每日一题第2896题(2026年全国高中数学联赛内蒙古预赛解答9)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联内蒙古预赛的解答题的第9题，难度中等。

题干中给出了一个等差数列，然后又给出了a1,a2,a3三个数的平方也是等差数列中的项，那么自然这三个平方肯定还是要用通项公式给表示出来，这里就有三个方程了，表示出来后，通过两个方程其实就可以把首项a和公差d解出来了。

想要证明所有的an都是整数，那么肯定是要证a和d都是整数，而解出来的2d=m+k-2l，只剩说明是2d∈Z，在这个情况下，又可以得到4a∈Z，所以除了这个关系之外，还要找到额外的联系，那么自然剩下的一个方程就是拿来找a,d的特殊性的了，所以代入之后就可以通过一些简单的4的倍数，偶数之类的关系得到a,d为整数了。