初高中数学衔接-单逻辑量词的翻译

数魂® · 高中数学 · 初高中衔接

李明：老师，超过一半的初中数学尖子到了高中只有及格水平。我看到这个数据的时候被吓了一跳，有点慌。

老师：李明，很棒。我很高兴你对即将面对的高中生活做了调研。很多人没这么做，他们低估了环境的恶劣程度，犯了傲慢的错误。你是看过《三体》的，知道‘无知不是生存的障碍，傲慢才是’这句话。

李明：那么老师，出现这个现象的原因是什么？你初中时教过我因果律，无因无果。要干掉不好的结果，就要清除导致它们的原因。

很棒的问题！初中的内容简单，概念定理中的细节很少。所以对错误学习方法的容忍度比较高。

一个学生不精读概念定理，不学数学思维，靠刷题就可以在初中取得不错的成绩，而这一套到了高中就行不通了。

近年来高考去题型化更加剧了这一点，110分就成为了这批学生数学的上限，也被称为110分现象。

高中数学的知识量大概是初中的3倍，但很多学校却采用衡水中学模式，在前两年就上完高中三年的课程，导致学生几乎没有改错的机会。

而数学是一个逻辑体系，一个章节学不好，后续就会受到影响，最终一步错步步错。

今后的学习中，我教你数魂四招®。数魂四招®是一流数学家思维的总结。融会贯通需要数月的刻苦练习。

因此，你要有心理准备：数学的学习有一个量变期。这个时期你的数学水平在进步，但不会立即反映在成绩上。

而很多学生，尤其是家长，急功近利，盯着每一次的周考月考，成绩波动一点就焦虑得不行，然后在量变期放弃，走回背题型，题海战术的老路，令人惋惜。

李明：好的老师，我一定努力学习正确的学习方法，数魂四招®，并绝不急功近利。

很好，我们就先从初高中衔接的知识开始。今天我们来学习‘单逻辑量词的翻译’：

老师：李明，这题有逻辑量词吗？是什么？

李明：这题中的‘任意...恒成立’是全称量词。

老师：很好，切记：逻辑量词属于逻辑语言。很多情况下，我们需要将题目中的逻辑语言翻译成数学语言：

1.  翻译为  (为方便理解不用sup, inf)

任意的 x 属于区间 D，k 小于 f(x)，翻译为 k 小于 f(x) 的最小值。这里不要死记硬背：全称量词要求 k 比 f(x) 的每一个都要小，因此 k 应该比 f(x) 的最小值小。反过来，若 k 比 f(x) 的最小值还要小，那么 k 就比每一个 f(x) 都小。

2.  翻译为 

类似的，‘任意的 x 属于区间 D，k 大于 f(x)’翻译为 k 大于 f(x) 的最大值。

3.  翻译为 

存在 x 属于区间 D，k 小于 f(x)，翻译为 k 小于 f(x) 的最大值。对于存在量词，同样不要死记硬背：存在一个 f(x) 大于 k，说明 k 应该比 f(x) 的最大值小，至于其余的 f(x) 是否比 k 大，我们并不关心。

4.  翻译为 

类似的，存在 x 属于区间 D，k 大于 f(x)，翻译为 k 大于 f(x) 的最小值。

若对于任意，恒成立，求实数的取值范围。

接下来，你准备如何求解这题？

李明：老师，你教过我，解题时翻译和化简这两招先行，而观察是化简的基础。

翻译和化简先行观察是化简的基础

运算从开始复杂，需要化简：

李明：，这些运算从开始复杂，需要化简。

 中含有绝对值：去绝对值化简

李明：我利用绝对值的定义去掉绝对值并分两种情况讨论。

(1) 

(2) 

李明：但老师，下一步该怎么办？

老师：很好，我来教你高中阶段的第一种化简：参变分离。

牢记：逻辑量词修饰的字母是变量，剩下的字母看作常数，叫做参数。

这题的全称量词修饰，因此是变量，是参数。

初中我们解方程时学习过分类化简，即将未知数放在等号的一边，常数放在等号另一边，将它们分开。这个例子中，我们把 x 从右边移动到左边，把常数 5 从左边移动到右边实现分类化简。

参变分离：我们将参数放在等号或不等号的一边，将变量放在另一边。

高中就比初中复杂了一点点：这个过程也是分类化简的一种。

x>0 时，我们把 2a 移动到不等式右边，把 x 移动到左边，实现参变分离。

 时，我们把 x 平方和 2x 都移动到不等式右边，实现参变分离。

最后我们来翻译逻辑量词，李明，交给你来完成：

好的，交给我！

李明：当 x 大于 0，2a 大于等于 -x 的平方加 x 的最大值。

李明：当 x 在 -3 到 0 之间时，a 小于等于 -x 的平方减 3x 加 2 的最小值。

问题变成了初中的二次函数求最值题目，最终答案为 。

完美！

为了检验你的学习成果，请完成这道习题：

详细答案我放在评论区了，欢迎大家讨论。