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常州高中普娃理解数学概念真是太难了!
Hi，我是万老师，毕业于985大学，目前在常州专注于初高中数学教育，平时与学生相处之余小记一些感触和思考，希望对您有所帮助！这是我的第67篇原创文章。
在初高中的实际教学当中，发现孩子们经常说，有一句话老师特别爱说，概念一定要理解，千万别死记硬背，一定要透彻理解，哪怕是我也难以免俗。
这句话有没有道理？当然有。可我有时候也会想，老师天天这样讲，孩子也知道理解很重要，为什么到了考试，还是有人把绝对值、平方根、函数这些概念弄得一塌糊涂？
更奇怪的是，有些孩子还真不是没认真学。他能把课本上的定义背出来，老师举的例子也听得懂，甚至你问他这个知识点会不会，他会很认真地回答，应该会了。
可换一道题，问题马上出来。
所以我一直觉得，数学老师讲理解概念没错，但如果只告诉孩子要理解，却没有告诉他究竟怎样才算理解，那对于很多普通孩子来说，这句话其实没多大帮助。
尤其是那些数学成绩六七十分、七八十分的孩子，他们最需要的，可能不是老师再强调一百遍概念很重要，而是有人把理解概念这件事，真正拆开给他看。
01
老师嘴里的一个概念，可能已经省略了十几步思考
我先说一个很容易被忽略的问题。
为什么有些数学老师觉得特别简单的东西，孩子就是听不明白？因为老师和孩子看到的，可能根本不是同一个东西。
老师讲绝对值，脑子里马上会想到数轴上的距离、分类讨论，以及后面含绝对值的方程和不等式。这些知识在老师那里早就连成一片了。
但初一孩子第一次接触绝对值时，脑子里可能只有一个模糊的印象，负数去掉负号，就变成正数。
你问他负3的绝对值是多少，他马上回答3。再问正5呢，他也知道是5。于是老师觉得讲明白了，孩子也觉得自己学会了。
可如果我继续问，|x－2|＝3，x是多少？
有些孩子马上就卡住了。因为他原来记住的那套负数去掉负号，在这里根本不够用。他还没有真正理解，|x－2|表示的，是数轴上x对应的点到2对应的点的距离。
既然距离是3，那么x可以在2的右边3个单位，也可以在左边3个单位，所以x＝5或者x＝－1。
你看，真正能解决这道题的，并不是把绝对值定义多背几遍，而是孩子脑子里有没有建立数轴、距离和代数表达式之间的联系。
老师觉得这些东西本来就是一回事，但对于第一次学的孩子来说，每一个联系都需要建立。
这也是我为什么不太喜欢在孩子还没理解时，一直重复这道题很基础、这个概念很简单。
对老师简单，不代表对第一次接触的孩子简单。老师已经走过很多遍的路，孩子可能连第一步往哪里迈都不知道。
02
很多普娃以为理解概念，就是把定义记住
我觉得初高中数学里有一个很典型的问题，就是孩子特别擅长模仿，却不擅长分辨。
比如平方根和算术平方根。孩子能背出，正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根是非负的那个。可做题时，看到√9，他可能写成±3；看到x²＝9，又只写x＝3。
你说他没背定义吗？他可能背得比谁都熟。问题是，两个概念在他脑子里并没有真正分开。
√9这个符号表示9的算术平方根，所以结果是3；而x²＝9是在求满足方程的x，结果有3和－3两个。
它们都与平方有关，但题目要求的对象不一样。
我觉得这种情况特别值得数学老师重视。
很多孩子不是不愿意理解，而是他不知道自己记住的两个知识点，究竟有什么本质区别。
他脑子里装的是一个个孤立的答案。
老师说平方根，他想起两个数；老师说算术平方根，他想起正数；真正放到题目里，这些记忆就开始打架。
再比如函数。初中孩子知道函数是两个变量之间的一种对应关系，但如果只停留在这句话上，很多人其实还是一知半解。
我会拿两个关系让他比较。一个是y＝x²，另一个是y²＝x。
对于y＝x²，每给定一个x，都能确定唯一的y，所以y是x的函数。即使x＝2和x＝－2都对应y＝4，也不影响这个判断。
但对于y²＝x，在x＝4时，y可以是2，也可以是－2。没有额外限制时，y并不能由这个x唯一确定，因此这里y不是x的函数。
两个式子看起来特别接近，孩子却必须真正理解一个x对应唯一一个y是什么意思。
我觉得，这种对比有时比老师把定义再读三遍更有用。
因为它终于让孩子看见，概念不是一句需要背诵的话，而是一条用来区分不同数学对象的标准。
03
为什么越强调理解，有些孩子反而越不敢问了？
这一点可能和孩子的性格、课堂经历有关。
