高中数学|祖暅原理——它的应用和推广 (挖

教材推球体积公式时，那个半球“祖暅模型”总让人拍案叫绝。其实这模型不是天才灵机一动，顺着截面面积找就能拼出来。

拿旋转抛物面来说，它的截面是个圆。看到根号下乘个平方，很容易联想到等腰直角三角形。把它当底面、高设为 h 做个直三棱柱，体积立马就能算出来。

再看半椭球，截面是个圆环。外圆半径固定，内圆半径跟高度成正比。这不就是个大圆柱挖掉一个倒圆锥嘛？半球的经典模型也是这么找出来的。

遇到更复杂的图形，原理还能再往前推一步。只要两个立体在等高处截出的面积比例始终不变，那它们的体积比例也一定跟着这个常数走。

比如两个圆柱垂直交叉的公共部分，里面刚好塞下一个球。任意切一刀，正方形截面和内切圆面积比永远是 4 比 π。直接套用推广原理，体积一下就解开了。

祖暅是南北朝人，祖冲之的儿子。他提的“幂势既同，则积不容异”，比西方同类原理早了一千多年。