高联真题精讲系列001|2025年全国高中数学联赛二试(A卷) 第15题

高联真题精讲系列001

给定整数 . 甲乙两人玩如下的游戏, 猜一个满足  的正整数 , 这里  是  的正约数个数. 规则如下: 先由甲确定一个正整数 , 并告知乙. 然后乙想一个满足要求的 , 并且:(i) 告诉甲  的值;(ii) 给出  的  个不同的正约数 (若 , 则乙只需给出  的所有正约数; 若 , 则乙可以选择性地给出  的  个正约数). 求最小的 , 使得甲一定能猜出 .

解析

解. 所求 . 为书写简单, 下面的约数均指正约数.首先若 , 则甲未必能确定 . 例如乙告诉甲 , 以及如下  个  的约数:  (), 则  或  都可以.下面证明  时, 甲一定可以确定 . 记 , 若 , 则乙写出了  的所有约数, 其中最大的数即为 . 下面假设 , 乙写了  的  个约数 .对正整数  和素数 , 记  为  的标准分解中素因子  的幂次. 对每个素数 , 甲可以算出 , 则 , 故 .

断言: 若 , 则 . 特别地, 若 , 则 .

断言的证明: 假设 . 由  的计算公式易知 .若 , 则

这不成立. 故 .若 , 则不成立. 故 .设 , 其中 .由 , 即 , 可知这是因为 , 且 , 而故在  中被  整除的数只有 . 于是也不成立. 断言获证.

由断言知, 可以识别出  的所有素因子, 且对于满足  的素数 , 有 . 若 , 称这样的素数  为"特殊的".特殊的素数至多两个, 否则 , 矛盾.若没有特殊的素数, 则  已经确定. 若恰有一个特殊的素数 , 则除  外的其余素因子的幂次均已确定, 由  的值也唯一确定  的幂次,  也确定.下面只需讨论恰有两个特殊素数  的情况, 此时

 没有其他素因子, 否则 , 矛盾. 由于所有  个约数均为  的形式, 故必有 . 不妨设 .若  或 , 则由  知不成立. 故只能 , , .综上, 当  时, 甲总能确定 .