2026-2027学年上学期初中数学八年级期中典型卷1(答案)

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　）

A．B．

C．D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；

C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

2．（3分）学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（　　）

A．3种B．4种C．5种D．6种

【分析】首先用列举法列举所有情况，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形．

【解答】解：列表得：

从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种，能组成三角形有（1，3）、（3，4）、（3，5）、（4，5）共有4种．

故选：B．

3．（3分）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　）

A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短

C．三角形的稳定性D．垂线段最短

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．

【解答】解：自行车支架一般都会采用三角形设计的几何原理是三角形具有稳定性，

故选：C．

4．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．CEB．AFC．DBD．AB

【分析】此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可．

【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AF；

故选：B．

5．（3分）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（　　）

A．①②B．②④C．③④D．①④

【分析】①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等来说理．

【解答】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等，故本选项符合题意；

B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；

C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；

D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．

故选：A．

6．（3分）已知点P（﹣3，a），点Q（b，1）关于x轴对称，则a与b的值为（　　）

A．a＝1，b＝3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝﹣3

【分析】根据关于x轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出a和b的值；

【解答】解：∵点P（﹣3，a），点Q（b，1）关于x轴对称，

∴b＝﹣3，a＝﹣1，

故选：C．

7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在直线AB上，且DE＝DB，则∠DEC的度数为（　　）

A．60°B．75°C．80°D．90°

【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，再证明△CDE是等边三角形，即可得到∠DEC的度数．

【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，

∴＝CD，

∵DE＝DB，

∴DE＝DB＝CD，

∴∠BED＝∠B＝30°（等边对等角），

∴∠CDE＝∠BED+∠B＝30°+30°＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴∠DEC＝60°，

则∠DEC的度数为60°，

故选：A．

8．（3分）如图，CD，BE分别是△ABC的高线、中线，若S_△ABE＝18，AB＝12，则CD的长为（　　）

A．2B．4C．6D．8

【分析】首先根据三角形中线的性质得到S_△ABC＝36，根据三角形面积公式得到CD的长度．

【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的高线、中线，S_△ABE＝18，AB＝12，

∴AE＝CE，CD⊥AB，

∴S_△ABE＝S_△EBC＝18，

∴S_△ABC＝2S_△ABE＝2×18＝36，

又∵＝12，

∴．

故选：C．

9．（3分）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　）

A．40°B．70°C．100°D．100°或70°

【分析】根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和即可求解．

【解答】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°，

∴等腰三角形的装饰品的底角为：×（180°﹣40°）＝70°，

故选：B．

10．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）

A．3B．6C．9D．18

【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解．

【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图，

∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，

∴PE＝PC＝3，

∴S△POD＝×6×3＝9．

故选：C．

11．（3分）如图，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　）

A．40°B．80°C．100°D．140°

【分析】如图，作P点关于OM、ON的对称点P_1，P2，PP1与OM交点为C，PP₂与ON交点为D，连接P₁P₂交OM、ON于A、B两点，则∠P₁PA＝∠P₁，∠P₂PB＝∠P₂，由题意知，当P_{1，A，B，P2}四点共线时，△PAB的周长最小，由PP₁⊥OM，PP₂⊥ON，可知∠PCO＝∠PDO＝90°，∠P₁PP₂＝360°﹣∠PCO﹣∠PDO﹣∠MON＝140°，则∠P₁PA+∠P₂PB＝∠P₁+∠P₂＝180°﹣∠P₁PP₂＝40°，根据∠APB＝∠P₁PP₂﹣（∠P₁PA+∠P₂PB），计算求解即可．

【解答】解：如图，作P点关于OM、ON的对称点P_1，P2，PP1与OM交点为C，PP₂与ON交点为D，连接P₁P₂交OM、ON于A、B两点，则∠P₁PA＝∠P₁，∠P₂PB＝∠P_2，

由题意知，当P_{1，A，B，P2}四点共线时，△PAB的周长最小，

∵PP₁⊥OM，PP₂⊥ON，

∴∠PCO＝∠PDO＝90°，

∴∠P₁PP₂＝360°﹣∠PCO﹣∠PDO﹣∠MON＝140°，

∴∠P₁PA+∠P₂PB＝∠P₁+∠P₂＝180°﹣∠P₁PP₂＝40°，

∴∠APB＝∠P₁PP₂﹣（∠P₁PA+∠P₂PB）＝100°，

故选：C．

12．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线DE交BC于点F，连接AF，若∠B＝50°，∠C＝60°，则∠CAF的度数为（　　）

A．10°B．20°C．30°D．40°

【分析】先利用基本作图得到DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B＝50°，接着利用三角形内角和定理计算出∠AFB＝80°，然后根据三角形外角性质计算出∠CAF的度数．

【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，

∴FA＝FB，

∴∠FAB＝∠B＝50°，

∴∠AFB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∵∠AFB＝∠CAF+∠C，

∴∠CAF＝80°﹣60°＝20°．

故选：B．

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

13．（3分）在Rt△ABC中，一个锐角为50°，另一个锐角的度数为　40°　 ．

【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，一个锐角为50°，

则另一个锐角的度数为：90°﹣50°＝40°，

故答案为：40°．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ＝AB，要使△ABC和△APQ全等，则AP的长为　6或12　 ．

【分析】因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：AP＝BC或AP＝AC即可得出．

【解答】解：∵PQ＝AB，∠C＝∠CAQ＝90°，

∴要使△ABC和△APQ全等，分两种情况：

①当AP＝BC＝6时，△ABC≌△QPA（HL），

②当AP＝AC＝12时，△ABC≌△PQA（HL）．

综上所述，要使△ABC和△APQ全等，AP的长为6或12．

故答案为：6或12．

15．（3分）如图是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则∠1+∠2＝　90　 °．

【分析】利用SAS证明△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质求出∠1＝∠DCF，结合图形求解即可．

