从一道作业题到 IMO 试题——分式不等式区间长度之谜

编者按

七年前，我刚到交大附中任教时，在一份练习里碰到这道分式不等式的题。当时觉得这类题很有意思： 的情形算出来区间长度和是 2，我就想，能不能推广到 ？再往后，又看到 1988 年 IMO 第 4 题，发现它本质上就是这类问题的加权版本。那时候就想写一篇文章，把从作业题到 IMO 试题这条线索梳理出来介绍给大家，但只开了个头，后来一直没写完。

这次冯天瑜同学在课堂上听了这个主题，真的把 、 到一般  的情形一步步写了出来，文章也附上了 IMO 试题的解答，算是完成了我一个小小的愿望。

一、缘起：作业题中的发现

最近学校作业里有这样一题：

已知 ，定义区间长度为右端点与左端点之差。若 ，则满足的实数  构成的区间的长度和为多少？

解法一（代数通分法）

移项通分，不等式化为

令分子 ，设  的两根为 。

考察  在特殊点的取值：

• • 
• • 

由二次函数图像的连续性，可知 。

结合分母符号分析，解集为 ，故区间长度为

解法二（函数图像法）

作出  的图像：以  与  为竖直渐近线的双曲线型函数，与水平直线  恰有两个交点。由图像立得解集为 ，且由韦达定理 ，故长度和为 。

实际上，图像给了我们直观感受，而每一段的单调性也是可以严格证明的。后面关于 IMO 试题的解答，正是延续了这种思路。

二、进阶：三次分式不等式的区间长度

问题　设 ，求满足的实数  构成的区间长度之和。

解答　移项通分，令

则原不等式等价于

考察  在三个极点处的取值：

• • 
• • 
• • 

由三次函数图像的连续性， 有三个实根，且满足

利用数轴标根法（穿针引线），可得解集为

故区间长度之和为

由韦达定理，，代入即得

三、一般化： 次分式不等式的普遍规律

将上述结论推广到一般形式。设 ，考虑不等式

移项通分后，分子为  次多项式

可以证明  有  个实根 ，满足 （，约定 ）。原不等式的解集为

由韦达定理，比较  项系数：

因此，所有区间长度之和为

定理 1　对于不等式 （其中 ），其解集由  个区间构成，这些区间的长度之和恒等于 ，与  的具体取值无关。

四、1988 年 IMO 第 4 题

问题

证明满足不等式的实数  的集合是若干不相交区间的并，且这些区间的长度之和为 1988。

解答

设

第一步：分析函数性质

对任意整数 （），项  在  时严格单调递减，在  处不连续。因此， 除  外严格单调递减。

第二步：确定解集结构

对每个 ，考察  趋近于  时的极限：

• • 当  从右侧趋近于  时，，而其他项 （）有界，故 ；
• • 当  从左侧趋近于  时，。

因此，在每个区间 （）内， 从  严格单调递减到 ，故方程  有唯一根 ，且

第三步：处理边界区间

• • 若 ，所有项均为负，故 ，无解；
• • 当  时，所有项趋于 ，故  从 （在  右侧）单调递减到 。因此  在  有唯一根 ，且

综上， 的解集为 70 个不相交区间：

总长度为

第四步：利用韦达定理求根和

 是方程  的根，即多项式方程（两边同乘 ）：

整理为

这是 70 次多项式方程，其  项系数为 ， 项系数为

由韦达定理，根的和为

第五步：计算总长度

五、结论

从 ，到  ，最终抵达 1988 年 IMO 第 4 题，核心思想一以贯之：

通过函数单调性刻画解集结构，借助韦达定理将几何长度转化为代数关系。

更一般地，对于加权形式 （），区间长度之和为

1988 年 IMO 试题正是 、、 的特例：

年份与答案的巧合，正是数学之美所在。