：丨x+1丨＋丨ｘ－２丨＝5．

那么，该如何下手呢？

（1）需要先画出数轴并找到具体的两个点（－1）和2.

（2）求出这两个点之间的距离＝丨2－（－1）丨＝3

（3）而3＜5，因此，所求的点有两个，一个在－1的左边，向左移动1个单位的点（－2）。一个在2的右边，向右移动1个单位的点（3）。

显然，这道题借助数轴和绝对值的意义来求解一目了然。易理解且全程看图即出结果。

如果用平方的方法会发现一次平方后还有绝对值，需要再次变形后平方才能彻底去掉绝对值符号。如果绝对值符号超过2个，过程会变得非常繁琐。这样的求解虽然能够解出来，但是耗时长，易出错。

复盘这道题的两种完全不同的解法，我们会发现：

初中数学更讲究的是对于书本上出现的概念及其推理过程的理解。往往看似不容易求解的题应用的原理都是基于概念或定义就可以轻松化解找到最终结果。

同样一道绝对值方程，从“平方去绝对值”到“数轴看距离”，背后其实都离不开对绝对值概念的深刻理解。

小学数学告诉我们距离是长度，长度不可能是负数；初中数学则把这个概念翻译成“绝对值”，再放到数轴上，就能把一个抽象的方程变成看得见、摸得着的几何图形。

所以，数学不是死记硬背公式和套路，而是回到定义本身，用概念的力量把陌生的问题转化成熟悉的问题。

与其说今天我给这个孩子讲了两种解法，不如说是点拨了全新的思维方式：遇到难题，先别急着硬算，想一想——它到底在说什么？用最基础的概念去“看清”它，答案往往就不远了。

当然，适当记一下题型和对应的解法还是很有必要的。但切忌不可死记硬背套式模板。

毕竟，真正的数学，从来都是理解之后的豁然开朗。

今日话题：文中的这类题你还有不同的解法吗？欢迎大家在留言区一起聊聊。