高三数学 · 每日一题第 02 期

两问是一条链：第 (1) 问证出「奇函数」，第 (2) 问才有资格把 −f(m² − 2) 翻进括号里变成 f(2 − m²)；再把 f(x) 分离常数成 1 − 2/(2ˣ + 1) 看出它递增，就能脱掉外衣 f，落到一个纯二次不等式。奇偶性负责「搬符号」，单调性负责「脱符号」——这是对称性解题的标准分工。

第一步，确认定义域。分母 2ˣ + 1 > 1 > 0 对任意 x∈R 恒成立，故定义域为 R，关于原点对称。（依据：指数函数的值域为正）

第二步，计算 f(−x)。依据：分式的基本性质（分子分母同乘同一个非零式子，值不变）。f(−x) = (2⁻ˣ − 1)/(2⁻ˣ + 1)

第三步，分子分母同乘 2ˣ，把负指数去掉。f(−x) = [2ˣ · (2⁻ˣ − 1)] ÷ [2ˣ · (2⁻ˣ + 1)] = (1 − 2ˣ)/(1 + 2ˣ)提出负号整理：f(−x) = −(2ˣ − 1)/(2ˣ + 1) = −f(x)。结论：f(x) 是定义在 R 上的奇函数。

第一步，移项并利用奇函数翻符号。由 f(m) + f(m² − 2) < 0 得 f(m) < −f(m² − 2)。由第 (1) 问 −f(t) = f(−t)，所以 −f(m² − 2) = f(−(m² − 2)) = f(2 − m²)，即 f(m) < f(2 − m²)。

第二步，证单调递增。依据：分离常数 + 复合函数单调性（同增异减）。f(x) = (2ˣ − 1)/(2ˣ + 1) = [(2ˣ + 1) − 2]/(2ˣ + 1) = 1 − 2/(2ˣ + 1)x 在 R 上增大时，2ˣ 增大，2ˣ + 1 增大，2/(2ˣ + 1) 减小，1 − 2/(2ˣ + 1) 增大。所以 f(x) 在 R 上单调递增。

第三步，脱掉 f，解二次不等式。由增函数性质，「函数值小 ⟺ 自变量小」：m < 2 − m²，即 m² + m − 2 < 0，因式分解得 (m + 2)(m − 1) < 0。二次函数开口向上，小于零取两根之间：−2 < m < 1。