有些数学老师讲完一个知识点，会习惯性地问大家听懂了吗？大部分孩子都会点头，我倒不觉得他们一定是在敷衍老师。
很多时候，孩子刚听完一个解释，脑子里确实觉得顺。老师把前后关系讲通了，他能够跟着往下想，于是自然认为自己懂了。
问题是，这个时候他还没有经历过独立使用概念的过程。更麻烦的是，有的孩子已经有些疑惑，却不好意思继续问。
因为老师刚讲完，旁边的同学也都表示明白了，他就会觉得，是不是只有我听不懂？尤其是本来数学成绩就不算特别好的孩子，更容易担心自己问的问题太简单。
于是一个本来应该及时暴露的小疑问，就这样被留下来了。
到了后面，疑问越来越多，孩子可能逐渐形成一种感觉，数学就是特别抽象，我好像天生理解不了。
我觉得这才是家长真正需要警惕的地方。
有时候孩子说数学听不懂，并不是整个学科都无法理解，而是某几个基础概念一直没有真正建立起来，后面又不断在它们上面增加新内容。
但这里我也想替老师说句话。
一节课时间有限，老师不可能对每个孩子的每一个疑问，都重新讲上半小时。课堂需要照顾整体进度，学生之间理解速度也确实有差别。
所以对于理解比较慢的孩子，我不认为最好的办法就是要求老师一遍遍重复。
有时候恰恰需要换一个角度。
比如绝对值没听懂，不要继续背文字定义，可以重新画数轴；函数的唯一对应关系不明白，就拿几个具体关系去判断；平方根容易混淆，就把两个相似的问题摆在一起比较。
同一段解释再听十遍，不一定会有新收获。换一种能够看得见、说得清的方式，反而可能让孩子找到入口。
04
普娃想真正理解概念，我更建议这样练
如果是我带一个概念理解比较吃力的孩子，我不会一开始就让他做很多综合题。
因为连这个概念在解决什么问题都不知道，直接增加难度，孩子很可能又回到记题型、背答案的状态。
我更愿意先让他做三件事。
第一件事，是把概念换成自己的话说出来。
比如学完绝对值，不要求他一字不差地复述课本，而是让他解释，为什么－5和5的绝对值一样？如果他说因为负号去掉了，我会继续引导他画数轴，看看这两个数到原点的距离有什么关系。
能把道理讲得简单一点，反而说明他开始有自己的理解了。
第二件事，是找一个特别容易混淆的例子。
比如学完算术平方根，就拿√16和x²＝16放在一起比较。让孩子说清楚为什么前者的结果是4，而后者的解有4和－4。
这个环节，我认为特别重要。因为不少孩子不是完全不会，而是遇到两个相近概念时，分不清什么时候用哪一个。
如果他能够自己指出区别，概念就开始从书本上的一句话，变成脑子里可以使用的判断依据。
第三件事，是隔一段时间再用一次。
今天刚讲完绝对值，孩子能够完成几道类似例题，不能说明以后就不会混淆。过几天重新出现含绝对值的式子，或者放进数轴问题中，他还能不能认出来，才更有参考价值。
这并不是让孩子天天重复同一套练习。
可以在正常作业里穿插两三道相关题，看看他是否还记得概念原来的意思。忘了，就回到最初的例子重新理解，不必急着给孩子贴记性差的标签。
但如果孩子已经能够准确理解概念，计算却不熟练，那又是另一个问题。概念学习不能替代必要的运算训练，也不意味着每道题都必须从定义重新推一遍。
真正有效的数学学习，应该是刚接触时把意思弄明白，后面通过训练逐渐熟练，最后能够在不同题目里正确使用。
我还想提醒家长一个细节。
如果孩子总说自己理解不了数学，先不要着急问他是不是思维能力不够。可以拿最近学过的一个具体概念，让他讲讲到底哪里没明白。
是课本上的词听不懂，还是两个概念容易弄混？是例子能看懂，却不知道如何判断新题，还是前面的数轴、代数运算等知识本来就有缺口？
把问题问具体，后面的帮助才可能有效。
其实我一直觉得，普通孩子学数学，最怕的不是理解慢一点，而是老师、家长和孩子都以为，理解应该在听完讲解的那一刻自动发生。
老师讲清楚了，孩子也认真听了，为什么还不会？因为理解本来就不是一个瞬间完成的动作。
孩子需要见过足够清楚的例子，发现相似概念之间的区别，尝试独立判断，也允许自己在最开始弄错几次。
所以以后再听见数学老师强调一定要理解概念，家长不妨少催一句，你怎么连这么简单的定义都不懂。
换成问孩子，这个概念到底在说什么？你能不能举个符合它的例子，再举个不符合的例子？
如果孩子能慢慢回答出来，哪怕说得不够标准，我觉得都值得继续引导。
对很多普娃来说，数学概念不是靠背得更用力才理解的，而是终于有人把那句看似简单的话，拆成了他真正走得过去的几步。
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