【解答】解：如图，

在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠DCF，

∵∠2+∠DCF＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

故答案为：90．

16．（3分）在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，某线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝　5cm或10cm .时，才能使△ABC和△APQ全等．

【分析】分两种情况讨论直角边的对应关系，结合斜边相等的条件确定AP的长度．

【解答】解：∵∠C＝90°，AX⊥AC，

∴∠PAQ＝90°，即△ABC与△APQ均为直角三角形，且斜边PQ＝AB．

若Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），则AP与BC为对应边，

∵BC＝5cm，

∴AP＝5cm；

若Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），则AP与AC为对应边，

∵AC＝10cm，

∴AP＝10cm．

综上所述，当AP＝5cm或10cm时，才能使△ABC和△APQ全等，

故答案为：5cm或10cm．

三．解答题（共7小题，满分72分）

17．（8分）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF．

【分析】根据“SSS”直接证明全等即可．

【解答】解：∵点A、B、E、D在同一条直线上，AE＝BD，

∴AE﹣BE＝BD﹣BE，

∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE，

∴AB＝DE．

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

18．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．

（1）用尺规作：作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若∠A＝30°，求∠BDC的度数．

【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；

（2）根据角平分线的性质和∠A＝30°，得出∠ABD＝∠A＝30°，利用∠BDC＝∠ABD+∠A即可解决问题．

【解答】解：（1）如图，BD即为所求；

（2）在△ABC中，∠C＝90°．

∵∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠A＝30°，

∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝30°+30°＝60°．

19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证：

（1）FC＝AD；

（2）BC＝AB﹣AD．

【分析】（1）由SAS可证△ADE≌△FCE，可得FC＝AD；

（2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，由SAS可证△AEB≌△FEB，可得AB＝BF，即可求解．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠FCE，

∵E是CD的中点，

∴DE＝CE，

在△ADE与△FCE中，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC＝AD；

（2）由（1）知：△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

又∵BE⊥AE，

∴∠AEB＝∠FEB＝90°，

在△AEB和△FEB中，

∴△AEB≌△FEB（SAS），

∴AB＝BF，

∴AB＝BF＝BC+CF，

∵AD＝FC，

∴BC＝AB﹣AD．

20．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O是正方形OEFG的一个顶点，OE交AB于点M，OG交BC于点N．

（1）求证：△AOM≌△BON；

（2）如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？请写出证明过程．

【分析】（1）由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOM+∠MOB＝90°，∠MOB+∠BON＝90°，可得∠AOM＝∠BON，根据ASA可证明全等；

（2）由（1）得△AOM≌△BON，从而有S_△AOM＝S_BON，再根据．据此解答．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD和OEFG中，

∠OAB＝∠OBC＝45°，AO＝BO，∠AOB＝90°，

∵∠MOB+∠BON＝90°，∠AOM+∠MOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON．

在△AOM和△BON中，

∴△AOM≌△BON（ASA）；

（2）解：∵△AOM≌△BON，

∴S_△AOM＝S_BON，

∴

21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，连接DE、EC，DE＝EC．

求证：

（1）Rt△ADE≌Rt△BEC．

（2）DE⊥CE．

【分析】（1）由DE＝EC，AE＝BC，根据“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BEC；

（2）由全等三角形的性质得∠AED＝∠BCE，则∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，所以∠DEC＝90°，即可证明DE⊥CE．

【解答】证明：（1）在Rt△ADE和Rt△BEC中，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．

（2）由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠AED＝∠BCE，

∵∠B＝90°，

∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，

∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠BEC）＝90°，

∴DE⊥CE．

22．（12分）在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，点E与点A分别在直线BC的两侧，连接CE，且CE＝2AD，连接EA，作点E关于点A的对称点F，连接AF，FB．

（1）如图1，∠BAC＝120°，点E在AD的延长线上．

①依题意补全图形；

②求证：AF＝AB；

（2）如图2，点E不在AD的延长线上，用等式表示∠BCE与∠CBF的数量关系，并证明．

【分析】（1）①依据题意画图即可；

②易证△ACE为等边三角形，则AE＝AC＝AB＝AF；

（2）倍长中线：延长BA到G，使得AB＝AG，连接EG，CG．易证△ABF≌△AGE（SAS），得∠ABF＝∠AGE，由中位线可得CG＝2AD＝CE，进而导角即可得解．

【解答】解：（1）①补全图形如下：

②证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，

∴AC＝2AD，

又∵CE＝2AD，

∴AC＝CE，

∵∠CAE＝60°，

∴△ACE为等边三角形，

∴AE＝AC＝AB，

又∵E，F关于点A对称，

∴AE＝AF，

∴AF＝AB；

（2）∠CBF＝45°+∠BCE；

证明：延长BA到G，使得AB＝AG，连接EG，CG．

∵E，F关于点A对称，

∴AE＝AF，

在△ABF和△AGE中，

∴△ABF≌△AGE（SAS），

∴∠ABF＝∠AGE，

∵AB＝AG，BD＝CD，

∴AD为△BCG的中位线，

∴CG＝2AD，

∵CE＝2AD，

∴CG＝CE，

∴

∵∠CBF＝∠ABF+∠ABC＝∠AGE+90°﹣∠BGC＝∠AGE+90°﹣（∠AGE+∠CGE）＝90°﹣∠CGE，

∴．

23．（12分）小强同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请你帮他在（　　）内填上一个适当的条件．

【分析】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形解答．

【解答】解：∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，

∴添加的添加是∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°．

故答案为：∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°．

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