从梯形面积公式到等差数列求和——一道习题教后记

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北师大版小学数学教材（2026秋版）五年级上册第五单元多边形的面积”探索梯形面积“一课有这样一道题目：

相应的《教师用书》对这道题的解读是：

为充分发挥这道题目的数学价值，在理解本道题目编排意图的基础上，我对本道题目进行了适当的拓展。

2.分享交流，教师追问。

（1）生1：我是用梯形面积计算公式算的，最上面一层有3根，看作梯形的上底；最下面一层有8根，看作梯形的下底；有6层，看作梯形的高。用（3+8）×6÷2就算出了圆木的根数33根。

（学生回答有”理“有”据“，得到同学们的赞赏。但我知道学生的回答仅仅是简单的类比或生搬硬套公式，于是我有了下面的追问。）

（2）师：好像很有道理！但梯形的面积计算公式是用来计算梯形面积的，怎么能用来计算圆木的根数呢？

（学生一时语塞，全班陷入沉默。过了一会儿，一位同学举起了手。）

（3）生2：可以把一根圆木的面积看作是1平方米，这样就可以用面积公式计算了。

（学生试图找到图形中的面积因素，从而找到利用面积公式计算的理由。但是从学生的回答来看，他们确实没有真正理解这样算的真正根据。）

（4）师：我觉得这样解释，虽然有面积了，但还是有点牵强。想一想，梯形的面积公式是怎样推导出来的？对我们这样计算圆木的根数有启发吗？

（很快，学生有了想法。）

（5）生3：两堆这样的圆木，可以拼成一个平行四边形，每层都有3+8=11根，一共有6层，现在圆木的根数是原来的2倍，所以，原来一堆的根数可以用（3+8）×6÷2计算。

（6）生4：把圆木中上面3层剪切旋转，拼到下面，也可以拼成平行四边形，圆木的根数没变。这样，每层还是3+8=11根，但现在只有6÷2层，所以，原来一堆的根数可以用（3+8）×6÷2计算。

 （两位同学的发言赢得了同学们热烈的掌声。）

（7）师：两位同学把梯形面积的推导方法应用到求圆木的根数上，真正体现了活学活用，你能仿照梯形面积公式写出求堆成梯形的圆木根数的计算公式吗？

（8）生5：（顶层根数+底层根数）×层数÷2

  生6：（顶根数+底根数）×层数÷2

（教学至此，我觉得本道题目的价值已经得到了充分挖掘，他们在解决问题过程中尝试把梯形的面积公式推导方法迁移到求堆成梯形的圆木根数，感受到了转化思想的魅力和数学的神奇。谁知此时，波澜又起，一位学习奥数的同学突然说：求等差数列的和也可以这样算。听闻此言，我索性任性一把，带领学生继续走下去。）

（9）师：如果根据每层圆木的根数，求圆木的总根数，可以列成算式3+4+5+6+7+8，怎样很快计算这几个数的和呢？

(我想这时，从小就听数学王子高斯故事的同学们，脑子里会立刻出现他们在奥数班里用过或听说过的一个公式。)

（10）生7：（3+8）×6÷2=33，（首项+末项）×项数÷2

（11）师：原来，梯形面积公式、圆木根数、等差数列求和它们之间还有这么有趣的联系。

1.从套用公式到数学理解。

数学学习不能仅依靠记忆与模仿，虽然记忆和模仿是需要的，但只有记忆和模仿显然不利于学生数学素养的提升。学生能套用梯形面积公式计算出圆木的根数，说明了学生具备了初步的应用能力，但其背后承载的数学原理和数学思想学生却不一定理解，所以，对学有余力的同学，教师要更进一步，引导学生走向数学理解之路，这样，他们才可能真正发现问题背后的数学本质，感受到数学学习的乐趣。

2.从抽象公式到数形结合。

数学公式是抽象的，数学学习要让学生经历数学公式的获得过程，根据小学生的特点，还要把抽象的公式与直观图形密切联系起来。教学梯形面积的推导时，学生使用了两推导方法：一是把两个完全相同的梯形通过旋转、平移，拼成一个平行四边形；二是把梯形上下对折，然后把上半部分剪切通过旋转正好和下面部分拼成平行四边形。学生的探索经历，让他们可以把方法迁移到计算圆木的根数，甚至计算等差数列的和上来。可以说，梯形面积和圆木堆模型正是等差数列和的直观模型。虽然在小学阶段不研究等差数列的和，但让他们在这个过程中感受到转化思想的魔力和数形结合的思想、以及不同事物之间的数量关系本质表达都是非常有益的。我想这些潜移默化的渗透是会慢慢浸润学生数学心田的。