初中数学「导角模型」 12 张图,一套思路

模型 01

两条内角平分线

条件：BP 平分 ∠ABC，CP 平分 ∠ACB，交于点 P。

图 1　两条内角平分线的交点 P，一定在三角形内部

结论：∠P = 90° + ½∠A

∠PBC + ∠PCB = ½(∠ABC + ∠ACB) = ½(180° − ∠A) = 90° − ½∠A

∠P = 180° − (90° − ½∠A) = 90° + ½∠A

易错：∠P 一定大于 90°。如果算出来比 90° 小，多半是把模型 2 的结论套上来了。

模型 02

两条外角平分线

条件：BP 平分外角 ∠DBC，CP 平分外角 ∠ECB，交于点 P。

图 2　两条外角平分线的交点 P，落在三角形外

结论：∠P = 90° − ½∠A

∠PBC = ½∠DBC = ½(180° − ∠ABC) = 90° − ½∠ABC，同理 ∠PCB = 90° − ½∠ACB

∠P = 180° − (∠PBC + ∠PCB) = ½(∠ABC + ∠ACB) = 90° − ½∠A

易错：外角是「延长线那一侧」的角，∠DBC 的两边是 BD 和 BC，别画成 ∠ABC。

模型 03

一内一外两条角平分线

条件：BP 平分内角 ∠ABC，CP 平分外角 ∠ACD，交于点 P。

图 3　内角平分线与外角平分线的交点 P

结论：∠P = ½∠A

∠PCD = ½∠ACD = ½(∠A + ∠ABC) = ½∠A + ½∠ABC

∠P = ∠PCD − ∠PBC = (½∠A + ½∠ABC) − ½∠ABC = ½∠A

易错：这个结论最「干净」，没有 90°，多写反而错。它的本质是外角定理用两次。

模型 04

8 字型：两组角隔着交叉点相望

条件：AC 与 BD 相交于点 O，连接 AB、CD。

图 4　标准 8 字型：上下两个三角形共用一个顶点 O

结论：∠A + ∠B = ∠C + ∠D

∠AOB = ∠COD（对顶角），两个三角形内角和都是 180°，各自减去这个对顶角，剩下的两角之和相等。

用法：题目给三求一，直接配对相加。写的时候按「同一个三角形里的两个角」成组，不容易错。

模型 05

8 字型 + 角平分线

条件：AP 平分 ∠BAD，CP 平分 ∠BCD，两条平分线交于点 P。

图 5　P 是两条平分线的交点，可以落在图形外

结论：∠P = ½(∠B + ∠D)

设 ∠BAP = ∠PAD = α，∠BCP = ∠PCD = β。由 8 字型：2α + ∠B = 2β + ∠D，即 α − β = ½(∠D − ∠B)。

设 AP 与 BC 交于 Q。△ABQ 中 ∠AQB = 180° − ∠B − α；对顶角 ∠CQP = ∠AQB。

△CQP 中 ∠P = 180° − ∠CQP − β = ∠B + α − β = ½(∠B + ∠D)

易错：这个模型要「先用 8 字型、再用两次内角和」，中间那一步不能跳。

模型 06

A 字型：一条截线切出四个角

条件：D 在 AB 上、E 在 AC 上，连接 DE。

图 6　∠1、∠2 在 DE 上方，∠3、∠4 在 DE 下方

结论 ①：∠1 + ∠2 = ∠B + ∠C

结论 ②：∠3 + ∠4 = 180° + ∠A

四边形 DBCE 内角和 360°：∠B + ∠C + ∠3 + ∠4 = 360°。

又 ∠3 = 180° − ∠1，∠4 = 180° − ∠2，代入得 ∠1 + ∠2 = ∠B + ∠C。

∠3 + ∠4 = 360° − (∠B + ∠C) = 360° − (180° − ∠A) = 180° + ∠A。

易错：∠3、∠4 是 DE 下方的钝角，不是 △ADE 的内角；图上看清弧画在哪一侧。

模型 07

筝型：外角之和等于内角之和

条件：四边形 ABDC，DB、DC 是边；把 AB、AC 向外延长，得到外角 ∠1、∠2。

图 7　∠1、∠2 是 B、C 处的外角，弧画在延长线那一侧

结论：∠1 + ∠2 = ∠A + ∠D

四边形 ABDC 内角和 360°：∠A + ∠ABD + ∠D + ∠ACD = 360°。而 ∠ABD = 180° − ∠1，∠ACD = 180° − ∠2，代入整理即得。

用法：题目给的是两个外角，结论却是两个内角相加——正好用来「换角」。

模型 08

燕尾：三角形里伸出一个「尾巴」

条件：D 在 △ABC 内部，连接 BD、CD（AD 是「尾巴」的中线方向，可连可不连）。

图 8　∠BDC 比 ∠A 大，等于三个角之和

结论：∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C

延长 BD 交 AC 于 E。∠DEC = ∠A + ∠ABD（△ABE 的外角），∠BDC = ∠DEC + ∠ACD（△DEC 的外角）。

所以 ∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD，也就是 ∠A + ∠B + ∠C（这里的 ∠B、∠C 指被 BD、CD 分开的那两个角）。

易错：D 必须在三角形内部。D 跑到外面变成凹四边形时，结论方向会反过来。

模型 09

余角模型：同角的余角相等

条件：左图 Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D；右图同样 ∠ACB = 90°，ED ⊥ AB 于 D（E 在 D 的正上方），ED 与 CB 交于 F。

图 9　左：斜边上的高；右：双垂直（两条垂线交出对顶角）

左图：∠1 = ∠B，∠2 = ∠A

右图：∠1 = ∠2 = ∠A

左图：∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠B = 90°（Rt△CDB），所以 ∠1 = ∠B；同理 ∠2 = ∠A。

右图：Rt△FDB 中 ∠1 = 90° − ∠B；而 ∠ACB = 90° 说明 ∠A + ∠B = 90°，所以 ∠1 = ∠A。∠2 与 ∠1 是对顶角，故 ∠2 = ∠A。

用法：看到「直角 + 直角」，先写两个 90° 的分解式，等角自然浮出来。

模型 10

补角模型：对角互补，外角等于内对角

条件：四边形 ABCD 中 ∠DAB + ∠BCD = 180°，延长 AD 到 E，得 ∠1。

图 10　虚线 AC 是提示：把四边形拆成两个三角形也行

结论：∠1 = ∠B

四边形内角和 360°：∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠ADC = 360°，由 ∠DAB + ∠BCD = 180° 得 ∠ADC = 180° − ∠B。

又 ∠1 = 180° − ∠ADC，所以 ∠1 = ∠B。

这是圆内接四边形「外角等于内对角」的雏形，初三学圆时会再遇到一次。

模型 11

高与角平分线的夹角（一）

条件：AD 平分 ∠BAC，AE ⊥ BC 于 E，且 ∠C > ∠B。左图求 ∠DAE；右图中 P 在 AD 的延长线上，PE ⊥ BC 于 E，求 ∠P。

图 11　左：∠DAE 记作 θ；右：P 在 AD 的延长线上，PE ⊥ BC

左：∠DAE = ½(∠C − ∠B)

右：∠P = ½(∠C − ∠B)

左：∠DAE = ∠DAC − ∠EAC = ½∠A − (90° − ∠C) = ½(180° − ∠B − ∠C) − 90° + ∠C = ½(∠C − ∠B)。

右：Rt△PDE 中 ∠P = 90° − ∠PDE = ∠ADB − 90° = ½(∠C − ∠B)。

易错：一定要先确认 ∠C > ∠B，否则差为负——说明高落在了另一侧，图要重画。

模型 12

高与角平分线的夹角（二）

条件：左图 P 在 BC 的延长线上，PE ⊥ AD 于 E；右图 ∠ACB = 90°，AD 平分 ∠BAC，CE ⊥ AB 于 E，AD 与 CE 交于 F。

图 12　左：∠P；右：∠CDF 与 ∠CFD

左：∠P = ½(∠C − ∠B)

右：∠CDF = ∠CFD = 90° − ½∠A

左：Rt△PDE 中 ∠P = 90° − ∠PDE，∠PDE = ∠CDA = 180° − ∠ADB，整理得 ½(∠C − ∠B)。

右：∠CDF = 90° − ∠CAD = 90° − ½∠A；∠CFD = ∠AFE = 90° − ∠FAE = 90° − ½∠A。两者相等。

右图是「等腰三角形」的经典证法：证两个角相等，推出 CD = CF。